数理金融学作业11：期权价值的计算(1)单期

期权价值的计算

1.某个股票现价为40美元。已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元。无风险年利率为12%（连续复利）。请用无套利原理说明，执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ (2) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.

参考答案：

1.解：股票的价格二叉树模型为：

042

40,12%,1/12138u f d q

S S r q S τ====-=

第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知： 0.121/12404238(1)e q q ´?+-

从

40(10.01)4238(1)q q ?=+-

我们得到

2.442384q q q =-= 所以 0.6q =

第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.

(1) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：

03

10u d q C C q C =-=

看涨期权的价格为： 01 1.8[3(1)0] 1.7821.01 1.01

C q q （美元）=?-? (2) 执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为：

00

11u d q C P q C =-=，所以看跌期权的价格为： 010.4

[0(1)1]0.3961.01 1.01P q q （美元）=

?-?

（3）r P S C Ke τ-+=+，

0.010.3964040.396, 1.7823940.396r P S C Ke e τ--+=+=+=+⨯=

2.某个股票现价为50美元。已知在两个月后，股票价格为53美元或48美元。无风险年利率为10%（连续复利）。请用无套利原理说明，（1）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.

2.解：股票的价格二叉树模型为：

053

50,10%,1/6148u f d q S S r

q S τ====-=

第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知： 0.11/6505348(1)e q q ´?+-

从

50(11/60)5348(1)q q ?=+-

我们得到

17/653485q q q =-= 所以

3.4/6q =

第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.

(3) 执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：

04

10

u d q C C q C =-=

看涨期权的价格为：

01

13.6/6136[4(1)0] 2.2361/6061/6061C q q （美元）=?-?=

(4) 执行价格K=49美元的看跌期权的二叉树模型为：

00

11u d q C P q C =-=，所以看跌期权的价格为： 06060 2.6[0(1)1]0.42661616P q q （美元）=

?-? （3）r P S C Ke τ-+=+，

0.4265050.426,P S +=+=

0.11/602.2349 2.234960/61 2.2348.19650.426r C Ke e τ--⨯+=+⨯=+⨯=+=

3.某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。连续复利无风险年利率为8%。请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？

解：构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。如果股票价格升到42元，该组合价值就是42Δ-3。如果股票价格跌到38Δ元，该组合价值就等于38Δ。令：

42Δ-3=38Δ

得：Δ=0.75元。也就是说，如果该组合中股票得股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。因此，该组合的现值应该等于：

28.5e -0.08×0.08333=28.31元。

这意味着：

-(C)+40Δ=28.31

(C)=40×0.75-28.31=1.69元。

4.假如一份股票看跌期权的相关数据如下：

初始价格（S ）50美元，协定价格（K ）49美元，期权距到期时间（t ）为1年，无风险利率（r ）为5%。看涨期权（C ）4.75美元。请计算该看跌期权的期权费。