相似三角形——比例线段

教学过程

一、课堂导入

1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。

如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。

2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？

二、复习预习

1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？

2、比与比例有什么区别？

3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道项、外项的概念吗？

答案： 1、2：（—3）=—2

3

；—4：6=—

4

6

=—

2

3

；

2

—3

=

—4

6

，2，—3，—4，6四个数成

比例。注意四个数字的书写顺序。

2、比是一个值；比例是一个等式。

3、a:b=c:d 即a

b

=

c

d

，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例项。

三、知识讲解

考点 1

比例线段

一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d

，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。

注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如d c b a ＝

是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。

a c a k

b

c k

d b d b d

++=⇒=考点2

比例的性质

1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。

bc ad d

c b a =⇔= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。

(k=1、2、3…) 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。 若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n m f e d c b a 则b

a n f d

b m e

c a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++。 4、比例中项：若c a b c a b c

b b a ,,2是则即⋅==的比例中项。

考点3

在线段AB 上，点C 把线段分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =，那么称线段AB 被点

C 分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫黄金分割比。其中618.01:215:≈-=

AC AB 即618.0≈AB AC

A B C

四、例题精析

【例题1】

【题干】已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm。问：这四条线段是否成比例？为什么?

【答案】这四条线段成比例

∵a=10mm=1cm

∴a

c

＝

1

2

，

d

b

＝

3

6

＝

1

2

∴a

c

＝

d

b

，即线段a、c、d、b是成比例线段。

【解析】直接利用比例线段的概念解答。

【例题2】

【题干】已知d

c c b a a

d c b a +=+=:,求证

【答案】证明:∵

d c b a = ∴c

d a b = ∴c

d c a b a +=+ ∴d

c c b a a +=+ 【解析】利用比例的合比性质证明。

【例题3】

【题干】根据下列条件，求a:b的值。

（1）2a＝3b；（2）a

5

=

b

4

。

【答案】解：（1）23=b a ；（2）4

5=b a 。 【解析】比例的基本性质直接运用，其中第2小题两次运用了性质，初学时易差错，要求学生重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两项之积等于两外项之积”。

【例题4】

【题干】已知a b =c d

，判断下列比例式是否成立，并说明理由。 （1）a ＋b b =c ＋d d ；（2）a b =a ＋c b ＋d

。

【答案】解：（1）成立，理由如下：

d c b a = 11+=+∴d c b a 即d

d d c b b b a +=+ d

d c b b a +=+∴ （2）成立，理由如下： 设k d

c b a ==，则dk c bk a ==, k

d b d b k d b ck bk d b c a =++=++=++∴)( d

b c a b a ++=∴ 【解析】（1）比较条件和结论的形式得到解题思路，利用等式的基本性质；

（2）采用设比值较为简单，其实质就是等比性质。

【例题5】

【题干】如图，设AB是已知的线段，在AB上作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF=EB，以线段AF为边作正方形AFGH，请说明点H就是AB的黄金分割点。

【答案】证明：设AB=2a ，那么在a a a AE AB BE BAE Rt 5)2(,2222=+=+=∆中

a AH AB BH a AE BE AF AH a BE EF )53(,)15(,5-=-=-=-==== ，

,2152)15(-=-=∴a a AB AH ,2

15)15()53(-=--=a a AH BH 因此,AH

BH AB AH =点H 是AB 的黄金分割点。 【解析】利用黄金分割点的定义证明。