中考数学压轴题之类比探究(作业及答案)

类比探究（作业）

例：如图 1，在□ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G ．

（1） 尝试探究：如图 1，若 AF = 3 ，则

CD

的值是 ． EF CG

（2） 类比延伸：如图 2，在原题的条件下，若 AF

= m （m >0），

EF

则 CD

的值是 （用含 m 的代数式表示），试写出解答 CG 过程．

（3） 拓展迁移：如图 3，在梯形 ABCD 中，DC ∥AB ，点 E

是 BC 延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F ．若 AB

= a ，

CD

BC = b （a >0，b >0）

，则 AF

的值是 （用含 a ，b 的 BE EF

代数式表示）．

【思路分析】

根据特征确定问题结构，设计方案解决第一问．

问题背景是平行四边形，且已知线段比例关系，根据这些特

征我们思考通过相似来传递比例关系，进而求 CD

的值．

CG

构造相似我们采用作平行线的方法，即过中点 E 作 EH ∥AB

交 BG 于点 H ，可得“A ”字型相似△BEH ∽△BCG ，“X ”型

相似△EFH ∽△AFB ，结合 AF

= 3 ，可得 CG =2EH ，AB =3EH ，

EF

故 CD = 3 ． CG 2

类比第一问思路，解决第二问．

分析不变特征，此时平行四边形、中点特征均不变，变化的是 AF ，EF 的比例，照搬第一问思路，过点 E 作 EH ∥AB 交BG 于点 H ，同样可得△BEH ∽△BCG ，△EFH ∽△AFB ，此

时 CG =2EH ，AB =mEH ，故 CD = m

．

CG 2

照搬思路解决第三问．

此问中图形、中点 E 、比例关系均发生变化，但 DC ∥AB 不变，可照搬前面思路处理，依然构造平行．过点 E 作 EH ∥ AB 交 BD 的延长线于点 H ，可得△BCD ∽△BEH ，△AFB ∽

△EFH ，可得 BC = CD ， AF = AB ，结合 AB = a ， BC

= b ，

BE EH EF EH CD BE

可知 AF = AB = a ⋅CD = ab ．

EF EH EH

1

2 3

1.如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=

∠DEF=90°，∠EDF=30°．

【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P，边EF 与边BC 交于点Q．

【探究】在旋转过程中，

（1）如图2，当CE

=1时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA

并给出证明．

（2）如图3，当CE

= 2 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA

并给出证明．

（3）根据你对（1），（2）的探究结果，试写出当CE

=m时，EA

EP 与EQ 满足的数量关系式为．

图1

图2

图3

，

=

2.如图1，在等边三角形ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，

过点D 的直线B1C1⊥AC 于C1，交AB 的延长线于B1．

（1）请你探究：AC =CD AC1 C1D 是否都成立？

AB BD AB

1

DB

1

（2）请你继续探究：如图2，若△ABC 为任意三角形，线段

AD 为其内角角平分线，请问

AC

=

CD

一定成立吗？并证明

AB BD

你的判断．

图1 图2 （3）如图3，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，AB=

40

，

3

E 为AB 上一点且AE=5，CE 交其内角角平分线AD 于F．试

求

DF

的值．

FA

3. 如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°．

（1） 操作发现

如图 2，固定△ABC ，使△DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： ①线段 DE 与 AC 的位置关系是 ；

②设△BDC 的面积为 S 1 ，△AEC 的面积为 S 2 ，则 S 1 与

S 2 的数量关系是

．

图 1

图 2

（2） 猜想论证

当△DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时，小明猜想（1） 中 S 1 与 S 2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中 BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．

（3） 拓展探究

如图 4 ， 已知∠ ABC =60°， 点 D 是其角平分线上一点， BD =CD =4，DE ∥AB 交 BC 于点 E ．若在射线 BA 上存在点 F ，使 S △DCF =S △BDE ，请直．接．写．出．

相应的 BF 的长．

【参考答案】

1.（1）EP=EQ，证明略

（2）EP

=

1 EQ 2

（3）EP

=

1 EQ m

2.（1）都成立，证明略

（2）结论仍然成立

（3）DF

=

5 FA 8

3. （1）①DE∥AC，②S1=S2

（2）证明略

（3）BF 的长为或8 3 3

4 3 3