离散时间系统的数学模型

n-k)= k 称为差分 方程的阶数。
2.线性差分方程 a0(n)y(n)+ a1(n)y(n-1)+ …... aN(n)y(n-N)
= b0(n)x(n)+ b1(n)x(n-1)+ …... bM(n)x(n-M) 其中ai(n) 、bj(n)、 x(k) ，i=0,1,……N; j=0,1,……M; k=n-M,……n。
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二、差分方程
在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结 为微分（积分）、乘系数、相加的关系，即：微分方程。
在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 乘系数、相加的关系，即：差分方程。 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 因此描述系统的数学手段也不同。
（一）数学模型的基本单元 （二）差分 （三）差分方程 （四）差分方程的建立 （五）差分方程的特点
i
2
2
d i un
n
n
i
n
in+1 u n u
n
1 iu i n n + 1 u n 2 i
i
1 2 i u i n n + 1 2 n + 1 u n 6 i
n + 1 1 a i a u i u n 1 a i n
xi xn
n
a 1
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（三）差分方程
1.一般差分方程
ky(n))=0 表达式F(n,y(n), y(n), …… 或 Q(n,y(n), y(n-1), ……, y(n-k))=0 称为未知序列y(n)的差分方程，F、Q是已知函数。
k
（k阶差分）
3.典型序列的差分（后向） n = n -(n-1)=1 u(n) = u(n) -u(n-1)=d (n) n2= n2 -(n-1)2= 2n - 1 n2u(n) = n2u(n) - (n-1)2u(n-1)= (2n-1)u(n-1) 2 n 1 sin n sin n sin n 1 2 sin cos 4.差分的逆运算———求和 典型序列的求和
因果系统的充要条件： h(n) 0， n<0
h(n)为单位脉冲响应。
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(四）稳定系统
有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 稳定系统的充要条件： hn
n
即：单位脉冲响应绝对可和。 注意： ，只是系统稳定的必要条件， lim h (n)0
n
而非充分条件。
(二）时不变系统
如果： T[x(n)]= y(n)，若有T[x(n-N)]= y(n-N)； 则称为时不变系统。
x ( n)
y( n)
1
1 O 1 2 3 n x( n N )
x(n)
T[ . ]
y(n)
1
1 O 1 2 3 4
y( n N )
n
x(n-N)
1
T[ . ]
y(n-N)
整个序列右移N位

2x(n)
= x(n) - x(n-1) = x(n) -2x(n-1)+x(n-2)
3x ( n ) = 2x ( n ) 2x(n-1)
k
=x(n) -3x(n-1)+ 3x(n-2)- x(n-3)
m 0 m m k
Cx x n 1 n m
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(一)线性系统
具有均匀（齐次）性、叠加性的系统称为线性系统。 若：
x1 ( n ) y1 ( n )
离散时间系统
x2 ( n )
则有：
离散时间系统
离散时间系统
y2 ( n )
c1 x1 ( n ) + c2 x2 ( n )
c1 y1 ( n ) + c2 y2 ( n )
（c1、c2为任意常数） 返回
§7.3离散时间系统的数学模型——
差分方程
一、线性、时不变离散系统
二、差分方程 三、离散时间系统的模拟
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一、线性、时不变离散系统
系统功能的本质:是将输入序列转变成输出序列
的运算（映射）。即：y(n)=T[x(n)]
运算关系
x(n) (一）线性系统
T[ . ]
y(n)
(二）时不变系统 (三）因果系统 (四）稳定系统
中心差分dx(n)定义为： dx(n) = x(n+h/2) - x(n- h/2)
式中h（ h>0）为步长，一般取步长h=1。 1.序列x(n)的前向差分 Dx(n) = x(n+1) - x(n) （一阶差分） D2x(n) = Dx(n+1) -Dx(n) = x(n+2) -x(n+1)-[x(n+1) -x(n)] = x(n+2) -2x(n+1)+x(n) （二阶差分）
x2n
x n x2n 1
乘法器：
x n 1
x2n
若x2(n)=a，则为标量乘法器 返回
（二）差分
对于一个离散信号x(n) ，差分运算有三种形式： 前向差分Dx(n)定义为： Dx(n) = x(n+h) - x(n)
后向差分 x(n)定义为： x(n) = x(n) - x(n- h)
D3x(n) = x(n+3) -3x(n+2)+ 3x(n+1)- x(n)
（三阶差分） （k阶差分）
Cx D x n 1 n + k m
k m 0 mm k
k
2.序列x(n)的后向差分 x(n) = x(n) - x(n-1)
（一阶差分）
（二阶差分） （三阶差分）
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（一）数学模型的基本单元
延时器
y n
1 E
y n 1
或T、D
a
y n
z
1
y n 1
标量乘法器 加法器：
x n 1
x n
ax n
x n 1
x n
n a ax
x n+ x2n 1
x n+ x2n 1

x2n
1 2 3
n
1
1 2 3
n
1 O
1 O
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(三）因果系统
系统的输出y(n)只取决于此时刻、以及此时刻以前 的输入，即 ： x(n)、 x(n-1)、 x(n-2)……。则称为 因果系统。
{若y(n)取决于x(n+1)、 x(n+2)……，即：系统的 输出取决于未来的输入，这在时间上就违背了因果关 系，因而是非因果系统。}