第一章 矢量分析总结
第1章(矢量分析)
矢量分析与张量初步第一章矢量分析U STU STU ST标量（数量）：有大小，没方向的物理量。
矢量：既具有大小又具有方向的物理量，矢量又称为向量。
矢量与标量的根本区别是：有没有方向性。
如：温度、质量、角度、长度等。
如：力、速度、电场强度、力矩等。
矢量的模：矢量的大小。
矢量的模记为：或。
A K A ||A KU STU STU ST自由矢量：矢量平移后，其作用效果不变。
即自由矢量就是具有平移不变性的矢量。
FK 只考虑刚体的质心运动，作用力可以平移。
能不能平移？下面只讨论自由矢量。
如果要考虑刚体的转动，则作用力不能平移。
U STU STU ST始端在坐标原点的矢量常称为矢径，显然矢径的末端与直角坐标系中的三个坐标分量之间具有一一对应的关系，则矢径可用其末端的空间坐标来表示：①在直角坐标中的表示对矢量，始端平移到坐标原点，表示为：A Kr xi yj zk=++KK K K、、：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。
i K j K k K x y z A A i A j A k=++K K K KU STU STU ST其中：为矢量的模，为指向矢量方向上的单位矢量。
R A A e A 三个：、和。
R βαcos cos cos A e i j kαβγ=++K K K KAKRxy zO因为222cos cos cos 1αβγ++=的直角坐标表示为A e K有几个独立坐标量？A Kr e =KU STU STU STOxe ρρK zA kK A K cos sin e i j ρϕϕ=+K K K三个：、和。
ρϕz 的直角坐标表示为e ρK在矢量的球坐标及柱坐标表示中，只要分别把单位矢量和的直角坐标表示代入，即得到矢量的直角坐标表示。
e ρKr e K 有几个独立坐标量？A K第一章矢量分析U STU ST U ST U STU STcos xA Aα=cos yA Aβ=cos zA A γ=(cos cos cos )A A i j k αβγ=++K K K K④方向余弦表示：设矢量与直角坐标三个坐标轴正向的夹角分别为、和，则：αγβA K用方向余弦（）表示矢量：A Kcos ,cos ,cos αβγcos x A A α=这实际上就是直角坐标表示，因为：cos y A A β=cos z A A γ=U STU STU ST不能按大小排列）。
第1章矢量分析
第1章 矢量分析§1.1 标量场与矢量场一、场的概念如果某物理量在空间每一时刻和每一位置都有一个确定的值，则称在此空间中确定了该物理量的场。
二、标量场与矢量场标量场：若所研究的物理量是一个标量，则称该物理量的场为标量场，例如：温度场、密度场、电位场。
),(t r u u =矢量场：若所研究的物理量是一个矢量，则称该物理量的场为矢量场，例如：力场、速度场、电场。
),(t r A A =三、静态场和时变场静态场：若物理量不随时间变化，则称该物理量所确定的场为静态场。
)(r u u =)(r A A =时变场：若物理量随时间变化，则称该物理量所确定的场称为动态场或时变场。
),(t r u u=),(t r A A =标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律由矢量场的散度和旋度来描述。
§1.2 矢量场的通量 散度一、矢量线 矢量场的通量 1、矢量线(1)矢量场的表示在矢量场中，各点的场量是随空间位置变化的矢量。
矢量场可以用一个矢量函数)(r A来表示。
在直角坐标系中表示为：),,()(z y x A r A=(2)矢量线在矢量场中，为了形象直观地描述矢量在空间的分布状况，引入了矢量线的概念。
矢量线：是一条空间曲线，在它上面每一点的场矢量都与其相切，并且用箭头来表示矢量线的正方向。
例如，静电场中的电力线、磁场中的磁力线等。
(3)矢量线方程0)(=⨯r A r d在直角坐标系下为：)()()(r A dzr A dy r A dx z y x == 2、矢量场的通量 通过面积元的通量：S d r A d⋅=Φ)(通过有限面积的通量：⎰⋅=ΦSS d r A)(通过闭合曲面的通量：⎰⋅=ΦS S d r A)(二、矢量场的散度 1、散度的定义在矢量场)(r A中的任意一点M 处作一个包围该点的任意闭合曲面S ，所限定的体积为τ∆。
矢量场)(r A 在点M 处的散度记作A div，其定义为：ττ∆⋅=⎰→∆SS d r A A div)(lim 0 2、散度在坐标系下的表示A A div ⋅∇=定义哈密顿算符：ze y e x e z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇(1)在直角坐标系中的表示zu y u x u A ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇(2)在圆柱坐标系中的表示()zA A A A z ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φρρρρφρ11 (3)在球坐标系中的表示()()φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r r r A r sin 1sin sin 11223、散度的性质(1)散度是通量源的密度；0>⋅∇A表示该点有发出通量线的正通量源； 0<⋅∇A表示该点有接收通量线的负通量源；0=⋅∇A表示该点无通量源。
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
矢量分析总结
第1章 矢量分析 在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A)(t（1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成 A {})(),(),()(t A t A t A t z y x =（1.1.2）其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
愿点O 也称为矢端曲线的极。
由于终点为),,(z y x M 的矢量OM 对于原点O 的矢径为zk yj xi r ++==当把A )(t 的起点取在坐标原点时，A )(t 实际上就成为其终点),,(z y x M 的矢径，因此)(t A 的三个坐标)(),(),(t A t A t A z y x 就对应地等于其终点M 的三个坐标z y x ,,，即)(),(),(t A z t A y t A x z y x ===（1.1.3）此式就是曲线l 的参数方程。
第1章 矢量分析
第一章 矢量分析
矢量的直角坐标分量表示
r v v v A= A ex + A ey + A ez x y z
s A = Aco α x s A = Aco β y A = Aco γ s z
2 A = Ax2 + Ay + Az2
z
A z
r A
A y
A x
y
r v A= A A e
x
v v v v eA = ex cosα +ey cos β +ez cosγ
r r r eρ × eφ = ez r r r eφ × e z = e ρ r r r e z × e ρ = eφ
2 2
x = ρ cos φ y = ρ sin φ z=z
ρ = x + y ， φ = y/ x tan
第一章 矢量分析
位置矢量
v r r r 线元矢量 dl = eρ dρ + eφ ρ dφ + ez dz
第一章 矢量分析
2、矢量的加减运算
v A
v B
直角坐标系下：
v v A+B
v v A− B
v −B
v A
v v A− B
v B
v v v v v v C = A + B = ( Ax + Bx )i + ( Ay + By ) j + ( Az + Bz )k
v v v v v v C = A − B = ( Ax − Bx )i + ( Ay − By ) j + ( Az − Bz )k
性质：
r B
AB sin θ
v v v v A× B = −B × A v v v v A × B = 0 ⇔ A // B
第1章 矢量分析
§1 .1 矢量及其代数运算
2 矢量代数运算
矢量相加的平行四边形法则，矢量的加法的坐标分 量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍 是矢量 ��
�� � �� � �� � A = ex A x + ey A y + ez A z
� � �� � �� � �� � B = e x Bx + e y B y + e z Bz
� � A = Ae
� � � 其中， A是矢量 A的大小; e 代表矢量 A 的方向。 � � e = A / A 大小等于1。
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢 （Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量 （Unit Vector）。 在直角坐标系中，用单位矢量 ex、 ey 、 ez 表征矢量分 别沿x、y、z轴分量的方向。
r
r=exX+eyY+ezZ
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。
任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分 量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别 是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ex、ey、ez可以将矢 量A表示成：
A=exAx+eyAy+ezAz
§1 .2 标量场的梯度
5 梯度的性质
4）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
§1 .2 标量场的梯度
6 梯度运算的基本公式
⎧ ⎪ ⎪∇ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎨∇ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎩
第1章 矢量分析
第1章 矢量分析
1
1.1 标量场和矢量场
1.2 坐标系的转换
1.3 矢量运算 1.4 标量场的梯度
1.5 亥姆霍兹定理
2
1.1.1 相关定义
标量(scalar):只具有数值大小，而没有方向 的物理量。如质量、密度、温度、功、能量、 速率、时间、热量、电阻等物理量。这些量之 间的运算遵循一般的代数法则。
12
1.2.2 圆柱坐标系
圆柱系中： dS = a dS+ adS + azdSz dS= d dz， dS =ddz，dSz=dd dS、dS 、dSz分别是dS 在圆柱侧面（ 面）、过轴线 的半平面（面）和xOy面(z 面)上的投影。
z
az d d P a a y
长旋转椭球、扁旋转椭球、椭球、双球、 圆锥、环
6
1.2.1 正交曲线坐标系简介
坐标线（轴）：三张曲面两两正交相交而成的曲线 坐标原点（基准点）：三条坐标线的交点 坐标单位矢量：空间任一点与坐标线相切且指向 变量增加方向的三个单位矢量，用a1、a2、a3表示 坐标变量：三个独立的自由度，用e1、e2、e3表示 位矢：坐标原点到空间任一点的矢量。 e1、e2、e3呈右手螺旋关系——右手系
两个矢量的叉乘满足： （1） A×B = -B×A A×(B+C) = A×B + A×C （2） A×A = 0 推论：A×B = 0 A ∥ B
32
1.3.3 矢量的积分运算
在直角坐标系中，路径长度微分元，曲 面积微分元和体积微分元为：
d l d xa x d ya y d za z d s dy d za x dzdxa y dxdya z dv d xdy d z
矢量分析报告
第一章 矢量分析
静电场的基本方程是
(1-52) 对于各向同性的媒质, 电通量密度和电场强度的关系为
D=εE, 因而式(1-52)可改写为
假设在无限空间中有两个矢量函数F和G，它们具有相同的散 度和旋度。但这两个矢量函数不等，可令
第一章 矢量分析
由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度, 根据矢量场由其 散度和旋度唯一确定, 那么矢量g应该为零矢量, 也就是矢量 F 与矢量G是同一个矢量。
因为▽·F= ▽ ·G, 所 以
同样由于▽ ×G= ▽ ×F, 所 以
拉普拉斯微分算子▽ 2的表示式为
第一章 矢量分析
例1-14 在一对相距为l的点电荷+q和-q的静电场中, 当距 r>>l离时, 其空间电位的表达式 为
求其电场强度E(r, θ, φ)。 解: 在球面坐标系中，哈密顿微分算子▽的表达式为
第一章 矢量分析
因为
第一章 矢量分析
1.6 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理的简单表达是: 若矢量场F在无限空间中处处单 值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场 由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度 和一个矢量函数的旋度之和， 即
图 1-6 例 1-11 图
第一章 矢量分析
解: 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。
第一章 矢量分析
例1-12 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点 M(1，0 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
解: 矢量场A的旋度
第1章-矢量分析
。
类似的，场点 P 的坐标为（x，y，z）,其位置矢量为 ，其模为 。 位置矢量描述的是空间一点相对于坐标原点的位置关 系，而空间任意两点之间的位置关系可用相对位置矢量来 描述。如图 1.3 所示， R 是以 P 为起点, P 为终点的空间矢 量，其模表示 P 相对于 P 的距离，其方向表示 P 点相对于 P 点所处的方位，类比于位置矢量,称 R 为 P 相对于 P 的相对 位置矢量，显然有 R ( x x )ex ( y y )e y ( z z )ez ，类似的， 也可以有 P 相对于 P 的相对位置矢量 R ，而且有 R R 。
x
y
z
坐标向量)，其中 A ，A ，A 为矢量 A 在三个坐标轴上的分量。 若无特殊说明，三个分量都是单值、连续，且存在一阶连 续偏导数。设 M 为矢量线上任意点，其矢径为：
y
z
OM r xex ye y zez
该矢径的微分为：
（1-4）
（1-5） 由导数矢量的几何意义知，dr 为矢量线在 M 点处的切线矢 量，由矢量线的定义， dr 与在 M 点处的场矢量 A A , A , A 相
z
z z0 平面
ez ey
M
ex
x x0 平面
y
y y0 平面
x
图 1.5 直角坐标系
在直角坐标系中的三个坐标变量分别是 x，y，z，它 们的变化范围分别是：
x ， y ， z
0
0
(1-21)
若空间中任一点 M 的在三个坐标轴上的坐标分量确 定，假设为（ x ， y0 ， z0 ）,则点 M 即是 x x 平面、 y y 平面
第一章 矢量分析重点内容总结资料
Bx By Bz
若
A
A
BB，则B
A
A
ห้องสมุดไป่ตู้ B
AB
若 A // B ，则 A B 0
A B
B
AB sin
A
矢量A 与B 的叉积
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3
（5）矢量的混合运算
A(B C) B (C A) C (A B) —— 标量三重积
A (B C) (AC)B (A B)C
dS
en ——面积元的法向单位矢量；
面积元矢量
dψ F endS ——穿过面积元 dS 的通量；
如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向
外，矢量场对闭合曲面的通量是：
F dS
S
S F endS
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
13
通量的物理意义 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果
2(x x)ex (x x)2 ( y y)2 (z z)2
2( y y)ey
2(z z)ez
R
2 (x x)2 ( y y)2 (z z)2 2 (x x)2 ( y y)2 (z z)2 R
1 R
ex
x
(1) R
ey
y
(1) R
ez
z
(1) R
0
直角坐标与 球坐标系
ex
ey
ez
er sin cos sin sin cos
e cos sin cos sin sin
e sin
cos
0
y
e
6
ey
e
ex
o
单位圆
x
第一章矢量分析(lsf)
体积元
dV r 2sin drd d
球坐标系中的线元、面元和体积元
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
说明：球面坐标系下矢量运算：
A er Ar e A e A
B er Br e B e B
加减： A B er ( Ar Br ) e ( A B ) e ( A B ) 标积： AB (er Ar e A e A )(er Br e B e B )
坐标变量
, , z
坐标单位矢量 e , e , ez r e ez z 位置矢量 线元矢量 dr e d e d ez dz
面元矢量
dS e dl dlz e d dz dS e dl dlz e d dz dS z ez dl dl ez d d
dS z ez dlx dl y ez dxdy dS x ex dl y dlz ex dydz
y y y0（平面）
x
x x0 （平面）
直角坐标系
z
dz
dS z ez dxdy
面元矢量
dS y ey dxdz
o
x
dx d y dSx exdydz
A B e 矢积： A B A A B Az Bz e ez A Az e ( A Bz Az B ) e ( Az B A Bz )
B
B
Bz
ez ( A B A B )
电磁场与电磁波
不随位置坐标而改变。 随着位置坐标的改变而改变。
01 第一章 矢量分析
⑴极限：设 F (t ) 在点 t 0 的某个邻域内有定义（但在 t 0 点
则称，当 t t0
⑵连续：若矢性函数 F (t )在点 t 0 的某个邻域内有定义，且 lim F t F t0 t t0 则称F (t ) 在 t t0 处连续。
(x)
ui
2
(
2 y 2 ) ( z ) ui ui
4、拉梅系数的几何意义
u i 线上的弧微分
x 2 y 2 z 2 dli ( ) ( ) ( ) dui hi dui ui ui ui
dli hi dui
表明：拉梅系数hi是M点处曲线坐标ui的微分dui与该坐标线ui 上弧微分的比例系数。
r(M )
hi
根据全微分运算法则
r r r dl d r du1 du 2 du3 u1 u2 u3
y 矢量线元
引入拉梅系数,矢量线元表示为
图1－7
dl h1du1e1 h2 du2 e2 h3 du3e3 dl1e1 dl2 e2 dl3 e3
2、拉梅系数
空间任意一点 M (u1 , u 2 , u 3 ) ，矢径
若M点在 u1 线上，则矢径 于是，单位矢量表示为
r e1 u1 r u1
r r (u1 , u 2 , u3 )
r (u1 , u 2 c2 , u3 c3 )
M
F (t )
说明：矢径函数对其矢端曲线弧长的导数为曲线上的单位矢量。
3、积分
⑴不定积分：若 A(t ) F (t ) ，则称 A(t )为 F (t )的一个原函数， F (t ) 的原函数的集合叫做的F (t ) 不定积分，记作 )d t A(t ) C F (t ⑵定积分：若矢性函数 F (t ) 在区间 [T1 , T2 ]上的极限
第一章：矢量分析思维导图
第一章:矢量分析1.1矢量代数矢量和标量标量矢量矢量的加法、减法、矢量混合积、点乘、叉乘的运算加法定义计算式几何意义平行四边形法则减法定义：计算式几何意义三角形法则矢量混合积计算方法：先算叉乘，再算点乘结果：标量重要矢量恒等式：A×B·C=B×A·C=C×A·B几何意义：斜立方体的体积，叉乘大小表示底面积，点乘朝叉乘方向投影是高度点乘定义计算式几何意义叉乘定义计算式几何意义1.2三种常用的坐标系直角坐标系一、圆柱坐标系二、球坐标系三、点，线、面、体、算符、应用1.3标量场的梯度标量场的等值面一、定义：标量场仅有大小，具有相同函数数值的点的集合，这些点组成一个曲面，该曲面称为等值面。
方程：T=T(X,Y,Z,T)=C方向导数二、定义式计算式直角坐标系梯度三、计算式直角坐标系圆柱坐标系球坐标系计算法则：按求导记忆概要1.4矢量场的通量与散度矢量场的矢量线一、定义：矢量场不仅有大小也具有方向，一般用一些有向线来形象地表示他的空间分布，这些有向称为矢量线。
方程：A=A(X,Y,Z,T)=Ax+A y+A z通量二、定义：开曲面闭曲面散度三、定义计算方法直角坐标系圆柱坐标系球坐标系散度（高斯定理）概要1.5矢量场的环量（流）与旋度环量（流）一、旋度二、计算式直角坐标系圆柱坐标系球坐标系斯托克斯定理（旋度定理）三、概要1.6无旋场与无散场无旋场一、无散场二、1.7拉普拉斯运算与格林公式拉普拉斯运算一、格林定理二、1.8亥姆霍兹定理力的解矢量场分析方程的建立。
第1章矢量分析
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)
矢量分析的知识点总结
矢量分析的知识点总结一、矢量的定义和表示1.1 矢量的定义矢量是指在空间中具有大小和方向的量，它可以用来表示物理量的大小和方向，如力、速度等。
矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
1.2 矢量的表示矢量可以用不同的方式表示，常见的表示方法有坐标表示和分量表示。
坐标表示是指用矢量所在空间的坐标系来表示矢量，分量表示是指将矢量在坐标系中的投影表示为一组数值。
1.3 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘等。
加法和减法的运算结果是一个新的矢量，数量乘法是指将矢量的长度进行缩放，点乘是指将两个矢量的长度和夹角进行运算得到一个标量。
二、矢量的微积分2.1 矢量的导数矢量的导数是指对矢量的每个分量分别求导，得到的是一个新的矢量。
矢量的导数在物理学中有着广泛的应用，如速度、加速度等物理量都可以用矢量的导数来表示。
2.2 矢量场矢量场是指在空间中的每个点都有一个矢量与之对应的场，它可以用来描述流体的速度场、电场、磁场等。
矢量场的微积分可以用来研究矢量场的性质和行为。
2.3 曲线积分曲线积分是指对沿着曲线的矢量场进行积分，得到的是一个标量。
曲线积分在物理学中有着重要的应用，如对力沿着曲线的功的计算等。
2.4 曲面积分曲面积分是指对矢量场在曲面上的投影进行积分，得到的是一个标量。
曲面积分在物理学中也有着广泛的应用，如对电场在闭合曲面上的通量计算等。
三、矢量分析的应用3.1 物理学中的应用矢量分析在物理学中有着广泛的应用，如在力学中用于描述力、速度、加速度等物理量；在电磁学中用于描述电场、磁场等物理量。
3.2 工程学中的应用矢量分析在工程学中也有很多应用，如在流体力学中用于描述流体的速度场、压力场等；在航空航天工程中用于描述飞行器的运动状态、姿态等。
3.3 计算机科学中的应用矢量分析在计算机科学中也有着重要的应用，如在图形学中用于描述图像的旋转、平移等运动；在机器学习中用于描述数据的特征、相似度等。
第一章 矢量分析重点内容总结
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
7
4、柱坐标和球坐标系与直角坐标系的关系
柱坐标与直角坐标微分关系
e ex sin ey cos e
e ex cos ey sin e
球坐标与直角坐标微分关系
R R R 2( x x)ex R e x ey ez x y z 2 ( x x) 2 ( y y) 2 ( z z ) 2 2( y y)e y 2( z z )ez R 2 2 2 2 2 2 R 2 ( x x) ( y y) ( z z ) 2 ( x x) ( y y) ( z z )
矢量 A与 B 的夹角
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2
（2）矢量的矢积（叉积）
数值大小： A B en AB sin 方向：右手螺旋法则
用坐标分量表示为 A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
0
有净的矢 量线进入
0
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 量与曲面内产生矢量场的源的关系。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
14
3、矢量场的散度 F
为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小 体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利 用极限方法得到这一关系：
3）当矢量场的方向为圆球面的法向或切向时，用圆球坐标表 示不但形式简单，而且形象，更易理解。
电磁场与电磁波第1章矢量分析
例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：
（1） 该矢量场的旋度;
（2） 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分， 如图所 示， 验证斯托克斯定理。
y B
r＝ 3
O
Ax
四分之一圆盘
第 7、8 学时 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度
一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标 系中， 可将u表示为
lim l A dl
SP S
称固定矢量R为矢量A的 旋度，记作
rotA=R
上式为旋度矢量在n方 向的投影，如图所示， 即
A dl
lim l
SP S
rotn A
ro tA
n
旋涡面
P l
旋度及其投影
矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为
rotA
ax
Az y
Ay z
a
y
Ax z
Az x
z
l
式 中 ， 当 Δl→0 时 δ→0 。 将 上 式 两 边 同 除 以 Δl 并 取 极限得到方向导数的计算公式：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.4.4 标量场的梯度
1. 梯度的定义
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的 变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不 同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，
▽ ·(▽ ×A)≡0
即如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可 以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 ▽ ·B=0 则有
第1章、矢量分析
将上式综合起来，写成简明矩阵形式为
Ax c o s A sin y Az 0 sin cos 0 0 0 1 A A Az
例1-2写出空间任一点在直角坐标系下的位置矢量 表达式，然后将此位置矢量转换成在柱坐标系和球 坐标系下的矢量。 解在空间任一点
Fz 0 dz
推出
，即为矢量线的微分方程，据此可绘 出相应的矢量线。
例：设点电荷 q 位于坐标原点，它在周围空间的任一 点 M ( x , y , z ) 所产生的电场强度
4 0 r r ex x ey y ez z
求其矢量线方程的通解。
E
q
3
r
于是，位置矢量在柱坐标系下得表达式为
A e ze z
同理可得，在球坐标系下得位置矢量表达式为
A rer
可见，位置矢量在不同坐标系下得表达式是不同的。
例1-3试判断下列矢量场 E 是否是均匀矢量场： （1）柱坐标系中 E = E 1 sin e E 1 cos e E 2 e z ,其中 E 1 , E 2 都是常数。
x
x
z
z
2
2
1.1.3 三种坐标系的坐标单位矢量之间的关系 1.直角坐标系与柱坐标系的关系
e cos e sin ez 0 sin cos 0 0 0 1 ex e y ez
o z y x
面积元:
ds r dl dl r sin d d
2
ds dl r dl r sin drd
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析§1 场的概念 一. 矢量与标量1.概念标量 实数域内只有大小的量。
如：电压、温度、时间、电荷等。
矢量 实数域内既有大小又有方向的量，且加法运算遵循平行四边形法则。
如：力F 、电场强度E 、磁场强度H、速度等。
常矢：矢量的模和方向都不变。
如：x e 、y e 、z e。
变矢：模和方向或两者之一变化的矢量(在实际问题中遇到的更多)。
如：r e 、θe 、ϕe 、ρe。
物理量 标量或矢量被赋予物理单位，成为有物理意义的量。
2.矢量的表示印刷 黑体 A ；A(白体)表示A的模。
手写 模和方向均表示出。
表示A 的方向(模为1)。
A 表示矢量A 的模。
▪ 零矢（空矢）：模为零的矢量。
0▪单位矢量：模为1的矢量。
如直角坐标系坐标轴方向x e 、y e 、z e （参考书）。
也有用x a、y a 、z a或i 、j 、k 或 x ˆ、y ˆ、z ˆ 等表示。
若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，一个矢量就确定了。
如直角坐标系中，矢量A的三个分量模值分别是A x , A y , A z ，则直角坐标系： A的模为 A的单位矢量为判断以下手写表示是否正确：（矢量≠标量） （标量≠矢量） ☹ 常见手写表示错误： Aa A 0=A A a=0zz y y x x A e A e A e A ++=222z y x A A A A ++=γβcos cos cos ˆ0z y x zz y y x x A e e a e A A e A A e A A e A A a A++=++===5=E 5x e E=5x e E =765zy x e e e E ++= 765z y x e e e E++=二. 矢量的代数运算1.矢量的加减法2.矢量的乘法a.标量积(点乘) 结果为标量！b.矢量积(叉乘) 结果为矢量！直角坐标系：∙ 点乘 垂直 平行点乘符合交换律： ∙ 叉乘平行 垂直注意：z x y e e e-=⨯ 叉乘不符合交换律： 三.矢量场与标量场1.场在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。
矢量分析
4°
lim
t → t0 →
[ A （t）× B （t）]=
→
lim A （t）× lim B （t）
t → t0 t → t0
5°若 A （t）= Ax（t）
→
i
+Ay（t）
j
→
+Az（t）
→
k ，则
→
lim A （t）= lim Ax（t） i + lim Ay（t）
t → t0 t → t0 t → t0
第一章 矢量分析
矢量分析，是矢量代数的继续，也是场论的基础知识，同时它还是研究其他许多学科的有用 工具。 本章主要介绍矢性函数及其微分，积分。
第一节 矢性函数
1 矢量函数的定义 常矢： 模和方向都保持不变的矢量。 局限性：不能刻划所有矢量 变矢：模和方向或其中之一会改变的矢量 例：质点 M 沿曲线 l 运动时，其速度矢量 V 在运动过程中就是一个变矢 V2
o
y
注： 矢径
→
r
= OM =x
i
+y
j
+z
k
， 因此， 若矢性函数 A（t） 的起点取在坐标原点， 则 A（t）
→
= OM ，而 A （t）={ Ax（t） ，Ay（t） ，Az（t）}， OM ={x，y，z}， 从而
⎧ x = Ax (t ) ⎪ ⎨ y = Ay(t) ……矢端曲线 L 的以 t 为参数的参数方程 ⎪ z = Az(t) ⎩
3 矢性函数的微分 ，称 △定义：设有矢性函数 A = A （t） 为矢性函数 A （t）在 t 处的微分
→ → → →
d A = A ˊ（t）dt
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结
电子科技大学编写
论……
高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
2u 2u 2u = 2 2 2 2u x y z
电子科技大学编写 高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3
2.主要技术
微分规律 (微观) 积分规律 (宏观)
•散度定理
•旋度定理
v
F (r ) dv
s
F (r ) d s
无散场
2. 矢量场的结构 • 无旋场（ F l (r ) 0 ）
F l (r ) u (r )
在关心的区域中即 无旋又无散的场, 该场为零场码?
u (r ) 0
好处？
• 无散场（ F c (r ) 0 ）
F c (r ) A(r )
A(r ) 0
第1章 矢量分析
2
二. 研究的手段 1.核心思想 围绕一个算符求三个度，分析对象的分布规律
针对标量场 针对矢量场
分析矢量的方法
•几何图象（定性） •解析分析（定量）
u ( r )
F (r ) ;
F (r )
要求充分掌握 矢性微分运算的特征 如：
u ( u u u ex e y ez ) ( ex e y ez ) x y z x y z
s
F (r ) d s
F (r ) dl
l
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高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
4
三. 结论和规律 1.矢量场的构成
F (r ) F l (r ) F c (r ) u (r ) A(r )
无旋场
好处？
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高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
5
3.矢量场的解
F (r ) u (r ) A(r )
其中：
2u (r ) F (r )
方程的解：
A(r ) F (r )
1 F (r ) 1 F (r ) dS u (r ) dV V S 4π r r 4π r r 1 F (r ) 1 F (r ) dS A(r ) dV V S 4π r r 4π r r
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1
总
一. 研究的对象 1.类型 标量
如某个位置的 电位
结
矢量
电场
张量
u
2. 关心的核心问题
E
场：空间分布的规律
标量场
如某区域的 电位分布
矢量场
电场分布
（标量函数） （矢量函数）
u (r )
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E (r )
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