第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换

( j , k ) ij
a j ( t ) t
基矢的正交归一性
ˆ ) H ( j , H 能量算符在F表象中的矩阵元 k jk
i
或表示为
H jk ak ( t )
k
a1 t H11 H12 i a2 t H 21 H 22
§3 量子力学公式的矩阵表示
（一）薛定谔方程的矩阵形式
ˆ i H t
在F 表象中
( t ) ak ( t)k
k
ak ( t ) ˆ i k ak ( t )H k t k k
左乘j 再取标积
ak ( t ) ˆ ) i ( j , k ) ak ( t )( j , H k t k k
特别地，在算符L的自身表象中
ˆ ) ( , L ) L Ljk ( j , L （*） k j k k k jk
（基矢k是算符L的本征态，对应本征值Lk） 因此，算符在其自身表象中是一个对角矩阵，即
L11 0 0 L 22

且由(*)式，对角元就是其本征值。
Q表象
任何一个厄米算符Q的本征函数系{k }具有正交、 归一、完备性，也可以用来构成Hilbert空间的基矢 从而建立所谓的Q表象。 例如，用坐标算符x的本征函数系 ( x x ')（本征值 谱x'连续）构成Hilbert空间的基矢，就是坐标表象。 Hilbert空间的任意态矢量在坐标表象下的表示：
ˆ1 A2e ˆ2 A3e ˆ3 A A1e
那么，如何建立Hilbert空间的基矢组（表象）以便 任何态矢量都能按此展开（态矢量的具体表示）？
体系的任何一组对易力学量完全集F有完备的 共同的本征函数组{k }（其本征值谱可离散或连 续），可以用来构成该态空间的一组正交、归一 完备的基矢（称为F表象）。
*第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
本 章 要 求
1. 了解量子态在不同表象下的矩阵表示以
及表象之间的幺正变换（幺正矩阵）。
2.了解力学量算符的矩阵表示；了解量子
力学公式(如薛定谔方程、本征方程、平均
值等)的矩阵形式；
3.了解Dirac符号
*第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
教 学 内 容
§1 量子态在不同表象下的矩阵表示与 幺正变换 §2 §3 力学量算符的矩阵形式 量子力学公式的矩阵形式
（二）希尔伯特（Hilbert）空间
一个微观体系所有可能的量子态的态函数张成 一个抽象的函数空间，称为希耳伯特空间，每一个 量子态（不涉及表象）看成希耳伯特空间的一个 “矢量”，称为态矢量。
如同三维实空间需要建立一组正交、归一的基 ˆ1 , e ˆ2 , e ˆ3 } ，即建立坐标系，空间中的任何矢量 矢 {e A才能按这组基矢展开（即矢量有了具体表示）：
k
ˆ ) a ( , ) a ( , L k j k k j k
k
ˆ ) a ( , ) a ( , L k j k k j k
k k
Ljk ak ak jk
k k
即
(L
k
jk
jk )ak 0
(I)
或
L12 L11 L L 21 22
dp ' p '
p' I
（四）算符在表象中的表示
ˆ k k L
（F表象的基矢 k ）
ˆ j j k k L
j
（封闭性）
k Lkj j
j
矩阵元
（五）本征值方程在表象中的表示
ˆ L
ˆ k k L
（封闭性）
ˆ j j k k L
动状态的波函数(x,t)。
若在此空间内建立F 表象，
则此态矢量表示为： 此即海森堡的矩阵。
a1 a2 ; ak k
2. 另外，描述粒子运动状态的力学量L 可用Hilbert 空间中的线性映射表示：
ˆ ' L
只要在此空间内建立不同的坐标系(即“表象”) ,则 同一力学量L可有不同的表示方式。
（即算符L的本征值谱）
1，2，3， ...
再将每个本征值代入方程(I)可解出相应的本征函数。
（三）力学量平均值的矩阵形式 在任意量子态下，力学量L的平均值
ˆ ) L=( , L
* k
ˆ ) = a a j (k , L j
= a Lkj a j
* k k, j
akk
考虑另一力学量完全集F' ( 或者另一力学量算符 Q' )，其正交、归一完备的共同本征态 { ' } 构成 新的基矢组：
( ' , ' ) —F ' 表象或Q'表象
任意态矢量
a ' ' ;

a ' ( ' , )
F'表象下的 具体表示
在F' 表象下的矩阵表示
§2 力学量算符的矩阵表示
ˆ 作用于量子态后变成另一态 力学量算符 L
ˆ L
(不涉及表象)
因此，在Hilbert空间力学量算符相当于一个线性映射。 一旦在Hilbert空间建立具体的表象，力学量算符 （线性映射）就有了具体的数学表示：
F 表象 基矢{k}
bkk
k
akk
k
令
S k ( ' , k )
反映表象之间的变换关系？
两个表象的基矢的 标积，反映基矢之 间的关系
则
a ' S k ak
k
写成矩阵形式
S k ( ' , k )
a '1 S11 S12 a' S S 2 21 22
此为薛定谔方程在F表象中的矩阵形式
a1 a 2
（二）本征值方程的矩阵形式
ˆ 的本征值方程 力学量算符 L
ˆ L
在F 表象中，本征函数
k
（本征值 ）
akk
k k
ˆ a ak L kk k
左乘j 再取标积
(k , ) ( x x ') dx ( x ') ( x )
常用的表象：坐标表象，动量表象，能量表象。
（三）量子态在不同表象中的矩阵表示 在F表象(或Q表象)中，任意量子态的具体表示 可以写成一个列矩阵：
ak (k , )
a1 a 2
b j L jk ak
k
写成矩阵形式：
b j L jk ak
k
b1 b 2
L11 L12 L21 L22
a1 a 2
ˆ 在F表象中 算符L 的矩阵表示
相应的矩阵元
ˆ ) Ljk ( j , L k
k j kj or k j kj
以上各式均不涉及表象。 （三）态矢量在表象中的表示 F表象的基矢记为 k ，任意态矢 可按基矢展开
ak k
展开系数 ak (k , ) 记为
态矢在表象中的表示
k
ak k
k k k k
k k

a1 a 0 2
此为算符L的本征值方程在表象中的矩阵形式。
线性方程组(I)有非零解得条件是系数行列式等于0：
L11 L12 L13 L21 L22 L23 L31 L32 L33
久期方程的解是一组值：
0
— 久期方程
k
变换矩阵元
S k k
薛定谔波动力学与海森堡矩阵力学的等价性 1. 粒子的状态波函数可用Hilbert空间中一个抽象 的矢量 （称为态矢量) 表示，只要在此空间内建 立不同的坐标系( 即“表象”) ，则同一态矢量可 有不同的表示方式。
若在此空间内建立坐标表象，则此态矢量表示为
x ( x ) ，这就是薛定谔用以描述电子波
a ' ( ' , )
a '1 a' 2
（四）表象之间的变换—幺正变换 F表象：
akk ;
k
F'表象：
a ' '

a ' ' akk

k
左乘' 再取标积
a ' ( ' , k )ak
当表示某个确定的量子态时，在右矢内写上该
态的符号即可，例如

右矢内，例如
表示量子态态
对于本征态，常用本征值(或相应的量子数)标在
x'
En or n lm
表示坐标本征态(本征值x' ) 能量本征态(本征值En，n是 量子数) 角动量（l 2, lz）的共同本征态 (量子数分别是l 和m)
B. 左矢
定义投影算符（projection operator）
Pk k k
其意义就是对任意态矢 作用后，得到态矢量在 基矢 k 方向上的分量，即
Pk k k ak k
k
k
k I （单位算符）
基矢的封闭性
对于连续谱的情形，求和换为积分，例如
dx ' x '
ˆ L
x' I
F'表象中 的表示 表象间的 变换矩阵S

a1 a 2
F表象中 的表示
变换矩阵S是幺正矩阵
SS S S I S S
1


相应的表象变换称为幺正变换。 幺正变换的特点：变换后不改变矢量的长度(模)。 因此态矢量（波函数）在表象变换下不改变模的 大小，即相应的概率不变。
左矢用符号 表示，代表右矢 的共轭态，例如
*
（二）标积

和 互为共轭态矢
任意两个态矢量和标积记为
定 义 于 坐 标 表 象
使用Dirac ( , ) 符号

简记为百度文库

( , )* ( , )
*
脱 离 了 具 体 表 象
正交归一化条件
(k , j ) kj
(k , j ) kj
因为体系的任何量子态（对应Hilbert空间的一个 抽象矢量）可以按 {k } 展开
akk ;
k
ak (k , )
这组数（a1, a2 , …）就是量子态在F表象下的表示。 k是F表象的基矢。
可见，态函数张成的Hilbert空间的维数可以是有 限的，也可无限的，甚至不可数的（基矢k为连 续谱时），同时由于态函数是复数，Hilbert空 间又是一个复空间。
k
k, j
a

* 1
a
* 2

平均值的矩 阵形式
L11 L12 L L 21 22
a1 a 2
§4 Dirac 符号
在量子力学的理论表述时，常使用Dirac符号，它 有两个优点： ① 无需具体的表象来讨论问题；
② 运算简捷，特别是针对表象变换； （一）右矢(Ket)和左矢(Bra) A. 右矢 Dirac使用符号 来表示态空间（即Hilbert空间） 的一个抽象的态矢量(无关表象)，称符号 为右矢。
§4
Dirac符号
§1 量子态在不同表象下的矩阵表示与幺正变换
（一）例子 同同 表一 象个 下状 的态 表在 示不
Ψ(r,t)
以坐标为自变量—坐标表象中 的波函数表示
以动量为自变量—动量表象中 的波函数表示 表象=“坐标系”
(p,t)
问题：量子态在其他力学量表象下的表示？
表象之间的联系或变换关系？
j
Lkj a j ak
j
( Lkj kj )a j 0
j
（六）表象变换的Dirac符号表示
考虑任意量子态
F表象（基矢 k ）中的表示： F' 表象（基矢
ak k b
（封闭性）
）中的表示:
b k k
k
S k ak
k
ˆ bkk ak L k
k k
ˆ b a L kk k k
k k
左乘j 再取标积
k
ˆ ) b ( , ) a ( , L k j k k j k
k
ˆ ) b j ak ( j , L k
k
令 则有
ˆ ) Ljk ( j , L k