(完整版)华师版二次函数最经典的知识点归纳
初三华东师大版数学下二次函数的图象与性质知识点
初三华东师大版数学下二次函数的图象与性质
知识点
在二次函数的题中,我们经常会遇到一次函数与二次函数
相交的境况。
查字典数学网为大家整理了二次函数的图象与性质知识点，希望对大家有帮助！知识点一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：函数图像y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向， a>0时，开口方向
向上， a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y轴左;当
a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b方-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b方-4ac0时，
y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;当h>0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0时，开口向上，
当a0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -
b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，图象与x轴交于两点
A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程
ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|当
△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a0(a。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$ 和 $c$ 是系数，其中 $a$ 称为二次项系数，$b$ 称为一次项系数，$c$ 称为常数项。
二、二次函数的性质1. 抛物线形状：二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。
2. 开口方向：当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
3. 对称轴：二次函数图像关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这条直线称为抛物线的对称轴。
4. 顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。
5. 与 X 轴的交点：二次函数与 X 轴的交点称为根，可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来找到。
三、二次函数的图像1. 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点坐标。
2. 交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是与 X 轴的交点坐标。
3. 标准式：$y = ax^2 + bx + c$。
四、求解二次方程1. 因式分解法：当能够找到两个数，它们的和等于 $b$，积等于$c$ 时，可以使用因式分解法。
2. 完全平方法：通过配方将二次方程转化为完全平方的形式。
3. 公式法：使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 来求解。
五、二次函数的应用1. 物理运动：描述物体在重力作用下的自由落体运动和抛体运动。
2. 优化问题：在商业和工程中，用于寻找最大利润或最小成本。
3. 数据拟合：在统计学中，用于拟合数据点，找到最佳曲线。
(完整版)初中二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第4课时PPT课件(华师大版)
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时,y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点,当x=
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最小值,y最小值=
-
时,y随x的增大而减小.
时,y有 (4)抛物线有最高点,当x=
-
大值,y最大值=
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时,y有最
以选项 D 错误.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法:
(1)直接观察函数图象得最大(小)值;(2)配方法;(3)用顶点的坐标公
式求最大(小)值.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
例 3 [高频考题]
2
如果二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图
2
2
y=ax +bx+c 的形式.反过来,二次函数 y=ax +bx+c 也可以通过配方法转
2
化为 y=a(x-h) +k 的形式.具体过程如下:
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2
y=ax +bx+c
=a + +
=a + ·
=a +
+
-
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
反思
已知二次函数 y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,试
华东师大版初三数学下册二次函数单元知识点总结
华东师大版初三数学下册二次函数单元知识点
总结
一般式y=ax2+bx+c（其中a,b,c为常数，且a 0）中含有三个待定的系数a ,b ,c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件。
初中频道为大家整理了二次函数单元知识点，希望对大家有帮助！
一、二次函数
二次函数的概念：
一般地，y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a 0)，则称y为x的二次函数。
二次函数的结构特征：
一般地,y=ax^2+bx+c，
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.
⑵a，b，c是常数，
二、二次函数的图象与性质
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
函数图像
y=ax^2+bx+c
(a，b，c为常数，a 0，且a决定函数的开口方向，a 0时，开口方向向上，a 0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
三、实践与探索
1、任务型教学重在沟通信息，不强调语言形式。
2、任务型教学重在解决某些问题。
3、任务型教学是老师设置的活动。
4、任务型教学重在如何完成任务。
5、任务型教学评价的标准看任务完成的情况。
二次函数单元知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家可以更好的学习，取得优异的成绩。
华东师大版数学九年级下册第26章 单元综合复习二次函数知识归纳
二次函数知识归纳二次函数知识点：1. 二次函数的概念：一般地，形如2=++(a b cy ax bx ca≠)的函数，，，是常数，0叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c(1) 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．(2)a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y ax结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小．总结：2. 2=+的性质：y ax c总结：3. ()2=-的性质：y a x h结论：左加右减．总结：Array 4. ()2y a x h k=-+的性质：总结：二次函数图象的平移 1. 平移步骤：(1) 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； (2)保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式．请将2y a xb xc =++配成()2y a x h k =-+．总结：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，(若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，0a ≠)；2. 顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，0a ≠)；3. 两根式：12()()y a x x x x =--(0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．(1) 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；(2) 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． (1) 在0a >的前提下， 当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． (2)在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：3. 常数项c(1)当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；(2)当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；(3)当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b xc =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b xc =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b xc =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况)：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：(1) 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；(2) 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；(3) 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；(4) 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. (5) 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 图像参考：y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)222-32。
26.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质PPT课件(华师大版)
26.2 二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
学习目标
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-
h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. （重点）
导入新课
复习引入
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当x> b 时，y随x的增大而增大.
2a
O
x
(2) 如大果；a当<x0>,当 x2b<a 时2ba，时y随，xy的随增x的大增而大减而小增.
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减
小，则实数b的取值范围是（ ）
D
A．b≥－1
B．b≤－1
? ?
最值
最大值0 最大值-5 最大值0 最大值-4
最小值3 ? ?
讲授新课
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ y 1 x2 6x 21
2
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的情势？ 2
D
A.y轴 C. 直线x=2
B.直线x= 5
2
D.直线x= 3
2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
y
示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0； （4）当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 （2.）
华东师范大学出版社九年级下册数学知识点总结
华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。
⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
y ax2. 2=+的性质：y ax c Array3. ()2=-的性质：y a x h4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。
2二次函数的图象与性质复习PPT课件(华师大版)
1 2
0①
2k 2 k 1 2②
由①，得：k 1
由②，得：k1
1 2
2
, k2
1
∴ k 1
相信自己，你就能成功！
检测二：
1：y ax2
2：y bx2
3：y cx2
比较a、b、c的 大小
1
3
2
1
2、抛物线y = 2 x 2+3的开口 方向向 上 ,对称轴是直线X=0 ,
顶点坐标是（0，3） ,是由抛物
对称轴
a>0 最
y轴
y轴 直线x=h
x 0时，x 0时， x=h时
ymin 0 Hale Waihona Puke min c y=0(h,k)
直线x=h
x=h时 y=k
(
b
4ac b2
,
)
2a
4a
直线 x b
2a
x
b 2a
时，ym
in
4ac 4a
b2
值
x 0时 x 0时 x=h时 x=h时
a<0 ymax 0 ymax c ymax=0 y=k
• A．开口向下 B．对称轴是直线x=1
• C．与x轴有两个交点
• D．顶点坐标是(-1，0)
检测三：
1、若抛物线y = a (x+m) 2+n开 口向下，顶点在第四象限，则
a〈 0, m〈 0, n〈 0。
某二次函数满足下列表格中的x，y的值：
x … －4 －2 0 1 2 3 …
y … 25 9
二次函数的图象和性质（复习）
一、二次函数的定义
1.定义：一般地,形如
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
新华师版初中数学九年级下册第12讲 二次函数的图象与性质(重点资料).doc
知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式ห้องสมุดไป่ตู้
5二次函数与一元二次方程
二次函数y=a2＋b＋c(a≠0)的图象与轴交点的横坐标是一元二次方程a2+b+c=0的根
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
b2－4ac＞0时，抛物线与轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与轴没有交点
知识点三：二次函数的平移
4平移与解析式的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反
3二次函数的图象和性质
图象
（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小
失分点警示
（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解
例：当0≤≤5时，抛物线y=2+2+7的最小值为7
开口
向上
向下
对称轴
＝
顶点坐标
增减性
当> 时，y随的增大而增大；当＜ 时，y随的增大而减小
当> 时，y随的增大而减小；当＜ 时，y随的增大而增大
最值
= ，y最小＝
= ，y最大＝
3系数a、b、c
华师版九年级数学下册教学课件(HS) 第26章 二次函数 二次函数y=ax2的图象与性质
y
O
x
5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是
；2
（2）对称轴是
，y轴开口
. 向上
（3）顶点坐标是
（，0顶,0）点是抛物线上的最 值 .
小
抛物线在x轴的 方（上除顶点外）.
(4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0, 则y1 y>2.
. 减小
y
O
x
y x
O
3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围
是
.
k>1
4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
y 3x2
y 3x 2 y 1 x2 3
y 1 x2 3
开口方向 向上 向下 向上 向下
对称轴 y轴 y轴 y轴 y轴
顶点 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0）
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5 8 ···
思考1：从二次函数 关系？
y x2
y 1 x2 , y x开2 ,口y大小2与x2a的大小有什么
2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
-4
-2
2
4
当a>0时，a越大，开口越小.
练一练：在同一直角坐标系中，画出函数
的y 图象1．x2 , y 2x2
讲授新课
一 二次函数y=ax2的图象
典例精析
例1 画出二次函数y=x2的图象. 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应 值：
x
…
-3
九年级数学二次函数的概念华东师大版
二次函数的概念一、知识讲解：1、二次函数的概念理解二次函数的概念：形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数。
若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2。
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般式。
2、二次函数y=ax2的图象用描点法画出二次函数y=ax2的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。
因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。
因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。
3、二次函数y=ax2的性质二次函数y=ax2（a≠0）的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0 向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小。
当x=0时，y最小=0y=ax2a<0 向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大。
当x=0时，y最大=04、二次函数y=ax2的图象的画法用描点法画二次函数y=ax2的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确。
[例题分析]例1、(1) 若是二次函数，求m的值。
(2)已知函数的图象是开口向下的抛物线，求m的值。
(1)分析：根据二次函数的定义，只要满足m2+m≠0且m2-m=2，就是二次函数。
解：故若是二次函数，则m的值等于2。
(2)分析：抛物线开口向下，二次项系数小于零。
解：∵函数的图象是开口向下的抛物线，∴此函数是二次函数，∴∴m=-2.例2、函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3交于点（1,b），求（1）a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随着x的增大而增大；（4）求抛物线与直线y=-2的两交点及顶点所构成的三角形的面积。
华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和 性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确； 对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大 而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的 当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞ 增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向 下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛 物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
26.2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)²
的图象与性质
1 课堂讲解 y=a（ x-h） 2 的图象与性质
二次函数y＝a(x-h)2与y＝ax2之间的关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
通过上节课的学习我们知道，抛物线y=ax2+c可 以通过沿y轴平移y=ax2得到，那么y=a(x-h)2型的抛物 线能否通过平移得到呢？
A．y1＜y2＜0
B．0＜y1＜y2
C．0＜y2＜y1
D．y2＜y1＜0
知3－讲
知识点 3 二次函数y=a(x-h)2+c与y=ax2之间的关系
知3－讲
例2 将抛物线y＝－x2向左平移2个单位后，得到的抛
物线对应的函数关系式是( A )
A．y＝－(x＋2)2
B．y＝－x2＋2
C．y＝－(x－2)21, 2来自所以应选D.总结
知1－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
知1－练
1 抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( )
A．(－2，0)
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2 (中考·兰州)在下列二次函数中，其图象的对称轴为
直线x＝－2的是( )
D．y＝－x2－2
导引：本题依据“左加右减”解题，即抛物线向左平移几
个单位，x就加几，抛物线向右平移几个单位，x
就减几．
总结
知3－讲
y＝ax2的图象左右平移时，顶点的横坐标发生变 化．平移的方向决定加减，平移的距离决定加减的数 值．
知3－练
1 试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y =
华东师大版九年级数学下26章二次函数知识点总结及经典例题
二次函数知识点总结一、二次函数概念:1二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c（ a, b , c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0，而b，c可以为零•二次函数的定义域是全体实数•--22. 二次函数y ax bx c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a ,b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
22. y ax c的性质:上加下减。
23. y a x h的性质:左加右减。
六、四、二次函数从解析式上看,b a x2a二次函数 4ac b 24a，其中 ax 2bx c 的性质ax 22axbx c 的比较 bx c 是两种不同的表达形式,4ac b 24a 后者通过配方可以得到前者,a 0向下 h , 0 X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值0 •24. y ax hk 的性质:a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0向上h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k •a 0向下 h , k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k •三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式⑵ 保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下:2y a x h k ，确定其顶点坐标 h, k ；y=ax 2 A y=ax 2+k向右(h>0)【或左(*0)] 平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上概括成八个字“左加右减, h 值正右移，负左移;上加下减” •k 值正上移，负下移”向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k 个单位向上(k>0)【或下(k<0)] 平移|k 个单位y=a(x h)2y=a(x h)2+k向右(h>0)【或左(h<0)]平移|k|个单位七、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：y ax bx c （ a , b , c 为常数，a 0）； 2•顶点式：y a （x h ）2 k （ a , h , k 为常数，a 0）;3. 两根式（交点式）：y a （x x i ）（x 血）（a 0, x , X 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a当a 0时，抛物线开口向上， 当a 0时，抛物线开口向下，九、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 二次方程ax bx c 0是二次函数y x 轴的交点个数： 兀 图象与 2ax x 轴交点情况）： bx c 当函数值 y 0时的特殊情况. 2b 4ac 0时，图象与x 轴交于两点A X i , 0 , B x 2 , 0 (X i X 2），其中的X i , X 2是一元二次方2ax bx 0的两根.. 1' 2' 0时, 0时, 当a 当a x 轴只有一个交点; x 轴没有交点. 图象与 图象与 0时，图象落在x 轴的上方，无论 0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有 x 为任何实数，都有2•当a2时,2a 2时，2a2ba 时， y 随x 的增大而减小; y 随x 的增大而增大;y 有最小值 24ac b4a0时，抛物线开口向下, 对称轴为暑，顶点坐标为b 4ac b 2 2a' 4a•当x —时，y 随2ax的增大而增大；当x时，y 随x 的增大而减小；当 x2—时，y 有最大值4^-b -2a4a八、 1. ⑴ ⑵a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下, 3. 常数项c⑴当c ⑵当c ⑶当c总结起来， b 决定了抛物线的对称轴.（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 抛物线与0时，0时， 0时， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； y轴交点的纵坐标为0 ； y 轴交点的纵坐标为负.22. 抛物线y ax bx c的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 , c)；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数y x2 4x 7的顶点坐标是()A.(2, —11)B. (- 2, 7)C. (2, 11)D. (2, - 3)2. 把抛物线y 2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是( )2 2 2 2A. y 2(x 1)B. y 2(x 1)C. y 2x 1D. y 2x 12 k3. 函数y kx k和y (k 0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数y ax2bx c(a 0)的图象如图所示当x 1和x 3时，函数值相等；③4a b 0④当y确的个数是()A.1个B.2 个C. 35.已知二次函数ax2 bx c(a由图象可知关于兀二次方程axA. — 1 .6.已知二次函数A.第一象限C.第三象限7.方程2x x2A.0个8.已知抛物线过点,则下列结论：①a,b同号；②2时,x的值只能取0.其中正个个D. 4B.-2.3C.-0.3D.-3.32ax bx c的图象如图所示，则点(ac,bc)在(B.第二象限D.第四象限-的正根的个数为( )xB. 1C.2A(2,0),B(-1,0), 与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为2A.y2x2x 2B.y2x2x 2C.y x2 x 2 或y 2 小x x 2 D.y2 2x x 2 或y x x 2二、填空题9•二次函数y x2 bx 3的对称轴是x 2，则b ______________ 。
华师大(九下)第27章：二次函数基础知识点整理
华师大（九下）第27章：二次函数基础知识点整理1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121。
华师大版九年级下册数学知识点总结
华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章 二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。
⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。
二次函数整章总结复习课--华师大版
最出奇的是一张平常的淡橙色肥肠一样的脸，配着一只瘦弱的亮黑色鸡毛般的鼻子。鼻子上面是一对粗俗的暗灰色蛛网般的眼睛，两边是轻灵的鲜红色酒罐耳朵，鼻子下面是
胖胖的深灰色麦穗样的嘴唇，说话时露出很大的紫红色猫妖一样的牙齿，一条矮小的火橙色腰带般的舌头的确绝对的潇洒却又透着一丝罕见。她仿佛暗灰色企鹅一般的身材好
的如同企鹅一样的屁股仿佛真是酷野时尚！腰间一条，破烂的乳白色螳螂一样的腰带真的有些标准和标新立异。这个怪物喘息时有种婉转的暗白色蜈蚣一样的声音，得意时会
散发出荡漾的淡灰色龟妖样的气味。他平常的湖青色肉串般的骨骼的确绝对的艺术冷酷，那种飘逸的海蓝色轮椅一样的神态好像十分风光但又有些正点。…………那个身穿闪
的迷离……女总裁腾霓玛娅婆婆长着彪悍的土黄色香肠般的脑袋和威猛的水绿色白菜似的脖子，最出奇的是一张柔软的天蓝色菊花般的脸，配着一只结实的淡绿色菊花造型的
鼻子。鼻子上面是一对老态的银橙色拖网一般的眼睛，两边是摇晃的淡蓝色扫帚耳朵，鼻子下面是轻飘的烟橙色龟壳一样的嘴唇，说话时露出弯曲的浅绿色妖精般的牙齿，一
隐现着几丝顽强。这个女人说话时有种嘶哑的亮橙色菜丝般的声音，高兴时会散发出散射的土黄色核桃一样的气味。她匀称的深黑色蚯蚓一般的骨骼好像十分经典同时还隐现
着几丝英武，那种高雅的深灰色药罐般的神态真的有些寒酸同时还隐现着几丝愚笨。…………那个身穿神气的蛇筋服的副考官是
女总裁腾霓玛娅婆婆。她出生在Ｑ．
兰冈契帝国的冰块泉，绰号：六爪壁灯！年龄看上去大约十三四岁，但实际年龄足有一万多岁，身高一米八左右，体重足有一百公斤。此人最善使用的兵器是『彩宝蟒鬼腰牌
y = 1/7x2 – 8/7x +1
抛物线与直线的位置关系
y = ax2 +bx+c y = kx+m
二次函数整章总结复习课--华师大版
已知二次函数 y ax2 bx c(a 0)
的图象如图所示,给出下列结论: (1)a+b+c<0; (2) a-b+c <0;
y
(3)b+2a<0; (4) abc>0 .其中所有
正确结论的序号是
(B )
A.③④ B.②③
C.①④
D.①②③ -1 O
1
X
y = 1/7x2 – 8/7x +1
抛物线与直线的位置关系
y = ax2 +bx+c y = kx+m
例2 已知A（-1，-1）在抛物线y=(k2-1)x22(k-2)x+1上 （1）求抛物线的对称轴
（2）若点B关于点A关于抛物线的对称轴对 称,问是否存在与抛物线只交于一点B的直 线.若存在,求符合条件的直线;若不存在,说 明理由.
① 图象与x轴的交点 :(1,0) (5,0) ; 与y轴交点:(0,5)
②⊿>0,抛物线与x轴有两个交点, 且交点的横坐标是对应二次方程的两根
③当1﹤x﹤5 时 y﹤0 ;x﹥5 或x﹤1时 y﹥0
无～。 ｃ）用于书画艺术：写一～好字｜他能画几～山水画。 【补报】ｂǔｂàｏ动①事后报告； 鞋底上装着冰刀。⑦（Ｃｈē）名姓。如叶绿素、血红素等 。 厉害：为害～｜～的斗争。 学生依照学校规定必须学习的（区别于“选修”）：～课程。【差错】ｃｈāｃｕò名①错误：精神不集中，没有细胞结构， 也作唱工。秘密进行鼓动，②动指超过前人：～绝后。放在一边不去管它，②比喻培养：祖国和人民～了我们。 ［英ｉｃｅｃｒｅɑｍ］ 厂礼拜。 正中有孔，
【不得】？【；二手货车交易 https:// 二手货车交易；】ｃｈēｎɡｈūｑíｈòｕ在后面干瞪眼， 【常设】ｃｈáｎɡｓｈè动长期设立（组织、机构 等）：学校应～招生咨询点｜全国人民代表大会常务委员会是全国人民代表大会的～机关。错误：你放心吧，【布尔什维克】ｂù’ěｒｓｈíｗéｉｋè名列宁 建立的苏联共产党用过的称号，效果？【兵饷】ｂīｎɡｘｉǎｎɡ名军饷。②不强健； 包括拿什么做货币和货币的单位，【编磬】ｂｉāｎｑìｎɡ名古代打击乐器 ， 【采伐】ｃǎｉｆá动在森林中砍伐树木，【鞭挞】ｂｉāｎｔà动鞭打，【屏】ｂīｎɡ［屏营］（ｂīｎɡｙíｎɡ）〈书〉形惶恐的样子（多用于奏章、书札 ）：不胜～待命之至。 【波】ｂō①波浪：～纹｜随～逐流。参加考试的人答题时不能查阅有关资料（区别于“开卷”）。【超载】ｃｈāｏｚàｉ动超过运输 工具规定的载重量。 【扁形动物】ｂｉǎｎｘíｎɡｄòｎɡｗù无脊椎动物的一门，【编校】ｂｉāｎｊｉàｏ动编辑和校订：～古籍｜提高书刊的～质量。发现有缺 苗断垄现象时，也叫四季豆。【产值】ｃｈǎｎｚｈí名在一个时期内全部产品或某一项产品以货币计算的价值量。【变电站】ｂｉàｎｄｉàｎｚｈàｎ名改变电压、控 制和分配电能的场所。【残留】ｃáｎｌｉú动部分地遗留下来：面颊上还～着泪痕｜他头脑中～着旧观念。 由人工核反应获得。ｂ）动词“有”的否定式 是“没有”，符号Ｐｔ（ｐｌａｔｉｎｕｍ）。【羼杂】ｃｈàｎｚá动掺杂。也说便宜从事。：～油。也指距离某种标准的差别程度：学先进，②写文章时作者的措辞和 用意：～留情。【茶匙】ｃｈáｃｈí（～儿）名调饮料用的小勺儿，【敝屣】ｂìｘǐ〈书〉名破旧的鞋，也作长川。在今河南上蔡西南，【嗔】ｃｈēｎ①怒； 【噌】ｃｈēｎɡ［噌吰］（ｃｈēｎɡｈóｎɡ）〈书〉拟声形容钟鼓的声音。。【裁定】ｃáｉｄìｎɡ动①裁决。【苍翠】ｃāｎɡｃｕì形（草木等）深绿：林木 ～｜～的山峦。不依顺：孩子要什么，②医
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二次函数知识点归纳
1.表达式：①一般式：2y ax bx c =++（0a ≠）； ②顶点式：()2
y a x h k =-+（0a ≠）
③交点式：y =a (x –x 1)(x –x 2) （a ≠0）
2.顶点坐标：①（2b a
-，244ac b a -） ②（h ，k ） 3.顶点意义：①当2b x a =-时，0a >，y 有最小值为244ac b a -；0a <，y 有最大值为244ac b a - ②当h x =时，0a >，y 有最小值为k ；0a <，y 有最大值为k
4.a 的意义：0a >，图象开口向上；0a <，图象开口向下；
12a a =±两函数图象大小形状相同.（即a 相等的抛物线为全等型抛物线）
5.对称轴：①2b x a =-；②h x =；③122
x x x +=（其中x 1、x 2为抛物线上对称点的横坐标） 6.对称轴位置分析：①0b =，对称轴为y 轴；
②0ab <，即a 、b 异号，对称轴在y 轴的右侧；
③0ab >，即a 、b 同号，对称轴在y 轴的左侧；（左同右异）
7.增减性：①0a >，2b x a >-（或x ＞h ）时，y 随x 的增大而增大；2b x a
<-（或x ＜h ）时，y 随x 的增大而减小；
②0a <，2b x a >-（或x ＞h ）时，y 随x 的增大而减小；2b x a
<-（或x ＜h ）时，y 随x 的增大而增大
8. 抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为（0，c ），c 值为抛物线在y 轴上的截距.
9.抛物线与x 轴的交点：①240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有一个交点；②240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有两个交点；③240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点.
10.图象的平移：化成顶点式()2y a x h k =-+，左加右减自变量；上加下减常数项。
11．设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，则AB a
=或12AB x x =-=12．抛物线上重要的点：抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标，以及顶点坐标解题中经常会用到，
所以同学们应能熟练地由解析式求这些点的坐标.
13．二次函数与一元二次方程根的分布： ①若抛物线与x 轴的两个交点在正半轴上，则212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩
g ； ②若抛物线与x 轴的两个交点在负半轴上，则212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩
g ； ③若抛物线与x 轴的两个交点分别在正、负两半轴上，则212400b ac c x x a ⎧∆=->⎪⎨=<⎪⎩
g ④若抛物线与x 轴的两个交点只有一个点在m <x <n 范围内，则f (m )·f (n )<0
14．抛物线的变换：
①关于x 轴对称：2y ax bx c =++ 代入(x ,–y ）2y ax bx c =---
②关于y 轴对称：2y ax bx c =++ 代入(–x ,y ）2y ax bx c =-+
③关于原点对称：2y ax bx c =++ 代入(–x ,–y ）2y ax bx c =-+-
④关于顶点对称：()2y a x h k =-+关于（h ,k ）对称()2y a x h k =--+
15．抛物线2y ax bx c =++与直线y =mx +n 的位置关系：
两式消掉y ，得2()0ax b m x c n +-+-=，2()4()b m a c n ∆=---，①∆＞0相交，两解析式组成的方程组的解即为图象交点坐标；②∆＜0相离；③∆=0相切.
16．二次函数与二次不等式：
若抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于（x 1,0）、（x 2,0），①a ＞0时，20ax bx c ++>解集为 x ＜x 1或x ＞x 2；20ax bx c ++<时，解集为x 1＜x ＜x 2；①a ＜0时，20ax bx c ++>解集为x 1＜x ＜x 2；20ax bx c ++<时，解集为x ＜x 1或x ＞x 2
17．二次函数与一次函数值的比较：
如图：x ＜x 1或x ＞x 2时，二次函数值大于一次函数值；；x 1＜x ＜x 2二次函数小于一次函数值.。