微分在近似计算中的应用
3.3 微分及其在近似计算中的应用
即 y 2x0 x f '( x0 ) x
x0
这个结论具有一般性
x
x
x0 x
x0 x
x0
y 设 y f ( x) 在点 x 处可导, lim 即 f ( x), x 0 x y f ( x) ( 是 x 0时的无穷小量), 因而 x y f ( x)x x ( lim 0),
例3. 用微分的不变性求下列函数的微分： x (2) y esin x (1) y ln(1 e ) ex dx (1)dy d ln(1 ex ) 1 x d(1 e x ) 解： x 1 e 1 e sin x (2)dy d(e ) esin x d(sin x) cos x esin xdx 例4 在等式左端的()中填入适当的函数,使等式成立
1 (2)d(ln(1 x) C ) 1 x 1 (4)d( dx x C ) 2 x (6)d(sin 2 x) ( 2sin x )dsin x
小结
微分的定义及其求法
作业
P25 6（3）（4）
P27 10、11
ln 0.99 ln[1 (0.01)] 0.01
练习 在下列括号内填入适当的函数,使等式成立
(1)d(
2x C ) 2dx
1 1 C ) 2 dx (3)d( x x e2 x (5)d( ) e 2 xdx C 2 1 (7) dx ( 1 )d(arctan2 x) 1 4 x 2 2
dx
(2 x tan x x sec x)dx
2 2
练 1、 求函数 y x 2 1在 x 1, x 0.1时的改变量与微分.
解： y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.1) f (1)
微分及其在近似计算中的应用
x0 x
x0
按微分的定义 , 知 f ( x)在x0处可微.
这表明:函数 f ( x) 在点 x0可导 , 则函数在点 x0必可微.
由此可见 ,函数 f ( x) 在点 x0处可导与可微是等价的.
由上面推导可以看出 A f ( x0 ) 所以函数 f ( x) 在 x0 处的微分 dy xx0 f ( x0 ) x ………………………… (1) 由 (1) 式可知，自变量微分 dx x x x 所以函数 f ( x) 在 x0 处微分 , 又可写成
当边长从x0变到x0 x时，面积A有相应的改变量 A （x0 x）2 x02 2x0x (x)2
这个 A 2x0x (x)2 由两部分组成 第一部分 : 2x0 x 是 x 的线性函数 第二部分 :(x)2是比 x 高阶的无穷小 (当x 0时)
NT MN tanq f ( x0 ) . x dy
即 dy NT
y
于是 , 函数 y f ( x) 在点 x0 处的
微分就是曲线 y f ( x)在点M ( x0 , y0 )
处的切线MT, 当横坐标由 x0 变到 x0 x时, 其对应的纵坐标
q
o
的改变量.
P
T
M N
x 0 x0
x
x
二、微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式 dy f ( x)dx
d(C) 0
d( x ) x 1 dx
d(a x ) a x lna dx 1
d(log a x) x ln a dx d(sin x) cos x dx
d(tan x) sec2 x dx d(sec x) sec x tan x dx
微分和其在近似计算中的应用
六、微分形式旳不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量 t 的可
微函数 x (t), 则
(t)dt dx,
dy f ( x)dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数 y f ( x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部(.微分旳实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
( x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
函数旳变化率问题
导数旳概念
函数旳增量问题
微分旳概念
求导数与微分旳措施,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用旳科学,叫 做微分学.
★ 导数与微分旳联络: 可导 可微.
★ 导数与微分旳区别:
1. 函数 f ( x) 在点x0处的导数是一个定数 f ( x0 ),
而微分 dy f ( x0 )( x x0 ) 是x的线性函数, 它的
该函数的导数. 导数也叫"微商".
四、微分旳几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量 .
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
高等数学 第八章 第3节 全微分及其应用(中央财经大学)
第三节 全微分及其应用一、全微分二、全微分在近似计算中的应用d d tan xy=α沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量z x∆多元函数的全增量运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:z ∆α+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.应该是一个无穷小量α二元函数全微分的定义全微分概念的极限形式函数在区域上的可微性如果函数)f在区域Ω中的(X每一点均可微, 则称函数在区域Ω上可微 .可微连续可导连续：0lim 00=∆→∆→∆z y x 可微：+∆=∆x a z +∆y b )o(22y x ∆+∆什么?可微连续可导可微连续可导可微连续可导逆命题?可 微连续可导连 续可 导连续可导Okf,0(),(≠y xf二、全微分在近似计算中的应用例5 计算的近似值. 解.),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f yy =,2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.08.1=谢谢大家！。
(2021年整理)高等数学2-8微分在近似计算中的应用
高等数学2-8微分在近似计算中的应用的全部内容。
内容提要计算函数增量的近似值计算函数的近似值
误差估计
重点
分析
计算函数的近似值
(完整版)高等数学2-8微分在近似计算中的应用
编辑整理:张嬗雒老师
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章节题目。
函数的微分在近似计算中的应用
函数的微分在近似计算中的应用函数的微分在近似计算中有着非常重要的应用。
通过对函数进行微分，我们可以获得函数在其中一点的局部线性近似，从而可以用这个近似来进行计算。
这种方法有着广泛的应用，比如在工程、计算机科学、物理学等领域中经常会用到。
首先，函数的微分在近似计算中可以用来求解函数在其中一点的近似值。
通过对函数进行微分，我们可以得到函数在该点的切线，切线方程可以用来计算函数在该点附近的近似值。
这个方法可以用来解决很多实际问题，比如在物理学中，可以用来计算物体在其中一点的速度，加速度等。
其次，函数的微分在数值计算和优化问题中也有着广泛的应用。
在数值计算中，常常需要对函数进行数值积分或求解方程。
通过利用函数的微分，可以将这些计算问题转化为求解微分方程或微分方程组的问题，从而简化计算过程。
在优化问题中，函数的微分可以用来找到函数的最小值或最大值的位置。
通过求解函数的导数为零的方程，可以找到函数的极值点，从而解决优化问题。
此外，函数的微分在图像处理和计算机图形学中也有着重要的应用。
在图像处理中，常常需要对图像进行平滑、边缘检测等操作。
通过利用函数的微分，可以设计出滤波器等算法来实现这些操作。
在计算机图形学中，常常需要对曲面进行光线跟踪、着色等计算。
通过利用函数的微分，可以计算曲面在其中一点的法向量，从而进行光线跟踪等计算。
此外，函数的微分还在机器学习和数据分析中有着重要的应用。
在机器学习中，常常需要对损失函数进行最小化。
通过利用函数的微分，可以找到损失函数的最小值，从而进行模型学习。
在数据分析中，常常需要对数据进行拟合、回归等操作。
通过利用函数的微分，可以对模型进行参数估计，从而进行数据分析。
最后，需要指出的是，函数的微分在实际应用中并不是一种绝对准确的近似方法，因为近似值的精度取决于所选择的近似点。
如果近似点选得不好，那么近似值的误差就会较大。
因此，在应用函数的微分进行近似计算时，需要选择合适的近似点，并根据具体问题进行误差分析和合理的精度控制。
函数的微分及其在近似计算中的应用
3、问题：函数可微的条件是什么？ A = ? 问题：函数可微的条件是什么？ 可微, 则有(1)成立 成立， 设函数 y = f (x) 在点 x0 可微 则有 成立，即
∆y = A∆x + o(∆x)
等式两端除以 ∆x , 得
o( ∆ x ) ∆y = A+ . ∆x ∆x
于是, 于是 当 ∆x → 0时, 由上式就得到 o(∆x ) ∆y = lim A + lim = A. f ′( x 0 ) = ∆ x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x 可微， 因此, 因此 如果函数 f (x) 在点 x 0 可微，则 f (x)在点 x 0也一定可导 且 也一定可导,
函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 函数在任意点的微分 称为函数的微分 记作 dy 或 df ( x ), 即 称为函数的微分 dy = f ′( x ) ∆ x . 如函数 y = cos x 的微分为
dy = (cos x )' ∆ x = − sin x ∆ x 显然， 显然，函数的微分 dy = f ′( x )∆x 与 x 和 ∆x 有关。 有关。
′
1 d (log a x ) = dx, x ln a 1 d (ln x ) = dx , x 1 d (arcsinx) = dx, 2 1− x 1 d (arccosx) = − dx, 1 − x2 1 d (arctanx) = dx, 2 1+ x
1 (arccot x) = − 2 . 1+ x
dy = ( x 3 )′∆x = 3 x 2 ∆x.
再求函数当 x = 2 , ∆ x = 0 . 02 时的微分
dy
x =2 ∆x =0.02
微分在近似计算中的应用教案
微分在近似计算中的应用教学目的：1、理解微分的几何意义2、掌握微分在近似计算的应用3、掌握微分在误差估算的应用教学重点：1、微分在近似计算的应用2、微分在误差估算的应用教学难点：1、微分在近似计算的应用2、微分在误差估算的应用教学过程：1、回顾函数微分内容，微分的概念，定义，以及微分的运算2、导入新课3、讲授新课（1）1、理解微分的几何意义（2）微分在近似计算的应用（3）微分在误差估算的应用4、例题分析5、课堂小结6、布置作业微分在近似计算中的应用在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算是很费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替。
1．函数增量的近似计算如果()y f x =在0x 点可微,则函数的增量 0()()()y f x x o x dy o x '∆=∆+∆=+∆, 当||x ∆很小时,有 0()y f x x '∆≈∆例1 半径10厘米的金属原片加热后半径伸长了0.05厘米，问面积增大了多少？ 解：设2A r π=，10r =厘米，0.05r ∆=厘米，则22100.05A dA r r πππ∆≈=⋅∆=⨯⨯=（2厘米）例2 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0.01cm ，估计一下每只球需用铜多少g (铜的密度是8.9g/cm 3)?解: 先求出镀层的体积，再求相应的质量。
因为镀层的体积等于两个球体体积之差V ∆，所以它就是球体体积343V R π= 当R 自0R 取得增量R ∆时的增量，我们求V 对R 的导数:003204()4,3R R R R V R R ππ==''==204.V R R π∆≈⋅∆ 将0 1, 0.01 R R =∆=带入上式，得 234 3.1410.010.13().V cm ∆≈⨯⨯⨯= 于是镀每只球需用的铜约为0.138.9 1.16().g ⨯=2．函数值的近似计算由00()()y f x x f x ∆=+∆-，00()()dy f x dx f x x ''==∆，y dy ∆≈得000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆,令0x x x =+∆, 有000()()()()f x f x f x x x '≈+-（用导数作近似计算公式）. 若00x =，则 ()(0)(0).f x f f x '≈+说明：（1）要计算()f x 在x 点的数值，直接计算()f x 比较困难，而在x 点附近一点0x 处的函数值0()f x 和它的导数0()f x '却都比较容易求出,于是可以利用000()()()f x f x x x '+-作为()f x 的近似值, x 与0x 越接近越精确。
微分在近似计算中的应用
微分在近似计算中的应用微分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
其中，微分的近似计算在实际问题的求解中具有重要意义。
本文将从近似计算的思想、微分的近似计算方法以及应用实例三个方面，对微分在近似计算中的应用进行详细阐述。
一、近似计算的思想在实际问题中，我们往往需要求解一些复杂的函数或方程。
这些函数或方程可能没有解析解，或者解析解十分复杂难以计算。
此时，我们可以考虑利用微分的近似计算方法，通过对原函数进行适当的近似，得到问题的近似解。
近似计算的思想是基于函数的局部性质，即在一个小区间内，函数的变化是平滑且连续的。
我们可以选择一个足够小的区间，然后利用函数在该区间上的局部性质来近似整个函数的行为。
这种思想也体现了微分的基本概念，即通过函数的导数来描述函数变化的速率。
二、微分的近似计算方法微分的近似计算方法主要有以下两种：1.泰勒展开法泰勒展开法是一种基于泰勒公式的近似计算方法。
对于一个光滑的函数f(x)，其在其中一点a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数。
当我们取展开式的前几项作为近似，可以得到：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)这也是函数f(x)在点a处的线性近似。
通过泰勒展开法，我们可以利用函数在其中一点的导数来近似整个函数的行为。
2.有限差分法有限差分法是一种基于函数的导数定义进行近似的方法。
对于一个函数f(x)，其在其中一点x处的导数定义为：f'(x) = lim[h->0] (f(x+h) - f(x))/h为了近似函数f(x)在其中一点的导数，我们可以选择一个足够小的步长h，然后计算f(x+h)和f(x)之间的差别，再除以步长h，得到近似的导数值。
微分在近似计算中的应用-淮南职业技术学院基础部
例1 计算 arctan1.05 的近似值 .
解 设 f (x) = arctan x , 所以 f (x ) =(arctan x)=1/(1+x2)
设 x0=1, x=0.05 ，所以 f (1 ) =arctan 1= /4
由 得
f (1 ) =1/(1+12) = 1/2
f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x f (1.05 ) ≈f (1)+ f (1)· 0.05
微分在近计算中的应用
淮南职业技术学院
什么是瞬时速度？
怎样计算函 数值呢？ 计算近似值也 是需要的。
切线方程： y=f (x0)+f (x0)(x-x0)
y = f(x) y0
x0
微分在近似计算中的应用 !
y0
y = f(x)
x0 若函数y = f ( x ) 在 x0 点处可微，则 y = f (x0+x)-f (x0)=f (x0)· x+o(x) 当 |x| << 1 时， y = f (x0+x)-f (x0) ≈f (x0)· x 所以得近似公式 y ≈ f (x0)· x f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x
所以 sinx ≈sin0+ cos0 · x=x
所以 ln(1+x ) ≈x
由于 (ln(1+ x)) = 1/(1+x) 由于 (e x) =e x
所以 e x ≈ x
总结
1.微分的近似计算的方法就是利用函数曲线 在某点的附近的近似直线（切线）来计算函 数近似值的方法
2.如果函数在某点函数值及其导数值容易计 算时，就可以利用微分近似计算公式来计算 函数在该点附近的近似值
高等数学2. 7 微分在近似计算中的应用
一、近似公式 公式f (x0Dx)f (x0)f (x0)Dx的应用 公式f (x0Dx)f (x0)f (x0)Dx的应用 公式f (x)f (0)f (0)x的应用 二、误差估计 绝对误差与相对误差 绝对误差限与相对误差限
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例 3．计算 1.05 的近似值。
1 解：已知 1 x 1 x ，故 n 1 1.05 1 0.05 1 0.05 1.025 。 2
n
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误差与相对误差： 如果某个量的精确值为A，其近似值为a，那么|Aa| 叫做a的绝对误差。 | Aa | 绝对误差|Aa|与|a|的比值 叫做 a 的相对误差。 |a| 例如，如果精确值A100，测量值a99，则a的绝对 误差为|Aa|=1，a的相对误差约为0. 01。
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结束
1. 利用f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx求函数增量的近似值 例1．有一批半径为 1cm 的球，为了提高球面的光 洁度，要镀上一层铜，厚度定为0. 01cm．估计一下每只 球需用铜多少g(铜的密度是8. 9g/cm 3)?
解：已知R01cm，DR0. 01cm。 4 3 球体体积为V R ，镀层的体积为 3 DVV(R0DR)V(R0) V (R0)DR4R02DR 43.14120.010.13(cm3)。 于是镀每只球需用的铜约为 0.138.91.16(g)。
sin
6
cos
6
360
即
1 3 0.5076 。 2 2 360 sin 30300. 5076。
微分的运算法则_微分在近似计算中的应用
1 0.02 3
y dy
1 1.02 1 0.02 （3）套y dy 3
3
1.02 1.0067
练习
插入视频中间
运用微分计算 9998 的近似值可得，9998 99.99.
A. √
B. ×
参考答案：A
第五节 小结
一.函数的微分
微分的定义、公式、几何意义
我们发现 y = f (u) , 当 u 为中间变量 时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形 式相同 , 均为 dy = f (u) du , 这种性质称为 函数的微分形式不变性 .
例1
已知函数y ln(2 x )，求dy.
方法一
3
解
利用dy ydx可得 :
3
3 dy ln(2 x ) dx 3 (2 x ) 3 6 x dx dx x 2x 2x
所以, 球的体积增量大约为62.8 厘米。
立方
例3
求3 1.02的近似值
解
y
3
x
x 0.02
（1）设函数
x0 1
y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.02) f (1) （2）算y与dy
3 1.02 3 1
dy
1 1 2 3 yx 3 x x 3 2 x 3 x
二.微分的运算法则
1.微分基本公式
导数的基本公式
1 (x ) x
微分的基本公式
dx x 1dx
da x a x ln adx
1 d loga x dx x ln a
(a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a
2.5函数的微分及其在近似计算中的应用
2.5 函数微分及其在近似计算中的应用
例2.5.10 要在一个半径为10cm的球的外侧, 镀上一层厚度为0.1cm的铜， 估计要用多少克铜 ?(已知铜的密度为8.9( g / cm3 ), 取 3.14).
解 设球半径为R，体积为V
4 3 则球体的体积函数为 V R ,V 4R 2 , 3
(6) arcsin x x (7) arctan x x
2.5 函数微分及其在近似计算中的应用
证：
n
1 1 x 1 x n
1 n n
1 n (1)设f ( x) 1 x ，则f ( x) (1 x) n
1 n n (1 x)
n 1
,
f (0) 1 0 1, f (0)
(1) d (C ) 0(C为常数 ； )
(2)d ( xu ) uxu 1 dx;
1 (5)d (loga x) dx; x ln a (8)d (cos x) sin x dx;
(4)d (e ) e dx;
x
x
(3)d (a x ) a x ln a dx; 1 (6)d (ln x) dx; x (9)d (tan x) sec 2 dx;
1 1 x
2
dx; (14)d (arccos x)
dx;
1 (15)d (arctan x) dx; 2 1 x
1 (16)d (arc cot x) dx. 2 1 x
2.5 函数微分及其在近似计算中的应用
2.微分的四则运算法则 设u和v都是x的可微函数, 则
(2) cos t dt
1
高职高专模具设计与制造专业《高等数学》课程之“微分在近似计算中的应用”的教学设计
离职高毫模 具设计与制造董 业《 高等数学》 课 程 之“ 微分在近似计算 巾响应用’ ’ 硇教学 设计
襄 阳职 业技 术 学院 郑 晓珍
［ 摘 要］ 近似 计算是科技工作 中经常遇 到的 问题 ， 用什 么公 式作近似计算？近似公 式应 该满足有“ 足够好 的精确度 ” 和“ 容 易计 算”
科 技 信息
溶液。记录刚刚产生浑浊时电解质溶液的滴 数， 并列于表 ６ 中。
表６
溶胶ｌ Ｏ ｍ Ｌ 。然后用滴 管分 别滴人表 中所列各 种电解质溶液 ５ 滴， 充分 振荡后静置约 ｌ Ｏ 至ｌ ５ 分钟。 比较沉淀的多少 ， 并列 于表 ８ 中。
表８
自制 Ｆ ｅ （ Ｏ Ｈ） ， 溶 胶
０ ． ２ ｍ ｏ ｌ ／ Ｌ ０ ． ６ ｍ ｏ ｌ ／ Ｌ
５ Ｄ ５ Ｄ
多 较 多
自制 Ｆ ｅ （ Ｏ Ｈ） ， 溶 胶
四、 结 论
电解 质
Ｎａ Ｃ１
电解质溶液浓度 浑浊时所 用电解 质溶液 的量 （ 滴）
０ ． ２ ｏｏ ｔ ｌ ／ Ｌ ８ Ｄ
Ｎａ ２ Ｓ Ｏ４
０ ． ５ ４ ｍｏ ｌ ／ Ｌ
在 ３个清洁 、 干燥 的 ５ ０ ｍＬ 锥形瓶内 ， 用移液管各加入 ｌ Ｏ ｍ Ｌ Ｆ ｅ （ Ｏ Ｈ ） ， 溶胶 。然后用滴 管分别滴人表 中所列各种 电解 质溶液 ， 每加 入一滴要 充分 振荡 ， 至少 一分钟 内溶 胶不会 出现浑 浊才可 以加入第二 滴 电解质 溶液 。记 录刚刚产生 浑浊 时电解质 的溶液 的滴数 ， 并列于表 ７中。 ３、 增大 Ｎａ Ｐ Ｏ 的浓度后加相 同量试剂静置后 比较沉淀量的多少 在 ３ 个 清洁 、 干燥 的５ ０ ｍＬ锥形瓶 内， 用移液管各加 入 自制 Ｆ ｅ （ Ｏ Ｈ）
微分在近似计算中的应用的研究性报告
微分在近似计算中的应用的研究性报告
近年来，随着人工智能技术的飞速发展，微分在近似计算中的应用将带来许多
先进的计算能力及独特的工程技术应用。
微小的变化是微分中常用的定义，而近似计算则是对某一阶段变化的快速评估，因此，将微分应用于近似计算中可以实现更加精确快捷的计算能力，它可以把枯燥的、复杂的数学模型微分化，从而有效地将复杂的问题简化。
微分在近似计算中的应用可以体现在许多领域，比如软件安全、计算财务等，
如果能够准确地估算出变化率，则可以更好地了解软件使用的正确性、正确性以及计算财务变化趋势等。
另外，微分也用于通信领域，如果了解软件等应用的网络数据量和网络数据量
的变化趋势，则可以更好地提升软件等应用在重要业务场景中的安全性。
同样，微分还可以用于风险控制、物流和供应链管理等领域，从而更好地了解业务环境的变化趋势和应对措施。
综上所述，微分在近似计算中应用效果显著，可以有效将复杂的问题简化，使
得我们简单、快速、准确地评估出变化率并正确决策，从而在不同领域取得良好的应用效果。
微分在近似计算中的应用
§2.8 微分在近似计算中的应用
一.利用微分进行近似计算
例1：半径为10厘米的金属圆片,加热后半径增大了0.05厘米,问这时圆片面积增大了多少?
例2：求的近似值.
例3：证明当|x|<<1时,有近似公式
二.利用微分估计误差
利用公式(1)可解决测量问题中的估计误差问题,在测量问题中,有些量的大小由直接测量得出,叫直接测量数据{如球体的直径}.但有些量的大小不能或不易测量{如球的表面积、体积等}。
必须通过另一些量的直接测量再用一些数字运行来求得，直接测量有误差{取决于量具的精确度}，利用这些数据来计算间接测量数据，则带来误差，称为间接测量误差，利用{1}能确定误差的关系。
1.绝对误差与相对误差
若某个量的精确值为A，它的近似值为a，那么|A-a|叫a的绝对误差，而绝对误差与|a|的比值叫a 的相对误差。
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由于实际工作中，某个量的精确值往往无法知道，于是绝对及相对误差无法求得，但由仪器的精度等原因，有时能确定误差在某一范围内。
2.误差估计方法
假若两个变量x,y，由函数y=f(x)联系，并假设x 可由测量得到，而y由y=f(x)得到，由于x有测量误差|△x|，因此按y=f(x)计算y时也有计算误差|△y|，如何由|△x|来估计|△y|:
例1 若度量圆的半径r时绝对误差限为0.1厘米，测得的r值为21.5厘米,问圆面积的计算值时误差是多少?
例2 设从一批具有均匀密度的钢球中,要把所有直径等于1厘米的挑出来.如果挑出来的球在直径上容许有3%的相对误差,并且挑选方法是以重量为根据,那么在挑选时容许球的重量有多大的相对误差?
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微分及其在近似计算中的应用课件
所以 dy x 1 2 ×1×0.1 0.2 x 0.1
下面给出微分的几何意义:
函数 y f ( x) 的图形是一曲线 , 当自变量 x 由 x0 变到 x0 x 时 , 曲线上的对应点 M ( x0 , y0 ) 变到 P( x0 x, y0 y) , 从图可知 MN x , NP y 过点 M 作切线 MT , 它的倾角为 q , 则
这个 A 2x0x (x)2 由两部分组成 第一部分 : 2x0 x 是 x 的线性函数 第二部分 :(x)2是比 x 高阶的无穷小 (当x 0时)
所以当 |x| 很小时 , 可以略去 (x)2 ,仅用第一部分
x的线性函数 2x0 x作为 A的近似值 ,
即 A 2x0x
x0
由此 , 我们引进微分概念
cot
x)
1
1 x2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
d u v
vdu udv v2
(v 0)
只对 d(uv) vdu udv 证明。 dy f ( x)dx
d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
……公式（2）
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) , 注意：| x x0 | 很小.
若取 x0 0 则有
f ( x) f (0) f (0) x ……………公式（3）
注意：| x | 很小.
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
dy xx0 f ( x0 )dx …………………………(2) 这是函数微分的常见写法.
微分在近似计算中的应用
所以 sinx ≈sin0+ cos0 · x=x
所以 ln(1+x ) ≈x
由于 (ln(1+ x)) = 1/(1+x) 由于 (e x) =e x
所以 e x ≈ x
总结
1.微分的近似计算的方法就是利用函数曲线 在某点的附近的近似直线（切线）来计算函 数近似值的方法
2.如果函数在某点函数值及其导数值容易计 算时，就可以利用微分近似计算公式来计算 函数在该点附 .
解 设 f (x) = arctan x , 所以 f (x ) =(arctan x)=1/(1+x2)
设 x0=1, x=0.05 ，所以 f (1 ) =arctan 1= /4
由 得
f (1 ) =1/(1+12) = 1/2
f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x f (1.05 ) ≈f (1)+ f (1)· 0.05
4
0.025
当 |x| << 1 时， 由近似公式 f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x
即当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
f (x ) ≈f (0)+ f (0)· x 如当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
由于 (sin x) =cos x
微分在近似计算中的应用
淮南职业技术学院
什么是瞬时速度？
怎样计算函 数值呢？ 计算近似值也 是需要的。
切线方程： y=f (x0)+f (x0)(x-x0)
y = f(x) y0
x0
微分在近似计算中的应用 !
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3
举例
例1 有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度， 要镀上一层铜，厚度定为0.01cm。估计一下每只球需要 用铜多少克（铜的密度是 8.9g cm3 )?
例2 利用微分计算 sin 3030 的近似。 例3 计算 1.05 的近似。
4
误差的类型
1、间接测量误差：由于测量仪器的精度、测量条件和 测量方法等各种因素的影响，测得的数据往往有误差，而根 据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它 叫做间接测量误差。
称
A
为测量A的相对误差限。
注：1、在实际工作中，精确值往往无法知道，但可以 确定其测量的精度等因素引起的误差的范围，即误差限。
2、今后，有时，绝对误差限也常叫做绝对误差；
相对误差限也常叫做相对误差。
6
误差举例
例1 设测得园钢截面的直径D=60.03mm， 测量D的
绝对误差限， D 0.05mm, 试估计面积误差。
2、绝对误差：如果某一个量的精确度为A，它的近似
值为, 那么 A 叫做 的绝对误差。 3、相对误差：如果 的绝对误差为 A , 那么，
A
, 就叫做 的相对误差。
5
4、绝对误差限：若 A A, 则称 A 为
测量A的绝对误差限。（ 为测量A时的近似值。）
5、相对误差限：若 A 为测量A 的绝对误差限，则
一种方法）
2
由 y dy 得：
f x f x0 f x0 x x0 f x f x0 f x0 x x0
f x f 0 f 0x f x f 0 f 0x
(1)
n
1
x
1
1 n
x
(2) sin x x
(3) tan x x (4) ex 1 x
(5) ln(1 x) x
解：误差可看作增量，由 A D2 A dA AD
4AdA来自A D2
DD
即 A 的绝对误差限约为
A
2
DD
2
60.03 0.05
4.715
mm2
A 的相对误差限约为
A
A
2
D
D
D2
0.17%
7
4
2-8 微分在近似计算中的应用
近似计算的原理 近似计算的举例 误差的类型
误差的例
1
近似计算原理
设 y f x 可微，且在 x0 有 f x0 0, 在 x 很小时, 这时
dy 近似于y 的相对误差也很小，即 y dy 由 y dy 得：
f x f x0 f x0 x x0 f x f x0 f x0 x x0 即可微函数 f x 可近似表示为 x 的线性形式。（线性化的