过去进行时知识点总结及经典习题(含答案)经典
过去进行时知识点总结及经典习题(含答案)经典
一、过去进行时
1．- Where are you going, Bob?
- To go hiking. Eric ________ for me at the school gate!
A. was waiting
B. waits
C. waited
D. is waiting
【答案】 D
【解析】【分析】句意：——你要去哪里, 鲍勃? ——去远足, Eric 正在学校门口等我。根据上句Where are you going, Bob? 和答语To go hiking．推测下句句意：Eric 正在学校门口等我．故用现在进行时态：am/are is+现在分词；故选D。
【点评】现在进行时
2．—Why didn't you pick up my phone yesterday evening?
—Oh, I _____ in the kitchen at that time.
A. am cooking
B. cooks
C. was cooking
D. cooked
【答案】 C
【解析】【分析】句意:一昨天晚上你为什么不接我的电话?一哦，那时我在厨房里做饭。根据句意昨天晚上你打电话来时，我正在做饭。一个过去动作发生时，另一个过去动作正在发生，把正在发生的动作用成过去进行时态。故选C。
3．—Oh! What's wrong with your finger?
— I hurt it while I ___________ a model plane.
A. made
B. was making
C. am making
D. make
【答案】 B
【解析】【分析】句意：——哦！你的手指怎么啦？——我在制作飞机模型时受伤了。while引导的状语从句是进行时，此处指在过去制作飞机模型时受伤，句子时态用过去进行时，故选B。
【点评】此题考查过去进行时。注意while和进行时态连用。
4．I saw him in the library yesterday. He a book at that moment.
A. reads
B. is reading
C. was reading
D. will read
【答案】 C
【解析】【分析】at that moment 意为“在那时”，表示过去的时间点，表示过去某一时间正在进行的动作,用过去进行时，故选C。句意是：我昨天在图书馆里看见他了，那时他正在
看书。
【点评】本题考查过去进行时的用法。
5．—I went to your office at 9: 00 yesterday morning, but you were not in.
—Sorry, I ________ with the manager in the meeting room at that time.
A. am talking
B. was talking
C. were talking
D. have talked
【答案】 B
【解析】【分析】句意：——昨天早上九点我去了你的办公室，但是你不在。——对不起，在那时我正在会议室和经理说话。A.现在进行时；B.过去进行时；C.过去进行时；D.现在完成时。根据at 9: 00 yesterday morning，可知是过去进行时，结构是was/were+doing，主语是I，所以用was，talk的ing是talking，故选B。
【点评】考查过去进行时，注意平时识记其结构，理解句意。
6．—Sam, what will the weather be like tomorrow?
—Sorry, Mum. I didn't watch the weather forecast just now. I________a football match.
A. was watching
B. am watching
C. would watch
D. will watch
【答案】 A
【解析】【分析】句意：---山姆，明天天气怎么样？---抱歉妈妈，我刚才没有看天气预报，我在看足球赛。根据前一句的just now可知此处用过去的某种时态。根据语境可知，山姆在播放天气预报的时候正在看足球赛，错过了天气预报，所以此处用过去进行时，故答案为A。
【点评】考查动词的时态，理解语境，根据时态的定义去确定时态的形式。
7．—Could you tell me where you found Miss Gao just now?
—Certainly. In the principal's office. They ________ happily at that time.
A. are talking
B. have talked
C. were talking
【答案】C
【解析】【分析】句意：--你能告诉我刚才你在哪里找的高小姐了吗？--当然可以。在校长办公室。那个时候他们正在愉快的交谈。A. are talking 现在进行时；B. have talked现在完成时；C. were talking过去进行时。根据语境，可知用过去进行时，故选C。
【点评】本题考查时态辨析。以及are talking；have talked；were talking三种时态的区别和用法。
8．—Did you hear someone knocking at the door just now?
— No, sir. I music.
A. was listening to
B. listened to
C. am listening to
D. would listen to
【答案】A
【解析】【分析】句意：——刚才你听见有人在敲门吗？——没有，先生。我正在听音
乐。根据句意可知这里是指有人敲门的那一刻正在听音乐，是过去某个时间点正在进行的动作，应该用过去进行时表达：was/were +doing来表示。故答案为A。
【点评】考查过去进行时，用was/were +doing 来表达。
9．Alice_ for the bus at seven yesterday evening.
A. waited
B. was waiting
C. is waiting
【答案】 B
【解析】【分析】句意:昨天晚上七点爱丽丝在等公交车。如果时间状语是yesterday evening就用一般过去时。有过去的某个时间点时，表示过去某时刻正在发生的动作，用过去进行时态、故选B。
10．—Were you at home at 9 o'clock last night？
—Yes, I a shower at that time.
A. took
B. was taking
C. was taken
D. am taking
【答案】 B
【解析】【分析】句意：——你昨晚9点在家吗？——是的，那时我正在洗澡。根据at 9 o'clock last night判断句子时态是过去进行时，过去进行时的构成：were/was+doing，故选B。
【点评】此题考查过去进行时。根据时间状语确定句子时态。
11．Peter with his classmates ________ for the bus when the earthquake happened.
A. is waiting
B. was waiting
C. are waiting
D. were waiting
【答案】 B
【解析】【分析】句意：地震发生时，彼得和他的同学一起等公共汽车。根据when the earthquake happened，可知when引导的时间状语从句，从句用一般过去时，主语用过去进行时，with有就远一致原则，主语是with前的Peter，第三人称单数，故助动词是was，故选B。
【点评】考查时态，注意主谓一致的用法。
12．-- Why did the car hit the boy?
-- Because the driver ______ on the phone at that time.
A. talk
B. is talking
C. was talking
D. have talked
【答案】 C
【解析】【分析】本题考查过去进行时的用法。根据问句中的did和答语中的at that time 可知“司机打电话”是过去正在进行的动作。故答案为C。
13．—Did you notice ________ in her office?
—Yes. She was going over our writing.
A. what was Miss Lin doing
B. what Miss Lin was doing
C. what does Miss Lin do
D. what Miss Lin does
【答案】 B
【解析】【分析】句意：——你注意到林小姐在他办公室了正在干什么吗？——注意到了，她正在为我们的写作进行复习。notice后接宾语从句，从句用陈述句语序，故排除AC，根据 She was going over our writing. 可知宾语从句的语序用过去进行时，故排除D，故选B。
【点评】考查宾语从句。注意宾语从句的用法。
14．—Did you watch the basketball match on TV last night?
—I wanted to, but my father______ his favorite TV program.
A. watched
B. was watching
C. watches
【答案】B
【解析】【分析】句意：—昨天晚上你看电视上的篮球赛了吗？—我想看，但是我爸爸正在看他最喜欢的电视节目。根据句意语境，“我”昨晚想看篮球赛的时候，但是当时父亲正在看他的节目，可知需用过去进行时，was/were doing, 主语是单数，故选B。
【点评】考查动词时态辨析题。根据时间状语判断出句子的时态。
15．——What do you think of the talk show last night?——I didn't watch it. I ______ mum with some chores.
A. helped
B. was helping
C. have helped
【答案】B
【解析】【分析】句意:一一你觉得昨天晚上的谈话节目怎样?一一我没有看，我在帮助妈妈做家务。A. helped 一般过去时，表示过去发生的动作，B was helping 过去进行时，表示过去正在发生的动作;C. have helped 现在完成时，表示已经发生或完成的动作。本题表示谈话节目上演时，我正在帮忙做家务，用过去进行时态，故选B。
16．I saw Sam and David in the playground yesterday afternoon. They ______ games with their classmates then.
A. play
B. will play
C. are playing
D. were playing
【答案】D
【解析】【分析】句意：昨天下午我看到萨姆和大卫在操场上。那个时候他们正在和他们的同班同学玩游戏。A. play一般现在时；B. will play一般将来时；C. are playing 现在进行
时；D. were playing过去进行时。结合语境，可知用过去进行时，故选D。
【点评】本题考查时态辨析。以及play；will play；are playing；were playing四种时态的用法和区别。
17． Last night,thous ands of people ________ to see the stars arrive at the ceremony.（）
A. wait
B. were waiting
C. have waited
【答案】 B
【解析】【分析】句意:明天晚上，成千上万的人等着看明星们到达仪式现场。A. wait一般现在时态，表示经常性，习惯性的动作，B. were waiting 过去进行时态，表示过去正在进行的动作，C: have waited 现在完成时态，表示已经发生或完成的动作。本句表示昨天晚上一直在发生的动作，用过去进行时态，故选B。
18．It when I my homework last night. （）
A. raining, did
B. rained, was doing
C. was raining, do
D. rains, was doing
【答案】 B
【解析】【分析】句意：昨晚当我正在做作业时，下雨了。结合语境可知主句描述的是过去发生的动作，故用一般过去时态。从句中描述的是过去某时正在进行的动作，故用过去进行时态。选Ｂ。
【点评】英语中的时态主要是借助于时间状语与上下文语境来进行判断。解答此类题型，首先要注意句子中的时间状语，如果没有则要通过分析上下文，结合语境来判断句子的时态。英语疑问句中一般具有时态上的对应关系，注意结合这一特点进行区分。
19．——Did you see a girl in yellow pass by ten minutes ago? ——No, sir. I _____ a novel.
A. read
B. am reading
C. would read
D. was reading
【答案】D
【解析】【分析】句意：一十分钟前你看到了一个穿黄衣服的女孩经过吗?一没有，先生。我在看小说。十分钟前我正在看小说，表示过去某时刻正在进行或发生的动作，用过去进行时态，故选D。
20．- You are in a hurry. Where are you going?
- To the cinema. Jim _________ for me there!
A. waits
B. is waiting
C. waited
D. was waiting
【答案】 B
【解析】【分析】句意：——你这么匆忙.——你将要去哪里? 去电影院.Jim正在那儿等我．根据句中信息You are in a hurry．Where are you going? （你这么匆忙．你将要去哪
里? ）及To the cinema．Jim___ for me there推测该句句意：此时此刻Jim正在那儿等我；可知该句用现在进行时态：am/is/are+现在分词；故选B.
【点评】现在进行时
21．The traffic accident happened when Jane's grandmother in the park.
A. were dancing
B. danced
C. is dancing
D. was dancing
【答案】 D
【解析】【分析】句意：当珍的奶奶在公园跳舞的时候，发生了交通事故。交通事故是在珍的奶奶跳舞的过程中发生的，所以应使用过去进行时，Jane's grandmother是单数名词，be的形式为was。故答案是D。
【点评】考查时态辨析及主谓一致。注意过去完成时的结构。
22．What ___ you____ at ten yesterday evening?
A. have, done
B. did ,do
C. were doing
D. will do
【答案】 C
【解析】【分析】句意：昨晚八点你在做什么？本题考查动词的时态。at ten yesterday evening “昨晚八点钟”是过去的一个具体时间点，要求动词用过去进行时。结合句意，故选C.
【点评】考查动词的时态。
23．— Didn't you notice Ted pass by?
— No, I _______ the chalk off the blackboard.
A. was cleaning
B. cleaned
C. am cleaning
D. clean
【答案】 A
【解析】【分析】句意：—难道你没有注意到Ted经过吗？—不，我正在擦黑板上的粉笔。根据语境可知用过去进行时，其结构是was/were doing sth.表示正在做某事。根据题意，故选A。
24．The girl with two cats ____ in the yard when the earthquake happened.
A. was playing
B. is playing
C. are playing
D. were playing
【答案】 A
【解析】【分析】句意：当地震发生的时候，这个女孩正和她的两只猫在院子里玩。根据when the earthquake happened，当地震发生的时候，可知时态为过去进行时was/were+现在分词；with做伴随状语，后面的谓语动词的单复数应与with前面的主语一致，be动词应用单数was，故选A。
【点评】考查过去进行时，注意掌握结构was/were+现在分词。
25．—— How fast when the police stopped you?—— I don't know exactly, but not too fast, I think.
A. were you driving
B. did you drive
C. are you driving
【答案】 A
【解析】【分析】句意：——警察拦你时你开得有多快？——我确实不知道，我认为不太快。表示一个过去动作发生时，另一个过去动作正在发生，用过去进行时态。本题表示“当警察拦你时，你正开得有多快”，用过去进行时态，故选A。
26．The boy with two dogs ________in the yard when the earthquake hit the city.
A. is playing
B. were playing
C. was playing
D. are playing
【答案】 C
【解析】【分析】句意：当地震袭击那座城市的时候，那个和两只狗在一起的男孩正在院子里玩。根据时间状语从句可知主语为过去进行时态，with连接的名词做主语位于要根据前面的名次来确定。主语为这个男孩，第三人称单数，故选C。
【点评】本题考查过去进行时态。过去进行时的构成were/was+doing。
27．—Jim, could you please answer the question?
—Sorry, I ________. Could you say it again?
A. wasn't listening
B. don't listen
C. am not listening
D. won't listen
【答案】 A
【解析】【分析】句意：——吉姆，你能回答这个问题吗？——对不起，我没听。你能再说一遍吗？讲话和没在听两个动作同时发生，讲话已经完成了，因此句子用过去进行时wasn't listening ，故选A。
【点评】考查动词时态。根据语境和上下文的联系确定句子的时态。
28．— I went to your office at 9:00 this morning, but I didn't see you.
— Sorry, I _______ a talk with Mr. Smith in his office.
A. have
B. am having
C. was having
D. had
【答案】 C
【解析】【分析】理解句意：—今天上午九点我去了你的办公室，但是没有看到你。—对不起。我和史密斯先生在他的办公室里谈话。由时间：今天早上九点。可知后句的时态为过去进行时，其结构为：主语+was/were+现在分词。故选C。
【点评】考查动词的时态。
29． It's nice to see you again. We each other since 2014.
A. won't see
B. don't see
C. haven't seen
D. didn't see
【答案】C
【解析】【分析】句意：再一次见到你很高兴，自从2014年我们彼此就没见过面。A，won't see一般将来时。B，won't see一般现在时。C，haven't seen现在完成时。D，didn't see一般过去时。since后跟时间点或者跟一般过去式，要用现在完成时。根据题意，故选C
【点评】本题考查现在完成时。现在完成时构成have+过去分词。
30．----Miss Lin _____ my desk-mate with her lessons when I left school.
----She is really a nice teacher.
A. helps
B. is helping
C. was helping
【答案】 C
【解析】【分析】句意：----当我离开学校时，林老师在帮我的同桌学习功课。----她真是一位好老师。当我离开时，老师正在帮学习，一个过去动作“离开”发生时，另一个过去动作“帮助”正在发生。故用过去进行时态，选C。
二、英语动词的时态
31．—What do you often do at weekends?
—I often ________ my grandparents.
A．visit B．visited C．have visited D．will visit
【答案】A
【解析】
【详解】
句意：你经常在周末做什么？——我经常去看我的爷爷奶奶。
考查句子时态。A. visit 一般现在时；B. visited 一般过去时；C. have visited现在完成时；
D. will visit一般将来时。结合语境可知下文often可知是经常性动作，故用一般现在时态。选A。
32．— Who the classroom tomorrow, Tony?
— Our group.
A．will clean B．cleans C．cleaned D．clear
【答案】A
【解析】
句意：——托尼，明天谁打扫教室？——我们小组。考查一般将来时。根据提示词
tomorrow可知时态用一般将来时，其构成为：will+动词原形；故答案选A。
33．Miss Smith in our school since five years ago.
A．teaches B．taught C．has taught D．is teaching
【答案】C
【解析】句意：Smith小姐从5年前就已经在我们学校教书了。考查现在完成时。
since five years ago自从五年前以来，意为自从五年前以来他就教我们英语，表示状态的持续，用于现在完成时；现在完成时的构成：主语+have/has+动词过去分词；主语是Miss Smith，所以助动词用has，teach教，实义动词，过去分词是taught，故答案选C。
34．___ you ____ my watch? Yes, I ____ it on the table just now.
A．Did , see , saw B．Did , see , see C．Have , seen, saw. D．Have , seen, have seen
【答案】C
【解析】句意：——你看见我的手表了吗？——是的，我刚才在桌子上看到了。第一个空根据答语中的Yes, I ____ it on the table just now.可知事情已经发生了，强调对现在造成的影响，所以问句应用现在完成时，结构为：have/has+动词过去分词，主语是you，所以用have，see的过去分词是seen；第二个空根据时间状语just now“刚才”，它是表示过去的时间状语，是一般过去时的标志词，可以判断答语应用一般过去时，即谓语动词see要用其过去式saw；结合选项，可知C选项符合题意，故答案选C。
35．— Where is Mr. Wu?
— He together with his students __________ singing by the lake .
A．is practising B．are practising C．will practise D．would practise 【答案】A
【解析】
【详解】
句意：——胡先生在哪里？——他和他的同学们一起在湖边练习唱歌。A. is practising正在练习；单数； B. are practising正在练习，复数；C. will practise将去练习；一般将来时；D. would practise会去练习，过去将来时。根据上文Where is Mr. Wu? 可知下文用现在进行时，其结构是be doing的形式，主语是he, together with his students在句中做状语；这里be动词用is。根据题意，故选A。
36．--Look! There____ so many noisy kids in the room!
--Haven’t you heard the saying “When the cat is away, the mice _____?”
A．have; play B．is; are going to play
C．have; are playing D．are; will play
【答案】D
【解析】
【详解】
句意“-看！房间里有许多吵闹的小孩-你没听见他们在说，当猫离开后，这些老鼠在玩吗？”。there be句型不与have连用，排除A和C，且第一空处主语为so many noisy kids，谓语用复数，排除B，第二空处when引导的从句用一般现在时，主句用一般将来时，即“主将从现”原则，故选D。
37．---Did you watch the program The Voice last night?
---I wanted to, but my mother __________her favorite TV play.
A．watches B．watched C．was watching D．is watching
【答案】C
【解析】句意：昨晚你看《The Voice》了吗？——我想看，但是我妈妈在看她最喜欢的电视剧。下句是解释了当时为何没有观看《The Voice》的原因，是由于当时妈妈在看她最喜欢的电视剧。在过去的某一时刻发生的动作用过去进行时态来表达，故答案为C。
38．Your paper must _______ as soon as the bell _______.
A．hand in; rings B．hand in; will ring
C．be handed in; rings D．be handed in; will ring
【答案】C
【解析】
【详解】
句意“铃声一响，你必须上交你的试卷”。第一空处，主语为your paper和谓语hand in之间为被动关系，排除A和B。as soon as引导的从句用一般现在时，主句用一般将来时，即“主将从现”原则，故选C。
39．— What are you doing now, Kate?
— I an email to my friend.
A．write B．am writing C．wrote D．have written
【答案】B
【解析】
句意：——凯特你在做什么？——我正在给我的朋友写电子邮件。考查现在进行时。根据What are you doing now, Kate?可知是问正在做什么，现在进行时态，所以回答也应用现在进行时，其构成为be+动词现在分词；主语是I，所以系动词be用am，write的现在分词是writing，故答案选B。
40．Mary is a kind girl. She often _______ her classmates with their homework.
A．help B．helps
C．is helping D．helped
【答案】B
【解析】
句意：玛丽是一个善良的女孩，她经常帮助她的同学做作业。根据often判断，经常性的
动作用一般现在时，主语she是第三人称单数，因此动词要用三单形式，故答案为B。
41．The factory over 1200 cars a month. My car in it in 2013.
A．produces,was produced B．was produced,produces
C．produces,produces D．was produced,produced
【答案】A
【解析】
【详解】
句意：这个工厂每个月生产1200多辆车，我的车就是2013年在这里生产的。根据句意可知，第一个空是主动语态，且是一般现在时，主语是the factory，故填produces; 第二个空表示“the car”被生产，且动作发生在2013年，故填was produced。故选A。
42．– Would you like to watch The Great Wall 《长城》with me?
-- Certainly. I don’t mind ________ it again although I ______ it twice.
A．to see, saw B．seeing, have seen C．to see, have seen D．seeing, saw
【答案】B
【解析】句意：——你愿意跟我去看《长城》吗？——当然了，尽管我已经看了两遍，但我不会介意再去看一遍。 mind doing sth.介意做某人，结合句意，首先排除A,C；根据"I don't mind ___ it again"和"although"可知尽管我已经看了两遍，但我不会介意再去看一遍．所以看过两遍用现在完成时，答案选B。
43．— The boy misses his parents very much.
— So he does. They _________ the hometown for nearly two years.
A．have left B．has left C．have been away from D．will leave
【答案】C
【解析】
【详解】
句意：——那个男孩非常想念他的父母。——他的确是。他们离开家乡几乎两年了。leave 离开，是短暂性动词，不与时间段连用；be away离开，与时间段连用。此处接时间段for nearly two years连用，故用延续性动词，故选C。
44．She ________on the phone,so I just smiled at her and went away.
A．has talked B．was talking C．will talk D．is talking
【答案】B
【解析】
【详解】
句意：她正在打电话，所以我只是朝她笑笑就走了。考查动词时态辨析。so所以，表结果；根据so I just smiled at her and went away，可知她正在打电话，需用过去进行时，故选B。
45．—Have you ever been to Singapore, Ann?
—Yes. I _________ there for a week with my parents last year.
A．have gone B．have been C．went D．was
【答案】D
【解析】句意：——你去过新加坡吗，安？——去过，去年我和父母在那里呆了一个星期。have/has gone to表示某人去了某地，现在还没有回来；have/has been to表示某人去了某地，现在已经回来了；但在肯定句中，它们都不能与表示一段的时间状语连用，went 是go的过去式，为短暂性动词，在肯定句中也不能用一段时间状语连用，was there表示状态，可以与一段时间状语连用，答案为D。
46．--Did you see a girl in red pass by just now?
--No, sir. I ________the news with my mobile phone.
A．read B．was reading C．would read D．am reading
【答案】B
【解析】
句意：-刚才你看到一个穿红衣服的女孩经过吗？-没有，先生。我正在手机上读新闻。read 读，动词原形或过去式；was reading过去进行时；would read过去将来时；am reading现在进行时。根据对话的情景可知，这里表示刚才正在做的事情，应用过去进行时态，故选B。
47．When it began to rain heavily, she ________ for a bus at the bus stop.
A．waited B．waits C．is waiting D．was waiting
【答案】D
【解析】句意：当雨下得很大时，她正在公共汽车站等公共汽车。A. waited一般过去时；
B. waits一般现在时；
C. is waiting现在进行时；
D. was waiting过去进行时。when引导的时间状语从句，从句用一般过去时，主句用过去进行时；故选D。
48．My family ________ supper together every day. It’s really a happy time for all of us. A．have B．had C．are having D．will have
【答案】A
【解析】
试题分析：句意:我的家人每天都一起吃晚饭，对于我们大家来说这真的是幸福的时光。have supper是一个固定的短语，意思是吃晚饭。根据句意及句中的every day可知，这个
句子应该使用一般现在时，表示经常性的动作，故选A。B选项是一般过去时；C选项是现在进行时；D选项是一般将来时。
考点：考查动词时态。
49．The photo _____ taken by my brother last week is very nice.
A．which were B．that is
C．that were D．which was
【答案】D
【解析】
试题分析：句意：上周我哥哥拍的照片非常漂亮。此处是定语从句修饰先行词the photo，根据时间短语last week可知此处用一般过去时，故排除B项。因为先行词the photo是单数形式，故定语从句的谓语动词用单数形式。故选D。
考点：考查定语从句的用法。
50．The teacher came into the classroom while the students _________ their homework. A．are doing B．did C．were doing
【答案】C
【解析】
【详解】
句意：当学生们正在做作业的时候，老师走进了教室。are doing正在做，现在进行时；did 做，是do的过去式；were doing正在做，过去进行时。根据句中The teacher came into…可知，这句话用的是过去时态，且从句中表示的是正在进行的动作，因此应用过去进行时态，选C。
51．The movement of boycotting（联合抵制） the South Korean goods in whole China
_______ for a few months by the time Lotte Group（乐天集团）agreed to provide land for USA．
A．had been on B．had begun C．has been on
【答案】A
【解析】句意：到乐天集团为美国提供土地为止，政府在全中国联合抵制韩国货物已经开始了一段时间。考查时态的用法。由时间状语by +过去时间可知要用过去完成时，排除C；begin为瞬间动词，不能与一段时间连用。故选A。
52．—Where is Mrs. Wu?
—She _______ the countryside to be a volunteer teacher. She will stay there for a year.
A．has been to B．came to C．has gone to D．has come to
【答案】A
【解析】
【详解】
句意：——吴太太在哪里？——她到农村去当一名志愿者教师。她将在那里呆一年。考查现在完成时态。go去，come来；都是短暂形动词；come与句意不合，可排除BD两项。has been to 曾经去过某地，现在已经回来了；has gone to 曾经去过某地，到现在还没有回来。根据She will stay there for a year.，可知选A。
53．---Have you ever been to Harbin?
---Yes. I ________ there when I was twelve for the Ice and Snow Festival.
A．have goon B．have been C．went D．had been
【答案】C
【解析】
【详解】
句意：——你曾经去过哈尔滨吗？——是的，当我十二岁的时候去了冰雪节。这里是when 引导的时间状语从句，主语用一般过去时态，这里用go的过去式went。根据题意，故选C。
54．The young man ________yellow ___________his keys in his office. He’s forgetful and can’t enter the house.
A．in;left B．on;forgot C．in;has left D．on;has forgotten 【答案】C
【解析】
【详解】
句意“穿黄色衣服的年轻人把他的钥匙落在他的办公室。他是健忘的并且他不能进入房子”。leave sth in+地点“把某物落在某地”；forget sth忘记某事。根据句意可知，in+颜色表示“穿……颜色的衣服”，排除B和D；第二空处，根据He’s forgetful and can’t enter the house 可知，落钥匙的动作发生在过去，对现在造成的影响是他进不去房子，用现在完成时have done，故选C。
55．The 1st National Youth Games _________ in Fuzhou in 2015.
A．takes place B．took place C．is taken place D．was taken place
【答案】B
【解析】
【详解】
句意：第一届全国青年运动会于2015年在福州举行。考查一般过去时态。take place意思是“发生”，是不及物动词词组，没有被动语态，排除C、D选项，根据句中的时间状语in 2015，可知句子的时态是一般过去时，take的过去式为took，排除A选项，只有选项B符合题意，故答案选B。
56．--Is that beautiful sweater yours?
--Yes. I it for two years.
A．bought B．have bought C．have had D．kept
【答案】C
【解析】句意：——那件漂亮的毛衣是你的吗？——是的，我已经买了两年了。bought为短暂性动词，不能与表示一段的时间状语for two years连用，排除A,B；for two years表示的是到目前为止的一段时间，说明的是现在的情况，故时态为现在完成时态，答案为C。点睛：短暂性动词又称瞬间动词，表示动作一旦发生就立即结束。这类动词有：go, come, arrive, leave, begin, start, join, marry, buy, die 等。瞬间动词可以用于现在完成时，但不能和表示一段时间的状语连用。如for 和since 所引导的时间状语都表示一段时间，那就要将瞬间动词转化为表延续的动词或者表状态的形式，就可以与表示一段的时间状语连用。如：His father has died since he was born.就是一个错误的句子，必须转化为：His father has been dead since he was born.
57．—Father’s day is coming. Have you prepared any presents for your father?
—Not yet, but I’m sure I ______ one for him.
A．bought B．buy C．have bought D．will buy
【答案】D
【解析】句意：——父亲节就要到了。你给你父亲准备礼物了吗？——还没有，但我肯定我会给他买一个。考查动词时态辨析题。Not yet还没有；根据句意语境，可知需用一般将来时，即will+原形动词结构，故选D。
58．—Green Book is on now. Would you like to go to the cinema with me?
—No. thanks. I it twice.
A．see B．saw C．have seen D．will see
【答案】C
【解析】
【详解】
句意：——《绿皮书》现在上映了。你想跟我一起去看电影吗？——不了，谢谢。我已经看过两次了。
考查时态。see看，一般现在时；saw过去式；have seen现在完成时；will see一般将来时。根据twice可知此句是强调现在为止的生活经历，用现在完成时。故选C。
59．We’re not sure _______ there’ll be _______ or not tomorrow.
A．if; rains B．if; rainy C．whether; raining D．whether; rain
【答案】D
【解析】句意：我们不确定明天是否会下雨。考查连词辨析和动词时态辨析。if和whether 表示“是否”可换用，但和or not连用时需用whether，可排除AB两项。tomorrow用于一般将来时，be raining是进行时结构，可排除。根据句意结构，可知选D。
60．一Guilin is a wonderful place. I there many years ago.
一Yes. I there many times.
A．went; have been B．have gone; went
C．went; have gone D．have been;went
【答案】A
【解析】句意：-桂林是个很棒的地方。我多年前去过那里。-是的。我去过那里很多次。many years ago很多年前，跟一般过去时态连用，所以谓语动词使用go的过去式went。下文表示过去的动作对现在造成的影响与结果，所以谓语动词使用现在完成时态，have/has+动词的过去分词，have/has been to.. , 意为“曾经去过某地”，有“去过某地”的经历; have/has gone to…, 意为“去了某地”，人不在说话地点。本句表示“曾经去过某地”。故选：A。
集合-基础知识点汇总与练习-复习版
集合知识点总结 一、集合的概念 教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问 题，掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．： 一)主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3 种表示方法； 3. 若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n 1，非空子集有2n 1个，非空真子集有2n 2个． 二、集合的运算 教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性 质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握 集合问题的常规处理方法. 教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用. 一)主要知识： 1. 交集、并集、全集、补集的概念； 2. AI B A A B，AUB A A B； 3. C U AI C U B C U (AUB)，C U AUC U B C U(AI B). 二)主要方法： 1. 求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；
2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出 问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． 考点要点总结与归纳 一、集合有关概念 1. 集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。 2. 集合是由元素组成的 集合通常用大写字母A、B、C,…表示，元素常用小写字母a b、c, …表示。 3. 集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。 (1)确定性：一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集 合,绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山 (2)互异性：集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素只能 出现一次。如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} ( 3)无 序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 女口：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 4. 元素与集合的关系 (1)元素a是集合A中的元素，记做a€ A，读作“ a属于集合A”； (2)元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。 5. 集合的表示方法：自然语言法, 列举法,描述法,图示法。 ( 1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2 且小于等于8 的偶数
数列知识点总结及题型归纳
数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211 ，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ① {}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 (1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1 (1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式
高一数学集合知识点归纳及典型例题
高一数学集合知识点归纳及典型例题 Revised on November 25, 2020
集合 一、知识点： 1、元素： （1）集合中的对象称为元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ?; （2）集合中对象元素的性质：确定性、互异性、无序性; （3）集合表示方法：列举法、描述法、图示法； （4）常用数集：R Q Z N N N ;;;;;*+ 2、集合的关系： 子集 相等 3、全集 交集 并集 补集 4、集合的性质： （1）;,,A B B A A A A A ?=?=?=?φφ (2) ;,A B B A A A ?=?=?φ (3) );()(B A B A ??? (4);B B A A B A B A =??=??? (5));()()(),()()(B C A C B A C B C A C B A C S S S S S S ?=??=? 二、典型例题 例1. 已知集合 }33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。 例2. 已知集合M ＝{}012|2=++∈x ax R x 中只含有一个元素，求a 的值。 例3. 已知集合 },01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 且B A ，求a 的值。 \ 例4. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根x 1， x 2. 设C ＝{x 1， x 2}， A ＝{1，3，5，7，9}， B ＝{1，4，7，10}，若C B C C A =Φ= ,，试求b ， c 的值。 例5. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ， （1）若Φ=B A ， 求m 的范围； （2）若A B A = ， 求m 的范围。 例6. 已知A ＝{0，1}， B ＝{x|x ?A}，用列举法表示集合B ，并指出集合A 与B 的关系。 三、练习题 1. 设集合M ＝,24},17|{=≤a x x 则（ ） A. M a ∈ B. M a ? C. a ＝ M D. a > M
集合经典例题总结
集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合=A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2a +4a -2,2-a }，且A I B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合 ()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x I 中元素的个数为…………………………………………………………………………（） （A ）1（B ）0（C ）1或0（D ）1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P I 等于（） A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D. {}2≤y y 集合与方程 例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A I ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。 例2、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A I ,求 实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A I ，求实数a 的值。 集合学习中的错误种种 数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生． 一、混淆集合中元素的形成 例 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B =I 忽视空集的特殊性 例 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ?，则m 的值为 没有弄清全集的含义
1.高考数学考点与题型全归纳——集合
第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]
高考集合知识点总结与典型例题
集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集：
集合典型题总结和方法分析
集合类型题 一、有关参数类集合关系问题 1、已知集合{x A =|}0232=+-x ax 至多有一个元素，则a 的取值范围 ；若至少有一个元素，则a 的取值范围 。 2、（2013山西运城模拟题） （1）已知A=｛x |-3
高中数学集合基础知识及题型归纳复习
集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-
【离散数学】知识点典型例题整理
【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。 【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。 【Abel群/交换群】·适合交换律。可能不只有两个元素适合x2=1 【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。 【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。单位子群{1}和G称为平凡子群。 【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。若G的元数是一个质数，则G必是循环群。 n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。共有?（n）个。【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）} 【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。 求右陪集：H本身是一个；任取a?H而求aH又得到一个；任取b?H∪aH而求bH又一个。G=H∪aH∪bH∪… 【正规子群】G中任意g，gH=Hg。（H=gHg-1对任意g∈G都成立） Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。 1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。 2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。 3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。故Ha=aH。 4G的任意多个子群的交集是G的子群。并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。 5 H是G的子群。N是G的正规子群。命HN为H的元素乘N的元素所得的所有元素的集合，则HN是G的子群。 【同态映射】K是乘法系统，G到K的一个映射σ（ab）=σ（a）σ（b）。 设（G，*），（K，+）是两个群，令σ：x→e，?x∈G，其中e是K的单位元。则σ是G到K 内的映射，且对a，b∈G，有σ（a*b）=e=σ（a）+ σ（b）。即，σ是G到K的同态映射，G～σ（G）。σ（G）={e}是K的一个子群。这个同态映射是任意两个群之间都有的。 【同构映射】K是乘法系统，σ是G到σ（G）上的1-1映射。称G与σ（G）同构，G?G′。同构的群或代数系统，抽象地来看可以说毫无差别。G和G′同态，则可以说G′是G的一个缩影。 【同态核】σ是G到G′上的同态映射，核N为G中所有变成G′中1′的元素g的集合，即N=σ-1（1′）={g∈G∣σ（g）=1′}。 N是G的一个正规子群。对于Gˊ的任意元素aˊ，σ-1(aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ}是N在G 中的一个陪集。Gˊ的元素和N在G中的陪集一一对应。 设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。 【环】R非空，有加、乘两种运算 a+b=b+a2）a+（b+c）=（a+b）+c， 3）R中有一个元素0，适合a+0=a， 4）对于R中任意a,有-a,适合a+(-a)=0， 5）a（bc）=（ab）c，
高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)
慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________.
(完整版)一元一次不等式组知识点及题型总结(可编辑修改word版)
x 一元一次不等式与一元一次不等式组 一、不等式 考点一、不等式的概念 不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。不等号包括 . 题型一 会判断不等式 下列代数式属于不等式的有 . ① -x≥5 ② 2x -y ＜0 ③ 2 + 5 ≥ 3 ④ -3＜0 ⑤ x=3 ? x 2 + xy + y 2 ⑦ x≠5 ⑧ x 2 - 3x + 2＞0 ⑨x + y ≥ 0 题型二 会列不等式 根据下列要求列出不等式 ①.a ②.m 的 5 倍不大于 3 可表示为 . ③.x 与 17 的和比它的 2 倍小可表示为 . ④.x 和 y 的差是正数可表示为 . ⑤. x 的3 5 与 12 的差最少是 6 可表示为 . 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向不变，则这个数是正数. 基本训练：若 a ＞b ，ac ＞bc ，则 c 0. 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数。 基本训练：若 a ＞b ，ac ＜bc ，则 c 0. 4、如果不等式两边同乘以 0，那么不等号变成等号，不等式变成等式。 练习:1、指出下列各题中不等式的变形依据 ①.由 3a>2 得 a> 2 理 3 由： . ②. 由 a+7>0 得 a>-7 理 由： -1 . 5 ③.由-5a<1 得 a> 理
由：. ④.由 4a>3a+1 得 a>1 理 由：. 2、若x＞y，则下列式子错误的是（） A.x-3＞y-3 B.x ＞ y 3 3 3、判断正误 ①. 若a＞b，b＜c 则a＞c. （） ②.若a＞b，则ac＞bc. （） ③.若ac2＞bc2，则a＞b. （） ④.若a＞b，则ac2＞bc2. （） ⑤.若 a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1） C. x+3＞y+3 D.-3x＞-3y （） ?. 若a＞b，若c 是个自然数，则ac＞bc. （） 考点三、不等式解和解集 1、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 练习：1、判断下列说法正确的是（） A.x=2 是不等式x+3＜2 的解 B.x =3 是不等式3x＜7 的解。 C.不等式3x＜7 的解是x＜2 D.x=3 是不等式3x≥9的解 2.下列说法错误的是（） A.不等式 x＜2 的正整数解只有一个 B.-2 是不等式 2x-1＜0 的一个解 C. 不等式-3x＞9 的解集是 x＞-3 D.不等式 x＜10 的整数解有无数个 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 题型一会求不等式的解集 练习：1、不等式x-8＞3x-5 的解集是. 2、不等式x≤4的非负整数解是. 3、不等式2x-3≤0的解集为. 题型二知道不等式的解集求字母的取值范围 2、如果不等式（a-1）x＜（a-1）的解集是x＜1，那么a 的取值范围是. x＜ 1
函数定义域知识点梳理、经典例题及解析、高考题带答案
函数的定义域 【考纲说明】 1、理解函数的定义域，掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。 【知识梳理】 （1） 定义：定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 （2） 确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数定义域要使函数有意义，同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据： ①f(x)是整式（无分母），则定义域为 ； ②f(x)是分式，则定义域为 的集合； ③f(x)是偶次根式，则定义域为 的集合； ④对数式中真数 ，当指数式、对数式底中含有变量x 时，底数 ； ⑤零次幂中， ，即x 0中 ； ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域（难点） （1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可 得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 （2）已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
集合知识点总结
集合知识点总结 Prepared on 22 November 2020
辅导讲义：集合与常用逻辑用语 1、集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合的常用表示法：列举法、描述法。 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为 A ? B ，或B ?A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 即：若A a ∈则B a ∈，那么称集合A 称为集合B 的子集 注：空集是任何集合的子集。 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B 或B ?A ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作 U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作 B A ?（读作“A 交B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 B A ?=A B ?，B A ?B B A A ???，。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作 B A ?（读作“A 并B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 B A ?=A B ?，?A B A ?，?B B A ?。 8、元素与集合的关系：有属于和不属于两种，集合与集合间的关系，用包含、真包含
高一数学集合知识点归纳与典型例题
集合 一、知识点： 1、元素： a 是集合A的元素，记作a A ；若b不是集合A的 （ 1）集合中的对象称为元素，若 元素，记作 b A ; （ 2）集合中对象元素的性质：确定性、互异性、无序性; （3）集合表示方法：列举法、描述法、图示法； （4）常用数集：N; N*; N ;Z; Q;R 2、集合的关系： 子集 相等 3、全集 交集 并集 补集 4、集合的性质： （1）A A A,A,ABBA; (2)A A, A B B A; (3)( A B)(A B); (4)A B A B A ABB; (5) C S(A B) (C S A) (C S B),C S( A B) (C S A) (C S B); 二、典型例题 例1.已知集合 A { a 2, (a 1)2 ,a 23a 3} ，若1 A ，求a。 例 2. 已知集合M ＝x R | ax 2 2x10 中只含有一个元素，求a的值。
例3.已知集合 A { x | x2x 6 0}, B { x | ax 1 0}, 且B A ，求 a 的值。\ 例 4. 已知方程x2bx c 0 有两个不相等的实根x ， x 2.设 C＝ {x ， x 2}，A＝{1，3， 11 5，7，9}， B＝{1 ，4，7，10} ，若A C,C B C ，试求 b， c 的值。 例 5.设集合A { x | 2 x 5}, B { x | m 1 x 2m 1} ， （1）若A B，求 m 的范围；（2）若A B A ，求m的范围。
例 6. 已知 A ＝{0 ，1} ， B ＝ {x|x A} ，用列举法表示集合 B ，并指出集合 A 与 B 的关系。 三、练习题 1. 设集合 M ＝ { x | x 17}, a 4 2,则（ ） A. a M B. a M C. a ＝ M D. a > M 2. 有 下 列 命 题 ： ① { } 是 空 集 ② 若 a N, b N ， 则 a b 2③ 集合 100 N , x Z} 为无限集，其中正确命 { x | x 2 2x 1 0} 有两个元素 ④ 集合 B { x | x 题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列集合中，表示同一集合的是（ ） A. M ＝{ （3， 2）} ， N ＝{ （2， 3）} B. M ＝{3 ，2} ， N ＝{（ 2，3）} C. M ＝{ （ x ， y ） |x ＋ y ＝ 1} ， N ＝ {y|x ＋ y ＝ 1} D.M ＝{1 ，2} ， N ＝{2，1} 4. 设集合 M { 2,3, a 2 1}, N { a 2 a 4,2a 1}，若M N { 2} ， 则 a 的取值集 合是（ ） { 3,2, 1 } B. { －3} C. { 3, 1 } D. { － 3，2} A. 2 2 5. 设集合A ＝ {x| 1 < x < 2} ， B ＝ {x| x < a} ， 且 A B ， 则实数 a 的范围是 （ ） A. a 2 B. a 2 C. a 1 D. a 1 {( x, y) | y 1} 6. x 设 x ，y ∈ R ，A ＝ {（ x ，y ）|y ＝ x} ， B ＝ ， 则集合 A ，B 的关系是（ ） A.A B B.B A C. A ＝B D.A B 7. 已知 M ＝ {x|y ＝ x 2－ 1} ， N ＝ {y|y ＝x 2 －1} ， 那么 M ∩ N ＝（ ） A. Φ B. M C. N D. R 8. 已知 A ＝ {－2，－ 1，0，1} ， B ＝ {x|x ＝ |y|，y ∈ A} ，则集合 B ＝ _________________ 9. 若 A { x | x 2 3x 2 0}, B { x | x 2 ax a 1 0}, 且B A ，则 a 的值为 _____ 10. 若 {1，2， 3} A {1 ， 2，3， 4， 5} ， 则 A ＝ ____________ 11. 已知 M ＝ {2 ， a ， b} ， N ＝ {2a ， 2，b 2 } ，且 M ＝N 表示相同的集合，求 a ， b 的值 12. 已知集合 A { x | x 2 4x p 0}, B { x | x 2 x 2 0}且A B, 求实数 p 的范 围。 13. 已知 A { x | x 2 ax a 2 19 0}, B { x | x 2 5x 6 0} ，且 A ， B 满足下列三 个条件：① A B ② A B B ③ Φ A B ，求实数 a 的值。
高一数学集合经典题型归纳总结
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 总结：元素的互异性是参考点，常常在求出值的时候必须代回集合察看是否满足该集合中元素是否有重复现象，从而决定值的取舍。 元素与集合之间的关系：属于-- 不属于-- 常有集合N Z R Q 加星号或者+号表示对应集合的正的集合 3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图:通常元素是很具体的值的时候，或者在考察抽象集合之间的关系的时候，我们常常考虑用venn图来表示。 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合，空集在集合这个章节中非常重要，特别 是在集合之间的关系的题中经常出现，很容易考虑掉空集。例：{x|x2= －5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。注意：B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
高一数学集合知识点归纳及典型例题
高一数学集合知识点归纳及典型例题 一、、知识点： 本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。 本章知识结构 1、集合的概念 集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。 对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。 整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。 我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。 几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。 3、集合的表示方法（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合： ①元素不太多的有限集，如{0，1，8}
②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，?，100} ③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，?，n，?} ●注意a与{a}的区别 ●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。 （2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}， {y|y ＝x2}， {（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系 ●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。 “包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。 ●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算 集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。 一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质： A?CUA?U A?B?B?AA?A?A A?????A?? A?B?A?B?A