2014威海一模数学理

高三理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,2},{1,,}A B a b ==,则“2a =”是“A B ⊆”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2. 1i z i ⋅=-（i 为虚数单位），则z =（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 3.若a b >，则下列不等式成立的是（A ）ln ln a b > （B ）0.30.3a b > （C ）1122a b > （D>4.根据给出的算法框图，计算(1)(2)f f -+= （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）45.某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的 频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为（A ）80 （B ）81 （C ）82 （D ）836.已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，且l ∥α，则下列命题正确的是 （A ）若l ∥m ，则m ∥α （B ）若m ∥α，则l ∥m （C ）若l m ⊥，则m α⊥（D ）若m α⊥，则l m ⊥ 7.已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是 （A ）图象关于点(,0)3π-中心对称 （B ）图象关于6x π=-轴对称第4题图（C ）在区间5[,]126ππ--单调递增 （D ）在[,]63ππ-单调递减 8.任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为 （A ）0.125 （B ）0.25 （C ）0.5 （D ）0.8759.二项式n的展开式中第4项为常数项，则常数项为 （A ）10 （B ）10- （C ）20 （D ）20-10.函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则(2)0f x ->的解集为 （A ）{|22}x x x ><-或 （B ）{|22}x x -<< （C ）{|04}x x x <>或 （D ）{|04}x x <<11.双曲线221x y m-=的离心率2e =，则以双曲线的两条渐近线与抛物线2y mx =的交点为顶点的三角形的面积为（A （B ） （C ） （D ）12.已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则mn 的最大值为（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．中学联盟 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.若函数cos 22y x x a =++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为_______________________.14.已知圆O 过椭圆22162x y +=的两焦点且关于直线10x y -+=对称，则圆O 的方程为__________________.15.设,x y 满足约束条件22002x x y e y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，则(,)M x y 所在平面区域的面积为___________.16.函数()y f x =的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞，其图象上任一点(,)P x y 满足221x y -=，则给出以下四个命题：①函数()y f x =一定是偶函数； ②函数()y f x =可能是奇函数；③函数()y f x =在(1,)+∞单调递增；④若()y f x =是偶函数，其值域为(0,)+∞ 其中正确的序号为_______________.（把所有正确的序号都填上）三、解答题:本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(1+cos ,sin )b ββ=-. （Ⅰ）若3πα=，(0,)βπ∈，且a b ⊥，求β；（Ⅱ）若=βα，求a b ⋅的取值范围.18. （本小题满分12分）一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）. （Ⅰ）求取出的小球中有相同编号的概率；（Ⅱ）记取出的小球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分） 如图，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，等腰梯形ABEF 中，AB ∥EF ，AB =2，1AD AF ==，60BAF ∠=，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为底面OBF ∆的重心.（Ⅰ）求证：PM ∥平面AFC ；（Ⅱ）求直线AC 与平面CBF 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2843,n n n S a a =++且2a 是1a 和7a 的等比中项.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，记23[log ()]4n n a b +=，求1232n b b b b +++.21.（本小题满分13分）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知613AB BC =. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.22.（本小题满分13分）山东中学联盟设函数()(1)xf x ae x =+（其中 2.71828....e =），2()2g x x bx =++，已知它们在0x =处有相同的切线.(Ⅰ)求函数()f x ，()g x 的解析式；(Ⅱ)求函数()f x 在[,1](3)t t t +>-上的最小值；（Ⅲ）若对2,()()x kf x g x ∀≥-≥恒成立，求实数k 的取值范围.高三理科数学参考答案一、选择题A D D A C, D C DB C,C B二、填空题13. (21]-，- 14. 22(1)5x y +-= 15. 22e - 16. ②三、解答题17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵a b ⊥∴cos cos cos sin sin 0a b ααβαβ⋅=+-= ----------------1分∵3πα=∴coscoscos sinsin 0333πππββ+-=整理得1cos()32πβ+=- ----------------------3分∴2233k ππβπ+=+过42,33k k z ππβπ+=+∈ ----------------------4分∵(0,)βπ∈∴3πβ=--------------6分（Ⅱ）222cos cos sin cos 2cos 1a b ααααα⋅=+-=+- ----------------------8分 令[]cos ,1,1t t α=∈- 2219212()48a b t t t ⋅=+-=+-----------------------9分 ∴当1t =时，max 2a b ⋅=，当14t =-时，98min a b ⋅=- ----------------------11分∴a b ⋅的取值范围为9[,2]8-. ----------------------12分18．（本小题满分12分）解(Ⅰ)：设取出的小球中有相同编号的事件为A ，编号相同可分成一个相同和两个相同 ----------------------2分112233472()119()35C C C P A C ++== ----------------------4分 (Ⅱ) 随机变量X 的可能取值为：3，4，6 --------------------6分4711(3)35P X C === ， ----------------------7分 132244472(4)5C C C P X C +===， ----------------------8分 36474(6)7C P X C === ----------------------9分所以随机变量X 的分布列为：----------------10分所以随机变量X 的数学期望124179346355735EX =⨯+⨯+⨯=. ----------------------12分 19.（本小题满分12分）解（Ⅰ）连结OM 延长交BF 于H ，则H 为BF 的中点，又P 为CB 的中点，∴PH ∥CF ，又∵AF ⊂平面AFC ，∴PH ∥平面AFC -------------------2分 连结PO ，则PO ∥AC ，AC ⊂平面AFC ，PO ∥平面AFC -----------------4分1POPO P =∴平面1POO ∥平面AFC ， ----------------5分PM ⊂平面AFC//PM 平面AFC ----------------------6分（Ⅱ）矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，CB AB ⊥所以CB ⊥平面ABEF ，又AF ⊂平面1BDC ，所以CB AF ⊥ ----------------7分 又2AB =，1AF =，60BAF ∠=，由余弦定理知BF =，222AF BF AB +=得AF BF ⊥ ----------------8分AF CB B =∴AF ⊥平面CFB ---------------------9分 所以ACF ∠为直线AC 与平面CBF 所成的角， ---------------------10分 在直角三角形ACF 中sin AF ACF AC ∠===----------------------12分 法二：以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系，1(1,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(,0),2A B C F --设平面CBF 的法向量为(,,)n x y z =，()33(,,1),0,0,122FC CB =--=-， -------------------8分由0,0,n CB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以0,0,z y =⎧⎪+=令1x =，则10x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ，所以(1,3,0)n =-，-----------------10分()2,0,1AC =-∴ cos ,n AC <>== ---------------------11分 ∴直线AC 与平面CBF 所成角的正弦值为5-------------------12分20.（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 由2843n n n S a a =++①知2111843(2,)n n n S a a n n N ---=++≥∈② ----------------------1分由①-②得1118()()44n n n n n n n a a a a a a a ---=-++-整理得11(4)()0(2,)n n n n a a a a n n N ----+=≥∈ ----------------------2分 ∵{}n a 为正项数列∴10,n n a a -+>，∴14(2,)n n a a n n N --=≥∈ ----------------------3分所以{}n a 为公差为4的等差数列，由2111843,a a a =++得13a =或11a = ----------4分当13a =时，277,27a a ==，不满足2a 是1a 和7a 的等比中项. 当11a =时，275,25a a ==，满足2a 是1a 和7a 的等比中项.所以1(1)443n a n n =+-=-. ----------------------6分(Ⅱ) 由43n a n =-得223[log ()][log ]4n n a b n +==， ----------------------7分 由符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数知，当122mm n +≤<时，2[log ]n m =，----------------------8分所以令12322222[log 1][log 2][log 3][log 2]n n S b b b b =+++=+++0112341n n =+++++++++-++∴1234112223242(1)2n S n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+① ----------------------9分2345212223242(1)22n S n n =⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+② ----------------------10分①-②得234112222...2(1)22(12)(1)2(2)2212n n n n nS n nn n n n ---=+++++----=---=---- (2)22n S n n ∴=-++即1232n b b b b +++(2)22n n n =-++. ----------------------12分21. （本小题满分13分）解:（Ⅰ）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a , ----------------------2分∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=-- ----------------------3分∵613AB BC =∴1x a +=11166(),(2)1313x y a y -=-,整理得111312,1919x a y a =-= --------------------4分∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b +⋅=,∴223,4b a = ----------------------5分∴2223,4a c a -=即2314e -=,∴12e = ----------------------6分 （Ⅱ）∵223,4b a =可设223.4b t a t ==,∴椭圆的方程为2234120x y t +-= ----------------------7分由2234120x y t y kx m⎧+-=⎨=+⎩得222(34)84120k x kmx m t +++-= ----------------------8分 ∵动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ∴0∆=,即2222644(34)(412)0k m m m t -+-=整理得2234m t k t =+ ----------------------9分 设P 11(,)x y 则有122842(34)34km km x k k =-=-++,112334my kx m k =+=+ ∴2243(,)3434km mP k k -++ ----------------------10分又(1,0)M ,Q (4,4)k m +若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥, ∴2243(1,)(3,(4))03434km mk m k k+-⋅--+=++恒成立 整理得2234k m +=, ----------------------12分 ∴223434k t k t +=+恒成立,故1t =所求椭圆方程为22143x y += ----------------------13分 22. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) ()(2)xf x ae x '=+， ()2g x x b '=+ ----------------------1分由题意，两函数在0x =处有相同的切线.(0)2,(0),2,(0)(0)2,2,4f a g b a b f a g a b ''∴==∴====∴==，2()2(1),()42x f x e x g x x x ∴=+=++. ----------------------3分(Ⅱ) ()2(2)xf x e x '=+，由()0f x '>得2x >-，由()0f x '<得2x <-，()f x ∴在(2,)-+∞单调递增，在(,2)-∞-单调递减. ----------------------4分3,12t t >-∴+>-① 当32t -<<-时，()f x 在[,2]t -单调递减，[2,1]t -+单调递增，∴2min ()(2)2f x f e -=-=-. ----------------------5分② 当2t ≥-时，()f x 在[,1]t t +单调递增，min ()()2(1)t f x f t e t ∴==+；22(32)()2(1)(2)te tf x e t t -⎧--<<-⎪∴=⎨+≥-⎪⎩ ----------------------6分 （Ⅲ）令2()()()2(1)42x F x kf x g x ke x x x =-=+---，由题意当min 2,()0x F x ≥-≥ ----------------------7分 ∵2,()()x kf x g x ∀≥-≥恒成立，(0)220,1F k k ∴=-≥∴≥ ----------------------8分()2(1)2242(2)(1)x x x F x ke x ke x x ke '=++--=+-， ----------------------9分2x ≥-，由()0F x '>得11,ln x e x k k >∴>；由()0F x '<得1ln x k<∴()F x 在1(,ln ]k -∞单调递减，在1[ln ,)k+∞单调递增 ----------------------10分①当1ln 2k<-，即2k e >时，()F x 在[2,)-+∞单调递增，22min 22()(2)22()0F x F ke e k e-=-=-+=-<，不满足min ()0F x ≥. ----------------11分② 当1ln 2k =-，即2k e =时，由①知，2min 22()(2)()0F x F e k e=-=-=，满足min ()0F x ≥. ---------------12分③当1ln2k >-，即21k e ≤<时，()F x 在1[2,ln ]k -单调递减，在1[ln ,)k+∞单调递增 min 1()(ln )ln (2ln )0F x F k k k==->，满足min ()0F x ≥.综上所述，满足题意的k 的取值范围为2[1,]e . ----------------------13分。