两类形式幂级数的递推公式

n
根据图 1 以及引理 2 留数基本定理得，当 N → ∞ 时
n n
CN
∫
π sec ( πz ) z5
dz → 0 。
n
从而
∞ N ∞ ( −1) ( −1) ( −1) 5π 5 5π 5 5π 5 ， ， 。 32 0 − = 0 = − 32∑ = ∑ ∑ 5 5 5 24 768 24 −∞ ( 2n + 1) n = −∞ ( 2n + 1) − N ( 2n + 1)
4 p +1
n
n =1
cosh ( n + 1 2 ) π
=
π 4 p +1 。 4 ⋅ 24 p +1
的系数]的表达式和递推公式，并应用留数基本定理逐一作出证明。
引理 1[3]：三角函数展开成级数如下(用数学软件 maple13 展开)
sec x =+ 1
x 2 5 x 4 61x 6 227 x8 50521x10 540553 x12 199360981x14 + + + + + + 2 24 720 8064 3628800 95800329 87178291200 3878302429 x16 240487967441x18 14814847529501x 204 + + + + 4184557977600 6402373705728000 97316080327065600 x 2 5 x 4 61x 6 227 x8 50521x10 540553 x12 199360981x14 + − + − + − 2 24 720 8064 3628800 95800329 87178291200 3878302429 x16 240487967441x18 14814847529501x 204 + − + + 4184557977600 6402373705728000 97316080327065600
th th th
Abstract
By using the trigonometric function, the hyperbolic function and the series expansion of their product, the expansions and the recursive formula of these two forms of power series n n ∞ ∞ −1 ) −1 ) ( ( π4 p+1 π 2 p+1 2p ( ’s ratio of sec x series) and [ ∑ x = = ∑ 4 p+1 4 p+1 2 p+1 22 p + 1 n = 1 ( 2n + 1 ) n = −∞ ( 2n + 1 ) cosh ( n + 1 2 ) π 4 ⋅ 2 ( x 4 p ’s ratio of secxsechx series )] are derived. At the same time, we prove them one by one using the residue theorem.
16
4184557977600
+
240487967441( πz )
18
6402373705728000
+
14814847529501( πz )
+ 97316080327065600
20
级数中项 a−1 =
π3 π3 F ( z ) ;0 = ；于是 Re s ；而 2 2
Keywords
Series of Trigonometric Function, Formal Power Series, Recursive Formula, Residue Theorem
两类形式幂级数的 递推公式
陈艳丽，及万会
银川能源学院，银川 Email: chenyanli8866.hi@163.com 收稿日期：2014年6月10日；修回日期：2014年7月8日；录用日期：2014年7月16日
( −1) 2 p +1 n = −∞ ( 2n + 1)
∑
∞
n
=
π 2 p +1 [级数 sec x 中 x 2 p 的系数]的表达式， 并且得到了一个表达形式较为简单的递推公式。 22 p +1
∞
同时应用此方法求得形式幂级数 ∑ [级数 sec xsechx 中 x
4p
( −1) ( 2n + 1)
n
n =1
cosh ( n + 1 2 ) π
=
π4 p+1 [级数 secxsechx 中 x 4 p 的系数]的展开 4 ⋅ 24 p + 1
式及递推公式，并应用留数基本定理逐一作出证明。
关键词
三角函数的级数，形式幂级数，递推公式，留数定理
1. 引言
三角函数和双曲函数二者的级数，通常在研究数论的一些问题时需要用到。王欣[1]应用 Cauchy 留 数定理、部分分式、形式幂级数和超几何级数等经典分析方法，研究了含自由参数的三角函数恒等式、 有限三角和的封闭公式以及其它类型的三角和恒等式等组合计算问题。及万会，吴永[2]针对双曲函数方 幂和做了一定的研究。 在此基础上，本文首先应用三角函数、双曲函数的以及二者乘积的级数展开式推导出形式幂级数
131
两类形式幂级数的递推公式
n −1 ) ( 和式 ∑ 的计算 2 p +1 n =1 ( 2 n + 1 ) ∞
2.
2.1. 考虑围线积分
CN
∫
πsec ( πz ) z3
dz
1 1 1 1 如图 1 所示， 取矩形区域 CN ， 顶点 N + ( −1 + i ) ， N + (1 + i ) ， N + (1 − i ) 和 N + ( −1 − i ) 。 2 2 2 2
所以
n = −∞
∑
∞
( −1)
n 3
( 2n + 1)
=Байду номын сангаас
π3 。 16
2.2. 考虑围线积分
函数 F ( z ) =
CN
∫
5
πsec ( πz ) z5
dz
π sec ( πz ) z
1 ，函数 F ( z ) 在 z = 0 是 5 阶极点；单极点 z = n + ,n = ±1, ±2, 。 2
16
级数式中项 a−1 =
5π 5 5π 5 F z ;0 = ；于是 Re s ( ) 24 ；而 24
s Re= F ( z ) ; n + 1 2
( z − n −1 2) π 1 lim = z → n +1 2 cos ( πz ) z 5
−32 ( −1) π = lim . 5 5 z → n +1 2 − π ( n + 1 2 ) sin ( π ( n + 1 2 ) ) ( 2n + 1)
Pure Mathematics 理论数学, 2014, 4, 130-137 Published Online July 2014 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/pm http://dx.doi.org/10.12677/pm.2014.44020
图 1 表示，当 N → ∞ 时，函数 f ( z ) 在复平面内向四周无限扩充，根据引理[2]， f ( z ) 在所有各奇点 (包括 ∞ 点)的留数总和必等于零。 π sec ( πz ) 1 F (z) = ，函数 F ( z ) 在 z = 0 是 3 阶极点[5] [6]； z = n + ,n = ±1, ±2, 是单极点。 2 z3 由级数(3)令 x = πz ，那么级数
F (z) =
π sec ( πz ) z3
=
π z3
( πz )2 5 ( πz )4 61( πz )6 227 ( πz )8 50521( πz )10 199360981( πz )14 + + + + + 1 + 2 24 720 8064 3628800 87178291200 + 3878302429 ( πz )
1 N + ( −1 − t ) 2
1 N + (1 − t ) 2
Figure 1. Rectangular area in the complex plane 图 1. 复平面内的矩形区域
132
两类形式幂级数的递推公式
∞ ( −1) π3 π 3 ∞ 8 ( −1) π 3 N 8 ( −1) 从而 − ∑ ，即 ， − 8 = 0。 0 0 − = = ∑ ∑ 3 3 3 2 2 − N ( 2n + 1) 2 −∞ ( 2n + 1) n = −∞ ( 2n + 1) n n n
(1)
sechx =− 1
(2)
所以
sec x ⋅ sechx =+ 1
x 4 23 x8 33661x12 20125603 x16 288294050521x 20 + + + + + . 6 840 7484400 27243216000 2375886867360000
(3)
引理 2[4] [5]：(留数基本定理)如果函数 f ( z ) 在扩充复平面内只有有限个奇点，那么 f ( z ) 在所有各 奇点(包括 ∞ 点)的留数总和必等于零。
130
两类形式幂级数的递推公式
摘
要
应用三角函数、 双曲函数以及二者乘积的级数展开式， 推导出两个形式幂级数 数 secx 中 x 2 p 的系数]和 ∑
∞
( −1 ) 2 p+1 n = −∞ ( 2n + 1 )
∑
∞
n
=
π 2 p+1 [级 22 p + 1
( −1 ) ( 2n + 1 )
4 p+1
由级数(3)令 x = πz ，那么级数
F (z) =
π sec ( πz )
z5
π = 5 z
( πz )2 5 ( πz )4 61( πz )6 227 ( πz )8 50521( πz )10 + + + + 1 + 2 24 720 8064 3628800 + 540553 ( πz ) 95800329
The Recursive Formula of Two Kinds of Formal Power Series
Yanli Chen, Wanhui Ji
Yinchuan Energy Institute, Yinchuan Email: chenyanli8866.hi@163.com Received: Jun. 10 , 2014; revised: Jul. 8 , 2014; accepted: Jul. 16 , 2014 Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
z → n +1 2
1 = Re s F ( z ) ; n + 2
( z − n −1 2) π 1 lim= cos ( πz ) z 3
z → n +1 2
lim
− π ( n + 1 2 ) sin ( π ( n + 1 2 ) )
3 n
π
−8 ( −1) 8 = = . 3 3 − ( 2n + 1) sin ( n + 1 2 ) π ( 2n + 1)
CN
∫
π sec ( πz ) z
3
dz 。由图 1 以及引理 2 可知，当 N → ∞ 时，
CN
∫
π sec ( πz ) z3
dz → 0 。
1 N + ( −1 + t ) 2
y CN
1 N + (1 + t ) 2
LN RN −N−1 −N −2 −1 1 2 N N+1 x
12
4184557977600 20 240487967441( πz ) 14814847529501( πz ) + + + 6402373705728000 97316080327065600
18
+
199360981( πz ) 87178291200
14
+
3878302429 ( πz )
2.3. 考虑围线积分
函数 F ( z ) =
π sec ( πz ) z
7
CN
∫
πsec ( πz ) z7