-余弦定理基础练习题
余弦定理练习 含答案
课时功课2 余弦定理 【2 】时光：45分钟 满分：100分教室练习1．在△ABC 中,已知a ＝5,b ＝4,∠C ＝120°.则c 为( ) A.41B.61 C.41或61D.21 【答案】B【解析】c ＝a2＋b2－2abcosC ＝52＋42－2×5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝61. 2．△ABC 的内角A.B.C 的对边分离为a,b,c,若a,b,c 知足b2＝ac,且c ＝2a,则cosB ＝( ) A.14B.34 C.24D.23【答案】B【解析】由b2＝ac,又c ＝2a,由余弦定理 cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋4a2－a ×2a 2a ·2a ＝34. 3．在△ABC 中,三个角A.B.C 的对边边长分离为a ＝3.b ＝4.c ＝6,则bccosA ＋cacosB ＋abcosC ＝________. 【答案】612【解析】bccosA ＋cacosB ＋abcosC ＝bc ·b2＋c2－a22bc ＋ca ·c2＋a2－b22ac ＋ab ·a2＋b2－c22ab＝12(b2＋c2－a2)＋12(c2＋a2－b2)＋12(a2＋b2－c2)＝12(a2＋b2＋c2)＝612. 4．在△ABC 中：(1)a ＝1,b ＝1,∠C ＝120°,求c;(2)a ＝3,b ＝4,c ＝37,求最大角; (3)a:b:c ＝1:3:2,求∠ A.∠ B.∠C. 【剖析】 (1)直接运用余弦定理即可; (2)在三角形中,大边对大角; (3)可设三边为x,3x,2x.【解析】(1)由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝12＋12－2×1×1×(－12)＝3,∴c ＝ 3. (2)显然∠C 最大,∴cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12.∴∠C ＝120°. (3)因为a:b:c ＝1:3:2,可设a ＝x,b ＝3x,c ＝2x(x>0)． 由余弦定理,得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝3x2＋4x2－x22·3x ·2x ＝32, ∴∠A ＝30°.同理cosB ＝12,cosC ＝0.∴∠B ＝60°,∠C ＝90°. 【纪律办法】1．本题为余弦定理的最根本运用,应在此基本上闇练地控制余弦定理的构造特点． 2．对于第(3)小题,依据已知前提,设出三边长,由余弦定理求出∠A,进而求出其余两角,别的也可斟酌用正弦定理求∠B,但要留意评论辩论解的情形．课后功课一.选择题(每小题5分,共40分) 1．△ABC 中,下列结论：①a2>b2＋c2,则△ABC 为钝角三角形; ②a2＝b2＋c2＋bc,则∠A 为60°; ③a2＋b2>c2,则△ABC 为锐角三角形; ④若∠A:∠B:∠C ＝1:2:3,则a:b:c ＝1:2:3, 个中准确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】①cosA ＝b2＋c2－a22bc <0, ∴∠A 为钝角,准确; ②cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝－12, ∴∠A ＝120°,错误; ③cosC ＝a2＋b2－c22ab>0, ∴∠C 为锐角,但∠A 或∠B 不必定为锐角,错误; ④∠A ＝30°,∠B ＝60°,∠C ＝90°, a:b:c ＝1:3:2,错误．故选A.2．△ABC 的三内角A.B.C 所对边长分离为a.b.c,设向量p ＝(a ＋c,b),q ＝(b －a,c －a)．若p ∥q,则∠C 的大小为( ) A.π6B.π3 C.π2D.23π 【答案】B【解析】∵p ＝(a ＋c,b),q ＝(b －a,c －a)且p ∥q, ∴(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0即a2＋b2－c2＝ab,∴cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝ab 2ab ＝12. ∴∠C ＝π3. 3．△ABC 中,角A,B,C 的对边分离为a,b,c,∠A ＝π3,a ＝7,b ＝1,则c 等于( ) A ．22B ．3 C.3＋1 D ．23 【答案】B【解析】由余弦定理得,a2＝b2＋c2－2bccosA,所以(7)2＝1＋c2－2×1×c ×cos π3, 即c2－c －6＝0,解得c ＝3或c ＝－2(舍)．故选B.4．在不等边三角形ABC 中,a 为最大边,且a2<b2＋c2,则∠A 的取值规模是( ) A ．(π2,π) B ．(π4,π2) C ．(π3,π2) D ．(0,π2) 【答案】C【解析】因为a 为最大边,所以∠A 为最大角,即∠A>∠B,∠A>∠C,故2∠A>∠B ＋∠ C.又因为∠B ＋∠C ＝π－∠A,所以2∠A>π－∠A,即∠A>π3.因为a2<b2＋c2,所以cosA ＝b2＋c2－a22bc >0,所以0<∠A<π2.综上,π3<∠A<π2. 5．在△ABC 中,已知a ＝4,b ＝6,∠C ＝120°,则sinA 的值为( ) A.5719B.217 C.338D ．－5719【答案】A【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab ·cosC ＝42＋62－2×4×6(－12)＝76, ∴c ＝76.由正弦定理得a sinA ＝c sinC ,即4sinA ＝76sin120°, ∴sinA ＝4sin120°76＝5719. 6．△ABC 中,a.b.c 分离为∠ A.∠B.∠C 的对边,且2b ＝a ＋c,∠B ＝30°,△ABC 的面积为32,那么b 等于( ) A.1＋32B ．1＋3 C.2＋32D ．2＋3 【答案】B【解析】∵2b ＝a ＋c,又因为∠B ＝30°, ∴S △ABC ＝12acsinB ＝12acsin30°＝32,解得ac ＝6, 由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝(a ＋c)2－2ac －2ac ·cos30°＝4b2－12－63, 即b2＝4＋23,由b>0解得b ＝1＋ 3.7．在△ABC 中,若acosA ＋bcosB ＝ccosC,则这个三角形必定是() A ．锐角三角形或钝角三角形 B ．以a 或b 为斜边的直角三角形 C ．以c 为斜边的直角三角形 D ．等边三角形 【答案】B【解析】由余弦定理acosA ＋bcosB ＝ccosC 可变为a ·b2＋c2－a22bc ＋b ·a2＋c2－b22ac＝c ·a2＋b2－c22ab, a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2) a2b2＋a2c2－a4＋b2a2＋b2c2－b4＝c2a2＋c2b2－c4 2a2b2－a4－b4＋c4＝0, (c2－a2＋b2)(c2＋a2－b2)＝0, ∴c2＋b2＝a2或a2＋c2＝b2, ∴以a 或b 为斜边的直角三角形．8．若△ABC 的周长等于20,面积是103,∠A ＝60°,则BC 边的长是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】C【解析】依题意及面积公式S ＝12bcsinA, 得103＝12bc ×sin60°,即bc ＝40.又周长为20,故a ＋b ＋c ＝20,b ＋c ＝20－a.由余弦定理,得a2＝b2＋c2－2bccosA ＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc ＝(b ＋c)2－3bc,故a2＝(20－a)2－120,解得a ＝7. 二.填空题(每小题10分,共20分)9．在△ABC 中,三边长AB ＝7,BC ＝5,AC ＝6,则AB →·BC →的值为________． 【答案】－19【解析】由余弦定理可求得cosB ＝1935,∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B)＝－|AB →|·|BC→|·cosB ＝－19.10．已知等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长为________． 【答案】62a【解析】如图,AB ＝AC ＝2a,BC ＝a,BD 为腰AC 的中线,过A 作AE ⊥BC 于E,在△AEC 中,cosC ＝EC AC ＝14,在△BCD 中,由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC ·CD ·cosC,即BD2＝a2＋a2－2×a ×a ×14＝32a2,∴BD ＝62a. 三.解答题(每小题20分,共40分．解答应写出必要的文字解释.证实进程或演算步骤) 11．在△ABC 中,已知b2sin2C ＋c2sin2B ＝2bccosB ·cosC,试断定三角形的外形． 【剖析】 解决本题,可分离运用正弦定理或余弦定理,把问题转化成角或边的关系求解． 【解析】办法一：由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R,R 为△ABC 外接圆的半径,将原式化为8R2sin2Bsin2C ＝8R2sinBsinCcosBcosC. ∵sinBsinC ≠0,sinBsinC ＝cosBcosC,即cos(B ＋C)＝0,∴∠B ＋∠C ＝90°,∠A ＝90°,故△ABC 为直角三角形． 办法二：将已知等式变为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC. 由余弦定理可得：b2＋c2－b2·(a2＋b2－c22ab )2－c2(a2＋c2－b22ac)2＝2bc ·a2＋b2－c22ab ·a2＋c2－b22ac. 即b2＋c2＝[a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]24a2也即b2＋c2＝a2,故△ABC 为直角三角形．【纪律办法】 在运用正弦定理实行边角转化时,等式双方a,b,c 及角的正弦值的次数必须雷同,不然不能互相转化．12．(2013·全国新课标Ⅰ,理)如图,在△ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝3,BC ＝1,P 为△ABC 内一点,∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12,求PA; (2)若∠APB ＝150°,求tan ∠PBA.【解析】(1)由已知得,∠PBC ＝60°,∴∠PBA ＝30°,在△PBA 中,由余弦定理得PA2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74,∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α,由已知得,PB ＝sin α, 在△PBA 中,由正弦定理得3sin150°＝sin αsin 30°－α,化简得,3cos α＝4sin α,∴tan α＝34,∴tan ∠PBA ＝34.。
余弦定理复习题(含答案)
正、余弦定理复习题(一)选择题1.已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，它们的对角分别是A，B，C，则sinA·sinC等于( B ).A.cos2BB.1－cos2BC.1＋cos2BD.1＋sin2B2.若三角形三边长之比如下：①3︰5︰7；②10︰24︰26；③21︰25︰28，其中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的顺序依次是( B )A.①②③B.③②①C.③①②D.②③①.3.某人向正东方向走了x km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值为( C )A.3B.2 3C.3或23D.3.(二) 填空题4.在△ABC中，bc＝30，S△ABC＝1523，则A＝___600或1200_______.5.在△ABC中，已知角A，B，C成等差数列，且边a＝2，c＝4，则△ABC的面积等于6.在△ABC中，已知a＝5，c＝23，∠B＝1500，则边长b＝7.若三角形三边分别为a，b，a2＋b2＋ab，则三角形的最大角为______1200______. 8.在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则∠C＝_____ .(一)选择题9.在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的( B )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.不充分不必要条件.10.在△ABC中，有acosA2＝bcosB2＝ccosC2，则△ABC的形状是( B )A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形. 提示：由已知及正弦定理可得sinA2＝sinB2＝sinC2，从而可得A＝B＝C.11.0＜a＜3是使a，a＋1，a＋2为钝角三角形的三边的( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件.(二)填空题12.在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2cm，B＝450，满足条件的三角形有两解，则x的取值范围是解法1：由正弦定理，得：x＝22sinA，又因三角形有两解，知A≠900且A＞450. 所以，2＜22sinA＜2 2. 即x的取值范围是(2，22). 解法2：∵有两解，在三角形A’BC中，∠CA’B＞∠A’BC ∴x＞2又由图知，CE＜2，∠ABC＝450，∴x＝BC＜CE/sin450＝2CE＜2 2 x的取值范围是2D13. 在△ABC 中，三个角满足2A ＝B ＋C ，且最大边与最小边分别是方程3x 2－27x ＋32＝0的两个根，则a ＝___7 . 14. 从地平面上共线的三点A 、B 、C 测得某建筑物的仰角分别为300，450，600，且AB＝BC＝60m ，则此建筑物的高为解：如图所示： 设DE ＝3x m ，由已知可得： AE ＝3x ，BE ＝3x ，CE ＝x ，设∠CBE ＝α，则在△ABE 中，由余弦定理，得：9x 2＝3x 2＋3600＋1203x cosα ①在△BCE 中，由余弦定理，得： x 2＝3x 2＋3600－1203x cosα ② \①＋②，得： 10x 2＝6x 2＋7200 解之，得：x ＝30 2∴ DE ＝3x ＝30 6(三) 解答题15. 在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsinB ＝－lg 2，且B 为锐角，度判断△ABC 的形状.解：∵ lgsinB ＝－lg 2， ∴ sinB ＝22又∵ B 是锐角，∴ B ＝450 由lg a －lg c ＝－lg 2，得a c ＝22， 由正弦定理，得：sinA sinC ＝22，∴ 2sin(1350－C)＝2sinC ，∴ 2[sin1350cosC －cos1350sinC]＝2sinC ， ∴ cosC ＝0 ∴ C ＝900， ∴ △ABC 是等腰直角三角形.16. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝450，求角A ，B 及边C.解：由正弦定理:：sinA ＝a sinB b ＝2sin4502＝32∵ B ＝450＜900且b ＜a∴ A 有两解A ＝600或1200.①当A ＝600时，C ＝1800－(A ＋B)＝750c ＝b sinC sinB ＝2sin750sin450＝6＋22； ②当A ＝1200时，C ＝1800－(A ＋B)＝150 c ＝b sinC sinB ＝2sin150sin450＝6－22.17. 已知关于x 的方程x 2－(b cosA)x ＋a cosB ＝0的两根之和等于两根之积，试判断△ABC形状.解：由题意，得：b cosA ＝a cosB∴ 2RsinBcosA ＝2RsinAcosB∴ sinAcosB －sinBcosA ＝0 ∴sin(A －B)＝0∵ A －B ∈(－π，π)∴ A －B ＝0 ∴ A ＝B ∴ △ABC 为等腰三角形.18. 在△ABC 中，求证：a ＝b cosC ＋c cosB ，b＝a cosC ＋ccosA ，c ＝a cosB ＋b cosA.提示：方法1：运用正弦定理，方法2：运用余弦定理19. 已知△ABC 中，面积S ＝3，a ＝23，b ＝2，求角A ，B 的正弦值..解：∵ S ＝ 3 ∴ 3＝12×23×2sinC ∴ sinC ＝12， ∴ C ＝300或1500 ①若C ＝300，由余弦定理，得：西 ACB北东 南 c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC ＝4∴ c ＝2，b ＝c ，得∠B ＝300，∠A ＝1200∴ sinA ＝32，sinB ＝12②若C ＝1500，由余弦定理，得：c ＝27 再由正弦定理，得sinA ＝2114，sinB ＝71420. 为了测量某一电视塔的高度，同学们采用了如图所示的两种测量方法，请依据所给条件，分别求出塔高. 解：(1)如图1，在△ABP 中，∠APB ＝β－α，∴ PB sinα＝ABsin(β－α)∴ PB ＝a sinαsin(β－α)∴ 在直角△POB 中，PO ＝PB ·sinβ＝a sinα sin(β－α)·sinβ＝a sinαsinβsin(β－α)(2)如图2.，设PO ＝x ，∵ △APO ，△BPO 都是直角三角形，∴ AO ＝x cotα，BO ＝x cotβ在△AOB 中，由余弦定理，得AB 2＝AO 2＋BO 2－2·AO ·BO ·cosθ即 b 2 ＝(x cot α)2＋(x cotβ)2－2x costα·x cotβ·cosθ ∴ x ＝bcot 2α＋cot 2β－2cotα·cotβ·cosθ21. 在气象台A 正西方向300km 的P 处有一台风中心，它以40km/h 的速度向东北方向移动，距台风中心250km 以内的地方都要受到影响，试问：从现在起，大约多长时间后，气象台A 所在地会遭受台风影响，将持续多长时间？. 解：设t 小时后台风中心由P 点移至B 点，则PB ＝40t ，又PA ＝300，∠BPA ＝450，在△APB 中，由余弦定理，得AB 2＝3002＋1600t 2－120002t ，由AB 2≤2502，得： 3002＋1600t 2－120002t ≤2502解之，得：152－57 4≤t ≤152＋574 即1.99≤t ≤8.618.61－1.99＝6.62 (小时)，即约6小时37分 答：大约经过2小时后，气象台受到台风影响，要持续约6小时37分.22. 甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东600方向的B 处，两船相距a 海里，乙船向正北方向行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船？相遇时乙船已行驶了多少海里？ 解：如图，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离x 海里. 则AC ＝3x 海里.由正弦定理，得：sin θ＝BCsin1200AC ＝12，∴ θ＝300.从而BC ＝AB ·sin θsin ∠ACB＝AB ·sin300sin300＝a （海里）.答：甲船应取北偏东300-方向前进才能尽快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a 海里.23. 沿着一条小路前进，从A 点到B 点，方位角是150，距离是750m ，从B 点到C 点，方位角是1050，距离是2503m ，从C 点到D 点，方位角是1350，距离是500m ，求A 到D 的方位角和距离.解：如图所示，连结β α B PO图1A aB b A αOβ P 图2 θ ADCBE G FAC，在△ABC中，∵∠EAB＝150，∴∠ABF＝1650，又∵∠FBC＝1050∴∠ABC＝900即AB⊥BC又∵AB＝750，BC＝250 3 ∴AB＝3BC∴∠BAC＝300，∠ACB＝600，AC＝500 3在△ACD中，∵∠FBC＝1050，∴∠BCG＝750又∵∠GCD＝1350，∴∠ACD＝3600－(600＋750＋1350)＝900∴AC⊥CD又∵CD＝500 ∴AC＝3CD∴∠CAD＝300，AD＝1000 (m).∴∠EAD＝150＋300＋300＝750故，A到D的方位角是750，距离是1000m.24.给出下列三个命题：①若tanAtanB＞1，则△ABC是钝角三角形；②若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC为正三角形；③若AB＝a，AC＝b，a·b＝－2，则△ABC是钝角三角形，其中正确命题的个数是( C )A.0B.1C.2D.3提示：①∵tanAtanB＞1＞0，∴tanA与tanB 同号，从而必有tanA＞0，tanB＞0，∴A，B 为锐角又由tanAtanB＞1得tsnA＞tsn(900－B)，得A＞900－B，∴A＋B＞900，∴C为锐角，∴△ABC为锐角三角形；②由于cos(A －B)，cos(B－C)，sin(C－A)∈[－1，1]，∴只有cos(A－B)＝cos(B－C)＝sin(C－A)＝1，∴A－B＝B－C)＝C－A)＝0，∴A＝B＝C ∴△ABC是正三角形；③由于a·b＝－2＜0，即·＜0，∴||·||·cos<，>＜0，∴cos<，>＜0，∴，AC＞900，即∠A＞900，∴△ABC是钝角三角形.25.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且A＜B＜C，B＝600，(1＋cos2A)(1＋2cos2C)＝3－12，试比较a＋2b与2c的大小，并说明你的结论. 解：∵(1＋cos2A)(1＋2cos2C)＝4cos2Acos2C＝3－12，且△ABC是锐角三角形，∴cosAcosC＝3－14∵B＝600，A＋C＝1200∴sinA·sinC＝－cos(A＋C)＋cosAcosC＝－cos1200＋3－14＝3＋14∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝32又∵A＜B＜C，∴C－A＝300又∵A＋C＝1200，A＝450，C＝750由正弦定理，得：a＋2b＝2RsinA＋2·2sinB ＝2Rsin450＋2·2sin600＝(2＋6)R.又∵2c＝4RsinC＝4Rsin750＝(2＋6)R∴a＋2b＝2c。
(完整版)余弦定理练习题及答案
积累巩固1.已知a ,b ,c 是∆ABC 中角A ,B ,C 的对边,若a =21，b =5,c =4,则A ＝.3,b =3,c =30︒,则A ＝.2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知a =3.在△ABC 中，三个角A ,B ,C 的对边边长分别为a =3,b =4,c =6,则bc cos A +ca cos B +ab cos C 的值为．4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为．5.在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝7，B ＝60°，求边C ．延伸拓展6.在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，A ＝45°，解此三角形．7.已知a 、b 、c 分别是∆ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若∆ABC 面积S∆ABC=3,c =2,A =60︒,求a 、b 的值．28.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .若a ⋅cos 2．C A 3+c ⋅cos 2=b ，求证：2229.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知b +c =a +3bc ，求：（1）A 的大小；（2）2sin B cos C -sin(B -C )的值．10.设∆ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a,b,c，且A=60o ，c=3b.求：（1）222cos B cos C a的值；（2）的值.+c sin B sin C 创新应用11.在△ABC 中，a 、b 是方程x -23x +2=0的两根，且2cos(A +B )=1.求：（1）角C 的度数；（2）c ；（3）△ABC 的面积.12.已知A 、B 、C 为∆ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若2cos B cos C -sin B sin C =1．2（1）求A ；（2）若a =23,b +c =4，求∆ABC 的面积．13．当甲船位于A 处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C 处的乙船，试问乙船直接赶往B 处救援最少要走多少海里？参考答案b 2+c 2-a 21=，∠A =60o ．1.60解析：cos A =2bc 2o 2.解：由余弦定理可得c 2=3+9-2⨯3⨯3cos30o =3,解得c =a =3⇒A =C =30o (或)．616+36-99+36-1616+9-36613.解：由余弦定理，所求式=++=．22224.解：设顶角为C ，因为l =5c ,∴a =b =2c ，由余弦定理得πa 2+b 2-c 24c 2+4c 2-c 27cos C ===．2ab 2⨯2c ⨯2c 85.解：由余弦定理得(7)2＝1＋c 2－2c cos60°，∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去)；∴c ＝3．6.解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得22＝(2)2＋c 2－22c cos45°，∴c 2－2c －2＝0，解得c ＝1＋3或c ＝1－3(舍去)；∴c ＝1＋3．c 2＋a 2－b 222＋（1＋3）2－（2）23又cos B ＝＝＝，且B 为三角形内角；2ca 22×2×（1＋3）∴B ＝30°；∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°．7.解：ΘS∆ABC=1bc sin A =3，∴1b ⋅2sin 60︒=3，得b =12222由余弦定理得a =b +c -2bc cos A =1+2-2⨯1⨯2⋅cos60︒=3，∴a =2222223．8.证明：由已知得：，∴，∴，∴，即222．9.解：(1)由余弦定理得a b c2bccosA,b2c2a23bc3故cosA,所以A.2bc2bc26(2)2sinB cosC sin(B C)2sin B cos C(sinB cos C cos B sinC)sinB cos C cos B sinC1sin(B C)sin(A)sin A.210.解：（1）由余弦定理得1117a7 a2b2c22b cosA(c)2c22g cg cg c2.3329c3（2）由余弦定理及（1）的结论有72212c c(c)a c b539. cosB2ac7272g cg c3222故sin B1cos2B1253. 282772122c c ca2b2c2919,同理可得cosC2ab71272g cg c33sin C1cos2C1133. 2827从而cosB cosC5114333. sinB sin C39911.解：(1)∵2cos(A +B )=1，∴cos C =-21，∴角C 的度数为120°.2(2)∵a 、b 是方程x -23x +2=0的两根，∴由求根公式计算得a +b =23，ab =2,222由余弦定理得c =a +b -2ab cos C =(a +b )-2ab (cos C +1)＝12－2＝10.2∴c =10.(3)S =13ab sin C =.2212.解：（1）Θcos B cos C -sin B sin C =又Θ0<B +C <π，∴B +C =22211，∴cos(B +C )=；223；ΘA +B +C =π，∴A =π2π．3（2）由余弦定理得a =b +c -2bc ⋅cos A ，∴(23)=(b +c )-2bc -2bc ⋅cos 222π，3即12=16-2bc -2bc ⋅(-)，∴bc =4；12∴S∆ABC=113bc ⋅sin A =⋅4⋅=3．222o o o 13.解：在△ABC 中，∠BAC =90+30=120，∴BC =AB 2+AC 2-2AB g AC cos A =202+102-2⨯20⨯10cos120o =107．答：乙船直接赶往B 处救援最少要走107海里．。
余弦定理练习题
余弦定理练习题余弦定理是解决三角形中边长和夹角之间关系的重要定理。
它可以帮助我们计算任意一个三角形的边长或夹角。
在本文档中，我们将提供一些余弦定理练习题，并解答每个问题。
问题一：已知一个三角形的两边长分别为3厘米和4厘米，夹角为60度，求第三边的长度。
解答一：根据余弦定理，可以得到第三边c的长度的平方等于两边长度的平方之和减去两倍两边长度的乘积与夹角余弦的乘积。
即：c² = a² + b² - 2ab * cos(C)c² = 3² + 4² - 2 * 3 * 4 * cos(60°)c² = 9 + 16 - 24 * 0.5c² = 25 - 12c² = 13c ≈√13 ≈ 3.60第三边的长度约为3.60厘米。
问题二：已知一个三角形的任意两边分别为5厘米和8厘米，夹角为45度，求第三边的长度。
解答二：同样地，我们可以利用余弦定理来求解第三边的长度。
按照公式推导：c² = a² + b² - 2ab * cos(C)c² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cos(45°)c² = 25 + 64 - 80 * 0.707c² = 89 - 56.56c²≈ 32.44c ≈√32.44 ≈ 5.70第三边的长度约为5.70厘米。
问题三：已知一个三角形的两边长分别为6厘米和7厘米，夹角为90度，求第三边的长度。
解答三：当夹角为90度时，我们可以利用勾股定理求解第三边的长度。
根据勾股定理，直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。
即：c² = a² + b²c² = 6² + 7²c² = 36 + 49c² = 85c ≈√85 ≈ 9.22第三边的长度约为9.22厘米。
正余弦定理 15道经典基础例题
正余弦定理 15道经典基础例题例1、（共5分，2分钟）在∆ABC 中,若∠A =60°,∠B =45° ,BC =3√2 ,则AC=（ ）A ．4√3B ．2√3C ．√3 D.√32解答:由正弦定理,可得AC sin45°=BCsin60° 所以AC =3√2√32×√22=2√3可得答案B考点: 考点：正弦定理, 难度：★☆☆☆☆☆例2、（共5分，2分钟）在∆ABC 中，角A,B,C 所对边长分别为a,b,c ，若a 2+b 2=2c 2，则sin C 的最小值为（ ）A. √32 B. √22 C. 12 D. −12 解答：cos C =a 2+b 2−c 22ab=2c 2−c 22ab≥c 2a 2+b 2=12可得答案C考点：余弦定理，基本不等式，难度：★☆☆☆☆☆ 例3、（共5分，3分钟）在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°,则BC 边上的高等于( )． A.32B.332C.3＋62D.3＋394解答：设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°， 即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．又h ＝c ·sin 60°＝3×32＝332，故选B.可得答案B考点：余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例4、（共5分，3分钟）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，已知8b =5c,C =2B ，则cos C = ( ) A.725 B.−725 C.±725 D.2425 解答：由8b =5c,C =2B 及正弦定理得， 8sin B =5sin C,sin C =sin 2B ,又由正弦公式知sin 2B =2sin B cos B ,整理可得 8sin B =10sin B cos B ,cos B =45,sin B =35， cos C =cos 2B =cos 2B −sin 2B =725 可得答案A考点：正弦定理，二倍角公式，难度：★★☆☆☆☆例5、（共5分，2分钟）在∆ABC 中，AB =√6,∠A =75°,∠B =45°，则AC= .解答:由正弦定理可知：ABsin [180°−(75°+45°)]=ACsin 45°⇒√6sin 60°=ACsin 45°⇒AC =2可得答案:AC=2考点：正弦定理,难度：★☆☆☆☆☆例6、（共5分，2分钟）在∆ABC 中，a=4，b=5，c=6，则sin 2A sin C= .解答：sin2Asin C =2sin A cos Asin C=2ac∙b2+c2−a22bc=1可得答案sin2Asin C=1考点：正弦定理、余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例7、（共5分，3分钟）若锐角∆ABC的面积为10√3，且AB=5，AC=8,则BC 等于________．解答：由已知得的∆ABC面积为12AB∙AC sin A=20sin A=10√3，∴sin A=√32，A∈(0，π2)，可知A=π3由余弦定理得AB2+AC2−2AB∙AC cos A=49，解得BC=7可得答案BC=7考点：三角形面积公式，余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例8、（共5分，2分钟）设∆ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c若a=√3，sin B=12,C=π6，则b= .解答：由sin B=12且B∈(0，π)∴B=π6或5π6，又C=π6，则B=π6可得A=π−B−C=2π3，又a=√3由正弦定理asin A =bsin B,代入可得b=1可得答案b=1考点：正弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例9、（共5分，2分钟）设∆ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a,b,c,若(a+b−c)(a+b+c)=ab，则角C= .解答：由(a+b+c)(a+b−c)=a2+b2−c2+2ab=ab得a2+b2−c2=−ab由余弦定理cos C=a2+b2−c22ab =−ab2ab=−12,C=2π3可得答案C=2π3考点：余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例10、（共5分，2分钟）在∆ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c..已知b−c=14a,2sin B=3sin C,则cos A的值为 .解答：由正弦定理知2b=3c,解得b=3c2,a=2c.则由余弦定理知cos A=b2+c2−a22bc =−14可得答案cos A=−14考点：三角形面积公式，余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例11、（共5分，3分钟）在∆ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知∆ABC的面积为3√15,b−c=2,cos A=−14,则a的值为 .解答：因为0<A<π，所以sin A=√1−cos2A=√154,又S∆ABC=12bc sin A=√158bc=3√15，∴bc=24解方程组{b−c=2bc−−24得b=6,c=4由余弦定理得a2=b2+c2−2bc cos A=64, 所以a=8可得答案a=8考点：同角三角函数关系，三角形面积公式，余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆例12、（共5分，3分钟）在∆ABC中，B=120°，AB=√2，A的角平分线AD=√3,则AC=_______.解答：由正弦定理得ABsin∠ADB =ADsin B,即√2sin∠ADB=√3sin120°,解得sin∠ADB=√22，∠ADB=45°，从而∠BAD=15°=∠DAC , 即C=30° ,|AC|=2|AB|cos30°=√6.可得答案AC=√6考点：正弦定理, 难度：★☆☆☆☆☆例13、（共12分，8分钟）∆ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m⃗⃗⃗ =(a,√3b)与n⃗=(cos A，sin B)平行，（I）求A;（II）若a=√7，b=2，求∆ABC的面积．解答：（I）由m⃗⃗⃗ 与n⃗平行，则a sin B−√3b cos A=0,由正弦定理，得sin A sin B−√3sin B cos A=0又sin B≠0 ,从而tan A=√3由于0<A<π ,所以A=π3(II)由余弦定理，得a2=b2+c2−2bc cos A,而a=√7,b=2,A=π3, 得7=4+c2−2c因为c>0所以c=3故∆ABC的面积为12bc sin A=3√32可得答案（I）π3;（II）3√32.考点：平行向量的坐标运算，正弦定理，3、余弦定理，4、三角形的面积公式，难度：★☆☆☆☆☆例14、（共12分，8分钟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sin A－sin B)＋y sin B＝c sin C上．(1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解答:(1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ， 由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝12， 结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0， 从而得a ＝b ＝3， 所以△ABC 的面积S ＝12×32×sinπ3＝934.可得答案(1) C ＝π3,(2)S ∆ABC =9√34.考点：正弦定理,余弦定理,三角形面积公式, 难度：★☆☆☆☆☆例15、（共12分，8分钟）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 。
余弦定理40道基础题必练题含详解
利用余弦定理可求 ab 的值，从而可求三角形的面积.
【详解】
因为 C 120 ，故 c2 a2 b2 2ab cos120 a2 b2 ab ，
而 a b2 c2 4 ，故 c2 a2 b2 2ab 4 a2 b2 ab ，
故 ab 4 ，故三角形的面积为 1 ab sin120 3 4 3 ，
由余弦定理可得： cos A b2 c2 a2 16 36 28 1
2bc
246 2
又 A 0, 所以 A
3
故选：C
4．C
【分析】
答案第 1页，总 21页
利用余弦定理即可求解. 【详解】
在 ABC 中，若 b2 c2 a2 2bc ，
所以 cos A b2 c2 a2 2bc 2 ，
【详解】
依题意，由正弦定理得 c2 2a bb a b a ，
c2 2ab b2 a2 ab ， a2 b2 c2 ab ， a2 b2 c2 1 ，
2ab
2
即 cos C 1 .由于 0 C ，
2 所以 C 2 .
3
故选：C
3．C
【分析】
由余弦定理求解可得结果. 【详解】
则C （ ）
A． 6
B．
或
2
33
C． 2 3
D．
6
或
5 6
3．在 ABC 中，若 AC 4 ， AB 6 ， BC 2 7 ，则 A （ ）
A． 6
B．
4
C．
3
4．在 ABC 中，若 b2 c2 a2 2bc ，则 A （ ）
D．
2
A． 90
B．150
C．135
余弦定理练习题(含答案)
余弦定理练习题（含答案）本页仅作为文档封面，使月変T以删除This document is for reference onlyjar21year余弦定理练习题11. ABC中，如果BC=6, AB=4, cosB=§,那么AC 等于（）A. 6B. 2、/i C・ 3、/i D・ 4、/i2. 在△ABC 中，a=29 b=\[l-l9 C=30\ 则 c 等于（）D・23. 在A ABC中，，=匕2+以+羽be,则z &等于（）A. 60°B. 45°C. 120°D. 150°4. ABC中，Z/k Z B. ZC的对边分别为a、H c,若0+呂_夕曲曲=羽却则Z B的值为（）5TX2n或T 或亍5. 在△ ABC中，a、b、c分别是4、C的对边，则acosS+bcos4等于（）A. aB. bC. cD.以上均不对6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定8. 在AABC 中，b=g C=39 S=30°,贝!| a 为（）B・ 2、/i 或2、/i D・ 29. 已知bABC的三个内角满足2B=A + C9且48=1, SC=4,则边BC上的中线AD的长为 __________________ ・10. A ABC中，sin4： sinB ： sinC=（｛i —：L）：（yfl+l）:倔，求最大角的度数.已知a. b、c是bABC的三边，S是'ABC的面积，若a=4, b=5, S=5©则边c的值为______________________ ・12. 在AABC 中，sin A : sin S ： sin C=2 ： 3 ： 4,贝Ij cos A ： cos B : cos C= _______ ・13. ABC中，0=3^2, cos C=|, S^ABC=4y[39则b= __________________ ・/+，一c215・已知4 ABC的三边长分别是a、b. c,且面积S= ---------------- -------- ,则角C= __________ ・16.三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为_____________ •17・在AABC中，BC=a9 AC=b f a, b是方程只_2压+2 = 0的两根，且2cos（4 + B） = l,求48的长.18.已知"BC的周长为y/1+l,且sin A + sin B=y/lsin C.⑴求边AB的长；⑵若4 ABC的面积为^sin C,求角C的度数.19.在△ABC 中，BC=G AC=39 sin C=2sinA.(l)求AB 的值；(2)求sin(24的值.20.在4 ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab・且2cos Asin B=sinC,确定A ABC的形状.余弦定理答案在bABC 中，a=2, b=y[3-l 9 C=30°,则 c 等于（B ） D. 2 在4 ABC 中.a2=b2+w+羽矗，则ZA 等于（D ）A ・ 60°B. 45°C. 120°D. 在b ABC 中，Z Z By ZC 的对边分别为 a. c 9 若（a 2+c 2—b 2）tanB=y/3ac 9亠5兀亠2TX 或T 或亍 解析：选D.由（a 24-c 2-b 2）tanS=V3ac,联想到余弦定理，代入得 c^+c 2—b2 y[3 1 羽 cosB n . 羽 n 2ncosB== 2ai = 2 t^B = 2 sin8•显然fi#2r •: S ，n8= 2 ••: Z 或亍.5. ABC 中.a 、b 、c 分别是久8、C 的对边，则acosS+bcosA 等于（C ）A ・a B. S C. c D ・以上均不对6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.宜角三角形C ・钝角三角形 D.由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a, b 9 c 且a 2+b 2=c 2.设增加的长度为m,则c+m>a+m 9 c+m>b+m, 又（a+m ）2+（b+m ）2=a 2+b 2+2 佃+b ）E+2m2>c2+2cm+E2=（c+E ）r•:三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形.8・在4ABC 中.b=g C =39 S=30°,贝!）a 为（ ）B ・ 2、/i 或 2、/iD ・ 2 解析：选 C ・在AABC 中，由余弦定理得 62=02+^—2accosS,即 3=a 2^9—3y[3a 9 :. a 2 —3^3a+6=0,解得 a=\[3或 2羽・9. 已知bABC 的三个内角满足2B=A+C 9且AB=l f BC=4,则边BC 上的中线AD 的长为 ___________________ ・ 解析:T 2B=A + C, 4 + B+C=n,・•・ 3=扌・在AABD 中，AD=\）AB 2-}-BD 2—2AB BDcosB= yj 1+4—2xlx2x^=^3.答案：羽10. A ABC 中，smA : sinB : sinC=^-l ）:（羽+ 1）: 嗣,求最大角的度数・解：・・ sin4 : sinB : sinC=（V3~l ） : （W+1）:屈,・.a ： b ： c =（\（3-l ）:（羽+1）:伍・ 设 a=（羽一b=（y[3 + l ）k 9 c=yjldk （k>O}fa 24~b 2—c 2 1 ・・・c 边最长，即角C 最大.由余弦定理，得cosC=―面一=一刁 又ce （o°, 180°）, /. C=120°.11. 已知a 、b 、c 是6ABC 的三边，S 是b ABC 的面积，若a=4, b=5, S=5品 则边c 的值为 ___________________ ・ 解析：S=#absinC, sinC=^, /. C=60°或 120°./. cosC=#,又T c 2=a 2+b 2—2abcosC tA ^=21或61,・・,=回或佰•答案： 回或屈12. 在 AABC 中.sinA ： sinB ： sin C=2 ： 3： 4,贝l| cos A : cos 8 ： cos C= ________ ・解析：由正弦定理 a ： b ： c=sin A : sin B : sin C=2 ： 3 ： 4,2k 2+ 4k 2- 3/c 2 11IS 9 13.在△ ABC 中，a=3\（29 cos C=-： 解析:cos c=扌,sin2. 3. 4. 150° 则ZB 的值为（D ）cP+c 2—b 2 设 a=2k （k>0）,贝0 b=3k 9 c=4k, cos B=同理可得:cos 4=^, cos C=—右・・ cos A ： cos B : cos C=14 : 11 : （—4）.答案:14 ： 11 ： （—4）S AABC =4~\》,则 b= __________ ..又S AAB c=^absinC=4yj3t 即知3迄普=裁,二b=2品答案；2伍a 2-f-b 2—c 215.已知AABC 的三边长分别是a 、b. c,且面积S=——,则角C= ________________________ ・2x2kx4k1 a'+b2—c2，+堺一c2 ab 1解析：尹bsinC=S= ---------- - ------= --- 書^—=2obcosC, sinC=cosC, tanC=l, /. C=45°.答案：45°2ab16.三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为.疋+ k—1 2—k+1 2<0解析：设三边长为k-l9 k f k+l(k>29 kWN),则‘ 一亠-々=2VkV4,A+k—l>k+l32+4'—2? 7 7• • k=3,故三边长分别为2,3,4, 最小角的余弦值为2x3x4 =：答案:百17.在bABC中，BC=a, AC = b9 a, b是方程x z-2y(3x^2 = 0的两根，且2cos(A + S) = 1,求AB的长.1 1解：・.• A+B+C=TI且2cosS+B)=l, cos(n—C)=-t即cosC=—-又T 6 b是方程x2—2^/3x+2=0的两根,・・・a+b=2晶ab=2.・・.AB2=AC2+BC2-2AC BCcosC=a2+b2-2ab(-^=a2+b2+ab=(a+b)2—ab=(2yj3)2-2 = lQ9 /. AB=y[ld.18.已知AABC的周长为迄+1,且sinA+sinS=V2sinC・⑴求边AB的长；⑵若bABC的面积为fsinC,求角C的度数.解：⑴由题意及正弦定理得AB+BC+AC=7i+l, BC+AC=y/2AB,两式相减，得48=1.(2)由厶ABC的面积扌BC AC sin C=|sin C,得BC AC=^,在△ ABC 中,BC=G AC=3f sin C=2sinA・⑴求AB的值；(2)求sin(2A-为的值.解：⑴在BABC中，由正弦定理黒=鳥，得AB=^BC=2BC=2y/5. ▲毋+&7—BC2 2\[s(2)在△ ABC中，根据余弦定理，得cos A= 2AB AC = 5，于是si" … 4 3从而sin 24=2sin AcosA=^9 cos 24=cos2 4 —sin2 ^ = g-所以sin(2A—R = sin 2Acos^—cos 2Asin^=-J^・20.在b ABC中，已知(a+b+c)佃+b—c)=3cr® 且2cos4sin S=sinC,确定b ABC的形状. 」十7亠e ^sin C c .亠sinC c解：由正弦定理，得sin 8=匸由2cos Asin B=sin C,有cos4 = 2s j n g = 2b・b'+c2—ct2 c b'+c2—a'又根据余弦定理，得COS 4= 2bc ,所以沪2bc /即云=屏+以一a"所以a=b又因为(a+b+c)(a+b—c) = 3ab,所以(a+b)2—c2=3ab f所以4S2—c2=3S2, 所以b=6所以a=b=c f因此4 ABC为等边三角形.。
(完整版)余弦定理练习含答案
课时作业2余弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1.在△ABC 中，已知 a = 5, b =4,Z C = 120°.则 c 为()A. 41B. , 61C. 41 或 61D. , 21【答案】 B【解析】 c = ” a 2 + b 2 — 2abcosC=52 + 42 — 2X 5X 4X — 2 = 61.2.^ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a , b , c ,若a , b , c 满足 b 2 = ac ，且 c = 2a ,则 cosB =( )3B. 3C.【答案】 B【解析】 由b 2 = ac ，又c = 2a ,由余弦定理3. 在厶ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边边长分别为a = 3、b = 4、c = 6,贝卩 bccosA + cacosB + abcosC =A*_ a 2 + c 2 — b 2 cosB = 2ac a 2+ 4a 2 — a x 2a 3 2a 2a — 4.b 2 +c 2— a 2bccosA + cacosB + abcosC = bc •c 2 + a 2 — b 2 a 2 + b 2 — c 2 1 1 1 ca -20c + ab • 2ab = 2(b 2 + c 2— a 2) + 2(c 2 + a 2 — b 2) + ^(a 2 + 1 61b 2—c 2) = 2(a 2 + b 2+ c 2)=亍4. 在△ ABC 中：(1) a = 1, b = 1,Z C = 120° 求 c ; (2) a = 3, b = 4, c = 37,求最大角； (3) a:b:c = 1: 3 :2,求/ A 、/ B 、/ C. 【分析】(1)直接利用余弦定理即可； (2) 在三角形中，大边对大角； (3) 可设三边为x ， 3x,2x.【解析】(1)由余弦定理，得c 2 = a 2 + b 2— 2abcosC 1=12+ 12 — 2X 1 x 1 x (—刁=3,「・c = 3. (2) 显然/C 最大，a 2+b 2 —c 2 32+ 42— 37 1/cosC = —2ab — = 2x 3x 4 = — 2.AzC = 120°(3) 由于 a:b:c = 1: 3 :2, 可设 a = x , b = V3x , c = 2x(x>0).b 2+c 2 — a 2 3x 2 + 4/ — x 2 百由余弦定理，得 cosA = —2bc — = 2 • 3X 2X = ~2,/./\= 30 °【答案】 612 【解析】1同理cosB=2 cosC= O.「./3= 60 ,ZC= 90 .12,【规律方法】1. 本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦 定理的结构特征.2. 对于第（3）小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求 出/A ,进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求/ B ,但要注意讨论解的情况.课后作业一、选择题（每小题5分，共40分）ABC 中，下列结论：① a 2>b 2 + &,则厶ABC 为钝角三角形; ② a 2= b 2 + c 2 + be,则/ A 为 60° ③ a 2+ b 2>e 2，则△ ABC 为锐角三角形;④ 若/ A:Z B: / C = 1:2:3，贝卩 a:b:e = 1:2:3, 其中正确的个数为（）A . 1B . 2 C. 3 D . 4【答案】 A•••么为钝角，正确;b 2 + e 2— a 2【解析】 ① eosA = b 2+ c 2—a 2 —2bc —<°，②eosA=—2be—12,a 2+b 2—c 2③ cosC = 2ab >0，•••©为锐角，但/ A 或/B 不一定为锐角，错误;④ Z A = 30 ° ZB = 60 ° ZC= 90 °a:b:c = 1: 3 :2,错误.故选 A.2.A ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ,设向量p =(a + c , b), q = (b — a , c — a).若 p// q ,则/ C 的大小为( )人nA~6nB.3nc.2【答案】 B【解析】 Tp = (a + c , b), q = (b — a , c — a)且 p 〃q , • .(a + c)(c — a) — b(b — a) = 0n zC= 3.冗 ,△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,/ A =3 a=7, b = 1,则 c 等于()A . 2 2B . 3 C/ 3 + 1 D . 2 3【答案】 B【解析】 由余弦定理得，a 2= b 2 + c 2— 2bccosA ,即 a 2+ b 2— c 2= ab , 「•cosC = a 2+ b 2—c 2=_ab =1 2ab = 2ab =2.所以(7)= 1 + c2—2x 1 x e x cog.即c2—c—6= 0,解得c= 3 或c= —2（舍）.故选 B.4.在不等边三角形ABC中，a为最大边，且a2vb2+ c2,则/ A 的取值范围是（）A.（扌，n ）B. （n, nC.（n，f）D. （0, n【答案】C【解析】因为a为最大边，所以/ A为最大角，即/A> ZB,/A>ZC,故2ZA>/B+/C.又因为Z B+ Z C= n-Z A,所以2ZA> n—Z A, 即Z Ag因为a2<b2+ c2,所以cosA=葺b—2>0,所以0<从W综上,n /A n3<zA<25. 在△ ABC 中，已知 a = 4,b= 6,Z C= 120° 则si nA 的值为() A语D「I?【答案】【解析】由余弦定理得c = a2+ b2—2ab cosC = 42+ 62—2X4X 6( —2)= 76,••c= 76.由正弦定理得轟=sinC,即蠢=sinLZQ ,4sin120。
余弦定理例题20道
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
下面是高二数学《余弦定理》训练题目及其参考答案以供大家学习。
1.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则边c的值是( )A.8B.217C.62D.219解析：选D.根据余弦定理，c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120°=76，c=219.2.在△ABC中，已知a=2，b=3，C=120°，则sin A的值为( )A.5719B.217C.338D.-5719解析：选A.c2=a2+b2-2abcos C=22+32-2×2×3×cos 120°=19.∴c=19.由asin A=csin C得sin A=5719.3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________.解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2+4a2-a22•2a•2a=78.答案：784.在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，试判断△ABC的形状. 解：法一：根据余弦定理得b2=a2+c2-2accos B.∵B=60°，2b=a+c，∴(a+c2)2=a2+c2-2accos 60°，整理得(a-c)2=0，∴a=c.∴△ABC是正三角形.法二：根据正弦定理，2b=a+c可转化为2sin B=sin A+sin C.又∵B=60°，∴A+C=120°，∴C=120°-A，∴2sin 60°=sin A+sin(120°-A)，整理得sin(A+30°)=1，∴A=60°，C=60°.∴△ABC是正三角形.课时训练一、选择题1.在△ABC中，符合余弦定理的是( )A.c2=a2+b2-2abcos CB.c2=a2-b2-2bccos AC.b2=a2-c2-2bccos AD.cos C=a2+b2+c22ab解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题.2.(2011年合肥检测)在△ABC中，若a=10，b=24，c=26，则最大角的余弦值是( )A.1213B.513C.0D.23解析：选C.∵c>b>a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=0.3.已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定解析：选B.∵42=16>22+32=13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形.4.在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为( )A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3解析：选C.由已知得b2+c2-a2=-bc，∴cos A=b2+c2-a22bc=-12，又∵05.在△ABC中，下列关系式①asin B=bsin A②a=bcos C+ccos B③a2+b2-c2=2abcos C④b=csin A+asin C一定成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立.对于②由正弦定理知sin A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)，显然成立.对于④由正弦定理sin B=sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C，则不一定成立.6.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，则cos B等于( )A.14B.34C.24D.23解析：选B.∵b2=ac，c=2a，∴b2=2a2，∴cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a•2a=34.二、填空题7.在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC=7，则AC=________.解析：由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA，即49=25+AC2-2×5×AC×(-12)，AC2+5AC-24=0.∴AC=3或AC=-8(舍去).答案：38.已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根，则第三边长是________.解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42+52-2×4×5×12=21，∴第三边长是21.答案：219.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8，则B的大小是________.解析：由正弦定理，得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8.不妨设a=5k，b=7k，c=8k，则cos B=5k2+8k2-7k22×5k×8k=12，∴B=π3.答案：π3三、解答题10.已知在△ABC中，cos A=35，a=4，b=3，求角C.解：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，∴16=9+c2-6×35c，整理得5c2-18c-35=0.解得c=5或c=-75(舍).由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=16+9-252×4×3=0，∵0°11.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B，求C的大小.解：由题意可知，(a+b+c)(a+b-c)=3ab，于是有a2+2ab+b2-c2=3ab，即a2+b2-c22ab=12，所以cos C=12，所以C=60°.12.在△ABC中，b=asin C，c=acos B，试判断△ABC的形状.解：由余弦定理知cos B=a2+c2-b22ac，代入c=acos B，得c=a•a2+c2-b22ac，∴c2+b2=a2，∴△ABC是以A为直角的直角三角形.又∵b=asin C，∴b=a•ca，∴b=c，∴△ABC也是等腰三角形.综上所述，△ABC是等腰直角三角形.。
余弦定理练习题和答案(最新整理)
余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6B ．2C ．3D ．46662．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B. C. D ．23253．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A. B. C.或 D.或π6π3π65π6π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的值为( )AB → AC → 3AB → AC →A ．2B ．－2C ．4D ．－48．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．2 C.或2 D ．233339．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．331011．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为________．312．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.213314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则·的值为________．AB → BC →15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 2416．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．318．已知△ABC 的周长为＋1，且sin A ＋sin B ＝sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为sin C ，2216求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．5π420．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．答案1．解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ ＝6.42＋62－2×4×6×132．解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos30°33＝2，∴c ＝.23．解析：选D.cos ∠A ＝＝＝－，b 2＋c 2－a 22bc －3bc 2bc32∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，联想到余弦定理，代入得3cos B ＝＝·＝·.a 2＋c 2－b 22ac 321tan B 32cos B sin B 显然∠B ≠，∴sin B ＝.∴∠B ＝或.π232π32π35．解析：选C.a ·＋b ·＝＝c .a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc 2c 22c6．解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．解析：选A.S △ABC ＝＝||·||·sin A 312AB → AC → ＝×4×1×sin A ，12∴sin A ＝，又∵△ABC 为锐角三角形，32∴cos A ＝，12∴·＝4×1×＝2.AB → AC → 128．解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－3a ，3∴a 2－3a ＋6＝0，解得a ＝或2.3339．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝.π3在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ ＝.1＋4－2×1×2×123答案：310．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，3310∴a ∶b ∶c ＝(－1)∶(＋1)∶.3310设a ＝(－1)k ，b ＝(＋1)k ，c ＝k (k ＞0)，3310∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝＝－，a 2＋b 2－c 22ab 12又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．解析：S ＝ab sin C ，sin C ＝，∴C ＝60°或120°.1232∴cos C ＝±，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，12∴c 2＝21或61，∴c ＝或.2161答案：或216112．解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝＝＝，a 2＋c 2－b 22ac 2k 2＋ 4k 2－ 3k 22×2k ×4k 1116同理可得：cos A ＝，cos C ＝－，7814∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)解析：∵cos C ＝，∴sin C ＝.13223又S △ABC ＝ab sin C ＝4，123即·b ·3·＝4，1222233∴b ＝2.3答案：2314．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝49＋25－362×7×5＝，1935∴·＝||·||·cos(π－B )AB → BC → AB → BC → ＝7×5×(－)1935＝－19.答案：－1915．解析：ab sin C ＝S ＝＝·12a 2＋b 2－c 24a 2＋b 2－c 22ab ab 2＝ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.12答案：45°16解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则Error!⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为＝.32＋42－222×3×478答案：7817．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝，即cos C ＝－.1212又∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－)12＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(2)2－2＝10，3∴AB ＝.1018．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝＋1，BC ＋AC ＝AB ，22两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积BC ·AC ·sin C ＝sin C ，得BC ·AC ＝，121613由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝＝， AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC 12所以C ＝60°.19．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，AB sin C BC sin A 得AB ＝BC ＝2BC ＝2.sin C sin A5(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC 255于是sin A ＝＝.1－cos 2A 55从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝，45cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝.35所以sin(2A －)＝sin 2A cos －cos 2A sin ＝.π4π4π421020．解：由正弦定理，得＝.sin C sin B c b 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝＝.sin C 2sin B c 2b 又根据余弦定理，得cos A ＝，所以＝，b 2＋c 2－a 22bc c 2b b 2＋c 2－a 22bc即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。
正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）
正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）第一篇：正弦定理与余弦定理练习题正弦定理与余弦定理1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为3.下列判断中正确的是A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则A.85sinB的值为sinC5335（）B.458C.D.（）6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是A.60°B.45°或135°C.120°D.30°7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=.8.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA10.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBb=-.cosC2a+c（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.2213.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.7A+B-cos2C=.22第二篇：正弦定理和余弦定理练习题【正弦定理、余弦定理模拟试题】一.选择题：1.在∆ABC中，a=23，b=22，B=45︒，则A为（）A.60︒或120︒B.60︒C.30︒或150︒D.30︒sinAcosB2.在∆AB C中，若=，则∠B=（）abB.45︒C.60︒D.90︒A.30︒3.在∆ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）B.45︒C.120︒D.30︒A.60︒→→→→→→→|AB|=1，|BC|=2，(AB+BC)⋅(AB+BC)=5+23，4.在∆ABC中，则边|AC|等于（）A.5B.5-23C.5-23D.5+235.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在∆ABC中，bcosA=acosB，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在∆ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则∆ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为（）A.52B.213C.16 D.4二.填空题：9.在∆ABC中，a+b=12，A=60︒，B=45︒，则a=_______，b=________10.在∆ABC中，化简bcosC+ccosB=___________11.在∆ABC中，已知sinA:sinB:sinC=654::，则cosA=___________12.在∆ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB，则∆ABC是_________三.解答题：13.已知在∆ABC中，∠A=45︒，a=2，c=6，解此三角形。
余弦定理基础练习题
余弦定理基础练习题1.在三角形△ABC中，已知a=3，b=7，c=2，求角B的度数。
解：根据余弦定理，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，代入已知数据得$7^2=3^2+2^2-2\times3\times2\cos B$。
化简得$\cos B=-\frac{11}{12}$，因为$0^\circ\leq B\leq 180^\circ$，所以$B=120^\circ$，选项C正确。
2.在三角形△ABC中，已知$\sin A:\sin B:\sin C=1:3:2$，求角A、B、C的度数。
解：由于$\sin A:\sin B:\sin C=1:3:2$，所以令$\sin A=k$，则$\sin B=3k$，$\sin C=2k$。
根据正弦定理，$\frac{a}{k}=\frac{b}{3k}=\frac{c}{2k}$，即$a: b: c=1: 3: 2$。
又因为三角形三个角度之和为$180^\circ$，所以$A+B+C=180^\circ$。
代入正弦定理得$\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}=1$，化简得$a+b+c=2R$。
因此，$A=\sin^{-1}k$，$B=\sin^{-1}(3k)$，$C=\sin^{-1}(2k)$。
选项B正确。
3.在三角形△ABC中，已知$B=60^\circ$，$b=ac$，求三角形的类型。
解：根据正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sin C}$。
因为$B=60^\circ$，所以$\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
又因为$b=ac$，所以$\frac{b}{c}=a$，代入正弦定理得$\frac{a}{\sinA}=\frac{ac}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，化简得$\sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$A=60^\circ$。
正弦定理、余弦定理练习题及答案
正弦定理、余弦定理练习题及答案正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1C.2D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A. B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c 是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 15.B16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1. 2（-1）2 3. 45° 4. 8 5.等腰三角形 6.：钝角三角形7. a=b sin A或b＜a8. 60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13. 120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)1.a=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶47.a=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大,最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.13.B1=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2, c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。
余弦定理基础训练题(有详解)
余弦定理基础训练题（有详解)一、单选题1．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若301C c a =︒==，，ABC ∆的面积为A B C ．34D ．322．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．2π B ．4π C ．3π D ．6π 3．在V ABC 中，若7a =，3b =，8c =，则其面积等于（ ） A ．B ．212C ．28D ．124．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2220a b c +-=，120C =，则ab =（ ） A ．10B ．20C ．103D ．2035．已知△ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c a a b b c+++=1，则B 的大小为（ ） A ．30B ．60C ．120D ．1506．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，1,5a c ==，cos2B =, 则b =（ ） A ．BC D ．7．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为2221()4a b c -+-，1sin 2B =，则A =（ ） A ．105B ．75C ．30D ．158．在ABC ∆中，222a b c =++，则A ∠=（ ）9．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若132cos 3b c A ===，，，则a =（ ） A ．5B C ．4D ．310．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若222c a b ab =+-，6ab =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．3B C D ．11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,,sin 2sin 3a A C B π===，则b 的值为（ ） A B C D12．在ABC △中，60B =︒，2b ac =，则ABC △一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =4b =，120A =︒，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2B C ．4D ．14．在△ABC 中，已知b c =，sin A B =，则A 等于( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π315．在ABC △中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若a 6,c 4,==sin23B =，则b =（ ）A ．9B ．36C ．D ．616．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2-b 2-c 2=bc ，则A =（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°17．设的内角的对边分别为，且，，，则( )18．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则角C 的值为 A ． B ．C ．或D ．或19．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果，那么的最大内角的余弦值为A ．B ．C ．D ．20．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为 A ．B ．C ．D ．21．在ABC ∆中， ::3:5:7a b c =，那么ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．非钝角三角形 22．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若8,3,60b c A ===︒，则此三角形外接圆的半径R =（ ） A B C ．73D 23．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b -=， sin C B =，则角B 等于（ ）A ．030B ．060C ．090D ．015024．已知ABC ∆的三边长为,,a b c ，满足直线0ax by c ++=与圆221x y +=相离，则ABC ∆是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上情况都有可能25．已知ABC ∆中， 222sin sin sin sin sin B C A B C +-=-，则A =（ ）A ．60︒B ．90︒C ．150︒D ．120︒二、填空题26．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a b ==1cos 3C =，则c =___；ABC ∆的面积是___29．在中，若，且，则__________．30．在中，，，的角平分线，则________.参考答案1．A 【解析】 【分析】根据已知求出b 的值，再求三角形的面积. 【详解】在ABC ∆中，301C c a =︒==，， 由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅， 即2320b b -+=， 解得：1b =或2b =.∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）.∴ABC ∆的面积为111sin 12224ab C =⨯=. 故选:A . 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】由题利用三角形的面积公式和余弦定理解得tan 1C =，进而得到答案。
-余弦定理基础练习题
1．△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2.已知△ABC 中，sinA:sinB:sinC ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于 ( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ．1∶3∶2D ．3∶1∶23.在ABC 中，60B =，2b ac =，则ABC 一定是 （ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形 5．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ．221C ．28D ．36 6．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（ ） A ．090 B ．060 C ．0120 D ．0150 7．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-8．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程06752=--x x的根，则三角形的另一边长为（ ） A. 52B. 213C. 16D. 413．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________． 14．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是15．．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则ca bc b a +++＝________．17．△A BC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。
19．在△ABC 中，10=+b a ，cosC 是方程02322=--x x 的一个根，求△ABC 周长的最小值。
20．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。
余弦定理习题及练习
❖ 迁移变式4 在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4， a＋c＝8，求a、c的长．
解：由正弦定理，得sianA＝sincC . ∵A＝2C，∴sina2C＝sincC，∴a＝2ccosC，又 a＋c＝8， ∴cosC＝82－cc.① 又由余弦定理及 a＋c＝8，得
1
cosC
＝
a2＋b2－c2 2ab
3 A.2 2 C.32
3 B.2 3 D．3 3
解析：由余弦定理 cosA＝92＋×136×－413＝12，sinA＝ 23，AC 边
上的高＝AB·sinA＝3× 23＝32 3.
答案：B
1
❖ 3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
❖ 4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于_120_______．
1
❖ 迁移变式3 在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－ a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定 △ABC的形状．
❖ 解：由于(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ❖ 所以a2＝b2＋c2－bc， ❖ 又由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA，
1
❖ 又∵sinA＝sin(B＋C) ❖ ＝sinBcosC＋cosBsinC且 ❖ sinA＝2sinBcosC， ❖ ∴sinBcosC＝cosBsinC， ❖ 即sin(B－C)＝0，∴B＝C， ❖ 又B＋C＝120°，∴B＝C＝60°. ❖ 故△ABC为等边三角形．
1
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得 a＝72k，b＝52k，c＝32k，
∴边 a 是△ABC 中的最大边，则角 A 是最大内角． ∵cosA＝b2＋2cb2c－a2＝－12， ∴sinA＝ 23. ∴△ABC 的最大内角的正弦值是 23. [点评] 本题中比例系数k的引入是解题的关键．
余弦定理的基础练习题
余弦定理的基础练习题练一已知三角形ABC，其中AB = 5cm, AC = 8cm，角BAC = 50°，求BC的长度。
解答一根据余弦定理，可得：BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(BAC)代入已知数据：BC² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cos(50°)计算得：BC² ≈ 25 + 64 - 80 * cos(50°)BC² ≈ 25 + 64 - 80 * 0.6428BC² ≈ 89 - 51.424BC² ≈ 37.576因为BC的长度必须为正数，所以BC ≈ √37.576 ≈ 6.13cm所以BC的长度约为6.13cm。
练二已知三角形DEF，其中DE = 12cm, DF = 16cm，角EDF = 75°，求EF的长度。
解答二根据余弦定理，可得：EF² = DE² + DF² - 2 * DE * DF * cos(EDF)代入已知数据：EF² = 12² + 16² - 2 * 12 * 16 * cos(75°)计算得：EF² ≈ 144 + 256 - 384 * cos(75°)EF² ≈ 400 - 384 * 0.2588EF² ≈ 400 - 99.0912EF² ≈ 300.9088因为EF的长度必须为正数，所以EF ≈ √300.9088 ≈ 17.35cm 所以EF的长度约为17.35cm。
练三已知三角形GHI，其中GH = 9cm, GI = 7cm，角HGI = 120°，求HI的长度。
解答三根据余弦定理，可得：HI² = GH² + GI² - 2 * GH * GI * cos(HGI)代入已知数据：HI² = 9² + 7² - 2 * 9 * 7 * cos(120°)计算得：HI² ≈ 81 + 49 - 126 * cos(120°)HI² ≈ 130 - 126 * (-0.5)HI² ≈ 130 + 63HI² ≈ 193因为HI的长度必须为正数，所以HI ≈ √193 ≈ 13.89cm所以HI的长度约为13.89cm。
余弦定理练习题
余弦定理练习题余弦定理练习题在数学中，余弦定理是一个重要的几何定理，用于计算三角形中的边长或角度。
它是三角学中最基本的定理之一，被广泛应用于各种实际问题的求解中。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固和应用余弦定理的知识。
练习一：已知两边和夹角，求第三边的长度假设我们有一个三角形ABC，已知边AB的长度为5，边AC的长度为7，夹角BAC的度数为60°。
我们需要求解边BC的长度。
根据余弦定理，我们可以得到以下公式：c² = a² + b² - 2ab * cos(C)其中，a、b、c分别代表三角形的边长，A、B、C代表对应的角度。
将已知的数值代入公式，我们可以得到：BC² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * cos(60°)计算得到：BC² = 25 + 49 - 70 * 0.5BC² = 25 + 49 - 35BC² = 39因此，BC的长度为√39。
练习二：已知三边，求夹角的度数现在假设我们已知一个三角形DEF的三边长度分别为3、4、5，我们需要求解夹角EDF的度数。
同样地，我们可以使用余弦定理来解决这个问题。
根据余弦定理，我们有以下公式：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)将已知的数值代入公式，我们可以得到：cos(EDF) = (3² + 4² - 5²) / (2 * 3 * 4)计算得到：cos(EDF) = (9 + 16 - 25) / 24cos(EDF) = 0 / 24cos(EDF) = 0因此，夹角EDF的度数为0°。
练习三：已知两边和夹角的度数，求第三边的范围现在假设我们已知一个三角形GHI中边GH的长度为8，边HI的长度为10，夹角GHI的度数为120°。
正余弦定理辅导卷---基础版
正余弦定理辅导卷---基础版一、基本公式应用1．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，3c =，，则b =（） A ．3B ．1C ．1或3D ．无解2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a = 7，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．3．在ΔABC 中，∠A >∠B ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．sin A >sinB B ．sin A <sin BC ．sin A >cos BD ．cos A >cos B4．在△ABC 中，若(a +b +c )(b +c −a )=3bc ,则A=( )A ．900B ．600C ．1350D ．15005．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2B −sin 2C −sin 2A = 3sin A sin C ，则B 的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．在ΔABC 中，若sin 2C =3sin 2A +3sin 2B −2 3sin A sin B sin C ，则角C =__________．7．在ΔABC 中，已知b = A =30°,c =2，则sin A +sin B +sin C a +b +c =（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．28．在ΔABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a :b :c =4:5:6，则cos C =（ ）A ．12B ．14C ．18D ．1169．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cosC =（）A B D 10．在ΔABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a :b :c =4:5:7，则最大角的余弦值为__________．11．已知在ΔABC 中，sin A :sin B :sin C =3:5:7，那么这个三角形的最大角是( )A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°12．在ΔABC 中，B =60°，b = 3，则ΔABC 外接圆的面积是（ ）A ．π2B ．3π4C ．πD ．2π13．在ΔABC 中，若S ΔABC =14(a 2+b 2−c 2) ，那么角C ＝_________.14．在ΔABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ΔABC 的面积为S ，且a =1，4S =b 2+c 2−1，则ΔABC 外接圆的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．π215．已知△ABC 的面积为S ，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4S =a 2−(b −c )2，bc =4，则S =A ．2B ．4C ． 3D ．2 316．在ΔABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若b =2a ，sin 2B =2sin A sin C ，则cos B =（ ）A ．18B ．14C ．12D ．117．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边是,,a b c ，若，则cos B 等于（）A 18．在ΔABC 中，已知cos A =cosB ，则ΔABC 的形状一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形19.在ΔABC 中，若a cos B =b cos A ，则ΔABC 的形状是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形20．在ABC ∆中，若sin2sin sin A B C ==,且()()3b c a b c a bc +-++=，则该三角形的形状是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形21．已知ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2b cos C ，且b−a c−a =sin A +sin C sin B ，则这个三角形的形状是（ ）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形22．在ABC ∆中，点D 为边AB 上一点，若BC CD ⊥，AC =AD =sin ABC ∠=则ABC ∆的面积是（ ）A ．2B ．2C ．． 二、多解问题1．在△ABC 中，∠C =π4，AB =2，AC = ，则cos B 的值为（ ）A ．12B ．− 32C ．12或− 32D ．12或−12 2．已知ΔABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，a =4,b =4 3,A =30°，则B 等于（）A ．60°或120°B ．60°C ．30°或150°D ．30°3．在△ABC 中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是 ( )A ．a =30,b =50,A =36∘B ．a =50,b =30,A =36∘C ．a =30,b =60,A =30∘D ．a =30,B =20∘,A =136∘4．在ABC ∆中，利用正弦定理理解三角形时，其中有两解的选项是（）A ．03,6,30a b A ===B ．06,5,150a b A ===C ．03,60a b A ===D ．09,5,302a b A === 5．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,602a b c B b =︒=，，若这个三角形有两解，则a 的范围（ ）A ．2a >D ．2a <6．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是_____.三、三角形组成1．在锐角△ABC 中，若a =2,b =3，则边长c 的取值范围是_________。
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1．△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ）
A ． 30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
2.已知△ABC 中，sinA:sinB:sinC ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于 ( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ．1∶3∶2
D ．3∶1∶2
3.在ABC 中，60B =，2
b a
c =，则ABC 一定是 （ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形 5．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ．
2
21
C ．28
D ．36 6．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（ ） A ．0
90 B ．0
60 C ．0
120 D ．0
150 7．在△ABC 中，若14
13
cos ,8,7=
==C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．7
1
- D ．81-
8．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程06752
=--x x
的根，
则三角形的另一边长为（ ） A. 52
B. 213
C. 16
D. 4
13．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝
10
9
，则BC ＝________． 14．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是
15．．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则c
a b
c b a ++
+＝________．
17．△A BC 中，,26-=
AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。
19．在△ABC 中，10=+b a ，cosC 是方程02322
=--x x 的一个根，求△ABC 周长的最小值。
20．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322
=+-x x 的两个根，且
()1cos 2=+B A 。
求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。
参
考答案: 1C 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.A 10.C 11.B 12.A 13.4或5 14.120°
15.1 16.
和 17.4(提示:(2
2
2
()2a b a b ab +=++ =2
2(1cos )c ab C ++≤2
2
()(1cos )2
a b c C ++
+∴2
2
1cos ()(1)2C a b C ++-≤,
∴222()161cos 12212
c a b C +≤
==+--
,当且仅当a=b 时,a+b 取到最大值4.
18．解：设四个角A 、B 、C 、D 的度数分别为3x 、7x 、4x 、10x ，根据四边形的内角和有3x+7x+4x+10x=360°。
解得 x=15° ∴A=45°, B=105°, C=60°, D=150° 连结BD ，得两个三角形△BCD 和△ABD 在△BCD 中，由余弦定理得
2222221
2cos 4223,2
BD BC DC BC DC C a a a a a =+-⋅⋅=+-⋅⋅=
∴BD= 3 a.
这时2
2
2
DC BD BC =+，可得△BCD 是以DC 为斜边的直角三角形。
30,120.CDB ADB ∴∠=∠=于是在△ABD 中，由正弦定理有
AB=
sin sin BD ADB A
⋅∠
＝sin 120sin 45∠︒︒
2
⋅
＝2
∴AB
的长为
2
19．解：02322
=--x x 2
1,221-
==∴x x 又C cos 是方程02322
=--x x 的一个根 2
1cos -=∴C 由余弦定理可得：()ab b a ab b a c -+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
•-+=2
2
22212 则：()()755101002
2
+-=--=a a a c
当5=a 时，c 最小且3575==c 此时3510+=++c b a
∴△ABC 周长的最小值为3510+
20．解：（1）()[]()2
1
cos cos cos -
=+-=+-=B A B A C π ∴C ＝120° （2）由题设：
⎩⎨
⎧=+=3
22
b a ab
︒-+=•-+=∴120cos 2cos 22
22
2
2ab b a C BC AC BC AC AB
()()
102322
2
22=-=-+=++=ab b a ab b a
10=∴AB。