直线与方程章节复习

直线与方程章节复习

【考纲知识梳理】

一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角

①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为. ③倾斜角的范围. （2）直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在。 ②经过两点

的直线的斜率公式是

③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行

对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有。特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行。

（2）两条直线垂直

如果两条直线斜率存在，设为，则

注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直。

二、直线的方程 1、直线方程的几种形式

0α0

0180α≤<0

9012,l l 12,k k 1212//l l k k ⇔=12,l l 12l l 与12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-12,l l 12,l l 12l l 与

名称方程的形式已知条件局限性

点斜式

为直线上一定点，k 为斜率

不包括垂直于x 轴的直线

斜截式k为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线

两点式

是直线上两定

点不包括垂直于x轴和y轴的直线

截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直

线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线

一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置

的直线注：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若，直线垂直于x轴，方程为；（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）若，直线方程可用两点式表示）

2、线段的中点坐标公式

若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（x,y），则

此公式为线段的中点坐标公式。

三、直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点

设两条直线的方程是，两条直线的交

点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离

（1）两点间的距离

平面上的两点间的距离公式

特别地，原点O （0，0）与任一点P （x,y ）的距离

（2）点到直线的距离

点到直线的距离；

（3）两条平行线间的距离

两条平行线

间的距离

注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。

【热点难点精析】

一、直线的倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 ※相关链接※

2．已知斜率k 的范围，求倾斜角的范围时，若k 为正数，则的范围为的子集，且k=tan

为增函数；若k 为负数，则的范围为的子集，且k=tan 为增函数。若k 的范围有正有负，则

可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。

※例题解析※

〖例1〗已知直线的斜率k=-cos (∈R ).求直线的倾斜角的取值范围。

（二）直线的斜率及应用

αα(0,

)2

π

αα(,)2

π

παααβ

※相关链接※ 1、斜率公式：与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；

2、求斜率的一般方法：

（1）已知直线上两点，根据斜率公式 求斜率；

（2）已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法：

已知若，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 ※例题解析※

〖例2〗设是互不相等的三个实数，如果在同一直线上，求证：

（三）两条直线的平行与垂直

〖例3〗已知点M （2，2），N （5，-2），点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。 （1）∠MOP=∠OPN （O 是坐标原点）； （2）∠MPN 是直角。

二、直线的方程 （一）直线方程的求法 ※相关链接※

1、求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件。基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。

21

21

y y k x x -=

-21

2121

()y y k x x x x -=

≠-ααtan k α=112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 123AB AC x x x k k ===或0

90,,a b c 3

3

3

(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、0a b c ++=

用待定系数法求直线方程的步骤：

（1）设所求直线方程的某种形式；（2）由条件建立所求参数的方程（组）； （3）解这个方程（组）求参数；（4）把所求的参数值代入所设直线方程。

2、求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程。要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截距式时，应先判断截距是否为0。若不确定，则需分类讨论。

※例题解析※

〖例4〗求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。

（二）用一般式方程判定直线的位置关系 ※相关链接※

两条直线位置关系的判定

已知直线，，则

（1）

（2） （3）

（4）

※例题解析※

1111:0l A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=12122112211221111222222

//00(0)

(0).

l l A B A B AC A C B C B C A B C

A B C A B C ⇔-=-≠-≠=≠且或或记为：、、不为121212//0.l l A A B B ⇔+

=