[经济学]单纯形法与对偶问题

’小于0，可知
c1≤50时，也就是x1的 目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
j ' min a 1 j 0 50 。这样可以知道当-50≤Δ a ' 1 j
3 50 j ' 50，有 max a 0 1 j 50 同样有 a13 1 a'1 j
δj δj Max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0（其中 k是某个固定的值， j是1到n的所有数） a' a' kj kj
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§1
单纯形表的灵敏度分析
例： 目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下 迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
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第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• §1 • §2 • §3 • §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
3
单纯形表
管
理
运
筹
学
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§1
单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广 矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的 系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了 Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。 要使原来的最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也 就是Ck的增量 Ck≤ - K。
迭代次数 基变量 CB X1 50 X2 100 0 S1 0 1 S2 0 0 S3 0 -1 50 b
2
X1
50
1
S2
X2 ZJ CJ -ZJ
0
100
0
0 50 0
0
1 100 0
-2
0 50
1
0 0
1
1 50 -50
50
250 27500
-50 0
从上表我们可以发现各个松弛变量的Zj值，正好等于相应变量的对偶价格。
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§1
单纯形表的灵敏度分析
单纯形表中的Zj跟对偶价格的关系：
对于含有小于等于号的约束条件，添加松弛变量转化为标准型。这时这个 约束条件的对偶价格就和松弛变量的Zj有关。对偶价格应取松弛变量的Zj 的值。 对于含有大于等于号的约束条件，添加剩余变量化为标准型。这时 这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的 z j有关了。这时约束条件的 对偶价格应取 z j值的相反数- z j 。 对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方 程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变 量的 z j值。
0 C’1 - C’1
1
0 0 0
1
1 -C’1+100 C’1-100
50
250
2
X2 ZJ CJ -ZJ
从δ 3≤0，得到-c1’≤0,即c1’≥0，并且从δ 5≤0，得 到c1’≤100。 那么如果c1’取值超出这个范围，必然存在一个检验数 大于0，我们可以通过迭代来得到新的最优解。
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管
CB 50 0 100
X1 50 1 0 0 50 0
理
X2 100 0 0 1 100 0
运 筹
S1 0 1 -2 0 50
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 -50
b 50 50 250 27500
2
-50
学
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§1
单纯形表的灵敏度分析
对非基变量目标函数系数： C3 我们先对非基变量S1的目标函数的系数C3进行灵敏度分析。 这里δ3=-50，所以当c3的增量Δ c3≤-（-50），最优解不变。 对基变量目标函数系数： c1 再对基变量x1的目标函数的系数c1进行灵敏度分析。 在a11’,a12’,a13’,a14’,a15’中，除了知道a11’和 a13’大于 0， a15
Dk d '1k d '2 k ... d' mk b k d' 2k -1 , 则B b b k d' 3k ... b k d' mk
X B1 b k d'1k X B 2 b k d' 2k 新的最优解为 X'B， 有X'B ... ... X b d' mk Bm k
上节回顾
• • • • 人工变量法（两阶段法） 单纯形法的几种特殊情况 1.无可行解（人工变量不为零） 2.无界解（存在大于零的检验数，并且该列 的系数向量的每个元素aij都小于或等于零， 由于建模错误,遗漏约束条件所致） • 3.无穷多最优解（对于某个最优的基本可行 解，如果存在某个非基变量的检验数为零， 则此线性规划问题有无数最优解）
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运
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§1
单纯形表的灵敏度分析
当bj中的第k项bK 变成 bk bk 时，也就是原来的初始单 纯形表中的b向量变成了b’向量
0 0 ... 则有b' b b 令b bk ... 0
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理
运
筹
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管
理
运
筹
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§1
迭代次数 基变量 X1
单纯形表的灵敏度分析
CB X1 1 X2 0 S1 0 1 S2 0 0 S3 0 -1
另外一种求最优解不变的C’1变化范围方法 在最终的单纯形表中，用C’1代替原来的C1=50,计算得表
C’1 100 b 50
S2
0
100
0
0 C’1 0
0
1 100 0
-2
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上节回顾
• 4.退化问题（求出基变量过程中存在两个以 上的最小比值，这样在下一次迭代就有一个 或多个基变量等于零，造成的后果是：最优 值在经过了一次或几次迭代而没有改善，降 低了单纯型算法的效率） • 5.针对退化问题，讲解了一个迭代循环的例 子，引出了勃兰特法则： • 按照决策变量、松弛变量、人工变量顺序排 序。不管是检验数相等，还是比值相等，都 选下标最小的为入基变量或出基变量。 • 时间问题，习题没有做。
实际意义可以描述为：设备台时数在250与325之间变化，则设备台时
数的对偶价格不变，都为每台设备台时50元。
管
理
运
筹
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§1
下面分两种情况讨论
管
理
运
筹
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§1
约束条件 ≤ ≥
单纯形表的灵敏度分析
对偶价格的取值
最终单纯形表对于不同约束类型的对偶价格的取值。
等于这个约束条件对应的松弛变量的 等于这个约束条件对应的剩余变量的 等于这个约束条件对应的人工变量的
z j 值,即为 j 的相反数 z j 值的相反数 zj 值
=
常数项的灵敏度分析-》使对偶价格不变的bj灵敏度分析-》知道对偶价格Zj等于Cb*Pj的转置。 我们知道单纯型法是增广矩阵的行的初等变换，bj的变化并不影响系数矩阵的变化。所以Pj 是不变的。 所以要使对偶价格不变，只要使Cb不变就可以，就是最终单纯形表中的最优基不变，即最终 单纯型表中的基变量还是基变量，怎么保证基变量还是基变量？（即最优基不变，所得 到的基本解是可行解，也就是基变量的值仍然大于等于零） 所以原问题转化为：使最优解的所有基变量不变，且所得的最优解仍然是可行的Bj的变 化范围。
0
0 1 0 0 0
0
-1 1 1 50 -50
b 50 50 250 27500
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§1
单纯形表的灵敏度分析
我们对b1进行灵敏度分析，因为在第一个约束方程中含有松弛变量S1,
T 所以松弛变量在最终单 纯形表中的系数列（ 1 ， 2， 0） 就是B-1的第一列。
x 50 因为d'11 1 0, d' 21 2 0, X1 50, X 2 50, 可以Max Bi | d 'i1 0 50 1 d i1 x 50 而Min Bi | d 'i1 0 25, 故有当 50 b1 25,即250 b b 325第一个 d i1 2 约束条件的对偶价格不 变。
（k的取值固定的值，i的取值是1到m） 下面我们仍以第二章例1在最终单纯形表上对b1进行灵敏度分析。 最终单纯形表如下所示：
迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
管 理
CB 50 0 100
X1
X2
S1
S2
S3
50
1 0 0 50 0
运
100
0 0 1 100 0
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0
1 -2 0 50 -50
δ j - ΔCk a'kj 0, ΔCk a'kj δ j a'kj δj a'kj , 这里 , 这里
当j k时，δ'k C k ΔCk Z k ' C k ΔCk Z k ΔCk a'kk ,因为X K 是基变量， 知δ k 0，a'kk 1，可知δ'k 0。所以j k这种情况最优解不变。 要使得最优解不变，对 于除了a'kk 以外的所有大于 0的a'kj ，满足ΔCk 满足ΔCk δj a'kj ，所以可知ΔCk的变化范围为 δj a'kj ，所有小于0的a'kj
§1
单纯形表的灵敏度分析
这样在最终单纯形表中基变量XB的解就变成了 X'B B-1.(b b) B-1 b B-1 b。 如要使XB成为可行解，只要使上述等式的右边>0，就可求出 bk 的取值范围，也就是使得第K个约束条件的对偶价格不变的 bk的变化范围。 b k d'1k
T
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理
运
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§1
根据上式可知 检验数
单纯形表的灵敏度分析
K时，有

J
(J=1,2,…..,M)变成了 ’J,只要当J
J
’ J=CJ-Z’J=
当a'kj 0时, ΔCk 当a'kj 0时, ΔCk δj
-
’J <=0 CK a’Kj 。要使最优解不变，
δj a'kj δj a'kj 0; 0;
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常数项灵敏度分析之前的一点补充知识：
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理
运
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补充知识
管
理
运
筹
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12
补充知识
管
理
运
筹
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13
补充知识
管
理
运
筹学14Fra bibliotek补充知识
管
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运
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补充知识
管
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§1
单纯形表的灵敏度分析
二、约束方程中常数项的灵敏度分析（使对偶价格不变的b的 变化范围） 回想一下：第2章例一各个约束的对偶价格：
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§1
允许变化范围是
单纯形表的灵敏度分析
要使X'B 0也就是各个分量均不小于0，用一个数学式子来表示b k的 x x Max Bi | d 'ik 0 b k Min Bi | d 'ik 0 d 'ik d 'ik
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• 2.在最终的单纯形表中， X k是基变量 • 当Ck变成Ck+ Ck时，最终单纯形表中约束方程 的增广矩阵不变，但是基变量的目标函数的系数 CB变了，则ZJ(J=1,2,…..,N)一般也变了，不妨设 CB=(CB1, CB2。。。, Ck,…， CBm),当CB变成 =(CB1, CB2。。。,Ck+ Ck,…,CBm),则： ZJ=(CB1, CB2。。。, Ck,…,,… ，CBm)(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj) • Z’J=(CB1, CB2。。。, Ck+ Ck,…， CBm)(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj) = • ZJ + Ck a’Kj