相似三角形——比例线段
01相似三角形题型之一比例与比例线段
01相似三角形题型之一比例与比例线段比例与比例线段教学目标：1.了解比例中项的概念。
2.会求已知线段的比例中项。
3.通过实例了解黄金分割。
4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 教学重点、难点：教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。
教学难点：例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。
1．知识点与方法概述A：比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.B：比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.C：黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC，所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.E：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况: 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD中，AD//CF，AB=BC 求证：DE=EF 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在△ACF中，BE//CF，AB=BC 求证：AE=EFF：三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知：如图，D、E分别为AB、AC的中点求证：DE//BC，DE?G：梯形的中位线定理梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
三角形的相似比与比例线段
三角形的相似比与比例线段在几何学中，三角形的相似比和比例线段是重要的概念，它们在解决三角形的相似性问题和计算边长比例时起到关键作用。
本文将介绍三角形的相似比和比例线段的概念、性质以及应用。
一、相似三角形的定义和相似比相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们被称为相似三角形。
三角形的相似性可以用相似比来描述，相似比是指两个相似三角形对应边长的比值。
设有两个相似三角形ABC和DEF，对应边长的比值可以表示为：AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中AB、BC、AC分别表示三角形ABC的三条边长，DE、EF、DF分别表示三角形DEF的三条边长。
相似比可以简记为k（常为正数），即k=AB/DE=BC/EF=AC/DF。
二、相似比的性质1. 相似比的传递性：如果两个三角形ABC和DEF相似，且三角形DEF与另一个三角形XYZ相似，则三角形ABC与三角形XYZ也相似，且它们的相似比相等。
2. 相似比与边长比例关系：若两个三角形相似，对应边的相似比等于对应边长的比例。
3. 相似比与角度比例关系：若两个三角形相似，对应角的角平分线所分割的角度比等于对应边的相似比。
三、比例线段的定义和性质比例线段是指在相似三角形中，各边所对应的线段按相应的比例划分出来的线段。
比例线段在三角形的边上起到了关键作用，它们的比例关系可以帮助我们计算相似三角形的边长。
设有两个相似三角形ABC和DEF，相似比为k，若线段AD和EF 相交于点G，则线段AG和EG、线段GD和FG也满足比例关系：AG/EG = GD/FG = k。
四、应用举例1. 已知两个三角形相似，已知其中一个三角形的两个边长分别为3cm和5cm，求另一个三角形相应边的长度。
解析：如果两个三角形相似，且已知一个三角形的两个边长为3cm 和5cm，设相似比为k，则另一个三角形相应边的长度为3cm*k和5cm*k。
2. 在相似三角形ABC和DEF中，已知AD=6cm，DE=9cm，且AG:GE = 2:3，求GD的长度。
线段的比例和相似三角形
线段的比例和相似三角形在几何学中，线段的比例和相似三角形是基础知识，它们对于解决几何问题和解释世界中的各种现象都起着重要的作用。
本文将深入探讨线段的比例和相似三角形的概念及其应用。
1. 线段的比例在平面几何中，线段的比例是指两个线段之间的长度比。
设有线段AB和线段CD，它们的比例可以表示为AB:CD。
当且仅当两线段的比例相等时，它们才具有相似的长度关系。
2. 相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同的形状，但是尺寸不同的三角形。
若两个三角形的对应角度相等，则它们为相似三角形。
相似三角形的边长比例与角度比例成正比。
3. 线段的相似性质线段具有一些重要的相似性质，如比例段定理和点分段定理。
比例段定理指出，如果在两条平行线上有两个相交线段，则它们所形成的相交线段之间的长度比等于两条平行线上相应线段的长度比。
4. 相似三角形的性质相似三角形具有一些用于求解问题的重要性质。
常见的性质包括相似三角形的边长比例、高的比例、面积比例和周长比例等。
这些性质在解决实际问题时起着重要的作用，如测量高塔的高度、计算远处物体的尺寸等。
5. 应用举例a. 解决测量问题：通过计算相似三角形的边长比例，可以利用已知线段的长度求解未知线段的长度。
例如，当我们知道一栋楼的高度和影子的长度时，我们可以通过相似三角形的性质计算出楼与影子的比例，从而推算出其他未知线段的长度。
b. 设计制图：在地图或建筑设计中，相似三角形的性质可以用于将真实世界的比例缩小到纸上，从而实现精确的绘制和测量。
c. 解决角度问题：通过相似三角形的角度比例，可以计算未知角度的大小。
例如，在航空导航中，利用相似三角形的性质可以准确测算航线和飞机之间的角度。
总结：线段的比例和相似三角形是几何学中重要的概念和工具，它们在解决几何问题和实际应用中发挥着重要的作用。
通过理解线段的比例和相似三角形的性质，我们可以更好地理解和解释世界中的各种现象，同时也可以应用于实际问题的求解和设计制图等领域。
线段比例和相似三角形的性质
线段比例和相似三角形的性质线段比例和相似三角形是几何学中常见的概念，它们在解决图形问题和推导数学关系时具有重要作用。
本文将详细探讨线段比例和相似三角形的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、线段比例的概念及性质线段比例用于比较两条线段之间的长度关系。
设有两条线段AB和CD，它们的长度分别为a和b，则线段AB与CD的比值为a:b。
根据线段比例的性质，可以得出以下重要结论：1. 分割比例定理：若一条直线段分割为两段，其中一段的长度与此直线段的长度的比等于另一段的长度与这条直线段的长度的比，则这两段线段成比例。
换句话说，若有线段AC和BD，且满足AD/AB =CD/CB，则可以得出AD与CD、AB与CB成比例。
2. 相似三角形的线段比例性质：若两个三角形相似，则对应两三角形的边的比例相等。
设三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE= AC/DF = BC/EF。
这个性质可用于解决各种与相似三角形有关的问题。
二、相似三角形的概念及性质相似三角形指的是具有相同内角的三角形，它们的形状相似但大小不同。
设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB、AC、BC和DE、DF、EF，则相似三角形具有以下重要性质：1. 对应角相等：相似三角形的对应角互相相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
这是相似三角形的定义之一。
2. 边比例相等：相似三角形的对应边成比例，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个性质是相似三角形的重要特征，可以用于解决各类与线段比例有关的问题。
3. 高度比例相等：相似三角形的对应高度之比等于对应边之比。
设h1和h2分别为三角形ABC和DEF相应的高度，则有h1/h2 = AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个性质可用于确定相似三角形的高度比例。
4. 面积比例平方相等：相似三角形的面积比例的平方等于对应边之比的平方。
设S1和S2分别为三角形ABC和DEF的面积，则有S1/S2 = (AB/DE)² = (AC/DF)² = (BC/EF)²。
比例线段与相似三角形
讲义4、如图5.1-2，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，ABAD＝ACAE＝BCDE＝32，且△ABC与△ADE的周长之差为15cm，求△ABC与△ADE的周长.8、已知cba+=acb+=bac+＝x求x及时训练例1 如图已知BEAB=MEAM=CEAC。
5、已知5:4:2::=cba，且632=+-cba，求cba23-+的值。
6、已知875cba==，且20=++cba，求cba-+2的值。
7、若65432+==+cba且2132=+-cba，试求cba::求证：BC CABCAB++=MEAE2 如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于G，求证GF＝FB．相似三角形基本定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形。
判定方法证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
如果是文字语言的“△ABC与△DEF 相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
例题演练1、如果:2:3x y =，则下列各式不成立的是（ ）A35=+y y x B 31=-y x y C 312=y x D 4311=++y x 2、如图：在△ABC 中,若DE ∥BC,AD DB =12,DE=4cm,则BC 的长为（ ） A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm3、如图：点D 在△ABC 的边AB 上，连接CD ，下列条件：○1B ACD ∠=∠ ○2ACB ADC ∠=∠ ○3AB AD AC ⋅=2 ○4BC AC CD AB ⋅=⋅,其中能 判定△ACD ∽△ABC 的共有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个4、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ） A 4.8米 B 6.4米 C 9.6米 D 10米及时训练1、如图，E 是□ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ， 交AD 于F ．在不添加辅助线的情况下，请找出图中的一 对相似三角形，并说明理由．2、如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB 的顶点O 、A 、B 均在格点上，且O 是直角坐标系的原点，点A 在x 轴上．（1）以O 为位似中心，将△OAB 放大，使得放大后的△11B OA 与△OAB 对应线段的比为2∶1，画出△11B OA （所画△11B OA 与△OAB 在原点两侧）． （2）求出线段11B A 所在直线的函数关系式．3、如图：路灯（P 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点 ）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？4、阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了EAD BC 2题图ABDC3题图PO B N A M以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。
线段的比例分割与相似三角形
线段的比例分割与相似三角形线段的比例分割与相似三角形在数学中属于几何学的分支。
当两个线段分割另外一条线段时，这两个线段的比例关系可以用来推导相似三角形的性质。
本文将详细讲解线段的比例分割与相似三角形之间的关系，并探讨在实际问题中的应用。
一、线段的比例分割原理线段的比例分割是指将一条线段按照一定的比例分为两部分。
设有一条线段AB，C点是该线段上的一个点，将线段AB分为AC和CB两部分，根据线段的比例分割原理，有以下的比例关系：AC/CB = AD/DB其中AD和DB分别表示从点A和点B到点C所划分出的两个线段。
这个比例关系可以推广到更复杂的情况，即当线段AB被多个点分割时，依然成立。
二、相似三角形的性质与线段的比例分割相似三角形是指具有相似形状但大小不同的三角形。
当两个三角形相似时，它们的对应边长成比例。
而线段的比例分割正是相似三角形性质的一种特殊情况。
以线段AB为边的三角形ABC与以线段AC为边的三角形ADE相似，根据相似三角形的性质，有以下的比例关系：AB/AC = BC/CE = CA/AD其中CE和AD分别表示从点C和点A到点E所构成的线段。
这个关系表明，线段的比例分割可以推导出相似三角形的对应边长比例关系。
三、线段的比例分割与相似三角形的应用线段的比例分割与相似三角形在几何学中有广泛的应用。
它们可以用于解决各种问题，例如测量无法直接获得的长度、计算图形的面积以及解决实际生活中的几何问题等。
1.测量无法直接获得的长度在实际情况中，有时候我们无法直接测量一个线段的长度，但我们可以利用已知线段的比例分割关系来计算。
例如，我们知道一根棍子被两个点分割成三段，其中两段的比例为2:3，而总长度为60厘米。
那么我们可以利用线段的比例分割来计算每段的长度，进一步解决问题。
2.计算图形的面积通过线段的比例分割与相似三角形，可以推导出各种图形的面积比例关系。
例如，在两个相似三角形中，它们的面积的比例等于边长的比例的平方。
线段比例与相似三角形
线段比例与相似三角形线段比例与相似三角形是几何学中重要的概念。
在这篇文章中，我们将探讨线段比例与相似三角形之间的关系，并解释它们在几何学中的应用。
一、线段比例的定义与性质线段比例是指两个线段之间的长度关系。
假设有两个线段AB和CD，它们的长度分别为a和b。
如果这两个线段之间存在比例关系，即a:b为一个确定的数值k，那么我们可以记作AB：CD = a：b = k。
线段比例具有以下性质：1. 如果线段AB与CD之间存在比例关系，那么它们与其他平行线段的任意两个对应部分也满足比例关系。
2. 如果线段AB与CD之间存在比例关系，那么它们与其他平行线段的任意两个相似三角形的对应边也满足比例关系。
3. 如果线段AB与CD之间的比例关系为a：b = k，且线段BC与DE之间的比例关系为b：c = k，那么线段AC与DE之间的比例关系为a：c = k。
二、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相似形状但不一定相等的三角形。
两个三角形相似的条件为它们对应角相等，并且对应边成比例。
如果有两个相似三角形ABC和DEF，我们可以记作ΔABC ∽ ΔDEF。
相似三角形具有以下性质：1. 相似三角形的对应边成比例，即AB：DE = BC：EF = AC：DF。
2. 相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 如果两个三角形的两个角相等，并且一对对应边成比例，那么它们是相似三角形。
4. 相似三角形的比例因子等于两个相似三角形任意两对成比例边的比值。
三、线段比例与相似三角形的关系线段比例与相似三角形之间存在紧密的联系。
当两个线段之间满足比例关系时，它们所在的三角形也是相似的。
具体而言，如果两条平行线段AB和CD之间的线段比例为a：b = k，那么通过连接这两个线段与CD的两个端点，我们可以构成两个相似三角形ABC和CDE，其中∠A = ∠C，∠B = ∠D。
这个性质也被称为对应角的性质。
根据相似三角形的性质，在相似三角形ABC和CDE中，对应边也成比例，即AB：CD = BC：DE = AC：CE = a：b = k。
相似三角形——比例线段
相似三角形一一比例线段教学过程-、课堂导入1举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。
如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30角的三角尺等。
2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618 这个比值有关。
你知道0.618 这个比值的来历吗？二、复习预习1、什么是两个数的比？2与一3的比；一4与6的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？2、比与比例有什么区别？3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？2 4 2 2 —4答案：1、2：（—3）=—3 ；—4：6= —6 =—3 ； 3 = 6 ，2，—3，—4，6 四个数成比例。
注意四个数字的书写顺序。
2、比是一个值；比例是一个等式。
a c3、a:b=c:d即b =d ，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。
三、知识讲解考点1比例线段a c一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，即b =d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
a _ c注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性•如d是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例。
考点2比例的性质1、 比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式a c ad =bcb d2、 合比性质：分子加（减）分母，分母不变。
c a kb c kd匚厂— 心、2 3…）3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变a b 4、比例中项：若一二-即b 2 =a G 则b 是a,c 的比例中项。
b c= m （b d f 一一 七n =0）则 n若—-b d考点3AC _ BC在线段AB上，点C把线段分成两条线段AC和BC,如果AB「AC，那么称线段AB 被点C分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金分割比。
比例线段 黄金分割 相似三角形
学科教师辅导讲义六．三角形重心的定义：证（解）题规律、辅助线1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。
2．找相似找不到，找中间比。
方法：将等式左右两边的比表示出来。
⑴)(,为中间比nm n m d c n m b a == ⑵'',,n n nm d c n m b a === ⑶),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或 3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。
5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
例题分析：例1：如图 4－85． AB ⊥于l. CD ⊥l 于 C,E 为 AD 中点．求证：△EBC 是等腰三角形．例2：如图4－86，CB ⊥AB ，DA ⊥AB ，M 为CD 中点．求证：∠MAB ＝∠MBA ．例3：若25a c eb d f ===，求ac bd --，234234a ce b df +-+-4.已知：如图20□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
求：AM ：AC 。
5.已知：E 是正方形ABCD 的AB 边延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN ∥AE ，求证：MN =MB6、已知线段AB 长为1cm ，P 是AB 的黄金分割点，则线段PA= ;7、已知：M 是线段AB 的黄金分割点，AM>BM. 求证：AMAB AB AB AM =+。
线段比例定理与相似三角形
线段比例定理与相似三角形线段比例定理和相似三角形是数学中重要的概念和定理。
它们在几何学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将详细介绍线段比例定理和相似三角形的定义、性质和应用。
一、线段比例定理线段比例定理，也称为“点分线段定理”，是指在一个线段上，如果有两个点将这个线段分成两个部分，那么这两个点所在线段的比例等于被他们分割的两部分的比例。
具体来说，如果在线段AB上有一点C，将线段AB分成两部分，形成长度为AC和CB的两个线段，则有下列等式成立：AC/CB = AB为了更好地理解线段比例定理，我们可以通过一个几何图形来解释。
考虑一个三角形ABC，从A点引一条平行于BC的直线，交BC于点D。
根据线段比例定理，可以得出下列等式：AD/DB = AB/BC这个定理在几何学中具有重要意义，可以用来解决求长度比例的问题。
二、相似三角形相似三角形是指两个三角形具有相同的形状，但是对应边的长度不一定相等。
具体来说，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。
符号表示为∆ABC ∼ ∆DEF。
相似三角形可以通过比较对应边的长度比例来判断。
在相似三角形中，比较两个对应边的长度，可以使用下列比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF这里AB, BC和AC是三角形ABC的边长，DE, EF和DF是三角形DEF的边长。
这个比例关系又称为“对应边比例定理”。
相似三角形有一些重要的性质：1. 相似三角形的对应角度相等，对应边比例相等；2. 相似三角形的对应边比例相等，对应角度相等；3. 如果两个三角形相似，则它们的相似比例为正的常数；4. 如果两个三角形的任意两边长的比例相等，则它们是相似三角形。
三、线段比例定理与相似三角形的应用线段比例定理和相似三角形在几何学和实际问题中有广泛应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量某一物体的阴影和影子长度来计算物体的高度。
2. 树木的投影：根据相似三角形的对应边比例，可以通过树木在地面上的投影长度和树木的实际高度，计算出树木的实际宽度。
沪科版九年级上册第二十四章相似三角形 相似形和比例线段
主 题 第一讲 相似形和比例线段教学内容学习目标：1．知道相似形的概念，理解相似多边形的意义；2．理解两条线段的比和比例线段的概念；3．掌握比例的性质，了解黄金分割的概念．互动：（此环节设计时间在40－50分钟）知识导入：给你一粒白米尺寸为长0.5公分，宽0.3公分，你能在上面雕刻出5只“熊猫”及“二〇〇八北京奥运”字样吗？也许你会瞠目结舌：那得多小呀！太难啦！如果借助放大镜有人能办到，你信吗？——右图是：台湾毫芒雕刻第一人陈逢显在高倍放大镜下拍摄的针孔里雕刻出来的成果。
其实在放大镜下的米粒和实际的米粒只是大小不同，而形状却完全相同，它们是相似的图形。
思考：①你还能举几个生活中常见的相似形吗？如： ；②在你所举的例子中，发现相似形是 相同， 不一定相同的图形．（形状，大小） 案例：如图，将ABC ∆放大后得111A B C ∆，将111A B C ∆缩小后得ABC ∆；图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形。
如图：ABC ∆与111A B C ∆相似,测量∠A= ，∠B= ，∠C= ,∠A 1= ，∠B 1= ，∠C 1= ,测量AB= ， BC= ，CA= ，A 1B 1= ，B 1C 1 = ，C 1A 1=从以上测量结果可以得到怎样的结论？1．如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角____ __，对应边___ ______．2．当两个相似多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值___ _____．知识点归纳：1．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。
3．如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1。
试一试：1．如图，已知五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 相似，且点A 与'A 、点B 与'B 、点C 与'C 、点D 与'D 、点E 与'E ，分别是对应顶点，则x = ，y = ，z = ，'A ∠= ，'C ∠= ． 2．已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，与它相似的三角形的最小边长15，那么它的另两边长分别为 。
比例线段与相似三角形性质
比例线段与相似三角形性质中考要求重难点1．相似定义，性质，判定，应用和位似2．相似的判定和证明3．相似比的转化课前预习生活中几个有趣的黄金分割点报幕员应站在舞台宽度的0．618处的地方报幕最佳．将高清晰度电视屏幕的长与宽组成一条线段，取这条线段的黄金分割点，将线段分成两条线段，则屏幕的长与宽刚好接近16:9．人体有很多神秘的黄金分割点：肚脐刚好就是整个人体的黄金分割点；喉头刚好是头顶到肚脐的黄金分割点，膝关节是肚脐到脚的黄金分割点，肘关节是手指到肩部的黄金分割点．⨯=度时，身体会感觉最舒服．当人生活在正常体温37.50.61823.175国旗上的五角星是很美的几何图形，而其中由五条线段相交的五个点刚好是这条线段的黄金分割点．这些生活中的黄金分割点都是学者在日常生活中去探索、发现的，你是否也能给出几例你自己验证了得生活中的黄金分割点呢？例题精讲模块一 比例的性质☞比例线段1．,a c ad bc b d =⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2．a c b db d ac =⇔=(反比定理); 3．a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)(更比定理); 4．ac a b c db d b d ++=⇔=(合比定理); 5．a c a b c db d b d --=⇔=(分比定理); 6．a c a b c db d a bcd ++=⇔=--(合分比定理); 7．(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理)．【例1】 若:2:3x y =，则下列各式不成立的是 （ ） A ．53x y y += B ．13y x y -= C ． 123x y = D ．1314x y +=+ 【难度】1星【解析】根据比例的性质公式：a c a b c d b d b d ++=⇔=；a c a b c db d b d--=⇔=可知,,A B C 正确，只有D 错误．【答案】D【巩固】若0234x y z ==≠ ，则23x yz+= ． 【难度】2星 【解析】设()0234x y zk k ===≠,则2,3,4x k y k z k === 所以有，23491344x y k k z k ++== 【答案】134【巩固】若:3:2a b =，:5:4b c =，则::a b c =（ ）A ．3:2:4B ．6:5:4C ．15:10:8D ．15:10:12【难度】2星【解析】可以把两个比中的b所占的份数变成相同的．:3:215:10a b==，:5:410:8b c==，即::a b c可求．∵:3:215:10a b==，:5:410:8b c==，∴::15:10:8a b c=．故选C【答案】CA．13B．2C．5D．3【难度】2星【难度】2星【解析】根据题意比例的合比性质，即可得出结果．由题意，32ab=，∴33325 aa b== ++故选C 【答案】CA．4B．3C．3D．7【难度】2星【解析】设37a bk =-，那么3a k -，7b k -，然后代入所求的代数式即可求出结果． 设37a bk =-， ∴3a k -，7b k -， ∴73433b a k k a k ----． 【答案】BA ．3 B ．5 C ．5 D ．5【难度】2星【解析】根据比例的等比性质直接即可得解．∵23a c b d ==， ∴23a c b d -==-， ∴23a cb d -=- 【答案】A【巩固】已知一张地图的比例尺是15000∶，若A 、B 两地的实际距离为250 m ，则画在地图上的距离是 ．【难度】2星【解析】根据公式：∵比例尺=图上距离∶实际距离，设图上距离为l∴有1=5000250l ()15()20l m cm == 【答案】5cm【巩固】已知a b ck b c a c a b===+++，则直线2y kx k =+一定经过（ ） A ．1第，2象限 B ．2第，3象限 C ．3第，4象限 D ．1第，4象限【难度】2星【解析】分情况讨论：当0a b c ++≠时，根据比例的等比性质，得：()122a b c k a b c ++==++，此时直线为112y x =+，直线一定经过1，2，3象限．当0a b c ++=时，即a b c +=-，则1k =-，此时直线为2y x =--，即直线必过2，3，4象限． 综合两种情况，则直线必过第2，3象限．【答案】B【拓展】若a b ct b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、二、三象限 C ．第二、三、四象限 D ．第三、四象限【难度】2星【解析】先根据等式求出t 的值，从而得到一次函数的解析式，再根据一次函数的性质分析经过的象限即可．（注意有两种情况）．【答案】由已知得()b c t a +=；()c a t b +=；()a b t c +=，三式相加得：()2a b c t a b c ++=++，①当0a b c ++≠时，12t =； ②当0a b c ++=时，a b c +=-，1t =-．∴一次函数2y tx t =+为1y x =-+或1124y x =+∵1y x =-+过第一、二、四象限；1124y x =+过第一、二、三象限；∴一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是第一、二象限．故选AB ．舞蹈社不变，溜冰社不变C ．舞蹈社增加，溜冰社减少D ．舞蹈社增加，溜冰社不变【难度】2星【解析】若甲∶乙∶丙=::a b c ，则甲占全部的a abc ++，乙占全部的b a b c ++，丙占全部的ca b c++．故选D☞黄金分割点A如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点． 设AC x =，则BC AB x =-，即有一元二次方程220x ABx AB +-=,根据公式法解得：x ，因为0x >，所以有x，即0.618AC AB AB =≈，0.382BC AB AC AB =-=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比． 【例4】 如图所示，在黄金分割矩形ABCD AB BC ⎛= ⎝⎭中，分出一个正方形ABFE ，求FCCD ． F EDB AC【难度】1星 【解析】∵AB AC ，∴BC AB =．BC AB AB -=． ∵BC AB BC BF FC -=-=，AB CD =∴FC CD =．【答案】FC CD =【巩固】E 为平行四边形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且D 为AE 的黄金分割点，即AD AE ，BE 交DC 于F．已知1AB =-，求CF 的长． 【难度】2星 【解析】∵AD AE∴DE AE =又∵DC AB ∥ ∴DE DFAE AB=，1AB∴4DF =∴3CF =【答案】3CF =模块二 平行线分线段成比例定理平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，AB CD EF ∥∥，则AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全，上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下，，，下下上上全全全全．AB C D E FFEDC B A当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型，“X ”字型．则有AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC⇔===∥，． A BCE F F ECB A【例5】 如图，小明站在C 处看甲、乙两楼顶上的点A 和点E C E A ，、、三点在同一直线上，点B D 、分别在点E A 、的正下方，且D B C 、、三点在同一直线上，B C 、相距20米，D C 、相距40米，乙楼BE 高15米，则甲楼AD 的高为（小明身高忽略不计） ( ) A ．40米 B ． 20米 C ． 15米 D ． 30米【难度】1星 【解析】BC BECD AD=20BC DB ＝＝ 15BE = ∴30AD = 【答案】 D【巩固】如图，在ABCD △中，DE BC ∥，4AD =，8DB =，3DE =．（1）求ADAB的值； （2）求BC 的长．ABCD EEDCB A【难度】1星【解析】∵DE BC ∥，4AD =，8DB =，3DE =∴41483AD AB ==+ ∴13AD DE AB BC == ∴9BC =【答案】13；9【例8】如图，在APM △的边AP 上任取两点B 和C ，过点B 作AM 的平行线交PM 于点N ，过点N 作MC的平行线交AP 于点D ，求证：AP PB PC PD =∶∶．PNMB C DA【难度】2星 【解析】略【答案】∵ND MC ∥∴PN PDPM PC=又由NB AM ∥得PN PBPM PA=∴PD PB PC PA =即PA PCPB PD=【巩固】如图， Rt ABC △中，90C ∠=︒，有一内接正方形DEFC ，连接AF 交DE 于G ，15AC = ，10BC =，求GE ．GABC DEP【难度】2星 【解析】略【答案】设正方形的边长为a ，则15-AD a = ∵DE BC ∥∴AD DE AC BC = 15-1510a a=解得6a =又在AFB △中GE BF ∥ 有GE AE DEBF AB BC==， GE AD BP AC =∴9415GE = 125GE =【巩固】如图，DE BC ∥，且DB AE =，若510AB AC ==，，求AE 的长．EDBA【难度】3星 【解析】略【答案】AD AE AD AEDE BC AB AC DB EC⇒==∵∥， 又510AB AC BD AE ===，， 1210AD AB AD DB AE AEAE AC AE EC AC AE AE=====--∴， 1101023AE AE AE =⇒=-∴【例5】如图，在平行四边形ABCD中，4AC=，6BD=，P是BD上的任一点，过点P作EF AC∥，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP x=，EF y=，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【难度】2星【解析】根据平行四边形的性质得到132OD OB BD===，根据平行线分线段成比例定理得到BP EFOB AC=和DP EFOD AC=，代入求出y与x的关系式，根据函数的图象特点即可选出答案．【答案】设AC交BD于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴132OD OB BD===，当P在OB上时，∵EF AC∥，∴BP BF EFOB BC AC==，∴34x y=，∴43y x=，当P在OD上时，PFE DCBA同法可得：DP DF EFOD DC AC==，∴634x y-=，∴483y x=-+，∵两种情况都是一次函数，图象是直线．故选C【例6】 如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 分别交中位线EF 于点H 、G ，且121EG GH HF =∶∶∶∶，那么AD BC ∶等于 ．HGFE DCBA【难度】2星【解析】∵根据平行线分线段成比例定理可得：EG 、GF 分别是ABD △和DBC △的中位线．那么2AD EG =，2BC GF =． ∴:21:[221]1:3AD BC =⨯⨯+=（）（）【答案】1∶3【巩固】已知线段a 、b ，求作线段x ，使22b x a=，正确的作法是（ ）xab2bxab2bA ．B ．x2bbax2bbaC ．D ．【难度】2星【解析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段a 、b 和2b ，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段x ．【答案】由题意，22b x a = ∴2a bb x=，∵线段x 没法先作出， ∴B 选项错误， 根据平行线分线段成比例定理，只有C 符合．故选C【拓展】在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中线，AE 、AF 分别交BM于G 、H 两点，求证：532BG GH HM =∶∶∶∶．MH G FECBAG'H'MH GFEC BA【难度】5星 【解析】略【答案】如图，过C 点作'CH AH ∥，交BM 的延长线于'H ，易证'CH AH =，'HM MH =；同样得'G ，可得''GH H G =，设BG x =，GH y =，HM z =，则'MH z =，''H G y =， 由平行线分线段成比例定理可知： 1222x x y z y z =⇒=++；2421x y x z y z +=⇒=-， ∴52x z =，32y z =， ∴532222AG GH HM z z z =∶∶∶∶，即532AG GH HM =∶∶∶∶模块三 相似三角形的性质☞对应角相似三角形对应角相等【例9】已知，AB 是⊙O 的直径，且C 是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的B ∠（如图所示），那么下列关于A ∠与放大镜中的B ∠关系描述正确的是（ ）【难度】2星【解析】略【答案】∵AB是直径，∴C∠是直角，∴90A B∠+∠=︒，用放大镜观察图形，镜中的图形与原图形相似，所以在镜中看的角大小没有改变，∴90A B∠+∠=︒．故选A【巩固】如图，若ABC AED△∽△,试找出图中所有的对应角、对应边，并用式子表示．EDCBA【难度】1星【解析】略【答案】ADE ACB∠=∠，DAE CAB∠=∠，AED ABC∠=，AE AD DE AB AC BC==☞对应边相似三角形对应边成比例【例10】三角形三边之比为357∶∶，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之各是（）A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm【难度】3星【解析】最长边为21cm的三角形三边比例为357∶∶∵可设最长边为721x=3x=∴另外两边和3588324x x x+==⨯=故选D【答案】D【巩固】ABC △3，'''A B C △的两边长分别为1，若ABC △与'''A B C △相似，则'''A B C △的第三条边长 ．【难度】2星【解析】∵ABC △'''A B C △的两边1∴'''A B C △【答案】2【拓展】已知ABC △的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要利用长度分别为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与ABC △相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm ）分别为多少？【难度】3星【解析】根据相似三角形对应边成比例的性质．首先，以60cm 为一边时，另一端30cm 需要结成两段，构成不了三角形．其次，以30cm 为一边时，对应着ABC △的三边，可以有相似比23∶，53∶，21∶．当相似比为23∶ 时，其他两段需要用料165cm ，不符合题意．当相似比为53∶时，其他两段长度分别为12cm 和36cm ，可以．当相似比为21∶时，其他两段长度分别为10cm 和25cm ，可以截取．【答案】12cm 和36cm 或者10cm 和25cm ．☞中线、高线、角平分线相似三角形的对应中线、高线、角平分线的比等于相似比【例7】 如图ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，试证明：AB BC AC AMk A B B C A C A M====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA【难度】2星 【解析】略【答案】∵'''ABC A B C △∽△ ∴,'''''AB BCB B A B BC =∠=∠ 又∵AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线 ∴2''2''''''BC BM BM ABk B C B M B M A B ====【巩固】已知ABC △与DEF △相似且对应中线的比为2:3，则ABC △与DEF △的周长比为（ ）． 【难度】1星【解析】由于相似三角形的对应中线和周长的比都等于相似比，由此可求出两三角形的周长比． 【答案】∵ABC △与DEF △相似且对应中线的比为2:3，∴它们的相似比为2:3；故ABC △与DEF △的周长比为2:3【巩固】若两个相似三角形的相似比是2:3，则这两个三角形对应中线的比是（ ）． 【难度】1星【解析】根据相似多边形的性质，对应边之比相等可得．【答案】相似三角形对应中线的比等于相似比，因而对应中线的比是2:3【例8】 如图ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，求证：AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '【难度】2星 【解析】略【答案】∵'''ABC A B C △∽△∴2'''ABC A B C S S k =△△∶，即有211''''22BC AH B C A H k ⋅⋅=∶又∵''BC k B C =，2''''BC AHk B C A H =∴''AHk A H =【解析】利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比即可求解．【答案】∵12h h=相似比，∴22112s h s h ⎛⎫= ⎪⎝⎭【巩固】如果两个相似三角形对应高的比为5:4，那么这两个相似三角形的相似比为（ ）． 【难度】1星【解析】相似三角形的一切对应线段（包括对应高）的比等于相似比，由此可求得这两相似三角形的相似比．【答案】∵两个相似三角形对应高的比为5:4，∴它们的相似比为5:4【例9】 如图ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． D 'D A 'B 'C B A【难度】2星 【解析】略【答案】∵'''ABC A B C △∽△ ∴''','BAC B A C B B ∠=∠∠=∠又∵AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线∴11,''''''22BAD BAC B A D B A C ∠=∠∠=∠∴''','BAD B A D B B ∠=∠∠=∠ ∴'''ABD A B D △∽△ ∴''''AB ADk A B A D ==【巩固】两个相似三角形对应高之比为1:2，那么它们对应中线之比为（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4 D ．1:8 【难度】【解析】两个相似三角形的相似比等于对应高的比，也等于对应中线的比． 【答案】∵两个相似三角形对应高之比为1:2；∴两个相似三角形的相似比为1:2； ∴它们对应中线之比为1:2． 故本选A☞周长比 、面积比相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 【例10】 如图1，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．图2【例11】 若ABC DEF △∽△，它们的面积比为41∶，则ABC DEF △∽△的相似比为（ ） A ．2:1 B ．1:2 C ．4:1 D ．1:4 【答案】1星【解析】由ABC DEF △∽△与它们的面积比为4:1，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得ABC △与DEF △的相似比．【答案】∵ABC DEF △∽△，它们的面积比为4:1，∴△ABC 与△DEF 的相似比为2:1． 故选A【例12】 已知'''ABC A B C △∽△，它们的相似比是23∶，ABC △的周长为6，则'''A B C △的周长为（ ）． 【难度】1星【解析】利用相似三角形的周长的比等于相似比列式求解．【答案】∵ABC △的周长：'''A B C △的周长23=∶，ABC △的周长为6；∴'''A B C △的周长3692⨯==【巩固】若两个相似三角形的面积之比为14∶，则它们的周长之比为（ ） A ．12∶ B ．14∶ C ．15∶ D ．116∶ 【难度】1星 【解析】略．【答案】∵两个相似三角形的面积之比1:4；∴它们的相似比为12∶； ∴它们的周长之比为12∶ 故选A【例13】 已知ABC DEF △∽△，且12AB DE =∶∶，则ABC △的面积与DEF △的面积之比为（ ） A ．12∶ B ．14∶ C ．21∶ D ．41∶ 【难度】1星【解析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求． 【答案】∵ABC DEF △∽△，且相似比为1:2；∴其面积之比为1:4；故选B【例14】 在ABC △和DEF △中，2AB DE =，2AC DF =，A D ∠=∠．如果ABC △的周长是16，面积是12，那么DEF △的周长、面积依次是 ．【难度】2星【解析】根据周长比等于相似比，面积比是相似比的平方． 【答案】8；3【巩固】如图，已知D E 、分别是ABC △的AB AC 、边上的一点，DE BC ∥，且1:3ADEDBCE S S △四边形∶＝，那么AD AB ∶等于（ ）A ．14 B ．13C ．12D ．23 ABCDE【难度】3星【解析】∵1:3ADE DBCE S S △四边形∶＝∴1:4ADE ABC S S △∶＝△∴AD AB ∶=1:2【答案】C【拓展】如图，在ABC △中，,DE FG BC GI EF AB ∥∥∥∥．若ADE △、EFG △、GIC △的面积分别为220cm 、245cm 、280cm ，则ABC △的面积为 ．GIH FA BCDE【难度】3星【解析】由三角形的面积，可知234AE EG GI =∶∶∶∶，所以29AE AC =∶∶，即481S ADE S ABC =△∶△∶，根据20S ADE =△，所以405S ABC =△．【答案】2405cm☞三角形相似的综合【例15】 一张等腰三角形纸片，底边长15cm ，底边上的高的长为225cm ．．现沿底边依交从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）A ．第4张B ．第5张C ．第6张D ．第7张第1张第2张【难度】3星【解析】如图，作AD BC ⊥于点D ，交第n 张纸条于点E ，3,,DE n AE GH =⊥则AGH ABC △∽△，∴GH AE BC AD =即1322.53522.5n-=，解得6n = 【答案】C ．B第2张第1张【巩固】如图所示，路边有两根电线杆AB CD 、，其中 3 AB m =， 6 CD m =，用铁丝将两杆固定，求铁丝AD 与铁丝BC 的交点M 处距离地面的高度MH ．H MAB CD EF【难度】2星【解析】由两步相似倒出边与边之间的比例关系．∵ MH AB ∥ ∴DH MHDB AB =① MH CD ∥ BH MHBD CD=② ①+②：136MH MH=+∴2MH cm =【答案】2cm【拓展】 如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； （2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想． E DBACO【难度】4星 【解析】（1）当11211AE EC ==+时，22321AO AD ==+； （2）当11A 312AE C ==+时，21222AO AD ==+；当1A 4AE C =时，22532AO AD ==+． （3）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n=+， 证明方法比较多，选择两种介绍：如上右图，过点D 作//DF BE ，交AC 于点F ． ∵//DF BE ，BD CD = ∴EF CF = ∵11AE AC n =+ ∴CE nAE =，122nEF CE AE == ∵//DF BE ∴222AO AE AO OD EF n AD n==⇒=+OFCABDE另一种解法就是梅氏定理，看ADC ∆被直线BOE 所截可知1AO DB CE OD BC EA ⋅⋅=，而11AE CE nAE AC n =⇒=+，BD CD =，故22AO AD n=+． 【答案】（1）23AO AD =；（2）当1A 3AE C =时，12AO AD =；当1A 4AE C =时，25AO AD =（3）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n =+模块四 位似位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似变换的坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -． 位似的性质：（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． （2）位似图形的对应线段的比等于相似比． （3）位似图形的周长比等于相似比． （4）位似图形的面积比等于相似比的平方．【例16】 如图，下列各组图形中是位似图形的为 ()OABCDEDE BC ∥（1） （2） （3） （4）A ．（1）（2）（3）（4）B ．（2）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（1）（2）（3）【难度】1星【解析】根据位似图形的定义：位似图形是指两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行的两个图形，对应点连线的交点叫做位似中心．将每一个图形的对应点连接起来，看是否交于一点，这样排除()3，其次判断符合条件的图形是否是相似图形．所以答案选B ．【答案】B【巩固】如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为,a b （），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为 （ ）第3题图A ．,2a b --（）B ．()2,a b -C ．()2,2a b --D ．()2,2b a --【难度】1星【解析】解此题运用的方法就是找特殊点．由图中可见，每个小正方形的边长为1，可推知小“鱼”较长的鳍的顶点坐标为()5,3，则位似图形中的对应点的坐标为()10,6--，小“鱼”较短的鳍的顶点坐标为()3,2-，则位似图形中的对应点的坐标为()6,4-，由此可知，当某小“鱼”上某个“顶点”坐标为,a b （）时，位似图形中的对应点的坐标为()2,2a b --．【答案】C【巩固】如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，23AB FG =∶∶，则下列结论正确的理 （ ） A ．23DE MN = B ．32DE MN = C ．32A F ∠=∠ D ．23A F ∠=∠ABCD ENMHGF【难度】1星【解析】由两图形位似，有23AB DE FG MN ==． 【答案】B【巩固】判断满足下列关系的AOC △与BOD △是否是位似图形，如果是，请指出位似中心．（1）如图1所示，AB CD 、相交于点O ，且,ABC ADC AD CB ∠=∠=； （2）如图2所示，AB CD 、相交于点O ，且B A ∠=∠．图2图1ABCDOOABCD【难度】1星【解析】根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．【答案】（1）AOC △与BOD △是位似图形，位似中心为O 点；（2）AOC △与BOD △是位似图形，位似中心为O 点．【例17】 七边形ABCDEFG 位似于七边形A B C D E F G '''''''，它们的面积之比为49∶,已知位似中心O 到A点的距离为6，那么O 到A '的距离为多少？【难度】1星【解析】由面积比为49∶，得位似七边形对应边的比为23∶，所以位似比为23∶，所以O 到A '的距离为9． 【答案】9【巩固】如图，ABC △与'''A B C △是位似图形，点A 、B 、'A 、'B 、O 共线，点O 为位似中心．（1）AC 与''A C 平行吗?试说明理由； （2）若''AB A B ＝２，'5OC =，求'CC 的长．C ,B ,A ,AB CO【难度】1星【解析】（1）由位似图形的性质（2）∵两三角形是位似三角形∴''''A B OA OC AB OA OC==又''AB A B ＝２，所以'OC OC =12，∴10OC =,'1055CC =-= 【答案】平行；5【拓展】如图，在平面直角形坐标系中，正方形22223333A B C D A B C D 、都是由正方形1111A B C D 经过位似变换得到的，点O 是位似中心．(1)你能找出正方形1111A B C D 以O 为位似中心，相似比是2的位似图形吗？ (2)正方形4444A B C D 是正方形3333A B C D 的位似图形吗？如果是，求相似比； (3)由正方形3333A B C D 得到它的位似图形正方形1111A B C D ，求相似比；(4)我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每个正方形四条边上的整点个数．猜测：正方形1111A B C D 以O 为位似中心，相似比为10的位似图形10101010A B C D 的四条边上整点个数之和是多少？【难度】2星【解析】（4）正方形1111A B C D 四条边上整数点的个数为4，正方形2222A B C D 四条边上整数点的个数为8，正方形3333A B C D 四条边上整数点的个数为12，根据数学归纳法可推知，正方形n n n n A B C D 四条边上整数点的个数为4n 个，所以正方形10101010A B C D 四条边上整数点的个数为40．【答案】正方形2222A B C D ；是，4:3；3:1；40．课堂检测1． 已知：234x y z==．求33x y z x y -+-． 【难度】3星 【解析】设2,3,4234x y z k x k y k z k ===⇒===，代入33x y z x y -+-中得原式113- 【答案】113-2． 如图所示，乐器上的一根弦80AB cm =，两个端点A B ，固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC = cm ，DC = cm ．CD【难度】3星【解析】点C 是靠近点B 的黄金分割点，∴:AC AB，即8040AC AB ===，又∵点D 是靠近点A 的黄金分割点，∴40BD =，∴8080160DC AC BD AB =+-=-=【答案】40；1603． 如图，在ABC △中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； （2）当1134AE AC =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想． E DBACO【难度】4星 【解析】（1）当11211AE EC ==+时，22321AO AD ==+； （2）当11A 312AE C ==+时，21222AO AD ==+；当1A 4AE C =时，22532AO AD ==+． （3）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n=+， 证明方法比较多，选择两种介绍：如上右图，过点D 作//DF BE ，交AC 于点F ． ∵//DF BE ，BD CD = ∴EF CF = ∵11AE AC n =+ ∴CE nAE =，122nEF CE AE == ∵//DF BE ∴222AO AE AO OD EF n AD n==⇒=+OFCABDE另一种解法就是梅氏定理，看ADC ∆被直线BOE 所截可知1AO DB CE OD BC EA ⋅⋅=，而11AE CE nAE AC n =⇒=+，BD CD =，故22AO AD n=+． 【答案】（1）23AO AD =；（2）当1A 3AE C =时，12AO AD =；当1A 4AE C =时，25AO AD =；（3）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n =+课后作业1． 已知：a cb d=，求证：ab cd +是2222a c b d ++和的比例中项． 【难度】2星 【解析】略【答案】讲解此题时．老师可先引导学生回顾比例中项的定义：如果a cb a=，那么a 是b 、c 的比例中项．由a cad bc b d=⇒=， 而22222222222222222()2()()ab cd a b c d abcd a b c d a d b c a c b d +=++=+++=++ 故ab cd +是2222a c b d ++和的比例中项．2． 已知：b c a c a bk a b c+++===，则k = ． 【难度】2星【解析】当0a b c ++≠时，由等比性质得()22a b c b c a c a b k a b c a b c+++++++===++++；当0a b c ++=时，即b c a +=-，则1b c ak a a+-===-，综上所述，k 的值为2或1-． 【答案】2或1-3． 已知135x y z =∶∶∶∶，求33x y zx y z+--+的值．【难度】3星 【解析】解法一：设135x y zk ===，则35x k y k z k ===，，．∴39553953x y z k k k x y z k k k +-+-==--+--． 解法二：由135x y z =∶∶∶∶得35y x z x ==，．∴39553953x y z x y x x y z x x x +-+-==--+-+．【答案】53-4． 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=__ ___ __． MECBA【难度】3星【解析】先介绍常规的解法：BCFE DMA BCFED M A如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB =∴2BF EF= ∵//CF DE ∴2BC BFCD EF== 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．31 以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法：看ABC ∆为直线EM D 所截，由梅涅劳斯定理可知，1AE BD CM EB DC MA ⋅⋅= 又14AE AB =，AM CM =，故32BD BC DC CD=⇒= 上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法．【答案】25．用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（ ）①三角形的每个角都扩大10倍； ②三角形的每条边都扩大10倍；③三角形的面积扩大10倍； ④三角形的周长扩大10倍．A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③【难度】1星【解析】略【答案】①三角形的每个角不会变化，故错误；②三角形的每条边都扩大10倍，故正确③三角形的面积会扩大10倍，故错误；④三角形的周长会扩大10倍，故正确．故选C。
中考数学点对点-相似三角形问题(解析版)
∴ ，
∵EC＝ ＝ ＝3 ，
∴ ，
∴FE＝2
【对点练习】2019黑龙江省龙东地区）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为________．
2．黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
3．三角形相似的判定方法
（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。
（3）两个三角形相似的判定定理
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
（3）相似三角形周长的比等于相似比
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
例题解析与对点练习
【例题1】（2020•河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（ ）
A．四边形NPMQB．四边形NPMRC．四边形NHMQD．四边形NHMR
【答案】A
【分析】由以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC ，OM＝2 ，OD ，OB ，OA ，OR ，OQ＝2 ，OP＝2 ，OH＝3 ，ON＝2 ，由 2，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果．
比例线段与相似三角形性质
第一讲：比例线段与相似三角形性质比例的性质1．,a c ad bc b d =⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;2．a c b d b d a c =⇔=(反比定理); 3．a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)(更比定理); 4．ac a b cd b d b d ++=⇔=(合比定理); 5．a c a b c db d b d --=⇔=(分比定理); 6．a c a b c db d a bcd ++=⇔=--(合分比定理); 7．(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理)．【例1】若:2:3x y =，则下列各式不成立的是 （ ） A ． 53x y y += B ．13y x y -= C ． 123x y = D ．1314x y +=+【练习1】若:3:2a b =，:5:4b c =，则::a b c =（ ）A ．3:2:4B ．6:5:4C ．15:10:8D ．15:10:12是．【拓展】若a b c t b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、二、三象限 C ．第二、三、四象限 D ．第三、四象限C ．舞蹈社增加，溜冰社减少D ．舞蹈社增加，溜冰社不变黄金分割如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点． 设AC x =，则BC AB x =-，即有一元二次方程220x ABx AB +-=,根据公式法解得：x =，因为0x >，所以有x AB =，即0.618AC AB AB ≈， 0.382BC AB AC AB AB =-=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．A【例5】如图所示，在黄金分割矩形ABCD，AB BC ⎛= ⎝⎭中，分出一个正方形ABFE ，求FCCD ．【练习4】E 为平行四边形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且D 为AE 的黄金分割点，即AD AE =，BE 交DC 于F．已知1AB =，求CF 的长．平行线分线段成比例定理平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，AB CD EF ∥∥，则AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全，上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下，，，下下上上全全全全．当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型，“X ”字型．则AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC⇔===∥，．【例6】 如图，小明站在C 处看甲、乙两楼顶上的点A 和点E C E A ，、、三点在同一直线上，点B D 、分别在点E A 、的正下方，且D B C 、、三点在同一直线上，B C 、相距20米，D C 、相距40米，乙楼BE 高15米，则甲楼AD 的高为（小明身高忽略不计） ( ) A ．40米 B ． 20米 C ． 15米 D ． 30米【练习5】如图，在ABCD △中，DE BC ∥，4AD =，8DB =，3DE =． （1）求ADAB的值； （2）求BC 的长．F EDB ACAB C D E FF EDC B A F ECB AABCEF ABCD EEDCBA【例7】如图，在APM △的边AP 上任取两点B 和C ，过点B 作AM 的平行线交PM 于点N ，过点N 作MC 的平行线交AP 于点D ，求证：AP PB PC PD =∶∶．【练习6】如图， Rt ABC △中，90C ∠=︒，有一内接正方形DEFC ，连接AF 交DE 于G ，15AC = ，10BC =，求GE ．【练习7】如图，DE BC ∥，且DB AE =，若510AB AC ==，，求AE 的长．【例8】如图，在平行四边形ABCD 中，4AC =，6BD =，P 是BD 上的任一点，过点P 作EF AC ∥，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F ，设BP x =，EF y =，则能反映y 与x 之间关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．PNMB C DAGABC DEPEDBA PFECBA【例9】如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 分别交中位线EF 于点H 、G ，且121EG GH HF =∶∶∶∶，那么AD BC ∶等于 ．【练习8】已知线段a 、b ，求作线段x ，使22b x a=，正确的作法是（ ）A ．B ．C ．D ．【拓展】在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中线，AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：532BG GH HM =∶∶∶∶．相似三角形的性质【例10】已知，AB 是⊙O 的直径，且C 是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的B ∠（如图所示），那么下列关于A ∠与放大镜中的B ∠关系描述正确的是（ ）【练习9】如图，若ABC AED △∽△,试找出图中所有的对应角、对应边，并用式子表示．HGFE DCBA xab2b xab2bx2bbax2bbaMH G FECBAG'H'MH GFEC BAED CBA相似三角形对应边成比例【例11】三角形三边之比为357∶∶，与它相似的三角形最长边是21cm ，另两边之各是 （ ） A ．15cm B ． 18cm C ． 21cm D ． 24cm【练习10】ABC △的三边长分别为3，'''A B C △的两边长分别为1，若ABC △与'''A B C △ 相似，则'''A B C △的第三条边长 ．【拓展】已知ABC △的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要利用长度分别为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与ABC △相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm ）分别为多少？相似三角形的对应中线、高线、角平分线的比等于相似比【例12】如图ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，试证明：AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．【练习11】已知ABC △与DEF △相似且对应中线的比为2:3，则ABC △与DEF △的周长比为（ ）．【例13】如图ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，求证：AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．M 'MA 'B 'C 'C BAH 'H AB C C 'B 'A '【练习13】如果两个相似三角形对应高的比为5:4，那么这两个相似三角形的相似比为 ．【例14】如图ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．【练习14】两个相似三角形对应高之比为1:2，那么它们对应中线之比为（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4 D ．1:8相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【例15】如图1，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++．【例16】若ABC DEF △∽△，它们的面积比为41∶，则ABC DEF △∽△的相似比为（ ） A ．2:1 B ．1:2 C．4:1D ．1:4D 'D A 'B C 'C B AA 'B 'C 'CB A【例17】已知'''ABC A B C △∽△，它们的相似比是23∶，ABC △的周长为6，则'''A B C △的周长为（ ）． 【练习17】若两个相似三角形的面积之比为14∶，则它们的周长之比为（ ） A ．12∶ B ．14∶ C ．15∶ D ．116∶【例18】在ABC △和DEF △中，2AB DE =，2AC DF =，A D ∠=∠．如果ABC △的周长是16，面积是，那么DEF △的周长、面积依次是 ．【练习15】如图，已知D E 、分别是ABC △的AB AC 、边上的一点，DE BC ∥，且1:3ADE DBCE S S △四边形∶＝，那么AD AB ∶等于（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23 【拓展】如图，在ABC △中，,DE FG BC GI EF AB ∥∥∥∥．若ADE △、EFG △、GIC △的面积分别为220cm 、245cm 、280cm ，则ABC △的面积为 ．三角形相似的综合【例19】一张等腰三角形纸片，底边长15cm ，底边上的高的长为225cm ．．现沿底边依交从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ） A ．第4张 B ．第5张 C ．第6张 D ．第7张【练习16】如图所示，路边有两根电线杆AB CD 、，其中 3 AB m =， 6 CD m =，用铁丝将两杆固定，求铁丝AD 与铁丝BC 的交点M 处距离地面的高度MH ．12GIH FA BCDE第1张第2张H MAB CD EFA BCDE【拓展】 如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ． （1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； （2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想．位似位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似变换的坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -． 位似的性质：（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． （2）位似图形的对应线段的比等于相似比． （3）位似图形的周长比等于相似比．（4）位似图形的面积比等于相似比的平方．【例20】如图，下列各组图形中是位似图形的为 ( )（1） （2） （3） （4）A ．（1）（2）（3）（4）B ．（2）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（1）（2）（3） 【练习17】判断满足下列关系的AOC △与BOD △是否是位似图形，如果是，请指出位似中心． （1）如图1所示，AB CD 、相交于点O ，且,ABC ADC AD CB ∠=∠=； （2）如图2所示，AB CD 、相交于点O ，且B A ∠=∠．OABCDE图2图1ABCDOOABCDEDBACO【拓展】如图，在平面直角形坐标系中，正方形22223333A B C D A B C D 、都是由正方形1111A B C D 经过位似变换得到的，点O 是位似中心．(1)你能找出正方形1111A B C D 以O 为位似中心，相似比是2的位似图形吗？ (2)正方形4444A B C D 是正方形3333A B C D 的位似图形吗？如果是，求相似比； (3)由正方形3333A B C D 得到它的位似图形正方形1111A B C D ，求相似比；(4)我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每个正方形四条边上的整点个数．猜测：正方形1111A B C D 以O 为位似中心，相似比为10的位似图形10101010A B C D 的四条边上整点个数之和是多少？课后作业1． 已知：234x y z==．求33x y z x y -+-．2． 如图所示，乐器上的一根弦80AB cm =，两个端点A B ，固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC = cm ，DC =cm ．CD3．如图，在ABC△中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O．（1）当1A2AEC=时，求AOAD的值；（2）当1134AEAC=、时，求AOAD的值；（3）试猜想1A1AEC n=+时AOAD的值，并证明你的猜想．4、已知：a cb d=，求证：ab cd+是2222a cb d++和的比例中项．5、已知：b c a c a bka b c+++===，则k=．6、已知135x y z=∶∶∶∶，求33x y zx y z+--+的值．7、如图，在ABC△中，M是AC的中点，E是AB上一点，且14AE AB=，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则BCCD=__ ___ __．EDBACOMEDCBA8、用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（）①三角形的每个角都扩大10倍；②三角形的每条边都扩大10倍；③三角形的面积扩大10倍；④三角形的周长扩大10倍．A．①②B．①③C．②④D．②③。
初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段
初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段【基础知识精讲】一、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。
二、成比例线段：1.比例线段： 四条线段d c b a 、、、中，如果dc b a =， 那么这四条线段d c b a 、、、叫做成比例线段，简称比例线段。
2.比例中项： 如果cbb a =（或ac b =2），则b 叫做c a 、的比例中项。
三、比例的性质：1. 基本性质: 如果d cb a =，那么bc ad =. 2．更比性质：如果d c b a =，那么d bc a =.3．反比性质: 如果d c b a =，那么c da b =.4．合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+.5．分比性质：如果d c b a =，那么ddc b b a -=-.6．等比性质: 如果)0(≠+++===n d b nmd c b a ，那么b a n d b mc a =++++++ .四、黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），如果ACBCAB AC =， 那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，618.0215≈-=AB AC 。
【例题巧解点拨】例1：（1）已知 2a c a b c db d b d--==，求和（2）已知 0,0,a c a b c d a b c d b d a b c d++=-≠-≠=--，且求证：例2：已知d c b a 、、、是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.变式训练：1.若a b c 、、均为正数，a b cx b c a c a b===+++，则x 的值一定是（ ）A 、12B 、-1C 、12或-1D 、322.已知一次函数1-=kx y 中，比例系数k 满足c a bk a b b c c a===+++， 试求直线1-=kx y 与x 轴的交点坐标. 例3：若,65432+==+c b a 且2132=+-c b a ，试求c b a ::的值。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
第一讲相似三角形——比例线段
第一讲 相似三角形——相似与比例线段第一课时一．放缩与相似 1. 相似形的概念一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。
我们把形状相同的两个图形叫做相似形。
2. 相似形的特征 (1) 相似三角形的特征∠A' =∠A ; ∠B'=∠B; ∠C' =∠CBCC B AC C A AB B A 111111===K (2) 相似多边形的特征推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n 边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。
【典型例题】1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm ，那么长春到大连的实际距离为 千米。
【同类变式】2. 在地图上，都标有比例尺。
现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得∆ABC 的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际∆A'B'C'的周长是多少米？3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm ，两地的实际距离是多少？如果在该地图上A 地（正方形场地）面积是3cm 2,问该地实际面积是_________ 4. 下列说法正确的有（ ）个（1）有一个角是100o的等腰三角形相似 （2）有一个角是80o的等腰三角形相似 （3）所有的等腰直角三角形相似 （4）所有的正六边形都相似 （5）所有的矩形都相似 （6）所有的正方形都相似 A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。
【同类变式】6. E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1。
求矩形ABCD 的面积。
7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m 此时身高是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。
线段比例定理与三角形的相似性应用解析
线段比例定理与三角形的相似性应用解析线段比例定理是解决几何问题中常用的原理之一，它在求解线段的长度比例时起到了重要作用。
三角形的相似性应用则是在解决三角形问题时的关键概念，它可以帮助我们简化计算过程，得到更加准确的结果。
本文将详细介绍线段比例定理与三角形相似性应用的概念和具体解析方法。
一、线段比例定理线段比例定理是指在一个平面内，若点D在线段AB上，AD与DB 的比等于点C在线段AB上AC与CB的比，则有AD/DB = AC/CB。
这个定理通过比例的概念，帮助我们计算线段的长度比例，进而解决实际问题。
例题1：已知线段AB与线段CD的比为3:5，线段DE与线段BC 的比为4:9，求线段AE与线段AC的比。
解析：根据线段比例定理，我们可以得到AB/CD = 3/5，DE/BC = 4/9。
将两个等式相乘，得到(AB/CD)*(DE/BC) = (3/5)*(4/9)，即(AB*DE)/(CD*BC) = 12/45。
移项后可得到(AB*DE)/(AE*CD) = 12/45。
同理可以得到(AE*AC)/(CD*AC) = 3/5。
由此可得(AE*AC)/(AE*CD) = 3/5，即AC/CD = 3/5。
最终我们得到线段AE与线段AC的比为3:5。
二、三角形的相似性应用三角形的相似性应用是指在两个或更多个三角形之间存在一定的比例关系，从而可以通过已知条件求解未知量。
三角形相似性应用在实际问题中有很多应用，比如求解高空物体的高度、测量难以到达的距离等。
例题2：如图所示，∠A = ∠D，∠B = ∠E，AB/DE = 3/5，AC = 12cm，求线段DF的长度。
（图示：三角形ABC和三角形DEF重合在角A和角D上，AC为线段AB的割线）解析：根据已知条件，我们可以得到三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE = 3/5。
由线段比例定理可得AC/DF = AB/DE，即12/DF = 3/5。
通过交叉相乘避免分数相除，我们可以得到3DF = 5*12。
利用相似三角形求解线段比例
利用相似三角形求解线段比例线段比例是相似三角形的应用之一。
相似三角形具有对应角相等的特点，根据三角形的性质可以推导出线段比例关系。
在几何学中，利用相似三角形求解线段比例是一种常见的解题方法。
本文将介绍相似三角形的基本概念，并以实际题目为例，详细解答如何利用相似三角形求解线段比例。
相似三角形是指具有对应角相等的两个三角形。
两个相似三角形的对应边之间存在比例关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，记作∆ABC∼∆DEF。
根据相似三角形的定义，我们可以得出以下结论：1. 对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
利用相似三角形求解线段比例的基本思路是通过观察已知条件和待求比例之间的关系，建立相似三角形，并应用上述比例关系求解。
接下来，我们通过实际题目来演示相似三角形求解线段比例的具体过程。
【示例题目】在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的内部点，且满足AD/DB = 2, AE/EC = 3。
若线段DE与BC平行，求线段DE与BC 的比例。
解析：根据题目已知条件可以得出AD/DB = 2, AE/EC = 3，而根据线段平行的性质可知线段DE与线段BC平行。
我们可以通过构造相似三角形来求解。
首先，连接点D、E与点B、C，分别得到线段BD和CE。
根据相似三角形的性质，我们可以得出△ADE∼△ABC。
根据对应边成比例的关系，可得AD/BD = AE/EC = DE/BC。
由于已知AD/DB = 2，AE/EC = 3，我们可以将它们带入上述比例关系式中，得到2 = DE/BC= 3。
因此，线段DE与BC的比例为2:3。
通过这个例子，我们可以总结出利用相似三角形求解线段比例的一般步骤：1. 根据已知条件，确定相似三角形的构造方式。
2. 建立相似三角形的比例关系。
3. 将已知条件和待求比例带入比例关系，求解未知量。
在实际应用中，利用相似三角形求解线段比例经常出现在建筑设计、地图测量、光学模型等领域。
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教学过程
一、课堂导入
1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。
如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。
2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
你知道0.618这个比值的来历吗？
二、复习预习
1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？
2、比与比例有什么区别？
3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道项、外项的概念吗？
答案： 1、2：（—3）=—2
3
；—4：6=—
4
6
=—
2
3
；
2
—3
=
—4
6
，2，—3，—4，6四个数成
比例。
注意四个数字的书写顺序。
2、比是一个值；比例是一个等式。
3、a:b=c:d 即a
b
=
c
d
，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例项。
三、知识讲解
考点 1
比例线段
一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d
，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如d c b a ＝
是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。
a c a k
b
c k
d b d b d
++=⇒=考点2
比例的性质
1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。
bc ad d
c b a =⇔= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。
(k=1、2、3…) 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。
若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n m f e d c b a 则b
a n f d
b m e
c a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++。
4、比例中项：若c a b c a b c
b b a ,,2是则即⋅==的比例中项。
考点3
在线段AB 上，点C 把线段分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =，那么称线段AB 被点
C 分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫黄金分割比。
其中618.01:215:≈-=
AC AB 即618.0≈AB AC
A B C
四、例题精析
【例题1】
【题干】已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm。
问：这四条线段是否成比例？为什么?
【答案】这四条线段成比例
∵a=10mm=1cm
∴a
c
＝
1
2
，
d
b
＝
3
6
＝
1
2
∴a
c
＝
d
b
，即线段a、c、d、b是成比例线段。
【解析】直接利用比例线段的概念解答。
【例题2】
【题干】已知d
c c b a a
d c b a +=+=:,求证
【答案】证明:∵
d c b a = ∴c
d a b = ∴c
d c a b a +=+ ∴d
c c b a a +=+ 【解析】利用比例的合比性质证明。
【例题3】
【题干】根据下列条件，求a:b的值。
（1）2a＝3b；（2）a
5
=
b
4。
【答案】解：（1）23=b a ；（2）4
5=b a 。
【解析】比例的基本性质直接运用，其中第2小题两次运用了性质，初学时易差错，要求学生重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两项之积等于两外项之积”。
【例题4】
【题干】已知a b =c d
，判断下列比例式是否成立，并说明理由。
（1）a ＋b b =c ＋d d ；（2）a b =a ＋c b ＋d。
【答案】解：（1）成立，理由如下：
d c b a = 11+=+∴d c b a 即d
d d c b b b a +=+ d
d c b b a +=+∴ （2）成立，理由如下： 设k d
c b a ==，则dk c bk a ==, k
d b d b k d b ck bk d b c a =++=++=++∴)( d
b c a b a ++=∴ 【解析】（1）比较条件和结论的形式得到解题思路，利用等式的基本性质；
（2）采用设比值较为简单，其实质就是等比性质。
【例题5】
【题干】如图，设AB是已知的线段，在AB上作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF=EB，以线段AF为边作正方形AFGH，请说明点H就是AB的黄金分割点。
【答案】证明：设AB=2a ，那么在a a a AE AB BE BAE Rt 5)2(,2222=+=+=∆中
a AH AB BH a AE BE AF AH a BE EF )53(,)15(,5-=-=-=-==== ，
,2152)15(-=-=∴a a AB AH ,2
15)15()53(-=--=a a AH BH 因此,AH
BH AB AH =点H 是AB 的黄金分割点。
【解析】利用黄金分割点的定义证明。
五、课堂运用【基础】
1、（1）已知线段a＝30mm，b＝2cm，c＝4
5
cm，d＝12mm，试判断a、b、c、d是否成比例
线段。
（2）已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是多少？
【答案】解：（1）a 、b 、c 、d 不是成比例线段，理由如下：
∵ b ＝2cm=20mm, c ＝45
cm=8mm ∴3
2128,232030====d c b a ∴d c b a ≠ ∴a 、b 、c 、d 不是成比例线段，但是a 、b 、d 、c 成比例线段。
（2）∵a 、b 、c 、d 是比例线段 ∴4386==b a ∴4386==b a ∴4
3
24
==d b a ∴cm d 32= 即线段d 的长度是32cm 。
【解析】利用成比例线段的概念解答。
2x-3y x+y =
1
2
，求
y
x。
2、若
【答案】 解：∵2x-3y x+y =12
∴ x+y=2(2x-3y)
∴x+y=4x-6y ∴3x=7y ∴7
3 x y 【解析】根据比例的基本性质，利用方程思想解答。
【巩固】
1、若x2-3xy+2y2=0，求y
x
= 。
【答案】2
1或1 【解析】：∵x 2-3xy+2y 2=0 ∴（x-y ）（x-2y ）=0 ∴x=y 或x=2y ∴2
1 x y 或1。
根据比例的基本性质，利用方程思想解答。
2、如图，是我国省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少km？
【答案】解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离为s ，则
3519000000s =
359000000s ∴=⨯=315000000(mm)
即s ＝315(km)
量得图中28α∠=︒,我们还能确定基隆市在高雄市的北偏东28︒的315km 处。
答：基隆市在高雄市的北偏东28︒的315km 处。
【解析】利用比例尺的概念及比例线段的定义解答，要注意设实际距离为s ，求角度时要注意方位。
()
a b b c c a k a b c c a b +++===、、都是实数 1、 ，则k=（ ）
A 、2
B 、-1
C 、2或-1
D 、无法确定
【解析】当a+b+c=0时，a+b=-c ，b+c=-a,c+a=-b ，故1-=+=+=+b
c a a c b c b a ；当 a+b+c ≠0时，利用等比性质
2)(2=++++=+=+=+c
b a
c b a b c a a c b c b a ，所以k=-1或2。
2、（1）x:y:z＝2:3:4，求
x－y＋z
2x＋3y－z
的值。
（2）已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b＋4c的值。
【答案】解：（1）设x=2k,y=3k,z=4k ，则x －y ＋z 2x ＋3y －z =3
19343322432==-⨯+⨯+-k k k k k k k k ； （2）设a=3k,b=4k,c=5k ，则2a ＋3b －4c ＝2×3k+3×4k-4×5k=-2k=-1,所以k 2
1= 故2a －3b ＋4c=2×3k-3×4k+4×5k=14k=7。
【解析】利用设比的方法进行解答。
课程小结
1、理解并掌握比例线段的概念以及比例的性质；
2、比例式变形的常用方法：(1)利用等式性质；(2)设比值。
3、比例线段在实际问题中的应用，体会数学在生活中广泛的应用价值。