(完整版)华师版二次函数最经典的知识点归纳

二次函数知识点归纳

1.表达式：①一般式：2y ax bx c =++（0a ≠）； ②顶点式：()2

y a x h k =-+（0a ≠）

③交点式：y =a (x –x 1)(x –x 2) （a ≠0）

2.顶点坐标：①（2b a

-，244ac b a -） ②（h ，k ） 3.顶点意义：①当2b x a =-时，0a >，y 有最小值为244ac b a -；0a <，y 有最大值为244ac b a - ②当h x =时，0a >，y 有最小值为k ；0a <，y 有最大值为k

4.a 的意义：0a >，图象开口向上；0a <，图象开口向下；

12a a =±两函数图象大小形状相同.（即a 相等的抛物线为全等型抛物线）

5.对称轴：①2b x a =-；②h x =；③122

x x x +=（其中x 1、x 2为抛物线上对称点的横坐标） 6.对称轴位置分析：①0b =，对称轴为y 轴；

②0ab <，即a 、b 异号，对称轴在y 轴的右侧；

③0ab >，即a 、b 同号，对称轴在y 轴的左侧；（左同右异）

7.增减性：①0a >，2b x a >-（或x ＞h ）时，y 随x 的增大而增大；2b x a

<-（或x ＜h ）时，y 随x 的增大而减小；

②0a <，2b x a >-（或x ＞h ）时，y 随x 的增大而减小；2b x a

<-（或x ＜h ）时，y 随x 的增大而增大

8. 抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为（0，c ），c 值为抛物线在y 轴上的截距.

9.抛物线与x 轴的交点：①240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有一个交点；②240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有两个交点；③240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点.

10.图象的平移：化成顶点式()2y a x h k =-+，左加右减自变量；上加下减常数项。

11．设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，则AB a

=或12AB x x =-=12．抛物线上重要的点：抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标，以及顶点坐标解题中经常会用到，

所以同学们应能熟练地由解析式求这些点的坐标.

13．二次函数与一元二次方程根的分布： ①若抛物线与x 轴的两个交点在正半轴上，则212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩

g ； ②若抛物线与x 轴的两个交点在负半轴上，则212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩

g ； ③若抛物线与x 轴的两个交点分别在正、负两半轴上，则212400b ac c x x a ⎧∆=->⎪⎨=<⎪⎩

g ④若抛物线与x 轴的两个交点只有一个点在m

14．抛物线的变换：

①关于x 轴对称：2y ax bx c =++ 代入(x ,–y ）2y ax bx c =---

②关于y 轴对称：2y ax bx c =++ 代入(–x ,y ）2y ax bx c =-+

③关于原点对称：2y ax bx c =++ 代入(–x ,–y ）2y ax bx c =-+-

④关于顶点对称：()2y a x h k =-+关于（h ,k ）对称()2y a x h k =--+

15．抛物线2y ax bx c =++与直线y =mx +n 的位置关系：

两式消掉y ，得2()0ax b m x c n +-+-=，2()4()b m a c n ∆=---，①∆＞0相交，两解析式组成的方程组的解即为图象交点坐标；②∆＜0相离；③∆=0相切.

16．二次函数与二次不等式：

若抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于（x 1,0）、（x 2,0），①a ＞0时，20ax bx c ++>解集为 x ＜x 1或x ＞x 2；20ax bx c ++<时，解集为x 1＜x ＜x 2；①a ＜0时，20ax bx c ++>解集为x 1＜x ＜x 2；20ax bx c ++<时，解集为x ＜x 1或x ＞x 2

17．二次函数与一次函数值的比较：

如图：x ＜x 1或x ＞x 2时，二次函数值大于一次函数值；；x 1＜x ＜x 2二次函数小于一次函数值.