北师大版八年级数学因式分解总复习课件
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北师大版八年级下册 第四章 因式分解 第一节 因式分解 课件 (共18张PPT)
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做因式分解（ factorization), 例 如 ： a3-a=a(a+1)(a-1) 、 am+bm+cm=m(a+b+c), 从 左 到 右 的 变 形 都 是 因式分解。因式分解也可称为分解因式。
一辨: 下列从左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？ （1）24x2y=4x· 6xy (2)(a+3)(a-3)=a2-9 （3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 (4)2mR+2mr=2m(R+r) 1 （5）x+1=x(1+ ) (6)m2-4=(m+2)(m-2)
式 分 解
拓展提升： 若关于x二次三项式x2+mx+n可分解为(x+1)2 ，则 m=___,n=___ 因式分解与整式乘法密切联系, 逆用整式乘法及乘法公式等可以帮助 我们解决有关因式分解的问题 三用： a=3.14, b=2.386, c=2.386,求ab-ac的值。 特殊问题背景下,因式分解 可以使运算更简便
193-19 = 19×192－19×1 = 19（192－1） = 19×360 = 19×18×20
类比、猜测
式
你能尝试把多项式a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
a3-a = a× a2 － a × 1 = a（ a2 － 1 ） 形 = a(a+1)(a-1)
我校第十届校园文化艺术节即将拉开帷幕，为作好宣传， 我班同学分工合作，设计一幅宣传海报，海报由三部分 组成，他们分别将三部分拼成如图所示的一个大的长方 形，通过计算拼图前后的面积，写出相应的关系式。
整 式 乘 法
第四章因式分解复习课件北师大版数学八年级下册
把多项式ma+mb+mc分解成两个因式的乘积的情
势，其中一个因式是各项的公因式m，而另一个因式
是（a+b+c),即ma+mab+mc=m(a+b+c),而
（a+b+c)正好是ma+mb+mc除以m所得的商，提
公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
6.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3中各项的公因式是 C
2．下列各式从左到右的变形，正确的是（ C ）
A.﹣x﹣y=﹣(x﹣y)
B.﹣a+b=﹣(a+b)
C.(y﹣x)2=(x﹣y)2
D.(a﹣b)3=(b﹣a)3
二、因式分解的实质
与整式的乘法互为逆运算
整式乘法
因式分解
3、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ C ）
.A.a(a－b)＝a2－ab； B.a2－2a＋1＝a(a－2)＋1C.x2
B.①③
C.②④
D.②③
16.因式分解(2x+3)2-x2的结果是( D )A.3(x2+4x+3)
B.3(x2+2x+3)
C.(3x+3)(x+3)
D.3(x+1)(x+3)
17.已知多项式x2+a能用平方差公式在有理数范围内分
解因式,那么在下列四个数中a可以等于( C )A.9
B.4
C.-1
D.-2
13.因式分解:
(3)x(x2-xy)-(4x2-4xy).
解: 原式=x(x2-xy)-4(x2-xy)
=(x2-xy)(x-4)
=x(x-y)(x-4)
势，其中一个因式是各项的公因式m，而另一个因式
是（a+b+c),即ma+mab+mc=m(a+b+c),而
（a+b+c)正好是ma+mb+mc除以m所得的商，提
公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
6.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3中各项的公因式是 C
2．下列各式从左到右的变形，正确的是（ C ）
A.﹣x﹣y=﹣(x﹣y)
B.﹣a+b=﹣(a+b)
C.(y﹣x)2=(x﹣y)2
D.(a﹣b)3=(b﹣a)3
二、因式分解的实质
与整式的乘法互为逆运算
整式乘法
因式分解
3、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ C ）
.A.a(a－b)＝a2－ab； B.a2－2a＋1＝a(a－2)＋1C.x2
B.①③
C.②④
D.②③
16.因式分解(2x+3)2-x2的结果是( D )A.3(x2+4x+3)
B.3(x2+2x+3)
C.(3x+3)(x+3)
D.3(x+1)(x+3)
17.已知多项式x2+a能用平方差公式在有理数范围内分
解因式,那么在下列四个数中a可以等于( C )A.9
B.4
C.-1
D.-2
13.因式分解:
(3)x(x2-xy)-(4x2-4xy).
解: 原式=x(x2-xy)-4(x2-xy)
=(x2-xy)(x-4)
=x(x-y)(x-4)
北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件
合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
北师大版初中八年级数学下册 分解因式复习课件ppt(优秀课件)
2) 1-a4 =(1+a2)(1-a2) =(1+a2)(1+a)(1-a)
11
完全平方公式
a2±2ab+b2=(a±b)
2
查：检查因式分解的结果是否正确
（彻底性）
3
练习一：
1.下列等式中,从左到右的变形是分解因式的是(C )
A. (x+5)(x-5)=x2-25
B. x2+3x+1=(x+1)(x+1)-1
C. x2+3x+2=(x+1)(x+2) D. a(m+n)=am+an
5
练习四：把下列各式分解因式 1). -8a3b2+12ab3c-6a2b2 2). (m2+n2)2-4m2n2 3). (2x+y)2-(x+2y)2
6
应用：1).计算： 20052-20042 = 2). 若a+b=3 , ab=2则a2b+ab2= 3). 若x2-8x+m是完全平方式,则m= 4). 若9x2+axy+4y2是完全平方式,则a=( D) A. 6 B. 12 C. ±6 D. ±12
7
1）解：20052-20042 =（2005+2004）（2005-2004） =4009
8
2）解：a2b-ab2 =ab(a+b) =2*3 =6
9
4）9x2+axy+4y2 =(3x)2+axy+(2y)2 则有， axy=±2*3x*2y ∴a=±12 故选D
10
解：1）3m2-27 =3(m2-9) =3(m+3)(m-3)
北师大版八年级数学下册课件：因式分解
993－99
＝99×992－99×1
993－99还能被
＝99(992－1)
哪些正整数整除？
＝99×9 800
＝98×99×100.
所以，993－ 99能被100整除.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数
的积的情势.
议一议
你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的情势吗？
与同伴交流.
解： a3-a =a·a2-a·1
整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法与因式分解一个是积化和差，
另一个是和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式 因式分解
整式乘法
因式分解 和差化积
x2-1 整式乘法 积化和差
整式乘积． (x+1)(x-1)
例题讲授
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 )
3.下列多项式因式分解的结果是2x(x-3)的是( C )A.6x-
2x2
B.2x2+6x
C.2x2-6x
D.-2x2-6x
3. 因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解为_(_a_－__2_)_2__ ．
4. 把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)， 则a= -2 ，b=_-3__
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
分解因式的要求： 1.分解的结果最后是积的情势； 2.每个因式必须是整式，且每个因式的次 数都必须低于多项式的次数； 3.必须分解到每个因式不能再分解为止
例2 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)， 求a，b的值. 解：∵x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)
北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)
答案 C
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
北师大版八年级下册数学因式分解课件
议一议:
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与 它有什么不同?
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形 是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1) 的变形与上面的变形互为逆过程 .
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.
计算下列式子：
（1）3x(x-1)=
3x2 -3x
；
（2）m(a+b+c)= ma+mb+mc ； （3）(m+4)(m-4)= m2-16 ；
（4）(y-3)2 = y 2-6y+9 ； （5）a(a+1)(a-1)= a3 -a ．
根据上面的算式填空： （1）ma+mb+mc= m(a+b+c)； （2）3x 2-3x= 3x(x-1) ； （3）m2-16= (m+4)(m-4)； （4）a3-a= a(a+1)(a-1) ； （5）y 2-6y+9= (y-3)2 ．
以下两种运算有什么联系与区分? （1）a(a+1)(a-1)= a 3-a （2）a 3-a= a(a+1)(a-1)
在上面的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？ 联系：第（2）式与第（1）式是互逆运算； 区分：第（1）式是将乘积化为多项式，而第（2）式是将多项式化为乘积情势。
北师大版 八年级 下册
4.1 因式分解
第1课时
复习：
1.整式乘法有几种情势 ? (1) 单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 : a(m+n)=am+an (3) 多项式乘以多项式 (a+b)(m+n)=am+an+ bm+bn
新北师大八年级下因式分解复习PPT课件
3、小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 x 的指数，他只知
道该数为不大于 10 的正整数，并且能利用平方差公式分解因
式，他抄在作业本上的式子是 x□－4y2(“□”表示漏抄的指
数)，则这个指数可能的结果共有( D )
A．2 种
B．3 种
C．4 种 D．5 种
第9页/共11页
4、若 M＝a2－a，N＝a－2，则 M，N 的大小关系是( A )
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
图4－2
第10页/共11页
感谢您的观看！
第11页/共11页
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
5、 如图4－2①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部
分剪拼成一个矩了一个
等式，则这个等式是( )
D
A．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
第8页/共11页
第针四对章 训| 复练习
1、分解因式b2(x－3)＋b(3－x)的正确结果是( )
D
A．(x－3)(b2＋b)
B．b(x－3)(b＋1)
C．(x－3)(b2－b)
D．b(x－3)(b－1)
2、若多项式 x2＋mx＋4 能用完全平方公式分解因式，
则 m 的值可以是( D )
A．4 B．－4 C．±2 D．±4
(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－_b__)； (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±__b_)2.
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考点攻略
►考点一 分解因式
例1 分解因式：a2bx2－a2bxy＋a2by2.
道该数为不大于 10 的正整数，并且能利用平方差公式分解因
式，他抄在作业本上的式子是 x□－4y2(“□”表示漏抄的指
数)，则这个指数可能的结果共有( D )
A．2 种
B．3 种
C．4 种 D．5 种
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4、若 M＝a2－a，N＝a－2，则 M，N 的大小关系是( A )
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
图4－2
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感谢您的观看！
第11页/共11页
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
5、 如图4－2①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部
分剪拼成一个矩了一个
等式，则这个等式是( )
D
A．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
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第针四对章 训| 复练习
1、分解因式b2(x－3)＋b(3－x)的正确结果是( )
D
A．(x－3)(b2＋b)
B．b(x－3)(b＋1)
C．(x－3)(b2－b)
D．b(x－3)(b－1)
2、若多项式 x2＋mx＋4 能用完全平方公式分解因式，
则 m 的值可以是( D )
A．4 B．－4 C．±2 D．±4
(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－_b__)； (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±__b_)2.
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考点攻略
►考点一 分解因式
例1 分解因式：a2bx2－a2bxy＋a2by2.
北师大版八年级下册数学--第四章 因式分解复习课件
注:1.定系数；2.定字母；3.定指数
典例分析
例2：1.找出下列各多项式中各项的相同因式：
（1）2ab2+ 4abc
2ab
（2）-m2n3 -3n2m3
-m2n2
（3）2x（x+y）+6x2（x+y）2 2x（x+y）
2.用提公因式法分解因式
8a3b2－12ab3c
=4ab2 ∙2a2 - 4ab2 ∙ 3bc
m(a+b+c) 互逆
典例分析 一
例1 . 下列变形中是因式分解的是（D ）.
A. x2＋3x＋4＝（x＋1）（x＋2）＋2 × 不是乘积形式 B . （3x－2）（2x＋1）＝6x2－x－2 × 是整式乘法 C . 6x2y3＝3xy ·2xy2 × 单项式
D . 4ab＋2ac＝2a（2b＋c）√
例7. 因式分解： (1) (a＋b)(a－b)－a－b
解 = (a+b)(a-b)-（a+b） = (a+b)(a-b-1)
（3）(x—1)(x—3)+1
解 = (x2-4x+3）+1 = x2-4x+4 = (x-2)2
（2） (x—y)2－4(x—y—1)
解 = (x—y)2－4(x—y）+4 = (x-y-2)2
解 = （a-b）2(a2 -b2）
=（a2-ab-ab+b2）(a2-ab+ab-b2）
=（a-b）2(a-b）（a+b)
=（a2-2ab+b2）(a2-b2）
=（a-b）3(a+b）
=（a-b）2(a-b）（a+b) =（a-b）3(a+b）
典例分析
例2：1.找出下列各多项式中各项的相同因式：
（1）2ab2+ 4abc
2ab
（2）-m2n3 -3n2m3
-m2n2
（3）2x（x+y）+6x2（x+y）2 2x（x+y）
2.用提公因式法分解因式
8a3b2－12ab3c
=4ab2 ∙2a2 - 4ab2 ∙ 3bc
m(a+b+c) 互逆
典例分析 一
例1 . 下列变形中是因式分解的是（D ）.
A. x2＋3x＋4＝（x＋1）（x＋2）＋2 × 不是乘积形式 B . （3x－2）（2x＋1）＝6x2－x－2 × 是整式乘法 C . 6x2y3＝3xy ·2xy2 × 单项式
D . 4ab＋2ac＝2a（2b＋c）√
例7. 因式分解： (1) (a＋b)(a－b)－a－b
解 = (a+b)(a-b)-（a+b） = (a+b)(a-b-1)
（3）(x—1)(x—3)+1
解 = (x2-4x+3）+1 = x2-4x+4 = (x-2)2
（2） (x—y)2－4(x—y—1)
解 = (x—y)2－4(x—y）+4 = (x-y-2)2
解 = （a-b）2(a2 -b2）
=（a2-ab-ab+b2）(a2-ab+ab-b2）
=（a-b）2(a-b）（a+b)
=（a2-2ab+b2）(a2-b2）
=（a-b）3(a+b）
=（a-b）2(a-b）（a+b) =（a-b）3(a+b）
北师大版八年级下册数学《公式法》因式分解说课教学复习课件
随堂检测
1．判断正误 （1）x²+y²=（x+y）（x－y）; （2）x²－y²= （x+y）（x－y）; （3）－x²+y²=（－x+y）（－x－y）; （4）－x²－y²=－（x+y）（x－y）.
（✘） （ ✔） （ ✘） （ ✘）
随堂检测
2. 某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x ²+4）（x+2）（x－▲）中的
=（a-4）²-1 =（a-3）（a-5）
举一反三
1. 若x ²+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值． 解：∵x ²+2（a+4）x+25是完全平方式， ∴2（a+4）=±2×5， 解得a=1或a=-9． 故a的值是1或-9．
举一反三
2. 已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n） 则x ²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n ∴n＋3=-4，m=3n． 解得：n=﹣7，m=﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21.
解：∵a²+b²+c²=ab+bc+ac, ∴a²+b²+c²-ab-bc-ac=0 等式两边同乘以2，得 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0 （a²-2ab＋b²）＋（b²-2bc＋c²）＋（c²-2ac＋a²）=0 ∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0， a=b=c 即∆ABC为等边三角形
北师大版数学八年级下册第四章 因式分解 复习课件(共19张PPT)
解（1）32014 - 32013 = 32013×(3 - 1) = 2×32013； （2）(-2)101 + (-2)100+299 = -299(22-2-1)= -299.
6.如图，某农场修建一座小型水库，需要 一种空心混凝土管道，它的规格是内径 d = 45 cm，外径 D =75 cm，长 l =300 cm.利用因式 分解计算浇制一节这样的管道约需多少立方 米的混凝土(π取3.14，结果精确到0.01 m3).
Dd l
Dd
l
解：[π·(
D 2
)2 -
π·(
d 2
)2]·l
=
πl 4
(D2 -
d2)
=
πl 4
(D
+
d)(D
-
d).
当d=45 cm，D=75 cm，l=300 cm时，
体积 = 847 800(cm3) ≈ 0.85(m3).
第四章 因式分解
北师版 八年级下册
因式分解的定义
把一个多项式化成几__个__整__式__的_积____的 形式，这种变形叫做把这个多项式因式分 解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法的关系
因式分解 多项式 整式乘法 几个整式的积
因式分解与整式乘法为互逆变形
因式分解的方法
1.提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那
4 3
，y
=
－1 时，
2
原式= 9.
（2）
a
+ 2
b
2
-
a-b 2
2
，其中a
=
－1 8
,
b
=
2;
解：原式
6.如图，某农场修建一座小型水库，需要 一种空心混凝土管道，它的规格是内径 d = 45 cm，外径 D =75 cm，长 l =300 cm.利用因式 分解计算浇制一节这样的管道约需多少立方 米的混凝土(π取3.14，结果精确到0.01 m3).
Dd l
Dd
l
解：[π·(
D 2
)2 -
π·(
d 2
)2]·l
=
πl 4
(D2 -
d2)
=
πl 4
(D
+
d)(D
-
d).
当d=45 cm，D=75 cm，l=300 cm时，
体积 = 847 800(cm3) ≈ 0.85(m3).
第四章 因式分解
北师版 八年级下册
因式分解的定义
把一个多项式化成几__个__整__式__的_积____的 形式，这种变形叫做把这个多项式因式分 解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法的关系
因式分解 多项式 整式乘法 几个整式的积
因式分解与整式乘法为互逆变形
因式分解的方法
1.提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那
4 3
，y
=
－1 时，
2
原式= 9.
（2）
a
+ 2
b
2
-
a-b 2
2
，其中a
=
－1 8
,
b
=
2;
解：原式
《因式分解》复习课课件北师大版八年级下全面版
例题讲解
1
公式法的例题
2
利用常见的因式分解公式化简表达式。
3
分组方法的例题
4
将表达式中的项分组并进行因式分解。
提公因式法的例题
使用提公因式法化简复杂的多项式。
配方法的例题
通过配对表达式中的项进行因式分解。
注注意正确使用括号。
2 注意结果是否可以化简
最后的结果可能需要进一步化简，要仔细检查。
因式分解复习课
本课程将全面介绍因式分解，使你能够轻松化简多项式、解决方程和计算面 积。让我们开始探索这个有趣的主题吧！
什么是因式分解？
因式分解是将多项式拆分为不可再分解的基本式子的乘积形式，以便简化表 达式和方便计算。
因式分解的方法
提公因式法
通过提取表达式的公因式来进行因式分解。
公式法
使用一些常见的因式分解公式来化简表达式。
3 注意写出具体步骤
在解答问题时，要写出详细的因式分解步骤。
习题训练
提高题
挑战你的思维，解决更复杂的因式分解问题。
总复习题
综合运用因式分解，巩固所学知识。
小结
因式分解是化简多项式的重要方法，对于数学学习和应用都有很大帮助。通过多练习，你可以提高因式 分解的运用能力和熟练度。
配方法
将表达式中的项按照一定的规则进行配对， 然后进行因式分解。
分组方法
将表达式中的项分成多个组，再进行因式分 解。
因式分解的应用
化简分式
通过因式分解，可以简化复 杂的分式，使其更易计算。
求方程的根
通过因式分解，可以找到方 程的根，解决实际问题。
计算面积和周长
利用因式分解，可以快速计 算图形的面积和周长。
(北师版)八年级数学下册课件：4.1 因式分解
; m2-16 =( m+4 )( m-4 )
(4) ( y-3)2=
m2-16. y2-6y+9 =( y-3 )2
(5)a(a+1)(a-1y)=2-6y+9 . a3-a =( a )( a+1)( a-1 )
a3-a
讲授新课
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什 么运算?
由答乘a:法由3，-aa由(得a+a1到3-)a(a得a-1(到a)得+a(到1a+)a(13a)-(a-a的1-1)变)的的形变变是形形整是式与把 它 有一什个么多不项式同化?成几个整式的积的形式.
讲授新课
例4 假如用一根比地球赤 道长10米的铁丝将地球赤 道围起来, 那么铁丝与赤道 之间均匀的间隙能有多大 (赤道看成圆形，设地球的 半径为r，铁丝围成圆形的 半径为R)?
讲授新课
解：根据题意可得，
2 R 2r 10
2 (R r) 10 R r 10
2
R–r
(1) x2-4y2=(x+2y整)(式x-乘2法y) (2) 2x(x-3y)=2x2整-6式x乘y 法 (3) (5a-1)2=25a2因-1式0分a+解1 (4) x2+4x+4=(x+整2式)2乘法
讲授新课
巩固概念
下列式子从左到右的变形 是否为因式分解？为什么?
（1）a(a 2b) a2 2ab
解: 7652×17－2352 ×17 = 17(7652 －2352) = 17(765+235)(765 －235) = 17×1000×530
讲授新课
例3 20042+2004能被2005整除吗?
北师大版八年级数学下册课件：第4章《因式分解》复习课(共18张)
解:原式=-xy(x2y2+2xy+1) =-xy(xy+1)2
⑸(2x+y)2-2(2x+y)+1
解：原式=(2x+y-1)2
⑺ x2y2+xy-12
解：原式=(xy-4)(xy+3)
(2) 1 x2 xy 1 y2
2
解:原式 =
1 2
2
(x2+2xy+y2)
1
(4)81a4-b4 = 2 (x+y)2
a2 －2ab+ b2 ＝（a－b）2 [ 完全平方公式 ]
例题：把下列各式分解因式
①x2－4y2
② 9x2-6x+1
解：原式= x2-(2y)2
解：原式=(3x)2-2·(3x) ·1+1
=（x+2y)(x-2y）
=（3x-1)2
⑶十字相乘法
公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x
即：原式= x+1=2010+1=2011
今天，我们复习了分解因式的那些知识？
下课了!
作业：
③ (x-y)2-y(y-x)2 解：原式=(x-y) 2(1-y)
解：原式=p(y-x)+q(y-x) =(y-x)(p+q)
（2）运用公式法：
运用公式法中主要使用的公式有如下几个： ① a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ] ② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2 [ 完全平方公式 ]
复习课
定义 方法 步骤 练习 小结
一、知识要点：
把一个多项式化成几个整式的积的情势，叫 做多项式的分解因式。也叫做因式分解。
⑸(2x+y)2-2(2x+y)+1
解：原式=(2x+y-1)2
⑺ x2y2+xy-12
解：原式=(xy-4)(xy+3)
(2) 1 x2 xy 1 y2
2
解:原式 =
1 2
2
(x2+2xy+y2)
1
(4)81a4-b4 = 2 (x+y)2
a2 －2ab+ b2 ＝（a－b）2 [ 完全平方公式 ]
例题：把下列各式分解因式
①x2－4y2
② 9x2-6x+1
解：原式= x2-(2y)2
解：原式=(3x)2-2·(3x) ·1+1
=（x+2y)(x-2y）
=（3x-1)2
⑶十字相乘法
公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x
即：原式= x+1=2010+1=2011
今天，我们复习了分解因式的那些知识？
下课了!
作业：
③ (x-y)2-y(y-x)2 解：原式=(x-y) 2(1-y)
解：原式=p(y-x)+q(y-x) =(y-x)(p+q)
（2）运用公式法：
运用公式法中主要使用的公式有如下几个： ① a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ] ② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2 [ 完全平方公式 ]
复习课
定义 方法 步骤 练习 小结
一、知识要点：
把一个多项式化成几个整式的积的情势，叫 做多项式的分解因式。也叫做因式分解。
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分解因式
知识点总结
一、分解因式的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这个变形叫做把这个多项式分解因式。
二、分解因式的方法：
三、分解因式的要求：
（1）分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
例如x 4-1=(x 2+1)(x 2
-1)，
就不符合因式分解的要求，因为(x 2-1)还能分解成(x+1)(x-1)。
（2）在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。
四、分解因式的步骤： 可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。
（1）一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来。
（2）二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或按x 2
+(p+q)x+pq 型分解。
（3）三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，使之分组后能“提”或能“套”。
（4）四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。
精典例题：
例1．下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ）
1.(x+1)(x-2)=x 2-x-2
2.ax-ay-a=a(x-y)-a
3.6x 2y 3=2x 2·3y 3
4.x 2-4=(x+2)(x-2)
5.9a 3-6a 2+3a=3a(3a 2-2a)
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
例2 分解因式：323x x
x ++=__________________ 例3 分解因式：x x x
28122423-+-=__________ 例4 分解因式：(1)4a 2-9b 2 （2）x x
823- (3)49142++x x
练习
一、选择题 1. 在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A 、-5x 2y 3=-5xy(xy 2)
B 、x 2
-4-3x=(x+2)(x-2)-3x
C 、ab 2-2ab=ab(b-2)
D 、(x-3)(x+3)=x 2-9
2. 49a 3bc 3+14a 2b 2c 2-21ab 2c 2在分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A 、7abc 2
B 、7ab 2c 2
C 、7a 2b 2c 2
D 、7a 3bc 3
3. 把多项式3m(x-y)-2(y-x)2分解因式的结果是（ ）
A 、(x-y)(3m-2x-2y)
B 、(x-y)(3m-2x+2y)
C 、(x-y)(3m+2x-2y)
D 、(y-x)(2x-2y+3m)
二、计算
1.分解因式：（1）(x+2y)2-(x-2y)2 （2）x x 2172
2.分解因式：（1）(3a+2b)2-(2a+3b)2
(2) -7x 2y-14xy 2+49x 2y 2
(3)(x+y)(a 2+a+1)-(x-y)(a 2+a+1)
(4)a 5b-a 2b 3+a 2b
3．利用公式法分解因式：(1)x 2+6ax+9a 2 (2)-x 2-4y 2+4xy
(3)9(a-b)2+6(a-b)+1 三、先化简，再求值
已知4x 2+7x+2=4,求-12x 2-21x 的值。