函数的概念与基本初等函数

函数的概念与基本初等函数

1. 函数的有关概念

1) 函数的定义：A,B 为两个非空数集，存在某种对应关系f ,使结合A 中的任意一个

数x ，在集合B 中都有唯一确定的数，就称:f A B →为集合A 到B 的一个函数（映射）；

(),y f x x A =∈

2) 函数的表示法：解析法，图想法，列表发。

3) 分段函数：定义域在不同子集上，对应关系不同，要用不同的式子来表示的函数。 4) 复合函数：[()]y f g x =，注意()g x 的值域是()f x 的定义域。

求函数解析式的常用方法：配凑法，待定系数法，换元法，构造法。

例1.已知21

1,0

()2(1),0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩使()1f x ≥-成立的x 的取值范围是_______

解析：由题意知2

0111(1)12

x x x x ≤⎧>⎧⎪

⎨⎨+≥---≥-⎩⎪⎩或，解得[4,2]- 例2.已知()f x 是一次函数，且3(1)()29f x f x x +-=+，则函数()f x 的解析式为

__________

解析：令()f x ax b =+，代入到条件当中得出关于a,b 的联立方程，得a=1,b=3

例3.已知1()2()3f x f x x

+=，则()f x 的解析式为__________ 解析：用1x 替换x 得13()2()f f x x x +=，由条件联立得到2()f x x x

=-

2. 函数的基本性质

（1）单调性：增函数，减函数

➢ 复合函数的单调性：同增异减。

（2）奇偶性:偶函数；()()f x f x -=图像关于y 轴对称

寄函数；()()f x f x -=-图像关于原点对称

（3）周期性非零常数T 满足()()f x T f x +=，就称函数()f x 是周期为T 的函数

例1. 2243,0

()23,0

x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，不等式()(2)f x a f a x +>-在[,1]a a +上恒成立，

则实数a 的取值范围是_________

解析：函数()f x 在两个区间都是减函数，又在R 上连续，所以2x a a x +<- 20x a -<，又2y x a =-在[,1]a a +上位增函数，所以只要

max 2(1)0y a a =+-<，故a<-2

例2.函数(),()f x g x 分别是偶函数，寄函数，且3

2

()()1f x g x x x -=++，则 (1)(1)f g +=________

解析：由题得3

2

()()()()1f x g x f x g x x x ---=+=-++，所以(1)(1)1f g +=

例3. ()f x 是寄函数，(1)2f =，且x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+，则

(667)f =_________

解析：令3x =-得(3)(3)(3)f f f =-+，即(3)0f -=，又()f x 是寄函数 所以(3)0f =，(6)()f x f x +=，则(61111)(1)2f f ⨯+==

3. 二次函数与幂函数

幂函数 （二次函数省略… …） （1）定义；形如a

y x =

（2）常见的木函数；1

2

3

1

2

,,,,y x y x y x y x y x -=====

例.32

,2

()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩

若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实数根，则k 的取值范围

是_________

解析: 由图可知(0,1)k ∈。

（1）根式n x a = （2

）指数的运算：m n

a

=

m n

a

-

=

（3）有理数指数幂：r s r s a a a +⋅=；()r s

rs

a a =；()r r r

ab a b =（无理数也适用）

1) 指数函数：x

y a =

定义域：R 图像：

✧ 比较幂形式的数的大小时；

（1）化为同指数，利用幂函数的单调性 （2）化为同底数，利用实数函数的单调性 （3）都不能化简，找到一个恰当的中间量

✧ X 不变时，图像按逆时针方向a 逐渐变大。

例. 2

(1)x

y a =-在定义域内饰减函数，则a 的取值范围是_________ 解析：2011a <-<

，1,1a a <<-<<

例. ()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=

解析：当1a >时，()f x 是增函数，则1010

a b a b -⎧+=-⎪

⎨+=⎪⎩，无解

当01a <<时，()f x 是减函数，则1

01a b a b -⎧+=⎪

⎨+=-⎪⎩解得，122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩

，32a b +=-

（1）定义：如果(0,1)x

a N a a =>≠，那么指数x 叫做以a 为底N 的对数，记作

log a x N =（N 为真数）

（2）常见的对数：一般对数 log a N 底数为10 lg N 底数为e ln N （3）对数的性质：log 10;log 1a a a ==， log ;log a N

N a a

N a N ==

（4）基本运算[0,0,0,0a a M N >≠>>]：

积的对数；log ()log log a a a MN M N =+ 商的对数；log (

)log log a a a M

M N N

=- 幂的对数；log log ()n

a a M n M n R =∈

换底公式；log log (0,1)log c a c b

b c c a

=>≠

例.1计算4839(log 3log 3)(log 2log 2)+⋅+=____________

解析：4839(log 3log 3)(log 2log 2)+⋅+=2233111

(log 3log 3)(log 2log 2)232

+⋅+ 23535log 3log 2624

=⋅=

例.2设357log 6,log 10,log 14a b c ===，试比较a,b,c 的大小___________ 解析：由运算法则得出333log 6log 321log 2a ==⨯=+,同理得出 51log 2b =+，71log 2c =+，a b c >>。