第二章对偶问题选做题答案

对偶问题习题

● 证明题(选做)

1． 证明下面的线性规划问题要么无解，要么最优目标函数值为零，其中C 为n 维向量，b 为m 维向量，A 为m n ⨯矩阵。

min ..0,0yb cx

Ax b

s t yA c x y -≤⎧⎪

≥⎨⎪≥≥⎩

证明 把问题拆成两个问题

(A)

max ..0

z cx

Ax b s t x =≤⎧⎨≥⎩ 和 (B)

min ..0

w yb

yA c s t y =≥⎧⎨

≥⎩

显然两个问题为原问题和对偶问题，分四种情形讨论：

情形1 如果两个问题都有可行解，那么两个问题都有最优解，且最优目标函数值相等。根据对偶理论，由于有cx yb ≤，因此0yb cx -≥。而*

*

y b cx -=0，因而该情形下有解，且最优解为0。

情形2 如果问题A 有解但为无穷解，那么B 问题一定无解，也就是yA c ≥不成立，从而该情形下无解。

情形3 如果问题B 有解但为无穷解，那么A 问题一定无解，也就是Ax b ≤不成立，从而该情形下无解。

情形4 如果问题A 和问题B 均无解，那么Ax b ≤和yA c ≥都不成立，从而该情形下也无解。

综合上述，根据对偶理论只可能有如上情形，从而命题成立。 2． 设线性规划问题1是

1

1

max ..0(1)n

j j

j n

ij j

i j j

z c x a x b s t x j n 1== =⎧≤⎪⎨⎪≥≤≤⎩∑∑ 其中***

12(,,,)m y y y L 是其对偶问题的最优解。

又设线性规划问题2是

1

1

max ..0(1)n

j j

j n

ij j

i i j j

z c x a x b k s t x j n 2== =⎧≤+⎪⎨⎪≥≤≤⎩∑∑ 其中i k 是给定的常数，求证

*211

max()max()m

i i

i z z k y

=≤+∑

证明 问题1的对偶问题为

11221

min ...,1,2,...,..0m m

m

ij i j i i

w b y b y b y a y c j n

s t y = =+++⎧≥=⎪⎨⎪≥⎩∑

问题2的对偶问题为

1112221

min ()()...(),1,2,...,..0m m m

m

ij i j i i

w b k y b k y b k y a y c j n

s t y = =++++++⎧≥=⎪⎨⎪≥⎩∑

既然***

12(,,,)m y y y L 是问题1的对偶问题最优解，那么必有 ***

11122max()...m m z b y b y b y =+++

又由于***

12(,,,)m y y y L 是问题1的对偶问题的可行解，那么有

***

2111222******11221122***11122max()()()...() ...(...) max()(...)

m m m

m m m m m m z b k y b k y b k y b y b y b y k y k y k y z k y k y k y ≤++++++=+++++++=++++ 3． 设线性规划问题1是

1

1

min (1)..0(1)n

j j

j n

ij j

i j j

z c x a x b i m s t x j n 1== =⎧=≤≤⎪⎨⎪≥≤≤⎩∑∑ 又设线性规划问题2是

*

1

1

min ()(1,)..0(1)n

j k kj j

j n

ij j

i j j

z c y a x a x b i m i k s t x j n 2== =-⎧≤≤≤≠⎪⎨⎪≥≤≤⎩∑∑ 设***12(,,,)n x x x L 是线性规划问题1的最优解，***

12(,,,)m y y y L 为其对偶问题的最优解，请证明***12(,,,)n x x x L 也是问题2的最优解。

证明 问题1的对偶问题如下

1

1

max (1)..1m

i i

i m

ij i j

i i

w b y a y c j n s t y i n 1== =⎧≤≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩∑∑无约束, 问题2的对偶问题如下

111111*

11(1)1(1)1max ............(1)..1k k k k m m

j k j k k j k mj m j k kj i w y b y b y b y b a y a y a y a y c y a j n s t y i n 2--++--++ =+++++⎧+++++≤-≤≤⎪⎨

≤≤⎪⎩无约束,

既然***12(,,,)n x x x L 是线性规划问题1的最优解，***

12(,,,)m y y y L 为其对偶问题的最优解，

那么必有

********1112211221()()n n m m z c x c x c x b y b y b y w =+++=+++=L L

很容易验证***

12(,,,)n x x x L 是线性规划问题2的可行解。

下面验证****

111(,,,,)k k m y y y y -+L 是线性规划问题2的对偶问题的可行解。如果对于任意的j 均能够证明下式的式(1)成立，那么即可证明****

111(,,,,)k k m y y y y -+L 是问题2的对偶问题的可行

解：

*****

1(1)1(1)1......j k k j k k j k mj k j k kj a y a y a y a y c y a --+-+++++ ≤- （1）

由于***12(,,,)m

y y y L 是问题1的对偶问题的最优解，因而总有

*1

(1)m

ij

i j i a

y c j n =≤≤≤∑成

立，也就是上面的式(1)成立，也就是****

111(,,,,)k k m y y y y -+L 是线性规划问题2的对偶问题的可

行解。

下面只需证明：

******

111222*

***1111

11

()()()()

k k k k n k kn n

k k k k m m

c y a x c y a x c y a x b y b y

b y

b y --++-+-++-=+++++L L L