第二章对偶问题选做题答案
03.对偶问题
s.t
s.t
为其对偶问题，其中 为其对偶问题，其中yi (i=1,2,…,m) 称为对偶变量。 上述对偶问题称为对称型对偶问题。 原问题简记为(P)，对偶问题简记为 原问题简记为 ，对偶问题简记为(D)
17
例3：求线性规划问 ： 题的对偶规划
Max s.t
Z = 5x1 + 6x2 3x1 − 2x2 ≤ 7 4x1 + x2 ≤ 9 x , x ≥ 0 1 2
28
练习2 练习2答案
max z = x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 − x1 + x2 − x3 − 3 x4 = 5 6 x + 7 x + 3 x − 5 x ≥ 8 1 2 3 4 s.t. 12 x1 − 9 x2 − 9 x3 + 9 x4 ≤ 20 x1, x 2 ≥ 0; x3 ≤ 0; x 4无约束.
3
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 ≤ 30 3x1 + 2x2 ≤ 60 2x2 ≤ 24 x1，x2 ≥ 0
约束条件
s.t
如果因为某种原因，不愿意自己生产， 如果因为某种原因，不愿意自己生产，而希 望通过将现有资源承接对外加工来获得收益， 望通过将现有资源承接对外加工来获得收益，那 么应如何确定各资源的使用价格？
Max
s.t
Z = 5x1 + 6x2 3x1 − 2x2 ≤ 7 − 3x + 2x ≤ −7 1 2 4x1 + x2 ≤ 9 x1, x2 ≥ 0
20
上式已为对称型对偶问题， 上式已为对称型对偶问题，故可写出它的对偶规划
运筹学习题答案(第二章)
0
-5/4
(j)
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题 写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。
01
由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
3
2
5
0
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X2
15-7/4
1/4
1
0
0
0
1/4
5
X3
30+
3/2
0
1
0
1/2
0
0
X4
3 /2-5
-1
0
0
1
-1/2
-1/2
Cj－Zj
-7
0
0
-1
-2
0
第二章习题解答
第二章习题解答
2.14 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表：
第二章习题解答
已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入原问题，第4个约束不等式成立，故y4=0。有由于x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前3个约束取等号，故得到最优解： y1=4/5, y2,=3/5, y3=1, y4=0
第二章习题解答
2.8 已知线性规划问题A和B如下：
01
01
02
2.6 已知线性规划问题
b第二章 对偶问题
第二章：对偶问题（1）
对偶问题的提出: 复习典型引例： 某工厂在计划期内安排甲，乙两种产品，已知生 产单位产品所消耗资源以及产生的利润如下表：
甲产品 设备 原材料A 原材料B 产生的利润 1 4 0 2元
乙产品 2 0 4 3元
资源量 8 台时 16公斤 12公斤
YA--Ys=C Y,Ys ≥0
则原问题单纯形表的松弛变量的检验数对应对偶问题的一个解
第二章：对偶问题（1）
性质1的证明： 求证: 对称性 对偶问题的对偶是原问题。
证明：原问题 ：
Max CX， AX ≤ b， X ≥0 对偶： Min Y b， YA ≥ C， Y ≥0 即 Max -Y b， -YA ≤ - C， Y ≥0 对偶问题的对偶： Min - CX， - AX ≥ - b， X ≥0
对偶性质的应用二例： 例1：用对偶理论证明线性规划无最优解 (p60) Max Z= X1 +X2
MaxZ=CX AX<=b X ≥0 Min w=Y b YA≥C Y ≥0
- X1+X2+X3 <=2
- 2X1+X2-X3 <=1 X1,X2,X3>=0 对偶:
思路：利用约束 条件的矛盾证明 线性规划无解
Y*Xs=0 和 YsX*=0 ， 当且仅当 X*.Y* 为最 优解。
（Y3 ， Y4 ， Y5 ， Y6 ， Y7 ）
第二章：对偶问题（2）
所以Y* 是使目标值最小的可行解，因此Y*是最优解
同理， X*是最优解
性质5 的证明：
对偶定理 若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且 目标函数值相等。 证明：P58 设X* 是原问题最优解，B 是最优基，
运筹学习题集（第二章）
运筹学习题集（第二章）判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有(1)CX<=Yb;(2)CX是w的上界;(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=C B B-1是最优解;(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.11影子价格就是资源的价格.12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.18.减少一个非基变量, 目标值不变.19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第二章线性规划的对偶理论1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划A约束条件相同B目标函数相同C最优目标函数值相同D以上结论都不对2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证A使原问题保持可行B 使对偶问题保持可行C逐步消除原问题不可行性D逐步消除对偶问题不可行性3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系A若最优解存在，则最优解相同B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解D一个问题无界，则另一个问题无可行解E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为A—（λ1，λ2，……λn）B （λ1，λ2，……λn）C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D （λn+1,λn+2,……λn+m）5.原问题与对偶问题都有可行解，则A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题2.1 对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2 +x3s.t. x1 + x2+ x3 ≤ 15 (1)2x1 - x2+ x3≥ 9 (2)-x1 + 2x2+2x3≤ 8 (3)x1 x2x3 ≥ 01、写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3s.t. y1 + 2y- y3 ≤ 3 (1)y1 - y2+ 2y3≤ 2 (2)y1 + y2+ 2y3≤ 1 (3)y1≤0、y2 ≥0、y3 ≤02、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x1 + 2x2 + x3s.t. x1 + x2+ x3+ x4= 15 (1)-2x1 + x23+ x5= -9 (2)-x1 + 2x2+2x3+x6= 8 (3)原始问题的最优解为（X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11 对偶问题的最优解为（y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=112.2 对于以下线性规划问题max z = -x 1 - 2x 2s.t. -2x 1 + 3x 2 ≤ 12 (1) -3x 1 + x 2 ≤ 6 (2) x 1 + 3x 2 ≥ 3 (3) x 1 ≤ 0，x 2 ≥ 01、写出标准化的线性规划问题；2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；5、第（2）个约束右端常数b 2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。
运筹学作业2(清华版第二章部分习题)答案
运筹学作业2（第二章部分习题）答案2．1 题 （P . 77） 写出下列线性规划问题的对偶问题：（1）123123123123123m ax 224..34223343500,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++⎧⎪++≥⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥≥⎪⎩无约束，；解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：123123123123123m ax 235..223424334,0,0w y y y s t y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎨⎪++=⎪≥≤≤⎪⎩（2）1111m in ,1,,,1,,0,1,,;1,,m n ij ij i j n ij ij i j nij ij j j ij z c x c x a i m c x b j nx i m j n====⎧=⎪⎪⎪==⎪⎨⎪⎪==⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑∑ 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：11m ax 1,,;1,,m n i i j ji j i j ij i w a u b v u v c i m j n u ==⎧=+⎪⎪⎪+≤⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑ j 无约束，v 无约束2．2判断下列说法是否正确，为什么？（1） 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； 答：错。
因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。
但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。
例如原问题1212212m ax 31..30,0z x x x x s t x x x =++≥⎧⎪≤⎨⎪≥≥⎩有可行解，但其对偶问题1211212m in 33..10,0w y y y s t y y y y =+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≥⎩无可行解。
（2） 如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；答：错，如（1）中的例子。
运筹学第二章对偶问题
DUAL PRICES
1.500000 0.125000 0.000000
影子价格 （对 偶问题的解）
迭代（旋转）次数 NO. ITERATIONS= 2
用软件分析
目标不变下要素的变化范围 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
目标系数的变化范围
VARIABLE
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy7
i
M y5 2 1 4 0 1 1 0 0
M y7 3 2
0 [ 4] 0
0 1 1
3/4
83M 164M 124M M 0
M0
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
i
M y5 2 1
4 0 1 1 0 0
M0
3 M－3
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
i
M y5 2
1 [ 44 ] 0 1 1
0 0 1/2
12 y3 3/4 1/2 0 1
0 0 1/4 1/4 －
2-M 16-4M 0
M0
3 M－3
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
两边乘以“1”
5x1 3x2 + x3 200 5x1 3x2 + x3 200
Max z = 3x1 +4x2 +6x3 St. 2x1 +3x2 +6x3 440 6x1 +4x2 + x3 100 对偶 5x1 3x2 + x3 200 5x1 +3x2 x3 200 x1 ，x2 ，x3 0
第2章 对偶理论和灵敏度分析-习题
理解原问题与对偶问题的关系. 论述对偶问题的基本性质并证明. 掌握对偶单纯形法. 掌握灵敏度分析及参数线性规划.
应用灵敏度分析原理讨论管理实践中的经 济决策问题.
1 写出下列线性规划问题的对偶问题
max Z = 5 x1 + 6 x 2 + 3x 3 x1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 5 x1 + 5 x 2 x3 ≥ 3 s.t. 4 x1 + 7 x 2 + 3x 3 ≤ 8 x1无约束,x 2 ≥ 0, x3 ≤ 0
b
1 2
x1 1 0 0
-3-2+λ -5+-4λ -1+λ-
σ j′ = (c j z j )′ = C j′ C B′ B 1 Pj
= C j ′ C B ′ P j′
3 2 5 + 1 +λ
令=0
+λ
≤0 ≤0
4λ ≤ 0
-5/4≤λ≤1, 故 3/4≤c1≤3
令λ=0 -1≤≤5, 故 2≤c2≤8
b
1/3 2
X 故最优解为: * = (0, 2, 0, 0, 0,1/ 3)
(5) 增添一个新的约束 x1+2x2+x3 ≤4
Cj CB 2 3 0 XB x1 x2 x6 b
1 2 4
2 x1 1 0 1 0
3 x2 0 1 2 0
1 x3 -1 2 1 -3
0 x4 4 -1 0 -5
0 x5 -1 1 0 -1
(1)求线性规划的最优解.(20分) (2)写出对偶问题并求出对偶问题的最优解.( 5分) (3)当△b3=-150时最优基是否发生变化?为什 么?(5分) (4)求c2的灵敏度变化范围.(5分) (5)如果x3的系数由[1,3,5]变化到[1,3,2]最 优基是否改变?若改变求新的最优解.(5分)
运筹学_第2章_对偶理论习题
第二章线性规划的对偶理论2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题max z=2x1+2x2－4x3x1 + 3x2 + 3x3 ≤304x1 + 2x2 + 4x3≤80x1、x2，x3≥0解：其对偶问题为min w=30y1+ 80y2y1+ 4y2≥23y1 + 2y2 ≥23y1 + 4y2≥－4y1、y2≥02.2 写出下列线性规划问题的对偶问题min z=2x1+8x2－4x3x1 + 3x2－3x3 ≥30－x1 + 5x2 + 4x3 = 804x1 + 2x2－4x3≤50x1≤0、x2≥0，x3无限制解：其对偶问题为max w=30y1+80 y2+50 y3y1－y2 + 4 y3≥23y1+5y2 + 2y3≤8－3y1 + 4y2－4y3 =－4y1≥0，y2无限制，y3≤02.3已知线性规划问题max z=x1+2x2+3x3+4x4x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤202x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20x1、x2，x3，x4≥0其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。
试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。
解：其对偶问题为min w=20y1+ 20y2y1 + 2y2≥1 （1）2y1 + y2 ≥2 （2）2y1 +3y2≥3 （3）3y1 +2y2≥4 （4）y1、y2≥0将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。
又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。
故原问题的最优解为X*=（0，0，4，4）T2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划min z=4x1+2x2+6x32x1 +4x2 +8x3 ≥244x1 + x2 + 4x3≥8x1、x2，x3≥0解将问题改写成如下形式max（－z）=－4x1－2x2－6x3－2x1－4x2 －8x3 + x4=－24－4x1－x2－4x3+x5 =－8x1、x2，x3，x4，x5≥0显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。
对偶问题
第二章.对偶理论与灵敏度分析1. 已知线性规划问题：332211m a xx c x c x c z ++= ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡)5,,1(01001.2154323132221212111 j x b b x x x a a x a a x a a st j 用单纯形法求解得最终单纯形表如下表所示： （a ） 求232221131211,,,,,a a a a a a 和21,b b321,,c c c 8,4,7,5,8,2,4,1,1,2/5,2/932121231322122111===========c c c b b a a a a a a2. 已知矩阵A 及其逆矩阵1-A 如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=104020012A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11202/1004/12/11A试根据改进单纯形法中求逆矩阵的方法原理求下述矩阵B 的逆矩阵1-B，已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144210152B答：先设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144010052C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-∙-72/14/114151A∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--16201002/52/1114002002/11111A C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144210152B 有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙-1322/111211C∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--26/226/1226/426/426/226/826/1126/126/913/10013/21026/110111C B3. 已知线性规划的原问题与对偶问题分别为：（P ）原问题：CX z =max (D)对偶问题：Yb w =min⎩⎨⎧≥≤0.X b AX st ⎩⎨⎧≥≥0Y C YA st若*Y 为对偶问题最优解，又原问题约束条件右端项用b 替换之后其最优解为X ，试证明有b Y X C *≤证明：原问题右端项b 用b 替换后，新的原问题'P 及对偶问题'D 为：:'P ⎩⎨⎧≥≤=0.'m a x Z b AZ st CZz :'D ⎩⎨⎧≥≤=0.min 'Y C YA st bY w设'D 的最优解为Y ，因有b Y Z C =，有*Y 是'D 的可行解，故有b Y b Y *≤，由此b Y Z C *≤4. 已知下表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为松弛变量，问题的约束(b) 直接由表写出对偶问题的最优解。
第2章 对偶问题 —06,07讲
如果 n+1
X * 是新问题的最优解。 0 ，则 x n+1 0 ， X ' = 0
否则以 x n+1 为换入变量进行基变换，继续使用单纯形算法为 新的线性规划寻求一个最优解。
例6
Min Z 2 x1 3x2 2 x1 2 x2 12 4 x 16 1 s.t. 5 x2 15 x1 , x2 0
例子1.1：如果第2种资源由12 增加到24，请问最有生产计划 怎么变化？
（3）约束矩阵A的改变
约束矩阵A的改变可能导致不同的最优解和最优基. 以下介绍增加一个变量的情形：
minZ=C T X AX=b X 0 有一个最优解 X* =B-1b 其中Ｂ为最优基，
假设原线性规划问题
A=(B,N)
������
4、影子价格的特点
（1）是对系统资源的一种最优估价 （2）是一种动态价格：资源数量和价格的变化都会引起影子价格 的变化。 （3）客观地反映资源在系统内的稀缺程序 • 影子价格大于0，说明这种资源越是相对紧缺，有利可图，可 买入该资源； • 影子价格小于0，说明这种资源相对不紧缺，无利可图；
当右端项向量 b b+b 时，改变的是表中右端常数列。 此时基变量 X' =B-1 (b+b) ，目标函数值 Z' =C T B-1 (b+b) 。 B B 而检验行的检验向量保持不变。 为了使B可行，只要 X'B =B-1 (b+b)=B-1b+B-1b=X* B-1b 0 或 B-1b X* 若 X* B-1b 0 ，可用对偶单纯形法再次进行迭代， 直到求得新最优解。
4 2 T X = ( , 8) maxZ=282 3 3 *
第二章对偶问题一般题答案
对偶问题一般习题答案● 一般题目内容1：根据原规划，写出对偶规划 1.1 写出下面线性规划问题的对偶问题(a.) 2341234123412341234max 2343567358..12999200,0,0,z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+--=⎧⎪++-≥⎪⎨--+≤⎪⎪≥≥≤⎩无约束 (b.) 111111111max (1,)(1)..0(1,)1nj jj nij j i j n ij j i j j j z c x a x b i m m m a x b m i m s t x j n n n x n j n=== =⎧≤ ≤≤≤⎪⎪⎪⎪= +≤≤⎨⎪⎪≥ ≤≤≤⎪+≤≤⎪⎩∑∑∑无约束,当 内容2：根据对偶问题，判定原问题有最优解、无解、有无穷大解 2.1 应用对偶理论, 证明线性规划问题有最优解。
12121212max 32243214..301,2j z x x x x x x s t x x x j =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪≥ =⎩提示：找到原问题和对偶问题的一个可行解，那么就能说明原问题有最优解。
2.2 应用对偶理论, 证明线性规划问题是可行的，但无最优解。
12313123max 4..1401,2,3jz x x xx x s t x x x x j =-+⎧-≥⎪-+≥⎨⎪≥ =⎩提示：说明对偶问题无解，再根据原问题有可行解，就说明原问题为无穷解，所以没有最优解。
2.3 应用对偶理论, 证明线性规划问题无解。
12121212max 5241..23101,2j z x x x x x x s t x x x j =+-≥⎧⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪≥ =⎩提示：说明对偶问题有无穷解，就说明原问题无解。
内容3：由原问题的最优解得到对偶问题的最优解 3.1 课本2.11题。
（a ）写出最优单纯形表由最优单纯形表对于2x 有 []2311/2*(1/2)*4c c c -+-=-对于2x 有 []43141/2*(1/6)*4(0)c c c c -+-=-= 对于5x 有 []53150*(1/3)*2(0)c c c c -+=-=可得1c 、2c 和3c 的值由于11/201/61/3B -⎛⎫=⎪-⎝⎭ 13112321a a B a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭且1*B B I -=那么可求得11a 、21a 、13a 和23a由于121221/2*1/2a B a -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭那么可求得12a 和22a3.2 原规划为121212max 332212416..51501,2j z x x x x x s t x x j =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥ =⎩引入松弛变量后为 121231425max 332212416..51501,2,3,4,5j z x x x x x x x s t x x x j =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥ =⎩对偶规划为1231213min 121615243..25301,2,3jw y y yy y s t y y y j =++⎧+≥⎪+≥⎨⎪≥ =⎩已知对偶规划的最优解为(3/2, 0, 0), 试完成原规划的最优单纯形表(不用单纯形求解，并写出具体思路)。
《运筹学》第二章 对偶问题
3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
20
一组互为对偶的线性规划问题的解之间只有 下列三种情况:
(1)两个规划问题都有可行解(此时,两个规划问题都有最优 解,且最优值相等);
(2)两个规划问题都不可行; (3) 一个规划问题不可行,另一个规划问题有可行解,且具有
无界解。
21
（4）互补松弛性： 在线性规划问题的最优解中，
则 aij xj * = bi ；
bi , 则 y i* = 0 (4)’ 互补松弛性：
在线性规划问题的最优解中， 则 aij yi * = cj ；
>cj , 则 xj* = 0
n
若 y i * >0,
j=1 n
若 a ij xj * <
j=1
m
若 x j * >0,
i=1 m
若 a ij yi*
i=1 22
m
= 证b：i y∵i*
y1 3 y1
2 y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
对偶问题的对 偶还是原问题
14
• 练习 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 4x1 3x2 2x3
4x1
运筹学第2章答案
即令 C1 ' = 3 + λ
σ 1 = −λ <= 0
1
σ2
=
λ 3
<=
0
σ3 =0
11 σ 1 = − 3 λ − 5 <= 0
13
σ5
=
λ 3
−
5
<=
0
P5=1/3X-3/5<=0
Cj
3
1
4
0
0
Cb
xb
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x4
15
3
-1
0
4
x3
6
3/5
4/5
1
σi
3/5
-11/5
0
x1 入基，min{15/3,3/(3/5)}=5,所以 x4 出基
Cj
3
1
4
Cb
xb
b
x1
x2
x3
3
x1
5
13
-1/3
0
4
x3
3
0
1
1
σi
0
-2
0
因为所有的σ i <=0,所以得到最优解 X=（5，0,3,0,0）T，
32/5
0
0
1
-1/5
8/5
2
x2
3/5
0
1
0
1/5
-3/5
3
18/5
1
0
01/52Fra bibliotek5x1
对偶问题(本部)
5.对偶定理：若原问题有最优解，则对偶问题也 有最优解，且目标函数值相等。若原问题最优 基为B，则其对偶问题最优解Y*=CBB-1。 6 .互补松弛性：在LP的最优解中，若对应某一 约束条件的对偶变量值不为零，则该约束条件 取严格等式；反之，若约束条件取严格不等式， 则其对应的对偶变量一定为零。（另一解释： 在互为对偶的两个问题中，①若原问题的某个 变量取正数，则对偶问题相应的约束条件必取 “＝”式；②若原问题的某个约束条件取不等式， 则对偶问题相应的变量为零。）
OR1
10
2.1.3对偶问题的基本性质
1.对称性：对偶问题的对偶问题是原问题。 Y 2.弱对偶性：若 X 是最大化原问题的可行解， 是对偶问题的可行解，则存 CX ≤ Y b 。 3. 3.无界性：若原问题为无界解，则对偶问题无可 行解。（注：该性质的逆不存在。当原问题无 可行解时，其对偶问题可能为无界解，也可能 无可行解。） 4.最优解定理：若两互为对偶的问题均有可行解， 且可行解对应的目标函数值相等，则该可行解 分别为他们的最优解。
目标函数 数
约 变 量 束 条 件
≤ ≥
目标函数
数
OR1
6
例题2：写出下列原问题的对偶问题
max z = x1 + 2 x2 − 3 x3 + 4 x4 x1 + 2 x2 + 5 x3 + 6 x4 ≥ 1 y1 2 x1 − 3 x2 − 4 x3 − 5 x4 ≤ 2 y2 s.t. y3 x1 + x2 + x3 + x4 = 3 ≥ 0, ≤ 0, 为自由变量， ≥ 0 x 2 x3 xminϖ = y + 2 y + 3 y 4 x1 1 2 3 y1 + 2 y2 + y3 ≥ 1
运筹学_第2章_对偶理论习题
第二章线性规划的对偶理论2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题max z=2x1+2x2－4x3x1 + 3x2 + 3x3 ≤304x1 + 2x2 + 4x3≤80x1、x2，x3≥0解：其对偶问题为min w=30y1+ 80y2y1+ 4y2≥23y1 + 2y2 ≥23y1 + 4y2≥－4y1、y2≥02.2 写出下列线性规划问题的对偶问题min z=2x1+8x2－4x3x1 + 3x2－3x3 ≥30－x1 + 5x2 + 4x3 = 804x1 + 2x2－4x3≤50x1≤0、x2≥0，x3无限制解：其对偶问题为max w=30y1+80 y2+50 y3y1－y2 + 4 y3≥23y1+5y2 + 2y3≤8－3y1 + 4y2－4y3 =－4y1≥0，y2无限制，y3≤02.3已知线性规划问题max z=x1+2x2+3x3+4x4x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤202x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20x1、x2，x3，x4≥0其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。
试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。
解：其对偶问题为min w=20y1+ 20y2y1 + 2y2≥1 （1）2y1 + y2 ≥2 （2）2y1 +3y2≥3 （3）3y1 +2y2≥4 （4）y1、y2≥0将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。
又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。
故原问题的最优解为X*=（0，0，4，4）T2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划min z=4x1+2x2+6x32x1 +4x2 +8x3 ≥244x1 + x2 + 4x3≥8x1、x2，x3≥0解将问题改写成如下形式max（－z）=－4x1－2x2－6x3－2x1－4x2 －8x3 + x4=－24－4x1－x2－4x3+x5 =－8x1、x2，x3，x4，x5≥0显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。
第2章 对偶问题
第二章 对偶问题一、选择1. 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定具有最优解，且有（A ）。
A maxZ=minWB maxZ<minWC maxZ>minWD maxZ 与minW 无关2. 影子价格B c YB 1*-=是（C ）A 、对偶可行解B 、对偶基本可行解C 、对偶最优解D 无可行解 3．原问题有可行解，其对偶问题有非可行解，则目标函数值（ B ）A 、最优B 、z <zmax C 、z >zmax D无可行解4. 影子价格是一种（C ）A 、实际价格B 、市场价格C 、边际价格D 产品价格 5. 资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖于（c ），是未知 数A 市场的定价B 买卖的多少C 资源的利用情况D 购买力6. 如果原问题（对偶问题）具有无界解，则其对偶问题（原问题）（D ）。
A 唯一最优解B 无穷多最优解 C 无界解 D 无可行解7. 影子价格是一种边际价格，实际上又是一种（A ）。
A 机会成本B 实际成本 C 市场价格 D 产品价格9.如果),,1(n j x j =-是原问题的可行解，),,1(m j y i=-是其对偶问题的可行解，则恒有（ A ） A∑∑=-=-≤mi iin j jjy b x c 11B ∑∑=-=-=mi iin j jjy b x c 11C ∑∑=-=-≥mi iin j jjy b x c 11D 无法确定 10. 如果),,1(n j x j=∧是原问题的可行解，),,1(m j y i=∧是其对偶问题的可行解，且有（ B ），则),,1(n j x j=∧是原问题的最优解，),,1(m j y i=∧是其对偶问题的最优解 A∑∑=∧=∧≤mi iin j jjy b x c 11B ∑∑=∧=∧=mi iin j jjy b x c 11C∑∑=∧=∧≥mi iin j jjy b x c 11D ∧∧=y xij11.如果∑=∧∧=>n j i j ij ib x a y 1,0则，其符合（D ）定理A 强对偶性B 弱对偶性C 最优性D 互补松弛性 12.如果有0,1=>∧=∧∑x c y a j mi j iij 则，其符合（D ）定理A 强对偶性B 弱对偶性C 最优性D 互补松弛性 13. 如果∑=∧∧=>mi j iij j c y a x 1,0则，其符合（D ）定理A 强对偶性B 弱对偶性C 最优性D 互补松弛性 14. 如果有0,1=<∧=∧∑y b x a inj i j ij 则，其符合（D ）定理A 强对偶性B 弱对偶性C 最优性D 互补松弛性15.在单纯形法中，最终单纯形表，原问题的变量对应着对偶问题的（ A ） A 松弛变量B 剩余变量C 变量D 最优解16. 在单纯形法中，最终单纯形表，原问题的松弛变量对应着对偶问题的（C ） A 松弛变量B 剩余变量C 变量D 最优解17. 在单纯形法中，最终单纯形表中，对偶问题的最优解由（B ）的值组成。
第2章 对偶问题答案
第2章 对偶问题02100011:T 02100021:F 02100031:T 02100041:F 02100051:F 02100061:F 02100071:T 02200011:略 02200021:略 02200031:略 02200041:略 02200051解：（a ）不对（b ）不对（c ）不对02200061 解：不一定。
应考虑其他资源的拥有量。
02200071解：无法 肯定。
由互补松弛性知。
023*******min 1020W y y =+ 023********min 54W y y y =-+12121212410122,y y y y y y y y +≥+≥+≥≥ 12312123131322213310,0,y y y y y y y y y y y y y ++≥-=+-≥+=≥≤无约束023********max 352W y y y =-+ 023********max 15205W y y y =+-1212312312312323232337344440,0,y y y y y y y y y y y y y y +≤-+-=+-=-+-≥≤≥无约束1231231231235556631070,0,y y y y y y y y y y y y --+≥---≤--+-=-≥≤无约束023********min 235W y y y =++ 02301061 123m i n 1264W y y y =++ 12312123123232315765,,0y y y y y y y y y y y ++≥+≥++≥≥12312123123212157610,,y 0y y y y y y y y y y ++≥+≥++≥≥≤无约束023********max W 642y y y =++1231212312324225730,,0y y y y y y y y y y y ++=+≥++≤≤≥无约束02301081：02301091123123123123123235232342..5764,,0MaxW y y y y y y y y y s t y y y y y y =----≤⎧⎪--≤⎪⎨--≤⎪⎪≥⎩ 123123123123123542312..3233,0,0MaxW y y y y y y y y y s t y y y y y y =-+++≥⎧⎪--≥-⎪⎨-+-=-⎪⎪≤≥⎩无限制 023010101 02301111123123121231234323231..40,0,MinW y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≥⎧⎪-≤⎪⎨++=⎪⎪≤≥⎩无限制12121212125922537..45,MinW y y y y y y s t y y y y =++≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪⎩无限制 02301121 解:略02301131 解:略 02301141解:略02301152 解：11max m ni ijm ji j w a y b y+===+∑∑约束条件：i m j ij y y c ++≥ 1,,;1,,i m j n ==k y 无约束 1,,k m n =+02301162解：原始问题最优解：()*0,10,0,12,0,4X = 而minz=maxw=2602302011最优解为*2110(,)1313T X =，最优值为*31min 13Z =； 02302021最优解为*(1.5,0.125,0)TX =，最优值为*min 14Z =； 02302031最优解为*(9,4)TX =，最优值为*min 610Z =； 02302041最优解为*(6,2,0)TX =，最优值为*min 10Z =； 02302051最优解为*(4,1,0)TX =，最优值为*min 6Z =-； 02302061最优解为*(3,0,0,0)TX =，最优值为*min 9Z =；02302071解：最优解：()*0,10,0,12,0,4X = 而minz=maxw=26 02302081用对偶单纯形法求解：12min 23z x x =+12121212233021005,0x x x x x x x x +≤+≥-≥≥≥解：最优解为*55,2X ⎛⎫= ⎪⎝⎭minz=35/202302091 解：()**0,2/3,1,36TX z ==023021011212121212(1)30405552..263,0MinW y y y y y y s t y y y y =++≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪≥⎩无限制 **12(2)5;0;min 150y y w ===02302011：最优解是()*0,20,0X = minz=120 02302121****123****1234(,,)(2/3,2,0)MinZ=22/33,0MinW=9Tx x x x x x x x ======(1)最优解：；最优值：(2)最优解：；最优值：02302131．略02302141解：（1）最优解为*55,2X ⎛⎫= ⎪⎝⎭02302152解：最优解()*5,0Y = Minw=15002302162解：（2）根据互补松弛定理求得*43,,1,055TY ⎛⎫= ⎪⎝⎭02302171 解略。
第二章对偶问题选做题答案
第二章对偶问题选做题答案对偶问题习题● 证明题(选做)1．证明下面的线性规划问题要么无解，要么最优目标函数值为零，其中C 为n 维向量，b 为m 维向量，A 为m n ?矩阵。
min ..0,0yb cxAx bs t yA c x y -≤??≥??≥≥?证明把问题拆成两个问题(A)max ..0z cxAx b s t x =≤??≥? 和 (B)min ..0w ybyA c s t y =≥??≥?显然两个问题为原问题和对偶问题，分四种情形讨论：情形1 如果两个问题都有可行解，那么两个问题都有最优解，且最优目标函数值相等。
根据对偶理论，由于有cx yb ≤，因此0yb cx -≥。
而**y b cx -=0，因而该情形下有解，且最优解为0。
情形2 如果问题A 有解但为无穷解，那么B 问题一定无解，也就是yA c ≥不成立，从而该情形下无解。
情形3 如果问题B 有解但为无穷解，那么A 问题一定无解，也就是Ax b ≤不成立，从而该情形下无解。
情形4 如果问题A 和问题B 均无解，那么Ax b ≤和yA c ≥都不成立，从而该情形下也无解。
综合上述，根据对偶理论只可能有如上情形，从而命题成立。
2．设线性规划问题1是11max ..0(1)nj jj nij ji j jz c x a x b s t x j n 1== =?≤≥≤≤?∑∑ 其中***12(,,,)m y y y 是其对偶问题的最优解。
又设线性规划问题2是11max ..0(1)nj jj nij ji i j jz c x a x b k s t x j n 2== =?≤+≥≤≤?∑∑ 其中i k 是给定的常数，求证*211max()max()mi ii z z k y=≤+∑证明问题1的对偶问题为11221min ...,1,2,...,..0m mmij i j i iw b y b y b y a y c j ns t y = =+++?≥=≥?∑问题2的对偶问题为1112221min ()()...(),1,2,...,..0m m mmij i j i iw b k y b k y b k y a y c j ns t y = =++++++?≥=≥?∑既然***12(,,,)m y y y 是问题1的对偶问题最优解，那么必有***11122max()...m mz b y b y b y =+++ 又由于***12(,,,)m y y y 是问题1的对偶问题的可行解，那么有***2111222******11221122***11122max()()()...() ...(...) max()(...) m m mm m m m m m z b k y b k y b k y b y b y b y k y k y k y z k y k y k y ≤++++++=+++++++=++++ 3．设线性规划问题1是11min (1)..0(1)nj jj nij ji j jz c x a x b i m s t x j n 1== =?=≤≤≥≤≤?∑∑ 又设线性规划问题2是*11min ()(1,)..0(1)nj k kj jj nij ji j jz c y a x a x b i m i k s t x j n 2== =-?≤≤≤≠≥≤≤?∑∑ 设*** 12(,,,)n x x x 是线性规划问题1的最优解，***12(,,,)m y y y 为其对偶问题的最优解，请证明***12(,,,)n x x x 也是问题2的最优解。
第二章对偶理论与灵敏度分析练习题答案
第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案1．判断下列说法是否正确：(1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；(✓)(2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；(✗)(3) 设j ˆx ，i ˆy 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m**j j j j i i i i j 1j 1i 1i 1ˆˆc x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；(✓)(4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；(✓)(5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；(✓)(6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；(✗)(7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；(✗)(8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；(✓)(9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；(✗)(10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。
(✓)2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。
要求：(1)(3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。
线性规划对偶问题__运筹学__胡运权__清华大学出版社
证毕。
2.3 主（强）对偶定理
定理 如果原问题和对偶问题都有可行解，则它们都有最 优解，且它们的最优解的目标函数值相等。
证：由弱对偶定理推论1可知，原问题和对偶问题的目标
函数有界，故一定存在最优解。又由 YA C， Y
0及w= Yb = CBB—1b=z知，当原问题为最优解时，
其对偶问题的解为可行解，且有w=z，由最优性知， 这时两者的解都为最优解 。
17
(4) 对于极小化问题的具有非负限制的变量(极大化问题的具 有非正限制的变量)，在其对偶问题中，相应的约束为“≤” 型不等式；对于极小化问题的具有非正限制的变量(极大化问 题的具有非负限制的变量)，在其对偶问题中，相应的约束为 “≥”型不等式；对于原问题中无正负限制的变量，在其对偶 问题中，相应的约束为等式。
s
s
证：将(P)、(D)的约束化为等式：AX IXs b,YA Ys I C, 因为X、Y是最优解，所以CX Yb,即 (YA Ys I ) X Y ( AX IX s ),而YX s ,Ys X 0, 故只有Y X s Ys X 0。 （自证）。
26
互补松弛定理的应用
约束条件数：m个
对偶变量数：m个
第 i 个 约 束 条 件 类 型 为 “ ≤ ”第i个变量≥0
第 i 个 约 束 条 件 类 型 为 “ ≥ ”第i个变量≤0
第i个约束条件类型为“=” 第i个变量是自由变量
决策变量数：n个 第j个变量≥0 第j个变量≤0 第j个变量是自由变量
约束条件数：n 第j个约束条件类型为“≥” 第j个约束条件类型为“≤” 第j个约束条件类型为“=”
6 互补松弛性
20
1 单纯形法的矩阵描述
max z CX AX b
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对偶问题习题
● 证明题(选做)
1． 证明下面的线性规划问题要么无解，要么最优目标函数值为零，其中C 为n 维向量，b 为m 维向量，A 为m n ⨯矩阵。
min ..0,0yb cx
Ax b
s t yA c x y -≤⎧⎪
≥⎨⎪≥≥⎩
证明 把问题拆成两个问题
(A)
max ..0
z cx
Ax b s t x =≤⎧⎨≥⎩ 和 (B)
min ..0
w yb
yA c s t y =≥⎧⎨
≥⎩
显然两个问题为原问题和对偶问题，分四种情形讨论：
情形1 如果两个问题都有可行解，那么两个问题都有最优解，且最优目标函数值相等。
根据对偶理论，由于有cx yb ≤，因此0yb cx -≥。
而*
*
y b cx -=0，因而该情形下有解，且最优解为0。
情形2 如果问题A 有解但为无穷解，那么B 问题一定无解，也就是yA c ≥不成立，从而该情形下无解。
情形3 如果问题B 有解但为无穷解，那么A 问题一定无解，也就是Ax b ≤不成立，从而该情形下无解。
情形4 如果问题A 和问题B 均无解，那么Ax b ≤和yA c ≥都不成立，从而该情形下也无解。
综合上述，根据对偶理论只可能有如上情形，从而命题成立。
2． 设线性规划问题1是
1
1
max ..0(1)n
j j
j n
ij j
i j j
z c x a x b s t x j n 1== =⎧≤⎪⎨⎪≥≤≤⎩∑∑ 其中***
12(,,,)m y y y L 是其对偶问题的最优解。
又设线性规划问题2是
1
1
max ..0(1)n
j j
j n
ij j
i i j j
z c x a x b k s t x j n 2== =⎧≤+⎪⎨⎪≥≤≤⎩∑∑ 其中i k 是给定的常数，求证
*211
max()max()m
i i
i z z k y
=≤+∑
证明 问题1的对偶问题为
11221
min ...,1,2,...,..0m m
m
ij i j i i
w b y b y b y a y c j n
s t y = =+++⎧≥=⎪⎨⎪≥⎩∑
问题2的对偶问题为
1112221
min ()()...(),1,2,...,..0m m m
m
ij i j i i
w b k y b k y b k y a y c j n
s t y = =++++++⎧≥=⎪⎨⎪≥⎩∑
既然***
12(,,,)m y y y L 是问题1的对偶问题最优解，那么必有 ***
11122max()...m m z b y b y b y =+++
又由于***
12(,,,)m y y y L 是问题1的对偶问题的可行解，那么有
***
2111222******11221122***11122max()()()...() ...(...) max()(...)
m m m
m m m m m m z b k y b k y b k y b y b y b y k y k y k y z k y k y k y ≤++++++=+++++++=++++ 3． 设线性规划问题1是
1
1
min (1)..0(1)n
j j
j n
ij j
i j j
z c x a x b i m s t x j n 1== =⎧=≤≤⎪⎨⎪≥≤≤⎩∑∑ 又设线性规划问题2是
*
1
1
min ()(1,)..0(1)n
j k kj j
j n
ij j
i j j
z c y a x a x b i m i k s t x j n 2== =-⎧≤≤≤≠⎪⎨⎪≥≤≤⎩∑∑ 设***12(,,,)n x x x L 是线性规划问题1的最优解，***
12(,,,)m y y y L 为其对偶问题的最优解，请证明***12(,,,)n x x x L 也是问题2的最优解。
证明 问题1的对偶问题如下
1
1
max (1)..1m
i i
i m
ij i j
i i
w b y a y c j n s t y i n 1== =⎧≤≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩∑∑无约束, 问题2的对偶问题如下
111111*
11(1)1(1)1max ............(1)..1k k k k m m
j k j k k j k mj m j k kj i w y b y b y b y b a y a y a y a y c y a j n s t y i n 2--++--++ =+++++⎧+++++≤-≤≤⎪⎨
≤≤⎪⎩无约束,
既然***12(,,,)n x x x L 是线性规划问题1的最优解，***
12(,,,)m y y y L 为其对偶问题的最优解，
那么必有
********1112211221()()n n m m z c x c x c x b y b y b y w =+++=+++=L L
很容易验证***
12(,,,)n x x x L 是线性规划问题2的可行解。
下面验证****
111(,,,,)k k m y y y y -+L 是线性规划问题2的对偶问题的可行解。
如果对于任意的j 均能够证明下式的式(1)成立，那么即可证明****
111(,,,,)k k m y y y y -+L 是问题2的对偶问题的可行
解：
*****
1(1)1(1)1......j k k j k k j k mj k j k kj a y a y a y a y c y a --+-+++++ ≤- （1）
由于***12(,,,)m
y y y L 是问题1的对偶问题的最优解，因而总有
*1
(1)m
ij
i j i a
y c j n =≤≤≤∑成
立，也就是上面的式(1)成立，也就是****
111(,,,,)k k m y y y y -+L 是线性规划问题2的对偶问题的可
行解。
下面只需证明：
******
111222*
***1111
11
()()()()
k k k k n k kn n
k k k k m m
c y a x c y a x c y a x b y b y
b y
b y --++-+-++-=+++++L L L
就能够证明***
12(,,,)n x x x L 是线性规划问题2的最优解。
由于
******
111222*
******11221122 ()()()()()
k k k k n k kn n
n n k k k kn n
c y a x c y a x c y a x c x c x c x y a x a x a x -+-++-=+++-+++L L L
****111111****1122 ()k k k k m m
m m k k
b y b y b y b y b y b y b y b y
--+++++++=+++-L L L
根据线性规划问题1，***
1122k k kn n a x a x a x +++L =k b
又根据******
11221122()n n m m c x c x c x b y b y b y +++=+++L L ，从而
******
111222*
***1111
11
()()()()
k k k k n k kn n
k k k k m m
c y a x c y a x c y a x b y b y
b y
b y --++-+-++-=+++++L L L
成
立
，
命
题
得
证。