断裂力学题

岩石断裂力学复习题
1. 弹性体内的裂纹大致上可以分哪三种，在答题纸上按顺序绘出如图 2 的弹性裂纹薄板，在什么样的边界力作用下，裂纹将是 II 型， I 型，III 型，并分别写出其相应的应力强度因子计算式。

I 型：
边界条件： 当∞→z 时，
0xx =σ，∞=y yy σσ，0xy =τ
在裂纹面（y=0）上，
0y y =σ，0xy =τ 应力强度因子：a
y πσ∞
I =K
II 型：
边界条件： 当∞→z 时，
∞=ττxy ，0xx ==yy σσ
在裂纹面（z=x ±i0,a <x ）上，0y y ==xy τσ 应力强度因子：a πτ∞I I =K III 型：
边界条件： 当∞→z 时，
∞=ττyz ，0xy zz xx τσσσ===yy
在裂纹面（z=x ±i0,a <x ）上，0y y ==xy τσ 应力强度因子：a πτ∞I I I =K
2. 由 Griffith 能量平衡理论，推导如果弹性薄板两端均匀施加拉应力为σ，薄板中间缺陷裂纹长度l 需小于多少裂纹才不会发生失稳扩展？已知弹性板的杨氏模量为E ，弹性板材料的表面能密度为Г。

解：由Griffith 能量平衡理论求临界裂纹长度：
对于原场拉应力为σ，单位厚度的平板，当有长度为2a 的裂纹产生时，其总共释放的弹性势能为：
'/c 22E a W πσ= （1）
当长度为2a 的裂纹存在时，模型增加的表面能S 为：
Γ=a 4S （2）
当裂纹端部扩展一小段长度da （裂纹长度由2a 发展为2a+2da ）时，如果弹性势能释放率dW c /da 大于或等于表面能的增加率dS/da 时，裂纹会失稳，并进一步扩展。

则裂纹扩展的条件可表达为：
da dS
da dW c = （3）
将式（1），（2）代入（3），可得远场力σ作用下，使裂纹失稳并扩展的裂纹临界长度a0为：
2/'20a πσΓ=E （4）
3. 什么是裂纹的应力强度因子的？其一般表达式是什么？量纲是什么？应力强度因子与弹性板材料的表面能密度间有何关系。

应力强度因子含义：表征裂纹端部应力场的特征物理量，和裂纹尺寸。

几何特征
及荷载有关。

量纲：[应力]×[长度]1/2
应力强度因子与表面能密度的关系：
G 表示裂纹扩展单位面积时系统提供的能量，称“能量释放率”，则：
Ⅰ型：’E K G 2I I =
Ⅱ型：’
E K G 2I I
I I =
Ⅲ型：E K G 2)1(I I I
I I I +=ν（注意是E 不是E ’）
混合型：I I I I I I ++=G G G G
R 为裂纹扩展单位面积所需能量，当G ≥R 时，裂纹扩展。

对于理想脆性材料（无塑性变形），R=г，则可通过上方G 关于应力强度因子的表达式，建立理想条件下，裂纹处于临界扩展状态时，应力强度因子与表面能密度г的关系（不过真的很少有这种提法）。

4. 什么是裂纹扩展力？其定义式与什么？写出复合裂纹破裂力与应力强度因子间的关系？
裂纹扩展力：即能量释放率（用符号G表示），要使裂纹扩展，必需提供动力，裂纹扩展单位面积系统能量的下降率称为能量释放率，它是裂纹扩展的动力。

定义式：
格里菲斯能量准则的表述：裂纹每扩展单位面积，系统提供的动力G大于或等于裂纹扩展的阻力R。

设整个系统的能量(即势能)用Π表示，则裂纹扩展∆S C的面积所消耗的能量为R∙∆S C=G∙∆S C，按照能量守恒，能量的消耗相当于系统势能下降−∆Π，即
G∙∆S C=−∆Π
在极限条件下就有
G与K的关系：
I型裂纹：
II型裂纹：
III型裂纹：
其中：
5. 什么是环向扩展理论？书上4.2是根据环向扩展理论预测的I—II混合型裂纹扩展的方向。

根据这个图，请你大体绘出纯I 型裂纹、纯II 型及K I-K II等值混合裂纹的扩展方向。

背景知识：
环向扩展理论：即最大环向拉应力准则。

Erdogan与薛昌明(Sih)(1963)基于上述实
验观测结果，提出了最大环向拉应力准则。

该准则认为：
（1）扩展方向：裂纹沿所对应的θ的方向扩展，该方向满足以下条件：
（2）扩展起始：当
即达到一定临界情况时，裂纹开始扩展。

裂纹扩展方向：
纯I型裂纹扩展方向（0°）纯II型裂纹扩展方向（-70.53°）I—II混合型裂纹扩展的方向在纯I型裂纹扩展方向和纯II型裂纹扩展方向之间，具体位置跟K I和K II的相对大小有关，考试只要画出相应的趋势即可。

K I-K II等值混合裂纹的扩展方向为-53.13°，图略。

6. 什么是应变能密度因子破裂准则？请分别根据最大环向应力破裂准则与应变能密度因子破裂准则预测裂纹角与断裂角？请简要说说与图4.2（上题图）间的相关性。

背景知识：
S称为应变能密度因子
应变能密度因子破裂准则：
裂纹角与断裂角之间的关系：
应变能密度因子破裂准则预测为：
最大环向应力破裂准则预测为：
其中：
相关性：
7. 什么是库仑破裂准则？写破裂强度计算的公式？回顾下程序作的练习
由库伦公式表示莫尔包线的土体抗剪强度理论。

岩石抵抗剪切破坏的能力不仅与作用在截面上的剪应力有关，还与作用在该截面上的正应力有关。

00()f n f p ττσ=+-
断层走向对两个断层之间的相互作用影响十分显著。

两个断层走向夹角越小，则彼此间的影响越小，锁固段的库仑力变化也越小；两个断层走向夹角越大，锁固段的库仑力变化越大，并且锁固段的影响范围也越大。

在一定范围内，断层长度会对两个断层之间相互作用产生一定的影响。

随着断层长度的增加，两个断层锁固段的影响范围也随之增大；但当断层的长度增大至一定值后，这种影响便不再发生显著变化。

断层面上的平均滑移距离越大，则两断层锁固段的库伦应力变化越大，同时锁固段的影响范围也越大。

当摩擦系数的影响存在一个0.6左右的阈值。

当摩擦系数大于0.6时，其对两个断层之间库仑力的影响趋于定值；当摩擦系数在0-0.6之间变化时，其对断层间库伦力的影响很大。

8. 从库仑破裂准则出发简要阐述下雨诱发滑坡？页岩气开采、水库蓄水诱发地震的主要原理
降雨入渗至潜在滑动面后，一方面水与岩土体发生物理化学作用，减小了潜在滑动面的粘聚力和摩擦系数，一方面又减小滑动面上的有效应力，导致潜在滑动面的抗剪强度降低；同时降雨入渗会使部分岩土体饱和，增加了潜在滑动面的上覆荷载，导致滑坡发生。

9. 库仑应力的定义是什么？如何计算库仑应力变化
库伦应力定义：0()n CFS P ττμσ=--- 库伦应力变化：()n CFS P τμσ∆=∆-∆-∆
10. Byerlee 律指什么？应用条件及主要公式
拜尔利搜集整理了有关岩石的实验结果，发现岩石沿预存面发生摩擦活动遵从实验定律：
a
200506.0a
20085.0m m MP MP N N N N
>+=<=σστσστ
除含大量粘土的岩石外,绝大多数岩石均遵从此定律,与岩性无关。

该定律的主要特点：
1）摩擦系数μ与岩石种类几乎无关，而与滑动面的粗糙程度关系最大 2）摩擦系数与岩石种类有一定关系，但不甚密切 3）摩擦与滑动面的粗糙程度无关.
4）假定滑动面之间充填了很厚的断层泥，只要这层断层泥不是由蒙脱石、蛭石和伊利石组成，岩石的摩擦滑动就好像断层泥根本就不存在，与两块岩石彼此接触在一起摩擦滑动情况一样. 但是，如果滑动面之间充填有以上三种矿物的断层泥，哪怕是很薄的一层，摩擦滑动都将非常容易发生，即摩擦系数是一个十分小的值。

11.安德森断裂理论的假设条件是什么？正断层、逆断层、走滑断裂发生的构造条件是什么？其断层倾角各有何特征？ 1）安德森断裂理论数学表达以及假设条件：
2）正断层发生的构造条件：
正断层是指上盘下降，上盘上升的构造运动，有利于正断层发生的地质构造是经历水平拉伸和或垂向抬升的地质构造。

3）逆断层发生的构造条件：
逆断层是指上盘上升，下盘下降的构造运动，有利于逆断层发生的地质构造是收到区域性水平挤压的地质构造的影响容易发生逆断层。

4）走滑断裂发生的构造条件：
走滑断层是指断层面走向发生发生相对水平运动的断层，有利于断层发生的地质构造是在地质构造区域发生纯剪切或简单剪切或二者的复合形式是较容易发生走滑断裂。

5）断层倾角特征：
正断层的倾角一般比较陡，发生在45度到80度之间；反之逆断层的角度比较缓在20到45度之间，对于具有推覆构造的逆断层其倾角可能在10到15度之间。

12.非线性断裂理论与线性断裂理论的区别是什么？断层亚临界扩展是什么现象？
1）线性断裂力学主要包括格里菲斯脆性材料裂纹扩展准则，欧文的应力场强度观点以及应力强度因子断裂准则以及Grwith能量准则线弹性断裂力学的核心内容。

线弹性断裂力学是弹性理论在含有裂纹体中的应用，而弹性理论的假设同样保留在线弹性断裂力学的理论中，即小变形假设以及应力应变呈线性假设。

岩石的应力应变行为仅仅在某一应力大小范围内是近似线弹性的，而且还只能针对一定尺度，这个尺度要远远大于岩石的颗粒尺度. 当我们的考察尺度小到接近颗粒尺度，或当应力超出一定范围时，岩石就表现出越来越强烈的非线性。

为了克服这种物理上的不合理性, 人们提出了几种非线性修正理论, 包括达格德尔(1960)提出的塑性区理论, 或曰带状屈服模型, 巴仁布莱特(Barenblatt, 1962)的内聚力模型.
2）由于介质流变性质的影响，当构造力使断层的应力强度因子达某阀值后断层即开始亚临界扩展 ; 即使构造力保持不变，扩展也将不断加速并最终导致失稳扩展即,地震.由于构造力变化情况不同，断层扩展表现为实际观测到的多种形态扩展速度的变化速率不同，孕震期长短随之异动
13. 地震目录是什么？什么是完整的地震目录？如何估计完备的地震目录的最小震级？
地震目录：是指按时间顺序，对地震的主要参数进行收录，编辑成目录资料，是进行活动构造、地震预报和工程地震研究的基础资料。

完整的地震目录：
如何估算完备的地震目录的最小震级？
最大曲率法
选择震级曲率曲线中斜率最大的值所对应的震级作为Mc 。

拟合优度测试法
拟合优度测试法测度的是拟合的FDM 与实验的FDM 之间的差异，当目录不完全时，二者差异较大。

在操作过程中，对于每一个震级的下限，均采用最大释然估计，计算其对应的a 和b 值，从而构造出一个严格符合GR 关系的FDM 。

b 值稳定法
将b 值看成0c M 的函数，并假设b 值会随着0c M 的接近而靠近Mc ，b 的标准值为0.03，可动态调整。

分段斜率中值分析法
是由Amorese 提出的，是一种迭代寻找累计FDM 多次改变点的方法，此方法从用迭代找出FDM 中斜率的不连续点，其主要不连续点就是Mc 。

完整性震级范围法
是由Wossner 和Wiemer 提出的，通过建立一个包含两部分的模型，完备记录部分用G-R 定律描述，地震事件百分百记录，不完备部分用累计正态分布来表
示，其公式为
公式5中，μ是有百分之50概率探测到的震级，σ是标准差。

由于Mc 在探测密度函数中显示表示，所以可以用最似然来估计Mc 。

14. 理解G-R Law(震级频率关系)与Omori-Utus Law(大森-宇津余震衰减率）的表达式？b 值与p 值分别隐含的物理意义是什么？如何估算b 值？ G-R 准则
即震级频率关系，表示某地区某段时间内发生震级≥M 的地震数N(M)可用如下关系式表达：
bM a M LogN -=)(
参数a 表示该地区的地震活动水平，参数b 不仅仅描述大、小地震的比例关系，同时也与地应力状态密切相关，b 值高代表地应力水平低，b 值低代表地应力水平高。

并且b 值主要决定于应力状况和介质性质，还受构造条件、温度、流体、和破裂方式等诸多因素的影响。

b 值的表现十分复杂，但b 值无疑是地震过程物理场变化的重要表现。

大森-宇津余震衰减率
地震的余震频度随时间的变化，可用如下改良的大森公式表示： P
c t K t n )()(+= 式中，)(t n 是余震发生的时间频度，t 是自主震发生后的时间长度,K C P 都是余震活动的时间变化参量，P 称为余震衰减系数。

参数P 表示余震衰减程度，P 值的大小可能与余震区岩石的物性，以及应力场的空间不均匀性有关，它依赖于岩石的摩擦强度相对于剪切应力的松弛时间的恢复比。

如何估算？
最大释然估计
由于只有完整的地震数才符合GR关系，所以Mmin被定义为最小完整震级。

最小二乘法
由GR准则，可知：
=
(
LogN-
)
M
bM
a
令Y=lgN,X=M得到如下：
组成法方程：
Y=
AX
解法方程，求未知矢量X：
从而求解得到：。