高一上学期数学期中考试试卷第29套真题
2022-2023学年全国高中高一上数学苏教版期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一上数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则集合 A.B.C.D.2. 设，，，则A.B.C.D.3. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）A.B.C.D.A ={x |≤x ≤3}12B ={y |y =}x −1−−−−−√A ∪B =(){x |≤x ≤3}12{x |1≤x ≤3}{x |x ≥0}{x |x ≥}12a =3−5b =0.2log 3c =3log 2( )a >b >cc >b >aa >c >bc >a >by =sin(4x +)π62π3x =−π2x =−π4x =π4x =π8A A ×B ={(x,y)|x ∈A,y ∈B}A ={1,3}4. 对于两个非空数集，，定义点集如下：，若，，则点集的非空真子集的个数是（ ）个．A.B.C.D.5. 已知，若，，则( )A.B.C.D.6. 不等式的解集为( )A.B.C.D.7. 设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，若，，，则，，的大小关系是( )A.B.C.D.8. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）A.＝B.A B A ×B ={(x,y)|x ∈A,y ∈B}A ={1,3}B ={2,4}A ×B 14121311a >b >1b +a =log a log b 103=a 3b b a b =322327−3x −18<0x 2(−2,9)(−9,2)(−6,3)(−3,6)f (x)R x ∈R f (x +1)=f (x −1)x ∈[0,1]f (x)=2x−1a =f ()32b =f ()0.5−3c =f ()0.76a b c a >b >ca >c >bb >a >cc >b >a(0,+∞)f(x)2|x|C.D.＝二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.图中矩形表示集合，，是的两个子集，则阴影部分可以表示为（ ）A.B.C.（）D.10. 若＝，＝，则下列说法正确的是（ ）A.＝B.C.D.11. 已知函数，则该函数的 A.最小值为B.最大值为C.没有最小值D.最大值为12. 若幂函数的图象经过点，则幂函数是( )A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数f(x)−e x e −xU A B U (A)∩B∁U (A ∩B)∁B ∁U A ∩(B)∁U A∁AUB 2x 33y 4xy 2x >yy =x ++1(x <0)1x ()33−1y =f(x)(3,27)f(x)卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知幂函数的图象不过原点，则实数________．14. 若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为________ .15. 如图所示，在平面四边形中，，，为正三角形，则面积的最大值为________．16. 已知函数是偶函数，则的最大值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 化简求值：（1）；（2）．18. 已知集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．19. 已知函数,若在上的最大值为,求的解析式并求的最值. 20. 已知函数是定义在上的奇函数．（1）求实数的值；y =(−3m −3)m 2x mm =∃x ∈[,2]122−λx −1<0x 2λABCD AD =2CD =4△ABC △BCD f (x)=(a >0,a ≠1)a x +13x f (x)(0.064)−(−+[(−2]−−1379)0)3−4316−0.7521g4+lg91+lg0.36+lg81213A ={x |−(2a −2)x +−2a ≤0}x 2a 2B ={x |−5x +4≤0}x 2a =2A ∩B x ∈A x ∈B a f(x)=−+2ax −1x 2f(x)[−1,1]g(a)g(a)g(a)f(x)=+(a >0,a ≠1)a x k −2ax R k f(1)<0f(sin x +cos x)+f(4−t)≤0–√（2）若，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；（3）若且在上的最小值为，求实数的值．21. 已知函数的解析式为求；画出这个函数的图象，并写出函数的值域；若 ,有两个不相等的实数根，求的取值范围.22. 已知定义在上的函数．（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）用定义证明函数在上是增函数．f(1)<0f(sin x +cos x)+f(4−t)≤03–√x ∈R t f(1)=32g(x)=+−2mf(x)+1a 2x 1a 2x [1,+∞)0m f(x)= −+4(x >0)，x 20(x =0)，(x <0)，6x (1)f(f(4))(2)(3)f(x)=k k (−1,1)f(x)=11+x 2f(x)f(x)(−1,1)参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】先分别求出集合和，由此能求出．【解答】∵集合，，∴集合．2.【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】【解答】解：因为，，，所以．故选．3.【答案】A AB A ∪B A ={x |≤x ≤3}12B ={y |y =}={y |y ≥0}x −1−−−−−√A ∪B ={x |x ≥0}0<a =<=13−530b =0.2<1=0log3log 3c =3>2=1log 2log 2c >a >b D【考点】函数的图象函数的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】子集与真子集集合新定义问题【解析】根据新定义知道，新的集合是由点组成的集合，其中属于且属于．先根据所给的集合，求出，最后再求出非空真子集的个数即可．【解答】解：∵，且，，∴，共有四个元素，则点集的非空真子集的个数是：．故选．5.【答案】C【考点】指数式与对数式的互化对数及其运算【解析】此题暂无解析【解答】A ×B A ×B (x,y)x A y B A B A ×B A ×B ={(x,y)|x ∈A,y ∈B}A ={1,3}B ={2,4}A ×B ={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)}A ×B −2=1424A t =110解：设，则，，即，.，，，.故选.6.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：原不等式可化为，解得.故选.7.【答案】B【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质函数的单调性及单调区间【解析】由可得函数的周期为，再利用周期和偶函数的性质将，，转化使自变量在区间上，然后利用在上单调递增，比较大小．【解答】解：因为 ，所以，所以函数的周期为.因为函数是定义在上的偶函数，t =a >1log b +t =1t 103∴t =3a =3log b a =b 3∵=a 3b b a ∴=()b 33b b b 3∴9b =b 3∴b =3C (x +3)(x −6)<0−3<x <6D f (x +1)=f (x −1)2a =f ()32b =f ()0.5−3[0,1]f (x)[0,1]f (x +1)=f (x −1)f (x +2)=f (x)f (x)2f (x)R =f ()=f (−2)=f (−)=f ()3311所以，，因为，在上单调递增，所以，所以．故选．8.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】A,C,D【考点】a =f ()=f (−2)=f (−)=f ()32321212b =f ()=f (8)=f (0)0.5−30<<<0.760.7212f (x)[0,1]f ()>f ()>f (0)120.76a >c >b B指数式与对数式的互化【解析】推导出＝，＝，由此利用对数的性质、运算法则能求出结果．【解答】∵＝，＝，∴＝，＝，∴＝＝，故正确；＝＝，故错误；＝＝；＝＝-＝＝，故正确．11.【答案】C,D【考点】基本不等式【解析】【解答】解：∵，∴函数，当且仅当时取等号．因此有最大值，无最小值．故选．12.【答案】A,C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域x 3log 2y 4log 32x 37y 4x 8log 2y 4log 3xy 3⋅6log 5log 32A x 3>log 2B x +y 3+3>log 8log 34x −y 3−4log 2log 3>>0D x <0y =x ++11x =−(−x +)+11−x ≤−2+1=−1−x ⋅1−x −−−−−−−√x =−1y =x ++1(x <0)1x −1CD函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用函数奇偶性的定义和单调性的定义判断即可．【解答】解：设幂函数（为常数），∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴，∴函数在上单调递增，又，∴幂函数是奇函数.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数图象及其与指数的关系【解析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得的值．【解答】解：幂函数的图象不过原点，则解得．故答案为：．14.【答案】【考点】f(x)y =f(x)=x ααy =f(x)(3,27)=3α27α=3f(x)=x 3f(x)R f(−x)=(−x =−=)3x 3−f(x)f(x)AC −1m y =(−3m −3)m 2x m {−3m −3=1,m 2m <0,m =−1−1λ≤−1命题的真假判断与应用命题的否定【解析】转化为，使得成立”是真命题，利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论．【解答】解：若“，使得成立"是假命题．则，使得成立”是真命题，分离，进而 .故答案为： .15.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由余弦定理可知：，，又由正弦定理得，，当时，取得最大值，∴面积的最大值为．故答案为：．16.【答案】∀x ∈[,2]122−λx −1≥0x 2∃x ∈[,2]122−λx −1<0x 2∀x ∈[,2]122−λx −1≥0x 2λ≤=2x −2−1x 2x 1x λ≤−1λ≤−14+43–√∠ADC =α，∠ACD =βA =20−16cos αC 2cos β=A +12C 28AC =2sin βAC sin αsin β=2sin αAC ∴=BC ⋅CD sin(β+)=2BC ⋅(sin β+cos β)=2BC S △BCD 12π3123–√2⋅(×+×)=2[sin α+(32−16cos α)]=122sin αAC 3–√2A +12C 28AC 3–√164sin(α−)+4π33–√α−=π3π2S △BCD △BCD 4+43–√4+43–√1【考点】函数单调性的判断与证明分段函数的应用函数单调性的性质【解析】略【解答】略四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】原式；原式．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】（1）利用指数幂的运算法则求解即可；（2）利用对数的运算法则求解即可．【解答】原式；原式．18.【答案】解：（1）时，，此时，，故；12=[(0.4−1+(−2−(=−1+−=)3]−13)−424)−3452116182316===221g4+21g3lg10+lg0.6+lg221g12lg12=[(0.4−1+(−2−(=−1+−=)3]−13)−424)−3452116182316===221g4+21g3lg10+lg0.6+lg221g12lg12a =2−2x ≤0x 2A =[0,2]B =[1,4]A ∩B =[1,2]A ={x|−(2a −2)x +−2a ≤0}={x|a −2≤x ≤a}22B =[1,4]（2）集合，，因为“”是“”的充分不必要条件，所以真包含于，所以，且等号不能同时成立，解得，所以实数的取值范围是．【考点】交集及其运算根据充分必要条件求参数取值问题【解析】代入的值，求出集合，，求出其交集即可；求出，根据真包含于，得到关于的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）时，，此时，，故；（2）集合，，因为“”是“”的充分不必要条件，所以真包含于，所以，且等号不能同时成立，解得，所以实数的取值范围是．19.【答案】解：,①当 时，在上单调递减，∴;②当时，在 上单调递增，在上单调递减，∴;③当 时，在上单调递增，∴.∴∵在上单调递减，在上单调递增，∴,无最大值.A ={x|−(2a −2)x +−2a ≤0}={x|a −2≤x ≤a}x 2a 2B =[1,4]x ∈A x ∈B A B {a −2≥1a ≤43≤a ≤4a [3,4]a A B A B A B a a =2−2x ≤0x 2A =[0,2]B =[1,4]A ∩B =[1,2]A ={x|−(2a −2)x +−2a ≤0}={x|a −2≤x ≤a}x 2a 2B =[1,4]x ∈A x ∈B A B {a −2≥1a ≤43≤a ≤4a [3,4]f(x)=−(x −a +−1)2a 2a ≤−1f(x)[−1,1]f(x =f(−1)=−2a −2)max −1<a <1f(x)[−1,a](a,1]f(x =f(a)=−1)max a 2a ≥1f(x)[−1,1]f(x =f(1)=2a −2)max g(a)= −2a −2,a ≤−1−1,−1<a <1a 22a −2,a ≥1g(a)(−∞,0][0,+∞)g(a =g(0)=−1)min【考点】函数最值的应用函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据函数的图象的对称轴在所给区间的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得，综合可得结论．【解答】解：,①当 时，在上单调递减，∴;②当时，在 上单调递增，在上单调递减，∴;③当 时，在上单调递增，∴.∴∵在上单调递减，在上单调递增，∴,无最大值.20.【答案】由题设条件可知，＝＝，∴＝；∵＝，∴＝，即，∴在定义域上单调递减，由题意可知，原不等式等价于在上恒成立，即在上恒成立，令＝＝＝，∴．（1）∵，∴，f(x)x =a [−1,1]f(a)f(x)=−(x −a +−1)2a 2a ≤−1f(x)[−1,1]f(x =f(−1)=−2a −2)max −1<a <1f(x)[−1,a](a,1]f(x =f(a)=−1)max a 2a ≥1f(x)[−1,1]f(x =f(1)=2a −2)max g(a)= −2a −2,a ≤−1−1,−1<a <1a 22a −2,a ≥1g(a)(−∞,0][0,+∞)g(a =g(0)=−1)min f(0)+=1+k −2a 0k −2a 00k 1f(x)−a x 1a x f a −1a 0<a <1f(x)=−a x 1a x f(sin x +cos x)≤−f(4−t)=f(t −4)3–√R sin x +cos x ≥t −43–√sin x +cos x+4≥t 3–√R h(x)sin x +cos x +43–√2sin(x +)+4≥−2+4π62t ≤2f(1)=a −=⇒a =21a 32f(x)=−2x 12x (x)=+−2m(−)+1=(−−2m(−)+3x 1111∴，令，∵，∴＝＝当时，∴＝在上单调递增，∴，不合题意，舍去，当时，，综上所述，．【考点】函数的最值及其几何意义函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）根据奇函数的性质可得＝，即可求出的值，（2）先判断函数的单调性，再由函数的单调性可得在上恒成立，构造函数，根据正弦函数的性质即可求出，（3）先求出的值，再利用换元法吗，转化为＝，根据二次函数的单调性即可求出．【解答】由题设条件可知，＝＝，∴＝；∵＝，∴＝，即，∴在定义域上单调递减，由题意可知，原不等式等价于在上恒成立，即在上恒成立，令＝＝＝，∴．（1）∵，∴，∴，令，g(x)=+−2m(−)+1=(−−2m(−)+322x 122x 2x 12x 2x 12x )22x 12x t =−2x 12x x ≥1∴t ≥32y −2mt +3t 2(t −m +3−)2m 2m ≤32y −2mt +3t 2[,+∞)32=−3m +3=0⇒m =>y min 947432m >32=3−=0⇒m =±\becausem >∴m =y min m 23–√323–√m =3–√f(0)0k f(x)sin x +cos x +4≥t 3–√R a y −2mt +3t 2f(0)+=1+k −2a 0k −2a 00k 1f(x)−a x 1a x fa −1a 0<a <1f(x)=−a x 1a x f(sin x +cos x)≤−f(4−t)=f(t −4)3–√R sin x +cos x ≥t −43–√sin x +cos x +4≥t 3–√R h(x)sin x +cos x +43–√2sin(x +)+4≥−2+4π62t ≤2f(1)=a −=⇒a =21a 32f(x)=−2x 12x g(x)=+−2m(−)+1=(−−2m(−)+322x 122x2x 12x 2x 12x )22x 12x t =−2x 12x ≥1∴t ≥3∵，∴＝＝当时，∴＝在上单调递增，∴，不合题意，舍去，当时，，综上所述，．21.【答案】解：，；如图即为所求：值域：；有两个不相等的实数根，即函数的图象与有两个不相同的交点，由函数图象可知，.【考点】函数的零点与方程根的关系分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：，x ≥1∴t ≥32y −2mt +3t 2(t −m +3−)2m 2m ≤32y −2mt +3t 2[,+∞)32=−3m +3=0⇒m =>y min 947432m >32=3−=0⇒m =±\becausem >∴m =y min m 23–√323–√m =3–√(1)f(4)=−16+4=−12f(f(4))=f(−12)=−12(2)(−∞，4)(3)f(x)=k f(x)y =k k ∈(−∞，0](1)f(4)=−16+4=−12(f(4))=f(−12)=−1；如图即为所求：值域：；有两个不相等的实数根，即函数的图象与有两个不相同的交点，由函数图象可知，.22.【答案】【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答f(f(4))=f(−12)=−12(2)(−∞，4)(3)f(x)=k f(x)y =k k ∈(−∞，0]。
高一数学上学期期中试题29
卜人入州八九几市潮王学校九中二零二零—二零二壹高一数学上学期期中试题本卷须知卷I〔选择题〕一、选择题〔此题一共计12小题，每一小题5分，一共计60分，〕1.集合，，那么A. B. C. D.2.函数的定义域是〔〕A. B.C. D.3.以下四个图象中，可以作为函数的图象的是〔〕A. B. C. D.4.假设，那么的值是〔〕A. B. C. D.5.以下函数中，在区间上为增函数的是A. B. C. D.6.函数的零点所在的区间是〔〕A. B.C. D.7.方程的解的个数为〔〕A.个B.个C.个D.个8.函数且在上的最大值与最小值的差为，那么的值是〔〕A. B. C.或者 D.或者9.是定义在上的奇函数，且当时，，那么的值是( )A. B. C. D.10.设，，，那么〔〕A. B. C. D.11.函数的大致图象为A. B. C. D.12.假设函数⎩⎨⎧≤+->=1,1)32(1,)(xxaxaxfx是R上的减函数，那么实数a的取值范围是〔〕A．)1,32(B ．)1,43[C ．]43,32(D．),32(+∞卷II〔非选择题〕二、填空题〔此题一共计4小题，每一小题5分，一共计20分，〕13.假设点在幂函数的图象上那么_________.14.且恒过定点，那么点的坐标为________．15.设函数假设，那么________．16.对于以下结论：①函数的图象可以由函数且的图象平移得到；②函数与函数的图象关于轴对称；③方程的解集为；④函数为奇函数．其中正确的结论是________〔把你认为正确结论的序号都填上〕．三、解答题〔此题一共计6小题，17题10分，18、19、20、21、22各12分，一共计70分〕17.求的值；求的值．3)，求的值；18.集合，集合.求当时，，；假设，务实数的取值范围.19.二次函数．〔1〕假设只有一个零点，务实数的值；〔2〕假设在区间内各有一个零点，务实数的取值范围．20.是定义在上的增函数，且满足，．求证：；求不等式的解集．21.函数，且．求的定义域；判断的奇偶性并予以证明；当时，求使的的取值范围．22.定义域为的函数是奇函数.求，的值；假设对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.参考答案与试题解析2021年11月14日高中数学一、选择题〔此题一共计12小题，每一小题3分，一共计36分〕1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】求解不等式化简集合，再由交集的运算性质得答案．2.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】由题意，分子根号下的式子大于或者等于零，分母不为零，据此列出的不等式组，求解即可．3.【答案】D【考点】函数的概念及其构成要素【解析】此题暂无解析4.【答案】A【考点】指数式与对数式的互化【解析】求出，利用对数运算法那么化简求解即可．5.【答案】A【考点】函数单调性的判断与证明【解析】根据根本初等函数的单调性，判断选项里面的函数是否满足条件即可．6.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由题意可以画出与的图象，他们的交点就是函数的零点，从而求解．7.【答案】C【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数进展求解即可．8.【答案】D【考点】指数函数单调性的应用【解析】此题暂无解析9.【答案】C【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】根据函数奇偶性的性质，进展转化即可得到结论．10.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】由于，，，即可得出．11.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数的图象【解析】此题暂无解析12.【答案】C【考点】分段函数的应用函数单调性的性质【解析】此题暂无解析二、填空题〔此题一共计4小题，每一小题3分，一共计12分〕13.【答案】【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析14.【答案】【考点】指数函数的图象【解析】根据指数函数过定点的性质，即恒成立，即可得到结论．15.【答案】或者【考点】分段函数的应用【解析】按照与两种情况，分别得到关于的方程，解之并结合大前提可得到方程的解，最后综合即可．16.【答案】①④【考点】对数函数图象与性质的综合应用【解析】①利用图象的平移关系判断．②利用对称的性质判断．③解对数方程可得．④利用函数的奇偶性判断．三、解答题〔此题一共计7小题，每一小题10分，一共计70分〕17.【答案】解：原式．原式．【考点】对数的运算性质【解析】〔1〕利用指数运算性质即可得出．〔2〕利用对数运算性质即可得出．案】解：3)等式平方得：，∴．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】〔1〕根据：可得；〔2〕根据指数与对数的运算性质可得．18.【答案】解：当时，，∴，.由得：，那么有：解得即，∴实数的取值范围为.【考点】子集与交集、并集运算的转换集合关系中的参数取值问题交集及其运算并集及其运算【解析】〔1〕由题意可得，，根据集合的根本运算可求〔2〕由得，结合数轴可求的范围19.【答案】解：〔1〕假设只有一个零点，那么判别式，即，那么或者．〔2〕假设在区间内各有一个零点，那么，即，那么，解得，即实数的取值范围是．【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】〔1〕假设只有一个零点，那么判别式，解方程即可．〔2〕根据一元二次函数根的分布建立不等式关系进展求解即可．20.【答案】证明：由题意可得；解：原不等式可化为∵是定义在上的增函数∴解得：.【考点】抽象函数及其应用函数单调性的性质【解析】〔1〕由利用赋值法及可求证明〔2〕原不等式可化为，结合是定义在上的增函数可求21.【答案】解：，那么解得．故所求定义域为．为奇函数.证明：由知的定义域为，且，故为奇函数．因为当时，在定义域内是增函数，所以．解得．所以使的的取值范围是．【考点】对数函数的单调性与特殊点对数函数的定义域函数奇偶性的判断【解析】根据对数的性质可知真数大于零，进而确定的范围，求得函数的定义域．利用函数解析式可求得，进而判断出函数为奇函数．根据当时，在定义域内是增函数，可推断出，进而可知进而求得的范围．22.【答案】解：因为是奇函数，所以，即，.又由知，，，.经检验，时，是奇函数.由知，易知在上为减函数.又是奇函数，，等价于.为减函数，由上式可得：，即对一切有：，从而判别式.的取值范围是.【考点】不等式恒成立的问题指数函数单调性的应用奇偶性与单调性的综合【解析】利用奇函数定义，在中的运用特殊值求，的值；首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出的取值范围.。
2022-2023学年江苏省镇江中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省镇江中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（每题5分共40分）1．若集合A＝{x|﹣1≤x＜4，x∈N}，则集合A中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．命题“∃x0≥0，√2x0+3＞1”的否定是（）A．∃x0≥0，√2x0+3＜1B．∀x＜0，√2x+3≤1C．∃x0≥0，√2x0+3≤1D．∀x≥0，√2x+3≤13．若函数f（x）=√1−x+√1+x，则函数f（x﹣1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．[﹣2，0]C．[﹣1，1]D．[0，2]4．已知是定义在R上的函数f（x），且f（x+2）＝f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2则，则f（2023）＝（）A．﹣2B．2C．﹣98D．985．已知x＞0，y＞0，lg4x+lg2y＝lg8，则12x +4y的最小值是（）A．3B．94C．4615D．96．若一元二次不等式kx2﹣2x+k＜0的解集为{x|x≠m}，则m+k的值为（）A．﹣1B．0C．﹣2D．27．如果关于x的方程（lgx）2+（lg15）lgx+lg3⋅lg5＝0的两根分别是α，β，则α⋅β的值是（）A．lg15B．lg115C．115D．158．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3361种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052，下列最接近33611000052的是（注：lg3≈0.477）（）A．10﹣36B．10﹣35C．10﹣26D．10﹣25二、多选题（每题5分共20分）9．下列函数中，值域为[2，+∞）的是（）A．y=|x+1x |B．y=x+4x−1−3C．y=x2+4√x2+3D．y=√x4√x−210．下列四个选项中，p是q的充分不必要条件的是（）A．p：x＞y，q：x3＞y3B ．p ：x ＞3，q ：x ＞2C ．p ：2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，q ：2＜2a +b ＜5D ．p ：a ＞b ＞0，m ＞0，q ：ba ＜b+m a+m11．设函数f （x ）={ax −1，x ＜a x 2−2ax +1，x ≥a ，当f （x ）为R 上增函数时，实数a 的值可能是（ ）A ．12B ．1C ．0D ．2312．对于定义域为D 的函数y ＝f （x ），若存在区间[a ，b ]⊂D ，使得f （x ）同时满足，①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数，②当f （x ）的定义域为[a ，b ]时，f （x ）的值域也为[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为该函数的一个“和谐区间”．下列说法正确的是（ ）A ．[﹣1，0]是函数f （x ）＝x 2﹣2x 的一个“和谐区间”B ．函数f(x)=−1x+3存在“和谐区间”C ．函数f （x ）＝x 3的所有“和谐区间”为[﹣1，0]、[0，1]、[﹣1，1]D ．若函数f(x)=2√x +1−k 存在“和谐区间”，则实数k 的取值范围是k ＜2 三、填空题（每题5分共20分）13．计算：2713+lg4+2lg5−e ln3= ．14．函数f （x ）=√−x 2+4x +12的单调递增区间为 ．15．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若f(−√3)=0，则f(x)x＜0的解集为 ．16．已知函数f （x ）={x 2−6x +4，x ≥02x +4，x ＜0，若存在互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f（x 3），且x 1＜x 2＜x 3，则x 2+x 3＝ ；x 1⋅x 2⋅x 3的取值范围为 ． 四、解答题（共70分）17．已知A ＝{x |x ≥3或x ≤﹣3}，B ={x|x−7x+1≤0}，C ＝{x |（x ﹣2）2＜16} （1）求B 和C ；（2）若全集U ＝R ，求A ∪（∁U B ）．18．命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2+x ﹣a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2+3x +2﹣a ＝0”． （1）当p 为假命题时，求实数a 的取值范围；（2）若p 和q 中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围． 19．已知函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +b （a ，b ∈R ）．（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，3），求不等式bx2﹣ax+4＜0的解集；（2）若b＝1，a＞0，求关于x的不等式f（x）＞0的解集．20．若函数f(x)=x(2x+3)(x−a)是定义在[﹣1，1]上的奇函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在[﹣1，1]上是递减函数；（3）若f（2+3m）+f（m）＞0，求实数m的范围．21．为打好扶贫攻坚战，突出帮扶对象，落实帮扶措施，村为某帮扶对象建设猪圈，购置猪崽，帮助养猪致富．现在要建成完全一样的长方体猪圈两间（每间留一个面积为1平方米的门），一面利用原有的墙（墙长a米，a≥2），其他各面用砖砌成（如图）．若每间猪圈的面积为24平方米，高2米，如果砌砖每平方米造价100元（猪圈的地面和顶部不计费用），砖的宽度忽略不计；每个门造价200元，设每间猪圈不靠墙一边的长为x米，猪圈的总造价为y元．（1）求y关于x的函数关系式，并求出函数的定义域；（2）当x为多少米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低？并求出最低造价．22．已知函数f（x）＝x−4x，x∈[1，2]．（1）求函数f（x）的值域；（2）设F（x）＝x2+16x2−2a(x−4x)，x∈[1，2]，a∈R，求函数F（x）的最小值g（a）；（3）对（2）中的g（a），若不等式g（a）＞﹣2a2+at+4对于任意的a∈（﹣3，0）时恒成立，求实数t 的取值范围．2022-2023学年江苏省镇江中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每题5分共40分）1．若集合A ＝{x |﹣1≤x ＜4，x ∈N }，则集合A 中元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：A ＝{x |﹣1≤x ＜4，x ∈N }＝{0，1，2，3}， 故集合A 中元素的个数为4， 故选：B ．2．命题“∃x 0≥0，√2x 0+3＞1”的否定是（ ） A ．∃x 0≥0，√2x 0+3＜1 B ．∀x ＜0，√2x +3≤1 C ．∃x 0≥0，√2x 0+3≤1D ．∀x ≥0，√2x +3≤1解：命题“∃x 0≥0，√2x 0+1＞1”为特称命题， 其否定为∀x ≥0，√2x +3≤1． 故选：D ．3．若函数f （x ）=√1−x +√1+x ，则函数f （x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（﹣1，1）B ．[﹣2，0]C ．[﹣1，1]D ．[0，2]解：要使原函数有意义，则{1−x ≥01+x ≥0，解得﹣1≤x ≤1．由﹣1≤x ﹣1≤1，得0≤x ≤2． ∴函数f （x ﹣1）的定义域为[0，2]． 故选：D ．4．已知是定义在R 上的函数f （x ），且f （x +2）＝f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）＝2x 2则，则f （2023）＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣98D ．98解：∵函数满足f （x +2）＝f （x ）， ∴函数f （x ）的周期为2， 则f （2023）＝f （1）＝2×1＝2， 故选：B ．5．已知x ＞0，y ＞0，lg 4x +lg 2y ＝lg 8，则12x+4y的最小值是（ ）A ．3B ．94C ．4615D ．9解：∵x＞0，y＞0，lg4x+lg2y＝lg8，∴4x•2y＝8即2x+y＝3，则12x +4y=（12x+4y）（2x+y）×13=13(5+y2x+8xy)≥13(5+2√y2x⋅8xy)=3，当且仅当y2x =8xy且2x+y＝3即x=12，y＝2时取等号，此时取得最小值3．故选：A．6．若一元二次不等式kx2﹣2x+k＜0的解集为{x|x≠m}，则m+k的值为（）A．﹣1B．0C．﹣2D．2解：∵不等式kx2﹣2x+k＜0的解集为{x|x≠m}，∴{k＜04−4k2=0 m=22k，解得，k＝﹣1，m＝﹣1，故m+k＝﹣2，故选：C．7．如果关于x的方程（lgx）2+（lg15）lgx+lg3⋅lg5＝0的两根分别是α，β，则α⋅β的值是（）A．lg15B．lg115C．115D．15解：由题意可得（lgx）2+（lg3+lg5）lgx+lg3⋅lg5＝0，即（lgx+lg3）（lgx+lg5）＝0，所以lgx＝﹣lg3，lgx＝﹣lg5，所以方程的两根分别为α=13，β=15，所以αβ=13×15=115．故选：C．8．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3361种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052，下列最接近33611000052的是（注：lg3≈0.477）（）A．10﹣36B．10﹣35C．10﹣26D．10﹣25解：根据题意，lg33611000052=lg3361−lg1000052=361×lg3−52×4≈−35.8，则33611000052≈10﹣35.8．结合选项可知A 中10﹣36与其最接近．故选：A ．二、多选题（每题5分共20分）9．下列函数中，值域为[2，+∞）的是（ ） A ．y =|x +1x | B ．y =x +4x−1−3 C ．y =x 2+4√x 2+3D ．y =√x 4√x −2 解：对于A ：∵y =|x +1x |=|x|+|1x |≥2，当且仅当|x|=|1x |即x ＝±1时，等号成立，∴(|x +1x |)min =2，所以A 选项的值域为[2，+∞），所以选项A 正确，对于B ：∵当x 为负数时，值域包含负值，值域不可能为[2，+∞），∴选项B 错误， 对于C ：y =x 2+4√x 2+3=1√x 2+3+√x 2+3≥2，而√x 2+3≠√x 2+3，∴选项C 错误，对于D ：y =√x 4√x −2≥4−2=2，当且仅当√x =4√x 即x ＝4时等号成立，∴y min ＝2，选项D 正确，故选：AD ．10．下列四个选项中，p 是q 的充分不必要条件的是（ ） A ．p ：x ＞y ，q ：x 3＞y 3 B ．p ：x ＞3，q ：x ＞2C ．p ：2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，q ：2＜2a +b ＜5D ．p ：a ＞b ＞0，m ＞0，q ：ba ＜b+m a+m解：对于A ，∵x ＞y ⇔x 3＞y 3，∴p 是q 的充分必要条件，∴A 错误，对于B ，∵（﹣∞，3）⫋（﹣∞，2），∴x ＞3是x ＞2的充分不必要条件，∴B 正确， 对于C ，当2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1时，则2＜2a +b ＜5成立，反之，当a ＝1，b ＝2时，满足2＜2a +b ＜5，∴p 是q 的充分不必要条件，∴C 正确， 对于D ，当a ＞b ＞0，m ＞0时，则b+m a+m−b a=(a−b)m (a+m)a ＞0，∴b+ma+m＞ba，反之，当a ＝﹣2，b ＝﹣1，m ＝3时，b+ma+m=2，ba=12，满足b+ma+m＞ba，∴p 是q 的充分不必要条件，∴D 正确， 故选：BCD ． 11．设函数f （x ）={ax −1，x ＜ax 2−2ax +1，x ≥a，当f （x ）为R 上增函数时，实数a 的值可能是（ ）A ．12B ．1C ．0D ．23解：当x ＜a 时，若f （x ）为增函数，须满足a ＞0；当x ≥a 时，f （x ）＝x 2﹣2ax +1＝（x ﹣a ）2+1﹣a 2，由二次函数函数的性质可知，该函数此时单调递增， 结合a 2﹣1≤a 2﹣2a 2+1，且a ＞0，解得0＜a ≤1， 综上，实数a 的值可能是（0，1]内的任意实数． 故选：ABD ．12．对于定义域为D 的函数y ＝f （x ），若存在区间[a ，b ]⊂D ，使得f （x ）同时满足，①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数，②当f （x ）的定义域为[a ，b ]时，f （x ）的值域也为[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为该函数的一个“和谐区间”．下列说法正确的是（ ）A ．[﹣1，0]是函数f （x ）＝x 2﹣2x 的一个“和谐区间”B ．函数f(x)=−1x+3存在“和谐区间”C ．函数f （x ）＝x 3的所有“和谐区间”为[﹣1，0]、[0，1]、[﹣1，1]D ．若函数f(x)=2√x +1−k 存在“和谐区间”，则实数k 的取值范围是k ＜2解：对于A ：函数f （x ）＝x 2﹣2x 在[﹣1，0]是单调函数，但是值域为[0，3]不符合题意，故A 错误； 对于B ：函数f(x)=−1x +3在（﹣∞，0），（0，+∞）单调递增，则{f(a)=a f(b)=b ，则a ，b 是关于−1x +3＝x 的两个根，解得{a =3−√52b =3+√52，且[3−√52，3+√52]⊂（0，+∞），故存在“和谐区间”，故B 正确；对于C ：函数f （x ）＝x 3在R 上单调递增，则{f(a)=af(b)=b，则a ，b 是关于x 3＝x 的两个根，得x 1＝0，x 2＝1，x 3＝﹣1，所以函数f （x ）＝x 3的所有“和谐区间”为[﹣1，0]、[0，1]、[﹣1，1]，故C 正确；对于D ：函数f(x)=2√x +1−k 存在“和谐区间”，∵f （x ）在[a ，b ]⊂[﹣1，+∞）上单调递增， ∴{2√a +1−k =a 2√b +1−k =b，∴a ，b 是方程2√x +1−k ＝x 的两个不等实根， 令t =√x +1，∴t 2﹣2t +k ﹣1＝0在[0，+∞）上有两个不相等实根，令g （t ）＝t 2﹣2t +k ﹣1， 对称轴为x ＝1，则{Δ=4−4(k −1)1＞0g(0)=k −1≥0，∴1≤k ＜2，故D 错误．故选：BC ．三、填空题（每题5分共20分）13．计算：2713+lg4+2lg5−e ln3= 2 ．解：2713+lg4+2lg5−e ln3=(33)13+lg(4×25)−3=3+2﹣3＝2． 故答案为：2．14．函数f （x ）=√−x 2+4x +12的单调递增区间为 [﹣2，2] ． 解：令g （x ）＝﹣x 2+4x +12＝﹣（x ﹣2）2+16， 令g （x ）≥0，解得：﹣2≤x ≤6， 而g （x ）的对称轴是：x ＝2，故g （x ）在[﹣2，2）递增，在（2，6]递减， 故函数f （x ）在[﹣2，2]递增， 故答案为：[﹣2，2]．15．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若f(−√3)=0，则f(x)x＜0的解集为 （−√3，0）∪（√3，+∞） ．解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数， 若f(−√3)=0，则f （√3）＝0，在区间（0，√3）上，f （x ）＞0，在区间（√3，+∞）上，f （x ）＜0，又由函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，则在区间（﹣∞，−√3）上，f （x ）＜0，在区间（−√3，0）上，f （x ）＞0，f(x)x＜0⇔{f(x)＞0x ＜0或{f(x)＜0x ＞0，则有x ＞√3或−√3＜x ＜0，故不等式f(x)x＜0的解集为（−√3，0）∪（√3，+∞）；故答案为：（−√3，0）∪（√3，+∞）．16．已知函数f （x ）={x 2−6x +4，x ≥02x +4，x ＜0，若存在互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f（x 3），且x 1＜x 2＜x 3，则x 2+x 3＝ 6 ；x 1⋅x 2⋅x 3的取值范围为 (−812，0) ． 解：由题意作出f （x ）的图象：得x≥0时，f（x）的图象是二次函数y＝x2﹣6x+4的一部分，顶点为A（3，﹣5）；当x＜0时，是一次函数y＝2x+4的一部分，令k＝f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则实数x1，x2，x3即为y＝k与y＝f（x）有三个交点的横坐标，此时﹣5＜k＜4，结合x1＜x2＜x3，可知x2+x3＝2×3＝6；由k＝f（x1），令2x1+4=k⇒x1=k−42，又由k＝f（x2）＝f（x3）⇒x2，x3是方程x2﹣6x+4＝k的两根，则x2x3＝4﹣k，则x1⋅x2⋅x3=−(k−4)22，又−5＜k＜4⇒x1⋅x2⋅x3∈(−812，0)．故答案为：6，(−812，0)．四、解答题（共70分）17．已知A＝{x|x≥3或x≤﹣3}，B={x|x−7x+1≤0}，C＝{x|（x﹣2）2＜16}（1）求B和C；（2）若全集U＝R，求A∪（∁U B）．解：（1）B={x|x−7x+1≤0}={x|−1＜x≤7}，C＝{x|（x﹣2）2＜16}＝{x|﹣2＜x＜6}．（2）∵U＝R，B＝{x|﹣1＜x≤7}，∵A＝{x|x≥3或x≤﹣3}，∁U B＝{x|x＞7或x≤﹣1}，∴A∪（∁U B）＝{x|x≥3或x≤﹣1}．18．命题p：“∀x∈[1，2]，x2+x﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+3x+2﹣a＝0”．（1）当p为假命题时，求实数a的取值范围；（2）若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．解：（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2+x﹣a≥0”，p为假命题，∴∃x∈[1，2]，x2+x﹣a＜0，即a＞x2+x，设g（x）＝x2+x，则a＞g（x）min＝g（1）＝2，故实数a的取值范围为（2，+∞）．（2）由（1）可知，若p为真命题，则a≤2，若p为假命题，则a＞2，若命题q：“∃x∈R，x2+3x+2﹣a＝0”为真命题，则Δ＝9﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥−1 4，若命题q：“∃x∈R，x2+3x+2﹣a＝0”为假命题，则a＜−1 4，p和q中有且只有一个是真命题，若p真q假时，a≤2且a＜−1 4，故a＜−1 4，若p假q真时，a＞2且a≥−1 4，故a＞2，综上所述，实数a的取值范围为{a|a＜−14或a＞2}．19．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+b（a，b∈R）．（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，3），求不等式bx2﹣ax+4＜0的解集；（2）若b＝1，a＞0，求关于x的不等式f（x）＞0的解集．解：（1）∵x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，3），∴a＞0，且﹣1，3是方程ax2﹣（a+1）x+b＝0的两个实数根，∴（﹣1）+3=a+1a，（﹣1）×3=ba，解得a＝1，b＝﹣3，∴不等式bx2﹣ax+4＜0等价于﹣3x2﹣x+4＜0，即3x2+x﹣4＞0，故（x﹣1）（3x+4）＞0，解得x＜−43或x＞1，所以该不等式的解集为（﹣∞，−43）∪（1，+∞）；（2）当b ＝1时，不等式f （x ）＞0等价于ax 2﹣（a +1）x +1＞0，即（ax ﹣1）（x ﹣1）＞0，又a ＞0，所以不等式等价于（x −1a ）（x ﹣1）＞0，当1a=1，即a ＝1时，不等式为（x ﹣1）2＞0，解得x ≠1； 当1a＜1，即a ＞1时，解不等式得x ＜1a 或x ＞1； 当1a ＞1，即0＜a ＜1时，解不等式得x ＜1或x ＞1a ，综上，当a ＞1时，不等式的解集为（﹣∞，1a ）∪（1，+∞）， 当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠1}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1a ，+∞）． 20．若函数f(x)=x (2x+3)(x−a)是定义在[﹣1，1]上的奇函数， （1）求函数f （x ）的解析式；（2）用定义证明：f （x ）在[﹣1，1]上是递减函数；（3）若f （2+3m ）+f （m ）＞0，求实数m 的范围．解：（1）函数f(x)=x (2x+3)(x−a)是定义在[﹣1，1]上的奇函数，可得f （1）+f （﹣1）=15(1−a)+11+a =0，解得a =32，即f （x ）=2x (2x+3)(2x−3)即f （x ）=2x 4x 2−9（﹣1≤x ≤1）， 经检验，满足f （﹣x ）+f （x ）＝0，所以f （x ）的解析式为f （x ）=2x 4x 2−9（﹣1≤x ≤1）； （2）证明：设﹣1≤x 1＜x 2≤1，则f （x 1）﹣f （x 2）=2x 14x 12−9−2x 24x 22−9=2(x 2−x 1)(4x 1x 2+9)(4x 12−9)(4x 22−9)， 由于﹣1≤x 1＜x 2≤1，则x 2﹣x 1＞0，4x 1x 2+9＞0，4x 12﹣9＜0，4x 22﹣9＜0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），即有f （x ）在[﹣1，1]上是递减函数；（3）由于f （2+3m ）+f （m ）＞0，且奇函数f （x ）在[﹣1，1]上是递减函数，则f （2+3m ）＞﹣f （m ）＝f （﹣m ），即有{2+3m ＜−m −1≤2+3m ≤1−1≤m ≤1，解得﹣1≤m ＜−12，则m 的取值范围是[﹣1，−12）．21．为打好扶贫攻坚战，突出帮扶对象，落实帮扶措施，村为某帮扶对象建设猪圈，购置猪崽，帮助养猪致富．现在要建成完全一样的长方体猪圈两间（每间留一个面积为1平方米的门），一面利用原有的墙（墙长a 米，a ≥2），其他各面用砖砌成（如图）．若每间猪圈的面积为24平方米，高2米，如果砌砖每平方米造价100元（猪圈的地面和顶部不计费用），砖的宽度忽略不计；每个门造价200元，设每间猪圈不靠墙一边的长为x 米，猪圈的总造价为y 元．（1）求y 关于x 的函数关系式，并求出函数的定义域；（2）当x 为多少米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低？并求出最低造价．（1）解：因为每间猪圈靠墙一边的长为x 米，猪圈的总造价为y 元，则y ＝（2x ×2+24x ×2×−2）×100+2×200=400(x +36x )+200（12≤x ≤a 2）． （2）解：①若a ≥12，y =400(x +36x )+200≥400×2√x ⋅36x +200=5000， 当且仅当x =36x，即x ＝6时，y min ＝5000， 故当x 为6米时，猪圈的总造价最低，最低造价5000元，②若2≤a ＜12，函数y =400(x +36x )+200在(0，a 2]上递减，当x =a 2时，y min =200(a +144a +1)，故当x 为a 2米时，猪圈的总造价最低，最低造价为200(a +144a +1)元， 综上所述，当a ≥12，x ＝6时，最低造价5000元，当2≤a ＜12，x =a 2时，最低造价为200(a +144a +1)元．22．已知函数f （x ）＝x −4x ，x ∈[1，2]．（1）求函数f （x ）的值域；（2）设F （x ）＝x 2+16x 2−2a(x −4x )，x ∈[1，2]，a ∈R ，求函数F （x ）的最小值g （a ）； （3）对（2）中的g （a ），若不等式g （a ）＞﹣2a 2+at +4对于任意的a ∈（﹣3，0）时恒成立，求实数t 的取值范围．解：（1）在[1，2]任取x 1，x 2且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，x 1•x 2＞0，所以，f(x 2)−f(x 1)=(x 2−4x 2)−(x 1−4x 1)=(x 2−x 1)⋅(x 1⋅x 2+4)x 1⋅x 2＞0， 即f （x 2）＞f （x 1），所以f(x)=x −4x 是[1，2]上增函数，故当x ＝1时，f （x ）取得最小值﹣3，当x ＝2时，f （x ）取得最大值0，所以函数f （x ）的值域为[﹣3，0]．（说明：不证明单调性的扣2分）（2）F(x)=x 2+16x 2−2a(x −4x )=(x −4x )2−2a(x −4x )+8，x ∈[1，2]， 令x −4x=t ，t ∈[﹣3，0]，则h （t ）＝t 2﹣2at +8＝（t ﹣a ）2+8﹣a 2． ①当a ≤﹣3时，h （t ）在[﹣3，0]上单调递增，故g （a ）＝h （﹣3）＝6a +17；②当a ≥0时，h （t ）在[﹣3，0]上单调递减，故g （a ）＝h （0）＝8；③当﹣3＜a ＜0时，h （t ）在[﹣3，a ]上单调递减，在[a ，0]上单调递增，故g （a ）＝h （a ）＝8﹣a 2；综上所述，g(a)={6a +17，(a ≤−3)8−a 2，(−3＜a ＜0)8，(a ≥0)（3）由（2）知，当a ∈（﹣3，0）时，g （a ）＝8﹣a 2，所以g （a ）＞﹣2a 2+at +4，即8﹣a 2＞﹣2a 2+at +4，整理得，at ＜a 2+4．因为a ＜0，所以t ＞a +4a 对于任意的a ∈（﹣3，0）时恒成立．令φ(a)=a +4a ，a ∈（﹣3，0），问题转化为t ＞φ（a ）max ．在（﹣3，0）任取a 1，a 2且a 1＜a 2，则a 2﹣a 1＞0，a 1•a 2＞0，所以，φ(a 2)−φ(a 1)=(a 2+4a 2)−(a 1+4a 1)=(a 2−a 1)⋅(a 1⋅a 2−4)a 1⋅a 2， ①当a 1，a 2∈（﹣3，﹣2]时，a 1•a 2＞4，所以φ（a 2）﹣φ（a 1）＞0，即φ（a 2）＞φ（a 1）， 所以函数φ(a)=a +4a 在（﹣3，﹣2]上单调递增；②当a 1，a 2∈[﹣2，0）时，a 1•a 2＜4，所以φ（a 2）﹣φ（a 1）＜0，即φ（a 2）＜φ（a 1）， 所以函数φ(a)=a +4a 在[﹣2，0）上单调递减；综上，φ（a ）max ＝φ（﹣2）＝﹣4，从而t ＞﹣4．所以，实数t 的取值范围是（﹣4，+∞）．（说明：此问不证明单调性的扣2分）。
最新版高一数学上学期期中试题及答案(新人教A版 第29套)
高一上学期期中考试数学试题网]一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在①{}10,1,2⊆；②{}{}10,1,2∈；③{}{}0,1,20,1,2⊆； ④∅{}0上述四个关系中，错误．．的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.下列函数中,在区间()0,+∞上是增函数的是( )A ．2y x =-B ．1y x =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．2log y x = 3. 函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是( ) A ．(),1-∞- B ．()1,+∞ C ．()()1,11,-+∞ D ．(),-∞+∞4.已知函数2()(1)m f x m m x =-+是幂函数，则实数m 的值是（ ）A ．０ Ｂ．１ Ｃ．０或１ Ｄ．1-５. 若0.3321log ,(),log 0.82a b c p ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23x f x =-,那么(2)f -的值是( ) A ．1- B ．114 C ．1 D ．114- 7. 在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( ) A.1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8.设函数⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),2(,log ]2,(,2)(2x x x x f x ，则满足4)(=x f 的x 的值是（ ）A.2B.16C.2或16D.-2或169.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知3log 2,35b a ==，用,a b表示log ） A. 1a b ++ B. 1(1)2a b -- C . 1a b -- D.1(1)2a b ++11..函数(]12log ,0,8y x x =?的值域是 （ ） A. [)3,-+? B.[)3,+? C. (],3-? D.(],3-?12.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电原价是( )元.A.2520B.2250C.900D.3150二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 函数 )10(31≠>+=-a a ay x 且的图象必过定点P , P 点的坐标为_________.14.函数232(01)y x x x =-+≤≤的值域为15.函数()f x 的定义域为16.下列函数：○1y=x lg ； ○2;2xy = ○3y = x 2; ○4y= |x| －1；其中有2个零点的函数的序号是 。
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷及答案解析
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 23．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．35．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M6．已知a =312，b =log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B ．C．D．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（）A．f（0）＝0B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x11．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝a t．关于下列说法正确的是（）A．浮萍每月的增长率为2B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 12．若集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}中只有一个元素，则a的取值可以是（）A．92B．98C．0D．1三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（3﹣2x）的定义域为．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为元/桶时能获得最大利润．15．不等式0.1x﹣ln（x﹣1）＞0.01的解集为．16．对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？21．（12分）定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R）．（1）求f（0），f（1）；（2）若对于任意x∈[12，3]都有f（kx2）+f（2x﹣1）＜0成立，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝2x−12x，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围；2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2解：命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式是特称命题； ∴￢p ：“∃x ∈N ，x 3≤x 2”． 故选：D ．3．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：p ：|m +1|＜1等价于﹣2＜m ＜0，∵幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减， ∴m 2﹣m ﹣1＝1，且m ＜0， 解得m ＝﹣1，∴p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．3解：∵幂函数f （x ）＝x 2m ﹣1的图象经过点（2，8），∴22m ﹣1＝8，∴m ＝2， 故选：C ．5．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M解：①当n ＝2m ，m ∈Z 时，x ＝4m +1，m ∈Z ， ②当n ＝2m +1，m ∈Z 时，x ＝4m +3，m ∈Z ， 综合①②得：集合N ＝{x |x ＝4m +1或x ＝4m +3，m ∈Z }， 又集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }， 即M ⫋N ， 故选：A ． 6．已知a =312，b=log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a解；∵a =312∈（1，2），b=log 2√3＞log 2√2=12，∵log 2√3＜log 22=1， ∴12＜b ＜1，c ＝log 92＜log 93=12， 则a ＞b ＞c ， 故选：A ． 7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B．C．D．解：函数y=4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）=4xx2+1，则f（﹣x）=−4xx2+1=−f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①a2+3﹣2a＝（a﹣1）2+2＞0恒成立，所以a2+3＞2a，故①正确；②a2+b2﹣2a+2b+2＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以a2+b2≥2（a﹣b﹣1），故②正确；③x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，故③不正确．故恒成立的个数是2．故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅解：在A 项中，依题意可得a ＝0，且3b +3＝0，解得b ＝﹣1，此时不等式为﹣x +3＞0，解得x ＜3，故A 项错误；在B 项中，取a ＝1，b ＝2，可得x 2+2x +3＝（x +1）2+2＞0，解集为R ，故B 项正确； 在C 项中，依题意可得a ＜0，且{−1+3=−ba −1×3=3a ，解得{a =−1b =2，符合题意，故C 项正确．在D 选中，当x ＝0时，ax 2+bx +3＝3＞0，可得其解集不为∅，故D 选错误； 故选：BC ．10．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，下列命题中正确的有（ ） A ．f （0）＝0B ．若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1C ．若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D ．若x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），当x ＝0时，有f （0）＝﹣f （0），变形可得f （0）＝0，A 正确，对于B ，若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，即x ≥0时，f （x ）≥﹣1，则有﹣x ≤0，f （﹣x ）＝﹣f （x ）≤1，即f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1，B 正确，对于C ，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，C 错误，对于D ，设x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（x 2+2x ）＝﹣x 2﹣2x ，D 正确， 故选：ABD ．11．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系为y ＝a t ．关于下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过80m 2D ．若浮萍蔓延到2m 2，4m 2，8m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 2＝t 1+t 3 解：图象可知，函数过点（1，3）， ∴a ＝3，∴函数解析式为y ＝3t ， ∴浮萍每月的增长率为：3t+1−3t3t=2×3t 3t=2，故选项A 正确，∵函数y ＝3t 是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，故选项B 错误， 当t ＝4时，y ＝34＝81＞80，故选项C 错误，对于D 选项，∵3t 1=2，3t 2=4，3t 3=8，∴t 1＝log 32，t 2＝log 34，t 3＝log 38， 又∵2log 34＝log 316＝log 32+log 38，∴2t 2＝t 1+t 3，故选项D 正确， 故选：AD ．12．若集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．92B ．98C ．0D ．1解：∵A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，∴若a ＝0，方程等价为﹣3x +2＝0，解得x =23，满足条件． 若a ≠0，则方程满足△＝0，即9﹣8a ＝0，解得a =98．故选：BC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数f （3﹣2x ）的定义域为 [12，52] ． 解：∵函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]， ∴由﹣2≤3﹣2x ≤2，解得12≤x ≤52．∴函数f （3﹣2x ）的定义域为[12，52]．故答案为：[12，52]．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为 11.5 元/桶时能获得最大利润． 解：由表可知，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶． 设每桶水的价格为（6+x ）元，公司日利润为y 元，则y ＝（6+x ﹣5）（480﹣40x ）﹣200＝﹣40x 2+440x +280＝﹣40(x −112)2+1490， 所以当x ＝5.5时，y 取得最大值，所以每桶水定价为11.5元时，公司日利润最大． 故答案为：11.5．15．不等式0.1x ﹣ln （x ﹣1）＞0.01的解集为 （1，2） ． 解：设函数f （x ）＝0.1x ﹣ln （x ﹣1）， ∵y ＝0.1x 和y ＝﹣ln （x ﹣1）均为减函数， ∴函数f （x ）为减函数，∵f （2）＝0.01，且函数的定义域为（1，+∞）， ∴原不等式等价于f （x ）＞f （2）， ∴1＜x ＜2，∴不等式的解集为（1，2）． 故答案为：（1，2）．16．对于函数f （x ），若在定义域存在实数x ，满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），则称f （x ）为“局部奇函数”．若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程f （﹣x ）＝﹣f （x ）有解； 即4﹣x ﹣m •2﹣x ﹣3＝﹣（4x ﹣m •2x ﹣3）有解；变形可得4x +4﹣x ﹣m （2x +2﹣x ）﹣6＝0，即（2x +2﹣x ）2﹣m （2x +2﹣x ）﹣8＝0有解即可；设2x +2﹣x ＝t （t ≥2），则方程等价为t 2﹣mt ﹣8＝0在t ≥2时有解；设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣8＝0，必有g （2）＝4﹣2m ﹣8＝﹣2m ﹣4≤0， 解可得：m ≥﹣2，即m 的取值范围为[﹣2，+∞）； 故答案为：[﹣2，+∞）．四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a−2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927． 解：（1）∵a ≤2， ∴√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12， ＝2﹣a +a +3+2＝7；（2）3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927， =12+log 610⋅lg6+32， =12+1+32=3．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：（1）∵集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}∴A ∪B ＝{x |1≤x ＜8}，（∁U A ）＝{x |x ＜1或x ≥5}，（∁U A ）∩B ＝{x |5≤x ＜8}（2）∵“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}∴C ⫋A ，∴{a +3＜5a ≥1，解得1≤a ＜2，故a的取值范围是[1，2）．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．解：（1）当a＝4时，f（x）=x−2x+4x=x+4x−2，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x+4x−2≥2√x×4x−2＝2，当且仅当x=4x即x＝2时等号成立，所以f（x）的最小值为2．（2）根据题意可得x2﹣2x+a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，等价于a＞﹣x2+2x在x∈（0，+∞）上恒成立，因为g（x）＝﹣x2+2x在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1，所以a＞1．（3）f（x）＝x+ax−2，设0＜x1＜x2＜√a，f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+ax1−a x2=（x1﹣x2）（1−ax1x2）=(x1−x2)(x1x2−a)x1x2，∵0＜x1＜x2＜√a，∴x1x2＜a，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，√a）单调递减，同理可证f（x）在（√a，+∞）单调递增，当0＜a≤4时，0＜√a≤2，函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（2）=a 2，当a＞4时，√a＞2，函数f（x）在[2，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（√a）＝2√a−2．所以f（x）min={a2(0＜a＜4)2√a−2(a＞4)．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%． 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种． ①每日进行定额财政补贴，金额为2300元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x ．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？ 解：（Ⅰ）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为yx=x 2+3200x+40，x ∈[70，100]，而x2+3200x +40≥2√x 2⋅3200x+40=2×40+40＝120，当且仅当x2=3200x，即x ＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低．因为80＜100，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态．（Ⅱ）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y 1，y 1=100x −(12x 2+40x +3200)+2300=−12x 2+60x −900=−12(x −60)2+900， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝70吨时，企业获得最大利润，为850元． 若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y 2，y 2=130x −(12x 2+40x +3200)=−12x 2+90x −3200=−12(x −90)2+850， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝90吨时，企业获得最大利润，为850元．结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，当日加工处理量为90吨时，获得最大利润， 由于最大利润相同，所以选择两种方案均可．21．（12分）定义在R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）（x ，y ∈R ）． （1）求f （0），f （1）；（2）若对于任意x ∈[12，3]都有f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）因为R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）．令x ＝y ＝0可得f （0）＝2f （0）， 所以f （0）＝0，令x ＝1，y ＝1，可得f （2）＝2f （1），令x ＝2，y ＝1可得f （3）＝f （1）+f （2）＝3f （1）＝6， 所以f （1）＝2；（2）∵f （x ）是奇函数，且f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0在x ∈[12，3]上恒成立， ∴f （kx 2）＜f （1﹣2x ）在x ∈[12，3]上恒成立，且f （0）＝0＜f （1）＝2； ∴f （x ）在R 上是增函数，∴kx 2＜1﹣2x 在x ∈[12，3]上恒成立， ∴k ＜(1x )2−2(1x )在x ∈[12，3]上恒成立， 令g(x)=(1x )2−2(1x )=(1x −1)2−1． 由于12≤x ≤3，∴13≤1x≤2．∴g （x ）min ＝g （1）＝﹣1，∴k ＜﹣1，即实数k 的取值范围为（﹣∞，﹣1）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2x −12x ，g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b （b ∈R ）． （1）若f （x ）＞0，求实数x 的取值范围；（2）若存在x 1，x 2∈[1，+∞），使得f （x 1）＝g （x 2），求实数b 的取值范围；解：（1）f（x）＞0⇔2x−12x＞0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0．∴实数x的取值范围为（0，+∞）．（2）设函数f（x），g（x）在区间[1，+∞）的值域分别为A，B．∵f（x）＝2x−12x在[1，+∞）上单调递增，∴A＝[32，+∞）．∵g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b＝﹣（lnx﹣2）2+b+4（b∈R）．∵x∈[1，+∞），∴lnx∈[0，+∞），∴g（x）≤b+4，依题意可得A∩B≠∅，∴b+4≥32，即b≥−32．∴实数b的取值范围为[−32，+∞）．。
2021年高一数学上学期期中试题(含解析)
2021年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1．设全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由补集定义得，所以考点：集合的运算.2．下列四个图形中，不是．．以为自变量的函数的图象是（ ）【答案】C【解析】试题分析：根据函数定义，对自变量x 的任意一个值，有且只有唯一一个实数（函数值）与它对应。
显然A,B,D 满足，C 不满足.考点：函数的概念．3．下列四组中的函数与，是同一函数的是（ ）A ．2()ln(1)ln(1),()ln(1)f x x x g x x =-++=-B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：定义域相同，对应法则相同的函数是同一函数.A 满足，定义域均为，B 中的定义域为，的定义域为，C 中的定义域为，的定义域为，D 中的定义域为，的定义域为.考点：同一函数的概念.4．函数log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====的图像如图所示，则的大小顺序（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：作直线分别与log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====的交点为，，，.结合图像知.考点：对数函数的图象与性质.5．下列函数中既是偶函数又在上是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：A 是奇函数，C ，D 是偶函数且在上单调递减.考点：函数的奇偶性与单调性.6．已知函数为幂函数，则（ ）A ． 或 2B ． 或 1C ．D ．1【答案】C【解析】试题分析：因为幂函数，所以，所以，又，所以.考点：幂函数的定义.7．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：因，所以，又，所以.考点：不等式性质及对数、指数函数的单调性.8．函数的值域是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，，所以考点：函数的值域.9．函数的反函数的图像为（ ）【答案】D【解析】试题分析：因为与互为反函数，所以选D.考点：反函数的定义及图象.10．已知函数在上是增函数，，若 ，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ． D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，又在单调递增，所以，解得.考点：函数的单调性及不等式.11．已知函数，则的值是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．1【答案】D【解析】试题分析：因为12log )2()1()4()7()10(2===-=-=-=-f f f f f .考点：分段函数.12．已知是函数的一个零点．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：据增函数+增函数=增函数，所以为增函数，又，为的一个零点，所以.考点：函数的零点，单调性.二、填空题13．{}{}25,,A x x B x x a A B =-≤≤=>⊆，则取值范围是 ．【答案】【解析】试题分析：画出数轴图，可以得到.考点：集合的运算.14．函数的定义域是．【答案】【解析】试题分析由得.考点：函数的定义域.15．满足的的取值集合是．【答案】【解析】试题分析：由得考点：指数函数的性质及不等式解法.16．设函数，则．【答案】1【解析】试题分析：令得①，令得②，由①②得.考点：抽象函数，特值法.三、解答题17．（10分）设集合至多有个一元素，求实数的取值范围.【答案】或.【解析】试题分析：集合M至多一个元素，则M只有一个元素或为空集，当M为空集时，方程没有实数根，注意字母a的讨论；当M只有一个元素时，方程的根有且只有一个，此题容易漏掉的情况.试题解析：若集合至多有个一元素则只有一个元素或为空集那么或所以或．考点：集合、元素的概念.18．（12分）已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．【答案】（1）；（2）f（x）为奇函数.【解析】试题分析：（1）函数的定义域是使得自变量有意义的取值范围，由对数函数真数大于0即可求得定义域为，此时注意分式不等式的解法；（2）只需按照奇函数与偶函数定义证明即可.即根据定义第一步，任取值；第二步，作差；第三步，判断符号；第四步，下结论；注意步骤. 试题解析：解：（1）由，得，故函数f（x）的定义域为；（2）函数f（x）是偶函数，理由如下：由（1）知，函数f （x ）的定义域关于原点对称， 且故函数f （x ）为奇函数．考点： 函数的定义域与单调性.19．（12分） 化简或求值（1） ；（2）2lg5+【答案】（1）；（2）1【解析】试题分析：（1）（2）用指数、对数式运算性质即可.指数幂运算的一般思路（1）有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．（3）若底数是负数，则先确定符号；若底数是小数，则先化成分数；若底数为带分数，则先化成假分数．对数的运算一般有两种解题方法：一是把对数先转化成底数相同的形式，再把对数运算转化成对数真数的运算；二是把对数式化成最简单的对数的和、差、积、商、幂，合并同类项以后再运算． 试题解析：（1）1111022333224181321221(2)2(2)()=1[()][()]=1+54274234332---+⨯-+⨯-⨯-= ；（2）2lg5+2l 12(g 2)lg 2(1lg 2)22=+⋅-+考点：对数、指数式的运算.20．（12分）已知．（1）画出的图像；（2）若，求实数的值。
2022-2023学年江苏省苏州中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省苏州中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A ＝{x |3x ≥1}，B ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |x ＜﹣1} B ．{x |0＜x ≤4}C ．{x |x ＞4}D ．{x |﹣1＜x ≤0或x ＞4}2．已知命题p ：∃x ∈R ，3ax 2+2ax +1≤0是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0]∪（3，+∞） B ．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C ．（0，3）D ．[0，3）3．已知函数y ＝f （x ）的定义域是[﹣8，1]，则函数g （x ）=f(2x+1)x+2的定义域是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3] B ．[﹣8，﹣2）∪（﹣2，1] C ．[−92，﹣2）∪（﹣2，0]D ．[−92，﹣2]4．已知函数f （x ）＝a x ﹣4+1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x ，y 的方程mx +ny ＝4（m ＞0，n ＞0），则1m+2n的最小值为（ ）A ．9B ．24C ．4D ．65．已知关于x 的不等式mx−1x+3＞0的解集为（m ，n ），则m +n 的值为（ ）A ．﹣5B ．−103C ．﹣4D ．﹣5或−1036．若不等式：x 2﹣αx +1≥0对一切x ∈(0，12)都成立，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．527．已知函数f （x ）={1−|x|，(x ≤1)x 2−4x +3，(x ＞1)，若f （f （m ））≥0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．[﹣2，2]∪[4，+∞）C ．[﹣2，2+√2]D ．[﹣2，2+√2]∪[4，+∞）8．已知函数f （x ）＝2x +a ，g （x ）＝x 2﹣6x +1．若存在x 1∈[﹣1，1]，x 2∈[﹣1，1]，使得g （x 2）＝f （x 1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，10]B ．（﹣6，10）C ．（﹣∞，﹣6]∪[10，+∞）D ．（﹣∞，﹣6）∪（10，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a2＞c b 2D ．若﹣1≤x ＜y ≤5，则﹣6≤x ﹣y ＜010．关于函数f （x ）=√−x 2+2x +3的结论，下列说法正确的有（ ） A ．f （x ）的单调增区间是[﹣1，1] B ．f （x ）的单调减区间是[1，+∞]C ．f （x ）的最大值为2D ．f （x ）没有最小值11．若4x ﹣4y ＜5﹣x ﹣5﹣y ，则下列关系正确的是（ ）A ．x ＜yB ．y ﹣3＞x ﹣3C ．√x ＜√yD ．（13）y ＜3﹣x12．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x ，则（ ） A ．关于x 的方程f(x)=12在区间[0，5]上的所有实数根的和为254B ．关于x 的方程f(x)=12在区间[0，5]上的所有实数根的和为174C ．若函数g （x ）＝ax 与y ＝f （x ）的图象恰有5个不同的交点，则a =25或−23＜a ＜−27D ．若函数g （x ）＝ax 与y ＝f （x ）的图象恰有5个不同的交点，则a =−25或27＜a ＜23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．化简(14)−12(√4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3b −3)12（a ＞0，b ＞0）＝．14．已知f （x ）＝ax 5+bx 3+cx ﹣9，且f （﹣3）＝12，那么f （3）＝ ． 15．已知x ＞0，y ＞0，若2x +y +xy ＝6，则2x +y 的最小值为 ．16．已知函数f(x)=2x−12x +1，g （x ）＝9x ﹣t ⋅3x ，若存在实数a ，b 同时满足f （a ）+f （b ）＝0和g （a ）+g（b ）＝0，则实数t 的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ={x|14≤2x ≤32}，B ＝{x |x 2﹣4x +4﹣m 2≤0，m ∈R }． （1）若m ＝3，求A ∪B ；（2）若存在正实数m ，使得“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的_____，求正实数m 的取值范围．从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．18．（12分）定义在R 上的函数f （x ）满足：f （m +n ）＝f （m ）+f （n ）﹣2对任意m ，n ∈R 恒成立，当x ＞0时，f （x ）＞2．（1）证明：f （x ）在R 上是增函数：（2）已知f （1）＝5，解关于x 的不等式f （x ﹣1）≤8． 19．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+x |x ﹣2a |，其中a 为实数． （1）当a ＝﹣1时，求函数f （x ）的最小值；（2）若f （x ）在[﹣1，1]上单调递增，求实数a 的取值范围．20．（12分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用t （t ≥0）万元满足x ＝4−k2t+1（k 为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．（1）将该厂家2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； （2）该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？21．（12分）已知定义在R 上的函数f （x ）=−4x+b 4x+1+a是奇函数．（1）求a ，b 的值：（2）当x ∈（12，1）时，不等式4x +mf （x ）﹣3＞0恒成立，求实数m 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）=√1+x +√1−x ． （1）求函数f （x ）的值域；（2）设F （x ）=a2[f 2(x)−2]+f(x)（a ＜0），求F （x ）的最大值g （a ）；（3）对于（2）中的g （a ），若﹣m 2+2nm +√2≤g （a ）在n ∈[﹣1，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．2022-2023学年江苏省苏州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A＝{x|3x≥1}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|0＜x≤4}C．{x|x＞4}D．{x|﹣1＜x≤0或x＞4}解：A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，∴A∩B＝{x|x＞4}．故选：C．2．已知命题p：∃x∈R，3ax2+2ax+1≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]∪（3，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（0，3）D．[0，3）解：因为命题p：∃x∈R，3ax2+2ax+1≤0是假命题，则其否定：∀x∈R，3ax2+2ax+1＞0为真命题，当a＝0时，不等式化为：1＞0恒成立，当a≠0时，只需{a＞0Δ=4a2−12a＜0，解得0＜a＜3，综上，实数a的范围为[0，3），故选：D．3．已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣8，1]，则函数g（x）=f(2x+1)x+2的定义域是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3]B．[﹣8，﹣2）∪（﹣2，1]C．[−92，﹣2）∪（﹣2，0]D．[−92，﹣2]解：由题意得：﹣8≤2x+1≤1，解得：−92≤x≤0，由x+2≠0，解得：x≠﹣2，故函数的定义域是[−92，﹣2）∪（﹣2，0]，故选：C．4．已知函数f（x）＝a x﹣4+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny＝4（m ＞0，n ＞0），则1m+2n的最小值为（ ）A ．9B ．24C ．4D ．6解：由函数f （x ）＝a x ﹣4+1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A 知， x ﹣4＝0，故x ＝4，f （3）＝2， 故A （4，2）；∵点A 的坐标满足关于x ，y 的方程mx +ny ＝4， ∴4m +2n ＝4， 故1m+2n=14（1m+2n）（4m +2n ）=14（8m n+2n m+8）≥14×（2√8m n ⋅2n m+8）＝4， 当且仅当8m n=2n m，即m =12，n ＝1时，等号成立；故1m+2n的最小值为4，故选：C ．5．已知关于x 的不等式mx−1x+3＞0的解集为（m ，n ），则m +n 的值为（ ）A ．﹣5B ．−103C ．﹣4D ．﹣5或−103解：∵不等式mx−1x+3＞0的解集为（m ，n ），∴（mx ﹣1）（x +3）＞0的解集为（m ，n ），∴方程（mx ﹣1）（x +3）＝0的两根为m ，n ，且m ＜0，m ＜n ，∴{1m =m n =−3或{1m =n m =−3，∴{m =−1n =−3（舍去）或{m =−3n =−13， ∴m +n =−103， 故选：B ．6．若不等式：x 2﹣αx +1≥0对一切x ∈(0，12)都成立，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．52解：因为不等式x 2﹣ax +1≥0对一切x ∈(0，12)恒成立，所以对一切x ∈(0，12)，ax ≤x 2+1，即a ≤x 2+1x 恒成立，令g(x)=x 2+1x =x +1x (x ∈(0，12))，由对勾函数性质可知g(x)=x +1x 在(0，12)内为减函数，所以g(x)＞g(12)=52， 故a ≤52，所以a 的最大值是52．故选：D ． 7．已知函数f （x ）={1−|x|，(x ≤1)x 2−4x +3，(x ＞1)，若f （f （m ））≥0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．[﹣2，2]∪[4，+∞）C ．[﹣2，2+√2]D ．[﹣2，2+√2]∪[4，+∞）解：令f （m ）＝t ⇒f （t ）≥0⇒{1−|t|≥0t ≤1⇒﹣1≤t ≤1；{t 2−4t +3≥0t ＞1⇒t ≥3 下面求解﹣1≤f （m ）≤1和f （m ）≥3， {−1≤1−|m|≤1m ≤1⇒﹣2≤m ≤1， {−1≤m 2−4m +3≤1m ＞1⇒1＜m ≤2+√2， {1−|m|≥3m ≤1⇒m 无解， {m 2−4m +3≥3m ＞1⇒m ≥4， 综上实数m 的取值范围是[﹣2，2+√2]∪[4，+∞）． 故选：D ．8．已知函数f （x ）＝2x +a ，g （x ）＝x 2﹣6x +1．若存在x 1∈[﹣1，1]，x 2∈[﹣1，1]，使得g （x 2）＝f （x 1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，10]B ．（﹣6，10）C ．（﹣∞，﹣6]∪[10，+∞）D ．（﹣∞，﹣6）∪（10，+∞）解：∵f （x ）＝2x +a ，x ∈[﹣1，1]是单调递增函数，∴f （x ）的值域A ＝[a ﹣2，a +2]，g （x ）＝x 2﹣6x +1的对称轴是x ＝3，在x ∈[﹣1，1]上，函数单调递减，∴g （x ）的值域B ＝[﹣4，8]， 因为存在x 1∈[﹣1，1]，x 2∈[﹣1，1]，使得g （x 2）＝f （x 1）， 所以A ∩B ≠∅，若A ∩B ＝∅，则a ﹣2＞8或a +2＜﹣4， 解得a ＞10或a ＜﹣6，所以当﹣6≤a ≤10时，A ∩B ≠∅， 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a2＞c b 2D ．若﹣1≤x ＜y ≤5，则﹣6≤x ﹣y ＜0解：对于A ，若a ＞b ＞0，c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错误， 对于B ，若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ，ab ＞b 2， ∴a 2＞ab ＞b 2，故B 正确，对于C ，若a ＞b ＞0，则a 2＞b 2＞0，∴1a2＜1b 2，又∵c ＜0，∴c a 2＞c b 2，故C 正确，对于D ，若﹣1≤x ＜y ≤5，则x ﹣y ＜0，且﹣5≤﹣y ＜1， ∴﹣6≤x ﹣y ＜0，故D 正确， 故选：BCD ．10．关于函数f （x ）=√−x 2+2x +3的结论，下列说法正确的有（ ） A ．f （x ）的单调增区间是[﹣1，1] B ．f （x ）的单调减区间是[1，+∞]C ．f （x ）的最大值为2D ．f （x ）没有最小值解：由﹣x 2+2x +3≥0，解得：﹣1≤x ≤3， 故函数的定义域是[﹣1，3]， 由y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， 得对称轴是x ＝1，故函数f （x ）在[﹣1，1]递增，在[1，3]递减，故A 正确，B 错误；故f （x ）的最大值是f （1）＝2，最小值是f （﹣1）＝f （3）＝0，故C 正确，D 错误； 故选：AC ．11．若4x ﹣4y ＜5﹣x ﹣5﹣y ，则下列关系正确的是（ ）A ．x ＜yB ．y ﹣3＞x ﹣3C ．√x ＜√yD ．（13）y ＜3﹣x解：由4x ﹣4y ＜5﹣x ﹣5﹣y ，得4x ﹣5﹣x ＜4y ﹣5﹣y ，令f （x ）＝4x ﹣5﹣x ，则f （x ）在R 上单调递增，由f （x ）＜f （y ），得x ＜y ． 故选：AD ．12．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x ，则（ ） A ．关于x 的方程f(x)=12在区间[0，5]上的所有实数根的和为254B ．关于x 的方程f(x)=12在区间[0，5]上的所有实数根的和为174C ．若函数g （x ）＝ax 与y ＝f （x ）的图象恰有5个不同的交点，则a =25或−23＜a ＜−27D ．若函数g （x ）＝ax 与y ＝f （x ）的图象恰有5个不同的交点，则a =−25或27＜a ＜23解：函数为定义在R 上的奇函数，所以f （0）＝0， 定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ），所以f （2+x ）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （4+x ）＝f （x ），即函数的周期T ＝4， 又f （2﹣x ）＝f （x ），所以函数关于x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f(x)=2x =12，解得x =14，作函数的大致图象，如图，由图可知方程f(x)=12在区间[0，5]上的所有实数根的和为14+2×3=254，故A 正确，B 错误；若函数g （x ）＝ax 与y ＝f （x ）的图象恰有5个不同的交点，当a ＞0时，由图象可知，直线g （x ）＝ax 过点（5，2）时，即a =25时，满足题意， 当a ＜0时，找出两个临界情况，当直线y ＝ax 过（3，﹣2）时，a =−23，有3个交点， 当直线y ＝ax 过（7，﹣2）时，a =−27有6个交点，由图象知，当−23＜a ＜−27时，直线y ＝ax 与y ＝f （x ）的图象有5个交点．综上，当a =25或−23＜a ＜−27时，函数g （x ）＝ax 与y ＝f （x ）的图象恰有5个不同的交点，故C 正确D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．化简(14)−12(√4ab −1)3(0.1)−1⋅(a 3b−3)12（a ＞0，b ＞0）＝85．解：原式=2⋅(4ab −1)3210⋅a 32⋅b −32=8a 32⋅b −325a 32⋅b −32=85．故答案为：85．14．已知f （x ）＝ax 5+bx 3+cx ﹣9，且f （﹣3）＝12，那么f （3）＝ 30 ． 解：∵f （﹣3）＝12，∴f （﹣3）＝a （﹣3）5+b （﹣3）3+c （﹣3）﹣9 又f （3）＝a •35+b •33+3c ﹣9，∴f （﹣3）+f （3）＝﹣18，由于f （﹣3）＝12，则f （3）＝﹣30． 故答案为：﹣30．15．已知x ＞0，y ＞0，若2x +y +xy ＝6，则2x +y 的最小值为 4 ． 解：因为x ＞0，y ＞0，2x +y +xy ＝6， 所以2x +y ＝6﹣xy ＝6−12×2x ⋅y ≥6−12×(2x+y 2)2，当且仅当2x ＝y 时取等号， 解得2x +y ≥4或2x +y ≤﹣12（舍）， 则2x +y 的最小值为4． 故答案为：4．16．已知函数f(x)=2x−12x +1，g （x ）＝9x ﹣t ⋅3x ，若存在实数a ，b 同时满足f （a ）+f （b ）＝0和g （a ）+g（b ）＝0，则实数t 的取值范围为 [1，+∞） ．解：因为f （x ）的定义域是R ，且f （﹣x ）=2−x−12−x +1=1−2x1+2x =−f （x ），所以f （x ）为R 上的奇函数， 又f （a ）+f （b ）＝0， 所以b ＝﹣a ，所以g （a ）+g （﹣a ）＝0， 所以9a ﹣t ⋅3a +9﹣a ﹣t ⋅3﹣a ＝0有解，即（3a +3﹣a ）2﹣t •（3a +3﹣a ）﹣2＝0有解，即t =(3a +3−a )2−23a +3−a=3a +3﹣a −23a +3−a ，令m ＝3a +3﹣a （m ≥2），则t ＝m −2m在[2，+∞）有解，令h （m ）＝m −2m（m ≥2），则h ′（m ）＝1+2m 2＞0， 所以h （m ）在[2，+∞）上单调递增， h （m ）≥h （2）＝1， 所以t ≥1，所以实数t 的取值范围为[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ={x|14≤2x ≤32}，B ＝{x |x 2﹣4x +4﹣m 2≤0，m ∈R }． （1）若m ＝3，求A ∪B ；（2）若存在正实数m ，使得“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的_____，求正实数m 的取值范围．从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．解：（1）当m ＝3时，集合B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}＝{x |﹣1≤x ≤5}， 集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，则A ∪B ＝{x |﹣1≤x ≤5}； （2）集合B ＝{x |2﹣m ≤x ≤2+m }，选①：若“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的充分不必要条件，则A ⫋B ，所以{2+m ＜52−m ＞−1m ＞0，解得0＜m ＜3，所以实数m 的取值范围为（0，3）；选②：若“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的必要不充分条件，则B ⫋A ，所以{2+m ＞52−m ＜−1m ＞0，解得m ＞3，所以实数m 的取值范围为（3，+∞）．18．（12分）定义在R 上的函数f （x ）满足：f （m +n ）＝f （m ）+f （n ）﹣2对任意m ，n ∈R 恒成立，当x ＞0时，f （x ）＞2．（1）证明：f （x ）在R 上是增函数：（2）已知f （1）＝5，解关于x 的不等式f （x ﹣1）≤8．解：（1）证明：因为f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣2，所以f（m+n）﹣f（m）＝f（n）﹣2，任取x1，x2∈R，且有x1＜x2，则x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＞2，f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣2＞0，所以f（x2）＞f（x1），所以f（x）在R上单调递增；（2）因为f（1）＝5，所以f（2）＝f（1+1）＝f（1）+f（1）﹣2＝8，又因为f（x）在R上为单调递增函数，所以f（x﹣1）≤8⇔f（x﹣1）≤f（2）⇔x﹣1≤2，解得x≤3，所以不等式f（x﹣1）≤8的解集为（﹣∞，3]．19．（12分）已知函数f（x）＝x2+x|x﹣2a|，其中a为实数．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）在[﹣1，1]上单调递增，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝﹣1时，y=2x2+2x=2(x+12)2−12，x≥﹣2，此时当x=−12时函数取得最小值−12；当x＜﹣2时，函数y＝﹣2x的值域是（4，+∞），所以函数的最小值是−1 2；（2）当a＝0时，，不满足函数在[﹣1，1]单调递增；当a＞0时，y＝2x2﹣2ax在[2a，+∞）单调递增，y＝2ax也是单调递增函数，且在x＝2a处连续，所以函数在R上单调递增，符合题意；当a＜0时，函数在(−∞，a2)，在[a2，+∞)单调递增，若f（x）在[﹣1，1]上单调递增，所以a2≤−1，得a≤﹣2，综上可知，a的取值范围是{a|a≤﹣2或a＞0}．20．（12分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x＝4−k2t+1（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．（1）将该厂家2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；（2）该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？解：（1）由题意有1＝4−k 1，得k ＝3，故x ＝4−32t+1．∴y ＝1.5×6+12x x ×x ﹣（6+12x ）﹣t ＝3+6x ﹣t ＝3+6（4−32t+1）﹣t ＝27−182t+1−t （t ≥0）． （2）由（1）知y ＝27−182t+1−t ＝27.5﹣[9t+12+(t +12)]∵9t+12+(t +12)≥2√9t+12⋅(t +12)=6， 当且仅当9t+12=t +12，即t ＝2.5时，等号成立， ∴y ＝27.5﹣[9t+12+(t +12)]≤27.5﹣6＝21.5．当t ＝2.5时，y 有最大值21.5．∴2013年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．21．（12分）已知定义在R 上的函数f （x ）=−4x+b 4x+1+a 是奇函数． （1）求a ，b 的值：（2）当x ∈（12，1）时，不等式4x +mf （x ）﹣3＞0恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）∵定义在R 上的函数f （x ）=−4x +b 4x+1+a是奇函数， ∴f （0）=b−14+a =0，∴b ＝1，f （x ）=1−4x 4x+1+a ． 再根据f （﹣1）＝﹣f （1），可得1−141+a =−1−416+a ，∴a ＝4，f （x ）=1−4x 4(4x +1)． （2）不等式4x +mf （x ）﹣3＞0恒成立，即 m •1−4x 4(4x +1)＞3﹣4x 恒成立． ∵x ∈（12，1），∴1−4x 4(4x +1)＜0，∴m ＜(3−4x )⋅4(4x +1)1−4x ． 令1﹣4x ＝t ，则t ∈（﹣3，﹣1），且(3−4x )⋅4(4x +1)1−4x =(t+2)×4×(2−t)t =4(4−t 2)t =4×（4t −t ）． ∴m ＜4×（4t −t ） 恒成立． 令h （t ）＝4×（4t −t ），则函数h （t ）＝4×（4t −t ）在区间（﹣3，﹣1）上是减函数， ∵h （﹣1）＝﹣12，∴m ≤﹣2．22．（12分）已知函数f （x ）=√1+x +√1−x ．（1）求函数f （x ）的值域；（2）设F （x ）=a 2[f 2(x)−2]+f(x)（a ＜0），求F （x ）的最大值g （a ）；（3）对于（2）中的g （a ），若﹣m 2+2nm +√2≤g （a ）在n ∈[﹣1，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）由1+x ≥0且1﹣x ≥0，得﹣1≤x ≤1，所以f （x ）的定义域为[﹣1，1]．又因为f 2(x)=2+2√1−x 2，∵√1−x 2∈[0，1]，∴f 2（x ）∈[2，4]，且f （x ）＞0，得f(x)∈[√2，2]，即函数f （x ）的值域为[√2，2]．（2）F(x)=a 2[f 2(x)−2]+f(x)=a√1−x 2+√1+x +√1−x ， 令t =f(x)=√1+x +√1−x ，则√1−x 2=12t 2−1，t ∈[√2，2]，所以a√1−x 2+√1+x +√1−x =a(12t 2−1)+t =12at 2+t −a ， 令φ(t)=12at 2+t −a ，t ∈[√2，2]，则g （a ）为函数φ(t)=12at 2+t −a ，t ∈[√2，2]的最大值． 易得函数y =12at 2+t −a 的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线t =−1a ． ①若t =−1a ∈(0，√2]，即a ≤−√22，则g(a)=φ(√2)=√2； ②若t =−1a ∈(√2，2)，即−√22＜a ＜−12，则g(a)=φ(−1a )=−a −12a ； ③若t =−1a ∈[2，+∞)，即−12≤a ＜0，则g （a ）＝φ（2）＝a +2．综上可得g （a ）={ √2，a ≤−√22−a −12a ，−√22＜a ＜−12a +2，−12≤a ＜0． （3）由（2）易得g(a)min =√2，要使−m 2+2nm +√2≤g(a)在n ∈[﹣1，1]上恒成立，即使−m 2+2nm +√2≤g(a)min =√2在n ∈[﹣1，1]恒成立，所以m2﹣2nm≥0在n∈[﹣1，1]上恒成立．令h（n）＝m2﹣2nm，n∈[﹣1，1]，若m＝0，则h（n）＝0≥0对任意n∈[﹣1，1]恒成立；若m≠0，则有{m＞0ℎ(1)=m2−2m≥0或{m＜0ℎ(−1)=m2+2m≥0，解得m≥2或m≤﹣2．综上，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∪{0}．。
2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1．已知函数f（x）满足f（2x）＝log2x，则f（16）＝（）A．﹣1B．1C．2D．42．已知U＝R，集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2＜9}，则下列关系正确的是（）A．A∪B＝A B．A∩B＝∅C．A∩B＝A D．∁U A⊆∁U B3．我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数y=(x2−1)√x2+1在[﹣2，2]上的图像大致是（）A．B．C．D．4．一个10位整数a的16次方根为整数b，则b＝（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg7≈0.85）A．2B．3C．4D．75．解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数D(x)={1，x为有理数，0，x为无理数，以下结论错误的是（）A．D(√2)＜D(1)B．函数y＝D（x）不是周期函数C．D（D（x））＝1D．函数y＝D（x）在（﹣∞，+∞）上不是单调函数6．设a为实数，定义在R上的偶函数f（x）满足：①f（x）在[0，+∞）上为增函数；②f（2a）＜f（a+1），则实数a的取值范围为（）A ．（﹣∞，1）B ．（−13，1）C ．（﹣1，13）D ．（−∞，−13）∪（1，+∞）7．已知a ＝4，b ＝343，c ＝log 23•log 25，则下列关系正确的是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a8．已知f(x)={(x −a)2，x ≤1x +9x+1+a ，x ＞1，若f （1）是f （x ）的最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，4]B ．[﹣1，4]C ．[1，5]D ．[﹣3，1]二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列能成为x ＞2充分条件的是（ ） A ．|x ﹣1|＞1B ．10x ＞100C ．x 2＞4D ．x−3x 2+1＞010．已知{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}，则集合A 可能是（ ） A ．{1，2}B ．∅C ．{1，2，5}D ．{1，3，5}11．已知函数f(x)=x −1x ，下列说法中正确的有（ ） A ．f （f （1））＝0 B ．∀x ∈[1，2]，f （x ）≥0C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）在（0，+∞）上有两个零点 12．下列结论正确的是（ ）A ．存在正数M ，N ，使得lgM +lgN ＝lg （M +N ）B ．存在实数x ，使得x 2+2+1x 2+2=2C ．若实数x ，y 满足9x 2+y 2＝1，则xy 的最大值为16D ．若x ＞y ＞0，则9x y+y x−y的最小值为15三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f(x)=√−x 2+6x −5的定义域为 ，减区间为 ． 14．设m 为实数，函数f （x ）＝x 2﹣2mx ﹣m 有两个零点的充要条件是 ．15．若x ，y 为正数，满足x +y ＝2√xy ，则log 3√x+√y2log 3x+log 3y= ．16．已知函数f （x ）和g （x ）分别由下表给出则g （f （2））＝ ，不等式f （g （x ））＞8的解集为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）求值：4log 23+log 62+log 63； （2）已知a +a ﹣1＝3，求a 4−a −4a 2−a −2的值．18．（12分）已知集合A ={x|x−2ax−8＜0}，集合B ＝{x |（x ﹣2a ）[x ﹣（a 2+1）]＜0}，其中a 为实数． （1）若a ＝2，求集合∁A B ；（2）若a ＜4且A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=a x a x +1，（其中a ∈R ），且f(1)=23．（1）求实数a 的值，并探究f （x ）+f （﹣x ）是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；（2）若f(−x)+98f 2(x)=1，求x 的值．20．（12分）已知集合A ＝{log 52，log 425，2}，集合B ={log 25，log 319}，记集合A 中最小元素为a ，集合B 中最大元素为b ．（1）求A ∩B 及a ，b 的值；（2）证明：函数f(x)=x +1x 在[2，+∞）上为增函数，并用上述结论比较a +b 与52的大小．21．（12分）要设计一张矩形广告，矩形广告牌的高与宽分别为a ，b ．（1）若该广告栏目含有大小相等的上下和左右四栏，且四周空白的宽度为4，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图1所示．当四栏面积之和为400时，怎样确定矩形广告牌的高a 与宽b 的尺寸，才能使得整个矩形广告牌面积最小．（2）若该广告栏目含有大小相等的左、右两栏，且四周空白的宽度为8，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图2所示．当广告牌面积为1568时，如何设计左、右两栏的高与宽，才能使得广告栏目的面积最大？22．（12分）已知函数f（x）＝2x+k×2﹣x，其中k为常数．若函数f（x）在区间I上满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称函数f（x）为I上的“局部奇函数”；若函数f（x）在区间I上满足f（﹣x）＝f（x），则称函数f（x）为I上的“局部偶函数”．（1）若f（x）为[﹣2，2]上的“局部奇函数”，当x∈[﹣2，2]时，解不等式f（x）＞2；（2）已知函数f（x）在区间[﹣1，1]上是“局部奇函数”，在区间[﹣2，﹣1）∪（1，2]上是“局部偶函数”，F（x）={f(x)，x∈[−1，1]f(x)，x∈[−2，−1]，对于[﹣2，2]上任意实数x1，x2，x3，不等式F（x1）+F（x2）＞m+F（x3）恒成立，求实数m的取值范围．2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1．已知函数f（x）满足f（2x）＝log2x，则f（16）＝（）A．﹣1B．1C．2D．4解：∵函数f（x）满足f（2x）＝log2x，且f（16）＝f（24），∴f（16）＝f（24）＝log24＝2，故选：C．2．已知U＝R，集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2＜9}，则下列关系正确的是（）A．A∪B＝A B．A∩B＝∅C．A∩B＝A D．∁U A⊆∁U B解：因为A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜3}，所以对于选项A，A∪B＝{x|﹣3＜x＜3}＝B，故A错；对于选项BC，A∩B＝{﹣1，1}＝A，故B错，C对；对于选项D，∁U A＝{x|x≠±1}，∁U B＝{x|x＞3或x＜﹣3}，所以∁U A⊇∁U B，故D错．故选：C．3．我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数y=(x2−1)√x2+1在[﹣2，2]上的图像大致是（）A．B．C．D．解：因为f(x)=(x2−1)√x2+1，定义域为R，f（﹣x）＝f（x），是偶函数，排除CD；又因为f（0）＝﹣1，排除A，故选B．4．一个10位整数a的16次方根为整数b，则b＝（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg7≈0.85）A．2B．3C．4D．7解：∵一个10位整数a的16次方根为整数b，∴a是一个10位整数，∴109＜a＜1010，由题意得b=√a16，∴10916≤b=√a16＜1058，0.5625=916≤lgb＜58=0.625，由lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg7≈0.85得：lg7−lg2=lg 72=lg3.5≈0.55，lg2+lg3＝lg6≈0.78，∴lg3.5＜lgb＜lg6，∵b为整数，∴b＝4，故选：C．5．解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数D(x)={1，x为有理数，0，x为无理数，以下结论错误的是（）A．D(√2)＜D(1)B．函数y＝D（x）不是周期函数C．D（D（x））＝1D．函数y＝D（x）在（﹣∞，+∞）上不是单调函数解：D(√2)=0，D（1）＝1，则D（√2）＜D（1），故A正确，对于B，对于任意非零有理数T，若x为任意有理数，则x+T也为有理数，所以D（x+T）＝D（x）＝1，若x为任意无理数，则x+T也为无理数，D（x+T）＝D（x）＝0，所以任意非零有理数T，x为实数，都有D（x+T）＝D（x），即有理数T为函数的周期，故B错误，对于C，当x为有理数时，D（D（x））＝D（1）＝1，当x为无理数时，D（D（x））＝D（0）＝1，故D（D（x））＝1，故C正确，对于D，对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，若x1，x2都为有理数或都为无理数，则D （x 1）＝D （x 2）， 若x 1为有理数，x 2为无理数， 则D （x 1）＝1＞D （x 2）＝0， 若x 1为无理数，x 2为有理数， 则D （x 1）＝0＜D （x 2）＝1，故函数y ＝D （x ）在（﹣∞，+∞）上不是单调函数，故D 正确． 故选：B ．6．设a 为实数，定义在R 上的偶函数f （x ）满足：①f （x ）在[0，+∞）上为增函数；②f （2a ）＜f （a +1），则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（−13，1）C ．（﹣1，13）D ．（−∞，−13）∪（1，+∞）解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数，且 在[0，+∞）上为增函数， ∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减， ∵f （2a ）＜f （a +1），∴|2a |＜|a +1|，即（2a ）2＜（a +1）2， ∴−13＜a ＜1，故实数a 的取值范围为（−13，1）， 故选：B ．7．已知a ＝4，b ＝343，c ＝log 23•log 25，则下列关系正确的是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解：因为a 3＝43＝64，b 3＝34＝81，所以a 3＜b 3⇒a ＜b ， 又log 23＞0，log 25＞0，c ＝log 23•log 25＜[12（log 23+log 25）]2=14（log 215）2＜14×42＝4，所以c ＜a ＜b ． 故选：C ．8．已知f(x)={(x −a)2，x ≤1x +9x+1+a ，x ＞1，若f （1）是f （x ）的最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，4] B ．[﹣1，4] C ．[1，5] D ．[﹣3，1]解：当x ≤1，f （x ）＝（x ﹣a ）2，当x＞1时，f(x)=x+9x+1+a=x+1+9x+1+a−1≥2√(x+1)⋅9x+1+a−1=5+a，当且仅当x+1=9x+1，即x＝2时等号成立．当a≥1时，f（x）在[1，+∞）上为单调递减函数，因为f（1）是f（x）的最小值，所以（1﹣a）2≤5+a，且a≥1解得﹣1≤a≤4且a≥1．所以a的取值范围为[1，4]．当a＜1时，f（x）＝（x﹣a）2的最小值为f（a）＜f（1），故不成立，舍去．综上a的取值范围为[1，4]．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列能成为x＞2充分条件的是（）A．|x﹣1|＞1B．10x＞100C．x2＞4D．x−3x2+1＞0解：解不等式|x﹣1|＞1，可得x＞2或x＜0，所以充分性不成立，解不等式10x＞100，可得x＞2，是充分条件；由不等式x2＞4可得：x＞2或x＜﹣2，不是充分条件；由不等式x−3x2+1＞0可得：x﹣3＞0，x＞3，是充分条件，故选：BD．10．已知{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，则集合A可能是（）A．{1，2}B．∅C．{1，2，5}D．{1，3，5}解：因为{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，所以对于A，若A＝{1，2}，满足题意；对于B，若A＝∅，{1，2}⊄∅，不满足题意；对于C，若A＝{1，2，5}，满足题意；对于D，若A＝{1，3，5}，则{1，2}⊄{1，3，5}，不满足题意．故选：AC．11．已知函数f(x)=x−1x，下列说法中正确的有（）A．f（f（1））＝0B．∀x∈[1，2]，f（x）≥0C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）在（0，+∞）上有两个零点解：因为f(x)=x −1x ，所以f(1)=1−11=0，f （f （1））＝f （0），无意义，A 项错误； f （x ）在[1，2]内单调递增，所以f （x ）≥f （1）＝0恒成立，满足题意，B 项正确； f （x ）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，又因为f(−x)=−x +1x=−f(x)，为奇函数，C 项正确；f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （1）＝0，所以f （x ）有且仅有一个零点，D 项错误． 故选：BC ．12．下列结论正确的是（ ）A ．存在正数M ，N ，使得lgM +lgN ＝lg （M +N ）B ．存在实数x ，使得x 2+2+1x 2+2=2C ．若实数x ，y 满足9x 2+y 2＝1，则xy 的最大值为16D ．若x ＞y ＞0，则9x y+y x−y的最小值为15解：存在正数M ，N ，使得lgM +lgN ＝lg （M +N ），比如当M ＝2，N ＝2时，lg 2+lg 2＝2lg 2，lg （2+2）＝lg 4＝2lg 2，满足题意，A 正确； 由基本不等式可得，(x 2+2)+1x 2+2≥2√(x 2+2)⋅(1x 2+2)=2，当且仅当x 2+2=1x 2+2时取等号，此时无解，B 错误；因为9x 2+y 2＝1，可设3x ＝cos α，y ＝sin α， 故xy =13sinαcosα=16sin2α≤16，C 正确； 若x ＞y ＞0，则9(x−y)y+y x−y+9≥2√9+9=15，当且仅当9(x−y)y=y x−y时，取等号，此时的最小值为15，满足题意． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f(x)=√−x 2+6x −5的定义域为 [1，5] ，减区间为 [3，5] ． 解：由题意可得：﹣x 2+6x ﹣5≥0，所以（x ﹣5）（x ﹣1）≤0， 所以1≤x ≤5，所以定义域为[1，5]；复合函数求单调区间，求解f （x ）的单调减区间，即求y ＝﹣x 2+6x ﹣5的单调减区间，对称轴为x ＝3，所以在定义域范围内，可得单调减区间为[3，5]，所以f （x ）的减区间为[3，5]． 故答案为：[1，5]；[3，5]．14．设m 为实数，函数f （x ）＝x 2﹣2mx ﹣m 有两个零点的充要条件是 m ∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） ． 解：由题意可知，方程x 2﹣2mx ﹣m ＝0有两个不等实数根，所以Δ＝4m 2+4m ＞0，即4m （m +1）＞0，解得（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）， 所以函数有两个零点的充要条件是（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）， 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．15．若x ，y 为正数，满足x +y ＝2√xy ，则log 3√x+√y2log 3x+log 3y=14．解：∵x ，y 为正数，满足x +y ＝2√xy ， ∴√x +√y =2√√xy ，∴log 3√x+√y 2log 3x+log 3y=log 32√√xy 2log 3xy=log 3(xy)14log 3xy=14．故答案为：14．16．已知函数f （x ）和g （x ）分别由下表给出则g （f （2））＝ 2 ，不等式f （g （x ））＞8的解集为 {3，5，6} ．解：由表中数据可得f （2）＝4，g （4）＝2， 所以g （f （2））＝g （4）＝2； 当f （x ）＞8时，则x ∈{3，4，5}，当g （x ）＝3时，x ＝3，当g （x ）＝4时，可得x ＝5，当g （x ）＝5可得x ＝6； 由f （g （x ））＞8可得解集为{3，5，6}． 故答案为：2；{3，5，6}．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）求值：4log 23+log 62+log 63；（2）已知a +a ﹣1＝3，求a 4−a −4a 2−a −2的值．解：（1）4log 23+log 62+log 63=2log 232+log 6(2×3)=32+1=10．（2）a +a ﹣1＝3，∴（a +a ﹣1）2＝a 2+a ﹣2+2＝9， ∴a 2+a ﹣2＝7， ∴a 4−a −4a 2−a −2=(a 2+a −2)(a 2−a −2)a 2−a −2=a 2+a −2=7， ∴a 4−a −4a 2−a −2的值为7．18．（12分）已知集合A ={x|x−2a x−8＜0}，集合B ＝{x |（x ﹣2a ）[x ﹣（a 2+1）]＜0}，其中a 为实数． （1）若a ＝2，求集合∁A B ；（2）若a ＜4且A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：（1）若a ＝2，则A ={x|x−4x−8＜0}={x|4＜x ＜8}，B ＝{x |（x ﹣4）（x ﹣5）＜0}＝{x |4＜x ＜5}， 所以∁A B ＝{x |5≤x ＜8}．（2）又因为a ＜4，则A ={x|x−2a x−8＜0}={x|2a ＜x ＜8}， 当a ＝1时，B ＝{x |（x ﹣2a ）[x ﹣（a 2+1）]＜0}＝∅，当a ≠1时，B ＝{x |（x ﹣2a ）[x ﹣（a 2+1）]＜0}＝{x |2a ＜x ＜a 2+1}，若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ，显然a ＝1不成立，当a ≠1时，a 2+1≥8，解得a ≥√7或a ≤−√7，综上所述，实数a 的取值范围为{a |√7≤a ＜4或a ≤−√7}．19．（12分）已知函数f(x)=a x a x +1，（其中a ∈R ），且f(1)=23． （1）求实数a 的值，并探究f （x ）+f （﹣x ）是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；（2）若f(−x)+98f 2(x)=1，求x 的值．解：（1）∵f(1)=a a+1=23，所以a ＝2；∴f(x)+f(−x)=2x 2x +1+2−x 2−x +1=2x 2x +1+12x +1=1，为定值； （2）由（1）得f （x ）+f （﹣x ）＝1，所以f（﹣x）＝1﹣f（x），所以f(−x)+98f2(x)=1−f(x)+98f2(x)=1，所以f(x)=98f2(x)，得f（x）＝0或f(x)=8 9，当f(x)=2x2x+1=0时，此时无解，舍去；当f(x)=2x2x+1=89时，解得x＝3．所以x的值为3．20．（12分）已知集合A＝{log52，log425，2}，集合B={log25，log319}，记集合A中最小元素为a，集合B中最大元素为b．（1）求A∩B及a，b的值；（2）证明：函数f(x)=x+1x在[2，+∞）上为增函数，并用上述结论比较a+b与52的大小．解：（1）因为log425＝log25，所以A＝{log52，log25，2}，B＝{log25，﹣2}，即A∩B＝{log25}．因为log52＜log525＝2＝log24＜log25，所以a＝log52，b＝log25．（2）证明：设x1，x2为[2，+∞）上任意两个实数，且2≤x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞1，f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=x1−x2+1x1−1x2=(x1−x2)×x1x2−1x1x2＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在[2，+∞）上单调递增．所以f(x)＞f(2)=52，所以log52+log25=1log25+log25=f(log25)＞52．所以a+b＞5 2．21．（12分）要设计一张矩形广告，矩形广告牌的高与宽分别为a，b．（1）若该广告栏目含有大小相等的上下和左右四栏，且四周空白的宽度为4，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图1所示．当四栏面积之和为400时，怎样确定矩形广告牌的高a与宽b的尺寸，才能使得整个矩形广告牌面积最小．（2）若该广告栏目含有大小相等的左、右两栏，且四周空白的宽度为8，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图2所示．当广告牌面积为1568时，如何设计左、右两栏的高与宽，才能使得广告栏目的面积最大？解：（1）设每一栏长x ，宽为y ，由题意可得4xy ＝400⇒xy ＝100，所以ab ＝（2x +10）×（2y +10）＝4xy +20（x +y ）+100=500+20(x +y)≥500+40√xy =900，当且仅当x ＝y ＝10时等号成立，此时a ＝2×10+10＝30，b ＝2×10+10＝30，所以当a 为30，b 为30时，整个矩形广告牌面积最小；（2）由题意可得，ab ＝1568，S ＝（a ﹣16）（b ﹣18）＝ab ﹣18a ﹣16b +288=1856−(18a +16b)≤1856−2√18a ⋅16b =1856−2√18×16×1568=1856−1344=512，当且仅当18a ＝16b ，即a =1123，b =42时等号成立，此时栏高1123−16=643，栏宽42−182=12时，广告栏目的面积最大，最大为512． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2x +k ×2﹣x ，其中k 为常数．若函数f （x ）在区间I 上满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），则称函数f （x ）为I 上的“局部奇函数”；若函数f （x ）在区间I 上满足f （﹣x ）＝f （x ），则称函数f （x ）为I 上的“局部偶函数”．（1）若f （x ）为[﹣2，2]上的“局部奇函数”，当x ∈[﹣2，2]时，解不等式f （x ）＞2；（2）已知函数f （x ）在区间[﹣1，1]上是“局部奇函数”，在区间[﹣2，﹣1）∪（1，2]上是“局部偶函数”，F （x ）={f(x)，x ∈[−1，1]f(x)，x ∈[−2，−1]，对于[﹣2，2]上任意实数x 1，x 2，x 3，不等式F （x 1）+F （x 2）＞m +F （x 3）恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）已知函数f （x ）＝2x +k ×2﹣x ，其中k 为常数．若函数f （x ）在区间I 上满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），则称函数f （x ）为I 上的“局部奇函数”；若f （x ）为[﹣2，2]上的“局部奇函数”，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），即2﹣x +k ×2x ＝﹣（2x +k ×2﹣x ）整理可得：（1+k ）（2x +2﹣x ）＝0， 所以1+k ＝0解得：k ＝﹣1，所以f （x ）＝2x ﹣2﹣x ，令f （x ）＝2x ﹣2﹣x ＞2，即（2x ）2﹣2×2x ﹣1＞0，可得2x＞√2+1，解得：x＞log2(√2+1)，又因为x∈[﹣2，2]，所以log2(√2+1)＜x≤2，所以不等式的解集为{x|log2(√2+1)＜x≤2}；（2）若f（x）为[﹣1，1]上的“局部奇函数”，由（1）知，f（x）＝2x﹣2﹣x，若f（x）为区间[﹣2，﹣1）∪（1，2]上是“局部偶函数”，可得f（﹣x）＝f（x），即2﹣x+k×2x＝2x+k×2﹣x，整理可得：（k﹣1）（2x﹣2﹣x）＝0，所以k﹣1＝0，解得k＝1，所以F(x)={2x−2−x，x∈[−1，1]2x+2−x，x∈[−2，−1)∪(1，2]，令t＝2x，当x∈[﹣1，1]时，t∈[12，2]，y=t−1t在[12，2]单调递增，当t=12时，y min=12−2=−32，当t＝2时，y max=2−12=32，所以当x∈[﹣1，1]时，F(x)∈[−32，32]，当x∈[﹣2，﹣1）∪（1，2]时，此时F（x）＝2x+2﹣x为局部偶函数，当x∈（1，2]时，t=2x∈(2，4]，y=t+1t在（2，4]单调递增，此时F(x)∈(52，174]，所以F(x)∈[−32，32]∪(52，174]，F(x)max=174，F(x)min=−32，对于[﹣2，2]上任意实数x1，x2，x3，不等式F（x1）+F（x2）＞m+F（x3）恒成立，可得2F（x）min＞m+F（x））max，即2×(−32)＞m+174，解得：m＜−29 4，所以实数m的取值范围是(−∞，−294 )．。
2022-2023学年全国高中高一上数学苏教版期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一上数学期中试卷考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 命题“”的否定是（ ）A.B.C.D.3. 已知集合，，为集合到集合的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（ ）A.种B.种C.种D.种4. 设，则“”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件A ={x|−x −2<0}x 2B ={x|+2x ≤0}x 2A ∩B ={x|0<x <2}{x|−1<x ≤0}{x|−1<x <0}{x|0≤x <2}∀x ∈(1,4),−5x <0x 2∃∈(1,4),−5≥0x 0x 20x 0∃∈(1,4),−5<0x 0x 20x 0∀x ∉(1,4),−5x ≥0x 2∀x ∈(1,4),−5x ≥0x 2A ={1,2,3,4}B ={a,b,c}f :A →B A B C 74812x ∈R |x −2|<1+x −2>0x 2D.既不充分也不必要条件5. 若正数，，满足，且，则实数的取值范围为( )A.B.C.D.6. 不等式的解集为( )A.B.C.D.7. 已知集合，若对于任意，存在使得成立，则称集合是“集合”．给出下列个集合：① ；② ；③；④ ；⑤.其中是“集合”的所有序号是（ ）A.②③B.①④⑤C.②③⑤D.①②④8. 若不等式，对恒成立，则关于的不等式的解为 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）m n p m +n +p =4(+)mn +(+)pn +(+)mp ≥λmnp m 2n 2p 2n 2m 2p 2λ(−∞,6](−∞,4](−∞,12](−∞,8]2+x −<0x 2(−∞,−1)∪(2,+∞)(−2,1)(−1,2)(−∞,−2)∪(1,+∞)M ={(x,y)|y =f(x)}(,)∈M x 1y 1(,)∈M,x 2y 2+x 1x 2=0y 1y 2M Ω5M ={(x,y)|y =}1x M ={(x,y)|y =}x −1ex M ={(x,y)|y =}1−x 2−−−−−√M ={(x,y)|y =−2x +2}x 2M ={(x,y)|y =cos x +sin x}Ω()9. 下列各命题中，是的充要条件的是 A.或；有两个不同的零点B.；是偶函数C.；D.；10. 设，，且，则下列说法正确的有( )A.有最大值为B.有最小值为C.有最小值为D.有最大值为11. 下列结论正确的是( )A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则12. 关于的不等式的解集中恰有个整数，则可以为A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 计算：的值是________．p q ()p :m <−2m >6q :y =+mx +m +3x 2p ：=1f(−x)f(x)q :y =f(x)p :cos α=cos βq :tan α=tan βp :A ∩B =A q :B ⊆A∁U ∁U x >0y >0x +y =4xy 4+1x 1y 1+x 2y 28+x −√y √2a >b,c <0ac <bc<a 2b 2a <ba >b,ab >0<1a 1bac <bc a <bx (ax −1)(x +2a −1)>03a ( )−121−12+3×+(lg 4+lg 25)()20()9−1214. 函数的值域为，则实数的取值范围是________.15. 已知函数有唯一零点，则________．16. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 17. 求下列各式的值：；.18. 已知命题：，，命题：实数满足不等式，若命题“”是假命题，“”是真命题，求实数的取值范围．19. 已知函数的图象关于直线对称，当时，.求在上的解析式；若，求在上的最小值.20. 某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销量（即月产量）万件与月促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是万件．已知生产该产品每月固定投入为万元，每生产一万件该产品需要再投入万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的月利润为万元．注：利润＝销售收入-生产投入-促销费用．Ⅰ将表示为的函数；Ⅱ月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？21. 已知函数.求不等式的解集；若为集合中的最大元素，且，求的最小值． 22. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，,,三点满足．求证：，，三点共线；若且，函数的最小值为，求实数的值．y =ln a +2x −1x 2−−−−−−−−−−√R a f(x)=−2x +a(+)x 2e x−1e −x+1a =x ∈(1,3)−mx +4>0x 2m (1)lg2+log 10√5–√×lg0.01+log 927−−√3eln 2(2)+(−+(+[(−−1243−−−−−√5278)−13πe )018)43]14p ∃∈[1,2]x 0−1≥a x 20q a ≥04−a a +1p ∧q p ∨q a f (x)x =1x ≥1f (x)=−4x −5x 2(1)f (x)(−∞,1](2)m <1f (x)[m,1]g(m)m x (x ≥0)k 285y ()y x ()f (x)=|2x −3|−x +4(1)f (x)≤6M (2)t M +=t (a >0,b >0)1a 12b +a 9b 2O A B C =+OC −→−13OA −→−23OB −→−(1)A B C (2)A(1,cos x),B(1+sin x,cos x),x ∈[0,]π2f(x)=⋅+(2m +)⋅||+OA −→−OC −→−13AB −→−m 2参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】命题的否定【解析】【解析】命题“”的否定是“”．故选．【解答】A 3.【答案】A【考点】A ∀x ∈(1,4),−5x <0x 2∃∈(1,4),−5≥0x 0x 20x 0A【解析】值域只可能是集合的真子集，求出的真子集的个数即可．【解答】解：值域可能为：只含有一个元素时，，，种；有两个元素时，，，种；有三个元素时，种；∴值域的不同情况有种．故选：．4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断一元二次不等式的解法【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“”得，由得或，即“”是“”的充分不必要条件.故选．5.【答案】D【考点】基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，，为正数，故，C B B C {a}{b}{c}3{a,b}{a,c}{b,c}3{a,b,c}1C 3+3+1=7A |x −2|<11<x <3+x −2>0x 2x >1x <−2|x −2|<1+x −2>0x 2A m n p ++≥λ+m 2n 2+p 2n 2+m 2p 2而，，，所以，当且仅当时等号成立，故实数的取值范围为.故选．6.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法【解析】通过因式分解，利用一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：不等式化为，解得或．∴不等式的解集是．故选．7.【答案】C【考点】集合新定义问题元素与集合关系的判断【解析】。
2021_2022学年江苏南京鼓楼区南京市第二十九中学高一上学期期中数学试卷详解版
2021~2022学年江苏南京鼓楼区南京市第二十九中学高一上学期期中数学试卷(详解)一、单选题1.A.B.C.D.【答案】【解析】已知集合，，则（ ）C 【分析】由集合的交集运算即可. 【详解】解：∵集合，，∴.故选：C.2.A.B.C. D.【答案】【解析】在下列图像中，能表示函数图像的是（ ）D 【分析】根据函数的定义可判断. 【详解】根据函数的定义，对于ABC ，存在自变量，有两个函数值与之对应，故ABC 不能表示函数图象，D 选项满足.故选：D.3.A.是的充分条件但不是必要条件B.是的必要条件但不是充分条件C.是的充要条件D.不是的充分条件也不是必要条件【答案】【解析】已知两个三角形对应角相等，两个三角形全等，则（ ）B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：若两个三角形全等，则对应角相等；若两个三角形对应角相等，只能得到两三角形相似，不能得到两三角形全等，故推不出，推得出，所以是的必要条件但不是充分条件；故选：B4.A. B.或.C.或.D.【答案】【解析】不等式的解集为（ ）C 【分析】不等式化为即可求出.【详解】将不等式化为，解得或，故不等式的解集为或.故选：C.5.A.B.C.D.【答案】【解析】已知函数，则（ ）A 【分析】利用分段函数求值，先求出内层，再代入求出外层函数值即可【详解】解：函数得，故选：A.6.A.B.C.D.【答案】【解析】设是非零实数，已知，则（ ）B 【分析】将两边同时平方求出，再根据平方公式将原式化简为，最后代入求出即可；【详解】解：因为，所以，即，所以，所以故选：B7.某部门新录用甲，乙，丙三名工作人员，他们各自出生于鼓楼，玄武，建邺中的某个区. 张松，单明和A.B.C.D.【答案】【解析】王玥有如下猜测：张松：甲出生于建邺，乙出生于玄武，丙也出生于建邺；单明：甲出生于建邺，乙出生于鼓楼，丙不出生于鼓楼；王玥：甲出生于鼓楼，乙出生于建邺，丙也出生于鼓楼；已知对甲，乙，丙的出生地，上述三人的猜测都是对1个，错2个. 根据以上信息，在以下选项中可能正确的选项是（ ）甲出生于鼓楼，乙出生于玄武，丙出生于建邺甲出生于建邺，乙出生于鼓楼，丙出生于鼓楼甲出生于鼓楼，乙出生于玄武，丙出生于玄武甲出生于玄武，乙出生于建邺，丙出生于鼓楼C 【分析】分别将四个选项代回一一验证即可；【详解】解：对于A ：若甲出生于鼓楼，乙出生于玄武，丙出生于建邺，则张松猜对了2个，不符合题意；对于B ：若甲出生于建邺，乙出生于鼓楼，丙出生于鼓楼，则单明猜对了2个，不符合题意； 对于C ：若甲出生于鼓楼，乙出生于玄武，丙出生于玄武，则张松猜对1个，单明猜对1个，王玥也只猜对1个，符合题意；对于D ：若甲出生于玄武，乙出生于建邺，丙出生于鼓楼，则王玥猜对2个，甲1个也没猜对，不符合题意；故选：C8.A.B.C.D.【答案】已知，且，满足若对于任意的均有成立，则实数的最小值是（ ）D【解析】【分析】由满足结合，得到，再将对于任意的均有成立，转化为对于任意的均有成立，利用基本不等式求解.【详解】已知，且，满足且，又 ，则， 有，即，因为对于任意的均有成立， 即对于任意的均有成立， 若，取，则，不成立；所以，则，当且仅当时，等号成立，所以，解得，所以实数的最小值是9 故选：D二、多选题9.A. B.C.D.若，则【答案】【解析】下列命题中正确的是（ ）BD 【分析】根据元素与集合的属于关系以及集合与集合的包含关系即可判断. 【详解】解：对A ，属于关系是元素属于集合，而空集中没有元素，因此不属于空集，故A 错误；对B ，是自然数集，是自然数集的子集，因此，故B 正确；对C ，是有理数集，为无理数集，而是有理数，因此，故C 错误； 对D ，，所以当，则，故D 正确.故选：BD.10.A.B.C.D.【答案】【解析】已知，则下列选项中一定正确的是（ ）AC 【分析】利用不等式的性质结合已知条件逐项判断即可. 【详解】解：对A ，因为，所以，，因此，故A 正确；对B ，由，令，，所以，，即，故B 错误； 对C ，因为，所以，又，因此，故C 正确；对D ，由，令，，则，，此时，故D 错误； 故选：AC.11.A.B.C.D.【答案】已知函数，则下列说法正确的是（ ）的定义域是的最小值是在区间上是增函数的解集是ABC【解析】【分析】对于A ：由函数的解析式得函数的定义域是；对于B ：根据基本不等式得；对于C ：当时，单调递减，所以，而在上单调递减，根据复合函数的单调性可判断；对于D ：令，解得或，再根据复合函数的单调性得出函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，再由函数是偶函数，可求得的解集.【详解】解：对于A ：因为函数，所以函数的定义域是，故A 正确；对于B ：因为，当且仅当，即时，取等号，故B 正确； 对于C ：当时，单调递减，所以，而在上单调递减，所以在上单调递增，所以函数在区间上是增函数，故C 正确； 对于D ：令，即，解得或，即或， 又当时，单调递减，所以，而在上单调递减，所以在上单调递增，所以函数在区间上是增函数，当时，单调递减，所以，而在上单调递增，所以在上单调递减，所以函数在区间上是减函数，又，所以函数是偶函数，因为函数的定义域是，所以的解集是，故D 不正确；故选：ABC.，，，，，，，，，，，，，，12.A. B.C.D.【答案】【解析】设，则下列四个等式中正确的是（ ）ACD 【分析】根据指数与对数的关系可得，再利用换底公式、对数的运算法则以及指数幂的运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，故A 正确；，故B 错误；，故C 正确；，故D 正确；故选：ACD三、填空题13.【答案】【解析】【踩分点】命题“”的否定是 .【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可解答. 【详解】命题“”的否定是：.故答案为：，，，14.【答案】【解析】【踩分点】计算的结果是 .【分析】根据对数的运算公式计算即可. 【详解】.故答案为：.15.【答案】【解析】对于实数和，定义运算“*”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的解，则的取值范围是 .【分析】由题先写出的表达式，再画出的图象，将问题转化为与有三个不同的交点，利用数形结合即可求解. 【详解】解：由，当，即时，当，即时，所以，如下图所示：，【踩分点】如图所示，在和单调递增，在单调递减 由关于的方程恰有三个互不相等的解，，令，即与有三个不同的交点，如上图所示， 则，且和关于对称所以由，令，解得：或（舍去）所以所以即所以的取值范围是：故答案为：【点睛】方法点睛：数形结合是解决函数零点问题的有效方法，通常将零点看成直线与曲线的交点，通过数形结合可以清晰直观的判断出交点的位置以及交点的个数.四、双空题16.【答案】【解析】已知函数，则在区间上是 函数（从“增”或“减”中选择），方程的解是 .减 ; 【分析】根据二次函数的性质判断函数的单调性，再根据函数的单调性与定义域将方程转化为方程组【踩分点】，解得即可；【详解】解：因为，对称轴为，开口向上，所以在上单调递减；因为，即，所以，解得故答案为：减；；五、解答题17.【答案】【解析】求下列各式的值：(1)；(2).(1)(2)【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算法则计算可得； (1) 解：(2) 解：【踩分点】18.【答案】【解析】【踩分点】已知集合，.(1)当时，求；(2)已知“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.(1)(2)【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求出集合，再根据并集运算即可求解；（2）利用题中充分条件可得出集合和集合的包含关系，进而求出实数的取值范围. (1) 解：当时，(2) 解：“”是“”的充分条件则集合是集合的子集， 又，所以 解得：所以实数的取值范围为：19.在①，②，③中，挑选一个补充到下面题目的空格处，并作答.（若【答案】【解析】挑选两个，则只对挑出的前一个评分）已知一次函数满足，且_________（其中）.(1)求的函数关系式；(2)解不等式（其中）.(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）设，表示出，根据所选条件得到方程组，求出、、，即可求出函数解析；（2）当时，不等式可化为，再对与分类讨论，求出不等式的解集；当时，原不等式即为，再对分类讨论，即可求出不等式的解集；（1） 解：设，则，又若选①，则，解得或，所以或若选②，则，解得，所以；若选③，则，解得，所以；（2）解：若选①，当，则，则即，即，即当，即时，原不等式即，解得；当，即时，解得；当，即时，解得；综上可得当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当，则，所以，即，即，当，即或时不等式的解集为；当，即时，方程的两根为，，所以原不等式的解集为；若选②，，则，则即，即，即当，即时，原不等式即，解得；当，即时，解得；当，即时，解得；综上可得当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；若选③，，则，则即，即，即当，即时，原不等式即，解得；当，即时，解得；当，即时，解得；综上可得当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；【踩分点】20.【答案】【解析】【踩分点】已知函数是奇函数，且，其中为实数.(1)求的值；(2)判断的单调性，并用定义证明.(1)；(2)在上单调递增，证明见解析.【分析】（1）根据函数奇偶性及可求解；（2）根据函数单调性的定义法证明即可. (1) 函数是奇函数，所以，得，又因为，有，解得.综上，.(2)由（1）可得.在上单调递增.证明：设，且，因为且，所以，所以，所以在上单调递增.21.1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万【答案】【解析】【踩分点】欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.(1)40(2)该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元.【分析】（1）设出未知数，列不等式进行求解；（2）根据题意，得到关于的关系式，，利用基本不等式进行求解（1）设该种玻璃的售价提高到x 欧元/平方米解得：所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米 （2）整理得：除以得：由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元/平方米.22.【答案】【解析】【踩分点】1.已知函数，，其中为实数.(1)当时，①求不等式的解集；②若不等式的解集包含，求实数的取值范围；(2)已知在时恒成立，求的取值范围.(1)①；②(2)【分析】（1）①分别讨论和两种情况，进而解出不等式即可；②问题可转化为，进而结合二次函数的图象解得答案；（2）利用三角不等式求出的最小值，进而得到答案.(1) ①，，若，则，所以；若，则，所以. 综上：. ②时，，则， 令，于是.(2) 因为，所以.。
最新高一数学(上)期中试卷(附答案解析)
高一数学（上）期中试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）与函数y＝x有相同图像的一个函数是（）A．y＝B．y＝log a a x（a〉0，a≠1）C．y＝（）2D．y＝2．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，0）∪（0，2]上奇函数，当〉＞0时，f（x）图像象如图所示，那么f（x）的值域是（）A．[﹣3，3]B．[﹣2，2]C．[﹣3，﹣2）∪（2，3]D．（﹣3，﹣2]∪[2，3）3．（5分）设a＝lg0.2，b＝log32，c＝，则（）A．a〈b〈c B．b〈c〈a C．c〈a〈b D．c〈b〈a4．（5分）下列对应关系：①A＝{1，4，9}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}，f：x→x的平方根②A＝R，B＝R，f：x→x的倒数③A＝R，B＝R，f：x→x2﹣2④A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：x→x2其中是A到B的映射的是（）A．①③B．②④C．②③D．③④5．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列说法：①2a+b＝0；②当﹣1≤x ≤3时，y〈0；③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图像上，当x1〈x2时，y1〈y2；④9a+3b+c＝0其中正确的是（）A．①②④B．①④C．①②③D．③④6．（5分）定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，又f（7）＝6，则f（x）（）A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6B．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6C．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6D．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是67．（5分）已知单调函数f（x）的定义域为（0，+∞），对于定义域内任意x，f[f（x）﹣log2x]＝3，则函数g（x）＝f（x）+x﹣7的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）8．（5分）已知函数，则函数f（x）的最小值是（）A．2B．C．D．19．（5分）如图是函数（m，n∈N*，m，n互质）的图像，则下述结论正确的是（）A．m，n是奇数，且〈＜nB．m是偶数，n是奇数，且〉＞nC．m是偶数，n是奇数，且〈＜nD．m是奇数，n是偶数，且〉＞n10．（5分）下列四图像象中，函数的像是是（）A．B．C．D．11．（5分）已知f（x）＝x3+x，x∈R，若当0≤θ≤时，f（m sinθ）+f（1﹣m）〉0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，）D．（0，1）12．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）＝log a|ax2﹣x|在[1，2]上单调，则实数a的取值范围是．14．（5分）函数的图像与直线的所有交点的横坐标之和为．15．（5分）集合{0，2，4}的真子集个数为个．16．（5分）已知a〉0，b〉0，且，其中min（a，b）表示数a，b中较小的数，则k的最大值是．三．参考答案题（共7小题，满分70分）17．（8分）已知集合A＝{x||x﹣1|≤2}，B＝{x|＞0}，C＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}，其中m∈R．〉（1）设全集为R，求A∩（∁R B）；（2）若A∪B∪C＝R，求实数m的取值范围．18．（8分）已知二次函数f（x）的图像过点，且最小值为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣（1+2m）x+1（m∈R）在[2，+∞）上的最小值为﹣3，求实数m的值．19．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x〉0时，f（x）＝x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2﹣1）〉﹣2．20．（10分）（1）画出函数y＝|x﹣2|的图像，写出函数的增区间和减区间；（2）已知A＝{x|﹣2〈x〈﹣1或x〉1}，B＝{x|a≤x〈b}，A∪B＝{x|x〉﹣2}，A∩B＝{x|1〈x 〈3}，求实数a，b的值．21．（13分）已知函数．（1）求f（f（3））的值；（2）判断函数在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．（3）当x取什么值时，的图像在x轴上方？22．（11分）已知函数f（x）是幂函数，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且f（f（））＝8（1）求函数f（x）的解析式（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由（3）若函数g（x）＝[f（x）]﹣ax（a∈R）在[1，2]上的最小值为﹣，求实数a的值．23．（10分）已知函数f（x）＝x2+2mx﹣6在区间[﹣1，2]上是单调函数，（1）求实数m的所有取值组成的集合A；（2）试写出f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值g（m）；（3）设h（x）＝﹣x2++2，令F（m）＝，若关于m的方程F（m）＝a恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．高一数学（上）期中试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．【试题解析】分别判断函数的定义域和对应法则是否和y＝x相同即可．【参考答案】解：A．y＝＝|x|，与y＝x的对应法则不相同．B．y＝log a a x＝x，和y＝x的定义域和对应法则相同．C．y＝（）2＝x，定义域为[0，﹢∞），定义域不同，D．y＝＝x，定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故选：B．2．【试题解析】由已知中函数在x〉0时，f（x）的图像，我们可以得到x∈（0，2]时，f（x）的值域，根据奇函数的图像关系和性质，我们可求出当x∈[﹣2，0）时，f（x）的值域，将两个区间上的值域并起来，即可得到f（x）的值域．【参考答案】解：由图像可得：当x∈（0，2]时，f（x）∈（2，3]又∵f（x）是定义在[﹣2，0）∪（0，2]上奇函数，故当x∈[﹣2，0）时，f（x）∈[﹣3，﹣2）故f（x）的值域是[﹣3，﹣2）∪（2，3]故选：C．3．【试题解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【参考答案】解：a＝lg0.2〈0，b＝log32∈（0，1），c＝〉1．∴a〈b〈c．故选：A．4．【试题解析】直接利用映射概念逐一核对四个命题得答案．【参考答案】解：对于①，A＝{1，4，9}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}，f：x→x的平方根，不是映射，A中的元素在B中的对应元素不唯一；对于②，A＝R，B＝R，f：x→x的倒数，不是映射，A中的元素0在B中没有对于元素；对于③，A＝R，B＝R，f：x→x2﹣2，符合映射概念，是映射；对于④，A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：x→x2，符合映射概念，是映射．故选：D．5．【试题解析】由抛物线与x轴的交点求得对称轴x＝1，判断①；根据图像判断﹣1〈x〈3时，y 的符号判断②；根据二次函数的性质即可判断③，由x＝3时，y＝0，判断②【参考答案】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x═1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，故①正确；由图可知，当﹣1〈x〈3时，y〈0，故②错误；∵抛物线开口向上，对称轴x＝1，根据抛物线的性质在对称轴右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当x1〈x2时，无法判断y1，y2的大小，故③错误．∵当x＝3时，y＝0，∴9a+3b+c＝0，故④正确；故选：B．6．【试题解析】根据函数奇偶性和单调性的关系进行判断即可．【参考答案】解：∵偶函数在[0，7]上是增函数，f（7）＝6，∴函数在[0，7]上的最大值为6，且函数在[﹣7，0]上是减函数，故选：B．7．【试题解析】通过函数的单调性以及函数的零点判定定理，转化求解即可．【参考答案】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]＝3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t＝f（x）﹣log2x，则f（x）＝log2x+t，又由f（t）＝3，∴f（t）log2t+t＝3，所以t＝2，所以f（x）＝log2x+2，所以g（x）＝log2x+x﹣5，因为g（1）〈0，g（2）〈0，g（3）〈0，g（4）〉0，g（5）〉0，g（3）g（4）〈0，所以零点所在的区间为（3，4）．故选：C．8．【试题解析】利用换元法令t＝log2x，从而化简函数得y＝t2+t+2，从而根据二次函数的性质求最小值即可．【参考答案】解：令t＝log2x，∵x∈（0，+∞），∴t∈R，y＝＝t2+t+2，故当t＝﹣时，y min＝，故选：B．9．【试题解析】根据已知中函数的图像，结合幂函数的图像和性质，试题解析m，n的奇偶性和大小，可得答案．【参考答案】解：∵函数（m，n∈N*，m，n互质）的图像的图像关于y轴对称，故n为奇数，m为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故，故m〈n，故选：C．10．【试题解析】对x进行讨论，将函数转化为所熟知的基本初等函数研究其性质既可得出答案．【参考答案】解：当x〉0时，y＝x和都是单调增函数，故它们的和函数也是增函数，当x＝0时f（x）无意义即图像象综上：f（x）图像象在区间（0，+∞）的部分是增函数，故选：A．11．【试题解析】容易判断f（x）为奇函数，在R上单调递增，从而可由f（m sinθ）+f（1﹣m）〉0得出m（1﹣sinθ）〈1，讨论和两种情况，求出m的取值范围即可．【参考答案】解：f（x）的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣f（x）；∴f（x）为奇函数，且f（x）在R上为增函数；由f（m sinθ）+f（1﹣〉）＞0得，f（m sin〉）＞f（m﹣1）；∴m sinθ〉m﹣1；∴m（1﹣sin〈）＜1；∴①时，m∈R；；时，；的最小值为1〈∴m＜1；∴实数m的取值范围是（﹣∞，1）．故选：B．12．【试题解析】根据条件判断函数的周期性和对称性，求出函数在一个周期内的解析式，利用转化法进行求解即可．【参考答案】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，∴f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1）＝﹣f（x+1），即f（x）＝﹣f（x+2），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）的周期是4，∵f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）关于x＝0对称，则f（x）关于x＝﹣1对称，同时也关于x＝1对称，若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，此时f（﹣x）＝＝﹣f（x），则f（x）＝﹣，x∈[﹣1，0]，若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]，则f（x）＝﹣f（x+2）＝﹣，x∈[﹣2，﹣1]，若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]，则f（x）＝﹣f（x﹣2）＝＝，x∈[1，2]，作出函数f（x）的图像如图：由数g（x）＝f（x）﹣x﹣b＝0得f（x）＝x+b，由图像知当x∈[﹣1，0]时，由﹣＝x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2＝0，由判别式△＝（2b+1）2﹣4b2＝0得4b+1＝0，得b＝﹣，此时f（x）＝x+b有两个交点，当x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，则f（x）＝f（x﹣4）＝，由＝x+b，平方得x2+（﹣1）x+4+b2＝0，由判别式△＝（﹣1）2﹣16﹣4b2＝0得4b＝﹣15，得b＝﹣，此时f（x）＝x+b有两个交点，则要使此时f（x）＝x+b有一个交点，则在[0，4]内，b满足﹣〈b〈﹣，＜〈＜4n﹣，即实数b的取值集合是4n﹣〈＜〈＜4（n﹣1）+，即4（n﹣1）+〈＜〈＜4k+，令k＝n﹣1，则4k+〈故选：D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．【试题解析】令t＝|ax2﹣x|，画出其图像，要使原复合函数在[1，2]上单调，则需内函数t＝|ax2﹣x|在[1，2]上单调，任何对a分类讨论求解，最后取并集得答案．【参考答案】解：令t＝|ax2﹣x|，其图像如图：若a〉1则，满足函数f（x）＝log a|ax2﹣x|在[1，2]上单调；若0〈a〈1，则，要使函数f（x）＝log a|ax2﹣x|在[1，2]上单调，则①，或②，解①得，0，解②得，a＝综上，实数a的取值范围是（0，]∪{}∪（1，+∞）．故答案为：（0，]∪{}∪（1，+∞）．14．【试题解析】分别代值计算，求出相对应方程的根，求和即可．【参考答案】解：当0〈x≤2时，|2x﹣1|＝，解得x1＝+，或x2＝﹣，当x〉2时，（x2﹣10x+25）＝，解得x3＝5﹣，x4＝5﹣，∴x1+x2+x3+x4＝11，故答案为：11．15．【试题解析】根据题意，集合{0，2，4}中有3个元素，由集合的子集与元素数目的关系，计算可得答案．【参考答案】解：集合{0，2，4}中有3个元素，有23＝8个子集，有23﹣1＝7个真子集；故答案为：7．16．【试题解析】由a〉0，b〉0，利用基本不等式可得≤，由，我们分别讨论当0〈a〈时，当a＝时，当a〉时，k的取值，即可得到答案．【参考答案】解：∵＝≤当0〈a〈时，a〈，此时k；当a＝时，a＝，此时k＝；当a〉时，a〉，此时k＝〈；故k的最大值是故答案为：三．参考答案（共7小题，满分70分）17．【试题解析】（1）求解集合A.B，根据补集，交集的定义求解A∩（∁R B）；（2）根据并集的定义A∪B∪C＝R，即可实数m的取值范围．【参考答案】解：由集合A＝{x||x﹣1|≤2}＝{x|﹣1≤x≤3}B＝{x|〉0}＝{x〈﹣3或x〉1}，（1）那么∁R B＝{x|﹣3≤x≤1}∴A∩（∁R B）＝{x|﹣1≤x≤1}（2）由C其中m∈R．∴A∪B＝{x〈﹣3或x〉﹣1}，由A∪B∪C＝R，即{x|2m﹣1≤x≤m+1}∪{x〈﹣3或x〉﹣1}＝R∴，解得：﹣2≤m≤﹣1故得实数m的取值范围是[﹣2，﹣1]．18．【试题解析】（Ⅰ）根据题意，试题解析f（x）的对称轴，设，将点（0，1）代入其解析式，解可得a的值，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，求出g（x）的解析式，分m≤2与m〉2两种情况讨论，结合函数的最小值求出m的值，综合即可得答案．【参考答案】解：（Ⅰ）由题意得：二次函数f（x）的图像过点，则f（x）的对称轴为对称轴，设，又f（x）的图像过点（0，1），代入得，解得a＝2，＝2x2+x+1，故f（x）＝2x2+x+1；（Ⅱ）由已知g（x）＝f（x）﹣x2﹣（1+2m）x+1＝x2﹣2mx+2，对称轴为直线x＝m，开口向上，分两种情况：①当m≤2时，函数g（x）在区间[2，+∞）单调递增，g（x）min＝g（2）＝6﹣4m＝﹣3，得到，与m〈2矛盾．②当m〉2时，函数g（x）在区间[2，m）单调递减，在区间[m，+∞）单调递增，从而，得到或舍掉与m〉2矛盾；综上所述：．19．【试题解析】（1）根据题意，设x〈0，利用奇函数的性质试题解析可得x〈0时函数的解析式，由奇函数的性质试题解析可得f（0）＝0，综合可得函数的解析式；（2）根据题意，由函数的解析式对不等式f（x2﹣1）〉﹣2分3种情况讨论，①x2﹣1〉0，②x2﹣1＝0，③x2﹣1〈0，综合三种情况即可得答案．【参考答案】解：（1）根据题意，当x〈0时，﹣x〉0，则f（﹣x）＝（﹣x）．因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．因此当x〈0时，f（x）＝﹣（﹣x）．当x＝0时，f（0）＝0所以函数f（x）的解析式为，（2）不等式f（x2﹣1）〉﹣2可化为，当x2﹣1〉0时，，解得0〈x2﹣1〈4；当x2﹣1＝0时，0〉﹣2，满足条件；当x2﹣1〈0时，，解得．所以，0≤x2﹣1〈4或解得或或﹣〈x〈，即不等式的解集为．20．【试题解析】（1）由题意画出函数图像，利用图像写出单调区间；（2）根据两个集合的运算a，b的范围或者具体数值即可．【参考答案】解：（1）函数的减区间为（﹣∞，2]，增区间为（2，+∞）．（2）因为A∩B＝{x|1〈x〈3}，所以b＝3，﹣1≤a≤1．因为A∪B＝{x|x〉﹣2}，所以﹣2〈a≤﹣1．所以a＝﹣1．综上可知a＝﹣1，b＝3．21．【试题解析】（1）运用函数解析式，代入计算，即可求得结论；（2）函数在（1，+∞）上单调递减，再运用定义法进行证明；（3）转化为具体不等式，即可求得结论．【参考答案】解：（1）由题意，f（3）＝，∴…（2分）（2）函数在（1，+∞）上单调递减…（3分）证明：设x1，x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1〈x2，则△x＝x1﹣x2〈0…（6分）由x1，x2∈（1，+∞），得（x1﹣1）（x2﹣1）〉0，且x2﹣x1＝△x〉0于是△y〉0所以，在（1，+∞）上是减函数…（8分）（3）得x〉1或x〈0…（10分）22．【试题解析】（1）用待定系数法求得幂函数f（x）的解析式；（2）根据奇偶性的定义判断函数f（x）是定义域上的奇函数；（3）求出函数g（x）的解析式，讨论a的取值范围，利用g（x）在区间[1，2]上的最小值求出a的值．【参考答案】解：（1）设幂函数f（χ）＝χα，α为常数；∴f（）＝＝，∴f（f（））＝＝8，∴＝3，解得α＝±3；又f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴α＝﹣3，∴f（x）＝x﹣3；（2）函数f（x）＝x﹣3，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；任取x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f（﹣x）＝（﹣x）﹣3＝﹣x﹣3＝﹣f（x），∴函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数；（3）函数g（x）＝[f（x）]﹣ax＝x2﹣ax（a∈R）；则函数g（x）＝x2﹣ax的对称轴为x＝，当〈1，即a〈2时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递增，g（x）的最小值为g（1）＝1﹣a＝﹣，解得a＝，满足题意；当1≤≤2，即2≤a≤4时，函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为g（）＝﹣＝﹣a2＝﹣，解得a＝±1（不合题意，舍去）；当〉2，即a〉4时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递减，g（x）的最小值为g（2）＝4﹣2a＝﹣，解得a＝（不合题意，舍去）；综上，a＝．23．【试题解析】（1）由函数f（x）＝x2+2mx﹣6在区间[﹣1，2]上是单调函数，得到f（x）的对称轴为x＝﹣m，由此能求出集合A．（2）当m≥1时，f（x）在区间[﹣1，2]上为增函数，f（x）max＝f（2）＝4m﹣2，当m≤﹣2时，f（x）在区间[﹣1，2]上为减函数，f（x）max＝f（﹣1）＝﹣2m﹣5．由此能求出f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值g（m）．（3）求出F（m）＝，关于m的方程F（m）＝a恰有两个不相等的实数根，从而函数y＝F（x）的图像与函数y＝a的图像恰有两个不同的公共点，作出y＝F（m）与y＝a的图像，结合图像得实数a的取值范围．【参考答案】解：（1）∵函数f（x）＝x2+2mx﹣6在区间[﹣1，2]上是单调函数，∴f（x）的对称轴为x＝﹣m，∴﹣m≤﹣1或﹣m≥2，∴A＝{m|m≥1或m≤﹣2}．（2）当m≥1时，f（x）在区间[﹣1，2]上为增函数，∴f（x）max＝f（2）＝4m﹣2，当m≤﹣2时，f（x）在区间[﹣1，2]上为减函数，∴f（x）max＝f（﹣1）＝﹣2m﹣5．∴g（m）＝．（3）由题意得F（m）＝，关于m的方程F（m）＝a恰有两个不相等的实数根，即函数y＝F（x）的图像与函数y＝a的图像恰有两个不同的公共点，又∵当m≥1时，F（m）≥2，当m≤﹣2时，F（m）≥﹣1，当﹣2〈m〈1时，F（m）在（﹣2，]上递增，﹣1〈F（m）≤，F（m）在[，1）上递减，2〈F（m）≤，作出y＝F（m）与y＝a的图像，结合图像得实数a的取值范围是（﹣1，2）∪（，+∞）．。
高一数学期中检测题(29)
高一数学期中检测题（29）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4,5}B =，则A B 的子集个数为A ．2B ．3C ．4D ．52.若集合{0}P x R x =∈>，{(1)(4)0}P x Z x x =∈+-<，则P Q =A ．(0,4)B ．(4,)+∞C ．{1,2,3}D ．{1,2,3,4}3.设集合{20}A x x =->，2{320}B x x x =-+<，若全集U A =，则U C B =A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞4.已知0.70.8a =，2log 0.7b =，0.81.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>5.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是A ．21()f x x =B ．2()1f x x =+C ．3()f x x =D ．1()f x x= 6．已知()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =+，则(3)f -=A ．15-B ．0C ．6D ．157．已知函数2log (0,)()3(,0]x x x f x x ∈+∞⎧=⎨∈-∞⎩，则1[()]4f f = A.9- B.19- C.19D.98 A.(,10]-∞ B.(,10)-∞ C.(0,10] D.(10,)+∞9．函数1()21x f x =-的值域为 A.(,1)-∞- B.(,1]-∞- C.(,1)(0,)-∞-+∞ D.(,1][0,)-∞-+∞10.设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的 解集是A ．{}|303x x x -<<>或B ．{}|303x x x <-<<或C ．{}|33x x x <->或D ．{}|3003x x x -<<<<或11.已知(3)1()log 1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 A ．3[,3)2B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(1)+∞， 12.当102x <≤时，2log a x x <恒成立，则a 的取值范围是 A. (10,16) B.(10,4) C.(1,116) D.(1,14) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若幂函数()f x 的图象经过点(12,4)，则(6)f 的值为 ． 14.函数2()43f x x x =-++的单调递增区间是 ．15．函数3()21x f x a +=+的图像一定经过的定点的坐标为 ．16．设25a b m ==，且1112a b +=，则m = ． 三、解答题：本题共6道大题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 已知集合{37}A x x =≤<，{210}B x x =<<，{1,2,3}C =.（Ⅰ）求A B ；()R C A B ；（Ⅱ）写出集合C 的所有非空真子集.18．（本小题满分12分）计算下列各式的值：（Ⅰ）011191132()()(()348----++-- （Ⅱ）51lg12.5lg lg 82-+. 19．（本小题满分12分） （Ⅰ）已知()1x f x x =+，求1(2)+()2f x f x； （Ⅱ）已知2(1)21f x x x +=++，求()f x 的解析式.20.（本小题满分12分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水收费标准如下：每户每月用水不超过6吨时每吨3元，当用水超过6吨但不超过15吨时.超过部分每吨5元，当用水超过15吨时，超过部分每吨10元.（Ⅰ）求水费y （元）关于用水量x （吨）之间的函数关系式；（Ⅱ）若某居民某月所交水费为93元，试求此用户该月的用水量.21．（本小题满分12分）设函数2()3f x x ax =++，其中，a 为实数．（Ⅰ）当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）当[2,2]x ∈-时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数a ，b 都满足()()()f a b f a f b +=，且(1)0f ≠，当0x >时，()1f x >.（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上是增函数； （Ⅲ）解不等式1(2)(24)f x f x -<-.。
高一上册数学期中试卷及答案
高一上册数学期中试卷及答案高一数学期中试卷跟平时练习的试卷题目难度差不多，这就考验大家的数学水平了，以下是小编整理的高一上册数学期中试卷及答案，欢迎阅读。
高一上册数学期中试卷及答案一、选择题(每小题5分，共计50分，每题有且仅有一个答案正确.)1.设全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2}, B={2, 3}，则A∩CUB=( )A.{4，5}B.{2，3}C.{1}D.{2}2.已知集合A={x|ax2-ax+1<0}，若A=ф，则实数a的集合为( )A.{a|03.下列对应法则f中，构成从集合P到S的映射的是( )A.P=R，S=(-∞, 0), x∈P, y∈S, f：x→y=|x|B.P=N(N是自然数集)，S=N*, x∈P, y∈S, f: y=x2C.P={有理数}，S={数轴上的点}，x∈P, f: x→数轴上表示x的点D.P=R，S={y|y>0}, x∈P, y∈S, f: x→y=4.已知命题p：若m>0，则关于x的方程x2+x-m=0有实根.q是p的逆命题，下面结论正确的是( )A.p真q真B.p假q假C.p真q假D.p假q真5.如果命题“非p或非q”是假命题，对于下列各结论( )(1)命题“p且q”是真命题 (2)命题“p且q”是个假命题(3)命题“p或q”是真命题 (4)命题“p或q”是假命题其中正确的是( )A.(1)(3)B.(2)(4)C.(2)(3)D.(1)(4)6.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么( )A.f(2)C.f(2)7.关于x的不等式ax-b>0的解集为(1, +∞)，则关于x的不等式的解集为( )A.(-1, 2)B.(-∞, -1)∪(2, +∞)C.(1, 2)D.(-∞, -2)∪(1, +∞)8.函数y= 的单调递减区间为( )A. , +∞)B. , +∞)C.(-∞, 0D.(-∞, -9.已知函数y=f(x)存在反函数且f(3)=0，则函数f-1(x+1)的图象必过点( )A.(2, 0)B.(0, 2)C.(3, -1)D.(-1, 3)10.设A、B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B，且x A∩B}，已知A={x|y= }, B={y|y= (x>0)}，则A×B等于( )A.[0, 1]∪(2, +∞)B.[0, 1 ∪(2, +∞)C.[0, 1]D.[0, 2]第Ⅱ卷二、填空题(每小题5分，共计25分，把答案填在题中横线上.)11.命题“a, b是实数，若|a-1|+|b-1|=0，则a=b=1”，用反证法证明时，应先假设________.12. =____________.13.已知集合A={1，2}，集合B={x|x2-ax+a-1=0}, A∪B=A，则实数a的值是_________.14.若0≤x≤2，则函数y=( )x-1-4•( )x+2的值域是________________.15.设定义域为R的函数f(x)= ，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有3个不同的实数解x1, x2, x3，则(x1+x2+x3)2=____________.三、解答题(本大题共6小题，共计75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(12分)已知命题p：指数函数f(x)=(2a-6)x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围.17.(12分)设全集U={1, 2}, 集合A={x|x2+px+q=0}, CUA={1}，(1)求p、q;(2)试求函数y=px2+qx+15在[ ，2]上的反函数.18.(12分)《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资，薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分应纳税，此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分 5%超过500元至2000元的部分 10%超过2000元至5000元的部分 15%超过5000元至20000元的部分 20%………… ……(1)上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去1600元后的余额.写出月工资，薪金的个人所得税y关于工资，薪金收入x(0(2)某人在一月份缴纳的个人所得税是85元，求他这个月的工资，薪金税后收入.19.(12分)已知p：x2-8x-20>0, q：x2-2x+1-a2>0，若p是q 的充分而不必要条件，求实数a的取值范围.20.(13分)已知f(x)= ，且f(1)=3，(1)试求a的值，并证明f(x)在[ , +∞ 上单调递增.(2)设关于x的方程f(x)=x+b的两根为x1, x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意的b∈[2, ]及t∈[-1, 1]恒成立?若存在，求出m的取值范围;若不存在说明理由.21.(14分)对于区间[a, b]，若函数y=f(x)同时满足下列两个条件：①函数y=f(x)在[a, b]上是单调函数;②函数y=f(x)，x∈[a, b]的值域是[a, b]，则称区间[a, b]为函数y=f(x)的“保值”区间.(1)写出函数y=x2的“保值”区间;(2)函数y=x2+m(m≠0)是否存在“保值”区间?若存在，求出相应的实数m的取值范围;若不存在，试说明理由.参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D C C A A B B D A二、填空题11.a, b不都等于1 12.1 13.2或3 14.[1，2] 15.9三、解答题16.解：若p真，则y=(2a-6)x在R上单调递减，∴0<2a-6<1, ∴3x2-3ax+2a2+1，则应满足，∴ ，故a> ，又由题意应有p真q 假或p假q真.i. 若p真q假，则，a无解.ii. 若p假q真，则，∴若a的取值范围的集合是{a|17.解：(1)∵U={1, 2}，而∴CUA={1}，∴A={2}，即方程x2+px+q=0的两根均为2，由韦达定理知：，∴ .(2)∵y=-4x2+4x+15=-4(x- )2+16，而≤x≤2, ∴7≤y≤16，∴4(x- )2=16-y, ∴x- = , ∴x= + ，故原函数的反函数是y= + (7≤x≤16).18.解;(1)由题设条件，得，化简得： .(2)由(1)知，当019.解：∵x2-8x-20>0, ∴(x-10)(x+2)>0, ∴x>10或x<-2，满足p 的x构成的集合记为a，则a={x|x>10或x<-2}，又x2-2x+1-a2>0，∴[x-(1-a)][x-(1+a)]>0满足q的x记为集合B.i. 若1-a>1+a即a<0，则b={x|x>1-a或x<1+a}，∵A B，则，∴a≥-3，故-3≤a<0.ii. 若1-a=1+a即a=0，则B={x|x∈R且x≠0}，则此时A B，∴a=0.iii. 若1-a<1+a即a>0，则B={x|x>1+a或x<1-a}，∴ ，∴a≤3，∴0故综上所述，a的取值范围是-3≤a≤3.法2.由题意，a20即x>10或x<-2，即当x>10或x<-2时，a2<(x-1)2恒成立，∴a2≤9，故-3≤a≤3.20.解：(1)∵f(1)=3, ∴a=1, ∴f(x)= ，设≤x1(2x1+ )=2(x2-x1)+ =(x2-x1)(2- ), ∵x2>x1≥ , ∴x1x2≥x ≥ , ∴0<<2，∴2->0又x2-x1>0，∴f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在 , +∞)上单调递增.(2)∵f(x)=x+b, ∴x2-bx+1=0, ∴|x1-x2|= 又2≤b≤ ，∴0≤|x1-x2|≤3，故只须当t∈[-1, 1]，使m2+mt+1≥3恒成立，记g(t)=tm+m2-2，只须：，∴ ，∴ ，∴m≥2或m≤-2，故m的取值集合是{m|m≥2或m≤-2}.21.解：(1)∵y=x2, ∴y≥0又y=x2在[a, b]上的值域是[a, b]，故[a,b] [0，+∞ ，∴a≥0，故y=x2在[a, b]上单调递增，故有，又a(2)若y=x2+m存在“保值”区间，则应有：i. 若aii. 若b>a≥0，则有等价于方程x2-x=-m(x≥0)有两个不相等的根，∴-m=(x- )2- (x≥0)，由图象知：- <-m≤0, ∴0≤m< ，又∵m≠0，∴0综上所述，函数y=x2+m存在保值区间，此时m的取值范围是0本内容由高一上册试卷栏目提供。
2022-2023学年重庆市第二十九中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年重庆市第二十九中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2A =，{|,,}B x x ab a A b A ==∈∈，则集合B 中有（ ）个元素. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【分析】根据集合B 的定义，求得集合B ，即可求得结果. 【详解】根据题意可得，集合{}0,1,2,4B =，故其元素有4个. 故选：D.2．函数()f x ）.A ．[]2,2-B ．()(],11,2-∞-⋃-C ．[)(]2,11,2--⋃-D ．()2,2-【答案】C【分析】根据题意，列出不等式，求解即可.【详解】要使得函数有意义，则240x -≥，且10x +≠，解得[)(]2,11,2x ∈--⋃-. 故选：C.3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．1y x =-，21xy x=-B ．4211x y x -=+，21y x =-C ．y x =，yD ．y =，y 【答案】B【分析】判断两函数是否同一函数，只需判断是否有相同的定义域和对应关系即可.【详解】选项A ：1y x =-的定义域为R ,21xy x=-定义域为{}0x x ≠，两函数定义域不同，故不是同一函数；选项B ：4211x y x -=+定义域为R 且422111x y x x -==-+,21y x =-定义域为R ,两函数定义域对应关系相同，故是同一函数；选项C ：y x ==与y x =的解析式不同，故不是同一函数； 选项D ：11y x x =+⋅-的定义域为[)1,+∞，21y x =-定义域为(][),11,-∞+∞，两函数定义域不同，故不是同一函数； 故选：B4．学校举办运动会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加跑步比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跳高比赛，同时参加跑步比赛和球类比赛的有3人，同时参加跑步比赛和跳高比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加球类比赛和跳高比赛的有（ ）人. A ．13 B ．9C ．3D ．4【答案】C【分析】根据集合的应用，集合韦恩图即可求得结果.【详解】设全班同学组成集合U ，参加跑步比赛、球类比赛和跳高比赛的同学分别为,,A B C 集合； 同时参加球类比赛和跳高比赛的同学有x 人，根据题意，作韦恩图如下所示：故()()9338314328x x x +++--++--=，解得3x =， 故同时参加球类比赛和跳高比赛的同学有3人. 故选：C.5．函数()223f x ax x =-+在区间[]1,3上为增函数的充要条件是（ ）A ．0a =B ．a<0C ．103a <≤D ．1a ≥【答案】D【分析】通过对a 进行分类讨论，结合二次函数对称轴与区间[]1,3的关系，求出()f x 在区间[]1,3上为增函数的充要条件【详解】当0a =时，()23f x x =-+，在区间[]1,3上为减函数，所以不合题意，舍去；当0a ≠时，二次函数()223f x ax x =-+对称轴为：1x a=，要想()f x 在区间[]1,3上为增函数，则要满足①011a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩或②013a a <⎧⎪⎨≥⎪⎩，解①得：1a ≥，解②得：∅ ，综上，函数()223f x ax x =-+在区间[]1,3上为增函数的充要条件是1a ≥ 故选：D6．若0,0a b >>，且111a b +=，则2a b +的最小值为（ ）A．B．C ．6 D．3-【答案】A【分析】利用乘“1”法即得.【详解】因为111a b+=，所以()11222333a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭ 当且仅当2a b b a =时，即11a b =+= 所以2a b +的最小值为故选：A.7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，且()30f =，则不等式()()250x f x -<的解集为（）A ．()5,3,32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭B ．()3,+∞C ．()(),33,-∞⋃+∞D ．(),3-∞-【答案】A【分析】根据函数性质，求得()()0,0f x f x ><的解集，再结合题意求解即可. 【详解】根据题意，当3x >或3x <-时，()0f x >；当()3,3x ∈-时，()0f x <； 对不等式()()250x f x -<， 当52x >时，()0f x <，解得5,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；或当52x <时，()0f x >，解得(),3x ∈-∞-； 故该不等式的解集为：()5,3,32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：A.8．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞- B ．[3,)+∞ C ．(,3][3,)-∞-+∞ D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】C【解析】先求得()f x 的值域，根据题意可得()f x 的值域为[1,2]是()g x 在[1,1]-上值域的子集，分0,0a a ><两种情况讨论，根据()g x 的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.【详解】因为2()(2)2,[0,2]f x x x =--+∈，所以min max ()(0)1()(2)2f x f f x f ==⎧⎨==⎩，即()f x 的值域为[1,2]，因为对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立， 所以()f x 的值域为[1,2]是()g x 在[1,1]-上值域的子集，当0a >时，()g x 在[1,1]-上为增函数，所以(1)()(1)g g x g -≤≤，所以()[1,1]g x a a ∈---，所以1112a a --≤⎧⎨-≥⎩，解得3a ≥，当a<0时，()g x 在[1,1]-上为减函数，所以(1)()(1)g g x g ≤≤-，所以()[1,1]g x a a ∈---所以1112a a -≤⎧⎨--≥⎩，解得3a ≤-，综上实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞， 故选：C【点睛】解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.二、多选题9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若22ac bc >，则a b > B ．若a b >，c d >，则a d b c ->-C ．若a b >，0c d >>，则a bd c> D ．若0ab >，0bc ad ->，则0c da b->【答案】ABD【分析】根据不等式的性质判断A 、B ，利用特殊值判断C ，利用作差法判断D. 【详解】解：对于A ：若22ac bc >，则20c ≠，即20c >，所以a b >，故A 正确；对于B ：a b >，c d >，d c ∴->-，∴由不等式的可加性可得，a d b c ->-，故B 正确， 对于C ：令1a =-，2b =-，2c =，1d =，满足a b >，0c d >>，但a bd c=，故C 错误． 对于D ：0ab >，0bc ad ->，∴0c d bc ad a b ab--=>，故D 正确； 故选：ABD10．下列函数中，对任意x ，满足2()(2)f x f x =的是（ ） A ．()||f x x = B ．()2f x x =- C ．()||f x x x =- D ．()1f x x【答案】ABC【解析】对A 、B 、C 、D 选项逐项验证即可．【详解】对于A ，2()2f x x =，(2)22f x x x ==，故满足2()(2)f x f x =； 对于B ，2()4f x x =-，(2)4f x x =-，故满足2()(2)f x f x =；对于C ，2()22f x x x =-，(2)2222f x x x x x =-=-，故满足2()(2)f x f x =； 对于D ，2()22f x x =-，(2)21f x x =-，故不满足2()(2)f x f x =； 故选：ABC.【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查学生基本的运算能力，属于基本知识的考查．11．下列说法中不正确的是（ ）A ．已知函数()223f x x ax =-+，若x ∀∈R ，有()()11f x f x -=+成立；则实数a 的值为4.B ．若关于x 的不等式2680kx kx k -++>恒成立，则k 的取值范围为01k <<C ．命题“32R,10x x x ∃∈-+≤”的否定是“32R,10x x x ∀∈-+≤”.D ．函数()f x x =函数()2g x =值域相同.【答案】BC【分析】每一个选项分别判断即可.【详解】选项A ：由题可知()f x 关于1x =对称，所以14a=，得4a =，故选项A 正确；选项B ：当0k =时，得80>，满足题意，故该选项错误；选项C ：命题“32R,10x x x ∃∈-+≤”的否定是“32R,10x x x ∀∈-+>”，故C 错误；选项D ：()f x x =与()2g x =的值域均为[)0,∞+，故D 正确. 故选：BC12．已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合(){}1,n n A y y f x x A -==∈.若1nn A A -=∅对任意的*n ∈N 成立，则称该函数()y f x =具有性质“p ”.则下列函数中具有性质“p ”的是（ ） A ．1y x =+ B ．1y x=C ．2y xD ．1y x x=+【答案】AB【分析】根据题设中的新定义和函数的值域，求得123,,,,n A A A A ，结合新定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数1y x =+，由0{|01}A x x =<<，(){}1,n n A y y f x x A -==∈，可得1{|12}A y y =<<，2{|23}A y y =<<，⋯，1{|1}n A y n y n -=-<<，{|1}n A y n y n =<<+，满足1nn A A -=∅对任意的*n ∈N 成立，故具有性质“p ”，所以A 正确；对于B 中，函数1y x=，由0{|01}A x x =<<，{|()n A y y f x ==，1}n x A -∈， 可得1{|1}A y y =>，2{|01}A y y =<<，3{|1}A y y =>，4{|01}A y y =<<，⋯， 满足1nn A A -=∅对任意的*n ∈N 成立，故具有性质“p ”，所以B 正确；对于C 中，函数2y x ，由0{|01}A x x =<<，{|()n A y y f x ==，1}n x A -∈，可得1{|01}A y y =<<，2{|01}A y y =<<，⋯，不满足1n n A A -=∅对任意的*n ∈N 成立，故不具有性质“p ”，所以C 不正确； 对于D 中，函数1y x x=+，由0{|01}A x x =<<，{|()n A y y f x ==，1}n x A -∈， 可得1{|2}A y y =>，25{|}2A y y =>，⋯，不满足1n n A A -=∅对任意的*n ∈N 成立，故不具有性质“p ”，所以D 不正确. 故选：AB.三、填空题13．已知()2123f x x x +=+-，则()2f = _________ .【答案】0【分析】通过赋值，即可直接求得结果.【详解】根据题意，令1x =，则()()1121230f f +==+-=，即()20f =.故答案为：0.14．若实数a ，b ，c ，满足0a b >>，0m >，则b a ______b ma m++（用不等号填空）．【答案】<【分析】作差比较即可. 【详解】()()()()()b m b a b m b a m a b ma m a a a m a a m ++-+--==+++ 因为0ab >>，0m >，所以0a b ->，所以()0()a b ma a m ->+即0b m ba m a +->+，b m b a m a+>+， 故答案为：<15．已知函数()2323,23,124,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩，若()2f x =，则x =______.【答案】【解析】分32x ≤-、312x -<<、1x ≥三种情况解方程()2f x =，即可得出结果.【详解】()2323,23,124,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩，当32x ≤-时，令()232f x x =+=，解得12x =-（舍去）；当312x -<<时，令()22f x x ==，解得x =x =；当1x ≥时，令()42f x x ==，解得12x =（舍去）.综上所述，x =故答案为：.【点睛】本题考查根据分段函数值求自变量的值，解题时要对自变量的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于基础题.16．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.则函数32()3f x x x =-图象的对称中心为___________. 【答案】(1,2)-【分析】首先设32()3f x x x =-的对称中心为点(,)P a b ，根据题意得到函数()y f x a b =+-是奇函数，从而得到()()f x a b f x a b -+-=-++，即可得到3232()3()()3()2x a x a x a x a b -+--+++-+=，再解方程即可.【详解】根据题意，设32()3f x x x =-的对称中心为点(,)P a b 则函数()y f x a b =+-是奇函数，则有()()f x a b f x a b -+-=-++， 变形可得()()20f x a f x a b -+++-=，则有3232()3()()3()2x a x a x a x a b -+--+++-+=， 必有1a =，2b =-； 即函数的对称中心为(1,2)-； 故答案为：(1,2)-.四、解答题 17．已知集合A ={x |3010x x -≤-}，B ={x |2 < x < 7}，C ={x |5-a < x < a }. (1)求A ∪B ，（RA ）∩B ；(2)若C ∩B =B ，求a 的取值范围. 【答案】(1)A ∪B {|210}x x =<<，（RA ）∩B {|23}x x =<<；(2)[)7,+∞.【分析】（1）求解分式不等式解得集合A ，再根据集合的交并补运算，即可求得结果； （2）根据,B C 的包含关系，列出不等关系，求解即可. 【详解】（1）A ={x |()()30}{|3100,10}{|310}10x x x x x x x x -≤=--≤≠=≤<-， 故A ∪B {|210}x x =<<，又RA {|3x x =<或10}x ≥，故（RA ）∩B {|23}x x =<<.（2）B ={x |2 < x < 7}，C ={x |5-a < x < a }因为C ∩B =B ，故可得结合B C ⊆，则52a -≤，且7a ≥，解得[)7,a ∈+∞， 故实数a 的取值范围为：[)7,+∞. 18．设函数2()f x x ax b =-+．（1）若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣，求不等式210bx ax -+<的解集； （2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）62a -≤≤．【分析】（1）先由一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系即得结果； （2）开口向上的二次函数大于等于恒成立，只需限定判别式0∆≤，即解得参数范围. 【详解】解：（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}|23<<x x ， 所以23x x ==，是方程20x ax b -+=的解 由韦达定理得：56a b ==，，故不等式210bx ax -+<为26510x x -+<，解不等式26510x x -+<得其解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）当3b a =-时，2()30f x x ax a =-+-≥恒成立， 则2Δ4(3)0a a =--≤，即24120a a +-≤，解得62a -≤≤， 所以实数a 的取值范围为62a -≤≤．【点睛】二次函数2()f x ax bx c =++的恒成立问题的解决方法：（1）0a >时()0f x ≥在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立； （2）a<0时()0f x ≤在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立． 19．函数()f x =21ax b x ++是定义在R上的奇函数，且()112f =. (1)求实数,a b 的值:(2)判断函数()f x 在()1,∞+上的单调性，不需要证明你的结论； (3)求该函数()f x 在区间[]0,4上的最大值与最小值. 【答案】(1)1,0a b ==； (2)单调递减；(3)最大值为12，最小值为0.【分析】（1）根据函数的奇偶性和已知的函数值，待定系数，即可求得结果； （2）直接判断函数单调性即可，再由定义证明即可；（3）根据对勾函数和()f x 的联系，结合其单调性，即可直接求得函数的最值. 【详解】（1）因为()f x 是R 上的奇函数，则()00f b ==；又()1122a f ==，则1a =， 故1,0ab ==，此时()21x f x x =+，其定义域R 关于原点对称，且()()21xf x f x x -=-=-+， 故()f x 为奇函数，则1,0a b ==满足题意.（2）由（1）可得()2111x f x x x x==++，因为1y x x =+在()1,+∞上单调递增，则()f x 在()1,+∞单调递减. 证明如下：在()1,+∞上任取12x x <，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 因为121x x <<，则120x x -<，1210x x -<，又()()2212110x x ++>，故()()()()121222121011x x x x x x -->++，即()()12f x f x >，即证.（3）当0x =时，()0f x =；当0x ≠时，()11f x x x=+，1y x x=+在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 故()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减， 又()()141,4217f f ==；综上所述，()f x 的最大值为12，最小值为0.20．已知y =f (x )满足对一切x ，y ∈R 都有f (x +2y )=f (x )+2f (y ). (1)判断y =f (x )的奇偶性并证明;(2)若f (1)=2，求f (-13)+f (-3)+f (22)+f (53)的值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)118【分析】（1）令y x =-，结合题意根据奇偶性的定义即可得出结论； （2）令()1,Z x y n n ==∈，可得(2)2()f n f n =，再结合函数的奇偶性分别求出()()()()13,3,22,53f f f f --即可得出答案.【详解】（1）解：()y f x =为奇函数，证明：令y x =-，则有()()2()f x f x f x -=+-，所以()()f x f x -=-，故()y f x =为奇函数；（2）解：令()1,Z x y n n ==∈，则()(12)12()22()f n f f n f n +=+=+；又(0)0f =，令()0,x y n n Z ==∈，则()(02)(2)02()2()f n f n f f n f n +==+=，即(2)2()f n f n =，所以(2)2(1)4,(3)22(1)6,(5)22(2)10f f f f f f ===+==+=，则(3)(3)6f f -=-=-，()(13)(13)(126)22(6)222(3)26f f f f f -=-=-+⨯=--=--=-，()()(22)2(11)2(125)222(5)44f f f f ==+⨯=+=，()(53)22(26)222(13)106f f f =+=+=，所以所求式子的值为118.21．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，*t N ∈，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为()p t .（1）求()p t 的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？ 【答案】（1）210200200,?210()()1200,1?020t t t p t t N t *⎧-++≤<=∈⎨≤≤⎩；（2）6分钟. 【分析】(1)210t ≤<时，求出正比例系数k ，写出函数式即可得解；(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.【详解】（1）由题意知21200(10),?210()?()1200,?1?020k t t p t t N t *⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩，（k 为常数）， 因2(2)1200(102)120064560p k k =--=-=，则10k =，所以210200200,?210()()1200,1?020t t t p t t N t *⎧-++≤<=∈⎨≤≤⎩；（2）由6()3360360p t Q t -=-得26(10200200)3360360,?2103840360,1?020t t t t Q t t ⎧-++--≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩， 即)3684060(),210(3840360,1020t t t Q t N t t*⎧-+≤<⎪⎪=∈⎨⎪-≤≤⎪⎩， ①当210t ≤<时，3684060()8406012120Q t t =-+≤-⨯=，当且仅当6t =等号成立； ②当1020t ≤≤时，3840360Q t=-在[10，20]上递减，当10t =时Q 取最大值24， 由①②可知，当发车时间间隔为6t =分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元. 22．设的数的定义域为D ，若存在正实数a ，使得对于任意x D ∈，总有x a D +∈，且()()f x a f x +>，则称()f x 是D 上的“a 距增函数”.(1)判断函数()2f x x x =+是否为()0,∞+上的“1距增函数”并说明理由；(2)已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x > 0时，()f x x m =+.若()f x 为R 上的“2022距增函数”，求m 的取值范围.【答案】(1)函数()2f x x x =+是为()0,∞+上的“1距增函数”，理由见解析.(2)1011m >-【分析】（1）根据“1距增函数”的定义求解即可.（2）首先根据题意得到(),00,0,0x m x f x x x m x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，再分类讨论结合“2022距增函数”的定义求解即可.【详解】（1）对任意()0,x ∈+∞，都有()10,x +∈+∞，()()()()22111220f x f x x x x x x +-=+++--=+>，即()()1f x f x +>. 所以函数()2f x x x =+是为()0,∞+上的“1距增函数”.（2）()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x > 0时，()f x x m =+，当0x =时，()00f =.当0x <时，0x ->，()()f x x m f x -=-+=-，即()f x x m =-.所以(),00,0,0x m x f x x x m x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩. 若0m ≥时，()f x 在R 上单调递增，则()()2022f x f x +>恒成立. 若0m <时，①当0x >时，20220x +>，因为()f x 单调递增，则()()2022f x f x +>恒成立. ②当2022x <-时，20220x x <+<，()f x 单调递增， 则()()2022f x f x +>恒成立.③当20220x -<<时，20220x +>，若()()2022f x f x +>，则2022x m x m ++>-，解得10110m -<<. ④当0x =时，若()()2022f x f x +>，则()()20220f f >，20220m +>，即2022m >-. ⑤当2022x =-时，若()()2022f x f x +>， 则()()02022f f >-，02022m >--，即2022m >-. 综上：1011m >-.。
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高一上学期数学期中考试试卷
一、填空题
1. 已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∪B=________．
2. 不等式≥0的解集为________（用区间表示）
3. 已知A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则A∩B=________．
4. 已知全集U=R，集合P={x|x2﹣5x﹣6≥0}，那么∁UP=________．
5. 已知集合A={1，3，2m+3}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=________．
6. 设全集U=M∪N={1，2，3，4，5}，M∩∁UN={2，4}，则N=________．
7. 满足{1，2}⊊M⊆{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是________．
8. 已知x∈R，命题“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”的否命题是________．
9. 设x＞0，则的最小值为________．
10. 若关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是________．
11. 在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意的实数x成立，则a的取值范围是________．
12. 不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是________
13. 设实数a，b满足a+ab+2b=30，且a＞0，b＞0，那么的最小值为________．
14. 定义满足不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的实数x的集合叫做A的B 邻域．若a+b﹣t（t为正常数）的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则a2+b2的最小值
为________．
二、选择题
15. 设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）
A . M∩N=∅
B . M∩N=M
C . M∪N=M
D . M∪N=R
16. 下列命题正确的是（）
A . ac＞bc⇒a＞b
B . a2＞b2⇒a＞b
C . ＞⇒a＜b
D . ＜⇒a＜b
17. 条件“0＜x＜5”是条件“|x﹣2|＜3”的（）
A . 充分但非必要条件
B . 必要但非充分条件
C . 充要条件
D . 既非充分又非必要条件
18. 对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界，若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）
A .
B .
C .
D . ﹣4
三、解答题
19. 解不等式组．
20. 记关于x的不等式的解集为P，不等式|x+2|＜3的解集为Q
（1）若a=3，求P；
（2）若P∪Q=Q，求正数a的取值范围．
21. 设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，x∈R}，
（1）若A∩B=A∪B，求实数a的值；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．
22. 若实数x、y、m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．
（1）若x2﹣1比3远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab ．
23. 某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时）经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a．试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%．
24. 已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．（1）当a=1，时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a 的取值范围；
（4）若不等式m2﹣2km+1+b+ac≥0对所有k∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
四、附加题
25. 定义集合运算：A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}．设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．
26. 关于不等式组的整数解的集合为{﹣2}，则实数k 的取值范围是________．
27. 设集合A={x|x2﹣2ax+a=0，x∈R}，B={x|x2﹣4x+a+5=0，x∈R}，若A 和B中有且仅有一个是∅，则实数a的取值范围是________．
28. 设集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x﹣1∉A且x+1∉A，则称x为集合A的一个“孤立元素”．，那么集合S中所有无“孤立元素”的4元子集有________个．
29. 设，则的最小值为________．。