高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题修订稿

高中数学合情推理与演

绎推理专题自测试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题

【梳理自测】

一、合情推理

1．(教材习题改编)数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )

A．28 B．32

C．33 D．27

2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝底×高

2

，可推知扇形面积公式

S

扇

等于( )

A.r2

2

B.

l2

2

C.lr

2

D．不可类比

3．给出下列三个类比结论：

①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；

②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；

③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

其中结论正确的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

4．(教材改编)下面几种推理是合情推理的是________．(填序号)

①由圆的性质类比出球的有关性质；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；

③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；

④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.

答案：1.B 2.C 3.B 4.①②④

◆以上题目主要考查了以下内容：

(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，个别到一般的推理．

(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

二、演绎推理

∵a＝(1，0)，b＝(0，－1)，∴a·b＝(1，0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0.

∴a⊥b.

大前提：若两个向量的数量积为零，则这两个向量垂直；

小前提：a·b＝0；

结论：a⊥b．

◆此题主要考查了以下内容：

(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种

推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．

【指点迷津】

1．一个防范

合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．

2．两个要点

(1)应用演绎推理证题时，大前提可省略，解题中应注意过程的规范性．

(2)当大前提和小前提正确时，得到的结论一定正确．

考向一归纳推理

例题1 (1)(2014·山东高考专家原创卷)已知数列：1

1

，

2

1

，

1

2

，

3

1

，

2

2

，

1

3

，

4 1，

3

2

，

2

3

，

1

4

，…，依它的前10项的规律推测这个数列的第2 012

项是________．

(2)(2014·济宁模拟)给出下列命题：

命题1：点(1，1)是直线y＝x与双曲线y＝1

x

的一个交点；

命题2：点(2，4)是直线y＝2x与双曲线y＝8

x

的一个交点；

命题3：点(3，9)是直线y＝3x与双曲线y＝27

x

的一个交点；

……

请观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)为：________．

【审题视点】 (1)把前10项分组归纳，分析归纳每一组数的变化规律及个数． (2)总结点的变化规律，再看直线和曲线的变化规律，写出此(语言)命题相似的内容． (1)这个数列的前10项按如下规则分组．第一组：1

1

；

第二组：21，12；第三组：31，22，13；第四组：41，32，23，1

4；…；

第n 组：n 1，n －12，n －23，…，n －r ＋1r ，…，1n .由不等式n （n ＋1）

2

＜2 012，

即n(n ＋1)＜4 024，得n≤62(n∈N *)，且当n ＝62时，n （n ＋1）

2

＝1 953，

2 012－1 953＝59，即这个数列的第2 012项是上述分组中的第63组中的

第59个数，即第2 012项是63－59＋159＝5

59

.

(2)点的横坐标是命题“n ”的值，纵坐标为n 2，直线的斜率为n ，曲线的系数为n 3，

总结为点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n

3x

的一个交点．

【答案】 (1)559 (2)点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n

3

x

的一个交点

【类题通法】 所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论．

变式训练

1．(2014·青岛模拟)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×1

2

2 ＝1－

13×22，

31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－1

4×23

，…，由以上等式推测到一个一般结论为________．

解析：观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系，项数与分母中2的指数一致，分

母中指数前边系数比项数多1，可得右侧为1－1

（n ＋1）2n ，左侧观察相加的项数与最后一项中2的

指数一致，其他就好确定，从而得到左侧为31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n ＋2n （n ＋1）×1

2n

.

答案：31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝1－1（n ＋1）2

n (n∈N *

)

考向二 类比推理

例题2 (2014·湖北省八校高三联考)已知△ABC 的顶点A ，B 分别是离心

率为e 的圆锥曲线x 2m ＋y 2

n ＝1的焦点，顶点C 在该曲线上；一同学已正确地

推得：当m ＞n ＞0时有e (sin A ＋sin B )＝sin C ．类似地， 当m ＞0，n ＜0时，有________．

【审题视点】 把椭圆性质和双曲线性质类比结合解三角形推导结论．