河北省衡水市2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析

河北省衡水市2021届新高考第一次质量检测数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6

π

，则它的一条对称轴方程可能是（ ）

A ．6

x π

=

B ．3

x π

=

C ．12

x π

=

D ．512

x π=

【答案】B 【解析】 【分析】

把已知点坐标代入求出ϕ，然后验证各选项． 【详解】

由题意2sin(

)13π

ϕ+=，1sin()32πϕ+=，26k πϕπ=-或22

k π

ϕπ=+，k Z ∈，

不妨取6π

ϕ=-或2

ϕπ=，

若2

ϕπ

=，则函数为sin(2)cos 22y x x π=+=，四个选项都不合题意，

若6πϕ=-，则函数为2sin(2)6y x π=-，只有3x π=时，sin(2)136ππ⨯-=，即3

x π

=是对称轴．

故选：B ． 【点睛】

本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键． 2．设f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）

A ．0.30.4

3(log 0.3)(2)(2)f f f -->> B ．0.40.3

3(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.4

3(2)(2)(log 0.3)f f f -->>

D ．0.40.3

3(2)(2)(log 0.3)f f f -->>

【答案】D 【解析】 【分析】

利用()f x 是偶函数化简()3log 0.3f ，结合()f x 在区间()0,∞+上的单调性，比较出三者的大小关系. 【详解】

()f x Q 是偶函数，()33

31010log 0.3(log )(log )33

f f f ∴=-=， 而0.30.43

10

log 12203-->>>>，因为()f x 在(0,)+∞上递减， 0.30.4310

(log )(2)(2)3

f f f --∴<<，

本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.

3．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，则2z x y =+的最大值为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D 【解析】 【分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【详解】

作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，

2z x y =+等价于2y x z =-+，作直线2y x =-，向上平移，

易知当直线经过点()2,0时z 最大，所以max 2204z =⨯+=，故选D ． 【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

4．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）

A 5

B ．

30C 6 D 25

以D 为原点，DA ，DC ，DD 1 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角的正弦值． 【详解】

以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1

的棱长为2，则()2,1,0E ，()1,0,2F ，()1,1,2EF =--u u u v

，

取平面11AA D D 的法向量为()0,1,0n =r

，

设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为θ，则sinθ＝|6

cos ,|EF n EF n EF n ⋅==⋅u u u v r

u u u v r u u u v r ，

∴直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为6.

故选C ．

【点睛】

本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题． 5．若函数()2

x

f x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

B ．2,4e ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

C ．2,4e ⎛⎫

-∞ ⎪⎝⎭

D ．2,4e ⎛⎤

-∞ ⎥⎝

⎦

【答案】B 【解析】 【分析】

由()2

x

f x e mx =-是偶函数，则只需()2

x

f x e mx =-在()0,x ∈+∞上有且只有两个零点即可.

【详解】

解：显然()2

x

f x e mx =-是偶函数

令2

0x

e mx -=，则2x

e m x

=

令()2x

e g x x =，()()3

2x e x g x x

-'= ()()()0,2,0,x g x g x '∈<递减，且()0,x g x +→→+∞ ()()()2,+,0,x g x g x '∈∞>递增，且(),x g x →+∞→+∞

()()2

24

e g x g ≥=

()0,x ∈+∞时，()22x x f e x e mx mx ==--有且只有2个零点，

只需2

4

e m > 故选：B 【点睛】

考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题. 6．已知圆

截直线

所得线段的长度是

，则圆与圆

的位置关系是（ ）

A ．内切

B ．相交

C ．外切

D ．相离

【答案】B 【解析】 化简圆

到直线

的距离

，

又

两圆相交. 选B

7．给出以下四个命题：

①依次首尾相接的四条线段必共面；

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是（ ）