动力学问题的有限元法
有限元分析-动力学分析PPT课件
目录
• 引言 • 有限元分析基础 • 动力学分析基础 • 有限元分析在动力学中的应用 • 案例分析 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
01
介绍有限元分析在动力学分析中 的应用和重要性。
02
阐述本课件的目标和内容，帮助 读者了解有限元分析在动力学分 析中的基本概念、方法和应用。
随着工程复杂性和精确度要求的提高，有限元分析在动力学分析中的 应用将更加重要和必要。
02
未来需要进一步研究有限元分析算法的改进和优化，以提高计算效率 和精度。
03
未来需要加强有限元分析与其他数值计算方法的结合，如有限差分、 有限体积等，以实现更复杂的动力学模拟和分析。
04
未来需要加强有限元分析在多物理场耦合和多尺度模拟中的应用，以 更好地解决工程实际问题。
有限元分析的优点和局限性
• 精确性：对于某些问题，可以得到相当精确的结 果。
有限元分析的优点和局限性
数值误差
由于离散化的近似性，结果存在一定的数值误 差。
计算成本
对于大规模问题，计算成本可能较高。
对模型简化的依赖
结果的准确性很大程度上依赖于模型的简化程度。
03 动力学分析基础
动力学简介
动力学是研究物体运 动过程中力与运动关 系的科学。
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求解等。
02 有限元分析基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散化为有 限个简单元（或称为元素）的组合，来模拟和分析系统的行为。
02
它广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、热传 导等领域。
有限元 第9讲 动力学问题有限单元法
有限元第9讲动力学问题有限单元法动力学问题是指研究物体在运动中的受力和受力作用下的运动状态，常见的应用是结构工程学中的振动分析。
有限单元法是解决结构工程学中动力学问题的常用方法之一。
本文将介绍动力学问题和有限单元法的基本概念，并介绍其应用。
动力学问题的定义动力学是研究质点或刚体运动情况的分支学科，在结构工程学中是指结构在做振动时所受的力和运动状态。
动力学问题可以分为两种类型：稳态动力学问题和非稳态动力学问题。
稳态动力学问题是指结构在振动状态下所受的恒定力，而非稳态动力学问题则是指结构所受的变化的力，例如冲击力或地震力。
动力学问题的求解包括两个方面：一是确定受力情况；二是求解结构的运动状态。
确定受力情况通常需要通过实验或计算确定，求解结构运动状态则可以通过有限单元法来解决。
在结构工程学中，动力学问题的应用非常广泛。
例如，建筑物抗震设计需要对建筑物在地震作用下的反应进行分析，桥梁工程需要对桥梁在行车作用或风力作用下的振动响应进行分析。
有限单元法的基本概念有限单元法是一种将结构离散成若干小单元的数值分析方法，将结构分割成细小的单元，每个单元内部假设为均匀且连续的，通过对单元本身的运动状态进行求解，进而推知整个结构的运动状态。
有限元法用于解决的问题包括静力学问题、动力学问题、热力学问题和流体问题等。
有限单元法求解动力学问题的步骤主要包括如下几个步骤：1.离散化：将连续结构离散化成有限的小单元，每个单元内部运动状态通过定义一定数量的节点来确定。
2.建立单元的动力学方程：根据单元的形状和材料性质，建立单元的动力学方程，并计算单元的振动特性，例如频率和模态。
3.组装单元的方程：将单个单元的方程组装成整个结构的方程。
4.边界条件的处理：利用结构的边界条件（例如支撑、铰支等），将结构自由度减少到实际问题所需要的自由度。
5.求解结构的运动状态：通过求解整个结构的方程，得到结构的运动状态。
6.后处理：根据求解结果，进行结果的可视化和分析。
动力学有限元
6.2结构动力有限元法理论与模型一、基本原理在实际问题的求解中，应用最广的是基于位移的有限元素法。
此法的基本思想是把本来为连续的工程结构分割成在结点上相联的单元组合体。
取这些结点的位移为基本未知量，并假定每个单元中的位移用单元位移函数来描述，这实质上是假定了单元的模态。
在此基础上，利用能量变分原理进行单元分析的全结构分析，得到全结构的振动平衡方程，从而把连续体的动力学问题化为多自由度系统的振动问题。
有限元动力分析的基本过程是首先将工程结构离散化，通过选择合理的单元确定出分析模型，在此基础上选择位移函数，进行单元分析，确定单元的刚度、质量、阻尼、载荷矩阵，再经过坐标变换，通过能量变分原理，进行全结构分析，建立系统的振动平衡方程。
最后运用有限元数值方法进行方程的求解。
结构动力有限元法采用的单元位移函数与静力分析相同，基本原理和求解过程也与静力分析相同，不同之处仅在分析模型的确定与运动方程的建立方面。
二、动态分析模型的确定由于结构动态分析中除考虑弹性力外，还要考虑惯性力和阻尼力，其运动方程是常微分方程组，所以动态分析的复杂程度高，计算工作量大，有限元分析模型要尽量精炼、简单。
1.模型确定的基本原则•分析模型应与分析的目的相适应。
动力分析的目的各不相同，有的是为了提供固有特性计算动态响应或供控制系统用；有的是为了舱内提供振动环境。
不同的目的，通常要求不同的模态数与计算精度。
显然，用于估算基本固有频率的模型应当比计算冲击响应的模型简单。
用于设计计算的模型应当比用于校核计算的模型简单。
•分析模型要与选用的计算工具与计算条件相适应。
计算机软件种类日益丰富，选择分析模型要与所用程序、所用计算机容量相适应。
如对于容量大的计算机，可选用较为复杂的有限元模型，而对于容量小的计算机则在能反映结构动态性能的前提下尽量简化模型，使求解规模尽量小。
对于大模型，可选用子结构模型，采用模态综合方法求解。
应注意, 不一定模型愈精细精度就愈高。
结构动力学问题的有限元法
K Q
K Q
对于结构动力学问题，节点载荷阵还包括惯性力和阻尼力。
e e e K Q (M C ) e e 1 m
或改写为：
C K M Q
代入：
dV Q N u
T T T
M N N dV
dV N N
e T
e
e dV Q N u
e T T
N N dV C
其中：
M M C C
e
e
质量阵和阻尼阵的叠加方法与刚度阵的叠加方法相同，也 是对称稀疏阵。
三、动力方程的简化
M e N T N dV
称为一致质量矩阵，是稀疏带状阵。
如果将单元质量阵近似作为对角阵，则方程变成彼此独立，避免 联立，称为集中质量阵或团聚质量阵。 解耦 例如长度为L，截面积为A，密度为ρ的梁单元。 i
A，ρ
L
j
x
1 A L 0 集中质量阵： m 2 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
156 22L 22L 2 一致质量阵： 4 L AL m 13L 420 54 2 13 L 3 L
54 13L 13L 3L2 156 22L 2 22L 4 L
ˆ P K P K
T
在变换[K]和[M]的过程中，有时使用一次雅克比变换将一个 非对角线元素化为零以后，它在另一次变换中会重新变为非零 元素，但在素质上有所减小。这说明需要反复使用雅克比变换， 最终非对角线元素将趋于零。 在实际求解过程中，不必严格地把矩阵[K]和[M]所有的非对 角线元素变换为零，通常在完成一次变换后进行判断是否达到预 l 1 (l ) 设的精度：
动力学问题的有限元法
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击， 人工地震勘探，无损探伤等。
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
T
V
dV VuT(fu u)dV SuTTdS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离
散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
Ma(t)Ca(t)Ka(t)Q(t)
方程中的系数矩阵分别为：系统质量矩阵，阻尼 矩阵，整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。
u N ae
u(x, y, z,t) u来自v(x,
y,
z, t)
w( x, y, z, t)
a
e
a a
1 2
a n
ai
uvii
(t) (t)
(i
1,2,, n)
wi (t)
• 为建立有限元动力学响应控制方程，利用达朗倍尔原
理，在每个时刻 t，将连续介质中质点加上惯性力 u 和阻尼力 u ，则系统的动力学问题转化为等效静
• 如果忽略阻尼，则结构动力学方程简化为：
Ma(t) Ka(t) Q(t)
• 上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动 方程。
• 从动力学方程导出过程可以看出，动力学问题的有限元 分析中，由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力，从而 引入了质量矩阵和阻尼矩阵，运动方程是耦合的二阶常 微分方程组，而不是代数方程组。该方程又称为有限元 半离散方程，因为对空间是有限元离散的，对时间是连 续的。
有限元各种时域计算方法
有限元各种时域计算方法有限元方法（FEM）是数值分析中一种常用的工程计算方法，用于求解连续介质的力学问题。
在时域情况下，FEM可以用于求解动力学问题，其中物体的响应随时间变化。
下面介绍几种常用的有限元时域计算方法：1. 爆炸分析方法（Explosion Analysis Method）：用于模拟爆炸、冲击等快速载荷作用下的结构动力响应。
该方法将爆炸过程分解为多个离散时间步骤，并使用显式时间积分方法求解结构动力方程。
通过该方法可以得到结构的位移、速度、加速度等动态响应结果。
2. 频率域响应谱（Frequency Domain Response Spectrum）：将时域问题转化为频域问题进行求解。
根据结构的固有频率和阻尼比，可以建立系统的频率响应函数，进而得到结构在特定载荷下的响应。
这种方法适用于大规模结构问题，可以有效地简化计算的复杂性。
3. 时间有限差分法（Time Finite Difference Method）：该方法将时域问题转化为差分格式，用一系列离散时间步骤来近似连续时间。
通过在空间和时间上进行网格划分，可以利用差分格式求解结构动力方程。
这种方法对于线性和非线性问题都适用，并且可以实现高精度的模拟结果。
4. 显式时间积分法（Explicit Time Integration Method）：该方法使用显式格式对结构动力方程进行时间积分，通过预测和修正的过程求解结构的动态响应。
显式时间积分法具有计算效率高的优点，适用于稳定性良好的问题，但在处理非线性和不稳定问题时可能出现数值耗散和不稳定现象。
5. 隐式时间积分法（Implicit Time Integration Method）：与显式时间积分法相反，隐式时间积分法使用隐式格式进行时间积分，从而提高数值稳定性。
通过迭代求解非线性方程组，可以得到结构的准确动态响应。
隐式时间积分法对于非线性和不稳定问题的求解较为稳定，但计算效率较低。
以上是几种常用的有限元时域计算方法，每种方法都有各自的特点和适用范围。
有限元法PPT课件
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
刚体动力学 有限元
刚体动力学是研究刚体运动的力学学科。
刚体是指形状和大小在运动过程中保持不变的物体，刚体动力学研究刚体在受力作用下的运动规律和动力学特性。
刚体动力学主要包括以下几个方面：
运动学：研究刚体的位移、速度和加速度等与时间的关系，描述刚体的运动状态。
动力学方程：根据牛顿第二定律，建立刚体的动力学方程，描述刚体受到的力和加速度之间的关系。
转动运动：研究刚体绕固定轴进行转动的规律，包括转动惯量、角速度、角加速度等的计算和分析。
能量与动量守恒：研究刚体运动过程中的能量守恒和动量守恒定律，用于分析刚体的碰撞、旋转和平移等情况。
有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程和科学领域，包括力学、结构分析、流体力学等。
有限元方法将连续的物体或结构分割成有限数量的小单元，通过求解这些小单元的力学方程，得到整个物体或结构的力学行为。
在刚体动力学中，有限元方法可以用于建立刚体的数学模型，通过将刚体分割成有限数量的单元，利用数值计算方法求解刚体的运动和力学响应。
这种方法可以有效地模拟复杂的刚体运动和受力情况，帮助分析和优化刚体系统的设计和性能。
有限元方法在刚体动力学中的应用包括刚体结构的动力学分析、碰撞和撞击的模拟、机械系统的优化等。
它提供了一种灵活、高效的数值计算工具，用于解决刚体动力学问题和工程实践中的设计和分析任务。
结构动力学有限元法
100%
动力响应分析
研究车辆、风、地震等外部激励 下桥梁的动力响应，评估其安全 性能。
80%
稳定性分析
分析桥梁在极端载荷下的稳定性 ，确保其正常工作。
建筑结构的抗震分析
地震作用下的结构响应
通过有限元法模拟地震对建筑 结构的作用，计算结构的位移 、加速度等响应。
结构抗震性能评估
根据计算结果评估建筑结构的 抗震性能，优化设计以提高其 抗震能力。
局限性
由于结构动力学有限元法需要进行大量的数值计算和存储，因此 对于大规模复杂结构的分析可能会面临计算效率和精度方面的问 题。此外，对于一些特殊结构和复杂工况，可能需要采用特殊的 建模和分析方法。
04
结构动力学有限元法的应用实例
桥梁结构的动力学分析
80%
桥梁结构的模态分析
通过有限元法计算桥梁的固有频 率和振型，了解其自振特性。
结构减震设计
利用有限元法进行减震设计， 如设置隔震支座、阻尼器等， 降低地震对结构的影响。
机械设备的动态特性分析
01
设备模态分析
02
设备振动分析
03
设备优化设计
通过有限元法分析机械设备的固 有频率和振型，了解其动态特性。
研究机械设备在工作过程中的振 动情况，分析其振动原因和影响。
根据动态特性分析结果，优化机 械设备的设计，降低振动和噪声。
用于分析电磁场的分布和变化规律，如电机、变 压器、天线等。
流体动力学
用于模拟流体在各种条件下的流动特性，如航空 、航海、管道流动等。
热传导分析
用于分析温度场的变化和热量传递规律，如热力 管道、电子设备等。
有限元法的研究意义
提高工程设计的可靠性和安全性
有限元分析-动力学分析
1.为何傅里叶变换要换成正弦函数余弦函数这样的三角级数？ 2. 谐振运动的特征是什么？谐振运动有阻尼存在吗？
梁结构瞬态动力学分析实例
A steel beam of length and geometric properties shown in Problem Specifications is supporting a concentrated mass, m. The beam is subjected to a dynamic load F(t) with a rise time tr and a maximum value F1. If the weight of the beam is considered to be negligible, determine the time of maximum displacement response tmax and the response ymax. Also determine the maximum bending stress σbend in the beam.
谱分析
谱分析是一种将模态分析结果与已知的谱分析联系起来的 计算位移和应力的分析技术。它主要用于时间历程分析，以 便确定结构在任意时间变化载荷下的动力学响应，简单而言 就是载荷的谱不再是简谐运动。
简支梁的两端作垂直运动，也就是地震时的作用，确定其 响应频率。
梁对地基地震时的谱分析
A simply supported beam of length , mass per unit length m, and section properties shown in Problem Specifications, is subjected to a vertical motion of both supports. The motion is defined in terms of a seismic displacement response spectrum. Determine the nodal displacements, reactions forces, and the element solutions.
动力学问题有限元分析
图11一阶模态结果
图12二阶模态结果
图13三阶模态结果
图14四阶模态结果
图15五阶模态结果
图16六阶模态结果
6.
（1）单击树形图中的【HarmonicResponse】，进入谐响应分析环境。
（2）找到工具栏中的【Loads】，依次选择【Loads】>【Force】选项，之后在菜单栏中选择【Edge】选项，即 选项，在右侧图形区中选择距离
（2）在左侧工具箱【Toolbox】下方“分析系统”【Analysis Systems】中双击“模态分析”【Model】系统，此时在右侧的“项目流程”【Project Schematic】中会出现该分析系统共7个单元格。相关界面如图1所示。
图1分析系统选择
（3）拖动左侧工具箱中“分析系统”【Analysis Systems】中的“谐响应”【HarmonicResponse】系统进到模态分析系统的【Solution】单元格中，为之后热应力分析做准备。完成后的相关界面如图2所示。
（3）依次选择工具栏中的【Deformation】>【Total】，以查看梁的整体变形。
（4）单击【Solve】以得到最终结果。结果如图20—图21所示。
图19“频率—变形”响应设置
图20总变形云图
图21“频率—变形”响应
（4）单击树形图中【HarmonicResponse】分支下的【AnalysisSetting】，在明细栏窗口中将【RangeMaximum】栏后改为50Hz，【SolutionIntervals】栏后改为50；之后展开【DampingControls】，更改其下的【ConstantDampingRatio】为0.02.如图18所示。
有限元第六章 动力问题的有限元法
第六章 动力问题的有限元法6.1 概述前面几章所研究的问题都属于静力问题，其特点是施加到结构上的外载荷不会使结构产生加速度，且外载荷的大小和方向不随时间变化，因而结构所产生的位移和应力也不随时间变化。
本章将要研究结构分析中另一类重要问题的有限元解法，即动力问题的有限元解法。
动力学问题的特点是，载荷是随时间变化的，因而结构所产生的位移和应力是时间的函数，结构会产生速度和加速度。
由于结构本身的弹性和惯性，结构在动力载荷的作用下，往往呈现出振动的运动形态。
结构振动是工程中一个很普遍很重要的问题。
有些振动对我们有利，例如，振动打桩，振动选料，有些振动对我们有害，例如，机床的振动，仪器与仪表的振动，桥梁、水坝及高层建筑在地震作用下的振动等。
因此，我们必须对振动体本身的振动特性以及它对外部激振力的响应有一个明确的认识，才能更好地利用它有利的一面，而避免它有害的一面，设计出更好的机械和结构。
振动问题主要解决两方面的问题。
1. 寻求结构的固有频率和主振型，从而了解结构的固有振动特性，以便更好地利用或减少振动。
2. 分析结构的动力响应特性，以计算结构振动时动应力和动位移的大小及其变化规律。
6.2 结构的振动方程结构的振动方程可用多种方法建立，这里我们使用达朗伯原理（动静法），仿照前几章建立静力有限元方程的方法，来建立动力问题的有限元方程。
在静力问题中用有限元法建立的平衡方程是}{}]{[F K =δ在振动问题中，对结构的各节点应用达郎伯原理所建立的振动方程仍然具有与上式相同的形式，只不过节点位移是动位移，节点载荷是动载荷，它们都是时间的函数。
上面的方程成为)}({)}(]{[t Q t K =δ (6.1)上式中{})(t δ为节点的动位移，它是时间的函数，)}(]{[t K δ是t 时刻的节点位移产生的弹性恢复力，它与该时刻的节点外力{})(t Q 构成动态平衡。
在动态情况下，结构承受的载荷（集中载荷 ，分布载荷 ）可随时间而变化，是时间的函数。
有限元-第9讲-动力学问题有限单元法
a1 ae a2
... an
ui(t) ai vi(t)
wi(t)
(i 1,2,...n,)
（3）形成系统的求解方程
••
•
M a(t)C a(t)K(ta )Q (t)
（1.8）
其中
••
•
a(t)和a(t)
分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，
M,C,K和Q(t)分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。9
•
at
1 2t
att att
中心差分法的递推公式
（3.1） （3.2）
1 t2 M 2 1 tC a t t Q t K 2 t2 M a t 1 t2 M 2 1 tC a t t（3.3）
上式是求解各个离散时间点解的递推公式，这种数值积分方法又 称为逐步积分法。
动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的 数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两 种普遍应用的减缩自由度的方法是减缩法和动力子结构法。
11
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
一、协调质量矩阵和集中质量矩阵
单元质量矩阵
Me NTNdV称为协调质量矩阵。 Ve
集中质量矩阵假定单元的质量集中在结点上，这样得到的质量矩 阵是对角线矩阵。以下分实体单元和结构单元进行讨论。
16
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
按第二种方法计算，得到集中质量矩阵与第一种方法结果一样。
注：对于8结点矩形单元，两种方法得到的集中质量矩阵不同。
在实际分析中，更多的是推荐用第二种方法来计算集中质量矩阵。 2.结构单元
2结点经典梁单元、协调质量矩阵和集中质量矩阵如下所示： （1）协调质量矩阵
位移插值函数是 N N 1 N 2 N 3N 4（2.7）
有限元动力学问题有限单元法
动力学问题在物理领域中也有着广泛的应用，如力学、电磁学、光学等。例如，力学中的弹性力学问题、电磁学中的 电磁场问题、光学中的光束传播问题等。
其他领域
动力学问题在其他领域中也有着广泛的应用，如生物学、化学、地球科学等。例如，生物学中的生物力 学问题、化学中的化学反应动力学问题、地球科学中的地震动力学问题等。
03
有限元方法在多个领域都有广泛的应用，如机械、建筑、 航空航天、电子等。通过对不同领域动力学问题的有限元 分析，可以为相关领域的研究和应用提供重要的参考和指 导。
研究限制与不足
有限元方法虽然具有广泛的应用前景，但仍存在一些 限制和不足之处。例如，对于一些复杂结构和多尺度 问题，有限元方法的计算量和计算成本可能会较高， 需要进一步优化算法和计算流程。
有限元方法是一种有效的数值计算方法，可以精确地解决 结构动力学问题。通过对结构进行离散化，将连续的物理 问题转化为离散的数学问题，可以更方便地进行数值计算 和模拟。
02
有限元方法具有广泛的适用性，可以应用于各种材料和结 构的动力学问题。通过对不同材料和结构的有限元分析， 可以得到其动力学特性和响应规律，为工程设计和优化提 供依据。
02
有限元法基础
有限元法概述
有限元法是一种数值分析方法，用于 求解各种物理问题，如结构力学、流 体动力学、热传导等。它通过将连续 的求解域离散化为由有限个简单单元 组成的集合，从而将连续的偏微分方 程转化为离散的线性方程组，降低了 问题的复杂性和难度。
VS
有限元法在工程领域应用广泛，可以 用于分析复杂结构、设备和系统的动 力学行为，进行结构优化和设计等。
04
有限元法在动力学问 题中的应用
动力学问题的有限元法求解步骤
基于有限元方法的结构动力学分析
基于有限元方法的结构动力学分析随着现代科技的发展，结构动力学分析成为工程领域中不可或缺的重要环节。
结构动力学分析旨在研究结构在外界荷载作用下的动态响应，以评估其安全性和可靠性。
有限元方法作为一种常用的数值分析方法，在结构动力学分析中具有广泛的应用。
本文将深入探讨基于有限元方法的结构动力学分析的原理和应用。
一、有限元方法简介有限元方法是一种通过将复杂连续体分割成若干有限个简单元素，然后在每个单元上建立适当的数学模型，进而建立总体的数学模型和求解方法的数值分析方法。
有限元方法在数学模型中引入适当的近似，以求解真实问题的近似解。
其基本思想是将连续体离散化成若干个有限个形状简单、性质相同的基本单元，再根据相邻两个基本单元之间的相容条件，将基本单元联系在一起，组成复杂的结构体系。
二、结构动力学分析方法1. 模态分析方法模态分析是结构动力学中常用的分析方法之一。
它通过求解结构的特征值和特征向量，得到结构在固有频率下的振型和振动模态，从而揭示结构动力特性。
模态分析在设计中起到了重要的作用，能够帮助工程师判断结构的固有频率和振型是否满足要求。
2. 静力分析方法静力分析是结构动力学分析的基础，它用于求解结构在静力荷载作用下的应力和位移。
通过静力分析，可以评估结构的强度和稳定性，进而进行设计和优化。
3. 动力响应分析方法动力响应分析是结构动力学分析的核心内容，主要研究结构在外界动力荷载作用下的响应情况。
这种分析方法可以帮助工程师评估结构的动力性能，如位移、加速度和应力等。
三、有限元方法在结构动力学中的应用有限元方法在结构动力学分析中的应用广泛，可以模拟各种结构的动态响应。
例如，有限元方法可以用于分析建筑物在地震作用下的响应，以评估结构的抗震性能。
此外，有限元方法还可以用于模拟机械设备、桥梁和航天器等工程结构在振动荷载下的响应。
在使用有限元方法进行结构动力学分析时，需要注意选择适当的数学模型和边界条件，并合理选择有限元单元的类型和尺寸。
结构动力学问题的有限元法
二、单元分析
单元分析旳任务仍是建立单元特征矩阵，形成单元特征方程。 动态分析中，单元特征矩阵：刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
动态分析中，仍采用虚位移原理建立单元特征矩阵。
在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 qe ，则单元 内也产生相应旳虚位移 d 和虚应变 。单元内产生旳虚应变能为:
式中，ω为简谐振动圆频率；{Φ}为节点振幅列向量。
将解代入振动方程中，同步消去因子ejωt，可得
K 2 M 0
上式为一广义特征问题。根据线性代数可知，求解该问题能够求出n个特
征值
12
,
12
,,
2 n
和相相应旳n个特征向量
1,2 ,n 。其中特
征值ωi(i=1,2,…..,n)就是构造旳i阶固有频率，特征向量{Φi} i(i=1,2,…..,n)就是构造
三、总体矩阵集成 总体矩阵集成旳任务是将各单元特征矩阵装配成整个构造旳特征矩阵，
从而建立整体平衡方程，即
M q Cq K q Rt
式中，{q}为所以节点位移分量构成旳n阶列阵，n为构造总自由度数；
R
t
n
Ri
t
（i为节点数），称为节点载荷列阵；[K]、[M]、[C]
分别为构i造1 旳刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
旳i阶模态振型。
振型{Φi}是构造按频率ωi振动时各自由度方向振幅间旳相对百分比关系， 它反应了构造振动旳形式，并不是振幅旳绝对大小。
固有特征分析实际上就是求解广义特征值问题。求解旳数值措施主要有 1、变换法 基本思想是经过一系列矩阵变换，将矩阵[M][K]化为对角阵，
k11
K d
k 22
5 动态分析有限元法
动力学有限元问题的龙格库塔法 知乎
动力学有限元问题的龙格库塔法知乎动力学有限元问题的龙格库塔法1. 介绍动力学有限元问题是一类涉及结构物或系统在时间变化下的运动和响应的问题。
为了解决这类问题，我们可以使用数值方法，其中最常用的之一是龙格库塔法（Runge-Kutta method）。
本文将探讨龙格库塔法在解决动力学有限元问题中的应用，并对其进行深入思考和全面分析。
2. 龙格库塔法的基本原理和应用龙格库塔法是一种数值求解常微分方程的方法，通过迭代逼近来计算方程的数值解。
它的优点在于能够准确地模拟系统的动态行为，并且对于非线性问题也有较好的适用性。
在动力学有限元问题中，我们通常需要求解结构物或系统在时间上的响应，而龙格库塔法可以提供相对精确的数值计算结果。
3. 动力学有限元问题在动力学有限元问题中，我们需要考虑结构物或系统在外部作用下的运动和响应。
这通常涉及到求解质点、刚体或弹性体的运动方程。
通过建立合适的模型和边界条件，我们可以得到动力学方程。
通过数值方法求解这些方程，我们可以得到系统在一段时间内的响应。
4. 龙格库塔法的步骤和计算过程龙格库塔法的基本步骤包括选择适当的时间步长和计算时间步数，以及计算中间步骤的函数值。
具体来说，龙格库塔法将时间区间划分为若干个小时间步，并通过迭代逼近的方式计算每个时间步的系统响应。
这个过程可以通过多种不同的方法进行，其中最常用的是四阶龙格库塔法。
5. 龙格库塔法的优点和缺点龙格库塔法作为数值求解常微分方程的方法，具有一定的优点和缺点。
其优点在于能够准确地模拟系统的动态行为，对于非线性问题也有较好的适用性。
而缺点在于需要选择合适的时间步长和计算步数，以及计算量较大。
在处理某些特殊问题时，龙格库塔法可能会出现数值不稳定或数值误差较大的情况。
6. 对龙格库塔法的个人观点和理解在我个人看来，龙格库塔法是一种非常有效的数值求解方法。
它可以帮助我们更好地理解和分析动力学有限元问题，提供精确的数值计算结果。
通过选择适当的参数和方法，我们可以获得准确的结果，并在实际工程和科学研究中得到有效的应用。
有限元法在结构力学分析中的应用
有限元法在结构力学分析中的应用有限元法是一种经典的结构力学分析方法。
在结构力学领域中，有限元法可以用来解决许多静力学和动力学问题。
本文将探讨有限元法在结构力学分析中的应用。
一、有限元法的基本原理有限元法是一种数值分析方法，可以用来解决大型结构的力学问题。
它的基本原理是将结构分割成一个个的单元，每个单元内的力学问题可以用简单的数学公式来描述。
然后将所有单元的力学问题集成到一起，形成一个大的数学模型。
通过数学计算，可以获得结构的应力、应变、变形等力学参数。
有限元法的优点在于它可以解决复杂结构的力学问题。
例如，有限元法可以用来分析汽车、航空器、建筑物等结构中的应力、应变、变形和振动等问题。
此外，有限元法具有高精度、高效率和高灵活性等特点，可以快速、准确地分析各种结构的力学性能。
二、有限元法在结构力学中的应用有限元法在结构力学中的应用非常广泛。
下面我们来具体看一下有限元法在结构力学分析中的应用案例。
1、建筑物结构的力学分析建筑物是大型结构中的一个重要领域。
有限元法可以用来分析各种建筑物的力学性能，例如建筑物的强度、振动、承载能力等。
通过有限元法可以模拟建筑物在地震、风力等环境下的响应，确定建筑物的结构安全性。
2、航空器的强度分析航空器飞行过程中面临各种力学环境，例如重力、空气阻力等。
有限元法可以用来分析航空器结构在高速、高空环境下的应力和变形情况。
从而确定航空器的强度和安全性。
3、机器设备的振动分析机器设备在运行过程中会产生振动，有可能对设备的安全和稳定性带来影响。
有限元法可以用来分析机器设备的振动情况，在设计过程中优化设备结构，避免发生振动破坏的危险。
总之，有限元法在结构力学分析中的应用非常广泛。
有限元法的基本原理简单，但是要想将其用于具体的问题需要进行复杂的计算。
因此，有限元法在结构力学分析中的应用需要具有一定的专业知识和技能。
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• 对于上述后两类问题，描述质点平衡和运动的微分方程 相同，包含惯性力项和阻尼力项。其数值求解方法主要 是有限元法。
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第二节 动力学问题的有限元方程
• 在连续介质的动力学问题中，描述力学参量的坐标是 四维：3个空间坐标和一个时间坐标。进行有限元法求 解时，只对空间区域进行离散化，得到离散多自由度 系统的动力学模型。
第六单元 动力学问题的有限元法
第一节 变形体动力学问题概述
• 变形体动力学问题在工程和科学问题中非常普遍。该类 问题由随时间变化的载荷或边界条件产生。
• 这类动力学问题涉及的对象包括各种机械零部件、工程 结构、弹性介质。
• 根据问题的特点和载荷及受力体的动态特性，一般意 义上的变形体动力学问题按如下三个途径处理。
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• 当求解该微分方程组，得出节点位移响应后，其它计 算步骤与静力分析相同。
• 有限元动力学方程的求解虽然可以采用常规的常微分 方程组解法，但由于实际问题有限元模型的阶数往往 很高，用常规方法不经济，通常采用一些对有限元方 程有效的解法，主要分为两类：直接积分法和振型叠 加法。
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第三节 质量矩阵和阻尼矩阵
❖ 至于哪些问题可作准静态来处理，需要综合考虑分析目 的与精度要求，构件的尺度和动态特性（固有振动周 期），载荷的特性（上升前沿和作用时间），计算机资 源情况等。
3
2) 结构动力学问题 ❖ 该领域研究下列问题：弹性结构（系统）的自由振动 特性（频率和振型）分析；瞬态响应分析；频率响应 分析；响应谱分析等。
❖ 就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载 荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是， 载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大 于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作 用随时间剧烈变化的载荷。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
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3) 弹塑性动力学问题 ❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击， 人工地震勘探，无损探伤等。 ❖ 这类问题的研究要深入到介质中的弹塑性波的传播过 程以及考虑波动效应前提下介质中应力应变的响应。 ❖ 这类问题中载荷的特点是构件上载荷作用前沿时间远 少于应力波在构件中的传播时间。该状态通常由构件 高速碰撞或爆炸载荷产生。
1、协调质量矩阵和集中质量矩阵
上节导出的单元质量矩阵为： Me
NT NdV
Ve
• 该矩阵称为协调质量矩阵或一致质量矩阵。因为它和刚 度矩阵依据同样的原理、过程和插值函数导出，还表示 质量在单元上呈某种分布。
• 此外，有限元中还经常采用集中质量矩阵，它是一个对 角矩阵，由假定单元质量集中在节点上得到。
Ce NT NdV Ve
——单元阻尼矩阵
Qe NTfdV NT TdS ——单元等效节点力向量
Ve
Se
9
• 如果忽略阻尼，则结构动力学方程简化为：
M a(t) K a(t) Q(t)
• 上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动 方程。
• 从动力学方程导出过程可以看出，动力学问题的有限元 分析中，由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力，从而 引入了质量矩阵和阻尼矩阵，运动方程是耦合的二阶常 微分方程组，而不是代数方程组。该方程又称为有限元 半离散方程，因为对空间是有限元离散的，对时间是连 续的。
12
• 对于3节点三角形单元，按上述公式计算得到的一致质量 矩阵为：
• 该单元的集中质量矩阵为：
13
• 实际应用中，两种质量矩阵都有应用，得到的计算结果 相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化，提 高计算效率，由此得到的自振频率常低于精确解。
• 在波传播问题和高速瞬态非线性分析中，通常采用显式 动力学求解方法配合使用线性位移单元和集中质量阵。
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2、阻尼矩阵
单元阻尼矩阵：
• 称为协调阻尼矩阵。这种阻尼是由阻尼力正比于质点 运动速度得到的，属于粘性阻尼。显然，这种阻尼阵 与质量矩阵成正比。
• 对结构而言，阻尼并非粘性的，而主要是由于材料内 部摩擦效应引起的能量耗散，但这种耗散机理尚未完 全清楚，更难以用数学模型表达，故通常假设这种情 况的阻尼力正比于应变速率，从而可导出比例于单元 刚度矩阵的单元阻尼阵，大多数情形下足够精确。
1
1) 准静态问题
❖ 指边界条件和/或体力变化缓慢，或者物体内加速度分 布均匀等类型的问题。这类变形体问题的平衡微分方程 中忽略了惯性项，但载荷是时间的函数。在某时刻t， 采用动静法将整体惯性力转化为体力，或者忽略惯性力。 对应此刻载荷的静力学解作为t时刻的解。工程上可取 随时间变化载荷的最大值的静力学解作为问题的准静态 解。
❖ 尽管这种静态情况在实际上并不存在，但作为一种基本 力学模型，在工程实践上具有重要意义。很多实际问题 可近似归入准静态问题，而满足工程上的精度要求。
2
❖ 通过这种近似处理，可以避免大量的动力学模型解算， 而在有限的计算机资源下，可把实际问题的模型在准静 态假设前提下考虑得更细致、更实用。在许多情况下， 由此带来的对实际情况的逼近将大大抵消由于准静态假 设产生的误差。
wi (t)
7
• 为建立有限元动力学响应控制方程，利用达朗倍尔原
理，在每个时刻 t，将连续介质中质点加上惯性力 u 和阻尼力 u ，则系统的动力学问题转化为等效静
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
V T dV V uT ( f u u)dV S uT T dS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离 散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
M a(t) C a(t) K a(t) Q(t)
方程中的系数矩阵分别为：系统质量矩阵，阻尼 矩阵，整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。
8
• 上述矩阵由相应的单元矩阵组集而成：
M Me K Ke C Ce Q Qe
其中：
Me NT NdV Ve
Ke BT DBdV Ve
——单元质量矩阵 ——单元刚度矩阵
• 其有限元法步骤与静力学问题相同。只是在单元上对 随时间变化的节点位移进行插值，得到单元内随时间 变化的假设位移场：
u N ae
u(x, y, z, t)
u
பைடு நூலகம்
v( x,
y,
z, t)
w( x, y, z, t)
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