高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题修订稿

高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题【梳理自测】一、合情推理1．(教材习题改编)数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．272．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝底×高2，可推知扇形面积公式S扇等于( )A.r22B.l22C.lr2D．不可类比3．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．34．(教材改编)下面几种推理是合情推理的是________．(填序号)①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.答案：1.B 2.C 3.B 4.①②④◆以上题目主要考查了以下内容：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．二、演绎推理∵a＝(1，0)，b＝(0，－1)，∴a·b＝(1，0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0.∴a⊥b.大前提：若两个向量的数量积为零，则这两个向量垂直；小前提：a·b＝0；结论：a⊥b．◆此题主要考查了以下内容：(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．【指点迷津】1．一个防范合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．两个要点(1)应用演绎推理证题时，大前提可省略，解题中应注意过程的规范性．(2)当大前提和小前提正确时，得到的结论一定正确．考向一归纳推理例题1 (1)(2014·山东高考专家原创卷)已知数列：11，21，12，31，22，13，4 1，32，23，14，…，依它的前10项的规律推测这个数列的第2 012项是________．(2)(2014·济宁模拟)给出下列命题：命题1：点(1，1)是直线y＝x与双曲线y＝1x的一个交点；命题2：点(2，4)是直线y＝2x与双曲线y＝8x的一个交点；命题3：点(3，9)是直线y＝3x与双曲线y＝27x的一个交点；……请观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)为：________．【审题视点】 (1)把前10项分组归纳，分析归纳每一组数的变化规律及个数． (2)总结点的变化规律，再看直线和曲线的变化规律，写出此(语言)命题相似的内容． (1)这个数列的前10项按如下规则分组．第一组：11；第二组：21，12；第三组：31，22，13；第四组：41，32，23，14；…；第n 组：n 1，n －12，n －23，…，n －r ＋1r ，…，1n .由不等式n （n ＋1）2＜2 012，即n(n ＋1)＜4 024，得n≤62(n∈N *)，且当n ＝62时，n （n ＋1）2＝1 953，2 012－1 953＝59，即这个数列的第2 012项是上述分组中的第63组中的第59个数，即第2 012项是63－59＋159＝559.(2)点的横坐标是命题“n ”的值，纵坐标为n 2，直线的斜率为n ，曲线的系数为n 3，总结为点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n3x的一个交点．【答案】 (1)559 (2)点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n3x的一个交点【类题通法】 所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论．变式训练1．(2014·青岛模拟)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122 ＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般结论为________．解析：观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系，项数与分母中2的指数一致，分母中指数前边系数比项数多1，可得右侧为1－1（n ＋1）2n ，左侧观察相加的项数与最后一项中2的指数一致，其他就好确定，从而得到左侧为31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n.答案：31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝1－1（n ＋1）2n (n∈N *)考向二 类比推理例题2 (2014·湖北省八校高三联考)已知△ABC 的顶点A ，B 分别是离心率为e 的圆锥曲线x 2m ＋y 2n ＝1的焦点，顶点C 在该曲线上；一同学已正确地推得：当m ＞n ＞0时有e (sin A ＋sin B )＝sin C ．类似地， 当m ＞0，n ＜0时，有________．【审题视点】 把椭圆性质和双曲线性质类比结合解三角形推导结论．当m＞n＞0时，x2m＋y2n＝1为椭圆，|AC|＋|BC|＝2m，由正弦定理知，|AC|sin B＝|BC|sin A＝|AB|sin C|AC|＋|BC|sin B＋sin A＝|AB|sin C2msin A＋sin B ＝2csin Ce＝cm＝sin Csin A＋sin Be(sin A＋sin B)＝sin C．当m＞0，n＜0时，x2m＋y2n＝1为双曲线，||AC|－|BC||＝2m，由正弦定理知，|AC|sin B＝|BC|sin A＝|AB|sin C||AC|－|BC|||sin B－sin A|＝|AB|sin C2m|sin A－sin B|＝2csin Ce＝cm＝sin C|sin A－sin B|e|sin A－sin B|＝sin C.【答案】e|sin A－sin B|＝sin C【类题通法】(1)类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(2)熟悉常见的类比对象①平面与空间的类比2．(2014·陕西师大附中模拟)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n解析：选D .若{a n }是等差数列，则 a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ，∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝ c n1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·q n （n －1）2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12， 即{d n }为等比数列，故选D .考向三 演绎推理例题 3 (2014·西安长安一中质检)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式． 【审题视点】 (1)利用a n ＝S n －S n －1推导⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的递推关系，从而求a n .【典例精讲】 (1)证明：当n≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n ，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝12n －2n 2，对n ＝1不成立，所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12 （n ＝1），12n －2n 2（n≥2）.【类题通法】 (1)演绎推理的结构演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的理论依据其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P.变式训练3．(2013·高考重庆卷)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 解析：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.合情推理与演绎推理的方法探究典型例题 (2013·高考全国新课标卷)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1，2，3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列【方法分析】①题目条件：一系列△A n B n C n的三边大小关系和递推关系．②解题目标：判断该系列三角形的面积S1，S2，…，S n的单调变化．③关系探究：(ⅰ)由b1＞c1，b1＋c1＝2a1判断第一个三角形A1B1C1的三边a1，b1，c1的大小关系．(ⅱ)由递推关系a n＋1、b n＋1、c n＋1推导b2、c2与a1的关系．(ⅲ)视a1为定值，推导a n、b n与a1的大小关系．(ⅳ)猜想S n最大值时的条件．【解题过程】在△A1B1C1中，b1>c1，b1＋c1＝2a1，∴b1>a1>c1.在△A2B2C2中，a2＝a1，b2＝c1＋a12，c2＝b1＋a12，b2＋c2＝2a1，∴c1<b2<a1<c2<b1.在△A3B3C3中，a3＝a2＝a1，b3＝c2＋a22＝c2＋a12，c3＝b2＋a22＝b2＋a12，b3＋c3＝2a1，∴a1<b3<c2，b2<c3<a1，∴c1<b2<c3<a1<b3<c2<b1.由归纳知，n越大，两边c n，b n越靠近a1且c n＋b n＝2a1，此时面积S n越来越大，当且仅当c n＝bn＝a1时△A n B n C n面积最大．【答案】 B【回归反思】(1)此题也反映了等差数列的性质．c n，a1，b n成等差数列，且随n增加．c n，b n 逐渐靠近中项，即当a1固定时，另两边逐渐接近a1，直到成为等边三角形达到面积最大．(2)此题也可以用特值到一般的归纳推理．如令a1＝4，c1＝3，b1＝5，依次推出c2，b2等，计算三角形面积得出答案．真题体验1．(2013·高考陕西卷)观察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5……照此规律，第n个等式可为______________________________________________．解析：由前三个式子观察归纳可得结论．答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)2．(2012·高考陕西卷)观察下列不等式1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，……照此规律，第五个不等式为____________________．解析：观察三个不等式发现：第一个不等式左边为两式之和，且分母为两个连续整数的平方，右边为2×2－12；第二个不等式左边为三式之和，且分母为三个连续整数的平方，右边为2×3－13；第三个不等式左边为四式之和，且分母为四个连续整数的平方，右边为2×4－14；……归纳推理知：第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162＜1163．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：(1)b2 014是数列{an}中的第________项；(2)b2k－1＝________．(用k表示)解析：(1)an ＝1＋2＋…＋n＝n（n＋1）2，b1＝4×52＝a4，b2＝5×62＝a5，b3＝9×（2×5）2＝a9，b4＝（2×5）×112＝a10，b5＝14×（3×5）2＝a14，b6＝（3×5）×162＝a15，……b2 014＝⎝⎛⎭⎪⎫2 0142×5⎝⎛⎭⎪⎫2 0142×5＋12＝a5 035.(2)由(1)知b2k－1＝⎝⎛⎭⎪⎫2k－1＋12×5－1⎝⎛⎭⎪⎫2k－1＋12×52＝5k（5k－1）2.答案：(1)5 035 (2)5k（5k－1）24．(2013·高考山东卷理)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2 x ＋1y－2z的最大值为( )A．0 B．1C.94D．3解析：选B.z＝x2－3xy＋4y2(x>0，y>0，z>0)，∴xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤14－3＝1.当且仅当xy＝4yx，即x＝2y时等号成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴2x＋1y－2z＝22y＋1y－22y2＝－1y2＋2y＝－⎝⎛⎭⎪⎫1y－12＋1，∴当y＝1时，2x＋1y－2z的最大值为1======*以上是由明师教育编辑整理======。