新编浙江省杭州市高一下期末数学试卷(有答案)

浙江省杭州市高一第二学期期末考试
数学试卷
一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）
1．函数f（x）=的定义域是（）
A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]
2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）
A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）
3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）
A．B．﹣C．2 D．﹣2
4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）
A．B．1 C．D．2
6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）
A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx
7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）
A．B．C．D．
8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）
A．存在实数a，使f（x）为偶函数
B．存在实数a，使f（x）为奇函数
C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增
D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减
9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）
10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）
A．1 B．3 C．5 D．7
12．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）
A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π
14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）
A． B．C．D．
15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零
点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）
A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）
16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．
17．计算：=（）
A．B．C．D．﹣
18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）
A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]
19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；
④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）
A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤
21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）
22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）
A．1 B．C．2 D．
23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围
是（）
A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）24．函数的值域为（）
A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]
25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．上述三种情况都有可能
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．
27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=．
28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．
29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．
三、解答题（共3小题，满分30分）
31．已知向量，如图所示．
（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；
（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．
32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．
浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）
1．函数f（x）=的定义域是（）
A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，
即x≥1，
故函数的定义域为[1，+∞），
故选：A
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）
A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，
求得x=，故函数的对称中心为（，0），k∈z，
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．
【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），
且∥，
∴﹣1m﹣2n=0
∴=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．
4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1，
∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增
∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0
∴函数在（1，2）上有唯一的零点
故选：B．
【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．
5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）
A．B．1 C．D．2
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．
【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），
∴k=1，=，∴α=﹣；
∴k+α=1﹣=．
故选：A．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）
A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论
【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；
对于B，函数是偶函数，故不正确；
对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；
对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确
故选：D．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键
7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）
A．B．C．D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．
【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]，
所以向量，的夹角为；
故选：A．
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．
8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）
A．存在实数a，使f（x）为偶函数
B．存在实数a，使f（x）为奇函数
C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增
D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．
【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；
B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；
∴x2=0，x≠0时显然不成立；
∴该选项错误；
C．f（x）的对称轴为x=；
当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；
D．根据上面a＜0时，f（x）在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误．
故选A．
【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．
9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．
【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，
∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，
即f（x）对应的图象如图：
则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：
或，
即或，
即x＞7或﹣7＜x＜1，
故选：C
【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．
10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．
【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）
因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，
∴=，解得a=±2．
故选：C．…（4分）
【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）
A．1 B．3 C．5 D．7
【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．
【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，
如图所示，
结合图象可得它们的图象的交点个数为1，
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
12．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．
【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，
即a＞1，b＜0，0＜c＜1，
∴a＞c＞b，
故选：C
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）
A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），利用y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，可得结论．
【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），
又∵y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣sin（π+﹣2x）=sin（），
∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．
故选：A．
【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．
14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）
A． B．C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，
在令x取特殊值，选出答案．
【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，
∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，
综上只有A符合．
故选：A
【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．
15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零
点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）
A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围．
【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，
由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，
当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|
当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，
其图象如图所示，
，
∵f（4﹣2）=2﹣2，
由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，
不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，
则由2=m得x1=，
由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，
由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，
∴x1+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，
当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2，
∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2．
故选：C．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）
A．B．C．1 D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．
【解答】解：如图所示，
∵M是△ABC边BC上任意一点，
设=m+n，∴则m+n=1，
又∴AN=2NM，
∴=，
∴==m+n=λ+μ，
∴λ+μ=（m+n）=．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．17．计算：=（）
A．B．C．D．﹣
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．【解答】解：===．
故选：A．
【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．
18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）
A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]
【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，
∵区间[a，a+2]上的最小值为4，
∴当1≤a时，y min=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，
当a+2≤1时，即a≤﹣1，y min=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，
当a＜a＜a+2时，y min=f（1）=0≠4，
故a的取值集合为{﹣3，3}．
故选：C．
【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论
19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．
【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，
∴a=2，
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
20．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；
④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）
A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题
【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，
则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，
∴
=
=，
∵共线，
∴存在实数μ，使得，
∵N为AB的中点，
∴μ'
又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，
∴由正弦定理知，AM=BM
∴AC≤AM=AB，
故，
∴
=
=
∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，
∴x≥0，y≥0；
∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；
∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．
故选：B．
【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．
21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）
【考点】指数函数综合题．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答
案．
【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，
即m≤=，
∵x∈[0，1]，∴∈[，1]，
则∈[]，
∴∈[]，
则m．
故选：A．
【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．
22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）
A．1 B．C．2 D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用三角形的外心，得到，，两式平方相减化简，得到2，又=||2，得到AB，AC的关系
【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，
，，两式平方相减得2，即2，
又=||2，所以2，所以；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．
23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围
是（）
A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．
【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．
【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；
∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，
∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；
显然可知a=0时方程无解；
故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；
作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，
结合图象可得，
0＜＜1或﹣1＜＜0；
解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；
故选D．
【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．
24．函数的值域为（）
A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]
【考点】函数的值域．
【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．
【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解
【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，
令，
则=
∵，
∴．
函数的值域为[1，2]
故选D
【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．
25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．上述三种情况都有可能
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得2﹣=﹣36，又BC=6，则有||=||2+||2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．
【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：
则OD⊥BC，GD=AD，
∵，，
由=6，
则（）==﹣（）=6，
即﹣（）（）=6，则，
又BC=6，
则有||=||2+||2，
即有C为直角．
则三角形ABC为直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=4．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值．
【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==，
解得：ω=4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．
27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=﹣．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=2，
∴原式====﹣，
故答案为：﹣
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据对数的运算性质计算即可．
【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣，
故答案为：
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．
【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．
∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．
∴=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）
=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ
=，
当且仅当，即时，上式取得最小值．
即的最小值是﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．
【分析】化简a=﹣，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解．
【解答】解：由题意得，
a=﹣
=﹣；
表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，
表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，
如下图，
结合图象可得，
﹣|AB|＜﹣＜|AB|，
即﹣1＜﹣＜1，
故实数a的取值范围是（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】本题考查了数形结合的思想应用．
三、解答题（共3小题，满分30分）
31．已知向量，如图所示．
（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；
（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，
（II）根据向量的运算得出==，=
利用夹角得出cosθ=，求解即可．
【解答】解：（I）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，
（II）设，的夹角θ，
∵||=1，||=2，且与的夹角为45°
∴=1×2×cos45°=，
∴==，
=，（）=1﹣4=﹣3，
cosθ=====．
【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．
32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．
【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．
【专题】三角函数的求值．
【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣，求得α的值，可得tan2α的值．
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵sin（）=cos（），∴2sinαcos+2cosαsin=cosαcos+sinαsin，
化简可得sinα+cosα=0，即tanα=﹣．
又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan=tan=．
（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos+cos2xsin﹣1
=﹣sin2x﹣cos2x﹣1=﹣sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为﹣1．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．
33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．
【考点】分段函数的应用．
【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；
（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，
当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；
当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；
当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；
当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．
综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．
（Ⅱ）f（x）=，
（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，
当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，
即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；
（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣}，
当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），
即f（x）min=，
（3）若﹣a≤﹣3＜，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣，
（4）若≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．
综上可得，f（x）min=．
【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。