微积分曹定华课后题答案第二章习题详解

第二章

习题2-1

1、 试利用本节定义5后面的注(3)证明:若lim n →∞

x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞

x n +k =a 、

证:由lim n n x a →∞

=,知0ε∀>,1N ∃,当1n N >时,有

n x a ε-<

取1N N k =-,有0ε∀>,N ∃,设n N >时(此时1n k N +>)有

n k x a ε+-<

由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞

=、

2、 试利用不等式A B A B -≤-说明:若lim n →∞

x n =a ,则lim n →∞

∣x n ∣=|a|、考察数列

x n =(-1)n ,说明上述结论反之不成立、

证:

lim 0,,.

使当时，有n x n x a

N n N x a εε→∞

=∴∀>∃>-

而 n n x a x a -≤- 于就是0ε∀>,,使当时，有N n N ∃>

n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<

由数列极限的定义得 lim n n x a →∞

=

考察数列 (1)n

n x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞

=,

所以前面所证结论反之不成立。

3、 利用夹逼定理证明:

(1) lim n →∞2221

11(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭

L =0; (2) lim n →∞2!n n =0、 证:(1)因为

222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n

++≤+++≤≤=+L 而且 21lim

0n n →∞=,

2lim 0n n

→∞=, 所以由夹逼定理,得

222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝

⎭L 、 (2)因为22222240!1231n n n n n

<

=<-g g g L g g ,而且4lim 0n n →∞=, 所以,由夹逼定理得

2lim 0!

n

n n →∞= 4、 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在、 (1) x n =

1

1

n

e +,n =1,2,…;

(2) x 1,x n +1n =1,2,…、 证:(1)略。

(2)因为12x =,不妨设2k x <,则

12k x +=<=

故有对于任意正整数n ,有2n x <,即数列{}n x 有上界,

又 1n n x x +-=

,而0n x >,2n x <,

所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>, 即数列就是单调递增数列。

综上所述,数列{}n x 就是单调递增有上界的数列,故其极限存在。

习题2-2

1※

、 证明:0

lim x x →f (x )=a 的充要条件就是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a 、

证:先证充分性:即证若0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+

→→==,则0

lim ()x x f x a →=、 由0

lim ()x x f x a -→=及0

lim ()x x f x a +

→=知: 10,0εδ∀>∃>,当010x x δ<-<时,有()f x a ε-<,

20δ∃>当020x x δ<-<时,有()f x a ε-<。

取{}12min ,δδδ=,则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就就是00x x δ<-<,

于就是0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 所以 0

lim ()x x f x a →=、

再证必要性:即若0

lim ()x x f x a →=,则0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+

→→==, 由0

lim ()x x f x a →=知,0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<,

由00x x δ<-<就就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<,于就是0,0εδ∀>∃>,当

00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<、

所以 0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+

→→== 综上所述,0

lim x x →f (x )=a 的充要条件就是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a 、

2、 (1) 利用极限的几何意义确定0

lim x → (x 2+a ),与0

lim x -

→1

e x

; (2) 设f (x )= 1

2

e ,0,,0,x

x x a x ⎧⎪<⎨⎪+≥⎩

,问常数a 为何值时,0lim x →f (x )存在、

解:(1)因为x 无限接近于0时,2x a +的值无限接近于a ,故2

lim()x x a a →+=、

当x 从小于0的方向无限接近于0时,1

e x 的值无限接近于0,故10

lim e 0x

x -

→=、 (2)若0

lim ()x f x →存在,则00

lim ()lim ()x x f x f x +-

→→=, 由(1)知 2

2

lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--

→→→=+=+=, 1

lim ()lim e 0x

x x f x --

→→== 所以,当0a =时,0

lim ()x f x →存在。

3、 利用极限的几何意义说明lim x →+∞

sin x 不存在、

解:因为当x →+∞时,sin x 的值在-1与1之间来回振摆动,即sin x 不无限接近某一定直线y A =,亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线,所以lim sin x x →+∞

不存在。

习题2-3

1、 举例说明:在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定就是无穷小量,也不一定就是无穷大量、

解:例1:当0x →时,tan ,sin x x 都就是无穷小量,但由sin cos tan x

x x

=(当0x →时,cos 1x →)不就是无穷大量,也不就是无穷小量。