计算方法复习重点2资料

a11
A
a22
0
a21
0
0 a12 a13
0 a23
a31
a32
0
0
ann
an1
an2
ann1 0
a1n
a2n
an1n
0
即称为雅可比迭代法。
当M取对角矩阵D和下三角矩阵L之差：
a11
A
a22
0
a21
0
0 a12 a13
0 a23
a31
a32
0
0
ann
an1
k
1的较好近似
(Auk ,uk ) (uk ,uk )
1
O
2 1
2k
.
反幂法：和幂法相似可以求最小特征值及其
特征向量
A--> A-1
对应特征值 1 1 1 1 ,
1 2
n1 n
• 二：QR算法
可以求非奇异矩阵的全部特征值。 上海森森伯格矩阵可以通过正交变换得到。
a111
* a22
雅克比收敛： 充要条件A，2D-A正定； Guass收敛： 成分条件，A正定。
超松弛迭代：（0< <2）
x(k1) i
(1 )xi(k)
aii
(bi
i 1
a x(k 1) ij j
j 1
n
aij
x
(k j
)
)
j i 1
的程度，=1时即Gauss。
收敛条件:P196-197
收敛速度问题： P187
1 2
u
2 2
(
x1).
豪斯霍尔德将矩阵变换为上海森伯格矩阵：
1. 已知一个A矩阵，可以把它看成一下形式：
a11 a12
A1
A
a21
a22
an1
an 2
a1n
a2n ann
ac111
A(1) 12
A(1) 22
,
c1 (a21, a31, , an1)T .
* *
2 a33
* * *
an1,n1
n1
*
*
* .
*
ann
豪斯霍尔德变换：
H阵对称正交。
H
( u)
I
2
uuT
u
2 2
.
定理(约化定理) 设x (x1, x2,, xn )T 0，e1 (1,0,,0)T ,
则总存在初等反射阵H
I
1
uuT ,
使得Hx
σe1，
uxsgn(ex11)x(x21, , x2,, xn )T ,
|| Gk || 0
（1）| | 1 （2）|| G || 1 ，因为 | ||| G ||
Ax b如何转化为 x Gx d ？
-----> A=M+N -----> M x = N x + b, M分裂矩阵，选不同的M即 可构造出不同的G M 1N , d M 1b
M选对角矩阵D：
an2
ann1 0
a1n
a2n
an1n
0
称为高斯-塞德尔迭代法
Jacobi 和Gauss-Seidel的计算：
Jacobi：
x ( k 1) i
1 aii
(bi
n
aij
x
(k j
)
)
j 1
Gauss-Seidel： ji
i 1,2,n
x(k1) i
1 aii
(bi
i 1
a x(k 1) ij j
lim ek 1
e k
p k
c则称序列 xk 是 p 阶收敛的
计算方法：
(x* ) (x* ) ( p1) (x* ) 0, ( p) (x* ) 0
则为p阶收敛。（泰勒展开式）
` y
y=f(x) Pk
• 迭代法一：牛顿法
Pk+1
迭代函数（无重根）：
Pk+2
(x) x f (x)
x k 1
弦截法迭代方程：
xk
f
(
xk
f )
(xk f
) (
xk
1
)
(
xk
xk1 )
弦截法收敛阶数p=1.618
抛物线法迭代方程：P329 抛物线法收敛阶数p=1.840
第8章 矩阵特征值问题计算
• 一：幂法、反幂法：
（1）A含有n个线性无关的特征向量
（2）A的最大特征值为实根，满足 1 2 n
f (x)
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x* xk+2 xk+1
xk x
(x* ) f (x* ) f (x* ) 0 二次收敛。 f ( x* ) 2
有m重根：
知道重根数： ( x)
xm
f (x) f (x)
不知道重根数：
(
x)
x
[
f
(
f (x) x)]2
f f
(x) (x) f
( x)
• 迭代法二：弦截法和抛物线法
区间[a.b]收敛的唯一性和存在性：
存在性：对所有的x∈[a，b] 有 (x) ∈[a，b] 唯一性：存在 0 < L< 1 ,使所有的x∈[a，b]有 (x) ≤ L
我们讨论的一般都是局部收敛的问题。即已经确定解 x* 在 某一邻域内。
收敛阶问题：反应了收敛的速度
迭代误差 ek x* xk
措施：规范化，从v0开始对每次迭代结果 vi 进行处理
uk
vk max(vk )
Ak v0 max(Ak v0 )
结论：
lim
k
u
k
x1 max( x1)
lim
k
max{vk
}
1
收敛速度的加快：
（1）原点平移：扩大 r 2 大小；
B
1
A pI.
p*
2
n
2
.
（2）应用幂法后，
u
的瑞利商会给出
j 1
n
aij
x
(k j
)
)
j i 1
区别在于计算
x(k 1) i
时充分利用最新的迭代值，即
x1( k
1)
,
x 2( k
1)
,,
x (k 1) i 1
代替
x1(k
)
,
x 2( k
)
,,
x(k) i 1
Jacobi 和Gauss-Seidel收敛性：
|| Gk || 0
Ax=b：
（1）A为严格对角占优矩阵。都收敛 （2）A弱对角占优矩阵，且不可约矩阵。都收敛 （3）A对称正定时：
第七章 非线性方程与方程组的数 值解法
求解非线性方程f(x)=0： （1）二分法：
计算k次后的误差（b-a）/ 2k1 简单，收敛慢，一半用于求根得到一个较好 的近似值
（2）迭代法：f(x)=0 转化为 x (x)
xk1 (xk ) (k 0,1,2,)
迭代函数 ( x) 构造多样，收敛性同样重要。
幂法思想：vk Avk1 ..... Ak v0
vk
Avk 1
1k
a1x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn
.
结论：
lim
k
vk
1k
a1x1
lim (vk )i k (vk 1)i
1（第i个分量）
幂法存在的问题：
（1）收敛速度取决于 r 2 1
（2）1 大于1或者小于1，迭代后会使值趋于无穷大和无穷小
第六章 解线性方程组的迭代法
A Rnn 非奇异，b Rn 。线性方程组Ax b 可
以转化为 x Gx d 。可以利用迭代法求 解线性方程组。
选定初始向量 x(0) x1(0) , x2(0) ,, xn(0) T
x(k 1) Gx (k ) d (k 0,1,)
使用迭代法收敛条件：