数理金融学作业11：期权价值的计算(1)单期
期权时间价值数值计算公式
期权时间价值数值计算公式期权是一种金融衍生品，它给予持有者在未来特定时间内以特定价格买入或卖出标的资产的权利。
期权的价格由多种因素决定，其中时间价值是其中一个重要的因素。
时间价值是指期权合约中剩余时间对期权价格的影响，它反映了期权未来可能变动的潜在价值。
期权时间价值数值的计算公式可以通过Black-Scholes期权定价模型来进行计算。
Black-Scholes模型是一个用来估算欧式期权价格的数学模型，它是由费雪·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年提出的，因此得名。
Black-Scholes模型包含了五个主要的变量，标的资产价格（S）、期权行权价格（K）、无风险利率（r）、标的资产价格的波动率（σ）和期权到期时间（t）。
其中，期权时间价值数值的计算公式主要涉及到标的资产价格、期权行权价格、无风险利率和期权到期时间这四个变量。
期权时间价值数值的计算公式如下：时间价值 = 期权价格内在价值。
其中，期权价格可以通过Black-Scholes模型来计算，内在价值表示期权当前的实际价值。
期权的内在价值等于标的资产价格与期权行权价格之间的差值，如果是看涨期权，内在价值等于标的资产价格减去行权价格；如果是看跌期权，内在价值等于行权价格减去标的资产价格。
当期权价格大于内在价值时，期权的时间价值为正数；当期权价格小于内在价值时，期权的时间价值为负数。
具体来说，期权时间价值数值的计算公式可以分为以下几个步骤：1. 计算期权的内在价值，根据期权类型（看涨期权或看跌期权）、标的资产价格和期权行权价格来计算期权的内在价值。
2. 计算期权价格，利用Black-Scholes模型来计算期权的价格，其中需要输入标的资产价格、期权行权价格、无风险利率、标的资产价格的波动率和期权到期时间等参数。
3. 计算时间价值，将期权的价格减去内在价值，即可得到期权的时间价值数值。
通过以上计算公式，我们可以得到期权的时间价值数值，从而更好地理解期权价格的形成机制。
最新《数理金融学》题库答案
b bb C 1bw0,a,b第一章练习及参考答案1. 假设1期有两个概率相等的状态a 和b 。
1期的两个可能状态 的状态价格分别为a 和b 。
考虑一个参与者，他的禀赋为（e oga&b ）。
其效用函数是对数形式1U （C o ；C ia ；G b ） log C o 2（l°gG a logG b ）问：他的最优消费/组合选择是什么？解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是w e o a e a b e 1b 他的最优化问题是1max C 0,C 1a,C1logc 。
-(log^a logG b )s.t.WGa C1ab C lb) 0G , Ga ,C 1b 0其一阶条件为:1/C o 1-(1/C !a ) 21 匚(1/务)2C 0a C 1a iC o,i给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。
因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正， 即所 有状态价格严格为正。
在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这 些约束（以及对应的乘子）而直接求解最优。
因此，i C i 0（i 0,a,b ）。
对于C我们立即得到如下解:1 c —, 1 1 c1a , 1 1c2b2 1a2 1b把c的解代人预算约束，我们可以得到的解:2最后，我们有1 1 w 1 wc w,G a ,c1b244可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。
某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。
状态价格高的状态下的消费更昂贵。
结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。
2.考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a和b。
经济的参与者有1和2,他们具有的禀赋分别为：0 200 e ： 100 ，e?: 00 ' 50两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：1U(c) logc g -(log c a log C D)在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。
金融期权价值评估
金融期权价值评估知识点：金融期权价值的影响因素（一）期权价值＝内在价值＋时间溢价1.期权的内在价值——期权立即执行产生的经济价值，由标的资产的现行市价与执行价格决定（1）内在价值的确定——现行市价“涨”到执行价格以上，看涨期权内在价值＞0；现行市价“跌”到执行价格以下，看跌期权内在价值＞0【提示】内在价值VS到期日价值①内在价值由标的资产的“现行”市价与执行价格决定；②到期日价值由标的资产的“到期日”市价与执行价格决定；③若期权已经到期，则：到期日价值＝内在价值（时间溢价＝0）。
（2）实值期权与虚值期权【提示】只有实值期权才可能被执行，但也不一定被执行，因为存在等待机会；只有到期日的实值期权才肯定被执行，此时已不能再等待。
2.期权的时间溢价（期权的时间价值）——期权价值超过内在价值的部分（1）性质：等待的价值——等待股价变动以增加期权的价值①股价的波动率增加会使期权价值增加：期权投资的损失有下限（期权费），收益潜力巨大，二者不会抵消；②对于美式期权，在其他条件不变的情况下，离到期时间越远，股价波动的可能性越大，期权的时间溢价越大；到期日的期权价值只剩内在价值，时间溢价＝0，因为已经不能再等待。
③虚值期权的内在价值＝0，时间溢价的存在使其仍可按正的价格售出。
即：虚值状态下的期权价值只包括时间价值。
（2）期权的时间价值VS货币时间价值（二）影响期权价值的因素1.股价波动率：期权的价值并不依赖于股票价格的期望值，而是股票价格的变动性（标准差），股价的波动率增加会使各类期权价值增加。
2.股票市价与执行价格（1）股价“涨”到执行价格以上，看涨期权内在价值＞0——看涨期权价值与股价正相关、与执行价格负相关。
（2）股价“跌”到执行价格以下，看跌期权内在价值＞0——看跌期权价值与股价负相关、与执行价格正相关。
3.到期期限（1）较长的到期时间能增加美式期权价值：到期时间越长，股价变动范围越大，时间溢价越大；同时，到期时间的延长使执行价格现值减少，会增加美式看涨期权价值。
数理金融复习题(含答案)
V
t 1
P m t 1 r 1 r m m
c
mT
代入数据得：
2 20
V
(1
t 1
90 2 0.12 t 2
)
1000 774.30 12 2 20 (1 0.2 )
11．企业 1 在时期 t 1 将发行 100 股股票，该种股票在时期 t 2 的价 值为随机变量 V1 (2) 。企业的资金都是通过发行这种股票而筹集的，以 至于股票持有者有资格获得完全的收益流。最后给出的有关数据是
各股票之间的相关系数为 甲乙 =0.8，乙丙 =0.75，丙甲 =0.85， 银行在 0 时刻
-4-
注：此答案仅供参考，若有错漏敬请见谅！
发行债券，价格为 10 元，1 时刻赎回价为 12.5 元。求 (1)各股票的期望收益率； (2)各股票收益率的方差； (3)若某投资者对甲乙丙三种股票及债券的投资组合为 求 的期望收益率和方差。
(2)?
(3)?
bx 14.若某投资者的效用函数为V ( x ) e , b 0 ，
(1)判断该投资者的风险类型； (2)计算阿罗—伯瑞特(Arrow-Pratt)绝对风险厌恶函数。
解：(1) V ( x) be
bx
0, V ( x) b 2 e bx 0, 所以该投资者为风险厌恶型。
T T 16.已知两种股票 A，B 的期望回报率向量为 r (r1 , r2 ) (0.1, 0.2) ，协
0.1 0.12 V 0.12 0.2 方差矩阵为
计算(1)最小方差证券组合中两种股票 A，B 投资比例； (2) 最小方差证券组合的回报率。
期权的价值和损益计算
购进在一定期间内、行权价格为美元地卖方期权.假设成本为美元.此时该股票期权组合地收益曲线如图所示.文股票价格一、单项选择题、下列各项中，最低折旧年限为年地固定资产是（）.、房屋、飞机、与生产经营活动有关地器具、电子设备文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】房屋地最低折旧年限为年；飞机地最低折旧年限为年；电子设备地最低折旧年限为年.、某企业购入政府发行地年利率为地一年期国债万元，持有天时以万元地价格转让，该企业此笔交易地应纳税所得额为（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】国债利息收入国债金额×（适用年利率÷）×持有天数×（）×（万元）国债利息收入免税，国债转让收入应计入应纳税所得额.该笔交易地应纳税所得额（万元）文档收集自网络，仅用于个人学习、根据企业所得税法律制度规定，下列关于不同方式下销售商品收入金额确定地表述中，正确地是（）.、采用商业折扣方式销售商品地，按照扣除折扣后地金额确定销售商品收入金额、采用以旧换新方式销售商品地，按照扣除回收商品公允价值后地余额确定销售商品收入金额、采用买一赠一方式销售商品地，按照总地销售金额确定销售商品收入金额、采用现金折扣方式销售商品地，按照扣除现金折扣后地金额确定销售商品收入金额文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】选项，销售商品以旧换新地，销售商品应当按照销售商品收入确认条件确认收入，回收地商品作为购进商品处理；选项，采用买一赠一方式销售商品地，应将总地销售金额按各项商品地公允价值地比例来分摊确认各项地销售收入；选项，采用现金折扣方式销售商品地，按照扣除现金折扣前地金额确定销售商品收入金额.文档收集自网络，仅用于个人学习、张先生年将万元交付给公司（居民企业）用以购买非流通股，公司属于代持股公司.后通过股权分置改革，成为限售股.年月，公司将限售股转让，取得转让收入万元，但是不能准确计算限售股原值，则公司就此项业务而言当月应缴纳企业所得税（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】根据规定，企业未能提供完整、真实地限售股原值凭证，不能准确计算该限售股原值地，主管税务机关一律按该限售股转让收入地，核定为该限售股原值和合理税费.公司应缴纳企业所得税×（）×（万元）文档收集自网络，仅用于个人学习、根据企业所得税地规定，以下收入中属于不征税收入地是（）.、财政拨款、在中国境内设立机构、场所地非居民企业连续持有居民企业公开发行并上市流通地股票不足个月取得投资收益、非营利组织从事营利性活动取得地收入、国债利息收入文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】选项、要按规定征税；选项，属于免税收入.、根据企业所得税法地规定，下列纳税人中属于企业所得税纳税人地是（）.、个人独资企业、合伙企业、中外合资企业、个体工商户文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】各国在规定纳税义务人上大致是相同地，政府只对具有独立法人资格地公司等法人组织征收企业所得税.其余三项都不具备法人资格，均征收个人所得税.文档收集自网络，仅用于个人学习、根据企业所得税法地规定，以下适用％税率地是（）.、在中国境内未设立机构、场所地非居民企业、在中国境内虽设立机构、场所但取得所得与其机构、场所没有实际联系地非居民企业、在中国境内设立机构、场所且取得所得与其机构、场所有实际联系地非居民企业、所有地非居民企业文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】非居民企业包括在中国境内设立机构、场所地企业以及在中国境内未设立机构、场所，但有来源于中国境内所得地企业.在中国境内设立机构、场所地企业分为两种类型：在中国境内设立机构、场所且取得所得与其机构、场所有实际联系地非居民企业；在中国境内虽设立机构、场所但取得所得与其机构、场所没有实际联系地非居民企业.前者适用％税率，后者适用％税率（实际征税率％）.文档收集自网络，仅用于个人学习、依据企业所得税法地规定，下列各项中按负担所得地所在地确定所得来源地地是（）.、提供劳务所得、不动产转让所得、其他所得、租金所得文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】利息所得、租金所得、特许权使用费所得，按照负担、支付所得地企业或者机构、场所所在地确定，或者按照负担、支付所得地个人地住所地确定.文档收集自网络，仅用于个人学习、北京市某工业企业年实现会计利润总额万元，在当年生产经营活动中发生了公益性捐赠支出万元，购买了价值万元地环境保护专用设备.假设当年无其他纳税调整项目，年该企业应缴纳企业所得税（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】公益性捐赠支出税前扣除限额×（万元），所以捐赠支出纳税调增额（万元），购买环境保护专用设备投资额地可以从企业当年地应纳税额中抵免.应缴纳企业所得税（）××（万元）文档收集自网络，仅用于个人学习、某企业年度境内应纳税所得额为万元，适用地企业所得税税率.全年已经预缴税款万元，来源于境外某国税前所得万元，在境外缴纳了万元企业所得税.该企业当年汇算清缴应补（退）地税款为（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】（）抵免限额＝×＝（万元）；（）境外实缴＝（万元）；（）境内、外所得地应纳税额＝×＋－＝（万元）文档收集自网络，仅用于个人学习、依据企业所得税法规定，下列各项关于收入实现确认地说法中，不正确地是（）. 、股息、红利等权益性投资收益，按照被投资方作出利润分配决定地日期确认收入地实现、利息收入，按照合同约定地债务人应付利息地日期确认收入地实现、特许权使用费收入，按照收到特许权使用费地日期确认收入地实现、接受捐赠收入，按照实际收到捐赠资产地日期确认收入地实现文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】特许权使用费收入，按照合同约定地特许权使用人应付特许权使用费地日期确认收入地实现.、根据企业所得税法地规定，企业地下列各项支出，在计算应纳税所得额时，准予从收入总额中直接扣除地是（）.、公益性捐赠支出、转让固定资产发生地费用、未经核定地准备金支出、向投资者支付地股息、红利等权益性投资收益款项文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】选项，企业发生地公益性捐赠支出，在年度利润总额％以内地部分，准予在计算应纳税所得额时扣除，超过部分，不得扣除；选项、不得从收入总额中扣除.文档收集自网络，仅用于个人学习、某居民企业年实际支出地工资、薪金总额为万元，福利费本期发生万元，拨缴地工会经费万元，已经取得工会拨缴收据，实际发生职工教育经费万元，该企业在计算年应纳税所得额时，应调整地应纳税所得额为（）万元.、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】福利费扣除限额为×％＝（万元），实际发生万元，准予扣除万元工会经费扣除限额＝×％＝（万元），实际发生万元，可以据实扣除职工教育经费扣除限额＝×％＝（万元），实际发生万元，准予扣除万元.调增应纳税所得额＝－＝（万元）.文档收集自网络，仅用于个人学习、某工业企业年度全年销售收入为万元，转让无形资产所有权收入万元，提供加工劳务收入万元，变卖固定资产收入万元，视同销售收入万元，当年发生业务招待费万元.则该企业年度所得税前可以扣除地业务招待费用为（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】企业发生地与生产经营活动有关地业务招待费支出，按照发生额地扣除，但最高不得超过当年销售（营业）收入地‰.文档收集自网络，仅用于个人学习业务招待费扣除限额＝（＋＋）׉＝（万元）＞×％＝（万元），可以扣除万元.文档收集自网络，仅用于个人学习、某高新技术企业因扩大生产规模新建厂房，由于自有资金不足，年月日向银行借入长期借款笔，金额万元，贷款年利率是％，年月日该厂房开始建设，月日房屋竣工结算并交付使用，则年度该企业可以在税前直接扣除地该项借款费用为（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】企业为购置、建造固定资产发生借款地，在有关资产购置、建造期间发生地合理地借款费用，应予以资本化，作为资本性支出计入有关资产地成本.厂房建造前发生地借款利息可以在税前直接扣除，可以扣除地借款费用＝×％÷×＝（万元）.文档收集自网络，仅用于个人学习、某服装生产企业年度销售自产服装收入万元，销售边角余料收入万元，出租房屋收入万元，投资收益万元，接受捐赠收入万元，实际发生广告费是万元，业务宣传费万元，则该企业年度计算所得税时，广告费和业务宣传费地准予扣除（）万元.、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】企业发生地符合条件地广告费和业务宣传费支出，除国务院财政、税务主管部门另有规定外，不超过当年销售（营业）收入地部分，准予扣除.该企业年度广告费和业务宣传费地扣除限额＝（＋＋）×％＝（万元），实际发生＋＝（万元），准予扣除万元.文档收集自网络，仅用于个人学习、某居民企业年度取得生产经营收入总额万元，发生销售成本万元、财务费用万元、管理费用万元（其中含业务招待费万元，未包含相关税金及附加），上缴增值税万元、消费税万元、城市维护建设税万元、教育费附加万元，“营业外支出”账户中列支被工商行政管理部门罚款万元、通过公益性社会团体向贫困地区捐赠万元.该企业在计算年度应纳税所得额时，准许扣除地公益、救济性捐赠地金额是（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】根据规定，企业发生地公益性捐赠支出，不超过年度利润总额％地部分，准予扣除.这里地年度利润总额，是指企业依照国家统一会计制度地规定计算地年度会计利润.利润总额＝－－－－－－－－＝（万元）公益性捐赠支出扣除限额＝×％＝（万元），实际发生万元，根据限额扣除.文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】根据规定，企业发生地公益性捐赠支出，不超过年度利润总额％地部分，准予扣除.这里地年度利润总额，是指企业依照国家统一会计制度地规定计算地年度会计利润.文档收集自网络，仅用于个人学习利润总额＝－－－－－－－－＝（万元）公益性捐赠支出扣除限额＝×％＝（万元），实际发生万元，根据限额扣除.【正确答案】文档收集自网络，仅用于个人学习【答案解析】根据规定，企业发生地公益性捐赠支出，不超过年度利润总额％地部分，准予扣除.这里地年度利润总额，是指企业依照国家统一会计制度地规定计算地年度会计利润.文档收集自网络，仅用于个人学习利润总额＝－－－－－－－－＝（万元）公益性捐赠支出扣除限额＝×％＝（万元），实际发生万元，根据限额扣除.、下列关于资产地摊销处理中，不正确地做法是（）.、租入固定资产地改建支出，准予摊销、消耗性生物资产地支出，准予摊销、自创商誉，不得计算摊销费用、在企业整体转让或清算时，外购商誉地支出，准予扣除文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】生产性生物资产地支出，准予摊销，消耗性生物资产地支出，按成本、费用扣除.文档收集自网络，仅用于个人学习。
期权价格计算公式
期权价格计算公式股票的价格变化遵循一维维纳过程，其微分方程如下 dz t s b dt t s a ds ),(),(+=式中：dz 的差分∆Z 满足如下条件的正态分布t z ∆=∈∆在一般情况下，ds 可用下式表示：sdz sdt ds σμ+=----------- （1）或表示为：dz dt sds σμ+= 式中：s μ股票价格的期望漂移率，μ 为一个恒定参数；2)(s σ为股票价格波动的方差， σ 为股票价格的波动率，可以通过观察股票价格的动态系列数据获得。
如果存在一个变量 G ，它是股票S 的一种衍生证卷，它的价格是S 和 t 的函数，G(s,t)，那么，S 和G 都受到同一个基本的不确定性因素的影响。
根据ITO 定理，函数G 的行为遵循如下微分方程描述的过程：Sdz S G dt S S G t G S S G dG σσμ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)21(2222 -------------（2）函数G 的漂移率为222221S SG t G S S G σμ∂∂+∂∂+∂∂ 方差为222)(S SG σ∂∂如果G 代表股票S 的一种期权，我们想用S 和G 构造一组风险中性的证卷组合。
为此，首先将公式（1）、（2）改写成对应的差分形式：z S t S S ∆+∆=∆σμ ---------------（3）z S SG t S G t G S S G G ∆∂∂+∆∂∂+∂∂+∂∂=∆σμ)21(22 ----------（4） 由于公式（3）、（4）中的z ∆t ∆=∈(）是相同的维纳过程，只要证卷数量的搭配合理，整卷组合就可以消除z ∆。
恰当的证卷组合是：-1； 卖空一个期权S G∂∂+；买入期权价值变化对股票价格的敏感度，也就是他的偏微分那样多的股票。
定义这个证卷组合的价值为∏，表达式为 S S G G ∏∂∂+-= ---------（5）t ∆时间后，这个证卷组合的价值变化为：S S G G ∆∂∂+∆-=∆∏ -----------（6）将（3）、（4）带入（6），消去z ∆，得：t S S G t G ∆∂∂-∂∂-=∆∏)21(2222σ ---------（7）由于这个证卷组合是风险中性的，所以，它的收益一定与任何一个无风险证卷的收益相同，就是∏∏∆=∆t r ---------（8）将（5）、（7）带入（8），得：t S SG G r t S S G t G ∆∂∂-=∆∂∂+∂∂)()21(2222σ 将上式进一步化简，得：rG S G S S G rS t G =∂∂+∂∂+∂∂222221σ --------（9）这就是获得诺贝尔奖的Black-Scholes 微分方程。
《数理金融》习题参考答案
《数理金融》习题参考答案第一章〔P52〕题1-1 希德劳斯基模型的金融学含义是什么？解：参考方程〔1.2.13〕式后面的一个自然段。
题1-2 欧拉方程的经济学和金融学的含义是什么？解：参考方程〔1.5.9〕式和方程〔1.5.10〕式后面的一个自然段。
题1-3 假如你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息一次的复利形式支付利息，借期为一年。
那么一年后你欠了多少钱？解： 每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。
因此，一个季度后你的欠款为： 1000(1+0.02)两个季度后你的欠款为： 21000(1+0.02)(1+0.02)1000(1+0.02)=三个季度后你的欠款为： 231000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)+=四个季度后你的欠款为：341000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)1082.40+==题1-4 许多信用卡公司均是按每月计息一次的18%的年复合利率索要利息的。
假如在一年的年初支付金额为P ，而在这一年中并没有发生支付，那么在这一年的年末欠款将是多少？ 解：如此的复合利率相当于每个月以月利率1812%1.5%=支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。
因此，一年后你的欠款为：12P(1+0.015)1.1956P =题1-5 假如一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地运算利息，那么每年的有效利率应该是多少？解：有效利率应为：0.050.05eff Pe P r e 10.05127P-==-≈ 即有效利率是每年5.127%。
题1-6 一家公司在以后的5年中需要一种特定型号的机器。
这家公司当前有一台这种机器，价值6000美元，以后3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。
该机器开始使用后，第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。
期权的价值和价格
期权的价值和价格从上文的举例中我们可以发现，任何金融商品的期权合约都是有价值的，但不同的金融商品价值却各有不同。
价值的确定要通过权利金的方式来体现，那么影响其价值和权利金的因素有哪些呢？1.期权的价值对于任何一种期权来说，期权的价值和权利金都反映了其内涵价值（intrinsic value）和时间价值（time value）。
1）内涵价值反映的是履约价格和市场价格之间的差额案例比如说GBPUSD现货汇率为1.635 0，而某位投资者持有一手（10万英镑）履约价格为1.615 0的欧式传统型看涨期权，那么该期权的内涵价值为200个基点，200基点×10美元（点值）×1手＝2 000美元，也就是说该看涨期权的内在价值为2 000美元。
如果GBPUSD现货汇率市场价为1.595 0，比履约价格低200个基点（0.02美元），那么该投资者所持有的英镑的看涨期权的内涵价值为0。
反之，如果是看跌期权，那么履约价格高于市场价格时，该期权具备内涵价值，一旦履约价格低于市场价格，该期权的内在价值则等于零。
一份内涵价值＞0的期权称为实值期权，内涵价值＜0的期权称为虚值期权，内涵价值＝0的期权称为平价期权。
在实际的交易过程中，您将会发现取得一份实值期权所花费的权利金要高于平价期权和虚值期权。
这是因为，实值期权的金融商品的市场价格相对履约价格存在溢价，这部分溢价应当计入权利金，否则期权的卖出方会遭受不公平的损失。
2）期权的时间价值是由权利金减去内涵价值构成的以前文中的案例为例，如果当时那份GBPUSD的看涨期权的市场价格（权利金）为2 100美元的话，那么它的时间价值＝2 100美元－2 000美元＝100美元。
一般情况下，期权的有效期（时间跨度）越长，期权的时间价值也就越大，因为对于期权的买方而言，期权有效期越长，买方获利的可能性也就越大，而卖方的风险也就越大，为了补偿卖方可能承受的风险，买方必须向卖方支付这笔风险补偿费用（见图2.3，2.4）。
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第9章金融衍生工具定价理论1．某股票的当前价格为50美元，已知在6个月后这一股票的价格将变为45美元或55美元，无风险利率为10％（连续复利）。
执行价格为50美元，6个月期限的欧式看跌期权的价格为（）美元。
A．1.14B．1.16C．1.18D．1.20E．1.22【答案】B【解析】①考虑下面这个组合：－1：看跌期权，＋△：股票如果股票价格上升到55美元，组合价值为55△。
如果股票价格下降到45美元，组合价值为45△－5。
当45△－5=55△，即△=－0.50时，两种情况下组合价值相等，此时6个月后的组合价值为－27.5美元，当前的价值必定等于－27.5美元的现值，即：（美元）这意味着：其中，pp是看跌期权价格。
由于△=－0.50，看跌期权价格为1.16美元。
②使用另一种方法，可以计算出风险中性事件中上升概率p，必定有下式成立：得到：即p=0.7564。
此时期权价值等于按无风险利率折现后的期望收益：（美元）这与前一种方法计算出的结果相同。
2．某股票的当前价格为100美元，在今后每6个月内，股票价格或者上涨10％或下跌10％，无风险利率为每年8％（连续复利），执行价格为100美元，1年期的看跌期权的价格为（）美元。
A．1.92B．1.95C．1.97D．1.98E．1.99【答案】A【解析】图9-1给出利用二叉树图为看跌期权定价的方法，得到期权价值为1.92美元。
期权价值也可直接通过方程式得到：（美元）图9-1 二叉树图3．某股票的当前价格为50美元，已知在2个月后股票价格将变为53美元或48美元，无风险利率为每年10％（连续复利），执行价格为49美元，期限为2个月的欧式看涨期权价格为（）美元。
A．2.29B．2.25C．2.23D．2.13E．2.07【答案】C【解析】①两个月结束的时候，期权的价值或者为4美元（如果股票价格为53美元），或者为0美元（如果股票的价格为48美元）。
考虑一份资产组合的构成：＋△：股票，－1：期权。
13数学本-2022数理金融学作业布置及参考答案(2)
13数学本-2022数理金融学作业布置及参考答案(2)作业次数顺序：请按作业本上顺序标号，我这里的标号不一定对。
做作业请我布置的顺序做，谢谢！第八次作业：4.1，4.2教材p68第6,7题请参考4.3,4.4解法作业八：贝塔系数与证券定价（一）4.1.一个由无风险资产和市场组合构成的投资组合的期望收益是11%，标准差是0.18，且市场组合的期望收益是15%。
假定资本资产定价模型有效。
如果一个证券与市场组合的相关系数是0.30、标准差是0.4，计算该证券的期望收益是多少？解：设该投资组合为某p(1)r某M,由题意知，E(某M)14%,r0.05,pM所以，E(某p)rMp(E(某Mr))，11%5%Mp(15%5%)Mp0.6mp,m0.180.60.3mmpppmjmjpm0.30.400.30.120.30.4由资本市场线CML方程得:E(某j)rMj(E(某M)r5%0.410%9%4.2设无风险利率为6%，市场组合的期望收益是15%，方差为0.04.证劵j与市场组合的相关系数是0.45，方差是0.16。
根据资本资产定价模型，证券j的期望收益是多少？解：设某j为证券j的收益率，由题意知，2E(某M)15%,r6%,mjmjjm/m0.450.40.2/0.040.9由CAPM模型：E(某j)rfmj(E(某M)rf)得：E(某j)6%0.9(15%6%)14.1%4.3假设证券的市场价值为40美元，证券的期望收益率为13%，无风险利率为7%，市场风险溢价E(某M)-r为8%。
假如证券未来的期望收益不变，而证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍，试求证券在当前的价值。
4.3解：设此证券为某p由证券市场线方程E(某p)-r=bMp(E(某M)-r)，可知bMp8%-7%=6%,bMp=0.75因为bMp=cov(某p,某M)var(某M),当证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍时，bMp￠=2bMp=1.5,则E(某￠)=7%+1.58%收益D=P0E(某)19%4013%5.2,原来的2倍时，bMp￠=2bMp=1.5,D=P0ⅱE(某￠)P019%=5.2,P0=5.2/19%27.374.4假设证券的市场价值为60美元，证券的期望收益率为15%，无风险利率为7%，市场风险溢价E(某M)-r为8%。
数理金融习题答案
数理金融习题答案数理金融习题答案数理金融作为一门交叉学科，融合了数学、统计学和金融学的理论与方法，用于解决金融市场中的问题。
在学习数理金融的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题，我们可以更好地理解和应用相关的知识。
下面，我将为大家提供一些数理金融习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 期权定价模型中的Black-Scholes模型是如何推导出来的？答案：Black-Scholes模型是由Fischer Black和Myron Scholes于1973年提出的，它是一种用于计算欧式期权价格的数学模型。
该模型基于一些假设，如市场无摩擦、无套利机会、股票价格服从几何布朗运动等。
通过对股票价格的随机性建模，我们可以得到一个偏微分方程，即Black-Scholes方程。
通过求解这个方程，我们可以得到期权的理论价格。
2. 什么是马尔科夫链？答案：马尔科夫链是一种随机过程，具有马尔科夫性质。
马尔科夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔科夫链可以用状态转移矩阵来描述，矩阵中的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔科夫链在金融中的应用很广泛，比如股票价格的模拟和风险管理等领域。
3. 什么是随机过程的鞅性？答案：鞅是一种随机过程，具有平均保持不变的性质。
在数理金融中，我们常常关注鞅性的概念。
一个随机过程被称为鞅，如果它的条件期望在给定当前信息下等于当前值。
鞅性在金融中有很多应用，比如期权定价中的风险中性概率测度和无套利定价等。
4. 如何计算期权的Delta和Gamma？答案：Delta是期权价格对标的资产价格变化的敏感度，可以通过计算期权价格在标的资产价格上的偏导数来得到。
Gamma是Delta对标的资产价格变化的敏感度，可以通过计算Delta在标的资产价格上的偏导数来得到。
这两个指标在期权交易中非常重要，可以帮助我们了解期权价格的变化情况。
期权投资的收益计算掌握期权交易的收益计算方法
期权投资的收益计算掌握期权交易的收益计算方法期权是一种金融衍生品，它赋予买方在特定时间内以特定价格购买或出售某个标的资产的权利。
因此，期权交易的收益计算方法与其他投资品种有所不同。
本文将介绍几种常用的期权收益计算方法，并详细解释其原理和计算步骤。
1. 看涨期权收益计算看涨期权是买方有权利但无义务以预定价格购买标的资产的期权合约。
当标的资产价格上涨时，买方可以通过行使期权来获利。
因此，看涨期权的收益计算方法如下：收益 = 行权价格 - 实际购买价格 - 期权费用具体的计算步骤如下：1) 确定买入看涨期权的合约数量；2) 计算实际购买价格（期权费用+手续费）；3) 计算收益（行权价格-实际购买价格）。
举个例子，假设某个股票的看涨期权合约的行权价格为10元，期权费用为1元，并且买入的合约数量为100。
如果实际购买价格（包括期权费用和手续费）为120元，那么收益就可以计算为：收益 = 10 * 100 - 120 = 880元看跌期权是买方有权但无义务以预定价格卖出标的资产的期权合约。
当标的资产价格下跌时，买方可以通过行使期权来获利。
看跌期权的收益计算方法如下：收益 = 实际卖出价格 - 行权价格 - 期权费用具体的计算步骤如下：1) 确定买入看跌期权的合约数量；2) 计算实际卖出价格（期权费用+手续费）；3) 计算收益（实际卖出价格-行权价格）。
举个例子，假设某个股票的看跌期权合约的行权价格为10元，期权费用为1元，并且买入的合约数量为100。
如果实际卖出价格（包括期权费用和手续费）为80元，那么收益就可以计算为：收益 = 80 - 10 * 100 = -1200元需要注意的是，当看跌期权的实际卖出价格低于行权价格时，收益为负数，表示买方的损失。
3. 组合期权收益计算组合期权是同时买入或卖出多个期权合约的投资策略。
根据不同的组合方式，其收益计算方法也有所不同。
下面介绍两种常用的组合期权收益计算方法：蝶式期权是一种基于不同行权价格的多个看涨期权和看跌期权组合而成的策略。
金融学期权考试题及答案
金融学期权考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 期权是一种（）。
A. 权利B. 义务C. 权利和义务D. 债务答案：A2. 看涨期权赋予持有者在特定时间内以特定价格（）标的资产的权利。
A. 卖出B. 买入C. 持有D. 放弃答案：B3. 看跌期权赋予持有者在特定时间内以特定价格（）标的资产的权利。
A. 卖出B. 买入C. 持有D. 放弃答案：A4. 期权的内在价值是指（）。
A. 期权的市场价格B. 期权的执行价格与标的资产市场价格之间的差额C. 期权的执行价格D. 期权的市场价格与执行价格之间的差额答案：B5. 期权的时间价值是指（）。
A. 期权的市场价格B. 期权的执行价格与标的资产市场价格之间的差额C. 期权的市场价格与内在价值之间的差额D. 期权的市场价格与执行价格之间的差额答案：C6. 期权的执行价格是指（）。
A. 期权的市场价格B. 期权的内在价值C. 期权的市场价格与内在价值之间的差额D. 期权合约中规定的买卖标的资产的价格答案：D7. 欧式期权只能在（）行权。
A. 到期日B. 到期日之前C. 到期日之后D. 任何交易日答案：A8. 美式期权可以在（）行权。
A. 到期日B. 到期日之前C. 到期日之后D. 任何交易日答案：D9. 蝶式价差是一种（）策略。
A. 看涨B. 看跌C. 无风险D. 风险有限答案：D10. 跨式策略是一种（）策略。
A. 看涨B. 看跌C. 无风险D. 风险有限答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 下列哪些是期权的基本类型？（）A. 看涨期权B. 看跌期权C. 欧式期权D. 美式期权答案：A, B12. 期权的时间价值受哪些因素影响？（）A. 期权的执行价格B. 标的资产的波动性C. 期权到期时间D. 无风险利率答案：B, C, D13. 蝶式价差策略中，买入中间执行价格的期权和卖出两侧执行价格的期权，其目的是（）。
A. 限制风险B. 限制收益C. 利用价格波动D. 利用时间价值答案：A, C14. 跨式策略中，同时买入看涨期权和看跌期权，其目的是（）。
数理金融学作业11：期权价值的计算(1)单期
期权价值的计算1.某个股票现价为40美元。
已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元。
无风险年利率为12%（连续复利）。
请用无套利原理说明，执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ (2) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.参考答案：1.解：股票的价格二叉树模型为：04240,12%,1/12138u f d qS S r q S τ====-=第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知： 0.121/12404238(1)e q q ´?+-从40(10.01)4238(1)q q ?=+-我们得到2.442384q q q =-= 所以 0.6q =第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.(1) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：0310u d q C C q C =-=看涨期权的价格为： 01 1.8[3(1)0] 1.7821.01 1.01C q q （美元）=?-? (2) 执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为：0011u d q C P q C =-=，所以看跌期权的价格为： 010.4[0(1)1]0.3961.01 1.01P q q （美元）=?-?（3）r P S C Ke τ-+=+，0.010.3964040.396, 1.7823940.396r P S C Ke e τ--+=+=+=+⨯=2.某个股票现价为50美元。
已知在两个月后，股票价格为53美元或48美元。
无风险年利率为10%（连续复利）。
请用无套利原理说明，（1）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.2.解：股票的价格二叉树模型为：05350,10%,1/6148u f d q S S rq S τ====-=第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知： 0.11/6505348(1)e q q ´?+-从50(11/60)5348(1)q q ?=+-我们得到17/653485q q q =-= 所以3.4/6q =第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.(3) 执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：0410u d q C C q C =-=看涨期权的价格为：0113.6/6136[4(1)0] 2.2361/6061/6061C q q （美元）=?-?=(4) 执行价格K=49美元的看跌期权的二叉树模型为：0011u d q C P q C =-=，所以看跌期权的价格为： 06060 2.6[0(1)1]0.42661616P q q （美元）=?-? （3）r P S C Ke τ-+=+，0.4265050.426,P S +=+=0.11/602.2349 2.234960/61 2.2348.19650.426r C Ke e τ--⨯+=+⨯=+⨯=+=3.某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。
数理金融学作业12：期权价值的计算(2)单期
期权价值的计算（2）单期3. 某个股票现价为80美元。
已知在4个月后，股票价格为75美元或85美元。
无风险年利率为6%（连续复利）。
请用无套利原理说明，（1）执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.3解：股票的价格二叉树模型为：08580,6%,1/3175u f d qS S r q S τ====-=第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知： 0.061/3808575(1)e q q ´?+-从 80(10.02)8575(1)q q ?=+-我们得到6.6857510q q q =-= 所以0.66q =第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.（2） 执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：0510u d q C C q C =-=看涨期权的价格为： 01 3.3[5(1)0] 3.2351.02 1.02C q q （美元）=?-?（3） 执行价格K=80美元的看跌期权的二叉树模型为：0015u d q C P q C =-=，所以看跌期权的价格为： 01 1.7[0(1)5] 1.6671.02 1.02P q q （美元）=?-? （3）r P S C Ke τ-+=+，0.021.678081.67, 3.23580 3.2478.4381.67r P S C Ke e τ--+=+=+=+⨯=+=4．股票现在的价值为50元。
一年后，它的价值可能是55元或40元。
一年期利率为4%。
假设我们希望计算两种看涨期权的价格，一种执行价格为48美元，另一种执行价为53美元。
我们也希望为一种执行价为45元的看跌期权定价。
问：如何求欧式看涨期权这三个无套利价格。
4.解：股票的价格二叉树模型为：05550,4%,1140u f d qS S r q S τ====-=第1步：从股票二叉树得到风险中性概率q由无套利原理知：1.04505540(1)q q ?+-从525540(1)q q =+-,得到 12554015q q q =-= ,所以, 120.815q == 第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均(1) 执行价格为48美元的1年后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：0710u d q C C q C =-=看涨期权的价格为： 01 5.6[7(1)0] 5.381.04 1.04C q q （美元）=?-?(2) 执行价格为53美元的1年后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：0210u d q C C q C =-= 看涨期权的价格为： 01 1.6(0.820)1.541.04 1.04C （美元）=?= (3) 执行价格为45美元的1年后到期的欧式看跌期权的二叉树模型为：0015u d q C C q C =-=，看跌期权的价格为： 01 1.0(00.25)0.961.04 1.04C （美元）=+?。
数理金融步习题答案
1(证明）请使用一价律证明看跌-看涨期权平价公式。
证明：构造两个投资组合：（1）0时刻买入一股股票及一个看跌期权，成本S+P 。
（2）0时刻买入一份看涨期权并加上金额为rt Ke -，现金成本rt Ke C -+，在t 时刻，假定股票价格为S （t ），当S （t ）》K ，对投资（1）来说价值S （t ），对投资（2）价值以rt rt e Ke ⋅-=K 买入一股股票，价值为S （t ）。
当S （t ）<K 时，投资（1）价值为K ，综上所述由一价律值知：S+P=C+rt Ke -。
2（证明）证明：如果S+P-C>K rt e -，那么以下的投资策略总可以得到正的收益：卖出一股股票，卖出一个看跌期权，并买入一个看涨期权。
证明：如果S+P-C>K rt e -，那么我们通过在0时刻购买一份股票，同时买入一个看涨期权，并卖出一个看跌期权，这个初始的投入S+P-C ，在t 时刻卖出如果S(t)<=k,那么买入的看涨期权无价值，可以执行看跌期权，以价格K 卖出。
如果S(t)>=k ，那么卖出的看跌期权无价值，则执行看涨期权，迫使以K 卖出，由于S<(S+P-C)rt e ，我们都有正的利润，所以S+P-C>K rt e -。
4成年男子的血液收缩压服从均值为127.7，标准差为19.2的正态分布，求：a)68%b)95%c)99.9%解：a)设陈年男子血液收缩压为X, E 为对应的正态随机变量，即E=（X-127）/19.2， u=127.7,&=19.2, 所以|&|<=19=0.682,所以-1<=(E-127.7)/19.2<=1,即108.5<=E,所以取值范围为 [108.5,146.9]b)由表可得p{|E|<=2}=0.9544,即-2<=(E-127.7)/19.2<=2,89.3<=E<=166.1,所以取值范围[89.3,166.1] c) p{|E|<=3}=0.9974,即-3<=(E-127.7)/19.2<=3,解得70.1<=E<=185.3,所以取值范围[70.1,185.3]. 4一个打算20后退休人，今后240个月月初存款A ，随后360个月月初提款1000，名义利率6%，求A 。
期权价格计算公式
期权价格计算公式
期权价格计算公式：
期权价值=内在价值+时间溢价
内在价值：是指期权立即执行产生的经济价值。
时间溢价：时间带来的“波动的价值”，是未来存在不确定性而产生的价值。
期权的内在价值的影响因素：
内在价值的大小，取决于期权标的资产的现行市价与期权执行价格的高低。
期权价值的影响因素：
股票市价、无风险利率：与看涨期权价值同向变动，看跌期权价值反向变动。
无风险利率越高，执行价格的现值越低。
执行价格、预期红利：与看涨期权价值反向变动，看跌期权价值同向变动。
期权有效期内预期红利发放，会降低股价。
到期期限：对于美式期权来说，到期期限越长，其价值越大；对于欧式期权来说，较长的时间不一定能增加期权价值。
股价波动率：股价的波动率增加会使期权价值增加。
在期权估值过程中，价格的变动性是最重要的因素。
如果一种股票的价格变动性很小，其期权也值不了多少钱。
数理金融学作业14：期权价值的计算（4）双期
数理⾦融学作业14：期权价值的计算（4）双期期权价值的计算（4）双期10.某个股票现价为50美元。
有连续2个周期，每个周期为3个⽉，在每个周期内的单步⼆叉树的股价或者上涨6%或者下跌5%。
利率为5%（连续复利）。
求执⾏价格为51美元，有效期为6个⽉的欧式看涨期权的价值为多少？（2）求执⾏价格为51美元，有效期为6个⽉的欧式看跌期权的价值为多少？（3）如果看跌期权是美式期权，在⼆叉树的任何节点，提前执⾏期权是否会更优呢？10解：050, 1.06,0.95,5%,1/4,2,51f S u d r n K τ=======股票价格的两期⼆叉树模型为：2000002056.1853150.3550147.5145.125q u S quS q udS S qq dS q d S ==-==-=-= 风险中性概率0.121/40.950.41.10.9e q ?-==- 股票A 的执⾏价格51$K U D =，有效期为6个⽉的欧式看涨期权的两期⼆叉树模型为：0 5.182.011100.7821010uu u ud d dd q C qC q C C qq C q C ==-==-=-= 由由⽆套利原理知：0.120.2522202()(0.4 5.1820.40.600.60)0.782r n C e E C e t --创==?创??11.某个股票现价为40美元。
有连续2个周期，每个周期为3个⽉，在每个周期内的单步⼆叉树的股价或者上涨10%或者下跌10%。
利率为12%（连续复利）。
（1）求执⾏价格为42美元，有效期为6个⽉的欧式看涨期权的价值为多少？（2）求执⾏价格为42美元，有效期为6个⽉的美式看跌期权的价值为多少？6.8.解：040, 1.1,0.9,12%,1/4,2,42f S u d r n K τ=======股票价格的两期⼆叉树模型为：2000002048.444139.640136132.4q u S quS q udS S qq dS qd S ==-==-=-= 风险中性概率0.121/40.90.651.10.9r e d e q u d τ?--===-- 股票的执⾏价格42$K U D =，有效期为6个⽉的欧式看涨期权的两期⼆叉树模型为：0 6.44.04102.551010uu u ud d dd q C qC q C C qq C qC ==-==-=-=由由⽆套利原理知：0.120.2522202()(0.65 6.420.650.3500.350) 2.55r n C e E C e t --创==?创??12. 股票S 的价格变化趋势如图所⽰：132.25115S=100 103.590815%f R =，期权在t=2时到期，到期施权价为102元，试确定股票S 的欧式买⼊期权在t=0时的内在价值。
_金融期权价值的评估方法(1)
2．套期保值原理【问题】如何确定复制组合的股票数量和借款数量，使投资组合的到期日价值与期权相同？这个比率称为套期保值比率，用H表示。
套期保值比率【手写板】S u=S0×uS d=S0×dS0×u-S0×d=S0×（u-d）续【教材例7—10】（1）确定可能的到期日股票价格。
上行股价S u=股票现价S0×上行乘数u=50×1.3333=66.66（元）下行股价S d=股票现价S0×下行乘数d=50×0.75=37.5（元）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值。
股价上行时期权到期日价值C u=上行股价-执行价格=66.66-52.08=14.58（元）股价下行时期权到期日价值C d=0（3）计算套期保值比率H==0.5（4）计算投资组合的成本（期权价值）。
购买股票支出=套期保值比率×股票现价=0.5×50=25（元）借款数额=（到期日下行股价×套期保值比率-股价下行时期权到期日价值）÷（1+r）=（37.5×0.5-0）÷1.02=18.38（元）期权价值=投资组合成本=购买股票支出-借款=25-18.38=6.62（元）。
【手写板】B=B×（1+r）H×S u-B×（1+r）=H×S u-=B×（1+r）B=①H×S d-B×（1+r）=H×S d-=B×（1+r）B=②学而不思则罔，思而不学则殆——《论语》。
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期权价值的计算
1.某个股票现价为40美元。
已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元。
无风险年利率为12%（连续复利）。
请用无套利原理说明，执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ (2) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.
参考答案：
1.解：股票的价格二叉树模型为：
042
40,12%,1/12138u f d q
S S r q S τ====-=
第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知： 0.121/12404238(1)e q q ´?+-
从
40(10.01)4238(1)q q ?=+-
我们得到
2.442384q q q =-= 所以 0.6q =
第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.
(1) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：
03
10u d q C C q C =-=
看涨期权的价格为： 01 1.8[3(1)0] 1.7821.01 1.01
C q q （美元）=?-? (2) 执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为：
00
11u d q C P q C =-=，所以看跌期权的价格为： 010.4
[0(1)1]0.3961.01 1.01P q q （美元）=
?-?
（3）r P S C Ke τ-+=+，
0.010.3964040.396, 1.7823940.396r P S C Ke e τ--+=+=+=+⨯=
2.某个股票现价为50美元。
已知在两个月后，股票价格为53美元或48美元。
无风险年利率为10%（连续复利）。
请用无套利原理说明，（1）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.
2.解：股票的价格二叉树模型为：
053
50,10%,1/6148u f d q S S r
q S τ====-=
第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知： 0.11/6505348(1)e q q ´?+-
从
50(11/60)5348(1)q q ?=+-
我们得到
17/653485q q q =-= 所以
3.4/6q =
第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.
(3) 执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：
04
10
u d q C C q C =-=
看涨期权的价格为：
01
13.6/6136[4(1)0] 2.2361/6061/6061C q q （美元）=?-?=
(4) 执行价格K=49美元的看跌期权的二叉树模型为：
00
11u d q C P q C =-=，所以看跌期权的价格为： 06060 2.6[0(1)1]0.42661616P q q （美元）=
?-? （3）r P S C Ke τ-+=+，
0.4265050.426,P S +=+=
0.11/602.2349 2.234960/61 2.2348.19650.426r C Ke e τ--⨯+=+⨯=+⨯=+=
3.某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。
连续复利无风险年利率为8%。
请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？
解：构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。
如果股票价格升到42元，该组合价值就是42Δ-3。
如果股票价格跌到38Δ元，该组合价值就等于38Δ。
令：
42Δ-3=38Δ
得：Δ=0.75元。
也就是说，如果该组合中股票得股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。
因此，该组合的现值应该等于：
28.5e -0.08×0.08333=28.31元。
这意味着：
-(C)+40Δ=28.31
(C)=40×0.75-28.31=1.69元。
4.假如一份股票看跌期权的相关数据如下：
初始价格（S ）50美元，协定价格（K ）49美元，期权距到期时间（t ）为1年，无风险利率（r ）为5%。
看涨期权（C ）4.75美元。
请计算该看跌期权的期权费。