动直线过定点问题(原卷版)
专题07 直线和圆的方程(填空题)(11月)(人教A版2021)(原卷版)
专题07 直线和圆的方程（填空题）一、填空题1．已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的值为__________． 2．过点()2,2M -的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为__________．3．点()5,7P -到直线12510x y +-=的距离为__________．4．一束光线从点()2,1A-出发经x 轴反射到圆22:(2)(2)1C x y -+-=上，光线的最短路程是__________．5．直线413=-y x 的单位法向量是__________． 6．若(1,3n =-是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角大小为__________．7．平面直角坐标系中点（1，2）到直线210x y ++=的距离为__________．8．已知直线1l ：340x y ++=与直线2l ：0x my +=垂直，则m 的值为__________． 9．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为__________．10．设()00,P x y 为直线1x y +=与圆223x y +=的交点，则00=x y __________． 11．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为__________． 12．过圆225x y +=上一点(2,1)M -作圆的切线， 则该切线的方程为__________． 13．已知直线1l ：230ax y +-=和直线2l ：(1)10a x y --+=．若12l l ，则1l 与2l 的距离为__________． 14．已知直线l 的倾斜角α满足方程1cos 1sin 2αα-=，则直线l 的斜率为__________． 15．已知实数,x y 满足方程()2221x y -+=，则y x 的取值范围是__________． 16．已知()2,1A -、()1,2B ，点C 为直线13y x =上的一动点，则AC BC +的最小值为__________．17．对任意实数k ，圆C ：2268120x y x y +--+=与直线l ：430kx y k --+=的位置关系是__________．18．函数()f x =__________．19．在ABC 中，(4,1)A 、(7,5)B 、(4,7)C -，则A ∠的平分线所在直线的一般式方程是__________．20．已知直线(3a ＋2)x ＋(1－4a)y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则实数a ＝__________．21．点()2,3-关于直线0x y -=对称的点的坐标为__________．22．经过两条直线220x y ++=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线的一般式方程为__________．23．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大值时，m 的值为__________． 24．已知,,a b c 是两两不等的实数，点(),P b b c +，点(),Q a c a +，则直线PQ 的倾斜角为__________．25．在平面直角坐标系中，直线30x +-=的倾斜角是__________．26．两条平行直线433x y ++＝0与869x y +-＝0的距离是__________．27．直线x ﹣4y +k ＝0在两坐轴上截距之和为5，则k ＝__________．28．已知直线l 的斜率为16且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为__________．29．直线2mx +y –m –1＝0恒过定点__________．30．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=间的距离是___________． 31．已知直线1:3l y ax =+与2l 关于直线y x =对称，2l 与3:210l x y +-=垂直，则a =__________．32．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为__________． 33．已知圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣6=0．直线l 过点(0，3)，且与圆C 交于A ､B 两点，|AB |=4，则直线l 的方程__________．34．若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a =__________．35．若直线l 过(0,5)A ，且被圆C ：22412240x y x y ++-+=截得的弦长为线l 方程为__________．36．圆心在直线270x y -+=上的圆C 与x 轴交于两点(2,0),(4,0)A B --，则圆C 的方程为__________．37．两圆222220x y x y +-+-=和2245x y x ++=的公共弦长为__________． 38．过点()0,2P 的直线l 与圆O ：229x y +=相交于M ，N 两点，且圆上一点Q 到l 的距离的最大值为4，则直线MN 的方程为__________．39．已知过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =__________．40．若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是___________． 41．已知直线l ：()20kx y k R +-=∈是圆C ：226260x y x y +-++=的一条对称轴，过点()0,A k 作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长度为__________．42．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是__________．43．已知α，R β∈，直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则sin cos sin cos ααββ+++=__________．44．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC 的顶点()2,0A ，()0,4B ，若其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标__________．45．已知等腰三角形的底边所在直线过点()2,1P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的直线方程是__________．46．已知三条直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=不能围成三角形，则m =__________．47．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为__________．48．直线xcosθy ＋2＝0的倾斜角的范围是__________．49．已知点()()2,3,3,2P Q -，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是__________．50．一条光线从点()2,3-射出，经x 轴反射，其反射光线所在直线与圆()2231x y -+=相切，则反射光线所在的直线方程为__________．51．已知实数925m ≠，原点到动直线(31)(43)9250m x m y m ++-+-=的距离的取值范围为__________．52．m R ∈，动直线1:10l x my +-=过定点A ，动直线2:230l mx y m --+=过定点B ，若直线1l 与2l 相交于点P （异于点,A B ），则PAB ∆周长的最大值为__________． 53．直线l 过点()1,0，且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的一般式方程是__________．54．过点()2020,2020P 且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程为__________． 55．已知直线1l ：420mx y +-=与2l ：250x y n -+=互相垂直，其垂足为()1,p ，则m n p +-的值为__________．56．点P （-1，1）为圆 ()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为__________． 57．已知l 1的斜率是2，l 2过点A(－1，－2)，B(x ，6)，且l 1∥l 2，则19log x =__________． 58．已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点，则动弦AB 的中点P 的轨迹方程为__________．59．已知直线l 过点(2,3)，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的两倍，则直线l 的方程为__________．60．如图是一公路隧道截面图，下方ABCD 是矩形，且4m AB =，8m BC =，隧道顶APD 是一圆弧，拱高2m OP =，隧道有两车道EF 和FG ，每车道宽3.5m ，车道两边留有0.5m 人行道BE 和GC ，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6m 的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是__________m (精确到0.01m 7.141=)61．已知直线:210l x y --=和圆22:210C x y y +--=相交于A 、B 两点，则弦长AB =__________．62．在边长为1的正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为__________．63．已知直线l 经过点P(－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是__________．64．已知点P 在圆22:(4)4C x y -+=上，点(6,0)A ，M 为AP 的中点，O 为坐标原点，则tan MOA ∠的最大值为__________．65．圆上的点()2,1关于直线0x y +=的对称点仍在圆上，且圆与直线10x y -+=相交所，则圆的方程为__________．66．已知P 是直线3x ＋4y －10＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为__________．67．等腰直角三角形ABC ，2AB AC ==，90BAC ∠=︒．E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，设AE mAB =，AF nAC =，其中,(0,1)m n ∈，且满足221+=m n ，M ，N 分别是EF ，BC 的中点，则||MN 的最小值为__________．68．如图放置的等腰直角ABC 薄片（90ACB ∠=︒，2AC =）沿x 轴滚动，点A 的运动轨迹曲线与x 轴有交点，则在两个相邻交点间点A 的轨迹曲线与x 轴围成图形面积为__________．69．若曲线1:2C y =与曲线2:(2)()0C y y kx k --+=有四个不同的交点，则实数k 的取值范围是__________．70．在平面直角坐标系中，给定两点(1,2),(3,4)M N ，点P 在x 轴的正半轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为__________．71．圆222410x y x y ++-+= 关于直线()220,ax by a b R -+=∈对称，则ab 的取值范围是__________．72．圆心在x 轴上，且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为__________． 73．对任意的实数k ，直线2(1)20k x ky +--=被圆222240x y x y +---=截得的最短弦长为__________．74．已知动点()P m n ,在圆22:1O x y +=上，若点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()1,1B ，则2PA PB +的最小值为__________．75．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为__________．76．已知直线:0l mx y m ++=交圆22:(1)1C x y -+=于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则112244x y x y -++-+的取值范围为__________．77．点(3,1)P -在动直线(1)(1)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点()3,3N ，那么MN 的最小值为__________．78．已知实数x 、y 满足()2221x y +-=，则ω=的取值范围__________．79．已知点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是__________．80．过点()P 0,3作直线l ：()()m n x 2n 4m y 6n 0++--=的垂线，垂足为点Q ，则点Q 到直线x 2y 80--=的距离的最小值为__________．二、双空题81．已知点P （1，1）为圆2260x y x +-=的弦AB 的中点，则弦AB 所在的直线方程为__________，AB =__________．82．已知圆C 的圆心在直线230x y -+=，半径为r ，且与直线:40l x y -+=切于点()2,2P -，则圆C 的圆心坐标为__________；半径r =__________．83．直线142x y +=与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB =__________；以线段AB 为直径的圆的方程为__________．84．已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为__________，直线1l 与2l 的距离为__________．85．直线:1l x =的倾斜角为__________；点()2,5P 到直线l 的距离为__________． 86．已知()2,0A -，()0,2B -，动点P 在圆C ：22240x y x y +--=上，若直线//l AB 且与圆C 相切，则直线l 的方程为__________；当PA PB ⋅取得最大值时，直线PC 方程为__________．87．已知A ，(2,1)B ，直线l 过点(0,1)P -，若直线l 与线段AB 总有公共点，则直线l 的斜率取值范围是__________，倾斜角α的取值范围是__________．88．已知a 为实数，直线1:660l ax y +-=，直线2:2350l x y ++=，若12l l //，则a =__________；若12l l ⊥，则a =__________．89．已知点A (0，1)，直线l 1：x -y -1=0，直线l 2：x -2y +2=0，则点A 关于直线l 1的对称点B 的坐标为__________，直线l 2关于直线l 1的对称直线方程是__________．90．直线l 10y ++=的倾斜角的大小是__________；直线m ：10x ky -+=与直线l 垂直，则实数k =__________．91．经过两点A (2，3)，B (1，4)的直线的斜率为__________，倾斜角为__________． 92．如图，过1,0A ，10,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点的直线与单位圆221x y +=在第二象限的交点为C ，则弦AC 的长为__________；9sin 4AOC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭__________．93．已知点()2,3A ，()3,2B ，12,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若直线l 过点()1,1P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是__________；若直线l 过点()1,1P 与线段BC 相交，则直线l 的斜率k的取值范围是__________．94．圆224240x y x y ++-+=上的点到直线1y x =-的最近距离为__________，最远距离为__________．95．已知点(3,1)A -，(5,2)B -，点P 在直线0x y +=上，当点P 的坐标为__________时，能使PA PB +取得最小值__________．96．直线l 过点()4,1且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则AOB 面积的最小值为__________，当AOB 面积取最小值时直线l 的一般式方程是__________．97．设圆()()()222:,,0C x a y b r a b r -+-=>与x 轴相切，且与过点()2,0的直线相切于点48,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆心坐标为__________，半径r =__________． 98．已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，则22x y +的最大值和最小值分别为__________、__________．99．过20x y --=上一点()00,P x y 作直线与221x y +=相切于A ，B 两点．当03x =时，切线长PA 为__________；当PO AB ⋅最小时，0x 的值为__________．。
圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法(原卷版)
圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法一、常用方法技巧1、参数无关法把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
二、手电筒模型解题步骤1、概念：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如AP BP k k ⋅=定值，+AP BP k k =定值），直线AB 依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。
2、解题步骤：第一步：由AB 直线y kx m =+，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围；第二步：由AP 与BP 关系，得到一次函数()k f m =或()m f k =；第三步：将()k f m =或()m f k =代入y kx m =+，得到()y y k x x =-+定定.三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤第一步：设其中一条直线的斜率为1k ，求出直线方程；第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。
四、圆锥曲线的切点弦方程1、过抛物线()220y px p =>外一点()00,M x y 作抛物线的切线，切点弦方程为()00yy p x x =+；2、过椭圆()222210x y a b a b+=>>外一点()00,M x y 作椭圆的切线，切点弦方程为00221x x y ya b +=；3、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的切线，切点弦方程为00221x x y ya b-=；五、几个重要的定点模型1、过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点(),0F c -作两条相互垂直的弦AB ，CD ，若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则直线MN 恒过定点222,0ac a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）2、动点()00,P x y 在直线0Ax By C ++=上，由P 引椭圆22221x y a b +=的两条切线，切点分别是M ，N ，则直线MN 恒过定点22,a A b B C C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）3、（1）过椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点20000222,y b x x y m ma ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点0002,2y y x p m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭4、（1）过椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点()()2222002222,b ma x b ma y b ma b ma ⎛⎫++ ⎪- ⎪--⎝⎭（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点002,p x y m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3、4两个结论对于圆与双曲线也成立，当22b a =时就是圆中的结论，用2b -替代2b 就可得到双曲线中的结论）题型一手电筒模型恒过定点问题【例1】已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点Q 的直线l 与曲线C 相交于A，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.【变式1-1】已知直线2y =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>交于A ，B 两点，F 是C 的左焦点，且AF AB ⊥，2BF AF =.（1）求双曲线C 的方程；（2）若P ，Q 是双曲线C 上的两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标.【变式1-2】已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，过F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于A，B 两点，||8AB =.（1）求抛物线的方程：（2）已知()0,1P x -为抛物线上一点，M，N 为抛物线上异于P 的两点，且满足2PM PN k k ⋅=-，试探究直线MN 是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.【变式1-3】已知动点(,)P x y (0)x ≥到定点(1,0)的距离比它到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(,0)Q m (m 为常数)，过点Q 作斜率分别为12,k k 的两条直线1l 与2l ，1l 交曲线E 于,A B 两点，2l 交曲线E 于,C D 两点，点,M N 分别是线段,AB CD 的中点，若121k k +=，求证：直线MN 过定点.题型二切点弦恒过定点问题【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是直线420y x =-+上的动点，过点P 做椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【变式2-1】如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程;（2）若过点A 作圆222:(1)(01)M x y r r ++=<<的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由.【变式2-2】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 是椭圆22134x y +=的一个焦点．（1）求C 的准线方程；（2）若P 是直线240x y --=上的一动点，过P 向C 作两条切线，切点为M ，N ，试探究直线MN 是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由.【变式2-3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)F ，点P 到点F 的距离比点P 到直线3y =-的距离小1，记P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）在直线2y =-上任取一点M ，过M 作曲线C 的切线12l l 、，切点分别为A 、B ，求证直线AB 过定点．题型三相交弦中恒过定点问题2:2(0)C x py p =>上.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点(0,)T p 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 交抛物线C 于A 、B 两点，2l 交抛物线C 于D ，E 两点，若线段AB 的中点为M ，线段DE 的中点为N ，证明：直线MN 过定点．【变式3-1】在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到点()2,0F 的距离与它到直线32x =的P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l .1l 交曲线C 于A ，B 两点，2l 交曲线C 于S ，T 两点，线段AB 的中点为M ，线段ST 的中点为N ．证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．【变式3-2】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>A ，右顶点为B ，上顶点为C ，ABC 的内切圆的半径为4-．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点M 为直线:1l x =上任意一点，直线AM ，BM 分别交椭圆E 于不同的两点P ，Q ．求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标．【变式3-3】已知M ⎝，N ⎫⎪⎪⎝⎭是椭圆2222:1(0)x yE a b a b +=>>上的两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的上顶点A 和右焦点F 的直线与椭圆E 交于另一个点B ，P 为直线5x =上的动点，直线AP ，BP 分别与椭圆E 交于C （异于点A ），D （异于点B ）两点，证明：直线CD 经过点F ．题型四动圆恒过定点问题【例4】已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上，直线AP ，BP 分别与直线4x =相交于点M ，N .当点P 运动时，以M ，N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.【变式4-1】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，其左､右焦点分别为1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【变式4-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于P ，Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【变式4-3】已知抛物线()2:20C y px p =>与直线:20l x y +=交于M ，N 两点，且线段MN的中点为()8,p P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作直线m 交抛物线于点A ，B ，是否存在定点M ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点M．若存在，请求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．。
第06讲 定点问题(解析几何)(原卷版)
第06讲 定点问题知识与方法定点与定值是高考解析几何考查的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定．直线过定点问题，通法是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解．即可得到定点．求解定值问题的关键是引进参数表示直线方程、点坐标、数量积或斜率关系等，先引入变量，再进行消元，最后得到不受参数影响的量，就是定值．1．对直线过定点的理解如：①直线2(1)y k x -=-恒过定点(1,2)；②对于直线:l y kx m =+，若2m k =-，则直线方程为(2)y k x =-，显然l 过定点(2,0)； ③无论k 取任何实数，直线(23)(1)(41)0k x k y k ++--+=必经过一个定点，则这个定点的坐标为_____．【解析】直线(23)(1)(41)0k x k y k ++--+=可化为(24)(31)0k x y x y +-+--=，令24013102x y x x y y ⎧+-==⎧⎪⇒⎨⎨--==⎪⎩⎩，故定点坐标为(1,2)． 2．直线过定点问题的基本解法方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为：①设直线方程为y kx m =+(或x ny t =+)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合韦达定理和已知条件，得到k b 、或m t 、的关系，或者解出b t 、的值；③将②的结果代入y kx m =+(或x ny t =+)，得到定点坐标．方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为：①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点,A B 的坐标(含参)；②特殊位置入手，找到定点P (有时可考虑对称性)；③证明,,A B P 三点共线，从而直线AB 过定点P ．(其中一个方法是证明PA PB )3．定点问题的常见类型①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；⑤圆过定点．典型例题类型1：由斜率关系求定点相关结论如下：定理1：()00,P x y 为椭圆2222:1(0,0)x y a b a bΓ+=>>上一定点，过点P 作斜率为12,k k 的两条直线分别与椭圆交于,M N 两点．(1)若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点20000222,y b x x y a λλ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)若2122b k k a λλ⎛⎫⋅=≠ ⎪⎝⎭，则直线MN 过定点2222002222,a b a b x y a b a b λλλλ⎛⎫++- ⎪--⎝⎭． 定理2：设()00,P x y 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P 作两条直线,AB CD 交椭圆2222:1(0,0)x y a b a bΓ+=>>于A B C D 、、、，直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ，弦,AB CD 的中点记为,M N ． (1)若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点20002,y b x x a λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (2)若2122b k k a λλ⎛⎫⋅=≠ ⎪⎝⎭，则直线MN 过定点220002222,a x b y x a b a b λλλ⎛⎫ ⎪--⎝⎭． 定理3：过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,P x y 引两条弦,PA PB ，直线,PA PB 斜率存在，分别记为12,k k ，即12(0)k k λλ+=≠，则直线AB 经过定点00022,y p x y λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【注】以上结论都可以利用坐标平移齐次化的方法进行证明，齐次化方法请参考《2.4齐次化巧解双斜率问题》一章，证明过程此处略过．上面的结论不提倡记忆，重要的是掌握其证明方法，熟识这些模型，在解题中会事半功倍．斜率之和为定值，第三边过定点【例1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点123(1,1),(0,1),P P P ⎛- ⎝⎭， 4P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于,A B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明： l 过定点．斜率之积为定值，第三边过定点【例2】已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为(0,2)P -，离心率为e =，过点P 作斜率为1k ， 2k 的直线,PA PB ，分别交椭圆于点,A B ．(1)求椭圆的方程；(2)若122k k ⋅=，证明直线AB 过定点，并求出该定点．【例3】过椭圆22:143x y C +=上一定点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线,PA PB 与C 分别交于点,A B ，求证：直线AB 过定点．【例4】已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆22143x y +=的左右焦点．过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l (均不与x 轴重合)分别与椭圆交于A B C D 、、、四点．线段,AB CD 的中点分别是,M N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．斜率之比为定值，第三边过定点【例5】如图所示，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过F 的两条直线分别与抛物线C 交于点1,A A 与1,B B (点1,B A 在x 轴的上方)．①若2AF FA =，求直线1AA 的斜率；②设直线11A B 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，若122k k =，求证：直线AB 过定点．类型2：由倾斜角关系求定点【例6】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为12,F F ，点P 为坐标平面内的一点，且1233||,,24OF PF PF O =⋅=-为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，,A B 是椭圆C 上两个不同的点，直线,MA MB 的倾斜角分别为,αβ， 且2παβ+=，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．类型3：切点弦过定点【例7】已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆引两条切线,,,PA PB A B 为切点，求证：直线AB 经过定点．【例8】已知抛物线2:2C x py =的焦点与椭圆22143y x +=的上焦点重合，点A 是直线280x y --=上任意一点，过A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,M N ．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明直线MN 过定点，并求出定点坐标．类型4：相交弦过定点【例9】已知,A B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8,AG GB P ⋅=为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为,C PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．类型 5：圆过定点【10】 设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 2()2()f x x x b x R =++∈ 的图象与两坐标轴有三个交点, 经过这三个交点的圆记为 C .(1) 求实数 b 的取值范围;(2) 求圆 C 的方程;(3) 问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）? 请证明你的结论.。
第20讲 圆过定点问题(原卷版)2023最新专题：圆锥曲线
第20讲圆过定点问题一、解答题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，椭圆上的点到右焦点F 的最近距离为2，若椭圆C 与x 轴交于A B 、两点，M 是椭圆C 上异于A B 、的任意一点，直线MA 交直线:9l x =于G 点，直线MB 交直线l 于H 点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试探求以GH 为直径的圆是否恒经过x 轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．2．已知椭圆222:1(2x y C a a +=>的右焦点为F ，A 、B 分別为椭圆的左项点和上顶点， ABF 的面积为1+．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP 、AQ 分别与直线x ＝交于点M 、N ．以MN 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．3．已知定点(1,0)R ，圆22 S: 2150x y x ++-=，过R 点的直线1L 交圆于M ，N 两点过R 点作直线2L SN ∥交SM 于Q 点.（1）求Q 点的轨迹方程；（2）若A ，B 为Q 的轨迹与x 轴的左右交点，()()000,0P x y y ≠为该轨迹上任一动点，设直线AP ，BP 分别交直线l ：6x =于点M ，N ，判断以MN 为直径的圆是否过定点．如圆过定点，则求出该定点；如不是，说明理由.4．已知圆22:1O x y +=和直线:3l x =，在x 轴上有一点(1,0)Q ，在圆O 上有不与Q 重合的两动点,P M ，设直线MP 斜率为1k ，直线MQ 斜率为2k ，直线PQ 斜率为3k ，（l ）若121k k =-①求出P 点坐标；②MP 交l 于'P ，MQ 交l 于'Q ，求证：以''P Q 为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标．（2）若232k k =：判断直线PM 是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．5．已知椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线l ：0x y +-=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切.A 为左顶点，过点()1,0G 的直线交椭圆T 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线4x =于M ，N 两点.（1）求椭圆T 的方程；（2）以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.6．已知圆()44:22=++y x C 与x 轴交于B A 、两点，P 是圆C 上的动点，直线AP 与PB 分别与y 轴交于N M 、两点．（1）若()4,2P -时，求以MN 为直径圆的面积；（2）当点P 在圆C 上运动时，问：以MN 为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右焦点分别是1F 、2.F 以1F 为圆心、以3为半径的圆与以2F 为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线()()10y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点.直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．8．已知椭圆G 22+22=1(>>0)1(−s 0),2(s 0)，其短轴长是23，原点到过点os 0)和o0,−p （1）求椭圆的方程；（2）若点s 是定直线=4上的两个动点，且1 •2 =0，证明：以B 为直径的圆过定点，并求定点的坐标.9．已知动圆M 与定圆221:(2)1C x y -+=相外切，又与定直线1: 1l x =-相切.（1）求动圆的圆心M 的轨迹2C 的方程，（2）过点()12,0C 的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，直线2: 2l x =分别交直线OA ，OB 于点E 和点F .求证：以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点.10．已知动圆P 过定点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且和直线12x =-相切，动圆圆心P 形成的轨迹是曲线C ，过点()4,2Q -的直线与曲线C 交于,A B 两个不同的点.（1）求曲线C 的方程；（2）在曲线C 上是否存在定点N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.11．已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为(0,1),(0,1)A B -，离心率为63．（1）求椭圆C 的方程及焦点的坐标；（2）若点M 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，过原点且与直线MA 平行的直线与直线3y =交于点P ，直线MB 与直线3y =交于点Q ，试判断以线段PQ 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．12．已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点.（1）若MN =，求直线l 的方程；（2）若12MP MN = ，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.13．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>.左焦点()1,0F -，点()0,2M 在椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且NMF 的周长最大值为4+.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.14．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b ，椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过1F 的直线与椭圆相交于点C ，D （不与顶点重合），过右顶点B 分别作直线BC ，BD 与直线4x =-相交于N ，M 两点，以MN 为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ，右焦点为F ，离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅．（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q 是椭圆M 上异于,A B 的任意一点，过点Q 且与椭圆M 相切的直线与x a =-，x a =分别交于,S T 两点，以ST 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，其左､右焦点分别为1F ，2F ，点()00,P x y 是坐标平面内一点，且||2OP =，1234PF PF ⋅= (O 为坐标原点).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由.。
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——圆锥曲线的综合问题 第一课时 定点问题
(2)过点 S－13，0的动直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，试问：在 x 轴上是否存 在一个定点 T，使得无论直线 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T？若存 在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 当直线 l 不与 x 轴重合时，设直线 l 的方程为 x＝my－31， A(x1，y1)，B(x2，y2)，T(t，0)， 由xy22＝＋mxy2＝－113，消去 x 并整理，得 (18m2＋9)y2－12my－16＝0，
索引
所以 y1＋y2＝－m22m＋n9，y1y2＝mn22－＋99. 代入③式，得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0. 解得 n＝－3(舍去)或 n＝23. 故直线 CD 的方程为 x＝my＋32， 即直线 CD 过定点32，0. 若 t＝0，则直线 CD 的方程为 y＝0，过点32，0. 综上，直线 CD 过定点32，0.
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(2)过点 P13，0的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，试探究以线段 AB 为直径的圆是 否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解 当 AB⊥x 轴时，以线段 AB 为直径的圆的方程为x－132＋y2＝196. 当AB⊥y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1. 可得两圆交点为Q(－1，0). 由此可知，若以线段AB为直径的圆过定点，则该定点为Q(－1，0). 下证Q(－1，0)符合题意. 设直线l的斜率存在，且不为0， 其方程设为 y＝kx－13，代入y22＋x2＝1，
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
A级 基础巩固
1.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点. (1)求抛物线C的方程； 解 若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，代入点A(1，2)，可得 a＝4，所以抛物线方程为y2＝4x. 若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝my，代入点A(1，2)， 可得 m＝21，所以抛物线方程为 x2＝21y. 综上所述，抛物线 C 的方程是 y2＝4x 或 x2＝12y.
第23讲 定点问题(解析版)
第23讲定点问题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点()A ．48(,)99B ．24(,99C ．(2,0)D ．(9,0)【解答】解：因为P 是直线290x y +-=的任一点，所以设(92,)P m m -，因为圆224x y +=的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，所以OA PA ⊥，OB PB ⊥，则点A 、B 在以OP 为直径的圆上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，则圆心C 的坐标是92(2m -，)2m ，且半径的平方是222(92)4m m r -+=，所以圆C 的方程是222292(92)()(224m m m m x y --+-+-=，①又224x y +=，②，②-①得，(29)40m x my --+=，即公共弦AB 所在的直线方程是：(29)40m x my --+=，即(2)(94)0m x y x -+-+=，由20940x y x -=⎧⎨-+=⎩得49x =，89y =，所以直线AB 恒过定点4(9，8)9，故选：A ．二．解答题（共18小题）2．已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A ．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标．【解答】（1）解：设圆的标准为222(3)x y r -+=，把(0,4)A 代入得5r =，故圆的标准方程为22(3)25x y -+=．（2）解：①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为0x =，此时弦AB 长为8，符合题意；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为4y kx =+，联立方程224(3)25y kx x y =+⎧⎨-+=⎩，则22(1)(68)0k x k x +--=，所以268(1kB k -+，224641k k k +-+，根据弦AB 长为8，可得||8AB =，解得724k =-，所以直线AB 的方程为724960x y +-=，综上所述，直线AB 的方程为0x =或724960x y +-=；（3）证明：当直线l 斜率不存在时，设(,)M a b ，(,)N a b -， 直线AM ，AN 的斜率之积为2，(0,4)A ，∴442b b a a---⋅=，即22162b a =-， 点(,)M a b 在圆上，22(3)25a b ∴-+=，联立2222162(3)25b a a b ⎧=-⎨-+=⎩，无解，舍去，当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx t =+，1(M x ，1)kx t +，2(N x ，2)kx t +，2212121212442(2)(4)()(4)0AM AN kx t kx t k k k x x k t x x t x x +-+-⋅=⋅=⇒-+-++-=①联立方程22222(1)(26)160(3)25y kx tk x kt x t x y =+⎧⇒++-+-=⎨-+=⎩，122(26)1kt x x k --∴+=+，2122161t x x k -=+，代入①，得2222(2)(16)(4)(26)(4)(1)0k t kt k kt t k --+--++-+=，化简得26t k =+，∴直线l 的方程为：(2)6ty x t =++，所以过定点(6,12)--．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在椭圆C 上，点F 是椭圆C的右焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，则在x 轴上是否存在一点P ，使得x 轴平分MPN ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得2222222421,,c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：28a =，24b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，(2,0)F ．若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立221,84(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(12)8880k x k x k +-+-=．由题意可知△0>恒成立，所以2122812k x x k +=+，21228812k x x k -=+．假设在x 轴上存在一点(,0)P t ，使得x 轴平分MPN ∠，则0PM PN k k +=，所以12120y yx t x t+=--．所以1221()()0y x t y x t -+-=，所以1221(2)()(2)()0k x x t k x x t --+--=，所以12122(2)()40x x t x x t -+++=，所以2222222(88)8(2)4(12)0121212k k t t k k k k -++-+=+++，所以2164012tk -+=+，所以4t =．若直线l 斜率不存在时，则M ，N 两点关于x 轴对称，当点P 坐标为(4,0)时，x 轴平分MPN ∠．综上所述，在x 轴上存在一点(4,0)P ，使得x 轴平分MPN ∠．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是2，一个顶点是(0,1)B ，点P ，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP BQ ⊥．（1）求椭圆C 的方程；（2）试问直线PQ 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得22212b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=．（2）由BP BQ ⊥知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0．设直线BP 的斜率为k ，直线BP 的方程为1y kx =+，22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得221(202k x kx ++=．解得0x =或2212kx k =-+．当22241212kkx k k =-=-++时，221212k y k -=+，即222412(2112k k P k k --⋅++，用1k -代替k ，得22242(,22k k Q k k -++于是直线PQ 的斜率22222222121212443221FQk k k k k k k k k k k ----++==+++，直线PQ 的方程为22221214()12321k k ky x k k k ---=+++，整理得2(1)(31)0k x k y --+=，当0x =，13y =-时，对任意的k ，2(1)(31)0k x k y --+=恒成立，所以直线PQ 过定点1(0,3-．5．已知A ，B 分别为椭圆222:1(0)x E y a a+=>的左，右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=．P 为椭圆外一点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ，且12AC BD k k =．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：直线CD 过定点．【解答】解：（1）由题意知(0,1)G ，(,0)A a -，(,0)B a ，所以2(,1)(,1)18AG GB a a a ⋅=⋅-=-=，解得3a =，故椭圆E 的标准方程为2219x y +=．证明：（2）设直线CD 的方程为x ty m =+，1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，联立2299x ty m x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得222(9)290t y tmy m +++-=，则有212122229,99tm m y y y y t t -+=-=++，所以21212(9)()2m y y tmy y -+=-，即21212(9)()2m y y y y tm-+=，因为111133AC y y k x ty m ==+++，222233BD y y k x ty m ==-+-，所以12112121121222112212223(3)(3)(9)()2(3)(3)(3)(9)()2(3)3ACBDy k ty m y ty m ty y m y m y y m m y y k y ty m ty y m y m y y m m y ty m +++-+--++-====++++-++++-，1121112221221122(3)[2(3)()](3)(233)(3)[2(3)()](3)(233)m my m y y m my my y my y m my m y y m my my y my y --++-----==+--++-+-+，3132m m -==+，解得1m =，所以直线CD 的方程为1x ty =+，故直线CD 过定点(1,0)．6．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 与双曲线2213y x -=的一个焦点重合，D 为直线2y =-上的动点，过点D 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）求抛物线C 的方程；（2）证明直线AB 过定点．【解答】解：（1）由题意可得双曲线2213y x -=的焦点为(0,2)-，(0,2)，即有抛物线的焦点(0,2)F ，则242pp =⇒=，所以抛物线C 的方程为：28x y =；（2）证明：设0(D x ，2)-，设切线方程为02()y k x x +=-，联立28x y =得：2088160x kx kx -++=⋯⋯①，由22000644(816)0220k kx k kx =⇒-+=⇒--= ．设两条切线的斜率分别为1k ，2k ，则0122x k k +=，121k k ⋅=-，由①知等根为4x k =，故设211(4,2)A k k ，222(4,2)B k k ，则220212*********AB x k k k k k k k -+===-，所以直线AB 的方程为：20112(4)4x y k x k -=-，化简得2200001011121122(22)2224444x x x xy x k x k x k k k k x k k x =-+=-++=-=+．所以直线AB 过定点(0,2)．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，离心率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,1)P 分别作斜率为1k 、2k 的椭圆的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点，若121k k +=，是否存在一个定点Q ，使得其在直线MN 上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1） 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，离心率为3．∴2223b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =，∴椭圆C 的方程为22132x y +=．（2）由题意得12k k ≠，设(M M x ，)M y ，直线AB 的方程为11(1)y k x -=-，即12y k x k =+，代入椭圆方程并化简，得：2221122(23)6360k x k k x k +++-=，∴1221323M k k x k -=+，221223Mk y k =+，同理，1221323N k k x k -=+，122223Nk y k =+，直线MN 的方程为2121222112121063(23923k k k k k y x k k k k ---=-+-+，即1212106293k k y x k k -=--，此时直线过定点2(0,)3-，当120k k =时，直线MN 即为y 轴，此时也过点2(0,3-．综上，直线MN 恒过定点，且定点坐标为2(0,3-．8．已知左焦点为(1,0)F -的椭圆过点E ．过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求1k ；（3）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．【解答】（1）解：由题意1c =，且右焦点(1,0)F'2a EF EF ∴=+'=，2222b ac =-=∴所求椭圆方程为22132x y +=；（2）解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211132x y +=①，2222132x y +=②②-①，可得2121121212()23()3y y x x k x x y y -+==-=--+；（3）证明：由题意，12k k ≠，设(M M x ，)M y ，直线AB 的方程为11(1)y k x -=-，即12y k x k =+，代入椭圆方程并化简得2221122(23)6360k x k k x k +++-=∴1221323M k k x k -=+，221223Mk y k =+同理，1222323N k k x k -=+，122223Nk y k =+当120k k ≠时，直线MN 的斜率12121069M N M N y y k k k x x k k --==--直线MN 的方程为2121222112121063()23923k k k k k y x k k k k ---=-+-+即1212106293k k y x k k -=--此时直线过定点2(0,)3-当120k k =时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点2(0,3-综上，直线MN 恒过定点，且坐标为2(0,)3-．9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，(,0)F c -为其左焦点，点2(a P c-，0)，1A ，2A 分别为椭圆的左、右顶点，且12||4A A =，11||||3PA A F =．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1A 作两条射线分别与椭圆交于M 、N 两点（均异于点1)A ，且11A M A N ⊥，证明：直线MN 恒过x 轴上的一个定点．【解答】（1）解：12||4A A = ，2a ∴=，又11||||3PA A F = ，∴2)3a a a c c -=-，整理得3a c =，c ∴=，则2221b a c =-=．∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）证明：由已知直线MN 与y 轴不垂直，假设其过定点(,0)T n ，设其方程为x my n =+，联立2214x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(4)240m y mny n +++-=．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+．1212()2x x m y y n ∴+=++，2212121212()()()x x my n my n m y y mn y y n =++=+++．11A M A N ⊥ ，∴111122(2,)(2,)0A M A N x y x y =++=．1212122()40x x x x y y ∴++++=，∴221212(1)(2)()(2)0m y y m n y y n ++++++=．即22222(1)(2)(2)2(2)(2)044m n n nm n n m m ++-+-++=++．化简得：(2)(56)0n n ++=，若2n =-，则T 与A 重合，不合题意，20n ∴+≠，整理得65n =-．综上，直线MN 过定点6(,0)5T -．10．已知椭圆22:132x y E +=的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点．（Ⅰ）求直线PA 与PB 的斜率之积；（Ⅱ）过点(5Q -作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：以MN 为直径的圆恒过点A ．【解答】解：（Ⅰ）(A B ．设点(P x ，)(0)y y ≠，则有22132x y +=，即22222(1)(3)33x y x =-=-，∴22222(3)23333PA PBx y k k x x -⋅===---．（Ⅱ）证明：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 与x 轴不重合，∴设直线:)5MN l x ty t R =-∈，由222360x ty x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩化简得，22144(23)025t y +--=；由题意可知△0>成立，且1221225231442523y yty yt⎧⎪⎪+=⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩；11221212()()(AM AN x y x y ty ty y y⋅=++=+++2121248(1)()525t y y y y=++++；将1221225231442523y yty yt⎧⎪⎪+=⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩代入上式并化简得，22222144144484848234825252502325252325t t tAM ANt t--++⋅=+=-⨯+=++．AM AN∴⊥，即以MN为直径的圆恒过点A．11．已知点(1,0)A-，(1,1)B-，抛物线2:4C y x=，过点A的动直线l交抛物线C于M，P 两点，直线MB交抛物线C于另一点Q，O为坐标原点．（1）求OM OP⋅；（2）证明：直线PQ恒过定点．【解答】解：（1）设点1(M x，1)y，2(P x，2)y，由题意，设直线:1l x my=-，由214x myy x=-⎧⎨=⎩得2440y my-+=，△216160m=->，21m∴>，又124y y=，∴212121212()14516y yOM OP x x y y y y⋅=+=+=+=．（2）证明：设23(4yQ，3)y，直线BQ的斜率为BQk，直线QM的斜率为QMk，直线PQ的斜率为PQk，M，B，Q三点共线，BQ QMk k∴=，∴31322233111444y y yy yy+-=--，即32313114yy y y+=-+，23133(1)()4y y y y∴++=-，即131340y y y y+++=，124y y = ，124y y ∴=，∴33224440y y y y ⋅+++=，即23234()40(*)y y y y +++=，23223232444PQ y y k y y y y -==+- ，∴直线PQ 的方程是222234(4y y y x y y -=-+，即22232()()4y y y y x y -+=-，2323()4y y y y y x ∴+-=，由(*)式可知，23234()4y y y y -=++代入上式，得23(4)()4(1)y y y x ++=-，令4010y x +=⎧⎨-=⎩，解得14x y =⎧⎨=-⎩，∴直线PQ 恒过定点(1,4)-．12．已知点(1,0)A -，(1,1)B -和抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图（1）证明：OM OP为定值；（2）若POM ∆的面积为52，求向量OM 与OP 的夹角；（3）证明直线PQ恒过一个定点．【解答】()I 证明：设点211(,)4y M y ，222(,)4y P y ，P 、M 、A 三点共线，AM PM k k ∴=，即112221121444y y y y y y -=+-，∴1211214y y y y =++，124y y ∴=，⋯（2分）∴221212544y y OM OP y y =+= ．⋯（5分）()II 解：设POM α∠=，则||||cos 5OM OP α=，52POMS ∆= ，||||sin 5OM OP α∴= ，tan 1α∴=．⋯（8分）又(0,)απ∈，(0,)απ∴∈，45α∴=︒，∴OM 与OP的夹角为45︒．⋯（10分）（Ⅲ）证明：设点233(,)4y Q y ，M 、B 、Q 三点共线，BQ QM k k ∴=，∴3132223311444y y y y y y -=+-，∴32313114y y y y +=-+，23133(1)()4y y y y ∴++=-，即131340y y y y +++=，124y y = ，124y y =，∴33224440y y y y +++= 即23234()40y y y y +++=，(*)⋯（12分）23223212444PQ y y k y y y y -==+- ，∴直线PQ 的方程是222234(4y y y x y y -=-+，即22232()()4y y y y x y -+=-，即2323()4y y y y y x +-=，由(*)式，23234()4y y y y -=++，代入上式，得12(4)()4(1)y y y x ++=-，∴直线PQ 过定点(1,4)E -．13．已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =，（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点(2p F ，0)，满足(2FP =，的P 的坐标为(22p+，，P 在抛物线上，所以22(22pp =+，即24120p p +-=，0p >，解得2p =，所以抛物线的方程为：24y x =；（2）设0(M x ，0)y ，1(N x ，1)y ，2(L x ，2)y ，则2114y x =，2224y x =，直线MN 的斜率10102210101044MN y y y y k y y x x y y --===--+，则直线MN 的方程为：200104(4y y y x y y -=-+，即01014x y y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得02024x y y y y y +=+②，将(3,2)A -，(3,6)B -分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消0y 可得1212y y =，易知直线124NL k y y =+，则直线NL 的方程为：211124(4y y y x y y -=-+，即1212124y y y x y y y y =+++，故1212412y x y y y y =+++，所以124(3)y x y y =++，因此直线NL 恒过定点(3,0)-．14．已知直线2y x =-与抛物线22y px =相交于A ，B 两点，满足OA OB ⊥．定点(4,2)C ，(4,0)D -，M 是抛物线上一动点，设直线CM ，DM 与抛物线的另一个交点分别是E ，F ．（1）求抛物线的方程；（2）求证：当M 点在抛物线上变动时（只要点E 、F 存在且不重合），直线EF 恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．【解答】解：（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立222y x y px=-⎧⎨=⎩，整理可得：2240y py p --=，所以可得122y y p +=，124y y p =-，进而可得1212122()442244x x y y y y p p =+++=-+⨯+=，由OA OB ⊥，可得：0OA OB ⋅=，即440p -=，可得1p =，所以抛物线的方程为：22y x =；（2）证明：设20(2y M ，0)y ，21(2y E ，1)y ，22(2y F ，2)y ，由C ，M ，E 三点共线可得，10022200124222y y y y y y --=--，即021002(2)28y y y y -=+-，整理可得：01012()8y y y y =+-，所以010282y y y -=-，同理可得D ，M ，F 三点共线，208y y =，所以直线EF 的方程：211112221122()()22y y y y x x x x y y y y --=-=-+-，整理可得：1212()2y y y y y x =+-，将1y ，2y 的值代入直线方程可得：2(22)4(4)8(28)0x y y x y -+-+-=，所以040280x y x y -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解得：4x y ==，所以直线EF 过定点(4,4)．15．已知直线:2l y x =与抛物线21:4C y x =交于(A A x ，)A y 、(0,0)O 两点，过点O 与直线l 垂直的直线交抛物线C 于点(B B x ，)B y ．如图所示．（1）求抛物线C 的焦点坐标；（2）求经过A 、B 两点的直线与y 轴交点M 的坐标；（3）过抛物线214y x =的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A 、B 的直线AB 是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线21:4C y x =的方程化为24x y =，24p ∴=，2p =．⋯（2分）∴抛物线C 的焦点坐标为(0,1)．⋯（4分）（2）联立方程组2142y xy x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得点A 坐标为(8,16)．⋯（6分）联立方程组21412y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得点B 坐标为(2,1)-．⋯（7分）所以直线AB 的方程为1611(2)8(2)y x --=+-- ，⋯（8分）令0x =，解得4y =．∴点M 的坐标为(0,4)．⋯（9分）（3）结论：过抛物线214y x =的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB 恒过定点(0,4)．⋯（10分）证明如下：设过抛物线214y x =的顶点的一条直线为(0)y kx k =≠，则另一条为1y x k=-，联立方程组2141y x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得点A 坐标为2(4,4)k k ．⋯（11分）联立方程组2141y x y xk ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得点B 坐标为4(k -，24)k ．⋯（12分）所以直线AB 的方程为2224444()44(k k y x k k k k--=+-- ，⋯（13分）令0x =，解得4y =．∴直线AB 恒过定点(0,4)．⋯（14分）16．过抛物线2:2(0)E y px p =>上一点(1,2)M -作直线交抛物线E 于另一点N ．（Ⅰ）若直线MN 的斜率为1，求线段||MN 的长；（Ⅱ）不过点M 的动直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过点M ，问动直线l 是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）把M 点的坐标代入抛物线2:2(0)E y px p =>可得2p =，所以抛物线的方程为：24y x =，由题意可得直线MN 的方程为：21y x +=-，即3y x =-，与抛物线联立234y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得：21090x x -+=，解得：1x =或9x =，可得交点(1,2)-或(9,6)，所以||MN ==；（Ⅱ）设直线l 为：x ky m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线的方程：24x ky my x=+⎧⎨=⎩，整理可得：2440y ky m --=，△216160k m =+>，即20k m +>，124y y k +=，124y y m =-，因为MA MB ⊥，所以0MA MB ⋅=，1(1x -，122)(1y x +-，22)0y +=，整理可得：221212(1)(2)()250k y y km k y y m m ++-+++-+=，整理可得：2264850m m k k --++=，即22(3)4(1)m k -=-，21m k =+，可得2210k k ++>不是恒成立，或25m k =-+（符合△0)>，所以直线l 为：25x ky k =-+，即5(2)x k y -=-，直线恒过点(5,2)．17．如图所示，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，E 的右焦点到直线1y x =+．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右顶点为A，不经过点A的直线l与椭圆E交于M，N两点，且以MN为直径的圆过A，求证：直线l恒过定点，并求出此定点坐标．【解答】解：（1） 椭圆2222:1x yEa b+=的离心率为12，∴12ca=，即2a c=．⋯（2分）椭圆E的右焦点(,0)c到直线:1l y x=+．∴=1c∴=．⋯（4分）解得2a=，又222a b c=+，∴b=，故椭圆E的方程为22143x y+=．⋯（5分）（2）由题意可知，直线l的斜率为0时，不合题意，不妨设直线l的方程为x my t=+，由22143x my tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得222(34)63120m y mty t+++-=，设1(M x，1)y，2(N x，2)y，则122634mty ym+=-+，212231234ty ym-=+．⋯（7分）以MN为直径的圆过椭圆右顶点，1212(2)(2)0x x y y∴--+=，即221212(1)(2)()(2)0m y y m t y y t++-++-=．⋯（9分）∴222223126(1)(2)((2)03434t mtm m t tm m-++--+-=++，解得27t=或2t=（舍)⋯（11分）故直线l恒过定点2(,0)7．⋯（12分）18．已知椭圆222:3(0)E x y m m+=>的左顶点是A，左焦点为F，上顶点为B．（1）当AFB∆的面积为2时，求m的值；（2）若直线l交椭圆E于M，N两点（不同于)A，以线段MN为直径的圆过A点，试探究直线l是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．【解答】解：（1）由椭圆方程：222213x ymm+=，则a m=，b=，c=，由三角形AFB的面积S，1()22S b b c=⨯-=，mm=，m∴；（2）由线段MN过直径的圆过A点，则MA NA⊥，设直线AM的斜率为(0)k k>，则直线AN的斜率为1k-，AM为()y k x m=+，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则222()3y k x mx y m=+⎧⎨+=⎩，整理得：22222(31)6(31)0k x k mx k m+++-=，则2212(31)()31k mx mk--=+，则212(13)31m kxk-=+，故1122()31mky k x mk=+=+，则22(13)(31m kMk-+，22)31mkk+，直线AN的方程为1()y x mk=-+，同理可得：22(3)(3m kNk-+，223mkk-+，当l的斜率不存在时，显然可得1k=，此时(2mM-，2m，(2mN-，)2m-，则圆心为(2mP-，0)，由直线l总穿过x轴，证明当l的斜率存在时，也过点(2mP-，0)，当l的斜率存在时，222220431(0,1)(13)3(1)312PM PNmkkkk k k km k m kk-+===>≠--++，综上可知：l过定点(2m-，0)．19．已知椭圆22:132x yE+=的左右顶点分别为A、B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．（Ⅰ）求直线PA与PB的斜率乘积的值；（Ⅱ）设(Q t，0)(t≠，过点Q作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点，则是否存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）(A B ．设点(P x ，)(0)y y ≠，则有22132x y +=，即22222(1)(3)33x y x =-=-，∴22222(3)23333PA PBx y k k x x -⋅===---．（Ⅱ）假设存在实数t ，使得以MN 为直径的圆恒过点A ；设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 与x 轴不重合，∴设直线MN 的方程为x ay t =+，()a R ∈，由222360x ay tx y =+⎧⎨+-=⎩化简得，222(23)4260a y aty t +++-=，由题意可知△0>成立，且122423at y y a +=-+，21222623t y y a -=+；1(AM AN x ⋅=+，12)(y x ，2)y 1(ay t =++，12)(y ay t ++，2)y 1212(ay t ay t y y =+++++22121212)())a y y t a y y t y y =++++将122423aty y a +=-+，21222623t y y a -=+代入上式可得，222222226426))0232323t at t AM AN a t a t a a a --⋅=-+++=+++ ，即22222222222644)(23)26023a t a a a t t a t a --+++-=+，即222222(2644246)26)0a t t t t t --+++-+=，即2530t ++=，解得，t =（舍去）或5t =．故t =．。
人教版数学七年级上学期专题08 线段上动点问题的三种考法(原卷版+解析版)(人教版)
专题08 线段上动点问题的三种考法类型一、求值问题例.数轴上有A ，B ，C 三点，A ，B 表示的数分别为m ，n ()m n <，点C 在B 的右侧，2AC AB -=．(1)如图1，若多项式()371231mn x x x +--+-是关于x 的二次三项式，请直接写出m ，n 的值：(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段EF （E 在F 的左侧）在A ，B 之间沿数轴水平滑动（不与A ，B 重合），点M 是EC 的中点，N 是BF 的中点，在EF 滑动过程中，线段MN 的长度是否发生变化，请判断并说明理由；(3)若点D 是AC 的中点．①直接写出点D 表示的数____________（用含m ，n 的式子表示）； ②若24AD BD +=，试求线段AB 的长．【变式训练1】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s 的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3AB的值．【变式训练3】如图，数轴上有两点,A B ，点C 从原点O 出发，以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动，点D 从点B 出发，以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC =，若点M 为直线OA 上一点，且AM BM OM -=，则ABOM的值为_______．类型二、证明定值问题例.如图，已知线段AB m =，CD n =，线段CD 在直线AB 上运动（点A 在点B 的左侧，点C 在点D 的左侧），若()21260m n -+-=． （1）求线段AB ，CD 的长；（2）若点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，4BC =，求线段MN 的长；（3）当CD 运动到某一时刻时，点D 与点B 重合，点P 是线段AB 的延长线上任意一点，下列两个结论：①PA PB PC -是定值，②PA PBPC+是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【变式训练1】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【变式训练2】如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为6，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为________；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为________；（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．【变式训练3】(1)如图1，在直线AB 上，点P 在A 、B 两点之间，点M 为线段PB 的中点，点N 为线段AP的中点，若AB n =，且使关于x 的方程()46n x n -=-无解. ①求线段AB 的长；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2，点C 为线段AB 的中点，点P 在线段CB 的延长线上，试说明PA PBPC+的值不变.类型三、数量关系例.数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12-，线段CE 在数轴上运动，点C 在点E 的左边，且8,CE =点F 是AE 的中点．（1）如图1，当线段CE 运动到点,C E 均在,A B 之间时，若1CF =，则AB =_________，点C 对应的数为________，BE =________；（2）如图2，当线段CE 运动到点A 在C E 、之间时，画出草图并求BE 与CF 的数量关系．【变式训练1】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝43 AB．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出ACAB＝_______；（2）设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求ADCE的值；②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．【变式训练2】已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式32AD ECBE+=，则CDAB＝．课后作业1.已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点从左到右顺次为A ，B ，C ，其中b 是最小的正整数，a 在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB ． （1）填空：a= ，b= ，c=（2）点D 从点A 开始，点E 从点B 开始， 点F 从点C 开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F 追上点D 时停止动，设运动时间为t 秒．试问： ①当三点开始运动以后，t 为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？②F 在追上E 点前，是否存在常数k ，使得DF k EF +⋅的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k 和这个定值；若不存在，请说明理由．2．已知点C 在线段AB 上，2AC BC =，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧．若18AB =，8DE =，线段DE 在线段AB 上移动．(1)如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长；(2)点F （异于A ，B ，C 点）在线段AB 上，3AF AD =，3CE EF +=，求AD 的长．3.已知线段AB ，点C 在直线AB 上，D 为线段BC 的中点．(1)若8AB =，2AC =，求线段CD 的长．(2)若点E 是线段AC 的中点，请写出线段DE 和AB 的数量关系并说明理由．4.已知：如图1，M 是定长线段AB 上一定点，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm/s 、3cm/s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）(1)若AB ＝11cm ，当点C 、D 运动了1s ，求AC +MD 的值． (2)若点C 、D 运动时，总有MD ＝3AC ，直接填空：AM ＝ BM ． (3)在（2）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN ﹣BN ＝MN ，求2MN3AB的值．5．如图，在数轴上A 点表示的数为a ，B 点表示的数为b ，C 点表示的数为c ，b 是最大的负整数，且a ，c 满足()2390a c ++-=．点P 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A 后立刻返回到点C ，到达点C 后再返回到点A 并停止．（1）=a ________，b =________，c =________．（2）点P 从点B 离开后，在点P 第二次到达点B 的过程中，经过x 秒钟，13PA PB PC ++=，求x 的值． （3）点P 从点B 出发的同时，数轴上的动点M ，N 分别从点A 和点C 同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t 秒钟时，P 、M 、N 三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t 的值．6．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考.（1）发现：C E F在线段AB上，当点,E F是线段AC和线段BC的中点时，线段EF的长为如图1，线段12AB ，点,,_________；若点C在线段AB的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段EF与线段AB之间的数量关系为_________.（2）应用：如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳AB，其左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF. 小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF，请你尝试着“复原”他们的做法：①在图中标出点E、点F的位置，并简述画图方法；②请说明①题中所标示,E F点的理由.7．问题背景整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为（直接写出答案）．(2)当x＝1时，代数式a3x+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a3x+bx+2021的值．(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求ACAB的值；②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时ADAB的值．8．已知：如图1，点M 是线段AB 上一定点，AB ＝12cm ，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm /s 、2cm /s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）（1）若AM ＝4cm ，当点C 、D 运动了2s ，此时AC ＝ ，DM ＝ ；（直接填空） （2）当点C 、D 运动了2s ，求AC +MD 的值．（3）若点C 、D 运动时，总有MD ＝2AC ，则AM ＝ （填空） （4）在（3）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN ﹣BN ＝MN ，求MNAB的值．9．如图，数轴正半轴上的A ，B 两点分别表示有理数a ，b ，O 为原点，若3a =，线段5OB OA =.（1）=a ______，b =______；（2）若点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度向x 轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点P 到点A 的距离是点P 到点B 距离的3倍；（3）数轴上还有一点C 表示的数为32，若点P 和点Q 同时从点A 和点B 出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C 点运动，P 点到达C 点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A ，求点P 和点Q 运动多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为4.10．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为－3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是______；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．(3)如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等.（直接写出答案）11．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQAB的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有1CD AB2，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②MNAB的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．专题08 线段上动点问题的三种考法类型一、求值问题例.数轴上有A ，B ，C 三点，A ，B 表示的数分别为m ，n ()m n <，点C 在B 的右侧，2AC AB -=．(1)如图1，若多项式()371231mn x x x +--+-是关于x 的二次三项式，请直接写出m ，n 的值： (2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段EF （E 在F 的左侧）在A ，B 之间沿数轴水平滑动（不与A ，B 重合），点M 是EC 的中点，N 是BF 的中点，在EF 滑动过程中，线段MN 的长度是否发生变化，请判断并说明理由； (3)若点D 是AC 的中点．①直接写出点D 表示的数____________（用含m ，n 的式子表示）； ②若24AD BD +=，试求线段AB 的长．【答案】(1)5m =-，1n =；(2)不变化，理由见解析；(3)①12m n ++；②103【解析】(1)解：由题可知，n -1=0，7+m =2， ∠1n =，5m =-故答案为：5m =-，1n =(2)解：MN 的长不发生变化，理由如下： 由题意，得点C 表示的数为3，设点E 表示的数为x ，则点F 表示的数为1x +∠6AB = ，2BC = ，5AE x =+ ，6AF x =+ ，3EC x =- ，BF x =-， ∠点M 是EC 的中点，N 是BF 的中点 ∠32x MC ME -==，2x NF -=，即311222x x MN ME EF FN --=--=--=(3)解：①∠A ，B 表示的数分别为m ，n ()m n <又点C 在B 的右侧，∠AB =n -m ∠2AC AB -=，∠AC = n -m +2∠点D 是AC 的中点，∠AD =12AC = 12（n -m +2）∠D 表示的数为：m +12（n -m +2）=12m n ++ ②依题意，点C 表示的数分别为2n + ∠AB n m =-，1122m n n mAD m +-=+-=+ ∠1122m n m n BD n +-=+-=+，22122m nBD m n -=+=-+ ∠24AD BD +=，即1242n mm n -++-+= 当20m n -+>时．()1242n mm n -++-+=，2m n -= ∠m n <，∠2m n -=不符合题意，舍去 当20m n -+<时．()1242n m m n -+--+=，103n m -= 综上所述，线段AB 的长为103.【变式训练1】如图1，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB ，AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”． （1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知AB ＝15cm ．动点P 从点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速运动；点Q 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿BA 向点A 匀速运动，点P ，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t （s ），当t ＝__s 时，Q 为A ，P 的“巧点”．【答案】是 7.5或457【解析】（1）若线段中点为C 点，AB ＝2AC ，所以中点是这条线段“巧点”（2）设A 点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t 秒；t 最大＝7.5，A ：0，P ：0+2t ＝2t ，Q ：15﹣t ，①Q为AP中点，20152tt+-=，∠t＝7.5；②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15，∠AQ＝2PQ，∠15﹣t＝2（3t﹣15），∠457t=；③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），∠t＝9>7.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或457．故答案为：（1）是；（2）7.5或457．【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3AB的值．【答案】(1)7cm；(2)13；(3)13或23【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∠AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∠AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∠AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∠BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∠AM=13 BM故答案为：13．(3)解：由（2）可得：∠BM＝AB﹣AM∠AB﹣AM＝3AM，∠AM＝14 AB，①当点N在线段AB上时，如图∠AN ﹣BN ＝MN ，又∠AN ﹣AM ＝MN ，∠BN ＝AM ＝14AB ，∠MN ＝12AB ，即2MN 3AB =13． ②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图∠AN ﹣BN ＝MN ，又∠AN ﹣BN ＝AB ，∠MN ＝AB ，∠MNAB=1,即2MN 3AB =23．综上所述2MN 3AB ＝13或23【变式训练3】如图，数轴上有两点,A B ，点C 从原点O 出发，以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动，点D 从点B 出发，以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC =，若点M 为直线OA 上一点，且AM BM OM -=，则ABOM的值为_______．【答案】1或53【解析】设运动的时间为t 秒，点M 表示的数为m则OC=t ，BD=4t ，即点C 在数轴上表示的数为-t ，点D 在数轴上表示的数为b -4t ， ∠AC=-t -a ，OD=b -4t ，由OD=4AC 得，b -4t=4（-t -a ），即：b=-4a ， ①若点M 在点B 的右侧时，如图1所示：由AM -BM=OM 得，m -a -（m -b ）=m ，即：m=b -a ； ∠=1b a B O mA m M m-== ②若点M 在线段BO 上时，如图2所示：由AM -BM=OM 得，m -a -（b -m ）=m ，即：m=a+b ；∠=4543b a b a a a m a AB b a a OM ----===+- ③若点M 在线段OA 上时，如图3所示：由AM -BM=OM 得，m -a -（b -m ）=-m ，即：433a b a am a +-===- ∠此时m ＜0，a ＜0，∠此种情况不符合题意舍去； ④若点M 在点A 的左侧时，如图4所示：由AM -BM=OM 得，a -m -（b -m ）=-m ，即：m=b -a=-5a ；而m ＜0，b -a ＞0， 因此，不符合题意舍去， 综上所述，AB OM 的值为1或53． 类型二、证明定值问题例.如图，已知线段AB m =，CD n =，线段CD 在直线AB 上运动（点A 在点B 的左侧，点C 在点D 的左侧），若()21260m n -+-=． （1）求线段AB ，CD 的长；（2）若点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，4BC =，求线段MN 的长；（3）当CD 运动到某一时刻时，点D 与点B 重合，点P 是线段AB 的延长线上任意一点，下列两个结论：①PA PB PC -是定值，②PA PBPC+是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【答案】（1）12AB =，6CD =；（2）9；（3）②正确，2PA PBPC+=，见解析 【解析】（1）由()21260m n -+-=，()212600m n ≥--≥，，12=06=0m n --，， 得12m =，6n =，所以12AB =，6CD =； （2）当点C 在点B 的右侧时，如图，因为点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，4BC =， 所以()()1124118222AM AC AB BC ==+⨯+==，()()111645222DN BD CD BC ===++=， 又因为124622AD AB BC CD =++=++=， 所以22859MN AD AM DN =--=--=， 当点C 在点B 的左侧时，如图，因为点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点， 所以()()1111244222AM MC AC AB BC ===--==，()()111641222BN ND BD CD BC ===--==， 所以126414AD AB CD BC =+-=+-= 所以14419MN AD AM DN =--=--=． 综上，线段MN 的长为9； （3）②正确，且2PA PBPC+=．理由如下： 因为点D 与点B 重合，所以BC DC =，所以6AC AB BC AB DC =-=-=，所以AC BC =， 所以()()222PC AC PC BC PA PB PC AC BC PCPC PC PC PC++-++-====．【变式训练1】已知线段AB ＝m ，CD ＝n ，线段CD 在直线AB 上运动（A 在B 的左侧，C 在D 的左侧），且m ，n 满足|m －12|＋（n －4）2＝0. （1）m ＝ ，n ＝ ；（2）点D 与点B 重合时，线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C 在线段AB 上，若M 是线段AC 的中点，N 是线段BD 的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）∠|m－12|＋（n－4）2＝0，∠m－12=0，n－4=0，∠m=12，n=4；故答案为：12；4．（2）由题意，①∠AB=12，CD=4，∠M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，∠AM=CM=12AC ，DN=BN=12BD∠MN=CM+CD+DN=12AC +CD+12BD=12AC +12CD+12BD+12CD=12(AC +CD+BD)+12CD=12(AB +CD)=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：81013231a a，解得：a=2，在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∠E是线段BC的中点，∠CE= BE=12BC=2+t；∠．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0，∠FC-5 DE =0；∠．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t，∠FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；∠．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2，∠FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．【变式训练2】如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为6，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为________；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为________；（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．【答案】（1）6；6；（2）不发生改变，MN为定值6，过程见解析【详解】解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6，BP=3．∠M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∠MP=23AP=4，NP=23BP=2，∠MN=MP+NP=6；若点P表示的有理数是6（如图2），则AP=12，BP=3．∠M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∠MP=23AP=8，NP=23BP=2，∠MN=MP-NP=6．故答案为：6；6．（2）MN的长不会发生改变，理由如下：设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）．当-6＜a＜3时（如图1），AP=a+6，BP=3-a．∠M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∠MP=23AP=23（a+6），NP=23BP=23（3-a），∠MN=MP+NP=6；当a＞3时（如图2），AP=a+6，BP=a-3．∠M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∠MP=23AP=23（a+6），NP=23BP=23（a-3），∠MN=MP-NP=6．综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6．【变式训练3】(1)如图1，在直线AB上，点P在A、B两点之间，点M为线段PB的中点，点N 为线段AP 的中点，若AB n =，且使关于x 的方程()46n x n -=-无解. ①求线段AB 的长；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2，点C 为线段AB 的中点，点P 在线段CB 的延长线上，试说明PA PBPC+的值不变.【答案】（1）①AB=4；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由见解析；（2）见解析.【详解】解：（1）①∠关于x 的方程()46n x n -=-无解．∠4n -=0，解得：n=4．故AB=4． ②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由如下： ∠M 为线段PB 的中点，∠PM= 12PB ．同理：PN=12AP ．．∠MN=PN+PM= 12（PB+AP ）=12AB=12×4=2．∠线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关． （2）设AB=a ，BP=b ，则PA+PB=a+b+b=a+2b ． ∠C 是AB 的中点，1122BC AB a ∴== 12PC PB BC a b ∴=+=+，2212PA PB a bPC a b ++∴==+， 所以PA PBPC+的值不变.类型三、数量关系 例.数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12-，线段CE 在数轴上运动，点C 在点E 的左边，且8,CE =点F 是AE 的中点．（1）如图1，当线段CE 运动到点,C E 均在,A B 之间时，若1CF =，则AB =_________，点C 对应的数为________，BE =________；（2）如图2，当线段CE 运动到点A 在C E 、之间时，画出草图并求BE 与CF 的数量关系．【答案】（1）16；2；2；（2）2BE CF =，画图见解析． 【解析】（1）数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12-，12(4)16AB ∴=--=8,1CE CF ==7EF CE CF ∴=-=点F 是AE 的中点，7AF EF ∴==，6AC AF CF ∴=-=6AC AO CO =+=，2CO ∴=，C ∴对应的数是2，2BE AB AF EF ∴=--=故答案为：16；2；2； （2）,BE AB AE CF CE EF =-=-，点F 是AE 的中点，2AE EF ∴=162,8BE AB AE EF CF CE EF EF ∴=-=-=-=-，2BE CF ∴=故答案为：（1）16；2；2；（2）2BE CF =，画图见解析．【变式训练1】如图，已知线段AB ，延长线段BA 至C ，使CB ＝43AB ．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出ACAB＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm ，点D 从点B 出发，点E 从点A 出发，分别以3cm/s ，1cm/s 的速度沿直线AB 向左运动．①当点D在线段AB 上运动，求ADCE的值； ②在点D ，E 沿直线AB 向左运动的过程中，M ，N 分别是线段DE 、AB 的中点．当点C 恰好为线段BD 的三等分点时，求MN 的长． 【答案】（1）13，（2）3，（3）12cm 或24cm ．【详解】解：（1）图形补充完整如图，∵CB ＝43AB ，∴CA ＝13BC AB AB -=，13AC AB =，故答案为：13； （2）①AB ＝ 9cm ，由（1）得，133CA AB ==（cm ），设运动的时间为t 秒， (93)DA t =-cm ，(3)CE t =-cm ，93=33AD tCE t-=-，②当3BD CD =时，∠AB ＝ 9cm ， 3CA =cm ，∠212CB CD ==cm ， ∠6CD =cm ，318BD CD ==cm ，运动时间为：18÷3=6（秒），则6AE =cm ，15BE BA AE =+=cm ，3ED BD BE =-=cm ，∠M ，N 分别是线段DE 、AB 的中点．∠ 1.5DM =cm ， 4.5BN =cm ， 12MN BD DM BN =--=cm ，当3BD CB =时，∠AB ＝ 9cm ， 3CA =cm ，∠12CB =cm ，∠336BD CB ==cm ，运动时间为：36÷3=12（秒），则12AE =cm ，21BE BA AE =+=cm ，15ED BD BE =-=cm ， ∠M ，N 分别是线段DE 、AB 的中点．∠7.5DM =cm ， 4.5BN =cm ，24MN BD DM BN =--=cm ，综上，MN 的长是12cm 或24cm ．【变式训练2】已知点C 在线段AB 上，AC ＝2BC ，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧，（1）若AB ＝18，DE ＝8，线段DE 在线段AB 上移动， ①如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长； ②当点C 是线段DE 的三等分点时，求AD 的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式32AD ECBE+=，则CDAB＝．【答案】（1）①AD＝7；②AD＝203或283；（2）1742或116【详解】解：（1）∠AC＝2BC，AB＝18，∠BC＝6，AC＝12，①∠E为BC中点，∠CE＝3，∠DE＝8，∠CD＝5，∠AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∠点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∠CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，∠CD＝163或CD＝83，∠AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83=283；（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∠AB＝3x，∠AB＝2DE，∠DE＝1.5x，设CE＝y，∠AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∠AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∠32AD ECBE+=，∠0.532x y yx y++=-，∠y＝27x，∠CD＝1.5x﹣27x＝1714x，∠171714342==xCDAB x；当点E在点A的左侧，如图，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∠DC＝EC+DE＝y+1.5x，∠AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∠32AD ECBE+=，BE＝EC+BC＝x+y，∠0.532y x yx y-+=+，∠y＝4x，∠CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∠AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∠5.51136==CD x AB x ， 当点E 在线段AC 上及点E 在点B 右侧时，无解， 综上所述CD AB 的值为1742或116． 故答案为：1742或116． 课后作业1.已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点从左到右顺次为A ，B ，C ，其中b 是最小的正整数，a 在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB ． （1）填空：a= ，b= ，c=（2）点D 从点A 开始，点E 从点B 开始， 点F 从点C 开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F 追上点D 时停止动，设运动时间为t 秒．试问：①当三点开始运动以后，t 为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F 在追上E 点前，是否存在常数k ，使得DF k EF +⋅的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k 和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=52；②k=-1 【解析】（1）∠最小正数为1．最大的负整数为小-1，a 在最大的负整数左侧1个单位长度 ∠点A 表示的数a 为-1-1=-2，点B 表示的数b 为1， ∠AB=1-（-2）=3∠223=6BC AB ==⨯，∠点C 表示的数为c=1+6=7， 故答案为：-2，1，7；（2）①依题意，点F 的运动距离为4t ，点D 、E 运动的距离为t,∠点D 、E 、F 分别表示的数为-2-t ，1-t ， 7-4t,当点F 追上点D 时，必将超过点B ， ∠存在两种情况，即DE=EF 和DF=EF ，如图，当DE=EF ，即E 为DF 的中点时，()21=274t t t ----+，解得，t=1，如图，当EF=DF ，即F 为DE 中点时，()74=21t t t ---+-2，解得t=52，综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝52时，满足题意． ②存在，理由：点D 、E 、F 分别表示的数为-2-t ，1-t ，7-4t,如图，F 在追上E 点前， ()74-2=93DF t t t =----，()74-1=63EF t t t =---， ()()93639633DF k EF t k t k k t +⋅=-+-=+-+，当DF k EF +⋅与t 无关时，需满足3+3k=0， 即k=-1时，满足条件．故答案为：（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=52；②k=-1 2．已知点C 在线段AB 上，2AC BC =，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧．若18AB =，8DE =，线段DE 在线段AB 上移动．(1)如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长；(2)点F （异于A ，B ，C 点）在线段AB 上，3AF AD =，3CE EF +=，求AD 的长． 【答案】(1)7；(2)3或5【解析】(1)2AC BC =，18AB =，6BC ∴=，12AC =， 如图1，E 为BC 中点，3CE BE ∴==，8DE =，∴8311BD DE BE =+=+=，∴18117AD AB DB =-=-=，(2)Ⅰ、当点E 在点F 的左侧，如图2，或∵3CE EF +=，6BC =，∴点F 是BC 的中点， ∴3CF BF ==，∴18315AF AB BF =-=-=，∴153AD AF ==，∵3CE EF +=，故图2（b ）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点E 在点F 的右侧，或12AC ，3CE EF CF +==，∴9AF AC CF =-=， ∴39AF AD ==， 3AD ∴=．∵3CE EF +=，故图3（b ）这种情况求不出； 综上所述：AD 的长为3或5．3.已知线段AB ，点C 在直线AB 上，D 为线段BC 的中点．(1)若8AB =，2AC =，求线段CD 的长．(2)若点E 是线段AC 的中点，请写出线段DE 和AB 的数量关系并说明理由． 【答案】(1)3或5(2)2AB DE =，理由见解析【解析】(1)解：如图1，当C 在点A 右侧时，∠8AB =，2AC =，∠6C AB C B A =-=， ∠D 是线段BC 的中点，：∠132CD BC ==； 如图2，当C 在点A 左侧时，∠8AB =，2AC =，∠10BC AB AC =+=， ∠D 是线段BC 的中点，∠152CD BC ==；综上所述，3CD =或5； (2)解：2AB DE =．理由是：如图3，当C 在点A 和点B 之间时，∠E 是AC 的中点，D 是BC 的中点，∠2AC EC =，2BC CD =， ∠222AB AC BC EC CD DE =+=+=； 如图4，当C 在点A 左侧时，同理可得：()2222AB BC AC CD CE CD CE DE =-=-=-=； 如图5，当C 在点B 右侧时，同理可得：()2222AB AC BC EC CD EC CD DE =-=-=-=．4.已知：如图1，M 是定长线段AB 上一定点，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm/s 、3cm/s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）(1)若AB ＝11cm ，当点C 、D 运动了1s ，求AC +MD 的值． (2)若点C 、D 运动时，总有MD ＝3AC ，直接填空：AM ＝ BM ． (3)在（2）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN ﹣BN ＝MN ，求2MN3AB的值． 【答案】(1)7cm ；(2)13；(3)13或23【解析】(1)解：当点C 、D 运动了1s 时，CM ＝1cm ，BD ＝3cm ∠AB ＝11cm ，CM ＝1cm ，BD ＝3cm∠AC +MD ＝AB ﹣CM ﹣BD ＝11﹣1﹣3＝7cm ．(2)解：设运动时间为t ，则CM ＝t ，BD ＝3t ，∠AC ＝AM ﹣t ，MD ＝BM ﹣3t ， 又MD ＝3AC ，∠BM ﹣3t ＝3AM ﹣3t ，即BM ＝3AM ，∠AM =13BM ，故答案为：13．(3)解：由（2）可得：∠BM ＝AB ﹣AM ，∠AB ﹣AM ＝3AM ，∠AM ＝14AB ，①当点N 在线段AB 上时，如图∠AN ﹣BN ＝MN ，又∠AN ﹣AM ＝MN ，∠BN ＝AM ＝14AB ，∠MN ＝12AB ，即2MN 3AB =13． ②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图∠AN ﹣BN ＝MN ，又∠AN ﹣BN ＝AB ，∠MN ＝AB ，，∠MNAB=1,即2MN 3AB =23．综上所述2MN 3AB ＝13或235．如图，在数轴上A 点表示的数为a ，B 点表示的数为b ，C 点表示的数为c ，b 是最大的负整数，且a ，c 满足()2390a c ++-=．点P 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A 后立刻返回到点C ，到达点C 后再返回到点A 并停止．（1）=a ________，b =________，c =________．（2）点P 从点B 离开后，在点P 第二次到达点B 的过程中，经过x 秒钟，13PA PB PC ++=，求x 的值．（3）点P 从点B 出发的同时，数轴上的动点M ，N 分别从点A 和点C 同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t 秒钟时，P 、M 、N 三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t 的值．【答案】（1）3-，1-，9；（2）13x =或1x =或53x =或233x =；（3）167t =，1，2617，8，12【详解】解：（1）∠b 是最大的负整数，且a ，c 满足()2390a c ++-=， ∠b=-1，a+3=0，c -9=0， ∠a=-3，c=9．故答案为：-3；-1；9．（2）由题意知，此过程中，当点P 在AB 上时． ∠PA+PB=AB=b -a=-1-(-3)=2． ∠()13-=13-2=11PC PA PB =+．又∠BC=c-b=9-(-1)=10．∠PB=PC-BC=11-10=1．当P从B到A时，如图所示：∠PB=1，可以列方程为：3x=1，解得：x=1；当P从A到C时，分两种情况讨论：①当P在线段AB之间时，如图所示：可以列方程为：3x=3,解得：x=1，②当P在线段BC之间时，如图所示：∠PA+PB+PC=13，AB=2，BC=10，∠PB+PC=10∠PA=13-10=3，∠PB=PA-AB=3-2=1，可列方程为：3x=5，解得：53x=．当P从C到B时，如图所示：可列方程为：3x=23，解得：233x=．综上所述，13x=或1x=或53x=或233x=．（3）当点从为PN中点时，当0<t<23时，点P向A运动，．此时，P=-1-3t，M=-3+4t，N=9-5t．（-1-3t）+（9-5t）=2（-3+4t），解得t=78（舍去）．当23≤t≤43时，点P从A返回向B运动．此时，P=-3+3（t-23）=3t-5．3t-5+9-5t=2（-3+4t），解得t=1．当P为MN中点时，t>43．（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5），解得t=167．当点N为PM中点时，t>43．（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t=2617．综上所述，t的值为1，167或2617．6．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考.（1）发现：如图1，线段12AB=，点,,C E F在线段AB上，当点,E F是线段AC和线段BC的中点时，线段EF的长为_________；若点C在线段AB的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段EF与线段AB之间的数量关系为_________.（2）应用：如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳AB，其左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF. 小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF，请你尝试着“复原”他们的做法：①在图中标出点E、点F的位置，并简述画图方法；②请说明①题中所标示,E F点的理由.【答案】（1）6；补图见解析，12EF AB=（2）①见解析（答案不唯一）②见解析.【详解】解：（1）点,,C E F在线段AB上时，因为点E是线段AC的中点，所以CE=12AC，因为点F是线段BC的中点，所以CF=12BC，所以EF=CE+CF=12AC+12BC=12AB，又AB=12，所以EF=6．。
专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题(原卷版)
专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题二次函数背景下的定值与定点问题，解析法类似于高中，但并不超纲！因为解题方法比较特殊，同学们要专门学习和练习，才能在考场上应对自如，这些方法包括联立、转化等，对同学们的代数功底与几何功底都有较高的要求.知识点梳理一、定值问题二、定点问题题型一 面积定值2022·山东淄博·中考真题2023·福建厦门三模题型二 线段长为定值2024届湖北天门市九年级月考2024届福建龙岩市统考期中2020·西藏·中考真题题型二 线段和定值2023广州市二中月考2022·四川巴中·中考真题2024届湖北黄石市·九年级统考2023·四川乐山·统考二模2023·海口华侨中学考模2023·江苏徐州·4月模拟2022·湖南张家界·中考真题题型三 加权线段和定值2023·四川广元·中考真题2020·四川德阳·中考真题题型四 线段乘积为定值2023·四川南充·中考真题2024届·武汉市东湖高新区统考2024届福建省福州屏东中学月考2024届福州市晋安区统考2023·福建福州·校考三模题型五 比值为定值2023年广西钦州市一模2023福建厦门一中模拟2023年福州市屏东中学中考模拟武汉·中考真题题型六 横（纵）坐标定值2023·湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田·中考真题2024届湖北潜江市初12校联考题型七 角度为定值2023·成都武侯区西川中学三模四川乐山·统考中考真题题型八 其它定值问题2023·浙江湖州·统考一模2024届福建省南平市统考2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型九 结合韦达定理求定点2023年湖北省武汉市外国语学校中考模拟2024届武汉市青山区九年级统考2024届武汉市新洲区12月统考2024届·福建厦门市第九中学期中2023·武汉光谷实验中学中考模拟2023广东省梅州市九年级下期中2024届福州市九校联盟期中2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型十 已知定值求定点2024届武汉市洪山区九年级统考2024届湖北省武汉市新洲区九年级上期中2023年广州市天河外国语学校中考三模知识点梳理一、定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。
动直线过定点问题(解析版)
第一篇圆锥曲线专题06动直线过定点问题若要证明动直线恒过定点(1,2)，则应该是所有斜率不确定的直线都过这一点，因此所要证明的过定点的直线的斜率位置必定含有参数，例3y kx =+，我们只需要令含有参数部分的x 等于零即可消去参数；若动直线的参数位置在截距上，例y x b =+，则此时动直线并不是以定点为对称点转动，因此无法证明直线过定点；若动直线的斜率部分和截距部分同时含有参数呢？例21y mx m =++，方程可写成(x 2)1y m =++，能看出直线过(2,1)-点，因此只要截距位置和斜率位置的参数是齐次的且为同一个参数都可以求出所过的定点；但是若直线中含有两个参数呢？例y kx b =+无法求出恒过的点，但是若知道k 和b 的关系，则两个参数可转化为一个，也可求出动直线恒过的点。
因此在圆锥曲线中证明动直线过定点，则直线方程必定含有一个或两个参数，若含有一个参数，则参数位置肯定不能只在截距上；若含有两个参数，则根据圆锥曲线中给出的条件必定可以求出两个参数之间的等量关系，因此题目的关键即为求出直线方程。
圆锥曲线中证明直线过定点的问题非常有意思，因为题目中都会明确给出一个等量关系，这种关系有可能是一个等式（向量形式），也可能是垂直关系，再或者是给出斜率的加减乘除关系，因此看到并会用这种等量关系是解决定点问题的关键。
引题：已知椭圆的方程为2214x y +=，过点(0,1)A 作两条互相垂直的直线12,l l 分别交椭圆于,M N 两点，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点。
【分析】题目中所给的两条互相垂直的直线都过点(1,0)A -，故两条直线的斜率有关系，因此我们只需要设一个斜率即可表示出另外一条直线的斜率，从题意得出两条直线斜率肯定都存在，故不需要讨论斜率是否存在。
常规思路：若要求MN 恒过的定点，则我们要先求出直线方程，而直线的方程只能通过,M N 两点来求出，故需要分别求出,M N 的坐标。
模型21 瓜豆原理之直线型(原卷版)
运动轨迹为直线问题1：如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP ，取AP 中点Q ，当点P 在BC 上运动时，Q 点轨迹是？解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．理由：分别过A 、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M 、N ，在运动过程中，因为AP=2AQ ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线．问题2：如图，点C 为定点，点P 、Q 为动点，CP=CQ ，且∠PCQ 为定值，当点P 在直线AB 上运动，Q 的运动轨迹是？解析：当CP 与CQ 夹角固定，且AP =AQ 时，P 、Q 轨迹是同一种图形，且PP 1=QQ 1理由：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.模型总结条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；例题精讲【例1】.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．➢变式训练【变式1-1】．如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ＝90°，当点P在线段BC上运动时，画出点Q的运动轨迹．【变式1-2】．如图，等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝6，点M是BC边上的高AD所在直线上的点，以BM 为边作等边△BMN，连接DN，则DN的最小值为．【变式1-3】．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为．【例2】．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM 绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．B．1C．2D．➢变式训练【变式2-1】．如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为（）A．1B．C．2D．2【变式2-2】．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．0.5B．2.5C．D．1【变式2-3】．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为．1．如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为（）A．2B．1+3√22C．2√2D．522．如图，已知直线y＝kx+2k分别交x轴和y轴于A，B两点，以AB为边作等边△ABC（A，B，C三点逆时针B排列），D，E两点坐标分别为（﹣6，0），（﹣1，0），连接CD，CE，则CD+CE的最小值为（）A．6B．C．6.5D．73．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，点D在BC上，且CD＝2，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为（）A．2B．2C．4D．44．如图，∠AOB＝30°，OD＝4，当点C在OA上运动时，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，则O，E两点间距离的最小值为．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为________6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为．8．如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥P A，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．9．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG，则CG的最小值为．10．如图，已知△ABC为直角三角形，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝4，D是直线AB上一点．以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE，求AE的最小值．11．如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上中点，点F为直线BD上一点．当点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+12MP最小时，直接写出△DPN的面积．12．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD＝BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，以AD为边向右作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）在图①中，画出当点D从点B运动到点C的过程中，点E的运动轨迹；（2）如图②，若AB＝6，点F为AB的中点，连接EF，求EF的最小值．14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；（2）当AE＝3时，求CF的长；（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．15．问题提出：（1）如图①，△BCE≌△ACD，请在图中找到一组相似的三角形．问题探究：（2）如图②，点D为等腰直角三角形ABC的直角边BC上的动点，AD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连接BE，求∠ADE与∠E的关系．（3）如图③，点D是等边三角形ABC的AC上的动点．连接DB，将DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接EA，EC，若AB＝2，直接写出EA+EC的最小值．16．菱形ABCD的对角线交于点O．（1）如图1，过菱形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若∠ABC＝60°，四边形AECD的面积为24，求菱形ABCD的边长；（2）如图2，菱形ABCD中，过顶点A作AF⊥BC于点E，交DC延长线于点F，线段AF交OB于点H，若AD＝AF，求证：OH＝BH﹣OC；（3）如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝9，点P为射线AD上一动点，连接BP，将BP绕点B逆时针旋转60°到BQ，连接AQ，直接写出线段AQ的最小值．17．如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上一动点．（1）求二次函数的表达式．（2）当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4倍，求点P的横坐标．（3）如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说明理由．。
圆锥曲线中的定点问题
研题型·通法悟道 举题说法
若选②：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x42－y32＝1，得(3－4k2)x2－8kmx－4m2－12＝0， y＝kx＋m，
所以 3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)＞0，即 m2＋3－4k2＞0，x1＋x2
＝
8km 3－4k2
研题型·通法悟道 举题说法
1 (2023·石家庄一模)已知点 P(4,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上，过 P 作 x 轴的平行线，分别交双曲线 C 的两条渐近线于 M，N 两点，且|PM|·|PN|＝4． (2)若直线 l：y＝kx＋m 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，设直线 PA，PB 的斜率分 别为 k1，k2，从①②两个条件中选一个作为已知条件，求证：直线 l 过定点． ①k1＋k2＝1；②k1k2＝1．
2kx1x2－3k(x1＋x2)，y1＋y2＝k(x1＋x2－6)．
研题型·通法悟道 举题说法
假设在 x 轴上存在定点 M(m,0)，则 kAM＝x1－y1 m，kBM＝x2－y2 m，kAM＋kBM＝x1－y1 m＋x2－y2 m ＝0，即 y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝0，展开可得 x2y1＋x1y2－m(y1＋y2)＝0，即 2kx1x2－3k(x1
研题型·通法悟道 举题说法 2 (2023·张家界二模)已知曲线 C 的方程为x42－y52＝1(x＞0)，倾斜角为 α 的直线
l 过点 F2(3,0)，且与曲线 C 相交于 A，B 两点． (2)在 x 轴上是否存在定点 M，使直线 l 与曲线 C 有两个交点 A，B 的情况下，总有∠ OMA＝∠OMB？如果存在，求出定点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由．
2024年中考数学复习 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造(原卷版+答案解析)
瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。
很多考生碰到此类试题常常无所适从，不知该从何下手。
动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.其实初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚。
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．只要满足：1.两“动”，一“定”；2.两动点与定点的连线夹角是定角3.两动点到定点的距离比值是定值。
【引例】（选讲）如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ（当∠P AQ≤90°时，∠P AQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）如图，D 、E 是边长为4的等边三角形ABC 上的中点，P 为中线AD 上的动点，把线段PC 绕C 点逆时针旋转60°，得到P ’，EP ’的最小值【分析】结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型第一层：点P ’运动的轨迹是直线吗？第二层：点P ’的运动长度和点P 的运动长度相同吗？第三层：手拉手模型怎么构造？第四层：分析∠CAP 和∠CBP ’第五层：点P 和点P ’轨迹的夹角和旋转角的关系P'P'P'总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹.3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 那么什么具体选择什么方法更合适呢？我们再看一道例题 【例题2 宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．现在，我们分别用上面提到的3种策略来处理这个题目策略一：找始末，定轨迹我们分别以BE ，AE 为边，按题目要求构造等边三角形得到G 1与G 2，连接G 1与G 2得到点G 的轨迹，再作垂线CH 得到最小值.前面提到过从动点轨迹和主动点轨迹的夹角与旋转角有关，我们可以调用这个结论，得到∠AMG 1＝60°，BABABABA22进一步得到△MBG 1为等腰三角形后，求CH 就不难了.策略二：在点F 轨迹上找一点进行旋转.我们分别对A ，B 顺时针旋转60°，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹，对A 点旋转会得到一个正切值为14的角，即1tan tan 4∠G M E =∠A FE=，然后进一步算出最值【简证】311202EM AE EN NEC IC ⇒°⇒∠,则5=2CH对B 点旋转得到∠EMG ＝∠FBE ＝90°，相对来说要容易一些.策略三：反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段.将点C 逆时针旋转60°，得到点H ，易证△CGE ≌△HFE ，则有CG ＝HF ，作MH ⊥AB 于M ，HM 即为所求．相比之下，先求轨迹后再求垂线段时，比较麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很多.BABA如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 为AB 边上一点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则AG 的最小值为 ．1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 3,点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A 为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为3、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。
二次函数压轴：焦点与准线,动点面积,含参二次函数(原卷版)--2024年中考数学
二次函数压轴：焦点与准线，动点面积，含参二次函数【题型1】焦点与准线例题12－1例题12—2湘潭市·中考真题广东深圳·中考真题四川自贡·中考真题宜宾·中考真题山东滨州·中考真题2023·湖北鄂州中考真题2022·湖北鄂州中考真题【题型2】焦半径倒数和为定值广西南宁·中考真题【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切2023·湖南怀化中考真题湖南张家界·中考真题【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题2023·辽宁鞍山中考真题2023·黑龙江绥化中考真题2023·江苏南通中考真题2023·辽宁锦州中考真题2023·辽宁盘锦中考真题【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式2023·广东广州中考真题2022·吉林中考真题广东深圳·中考真题2023·辽宁大连中考真题2022·四川绵阳中考真题【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题2023年浙江省绍兴市中考真题2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题2023年浙江省丽水市中考真题2023年江苏省南通市中考真题2023年江苏省淮安市中考真题2022•北京中考真题2022•安顺中考真题2022•长沙中考真题2022•广州中考真题2022•贵阳中考真题2022•天津中考真题2022•嘉兴中考真题2022•杭州中考真题2022•连云港中考真题二次函数的焦点与准线我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M (x ，y )到定点(0,)2p A 的距离与它到定直线2py =−的距离相等，则动点M 形成的图形就叫抛物线22(0).x py p =>结论1：对于抛物线2,y ax =焦点坐标为10,4a，准线为直线1.4y a=− 焦点一般用字母F 表示．而且实际题目中二次项系数很多时候是1,4只是为了焦点坐标便于计算． 至于形如2y ax bx c ++的抛物线可化为顶点式2(),y a x h k =−+然后通过由2y ax =平移来确定焦点和准线．结论2：如下图，FM ⊥FN ．证明：设NPF α∠=，MQF β∠=，则180αβ+°，∴1190909022PFN QFMαβ°°°∠+∠=−+−=， ∴FM ⊥FN ．结论3：取PQ 中点E ，作EH ⊥x 轴交x 轴于H 点，则PH ⊥QH ．证明：倍长中线证两次全等．结论4：记MN 与y 轴交于点G ，11112PN OM PF QF FG+=+=．【题型1】焦点与准线例题12－1值．例题12—22．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M (x ，y )到定点(0,)2p A 的距离与它到定直线2py =−的距离相等，则动点M 形成的图形就叫抛物线22(0).x py p =>(1)已知动点M (x ，y )到定点A (0，4)的距离与到定直线y ＝－4的距离相等，请写出动点M 形成的抛物线的解析式．(2)若点D 的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P ，使得PA ＋PD 最短?若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．湘潭市·中考真题3．如图，点P 为抛物线214y x =上一动点 (1)若抛物线214y x =是由抛物线21(2)14y x =+−通过图像平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l 经过y 轴上一点N ，且平行于x 轴，点N 的坐标为(0，－1)，过点P 作PM l⊥于M ．①问题探究：如图一，在对称轴．上是否存在一定点F ，使得PM ＝PF 恒成立?若存在，求出点F 的坐标：若不存在，请说明理由．广东深圳·中考真题4．如图1，抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0），与y 轴交于点C ，顶点（1）求解抛物线解析式；（2）如图2，过抛物线上任意一点M （m ，n ）向直线l 四川自贡·中考真题5．如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点A (－1，0)和点B (2，3)两点 (1)求抛物线C 函数表达式；(2)在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y =宜宾·中考真题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线14y x =与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y ＝－1． (1)求抛物线的解析式；(2)知00(,)F x y 为平面内一定点，M (m ，n )为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与 点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．山东滨州·中考真题2023·湖北鄂州中考真题2022·湖北鄂州中考真题的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y【题型2】焦半径倒数和为定值广西南宁·中考真题10．如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交于A、B 两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切2023·湖南怀化中考真题湖南张家界·中考真题12．如图，已知二次函数21(0,y ax a =+≠a 为实数)的图像过点A (－2，2)，一次函数y ＝kx ＋b (k≠0，k 、b 为实数)的图像1经过点B (0，2)． (1)求a 值并写出二次函数表达式； (2)求b 值；(3)设直线1与二次函数图像交于M ，N 两点，过M 作MC 垂直x 轴于点C ，试证明： MB ＝MC ；(4)在(3)的条件下，请判断以线段MN 为直径的圆与x 轴的位置关系，并说明理由．【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题13．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，动点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿射线AB ，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM ，MN ，ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤，DMN 的面积为S ，下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2023·辽宁鞍山中考真题运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E ，F ，以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH ，设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S ，直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A．B．C．D．2023·黑龙江绥化中考真题15．如图，在菱形ABCD中，60∠=°，4AAB=，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个−−向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，单位长度沿折线A B C的面积为y个平当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，AMN．．．．2023·江苏南通中考真题16．如图，ABC 中，90C ∠=°，15AC =，20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B −−运动到点B停止，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ．设点D 运动的路径长为x ，BDE △的面积为y ，若y 与x 的对应关系如图所示，则a b −的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．482023·辽宁锦州中考真题17．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3AC =，4BC =，在DEF 中，5DEDF ==，8EF =，BC 与EF 在同一条直线上，点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动，当点B 运动到点F 时，ABC 停止运动．设运动时间为t 秒，ABC 与DEFA ．B ．C ．D ．2023·辽宁盘锦中考真题18．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上，顶点B 、C 在x 轴的正半作MN y ∥轴，与菱形的另一边交于点N ，连接PM ，PN ，设点M 的横坐标为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2023·广东广州中考真题19．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，10AB =，6AC =，点M 是边AC 上一动点，点D ，E 分别是AB ，MB 的中点，当 2.4AM =时，DE 的长是 ．若点N 在边BC 上，且CN AM =，点F ，G 分别是MN ，AN 的中点，当 2.4AM >时，四边形DEFG 面积S 的取值范围是 ．2022·吉林中考真题20．如图，在ABC 中，90ACB ∠=°，30A ∠=°，6cm =AB ．动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动．以PA 为一边作120APQ ∠=°，另一边PQ 与折线AC CB −相交于点Q ，以PQ 为边作菱形PQMN ，点N 在线段PB 上．设点P 的运动时间为(s)x ，菱形PQMN 与ABC 重叠部分图形的面积为2()cm y ．(1)当点Q 在边AC 上时，PQ 的长为 cm ；（用含x 的代数式表示） (2)当点M 落在边BC 上时，求x 的值；(3)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．广东深圳·中考真题为D ．（1）求解抛物线解析式；（2）连接AD ，CD ，BC ，将△OBC 沿着x 轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到O B C ′′′∆，点O 、B 、C 的对应点分别为点O ′，B ′，C ′，设平移时间为t 秒，当点O'与点A 重合时停止移动．记O B C ′′′∆与四边形AOCD 的重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与时间t 的函数解析式；2023·辽宁大连中考真题22．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与直线BC 相交于点A ，(),0P t 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点P 作PD x ⊥轴交直线BC 于点D ．OAB 与DPB 的重叠面积为S ．S 关于t 的函数图象如图2所示．(1)OB 的长为_______________；OAB 的面积为_______________． (2)求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．2022·四川绵阳中考真题沿着A →D →B 的路线匀速运动，点F 沿着A →B →D 的路线匀速运动，当点E ，F 相遇时停止运【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题2023年浙江省绍兴市中考真题24．已知二次函数2y x bx c =−++． (1)当4,3b c ==时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当13x −≤≤时，求y 的取值范围．(2)当0x ≤时，y 的最大值为2；当0x >时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题25．在二次函数223(0)y x tx t =−+>中， (1)若它的图象过点(2,1)，则t 的值为多少？ (2)当03x ≤≤时，y 的最小值为2−，求出t 的值：(3)如果(2,),(4,),(,)A m a B b C m a −都在这个二次函数的图象上，且3a b <<，求m 的取值范围．26．已知点(),0m −和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b ++是常数，0)a ≠的图像上． (1)当1m =−时，求a 和b 的值；(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m −<<−时，求n 的取值范围； (3)求证：240b a +=．2023年江苏省南通市中考真题27．定义：平面直角坐标系xOy 中，点(),P a b ，点(),Q c d ，若c ka =，d kb =−，其中k 为常数，且2023年江苏省淮安市中考真题2022·北京中考真题29．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．2022·安顺中考真题30．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−√2，−√2），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．2022·长沙中考真题31．若关于x的函数y，当t−12≤x≤t+12时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h=MM−NN2，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y=2xx（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2022·广州中考真题32．已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．（1）求直线l的解析式；（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．①求m的取值范围；②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在4mm5≤x≤4mm5+1的图象的最高点的坐标．2022·贵阳中考真题33．已知二次函数y＝ax2+4ax+b．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．2022·天津中考真题34．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．2022·嘉兴中考真题35．已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．2022·杭州中考真题36．设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．2022·连云港中考真题37．已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．。
2022-2023学年人教版高二上学期数学精讲精练2-2 直线的方程(精讲)(原卷版)
2.2 直线的方程（精讲）考点一 直线的方程式【例1-1】（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)过点()3,2- (2)过点()3,0-，与x 轴垂直；(3)斜率为4-，在y 轴上的截距为7；(4)斜率为3，在x 轴上的截距为2-；(5)过点()1,8-，()4,2-；(6)过点()2,0，()0,3-．【例1-2】（2022·重庆）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），(1)求AB 边所在的直线方程；(2)求AB 边的高所在直线方程.【例1-3】（2022·江苏）设m 为实数，若直线l 的方程为()130mx m y +-+=，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在y 轴上的截距为6；(2)直线l 的斜率为2；(3)直线l 垂直于x 轴；(4)直线l 经过点()1,3．【一隅三反】1．（2022·全国·高二专题练习）根据所给条件求直线方程.(1)直线过点()1,2A ，倾斜角α的正弦值为35； (2)直线过点()1,3A ，且在两坐标轴上的截距之和为8；(3)直线过点()2,4A ，()2,8-B .2．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形的三个顶点的坐标分别是()3,8A ､()3,2B -､()3,0C -.(1)求BC 边所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程.考点二 直线过定点【例2】（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）不论k 为何值，直线20kx y k ++-=恒过定点（ ） A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2【一隅三反】1．（2022·全国·高二）无论k 为何实数，直线212()()(0)8k x k y k +---=+恒过一个定点，这个定点是（ ） A ．(0,0)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,3)-2．（2021·广东佛山·高二期中）直线l ：()12310k x ky k +++-=经过定点A ，则A 的纵坐标为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2022·全国·高二单元测试）对于任意m 、n ∈R ，直线(2)()()0m n x m n y m n ++++-=必过定点______．考点三 直线所过象限【例3】（2022·江苏·高二单元测试）如果AB >0且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四【一隅三反】1．（2022·全国·高二单元测试）直线方程为(32)80m x y +++=，若直线不过第二象限，则实数m 的取值范围是______．2．（2022·全国·高二课时练习）若0ac <，0bc <，则直线0ax by c 不通过第______象限．3．（2022·江苏·高二）（多选）已知直线l 的方程是0Ax By C ++=，则下列说法中正确的是（ ） A ．若0A B C ⋅⋅≠，则直线l 不过原点B ．若0A B ⋅>，则直线l 必过第四象限C ．若直线l 不过第四象限，则一定有0A B ⋅<D ．若0A B ⋅<且0A C ⋅>，则直线l 不过第四象限考点四 直线与坐标轴围成的三角形面积【例4】（2022·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为()21y k x +=+．(1)若直线的倾斜角为135，求k 的值；(2)若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程．【一隅三反】1．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知直线l 过点()1,2P -.（1）若直线l 在两坐标轴上截距和为零，求l 方程；（2）设直线l 的斜率0k >，直线l 与两坐标轴交点别为AB 、，求AOB 面积最小值.2．（2022·广东）已知直线l ：()20kx y k k R ---=∈．（1）若直线不经过第二象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴正半轴于A ，交y 轴负半轴于B ，AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．3．（2021·全国·高二课时练习）已知直线l 过点()1,2.（1）当直线l 在两坐标轴上的截距相等时，求直线l 方程；（2）若直线l 交x 轴正半轴，y 轴正半轴分别于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值.考点五 直线的综合运用【例5】（2022·云南普洱·高二期末）（多选）已知直线12:(1)20,:(1)10l a x ay l ax a y +++=+--=，则（ ）A ．1l 恒过点(2,2)B ．若12//l l ，则a =C ．若12l l ⊥，则1a =±D ．当01a ≤≤时，2l 不经过第三象限【一隅三反】1．（2022·全国·高二专题练习）（多选）下列有关直线()10：+-=∈l x my m R 的说法中不正确的是（ ） A ．直线l 的斜率为m -B ．直线l 的斜率为1m -C ．直线l 过定点()0,1D ．直线l 过定点()1,02．（2022·江苏·高二）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=相交于点(,P P A B 与不重合），则PAB △面积的最大值是（ ）A B ．5 C ．D ．523．（2022·全国·高二）已知直线l 过点()3,4P ，且与坐标轴分别相交于点A ､B ，若OAB 的面积为24，其中O 为坐标原点，则这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条。
专题31直线过定点
专题8 欲证直线过定点，结合特征方程验【题型综述】直线过定点的解题策略一般有以下几种：（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【典例指引】类型一椭圆中直线过未知顶点问题例1 【2017课标1，理20】已知椭圆C a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.类型二 椭圆中直线过已知定点问题例2. 【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
【解析】(1)设出点P 的坐标，利用2=NP NM 得到点P 与点,M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=。
（2）由题意知()1,0F -。
设()()3,,,Q t P m n -,则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-， ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---。
由1=OP PQ 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=。
专题07(与椭圆相关的定值、定点问题)(原卷版)-高考数学中平面解析几何知识点提优(江苏专用)
专题七 与椭圆相关的定值、定点问题一、解答题1. 已知椭圆E ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 1的直线与椭圆 E 交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为12．(1)求椭圆E的方程；(2)如图，点M 在圆O ：x 2+y 2=b 2上，且M 在第一象限，过M 作圆O 的切线交椭圆E 于P ，Q 两点，求证：△PF 2Q 的周长是定值．2. 已知圆O ：x 2+y 2=43，椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为√22，圆O 上在一点P 处的切线交椭圆C 于两点M ，N ，当P 恰好位于x 轴上时，△OMN 的面积为43． (1)求椭圆C的方程；(2)试判断|PM|⋅|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．自我检测定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中的具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.3.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，F1，F2为E的左、右焦点，动点P在直线1：x=−3上，过P作E两条切线，切点分别为M，N.且|MF1|+|MF2|=2√2．(1)求椭圆E的方程；(2)如图，过F1，F2分别向PM，PN作垂线，垂足分别为A，B，C，D．(i)证明：|F1A|⋅|F2B|为定值；(ii)记△AF1C和△BF2D的面积分别为S1，S2.求S1S2的取值范围．4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，A为椭圆C上一动点(异于左右顶点)，△AF1F2面积的最大值为√3．(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1的直线l(l的斜率存在且不为0)与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，试判断|PF1||AB|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．5.设A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)上两点，已知m⃗⃗⃗ =(x1b,y1a),n⃗=(x2b,y2a)，若m⃗⃗⃗ ·n⃗=0且椭圆的离心率e=√32，短轴长为2，O为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．6.椭圆x2a2+y2b2=1的左焦点为F，坐标原点为O，过点F作直线交椭圆于M、N两点，过点O作与MN平行的直线交椭圆于A、B两点．(1)当MN垂直于x轴时，有|MN|=1，|AB|=2，求椭圆标准方程；(2)在第(1)问所求椭圆方程的条件下，求证|AB|2|MN|为定值，并求出该定值．7.如图，设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，过右焦点F作PF⊥x轴交椭圆的上半部分于点P，且PF=32．(1)求椭圆C的方程及右准线l的方程．(2)过椭圆右焦点F的直线(不经过点P)与椭圆交于A，B两点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2．①当∠APB的平分线为PF时，求直线AB的斜率k；②若直线AB与有准线l交于点M，记PM的斜率为k3，问：若k3=2，则k1+k2是否为定值？请说明理由．8.如图，已知椭圆O：x24+y2=1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y=−2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M．(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；(2)①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k1，求证：k1·k2为定值；②求PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．9. 已知椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且过点(√3,12)． (1)求椭圆M 的标准方程；(2)四边形ABCD 的顶点在椭圆M 上，且对角线AC,BD 过原点O ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，满足4y 1y 2=x 1x 2． ①求证：k AB +k BC的值为定值，并求出此定值；②求四边形面积ABCD 的最大值．10. 已知F 1、F 2分别是离心率为13的椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是椭圆C 上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点F 1作∠F 1PF 2的外角平分线L 的垂线F 2Q ，交L 于点Q ，且|OQ|=3(O 为坐标原点)． (1)求椭圆C的方程；(2)若点M 在圆x 2+y 2=b 2上，且在第一象限，过M 作圆x 2+y 2=b 2的切线交椭圆于A 、B 两点，问：△AF 2B 的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．11.已知椭圆C：x2a2+y24=1(a>0)的中心为原点O，左焦点为F，离心率为√53，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点．(Ⅰ)若K(2,1)为线段MN的中点，求直线l的方程．(Ⅱ)若点P是直线x=−√5a25上一点，点Q在椭圆C上，且满足PF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF⃗⃗⃗⃗⃗ =0，设直线PQ与直线OQ的斜率分别为k1，k2，问：k1k2是否为定值？若是，请求出k1k2的值；若不是，请说明理由．12.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.设直线l:x=my+1(m≠0)与椭圆C相交于A,B两点，点A关于x轴对称点为A′．(1)求椭圆C的方程；(2)若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程；(3)试问：当m变化时，直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，焦距为2，右焦点为F，过F的直线交椭圆于A、B两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)在x 轴上是否存在定点M ，使得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，若存在求出定值和定点坐标，若不存在，请说明理由．14. 如图，已知椭圆C 的左焦点为F(−1,0)，且椭圆C 的离心率为√22.动直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B(A,B 均在x 轴上方)，且∠OFA +∠OFB =180°． (1)求椭圆C的标准方程；(2)对于动直线l ，是否存在一个定点，无论∠OFA 如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．15. 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，且椭圆的焦距为2，离心率为e =√22﹒ (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)过点(1,0)作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2021版新高考数学：圆锥曲线中的定点、定值问题含答案
第八节圆锥曲线中的定点、定值问题
[考点要求]会证明与曲线上动点有关的定值问题、会处理动曲线(含直线)过定点的问题．
(对应学生用书第164页)
考点1定点问题
直线过定点
在平面直角坐标系xOy 中、动点
E 到定点(1、0)的距离与它到直线x ＝－1的距离相等．
(1)求动点E 的轨迹C 的方程；
(2)设动直线l ：y ＝kx ＋b 与曲线C 相切于点P 、与直线x ＝－1相交于点Q 、证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．
[解] (1)设动点E 的坐标为(x 、y )、由抛物线的定义知、动点E 的轨迹是以(1、0)为焦点、x ＝－1为准线的抛物线、所以动点E 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .
(2)证明：易知k ≠0.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋b y2＝4x
、消去x 、得ky 2－4y ＋4b ＝0.因为直线l 与抛物线相切、所以Δ＝16－16kb ＝0、即b ＝1k 、所以直线l 的方程为y ＝kx ＋1k 、令
x ＝－1、得y ＝－k ＋1k 、所以Q (－1、－k ＋1k ).设切点P (x 0、y 0)、则ky 20－4y 0＋4k ＝
0、解得P (1k2、2k )、设M (m 、0)、则MQ →·MP →＝(1k2－m )·(－1－m )＋2k (－k ＋1k )＝m 2
＋m －2－m －1k2、所以当⎩⎨⎧m2＋m －2＝0，m －1＝0，
即m ＝1时、MQ →·MP →＝0、即MQ ⊥MP . 所以、以PQ 为直径的圆恒过x 轴上的定点M (1、0).
考点2 定值问题。
动直线过定点问题(原卷版)
第一篇圆锥曲线专题06动直线过定点问题若要证明动直线恒过定点(1,2)，则应该是所有斜率不确定的直线都过这一点，因此所要证明的过定点的直线的斜率位置必定含有参数，例3y kx =+，我们只需要令含有参数部分的x 等于零即可消去参数；若动直线的参数位置在截距上，例y x b =+，则此时动直线并不是以定点为对称点转动，因此无法证明直线过定点；若动直线的斜率部分和截距部分同时含有参数呢？例21y mx m =++，方程可写成(x 2)1y m =++，能看出直线过(2,1)-点，因此只要截距位置和斜率位置的参数是齐次的且为同一个参数都可以求出所过的定点；但是若直线中含有两个参数呢？例y kx b =+无法求出恒过的点，但是若知道k 和b 的关系，则两个参数可转化为一个，也可求出动直线恒过的点。
因此在圆锥曲线中证明动直线过定点，则直线方程必定含有一个或两个参数，若含有一个参数，则参数位置肯定不能只在截距上；若含有两个参数，则根据圆锥曲线中给出的条件必定可以求出两个参数之间的等量关系，因此题目的关键即为求出直线方程。
圆锥曲线中证明直线过定点的问题非常有意思，因为题目中都会明确给出一个等量关系，这种关系有可能是一个等式（向量形式），也可能是垂直关系，再或者是给出斜率的加减乘除关系，因此看到并会用这种等量关系是解决定点问题的关键。
引题：已知椭圆的方程为2214x y +=，过点(0,1)A 作两条互相垂直的直线12,l l 分别交椭圆于,M N 两点，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点。
一、解决动直线恒过定点问题的方法方法一：用一个参数写出直线方程，即可求出定点，需要注意这个参数的范围是否存在。
例1：已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的弦,AB CD ，设弦,AB CD 的中点分别是,M N ，求证直线MN 恒过定点。
例2：在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线22y x =相交于,P Q 两点，如果3OP OQ ⋅= ,O 是坐标原点，证明直线l 过定点。
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第一篇圆锥曲线
专题06动直线过定点问题
若要证明动直线恒过定点(1,2)，则应该是所有斜率不确定的直线都过这一点，因此所要证明的过定点的直线的斜率位置必定含有参数，例3y kx =+，我们只需要令含有参数部分的x 等于零即可消去参数；若动直线的参数位置在截距上，例y x b =+，则此时动直线并不是以定点为对称点转动，因此无法证明直线过定点；
若动直线的斜率部分和截距部分同时含有参数呢？例21y mx m =++，方程可写成(x 2)1y m =++，能看出直线过(2,1)-点，因此只要截距位置和斜率位置的参数是齐次的且为同一个参数都可以求出所过的定点；
但是若直线中含有两个参数呢？例y kx b =+无法求出恒过的点，但是若知道k 和b 的关系，则两个参数可转化为一个，也可求出动直线恒过的点。
因此在圆锥曲线中证明动直线过定点，则直线方程必定含有一个或两个参数，若含有一个参数，则参数位置肯定不能只在截距上；若含有两个参数，则根据圆锥曲线中给出的条件必定可以求出两个参数之间的等量关系，因此题目的关键即为求出直线方程。
圆锥曲线中证明直线过定点的问题非常有意思，因为题目中都会明确给出一个等量关系，这种关系有可能是一个等式（向量形式），也可能是垂直关系，再或者是给出斜率的加减乘除关系，因此看到并会用这种等量关系是解决定点问题的关键。
引题：已知椭圆的方程为2214
x y +=，过点(0,1)A 作两条互相垂直的直线12,l l 分别交椭圆于,M N 两点，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点。
一、解决动直线恒过定点问题的方法
方法一：用一个参数写出直线方程，即可求出定点，需要注意这个参数的范围是否存在。
例1：已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的弦,AB CD ，设弦,AB CD 的中点分别是,M N ，求证直线MN 恒过定点。
例2：在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线2
2y x =相交于,P Q 两点，如果3OP OQ ⋅= ,O 是坐标原点，证明直线l 过定点。
例3：过2
4y x =上一点(1,2)P ，作两条射线交抛物线于,A B 两点，且0PA PB ⋅= ，则证明AB 恒过一定点。
例4：从O 点引出的两条射线交抛物线24y x =于,A B 两点，且满足2OA OB K K +=AB 恒过一定点。
例5：2222:1x y C a b +=四点123433(1,1),(0,1),(1,(1,22
P P P P -中恰有三点在椭圆C 上（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于,A B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点。