2014威海一模数学理

高三理科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1.已知集合{1,2},{1,,}A B a b ==,则“2a =”是“A B ⊆”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2. 1i z i ⋅=-（i 为虚数单位），则z =

（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 3.若a b >，则下列不等式成立的是

（A ）ln ln a b > （B ）0.30.3a b > （C ）1

12

2

a b > （D

>

4.根据给出的算法框图，计算(1)(2)f f -+= （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4

5.某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的 频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为

（A ）80 （B ）81 （C ）82 （D ）83

6.已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，且l ∥α，则下列命题正确的是 （A ）若l ∥m ，则m ∥α （B ）若m ∥α，则l ∥m （C ）若l m ⊥，则m α⊥

（D ）若m α⊥，则l m ⊥ 7.已知函数()sin 2f x x =向左平移6

π

个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是 （A ）图象关于点(,0)3

π

-

中心对称 （B ）图象关于6

x π

=-

轴对称

第4题图

（C ）在区间5[,]126ππ-

-单调递增 （D ）在[,]63

ππ

-单调递减 8.任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为 （A ）0.125 （B ）0.25 （C ）0.5 （D ）0.875

9.二项式

n

的展开式中第4项为常数项，则常数项为 （A ）10 （B ）10- （C ）20 （D ）20-

10.函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则(2)0f x ->的解集为 （A ）{|22}x x x ><-或 （B ）{|22}x x -<< （C ）{|04}x x x <>或 （D ）{|04}x x <<

11.双曲线22

1x y m

-=的离心率2e =，则以双曲线的两条渐近线与抛物线2

y mx =的交点为顶

点的三角形的面积为

（A （B ） （C ） （D ）12.已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则mn 的最大值为

（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改

动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．

2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．中学联盟 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.若函数cos 22y x x a =++在0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为_______________________.

14.已知圆O 过椭圆22

162

x y +=的两焦点且关于直线10x y -+=对称，则圆O 的方程为

__________________.

15.设,x y 满足约束条件22002x x y e y x +≥⎧⎪

-≥⎨⎪≤≤⎩

，则(,)M x y 所在平面区域的面积为___________.

16.函数()y f x =的定义域为(,1)

(1,)-∞-+∞，其图象上任一点(,)P x y 满足221x y -=，则

给出以下四个命题：

①函数()y f x =一定是偶函数； ②函数()y f x =可能是奇函数；

③函数()y f x =在(1,)+∞单调递增；④若()y f x =是偶函数，其值域为(0,)+∞ 其中正确的序号为_______________.（把所有正确的序号都填上）

三、解答题:本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(1+cos ,sin )b ββ=-. （Ⅰ）若3

π

α=

，(0,)βπ∈，且a b ⊥，求β；

（Ⅱ）若=βα，求a b ⋅的取值范围.

18. （本小题满分12分）一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）. （Ⅰ）求取出的小球中有相同编号的概率；

（Ⅱ）记取出的小球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分） 如图，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，等腰梯形ABEF 中，AB ∥EF ，AB =2，1AD AF ==，60BAF ∠=，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，

M 为底面OBF ∆的重心.

（Ⅰ）求证：PM ∥平面AFC ；

（Ⅱ）求直线AC 与平面CBF 所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2

843,n n n S a a =++且2a 是1a 和7a 的等比中项.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ) 符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，记23

[log (

)]4

n n a b +=，求1232n b b b b +++.

21.（本小题满分13分）过椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆