椭圆的复习专题
椭圆知识点复习总结
椭圆知识点总结复习1. 椭圆的定义：2. 椭圆的几何性质：（1）例二：设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 作x 轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点1F ，此时椭圆与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且A,B 两点所确定的直线AB与OP 平行，求离心率e2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<3．直线与圆锥曲线的位置关系：（往往设而不求） （1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；例三：:直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；例四：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与过点(2,0),(0,1)A B 的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e =（1）求椭圆的方程 （2）设12,F F 分别为椭圆的左，右焦点，M 为线段2AF 的中点，求证：1ATM AFT ∠=∠ （3）求证：21212AT AF F =.6、弦长公式：（直线与椭圆的交点坐标设而不求）若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k -+，（若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。
特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
）例七：已知椭圆C ：22142x y +=和直线:l y x m =+交于,A B 两点，且4AB =，求直线的方程。
高三数学专题复习----椭圆
高三数学专题复习----椭圆一 基础知识（1）椭圆的第一定义第二定义，（2）椭圆的标准方程，（3）椭圆的性质，（4）椭圆和直线的位置关系二 例题1、方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) (A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29 2、已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2＝13、椭圆5x 2＋4y 2＝1的两条准线间的距离是（ ）（A ）52 （B ）10 （C ）15 （D ）3504、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）335、若椭圆19822=++y k x 的离心率是21，则k 的值等于 ( ) (A)－45 (B)45 (C)－45或4 (D)45或4 6、椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或1 7、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。
（A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36y 2=1（C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=18、椭圆22a x ＋22b y =1的两个焦点F 1, F 2三等分它的两条准线间的距离，那么它的离心率是（ ）。
（A ）32 （B ）33 （C ）63 （D ）669、椭圆100x 2＋36y 2=1上的一点P 到它的右准线的距离是10，那么P 点到它的左焦点的距离是（ ）。
2025届高三总复习尖子生培训椭圆知识专题
椭圆的知识专题（定点定值）一、基础题1.已知F为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|＝|OF|，∠POF＝120°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．﹣1D．﹣12.已知A，B，C是椭圆上不同的三点，且原点O是△ABC的重心，若点C的坐标为，直线AB的斜率为，则椭圆Γ的离心率为（）A．B．C．D．3.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），右焦点为F，过C上一点P作直线x＝c的垂线，垂足为Q．若四边形OPQF为菱形，则C的离心率为（）A．B．C．4﹣2D．﹣14.已知椭圆的方程为，F1、F2为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为△PF1F2的内心，直线PI与x轴交于点Q，若|PQ|＝3|IQ|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5.已知椭圆的右焦点是F，直线y＝kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|2+2|BF|2的最小值是（）A．36B．48C．72D．966.已知椭圆的左焦点为F，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆T：（x﹣2）2+y2＝1上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．7.已知椭圆+＝1（a＞b＞0），焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）．若过F1的直线和圆（x﹣c）2+y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是．8.椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．9.（1）如图，椭圆，P是直线x＝﹣4上一点，过点P作椭圆C的两条切线P A，PB，直线AB与OP交于点M，则sin∠PMB的最小值是（）A．B．C．D．（2）过椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>外一点P向椭圆作两切线于两切点,M N，F为右焦点，求证：MFP NFP∠=∠。
椭圆知识点复习
椭圆知识点复习一、要点归纳 （一）椭圆的定义：第一定义：平面内与两定点F 、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|的动点P 的轨迹叫做椭圆。
即：│PF │+│PF'│=2a其中两定点F 、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。
第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数），定点与定直线在椭圆同一侧，定常数为椭圆离心率。
其中定点F 为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是X=a^2/c)。
（二）椭圆的标准方程：椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：1）焦点在X 轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) 2）焦点在Y 轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0)其中a>0，b>0。
a 、b 中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b 时，焦点在x 轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c 和x=-a^2/c（三）椭圆的几何性质１．范围：椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里．原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x ,y ）都适合不等式,1,12222≤≤by a x即2222,b y a x ≤≤,∴b y a x ≤≤,2．对称性：从图形上看：椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称。
从方程上看： （1）把x 换成-x 方程不变，图象关于y 轴对称； （2）把y 换成-y 方程不变，图象关于x 轴对称；（3）把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，图象关于原点成中心对称。
椭圆的复习(基本知识+常考题型)
椭圆基本知识点一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点12,F F 距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集2121{||||2,2||2}M P PF PF a a F F c =+=>=，这里两个定点12,F F 叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（若1212||||||PF PF F F +=时，P 的轨迹为线段21F F ；若1212||||||PF PF F F +<，则无轨迹）。
2．标准方程： ①焦点在x 轴上：22221(0)x y a b a b+=>>； 焦点12(,0),(,0)F c F c -②焦点在y 轴上：22221(0)y x a b a b+=>>； 焦点12(0,),(0,)F c F c -注意：①在两种标准方程中，总有0a b >>，且222ca b =-；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或221mx ny += 二．椭圆的简单几何性质：1.范围：（1）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>横坐标a x a -≤≤ ,纵坐标b y b -≤≤（2）椭圆22221(0)y x a b a b+=>> 横坐标b x b -≤≤，纵坐标a y a -≤≤2.对称性：椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.椭圆的顶点：椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率：我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即ac称为椭圆的离心率， 记作e （10<<e ），2221()c b e aa==-0e =是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆； e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
专题22 椭圆(解答题压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题22 椭圆（解答题压轴题）目录①椭圆的弦长（焦点弦）问题 (1)②椭圆的中点弦问题 (10)③椭圆中的面积问题 (15)④椭圆中的参数和范围问题 (22)⑤椭圆中的最值问题 (28)⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 (35)⑦椭圆中向量问题 (42)⑧椭圆综合问题 (48)所以()2216432224m m ∆=-⨯⨯-=解得33m -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆C上一点．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上两点，若线段MN3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得(x 所以()()(1212124x x x x y y +-++又因为P 是DE 中点，所以1x +3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）令21230t k=->，故24k=当且仅当12tt=，即23,t k=故AOBV面积的最大值为3.）由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积1S AC=⋅令235t n -=，得2716970n n -+=，解得7n =或977n =，从而2t =±或11621t =±.故直线l 的方程为23x y =±-，或116x =±④椭圆中的参数和范围问题1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点）显然直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，1,1)y ，2(B x ,2)y ，则2(D x λ,2)y λ，四边形OAED 为平行四边形，AE =，12(E x x λ+,12)y y λ+，A ，B ，E 均在椭圆C 上，2114y +=，2222194x y +=，221212()()194x x y y λλ+++=，0，2129180x y y λ++=，依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k -=+，）得()20A ，，设直线l 的方程为x =2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242m y mty ++()()()222Δ244416mt m t m =-+-=2mt 24t -）C 短轴顶点时，PAB V 的面积取最大值222a b c =+，解得2,a b =的标准方程为2214x y += .）1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 的斜率为零，由对称性知1111022y y x x -==++，222y k x -=-设直线PQ 的方程为x ty n =+由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得(2k +()()(22121k x k x ⎡⎤++-+⎣⎦解得()22211k x k -=+或x =-）)()0011,,,x y A x y ，()22,B x y ，则可设直线PA 的方程为1x my =-，其中221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得(234m +）为椭圆C 的左顶点，又由（1）可知：(2,0)M -，设直线联立方程可得：222(44x ty mt x y =+⎧⇒+⎨+=⎩()()22224(4)40mt t m =-+->，即设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=得()2221484200k x kmx m +++-=设()11,D x y ，()22,E x y ，则21221621k x x k +=+，12x x ∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ，∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆长轴长为6．(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上下顶点分别为,A B，右顶点为C，过点于x轴对称，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点【答案】(1)221 94x y+=(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知26a=，可得3a=；联立直线与椭圆方程221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去设(),P P P x y ，易知P x 和0是方程的两根，由韦达定理可得又2P P y kx =+，所以2218894P k y k -=+，即1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆3。
专题复习椭圆的概念及其性质
椭圆的概念及其性质一、选择题1.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2.椭圆+=1的左焦点为F1,点P在椭圆上,若线段PF1的中点M在y轴上,则|PF 1|= ( )3.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()A.(-3,0)B.(-4,0)C.(-10,0)D.(-5,0)3.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C:+=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为( )A. B.1 C.2 D.44.(2016·武汉模拟)若m≠0,则椭圆+=1的离心率的取值范围是( )A. B. C.∪ D.∪C.必在圆x2+y2=1外D.必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间二、填空题6.过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为.7.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.8.(2016·菏泽模拟)椭圆Г:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.9.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当|PM|最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程.(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.。
复习椭圆相关知识点总结
复习椭圆相关知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一条封闭曲线，其定义为到两个给定点的距离之和等于常数（椭圆的长轴）。
即设两点F1（-c, 0）、F2（c, 0）（c为常数）,过F1、F2点分别作两条互相垂直的直线，这两条直线交于一点O，任意取一点M，连接M到两点的距离之和是常数，即|MF1| + |MF2| = 2a(常数)，则点M的轨迹称为椭圆。
二、椭圆的性质1.椭圆的离心率椭圆的离心率是指椭圆焦点到中心点的距离与长轴之比，其数值范围在0到1之间。
2.椭圆的焦点和直径椭圆有两个焦点，分别位于椭圆的长轴上，并向短轴的对称位置。
而椭圆的长轴和短轴之间的距离称为椭圆的直径。
3.椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)，y = b * sin(t)。
其中，a和b分别为椭圆的长短轴长度，t为参数。
4.椭圆的切线和法线椭圆上的切线与法线分别垂直于轨迹曲线，在切点处切线的斜率等于轨迹曲线的斜率，法线的斜率是切线斜率的相反数。
5.椭圆的焦点位置椭圆的焦点位置可以通过以下公式计算得出： c = sqrt(a^2 - b^2)。
三、椭圆的应用椭圆在数学和物理学中都有着广泛的应用，例如在天文学中，椭圆常用来描述行星、卫星和彗星的运动轨迹；在工程学中，椭圆常用来描述电子束的运动轨迹；在通信领域中，椭圆常用来描述无线信号的传播路径等。
四、椭圆的计算1.椭圆的面积椭圆的面积可以通过以下公式计算得出：S = π * a * b。
2.椭圆的周长椭圆的周长可以通过以下公式计算得出：C = 4a * E(e)。
其中，E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分，e是椭圆的离心率。
3.椭圆的焦距椭圆的焦距可以通过以下公式计算得出：f = 2a * e。
五、椭圆的变换椭圆可以通过平移、旋转、缩放等变换来得到新的椭圆，这些变换可以通过矩阵运算来表示，从而方便进行计算和分析。
综上所述，椭圆是一种经典的几何图形，在数学和物理学中有着广泛的应用。
专题50 椭圆及其性质-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
专题50椭圆及其性质最新考纲1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.基础知识融会贯通1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.重点难点突破【题型一】椭圆的定义及应用【典型例题】如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解答】解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选：A．【再练一题】已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点M满足|MF1|+|MF2|＝5，则点M的轨迹是（）A．双曲线B．椭圆C．线段D．不存在【解答】解：∵F1（﹣3，0），F2（3，0），∴|F1F2|＝6，又|MF1|+|MF2|＝5＜6，∴点M的轨迹不存在．故选：D．思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．【题型二】椭圆的标准方程命题点1利用定义法求椭圆的标准方程【典型例题】已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A． 1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|＝2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|＝4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a＝4，a＝2c＝1∴b2＝3，∴椭圆的方程是故选：C．【再练一题】已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|＝10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．【解答】解：（1）由椭圆定义及条件，可得2a＝|F1B|+|F2B|＝10，得a＝5．又∵c＝4，∴b3．因此可得该椭圆方程为．（2）∵点B（4，y B）在椭圆上，∴将x＝4，代入椭圆方程求得y B，可得|F2B|＝|y B|．∵椭圆右准线方程为x，即x，离心率e．根据圆锥曲线统一定义，得|F2A|（x1），|F2C|（x2）．由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得2|F2B|＝|F2A|+|F2C| 即（x1）（x2）＝2，由此解得x1+x2＝8．设弦AC的中点为P（x0，y0），可得中点横坐标为则x0（x1+x2）＝4．命题点2利用待定系数法求椭圆方程【典型例题】椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为（）A． 1B． 1C．1或 1D．1或 1【解答】解：∵椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，∴，解得a＝5，b2＝25﹣16＝9，∴当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为，当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为．故选：D．【再练一题】已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的焦点可得：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），点F关于直线y＝x的对称点为（0，1），故b＝1，c＝1，因此，∴椭圆方程为：．（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2＝1 ①当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：②联立①②得，，∴定点M（0，1）．证明：设直线l：，代入，有．设A（x1，y1），B（x2，y2），，．则，（x2，y2﹣1）；（1+k2）x1x2k0，在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点．思维升华(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．【题型三】椭圆的几何性质【典型例题】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有，，可得2，即有2，即有e，故选：B．【再练一题】已知AB是椭圆的长轴，若把线段AB五等份，过每个分点作AB的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于C，D，E，G四点，设F是椭圆的左焦点，则|FC|+|FD|+|FE|+|FG|的值是（）A．15 B．16 C．18 D．20【解答】解：椭圆的a＝5，b，c＝2，e，左准线方程为x，由题意可得x C＝﹣3，x D＝﹣1，x E＝1，x G＝3，由椭圆的第二定义可得，可得|FC|＝5x C，同理可得|FD|＝5x D，|FE|＝5x E，|FG|＝5x G，可得|FC|+|FD|+|FE|+|FG|＝20（﹣3﹣1+1+3）＝20．故选：D．思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．基础知识训练1．【山东省聊城市2019届高三三模】若方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ） A ．4k > B ．4k =C ．4k <D ．04k <<【答案】D 【解析】由题得2214x y k +=，因为方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以04k <<. 故选：D2．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】“02m <<”是“方程2212x y m m+=−表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】方程2212x ym m +=−表示椭圆，即020022m m m m m>⎧⎪−>⇒<<⎨⎪≠−⎩且1m ≠所以“02m <<”是“方程2212x y m m+=−表示椭圆”的必要不充分条件故选C3．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，P 为椭圆C上任一点，若12PF PF +=12F F =（ ） A ．4 B ．23C ．2D【答案】A 【解析】据题意，得a =24b =，所以有2c ==，所以124F F =，故选A.4．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】已知椭圆C ：()222124x y a a +=>，直线:2l y x =−过C 的一个焦点，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．13C．2D．3【答案】C 【解析】椭圆C ：()222124x y a a +=>，直线:2l y x =−过椭圆C 的一个焦点，可得2c =，则a ==，所以椭圆的离心率为：2c e a ===．故选：C ．5．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（ ）. A ．8 B ．6C ．5D ．4【答案】A 【解析】椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率：3c e a ==椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，即：212a = 可得：6a =，c =4b ∴===则椭圆短轴长：28b = 本题正确选项：A6．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】已知圆锥曲线1C ：221(0)mx ny n m +=>>与2C ：221(0,0)px qy p q −=>>的公共焦点为1F ，2F ．点M 为1C ，2C 的一个公共点，且满足1290F MF ∠=︒，若圆锥曲线1C 的离心率为34，则2C 的离心率为（ ） A ．92B．2C ．32D ．54【答案】B 【解析】1C ：22111x y m n+=，2C ：22111x y p q −=．设1a =2a =1MF s =，2MF t =，由椭圆的定义可得12s t a +=，由双曲线的定义可得22s t a −=， 解得12s a a =+，12t a a =−，由1290F MF ∠=︒，运用勾股定理，可得2224s t c +=，即为222122a a c +=，由离心率的公式可得，2212112e e +=， ∵134e =，∴2292e =，则22e =． 故选：B ．7．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)】嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A ．125B ．340C ．18D ．35【答案】B 【解析】如下图，F 为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF ｜＝100＋1738＝1838， ｜BF ｜＝400＋1738＝2138. 2a ＝1838＋2138， a ＝1988， a ＋c ＝2138， c ＝2138－1988＝150， 椭圆的离心率为：1503198840c e a ==≈， 选B .8．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知点F 1，F 2是椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，动点Q 在射线F 1P 的延长线上，且|PQ |=|2PF |，若|PQ |的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（ ） A ．35B ．13C ．45D ．19【答案】C 【解析】因为2||,||PQ PF PQ =的最小值为1，最大值为9，∴|PF 2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1，∴a=5，c=4．∴椭圆的离心率为e=45c a =， 故选：C ．9．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．3【答案】D 【解析】 如图，c =，则2b 2＝c 2， 即2（a 2﹣c 2）＝c 2，则2a 2＝3c 2，∴2223c a =，即e 3c a ==． 故选：D ．10．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y −−,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c −∴=++−,即00002y y c x x a c=++−, 002c x x a c ∴+=+−,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 11．【广东省揭阳市2019届高三高考二模】设F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆E 的左顶点，P 为直线32ax =上一点，APF ∆是底角为030的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为 A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】B 【解析】 如图，设直线32ax =与x 轴的交点为C ， 因为由椭圆性质可知，3,2aPF AF a c FC OC OF c ==+=−=−， 由题意可知031260,cos ,2acFC PFx PFx PF a c −∠=∴∠===+解得23c e a ==，故选B.12．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试】已知1F ，2F 是椭圆22x y143+=的左右焦点，点M 的坐标为31,2⎛⎫− ⎪⎝⎭，则12F MF ∠的角平分线所在直线的斜率为( ) A ．2− B ．1−C．D．【答案】A 【解析】31,2A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，1F ，2F 是椭圆22143x y+=的左右焦点，()11,0F −， 1AF x ∴⊥轴， 132AF ∴=，252AF =，∴点()21,0F 关于12F AF ∠的角平分线l 对称的点F 在线段1AF 的延长线上，又252AF AF ==，11FF ∴=， ()1,1F ∴−−，线段2F F 的中点10,2⎛⎫− ⎪⎝⎭，12F AF ∠的角平分线l 的斜率13122210k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭==−−−．故选A ． 13．【江苏省高三泰州中学、宜兴中学、梁丰2019届高三第二学期联合调研测试】椭圆T ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点(,0)A a ，(0,)B b ，过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆T 于D ，C （不同于顶点），若3BC AD =，则椭圆T 的离心率为_____．【答案】3【解析】依题意可得1BC AD AB a k k k b==−=， 因为过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆T 于D ，C （不同于顶点）， 所以直线BC ：a y x b b =+，直线AD ：()ay x a b=−． 由()4423222222220ay x bba x ab x bb x a y a bì=+ï+=íï+=î，所以3232444422C B C a b a b x x x b a b a−−+=⇒=++. 由()4425624222222()20ay x a b a x a x a a b bb x a y a bì=-ï-+-=íï+=î，所以62444A D a a b x x a b −⋅=+，5444D a ab x b a−=+.因为()0C CB x =，()D AD a x ，由3BC AD =可得33D C x x a −=，所以223a b =，椭圆T的离心率3e ===，故答案为：3。
高考数学专题复习：椭圆
高考数学专题复习：椭圆一、单选题1．在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（ ）A B 1C 1D -2．如果方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2-∞-，B ．(6)(3)-∞-⋃+∞，， C ．(62)(3)--⋃+∞，， D ．(3)+∞，3．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点，A 、B 分别为椭圆C的左、右顶点，P 为椭圆C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．344．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ）．A B C 1 D 5．已知点()3,15M 是椭圆22221x y a b+=上的一点，椭圆的长轴长是焦距的32倍，则该椭圆的方程为（ ）A ．2212520x y +=B ．22212745x y +=C ．2211810x y +=D ．2213620x y +=6．椭圆221259x y +=与椭圆22219x y a +=有（ ）A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．前三个答案都不对7．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为(1,0)-，则右焦点2F 的坐标是（ ）．A ．(1,2)B ．(2,1)-C ．(2,0)-D ．(1,0)8．已知椭圆22:14x y C m+=的一个焦点为(1,0)，则m 的值为（ ）A B ．3 C ．D ．69．已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12 ∠F PF 的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．点1F ，2F 为椭圆C ：22143x y +=的两个焦点，点P 为椭圆C 内部的动点，则12PF F △周长的取值范围为（ ） A ．()2,6 B ．[)4,6 C ．()4,6D ．[)4,811．椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则||ON 等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．1.512．如图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，短轴的上端点为B ，短轴上的两个三等分点P ，Q ，且四边形12F PF Q 为正方形，若过点B 作此正方形的外接圆的一条切线l 在x 轴上的截距为 ）A ．22198x yB ．221109x y +=C ．2212018x y +=D ．2212516x y +=二、填空题13．设椭圆22221x y a b+=的左、右焦点为12,F F ，过点1F 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，22::3:4:5AB AF BF =，则椭圆的离心率是________.14．椭圆22221(0)1x y m m m+=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =________．15．已知椭圆C 的焦点在坐标轴上，且经过(2)A -和(B -两点，则椭圆C 的标准方程为________.16．椭圆221x my +=的长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________. 三、解答题17．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点()()122,0,2,0A A -，点B 为椭圆E 的上顶点，且直线1A B 与直线20x =相互垂直. （1）求椭圆E 的方程；（2）若不垂直x 轴的直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，交椭圆于,C D 两点(C 在x 轴上方)，直线12,AC A D 分别与y 轴交于,S T 两点，O 为坐标原点，求证：13OSOT =.18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>E 的四个顶点构成的四边形面积为（1）求E 的方程；（2）设E 的左，右焦点分别为1F ，2F ，经过点(2,0)M -的直线l 与E 交于A ，B 两点，且12//F A F B ，求l 的斜率.19．已知中心在坐标原点O ，焦点在x C 过点12⎫⎪⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在不过原点O 的直线:l y kx m =+与C 交于PQ 两点，使得OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．若存在，求出k 、m 满足条件；若不存在，请说明理由．20．如图，椭圆C ：2223x y a +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若a =M ，N 是椭圆C 上两点，且MN =MON △面积的最大值．21．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）经过点12⎫⎪⎭，且长轴是短轴的两倍．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，()0,1A ，直线:l y kx t =+（1t ≠±）与曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP 与x 轴相交于点M ，直线AQ 与x 轴相交于点N ，若4OM ON ⋅=，求证：直线l 经过定点．22．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的焦点为1F 、2F ，点P 为椭圆C 上的动点，12PF F △的周长为4+ （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()0,7T ，直线l ：y kx m =+（0m <）与椭圆C 交于M ，N 两点，若TM TN ⋅为定值，则直线l 是否经过定点？若经过，求出定点坐标和TM TN ⋅的定值；若不经过，请说明理由．参考答案1．D 【分析】根据等腰Rt ABC ，可得||BC ，然后4AB AC BC a ++=可得a ，假设FA x =，依据椭圆定义可得x ，根据222||4AC AF c +=可得c ，最后可得离心率.【详解】设另一个焦点为F ，如图所示，∵||||1AB AC ==，||BC ，42AB AC BC a ++==a =，设FA x =，则12x a +=，12x a -，∴x =，2214c +=，c ，∴c e a =故选:D. 2．C 【分析】根据方程表示焦点在x 轴上的椭圆列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】由于椭圆的焦点在x 轴上，∴2660a a a ⎧>+⎨+>⎩，解得62a -<<-或3a >.故选：C 3．A 【分析】由AF a c =-，OF c =，OB a =，利用//MF OE ，两次应用平行线性质求MF 得出,a c 的关系式，从而求得离心率． 【详解】如图，由题意得(0)A a -，、0B a (，)、(0)F c -，，设(0)E m ，，由//PF OE 得MF AF OEAO =，则()m a c MF a-=①， 又由//OE MF ，OE 中点为H ，得OH BO MFBF=，则()2m a c MF a+=②， 由①②得1()2a c a c -=+，即3a c =，则13c e a ==， 故选：A. 4．C 【分析】由圆的切线及椭圆定义可得出,a c 的等式，从而求得离心率． 【详解】由题意2PF c =，12PF PF ⊥，所以1PF =，所以122PF PF c a +=+=，所以离心率为1ce a ===．故选：C ． 5．D 【分析】由长轴长是焦距的32得32a c =，再把已知点的坐标代入，结合222a b c =+可解得,a b 得椭圆方程． 【详解】由题意22222329151a b c a c a b ⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得6a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2213620x y +=．故选：D ． 6．D 【分析】由于椭圆22219x y a +=中，由于2a 与9的大小关系无法确定，所以无法确定椭圆的焦点位置，以及长轴和短轴长、离心率，即可得正确答案. 【详解】在221259x y +=中，15a =，13b =，可得：14c = 所以其长轴长为10，短轴长为6，离心率11145c e a ==，在椭圆22219x y a +=中，由于2a 与9的大小关系无法确定，所以无法确定椭圆的焦点位置，以及长轴和短轴长、离心率， 所以选项ABC 都不正确， 故选：D. 7．D 【分析】根据椭圆的几何性质可得答案. 【详解】因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为(1,0)-，所以右焦点2F 的坐标是(1,0)，故选：D. 8．B 【分析】根据椭圆焦点坐标确定参数c 及长轴的位置，进而求m 的值.【详解】由题意知：1c =且长轴在x 轴上， ∴241m c -==，即3m =. 故选：B 9．D 【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F F M △的中位线， ||5OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项. 【详解】P 是焦点为1F 、2F 的椭圆2212516x y+=上一点，PQ 12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1FQ 的延长线交2F P 的延长线于点M ，1∴=PM PF ，12210+==PF PF a ，22||210∴=+==MF PM PF a ，由题意知OQ 是12F F M △的中位线， ||5∴==OQ a ，Q ∴点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，∴当点Q 与y 轴重合时，Q 与短轴端点取最近距离541=-=-=d a b ，故选：D ． 10．C 【分析】根据椭圆的定义及简单性质，转化求解即可得出答案． 【详解】解：由椭圆C ：22143x y +=，得：2,1a c ==，当点P 在椭圆上时，12PF F △周长最大，为226a c +=， 当点P 在x 轴上时，去最小值，为44c =， 又因点P 为椭圆C 内部的动点， 所以12PF F △周长的取值范围为()4,6. 故选：C. 11．B 【分析】设椭圆另一焦点为2F ,根据椭圆定义12210MF MF a +==，故28MF =，再结合中位线定理即可得答案. 【详解】设椭圆另一焦点为2F ,根据椭圆定义12210MF MF a +==，故28MF =，12MF F △中, N 是1MF 的中点，O 是12F F 的中点，故ON 是中位线， 2118422ON MF ==⨯=. 故选：B. 12．B 【分析】根据题意，求得切线l 的方程，根据四边形12F PF Q 为正方形，可得b ，c 的关系，根据直线l 与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，即可求得b ，c 的值，根据a ，b ，c 的关系，即可得2a ，即可得答案. 【详解】因为切线l 在x轴截距为y 轴截距为b ， 所以切线l1yb =，即330y b -+=，因为正方形12F PF Q 的对角线122F F PQ c ==， 所以1223b c ⨯=，即3b c =，则正方形12F PF Q 外接圆方程为：222x y c +=，c =，解得3,1b c ==，又22210a b c =+=，所以椭圆方程为221109x y +=.故选：B13【分析】由题意可得2AB AF ⊥，设3AB k =，24AF k =，25BF k =，根据椭圆的定义可得3a k =，再由勾股定理求出c ，由ce a=即可求解. 【详解】12,F F 是椭圆22221x y a b +=的左、右焦点， 过点1F 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，22::3:4:5AB AF BF =，则2AB AF ⊥，不妨设3AB k =，24AF k =，25BF k =， 由椭圆的定义可得3454k k k a ++=，解得3a k =， 所以122642AF a AF k k k =-=-=，22222221212441620F F c AF AF k k k ==+=+=，解得c =，所以c e a ==，故答案为：14【分析】由题意利用椭圆的几何性质，得到1,c b m ==，结合16F AO π∠=，列出方程，即可求解.【详解】 由题意，椭圆22221(0)1x y m m m+=>+，可得22221,a m b m =+=， 则2221c a b =-=，所以1(1,0)F -，2(1,0)F ，且上顶点(0,)A m ， 如图所示，因为123F AF π∠=，可得16F AO π∠=，则11tan F AO m ∠==，解得m =15．221155x y += 【分析】设所求椭圆方程为：221mx ny +=(0m >，0n >，m n ≠)将A 和B 的坐标代入方程，即可得到答案；【详解】设所求椭圆方程为：221mx ny +=(0m >，0n >，m n ≠)将A 和B 的坐标代入方程得：341121m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得11515m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所求椭圆的标准方程为：221155x y +=. 故答案为：221155x y +=. 16．4或14【分析】将椭圆方程化为标准形式，分成焦点在x 轴、y 轴两种情况进行分类讨论，由此求得m 的值.【详解】将221x my +=转换成2211y x m +=，当焦点在x 轴时，长轴长是2，短轴长是1=，则4m =， 当焦点在y 轴时，短轴长是2，长轴长是4，则14m =， 综上填4或14. 故答案为：4或1417．（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）依题意求得a ，由直线1A B与直线20x =垂直求得b ，进而得椭圆方程； （2）依题意设直线():10l x my m =+≠，与椭圆方程联立，进而得()()211221231333my y y y OSOT y my -+-=+，结合韦达定理可得结果. 【详解】（1）由()22,0A ，得2a =.直线1A B与直线20x =相互垂直，则12b ⎛⋅=- ⎝，解得b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）依题意设直线():10l x my m =+≠，联立l 和椭圆C 的方程得：()2243690m y my ++-=，设()()1122,,,C x y D x y ，则有12122269,4343m y y y y m m --+==++. ()111:22y AC y x x =++，令0x =，则1122S y y x =+，同理：2222T y y x -=-. 所以()()()()121221212123S T y x y my OSy OT y y x y my --===-++. 则()()()()()12212112212131323133333y my y my my y y y OSOT y my y my --+-+-==++， 分子()12122296232304343m my y y y m m m --⎛⎫⎛⎫-+=⨯-⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以13OS OT =.18．（1）2212x y +=；（2）12或12-. 【分析】（1）由题意可得：2ab =⎪⎩ （2）设直线l 的方程为2x ty =-，联立222,1,2x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩利用根与系数的关系，再结合1//2F A F B 的坐标关系，建立等式即可求解【详解】（1）依题意可得：2ab =⎪⎩解得a 1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=. （2）由题可知：直线l 的斜率存在且不为零，故设直线l 的方程为2x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）可知：1(1,0)F -，2(1,0)F ，则()1111,F A x y =+，()2221,F B x y =-，因为1//2F A F B ，所以()()122111x y x y +=-，10y ≠，20y ≠，化简得213y y =，所以1214y y y +=，21213y y y ⋅=，得()()21212163y y y y ⋅+=. 联立222,1,2x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()222420t y ty +-+=，由0∆>得22t >， 12242t y y t +=+，12222y y t =+， 则()222216162322t t t =++，解得2t =或2t =-， 故l 的斜率为12或12-. 19．（1）2214x y +=；（2）存在，12k =±，m 1m ≠±且0m ≠． 【分析】（1）设椭圆的方程为22221x y a b +=C过点1)2，列方程组222221()21c e a b a b c ⎧==⎪⎪=⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2a ，2b ，即可得出答案． （2）设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，12y y ，由OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，得到2OP OQ PQ k k k =，解出k ，由∆0>，且120x x ≠，求出m 的范围．【详解】解：（1）设椭圆的方程为22221x y a b+=，C过点1)2，所以222221()21c e a b a b c ⎧==⎪⎪=⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得24a =，21b =， 所以椭圆的方程为2214x y +=． （2）联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)84(1)0(0)k x kmx m m +++-=≠， 设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则122841km x x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+， 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++，因为OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，所以2OP OQ PQ k k k =，所以21212y y k x x ⋅=， 所以222121212()mk x x m k k x x x x +++=， 所以2222228(41)04(1)4(1)k m m k m m -++=--，所以12k =±， 因为222(8)4(41)4(1)0km k m ∆=-+⨯->，所以2224120k m m -+=->，所以m <因为120x x ≠，所以210m -≠，解得1m ≠±， 综上所述，12k =±，m <1m ≠±且0m ≠．【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，难度较大． 20．（1（2【分析】（1）将椭圆方程化成标准方程，代入离心率公式计算即可；（2）对直线MN 的斜率讨论，设方程为y kx b =+，联立方程组，根据弦长公式k ，b 的关系，利用0∆>得出k 的范围，求出O 到直线MN 的距离d 的范围即可得出结论．【详解】解：（1）由椭圆的标准方程：222213x y a a +=， ∴2222233a a c a =-=，即c =， ∴椭圆C的离心率c e a ==． （2）a 22162x y +=， 显然直线MN 的斜率存在．①当0k =时，把x 1y =，∴O 到直线MN 的距离为1，∴112MON S =⨯=△ ②当直线MN 斜率不为零时，设直线MN 的方程为y kx b =+， 联立方程组22162y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222136360k x kbx b +++-=， ∴()()222236413360k b k b =-+->∆，解得2262b k <+，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122613kb x x k +=-+，21223613b x x k-=+， ∴MN ==213k =+，整理得42223211k k b k -++=+， ∴4222321621k k k k-++<++，解得20k ≥． ∴O到直线MN 的距离d∴()242222222321411111b k k d k k k -++===-+⎛⎫++ ⎪⎝⎭． ∴21d <，即1d <，∴12MON S d =⨯<△ 综上，MON △21．（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）由条件可知2a b =，再将点代入椭圆方程，即可求解；（2）首先直线l 与椭圆方程联立，得到韦达定理，再利用坐标分别表示直线,AP AQ ，并求得,OM ON ，利用韦达定理表示4OM ON ⋅=，即可求得定点.【详解】（1）解：∵椭圆22221x y C a b+=：长轴是短轴的两倍， 2a b ∴=，设方程为222214x y b b+=， 又∵椭圆经过点12⎫⎪⎭，，将点代入方程解得1b =， 则2a =，∴椭圆方程为2214x y +=． （2）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 联立直线与椭圆的方程：2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 整理得222(14)8440k x ktx t +++-=， 则122814kt x x k -+=+，21224414t x x k-=+， 122214t y y k +=+，22122414t k y y k -=+， 又(0,1)A ，则直线1111y AP y x x --=：，令0y =，则111x x y =-， 则11||1x OM y =-，同理22||1x ON y =-，()21212212121244||||411121x x x x t OM ON y y y y y y t t ⋅-⋅=⋅===---++⋅-+， 又∵1t ≠±，∴0t =，则直线:l y kx =，过定点()0,0，得证．22．（1）2214x y +=；（2）直线l 过定点10,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，TM TN ⋅的定值为48． 【分析】（1）由12PF F △的周长与离心率，列方程组，解得,a b ，进而可得答案； （2）由221,4.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理得()()222418410k x kmx m +++-=，利用根与系数的关系结合平面向量的数量积坐标运算，即可求解【详解】（1）令222c a b =-，由题意可得：224c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩，故21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． （2）直线l 的方程为y kx m =+（0m <）由221,4.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理得()()222418410k x kmx m +++-=， 所以()()()22222264441411641k m k m k m ∆=-+⋅-=-+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由根与系数的关系可得，122841km x x k -+=+，()21224141m x x k -=+． 而()11,7TM x y =-，()22,7TN x y =-．所以()()121277TM TN x x y y ⋅=+--()()121277x x kx m kx m =++-+-()()()22121217(7)k x x k m x x m =++-++- ()()()()222224181774141m km k k m m k k --=+⨯+-⨯+-++ 2224485144541k m m k ⨯+-+=+． 由TM TN ⋅为定值，可得24485144541m m ⨯-+=， 251430m m --=，解得15m =-或3m =（舍）， 故直线l 的方程为15y kx =-． 所以直线l 过定点10,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时TM TN ⋅的定值为48．。
《椭圆复习专讲》课件
直接法求解椭圆方程
总结词
通过已知条件直接列出椭圆方程 的方法。
详细描述
根据椭圆的定义和性质，通过已 知的椭圆焦点、长轴和短轴长度 等条件，直接列出椭圆的标准方 程或一般方程。
参数法求解椭圆方程
总结词
利用参数方程表示椭圆的方法。
详细描述
通过引入参数来表示椭圆上的点，从而将椭圆方程转化为参数方程的形式。这 种方法常用于解决与极坐标相关的问题。
抛物线可以看作是椭圆的一种极限情况，当椭圆的长轴长度趋于无穷大时，椭圆就 变成了抛物线。
椭圆在数学中的地位和作用
椭圆是数学中非常重要的二次曲线之 一，它在几何学、代数学、解析几何 等领域都有广泛的应用。
椭圆的性质和形状在解决实际问题中 也有广泛的应用，例如物理学、工程 学、经济学等。
椭圆的性质和形状在很多数学问题中 都有出现，例如几何问题、解析几何 问题、微积分问题等。
应用
在天文、地理等领域中， 常常需要利用椭圆的离心 率来描述天体运行的轨道 。
ห้องสมุดไป่ตู้
椭圆的准线
定义
准线是用来描述椭圆形状的几何 量，它是椭圆上任意一点到焦点
的距离的垂直平分线。
性质
准线是与椭圆相切的直线，其方程 可以通过椭圆的标准方程求得。
应用
在几何问题中，常常需要利用椭圆 的准线性质来求解问题。
03 椭圆的方程求解
焦距 $c$ 可以通过 $c^2 = a^2 b^2$ 来计算。
椭圆的性质
椭圆是封闭的，即它没有起点 和终点，且其周长是有限的。
椭圆具有对称性，即关于x轴、 y轴和原点都是对称的。
椭圆的离心率 $e$ 是由 $e = frac{c}{a}$ 定义的，它描述了 椭圆与焦点之间的相对距离。
9.2椭圆-高考数学总复习历年(十年)真题题型归纳+模拟预测(原卷版)
第9章 解析几何9.2 椭圆从近三年高考情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，尤其是离心率问题是高考考查的重点，多在选择题、填空题中出现，考查直线与椭圆的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，多以解答题的形式出现，解题时，以直线与椭圆的位置关系为主，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养．1．（2022•新高考2）已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝2√3，则l 的方程为 ． 2．（2022•甲卷）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ） A ．√32B ．√22 C ．12D ．133．（2022•甲卷）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→•BA 2→=−1，则C 的方程为（ ） A ．x 218+y 216=1 B ．x 29+y 28=1C ．x 23+y 22=1D ．x 22+y 2＝1题型一.椭圆的标准方程与几何性质1．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．√22D ．2√232．（2015•新课标Ⅰ）一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．则该圆标准方程为 ．3．（2016•新课标Ⅰ）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．344．（2014•大纲版）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则C 的方程为（ ） A ．x 23+y 22=1 B ．x 23+y 2＝1C ．x 212+y 28=1 D ．x 212+y 24=15．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），过点F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为（ ） A ．x 22+y 2＝1 B ．x 23+y 22=1C ．x 24+y 23=1 D ．x 25+y 24=16．（2019•新课标Ⅲ）设F 1，F 2为椭圆C ：x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为 ． 7．（2021•甲卷）已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为 ． 8．（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=1题型二.椭圆的离心率1．（2018•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（ ） A ．1−√32 B ．2−√3 C ．√3−12D ．√3−12．（2013•四川）从椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A ．√24B ．12C ．√22D ．√323．（2012•新课标）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．454．（2018•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．145．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab ＝0相切，则C 的离心率为（ ） A ．√63B ．√33C ．√23D ．136．（2016•新课标Ⅲ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．347．（2013•辽宁）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF =45，则C 的离心率为（ ） A ．35B ．57C ．45D ．678．（2018•北京）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．题型三.取值范围问题1．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 是椭圆C ：x 23+y 2m=1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1]∪[9，+∞）B ．（0，√3]∪[9，+∞）C ．（0，1]∪[4，+∞）D ．（0，√3]∪[4，+∞）2．（2021•乙卷）设B 是椭圆C ：x 25+y 2＝1的上顶点，点P 在C 上，则|PB |的最大值为（ ） A ．52B ．√6C ．√5D ．23．（2021•乙卷）设B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点，若C 上的任意一点P都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．[√22，1）B ．[12，1）C ．（0，√22]D ．（0，12]4．（2021•新高考Ⅰ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．61．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为35，直线2x +y +10＝0过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（ ） A ．x 25+y 24=1 B ．x 225+y 29=1 C ．x 216+y 29=1D ．x 225+y 216=12．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E （0，t ）（0＜t ＜b ）．已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√32B ．√22C ．12D ．√333．设椭圆y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1（0，1），M （3，3）在椭圆外，点P为椭圆上的动点，若|PM |﹣|PF 1|的最小值为2，则椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．√34C ．12D ．144．已知动点M 在以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2+y 24=1上，动点N 在以M 为圆心，半径长为|MF 1|的圆上，则|NF 2|的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．165．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0），上顶点为A （0，b ），直线x =a 2c 上存在一点P 满足(FP →+FA →)⋅AP →=0，则椭圆的离心率取值范围为（ ） A ．[12，1)B ．[√22，1)C ．[√5−12，1)D ．(0，√22]（多选）6．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）（c ＞0），下顶点为B ．过点F 1的直线l 与曲线C 在第四象限交于点M ，且与圆A ：(x +2c)2+y 2=14c 2相切，若MF 2→⋅F 1F 2→=0，则下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 上不存在点Q ，使得QF 1⊥QF 2 B ．圆A 与椭圆C 没有公共点C ．当a ＝3时，椭圆的短轴长为2√6D ．F 2B ⊥F 1M.。
高考数学专题复习题：椭圆的标准方程
高考数学专题复习题：椭圆的标准方程一、单项选择题（共8小题）1.已知P是椭圆x225+y29=1上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（）A. 2B. 4C. 8D. 162.方程√ (x−4)2+y2+√ (x+4)2+y2=10的化简结果是（）A. x25+y23=1 B. x23+y25=1 C. x225+y29=1 D. x29+y225=13.椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(0<k<9)的（）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为√ 33，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4√ 3，则C的方程为（）A. x23+y22=1 B. x23+y2=1 C. x212+y28=1 D. x212+y24=15.椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若AF2=2F2B，AB=BF1，则C的方程为（）A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=16.已知椭圆C:x29+y26=1的两个焦点为F1，F2，若点P在椭圆C上，且|PF1|=2，则∠F1PF2=（）A. π6B. π3C. 2π3D. 5π67.已知动圆过点A(−3,0)，并且在圆B：(x−3)2+y2=100的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A. x216+y27=1 B. x216+y29=1 C. x225+y29=1 D. x225+y216=18.椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的动点，m=|PF1|，n=|PF2|，则m2+5m+4nm的最小值为（）A. 9B. 18C. 283D. 313二、多项选择题（共2小题）9.椭圆E ：x 25+y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，O 是坐标原点，P(x 0，y 0)是椭圆E 上一点，则（ ）A. △PF 1F 2的周长是2√ 5+4B. 当PF 1⊥PF 2时，△PF 1F 2面积最大C. |OP|的最大值是5D. 当x 02+y 02=4时，△PF 1F 2面积为110.某位法国数学家发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆。
椭圆高考复习课件ppt
焦点是椭圆上任意一点到原点的距离 之和等于常数的两个点。
椭圆的离心率
离心率是描述椭圆扁平程度的量，其 值等于 $frac{c}{a}$，其中 $c$ 是焦 点到原点的距离。
椭圆的对称性
椭圆的中心对称性
椭圆关于原点对称，即如果点 $(x, y)$ 在椭圆上，则 $(-x, -y)$ 也一定在椭圆上。
椭圆的标准方程推导
通过将平面上的一个点的坐标代入上述方程，可以判断该点是否在 椭圆上。
椭圆的标准方程的应用
在解析几何、天文学、物理学等领域中，椭圆的标准方程都有广泛 的应用。
椭圆的几何性质
椭圆的长轴和短轴
椭圆的焦点
椭圆的长轴是连接椭圆上距离原点最 远的两个点的线段，短轴则是连接椭 圆上距离原点最近的两个点的线段。
离心率的几何意义
椭圆的离心率等于从椭圆中心到任一焦点的距离与长半轴长度之比 。
椭圆的离心率与圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线统一定义
圆锥曲线可以统一定义为到定点和定直线距离之比等于常数的点的轨迹。当常 数等于1时，轨迹为圆；当常数小于1时，轨迹为椭圆；当常数大于1时，轨迹 为双曲线。
离心率与圆锥曲线的关系
相切
当直线与椭圆仅有一个交点时， 表示直线与椭圆相切。此时，需 要满足直线与椭圆方程联立后得 到的二次方程有且仅有一个实数 根。
相离
当直线与椭圆没有交点时，表示 直线与椭圆相离。此时，需要满 足直线与椭圆方程联立后得到的 二次方程没有实数根。
椭圆的切线方程
切线的定义
切线是与椭圆在某一点相切的直线。
在重新渲染渲染后， 重新渲染渲染。
在重新渲染渲染后， 重新渲染渲染。
椭圆的应用题
在重新渲染渲染后渲染。重新渲染渲染。 在重新渲染
高考数学专题复习：椭圆及其方程
高考数学专题复习：椭圆及其方程一、单选题1．椭圆C ：22194x y +=的短轴长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．设22:1p mx ny +=表示的是椭圆；:0,0q m n >>，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．椭圆22176y x +=的焦点坐标为（ ）A ．(0,1),(0,1)-B ．(1,0),(1,0)-C ．(0,D ．(0,+4．已知点A 是椭圆2212x y +=的上顶点，12,F F 分别是椭圆左右焦点，直线(0)y ax b a =+>将三角形12AF F 分割为面积相等两部分，则b 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．112⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．113⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知点F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆C 交于A ，B 两点，且90AFB ∠=︒，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D ．236．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，点P ，Q 为第一象限内椭圆上的两个点，且60OFP PFQ ∠=∠=︒，2FP FQ =，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．27．设1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的两个焦点，点P 在C 上，且1122,,PF F F PF成等比数列，则C 的离心率的最大值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．18．已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22=1128x y +B ．22=1124x y +C ．22=132x y +D ．22=13x y +9．椭圆2251162x y +=的两个焦点为1F ，2F ，点P 是椭圆上任意一点（非长轴的顶点），则12PF F △的周长为（ ）A ．14B ．16C ．18D ．10．已知焦点在x 轴的椭圆的标准方程为22135x yk k+=--，则k 的取值范围是（ ）A ．5k >B ．45k <<C ．4k <D ．4k <或5k >11．已知12,F F 为椭圆()222210x ya b a b+=>>的两个焦点，过2F 作椭圆的弦AB ，若1AF B△的周长为16，椭圆的离心率e =） A ．22143x y +=B ．221163x y +=C ．2211612x y +=D ．221164x y +=12．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点在直线0x =上，1F ，2F 分别是椭圆的左､右焦点，点P 是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点P 作椭圆C 的切线l 与直线2x =-交于点M ，设直线1PF ，2MF 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的值为（ ） A ．-13B ．13C ．-12D ．-14二、填空题13．过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的左焦点，则PFQ△的周长的最小值为________.14．设12,F F 为椭圆22195x y+=的左､右焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为________.15．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ,2A ，且以线段1A ,2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则椭圆C 的离心率为________.16．A ，B 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的两点，1F ，2F 为其左右焦点，且满足112AF F B =，当123F AF π∠=时，椭圆的离心率为________．三、解答题17．已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x（1）求椭圆C 的标准方程（2）若点P 是椭圆上异于A B 、的点，判断直线PA 与直线PB 的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，且椭圆C 过点(2,0)-，离心率12e =，O 为坐标原点，过2F 且不平行于坐标轴的动直线l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . （1）求C 的标准方程；（2）记直线OM 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，证明：12k k 为定值；（3）y 轴上是否存在点P ，使得ABP △为等边三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为C 上一点，2PF 垂直于x 轴，且1||PF 、12||F F 、2||PF 成等差数列，1294PF PF ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点(1,0)-，与椭圆C 交于,A B 两点，且点A 在x 轴上方. 记212,ABF AF F 的内切圆半径分别为12,r r ，若122r r =，求直线l 的方程.20．已知命题[]:1,0,xp x m e∀∈-≥恒成立;:q 方程2213x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围;（2）若“p q ∧”为假，“p q ∨”为真，求实数m 的取值范围.21．已知椭圆1C 以直线0x my +所过的定点为一个焦点，且短轴长为4． （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）过点()1,0C 的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两个不同的点，求OAB 面积的最大值．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点坐标为()（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线4y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆229x y +=的位置关系，并证明你的结论.参考答案1．C 【分析】取分母较小的为2b 可得短轴长． 【详解】由已知24b =，2b =，24b =． 故选：C ． 2．A 【分析】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果. 【详解】若221mx ny +=表示的是椭圆，则0,0m n >>且m n ≠，即p q ⇒成立； 反例：当1m n ==时，221mx ny +=表示的是圆，即q p ⇒不成立； 即p 是q 成立的充分不必要条件， 故选：A. 3．A 【分析】根据椭圆的简单几何性质计算可得； 【详解】解：因为椭圆方程为22176y x +=，焦点在y 轴上，且27a =，26b =，因为2221c a b =-=，所以1c =，所以焦点坐标为()0,1-、()0,1 故选：A 4．B 【分析】由题意，()0,1A ,()11,0F -，()21,0F ，先求出直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为,0b M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由0ba-<，可得点M 在射线1OF 上．再求出直线y ＝ax +b （a ＞0）和2AF 的交点N 的坐标，分三种情况讨论：①若点M 和点1F 重合，求得13b =；②若点M 在点O 和点1F 之间，求得1132b <<；③若点M 在点1F 的左侧，求得113b <<．求并集即可得b 的取值范围． 【详解】解：因为点A 是椭圆2212x y +=的上顶点，12,F F 分别是椭圆左右焦点，所以22a =，21b =，从而有2221c a b =-=， 所以()0,1A ,()11,0F -，()21,0F ，由题意，三角形12AF F 的面积为1212F F OA ⋅⋅=1，设直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为,0b M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由直线y ＝ax +b （a ＞0）将三角形12AF F 分割为面积相等的两部分，可得0b >，所以0ba-<，故点M 在射线1OF 上．设直线y ＝ax +b 和2AF 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为1,11b a b a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭． ①若点M 和点1F 重合，如图：则点N 为线段2AF 的中点，故N 11,22⎛⎫⎪⎝⎭，把1F 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=． ②若点M 在点O 和点1F 之间，如图：此时13b >，点N 在点2F 和点A 之间， 由题意可得三角形2NMF 的面积等于12，即21122N MF y ⋅⋅=，即111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 2012b b =>-，求得12b <，故有1132b <<．③若点M 在点1F 的左侧，则13b <，由点M 的横坐标1ba -<-，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和1AF 的交点为P ，则由1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为1,11b a b a a --⎛⎫⎪--⎝⎭， 此时，由题意可得，三角形APN 的面积等于12，即()11122N P b x x --=， 即()111111212b b b a a --+---=，化简可得()22211b a -=-． 由于此时13>b ＞a ＞0，所以()2222111b a a -=-=- ．两边开方可得 )11b -=<，所以1b -<1b >故有113b <<．综上，b 的取值范围应是112⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，由题意分析得直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点M 在射线1OF 上，然后分三种情况进行讨论：①若点M 和点1F 重合；②若点M 在点O 和点1F 之间；③若点M 在点1F 的左侧． 5．B【分析】求出点,A B 的坐标，根据90AFB ∠=︒得0FA FB ⋅=，从而建立,a c 的齐次式方程，进而可以求出结果. 【详解】由题意知12,,,22b b A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222221b x a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，则x =，不妨设12x x <，则12,x x ==，即,,,22b b A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又因为点F 是椭圆的右焦点，所以(),0F c ，所以33,,,2222b b FA a c FB a c ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为90AFB ∠=︒，所以0FA FB ⋅=，即2104c c b ⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为222b ac =-，则()222231044c a a c -+-=，即2232c a =，所以c e a == 故选：B. 6．C【分析】设点1122(,),(,)P x y Q x y ，用椭圆的离心率e ，半焦距c 及a 表示出12,x x ，再由2FP FQ =探求出12,x x 的关系即可作答.【详解】设点1122(,),(,)P x y Qx y ，右焦点为(c,0)F ，椭圆的离心率为ce a=，222b c a +=， ||PF =1a ex =-，同理2||QF a ex =-，如图，过P ，Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，因60OFP PFQ ∠=∠=︒，则||2||,||2||PF FM QF FN ==，即112()a ex c x -=-，222()a ex x c -=-，于是得1222,22c a c ax x e e-+==-+，又||2||FP FQ =，则122()c x x c -=-，即1223x x c +=， 因此得242322c a c a c e e -++=-+，即2142322e e e e e-++=-+，整理得2(32)(1)0e e --=，而01e <<，则23e =，所以椭圆C 的离心率为23.故选：C 7．A 【分析】由椭圆定义得122PF PF a +=，再结合基本不等式可建立a c 、的不等关系可得答案. 【详解】设()2120F F c c =>，122PF PF a +=， 因为1122,,PF F F PF 成等比数列， 所以2212124F F PF PF c =⨯=，由12PF PF +≥2a ≥ 即12c e a =≤，当且仅当12PF PF =等号成立， 所以椭圆C 的离心率最大值为12. 故选：A. 8．C 【分析】先利用周长为4a 求得a 值，得到M ，N 坐标，再设点00(,)A x y ，利用直线AM 与AN 的斜率之积构建关系，结合00(,)A x y 满足已知方程，解得22b =，即得结果. 【详解】由△AF 1B 的周长为1212|||||4|||AF AF BF BF a +++==a =(M N ，设点00(,)A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23=23-，即22002(3)3y x =-- ①．又2200213x y b+=，所以22200(1)3x y b =- ②，由①②解得22b =，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=．故选：C ． 9．B 【分析】根据椭圆方程，可得a ，c 的值，根据椭圆定义，可得12PF PF +及12F F 值，即可得答案. 【详解】根据椭圆方程可得222225,9a c a b ==-=， 解得5,3a c ==，根据椭圆的定义可得12210PF PF a +==，1226F F c == 所以12PF F △的周长1212+16PF PF FF +=. 故选：B 10．B 【分析】由椭圆方程焦点在x 轴列出不等关系求解即可. 【详解】解：因为椭圆方程22135x yk k +=--焦点在x 轴，所以有305035k k k k->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，所以45k <<. 故选：B. 11．D 【分析】根据焦点三角形的特征可得416a =，再由离心率可得c a . 【详解】由1AF B △的周长为16，可得416a =，所以4a =，又由c e a ==所以c =2b =， 所以椭圆的方程为221164x y +=. 故选：D 12．A 【分析】根据题意求出a =1b =，进而写出椭圆的方程，设点P 的切线方程为y kx m =+，与椭圆联立，由0∆=得到2221m k =+，然后依次表示出相关点的坐标，利用斜率公式表示出12,k k ，进而化简整理即可求出结果. 【详解】∵椭圆C的两顶点在直线0x =上，∴a =1b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=，∴()11,0F -，()21,0F ，设点P 的切线方程为y kx m =+，()00,P x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222214220k x kmx m +++-=，∵直线l 与椭圆C 相切，∴0∆=，即()()222(4)421220km k m -+-=，∴2221m k =+，02221kmx k =-+，∴202022121km m y kx m k m k k ⎛⎫=+=⋅-+= ⎪++⎝⎭，∴点222,2121km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又2221m k =+，∴21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()1101221m k m k mk -=----=，设点()12,M y -，又M 在切线y kx m =+上，∴()2,2M m k --，∴2202213m k k m k ---==--，∴12121233k m k k m k -⋅=⋅=--， 故选：A . 【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 13．18利用对称性，结合椭圆定义求解． 【详解】记右焦点为F '，由题意5,4a b ==，由题意,P Q 关于原点对称，所以PF 等于Q 到右焦点F '的距离，所以210PF QF QF QF a '+=+==，而线段PQ 的最小值为短轴长28b =， 所以PFQ △的周长的最小值10818+=． 故答案为：18． 14．513【分析】由给定条件探求出PF 2⊥x 轴，由此求出2PF 的长，再借助椭圆定义即可得解. 【详解】依题意，12||||6PF PF +=，右焦点2(20)F ，， 如图，因线段1PF 的中点在y 轴上，而O 是线段12F F ，于是得PF 2//y 轴，即PF 2⊥x 轴，由222195y +=得5||3y =，则有25||3PF =，于是有1213||6||3PF PF =-=，21513PF PF =， 所以21PF PF 的值为513. 故答案为：51315【分析】根据直线与圆相切知，圆心到直线的距离等于半径，可得关于,a b 的方程，再利用离心率的计算公式可得c e a ==椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1(,0)A a -,2(,0)A a ,以线段1A ,2A 为直径的圆的圆心为(0,0) ，半径为a ，根据直线与圆相切可得，圆心到直线的距离等于半径，a = ，即222224()ab a a b =+ ，可得223a b ，椭圆的离心率为c e a ==.16【分析】设1F B m =（0m ≠），则12AF m =，由椭圆的定义可得2222,2AF a m BF a m =-=-，然后在12F AF 和2ABF 中分别利用余弦定理可得两个式子，两式相结合可求得22727c a =，从而可求出离心率 【详解】解：设1F B m =（0m ≠），则12AF m =，122F F c =，123F AF π∠=所以由椭圆的定义可得2222,2AF a m BF a m =-=-，在12F AF 中由余弦定理得，122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-，即22244(22)22(22)cos3c m a m m a m π=+--⋅⋅-，化简得22233c a m am =+-，在2ABF 中，由余弦定理得，22222222cos BF AB AF AB AF BAF =+-∠,即222(2)9(22)23(22)cos3a m m a m m a m π-=+--⋅⋅- ，化简得2950m am -=，因为0m ≠，所以59m a =，所以22225533819c a a a a =+⨯-⋅，得22727c a =，所以c a =17．（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为14-.【分析】（1）由条件转化为关于,a c 的方程，即可求椭圆的标准方程；（2）首先设00(,)P x y ，结合斜率公式和椭圆方程，即可求得PA PB k k ⋅是定值. 【详解】解：（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，2,c a a ==∴c =1b =. ∴椭圆C 的方程：2214x y +=（2）设00(,)P x y ，则220014x y +=， 002PA y k x =+，002PB y k x =-，20202200114444PA PBx x k y k x -===---⋅. 18．（1）22143x y +=；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析. 【分析】（1）由椭圆C 所过点及离心率，列方程组，再求解即得；（2）设出点A ，B 坐标并列出它们满足的关系，利用点差法即可作答；（3）设直线l 的方程，联立直线l 与椭圆C 的方程，借助韦达定理求得AB ，MP ，再结合ABP △为等边三角形的条件即可作答.【详解】（1）显然2a =，半焦距c 有12c e a ==，即1c =，则b = 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=； （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由(1)知2211143x y +=，2222143x y +=， 两式相减得22221212043x x y y --+=，即2112211234y y y y x x x x -+⋅=--+，而弦AB 的中点1212(,)22x x y y M ++，则有12112y y k x x +=+，所以1234k k =-；（3）假定存在符合要求的点P ，由(1)知2(1,0)F ，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()22223484120k x k x k +-+-=，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，于是得()121226234k y y k x x k k +=+-=-+，从而得点M 224(34k k +，23)34k k -+， 因ABP △为等边三角形，即有MP =，MP AB ⊥，因此，212212(134)k AB x k +-=+，0MP =22)12(134k k ++，整理得223270k +=，无解， 所以在y 轴上不存在点P ，使得ABP △为等边三角形.19．（1）22143x y +=；（2）1)y x =+. 【分析】(1)设出椭圆焦点坐标，由给定条件建立a ，b ，半焦距c 的方程组求解即得；(2)设出直线l 的方程，联立直线l ，椭圆C 的方程组，消去x ，借助三角形面积及其内切圆半径关系，确定出点A 与B 的纵坐标的关系即可作答. 【详解】（1）设点12(,0),(,0)F c F c -，因2PF 垂直于x 轴，则2(,)bP c a，122F F c =，显然有2122PF PF PF ⋅=，由已知得223||2b PF a ==，又12122||||||F F PF PF =+，即13||42PFc =-， 而2221212||||||F F PF PF =+，从而得22233(2)()(4)22c c +=-，解得1c =，因222a b c =+，于是得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）令点11(,)A x y ，22(,)B x y ，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线:1l x my =-，由2213412x my x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得22(34)690m y my +--=， 122634m y y m +=+，122934y y m =-+，由题意，有10y >，20y <， 由2121222111||()(||||||)22ABF S F F y y AB AF BF r =-=++⋅，而22||||||4AB AF BF a ++=，得1121()4r y y =-， 由121211212211||(||||||)22AF F S F F y AF AF F F r =⋅=++⋅，又1212||||||22AF AF F F a c ++=+，得2113r y =， 又122r r =，解得2153y y =-， 于是得22211221212()3653229(34)35y y y y m y y y y m +++===--+-+，解得213m =， 而21513y y =-<-，即1226034my y m +=<+，0m <，得m =， 故直线l的方程为1)y x =+. 20．（1）1m ≥；（2）13m ≤≤. 【分析】（1）由条件可知，()maxxm e≥，即可求解；（2）根据椭圆的标准方程，求得q 为真时，3m >，再根据,p q 一真一假，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，()maxxm e≥，[]1,0x ∈-，x y e =是增函数，所以01m e ≥=，即m 1≥； （2）若q 为真，则3m > 由题可知，,p q 一真一假故“p 真q 假”时，13m m ≥⎧⎨≤⎩，则13m ≤≤，“q 真p 假”时，13m m <⎧⎨>⎩，无解，综上，13m ≤≤.21．（1）22194x y +=；（2【分析】(1)由给定条件求出椭圆C 1的半焦距，短半轴长即可得解；(2)设出直线l 的方程，联立直线l 与椭圆1C 的方程组，消去x 得关于y 的一元二次方程，借助韦达定理表示出OAB 面积的关系式，再利用对勾函数的性质即可作答. 【详解】（1）直线0x my +=过定点)，即椭圆的一个焦点为)，依题意：椭圆1C的半焦距c 2b =，长半轴长a 有2229a b c =+=， 所以椭圆1C 的标准方程为22194x y +=；（2）显然点()1,0C 在椭圆内部，即直线l 与椭圆必有两个不同的交点， 由题意得直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为1x ky =+，由2214936x ky x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得()22498320k y ky ++-=, 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122849k y y k -+=+，1223249y y k -=+, 从而有1212111||||222△△△OAB AOC BOC S S S OC y OC y y y =+=⋅⋅+⋅⋅=-421k =++121=，t 1()4f t t t =+在)+∞单调递增， 则t =0k =时，14t t =+≥于是有129AOB S ≤△0k =时等号成立， 所以OAB22．（1）221168x y +=；（2）相交，证明见解析. 【分析】（1）根据题意列出方程组222c c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解方程组的,a b 的值即可求解；（2）设()00,A x y ，(),4B t ，且00x ≠，由0OA OB ⋅=可得00,,x y t 的关系，分类讨论直线AB 的斜率是否存在，求出原点到直线AB 的距离，与半径比较大小即可求解.【详解】（1）由题意可得：222c c e a a b c⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得：4c a b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为221168x y +=，（2）设()00,A x y ，(),4B t ，且00x ≠，可得()00,OA x y =，(),4OB t =， 因为OA OB ⊥，所以0040OA OB tx y ⋅=+=，解得04y t x =-， 当0x t =时，204t y =-，将 2,4t A t ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆221168x y +=可得： 22241168t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=即4281680t t +-⨯=，解得28t =，所以t =± 所以直线AB的方程为：x =±圆心()0,0O到直线x =±3d =<， 此时直线AB 与圆229x y +=相交， 当0x t ≠时，直线AB 的方程为()0044y y x t x t--=--，即()()0000440y x x t y x ty ---+-=， 此时圆心()0,0O 到直线AB 的距离为：d =，因为2200216x y +=，0040tx y +=，04y t x =-，所以d =====()22163xrx+===，所以当x t≠时，直线AB与圆229x y+=相交，综上所述：直线AB与圆229x y+=相交.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是设()00,A x y，(),4B t，根据OA OB⊥得出00,,x y t的关系，结合点()00,A x y在椭圆上，计算圆心到直线的距离与半径比较大小.。
椭圆专题复习
椭圆一、基础知识梳理：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(<<e e 的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。
常数叫做离心率。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程 )0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y 参数方程⎩⎨⎧==θθθ(sin cos b y a x 为参数)⎩⎨⎧==θθθ(sin cos a y b x 为参数)图 形顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A --对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2焦 点 )0,(),0,(21c F c F -),0(),,0(21c F c F -焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -=离心率 )10(<<=e ace （离心率越大，椭圆越扁） 准 线c a x 2±=ca y 2±=通 径 ep ab 222=（p 为焦准距） 焦半径 0201||||ex a PF ex a PF -=+=0201||||ey a PF ey a PF -=+=焦点弦 )(2||B A x x e a AB ++=仅与它的中点的横坐标有关)(2||B A y y e a AB ++=仅与它的中点的纵坐标有关焦准距cb c c a p 22=-=二、典例分析：题型一：椭圆定义及标准方程 例1：（1）求满足下列各条件的椭圆的标准方程： ①长轴长是短轴长的2倍，且经过点A （2，-6）；②在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6； ③椭圆经过点M （-2，3）和N （1，23）（2）椭圆13422=+y x 的左右焦点是2,1F F ，P 是椭圆上一点，若213PF PF =，则P 点到左准线的距离是 。
椭圆课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知,,关于原点对称,所以,得,又椭圆的离心率为,所以 ,得,故椭圆的方程为 ,选A.
解后反思若椭圆的左、右焦点分别为,,,两点在椭圆上,且关于坐标原点对称,则,,, 四点所构成的四边形为平行四边形,若或四边形有一个内角为 ,则该四边形为矩形.
10.［人A选必一P115习题3.1第4题变式］求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长半轴长为4，半焦距为，焦点在 轴上；
【答案】设椭圆方程为,（注意焦点在 轴上）由题意得,,,所以 ,所以其标准方程为 .
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 ；
【答案】易知椭圆的焦点坐标为 ,设所求椭圆方程为,则 ,因为椭圆过点,所以,即 ,所以,所以所求椭圆的标准方程为 .
教材知识萃取
方法技巧利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）将所求范围用 ， ， 表示，利用 ， ， 自身的范围、关系求范围.
教材素材变式
1.［多选］［苏教选必一P93习题3.1(2)第13题变式］如图所示,一个底面半径为 的圆柱被与其底面成 角的平面所截，截面是一个椭圆，则( )
3.［人B选必一P141练习A第4题变式］已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点， 是椭圆上一点，直线与直线相交于点，且是顶角为 的等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图,设直线与轴的交点为,由是顶角为 的等腰三角形,知, ,则在中, .又,所以.结合得,即 ,解得或 （舍去）.故选C.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆
一、椭圆的定义、基本性质
(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程:
●椭圆定义:平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 ,即___＿____＿＿___＿_______＿__＿_ 这个动点P 的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 注意：①若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ；②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形
(二)椭圆的简单几何性:
标准方程
12
2
22=+b y a x )0(>>b a 12
2
22=+b x a y )0(>>b a 图形
性质
焦点 焦距
范围 a x ≤,b y ≤ b x ≤，a y ≤
对称性
关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点
轴长
离心率
（离心率越大，椭圆越_____＿）
1.方程中的两个参数a 与b,确定椭圆的形状和大小,是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置,是椭圆的定位条件,它决定椭圆标准方程的类型，常数a,ｂ,c 都大于零,其中a 最大且a 2
=b 2
+ｃ
2
.
2. 方程22
Ax By C +=表示椭圆的充要条件是:AB Ｃ≠0,且A,B ，C 同号，A ≠B 。
A
＞B 时，焦点在y 轴上，A<Ｂ时,焦点在x 轴上。
练习
题型一 椭圆的定义 1、已知椭圆
上一点到椭圆的一个焦点的距离为，则到另一焦点
距离为________
2、已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点，
若，则＝____＿_＿＿__．
3、在平面直角坐标中，椭圆的中心为原点,焦点,在轴上，离心率为，过
的直线交Ｃ于，两点,且△
的周长为，那么的方程为（ )
A.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.
题型二 椭圆的方程 1、已知
,则椭圆的标准方程是( )
A.Ｂ. C ．
或
D.
2、如果
表示焦点在轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ）
A.
B ．
C.
D.
3、已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,若其离心率为，焦距为，则该椭圆的方程是____＿＿____．
4、已知
两点,动点满足
.求动点
的轨迹方程.
5、求与椭圆
有相同焦点，且过点的椭圆方程．
6、求离心率为,且过点的椭圆标准方程．
题型三椭圆的性质
1、已知椭圆方程为,则该椭圆的长轴长为＿___＿＿＿___.
2、椭圆的一个焦点是,那么等于( ）
Ａ. B.Ｃ． D.
3、已知椭圆的焦距为,则的值等于( )
A. B.或Ｃ.或Ｄ.
５、椭圆的两个焦点为、,过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则到的距离为( )
A. B. C. D.
6、设、是椭圆的两个焦点,是椭圆上的点，且
，则△的面积为（ )
A． B. C.Ｄ.
7、若椭圆的焦点分别为,弦过点，则△的周长为( )
A． B． C.Ｄ．
题型三椭圆的离心率
1、椭圆的焦距为,离心率为,则方程为（ )
A. B. Ｃ．
或
D ．
2、若椭圆
的离心率为
，则等于( ）
A. B.
C.或
D.
3、方程
的离心率为( ）
A.
Ｂ．
C.
D.
4、已知椭圆的短轴长为，焦点到长轴的一个端点的距离等于，则椭圆的离心率等于___＿____
5.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点为F ，右顶点为A ,点B 在椭圆上，且
x BF ⊥轴, 直线AB 交y 轴于点P .若2=,则椭圆的离心率是( )
Ａ.23 B.22 C ．31 D ．21
6在ABC ∆中,BC 的斜率为4
3
,090=∠A 若以B A ,为焦点的椭圆经过点C ，则椭圆
的离心率为
７.直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ,该椭圆的离心率为（ ）
A ．错误! B.错误! C.错误!Ｄ．错误!
二、直线与椭圆的位置关系:
●设直线l 的方程为：Ax ＋B ｙ＋C ＝０,椭圆122
22=+b
y a x (ａ﹥b ﹥0），联立组成
方程组,消去y （或x)利用判别式△的符号来确定:
（1)相交：0∆>⇔直线与椭圆相交;（2）相切:0∆=⇔直线与椭圆相切; （３）相离:0∆<⇔直线与椭圆相离；
练习：
1、直线
和椭圆
有公共点，则的取值范围是（ )
A.或
B. C ．
或
D.
2、直线
与椭圆
有且只有一个公共点,则的值是( ）
Ａ.
Ｂ.
C.
Ｄ.
3、直线与椭圆的位置关系是( )
A.相交Ｂ.相离C ．相切D.无法判断
4、已知椭圆
与直线相交于两点,过中点
与坐标原点的直线的斜率为
,则
（ )
Ａ.
Ｂ.
C.
Ｄ.
５、椭圆的焦点在轴上,焦距为，直线与椭圆交于、两点，是左焦点,且,则椭圆的标准方程是_＿________
6、已知椭圆,过椭圆上一点
作倾斜角互补的两条直线、,分别交椭圆于、两点.则直线的斜率为＿__＿＿_____
7、过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，是
右焦点，求的面积.
8已知椭圆
的左焦点及点，原点到直线
的距离为
. (1）求椭圆的离心率； （2)若点关于直线的对称点在圆上，求椭圆的方程及点的坐标．
三、弦长公式:
●若直线AB:y kx b =+与椭圆标准方程:122
22=+b
y a x )0(>>b a 相交于两点
11(,)A x y 、22(,)B x y ,
把AB 所在直线方程ｙ=k ｘ+b ，代入椭圆方程122
22=+b
y a x 整理得：Ax ２+B ｘ+C ＝0。
●弦长公式:2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a
k ∆
+=21（含ｘ
的方程）
练习
1、椭圆
，与直线相交于、两点,是的中点．若
,
的斜率为(为原点)，试确定椭圆的方程
2、设是过椭圆的一个焦点的弦,若线段的长为,则直
线的斜率可以为( )
A. B ． C. Ｄ.
四、圆锥曲线的中点弦问题:中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
()()()()()()()
()()22
2222
22
12
1222
1122221200012
01122121212122
2
2
122
12
1 1 0
,,1(0)2
212AB x y a b
x y a b y y x x x y A x y B x y a b a b
x x x AB x y AB y y y x x x x y y y y a b x x b a
y y +=+=+
=--+=>>+⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+-+-+=-+设是椭圆上不重合的两点，
则，两式相减得所以，直线的斜率k ，M ，是线段的中点坐标，()AB 1式可以解决与椭圆弦的斜率及中点有关的问题，此法称为点差法(设而不求)
练习
1、直线
交椭圆
于
两点,过原点与线段
中点
直线的斜率为,则________＿_
2、已知椭圆,过点的直线与椭圆交于、两点，若点恰为线段的中点，则直线的方程为___＿______
3、已知一直线与椭圆相交于两点,弦的中点坐标为
，求直线的方程.。