动力学问题的有限元法

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❖ 就结构的瞬态响应分析而言,典型的有结构在冲击载 荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是, 载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近,远大 于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作 用随时间剧烈变化的载荷。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
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3) 弹塑性动力学问题 ❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域,如高速碰撞,爆炸冲击, 人工地震勘探,无损探伤等。 ❖ 这类问题的研究要深入到介质中的弹塑性波的传播过 程以及考虑波动效应前提下介质中应力应变的响应。 ❖ 这类问题中载荷的特点是构件上载荷作用前沿时间远 少于应力波在构件中的传播时间。该状态通常由构件 高速碰撞或爆炸载荷产生。
Ce NT NdV Ve
——单元阻尼矩阵
Qe NTfdV NT TdS ——单元等效节点力向量
Ve
Se
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• 如果忽略阻尼,则结构动力学方程简化为:
M a(t) Baidu Nhomakorabea a(t) Q(t)
• 上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动 方程。
• 从动力学方程导出过程可以看出,动力学问题的有限元 分析中,由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力,从而 引入了质量矩阵和阻尼矩阵,运动方程是耦合的二阶常 微分方程组,而不是代数方程组。该方程又称为有限元 半离散方程,因为对空间是有限元离散的,对时间是连 续的。
第六单元 动力学问题的有限元法
第一节 变形体动力学问题概述
• 变形体动力学问题在工程和科学问题中非常普遍。该类 问题由随时间变化的载荷或边界条件产生。
• 这类动力学问题涉及的对象包括各种机械零部件、工程 结构、弹性介质。
• 根据问题的特点和载荷及受力体的动态特性,一般意 义上的变形体动力学问题按如下三个途径处理。
❖ 尽管这种静态情况在实际上并不存在,但作为一种基本 力学模型,在工程实践上具有重要意义。很多实际问题 可近似归入准静态问题,而满足工程上的精度要求。
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❖ 通过这种近似处理,可以避免大量的动力学模型解算, 而在有限的计算机资源下,可把实际问题的模型在准静 态假设前提下考虑得更细致、更实用。在许多情况下, 由此带来的对实际情况的逼近将大大抵消由于准静态假 设产生的误差。
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1) 准静态问题
❖ 指边界条件和/或体力变化缓慢,或者物体内加速度分 布均匀等类型的问题。这类变形体问题的平衡微分方程 中忽略了惯性项,但载荷是时间的函数。在某时刻t, 采用动静法将整体惯性力转化为体力,或者忽略惯性力。 对应此刻载荷的静力学解作为t时刻的解。工程上可取 随时间变化载荷的最大值的静力学解作为问题的准静态 解。
wi (t)
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• 为建立有限元动力学响应控制方程,利用达朗倍尔原
理,在每个时刻 t,将连续介质中质点加上惯性力 u 和阻尼力 u ,则系统的动力学问题转化为等效静
力学问题。对等效系统应用虚功原理:
V T dV V uT ( f u u)dV S uT T dS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程,并考虑到变分的任意性,得到离 散系统控制方程——结构有限元动力学方程:
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• 对于3节点三角形单元,按上述公式计算得到的一致质量 矩阵为:
• 该单元的集中质量矩阵为:
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• 实际应用中,两种质量矩阵都有应用,得到的计算结果 相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化,提 高计算效率,由此得到的自振频率常低于精确解。
• 在波传播问题和高速瞬态非线性分析中,通常采用显式 动力学求解方法配合使用线性位移单元和集中质量阵。
❖ 至于哪些问题可作准静态来处理,需要综合考虑分析目 的与精度要求,构件的尺度和动态特性(固有振动周 期),载荷的特性(上升前沿和作用时间),计算机资 源情况等。
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2) 结构动力学问题 ❖ 该领域研究下列问题:弹性结构(系统)的自由振动 特性(频率和振型)分析;瞬态响应分析;频率响应 分析;响应谱分析等。
• 其有限元法步骤与静力学问题相同。只是在单元上对 随时间变化的节点位移进行插值,得到单元内随时间 变化的假设位移场:
u N ae
u(x, y, z, t)
u
v( x,
y,
z, t)
w( x, y, z, t)
ae aa12 an
ai
ui vi
(t (t
) )
(i
1,2,
, n)
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• 对于上述后两类问题,描述质点平衡和运动的微分方程 相同,包含惯性力项和阻尼力项。其数值求解方法主要 是有限元法。
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第二节 动力学问题的有限元方程
• 在连续介质的动力学问题中,描述力学参量的坐标是 四维:3个空间坐标和一个时间坐标。进行有限元法求 解时,只对空间区域进行离散化,得到离散多自由度 系统的动力学模型。
M a(t) C a(t) K a(t) Q(t)
方程中的系数矩阵分别为:系统质量矩阵,阻尼 矩阵,整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。
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• 上述矩阵由相应的单元矩阵组集而成:
M Me K Ke C Ce Q Qe
其中:
Me NT NdV Ve
Ke BT DBdV Ve
——单元质量矩阵 ——单元刚度矩阵
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2、阻尼矩阵
单元阻尼矩阵:
• 称为协调阻尼矩阵。这种阻尼是由阻尼力正比于质点 运动速度得到的,属于粘性阻尼。显然,这种阻尼阵 与质量矩阵成正比。
• 对结构而言,阻尼并非粘性的,而主要是由于材料内 部摩擦效应引起的能量耗散,但这种耗散机理尚未完 全清楚,更难以用数学模型表达,故通常假设这种情 况的阻尼力正比于应变速率,从而可导出比例于单元 刚度矩阵的单元阻尼阵,大多数情形下足够精确。
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• 当求解该微分方程组,得出节点位移响应后,其它计 算步骤与静力分析相同。
• 有限元动力学方程的求解虽然可以采用常规的常微分 方程组解法,但由于实际问题有限元模型的阶数往往 很高,用常规方法不经济,通常采用一些对有限元方 程有效的解法,主要分为两类:直接积分法和振型叠 加法。
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第三节 质量矩阵和阻尼矩阵
1、协调质量矩阵和集中质量矩阵
上节导出的单元质量矩阵为: Me
NT NdV
Ve
• 该矩阵称为协调质量矩阵或一致质量矩阵。因为它和刚 度矩阵依据同样的原理、过程和插值函数导出,还表示 质量在单元上呈某种分布。
• 此外,有限元中还经常采用集中质量矩阵,它是一个对 角矩阵,由假定单元质量集中在节点上得到。
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