材料力学静不定结构

材料力学 化简得:
第十四章
a C
静不定结构
B
X1 X2 X3
8aX 1 3aX 2 9 X 3 qa
2 2
12aX 1 8aX 2 12 X 3 3qa
q
A
a
12aX 1 8aX 2 12 X 3 3qa 2
求出:
qa X1 16
P22
7qa X2 16
第十四章
静不定结构
P8
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材料力学
第十四章
静不定结构
四、超静定次数的判定
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差 即为结构的超静定次数； （2）内力超静定次数的判定:一个平面封闭框架为三次内力 超静定;平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数减去二倍 的节点数.
P23
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材料力学
4 5 3 6 2 1
第十四章 1 1
静不定结构
F
3
4 5 1 6 2
(c)
(d)
移;11表示切口两侧截面因单位力而引起的沿X1方向的相对位移 （图d）.
1F表示杆4切口两侧截面因载荷而引起的沿X1方向的相对位
力法正则方程 δ11 X 1 1 F 0
P26
/4 A /4
F
/4 A
Fa 2 2
B
(e)
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a
a
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第十四章
静不定结构
EI E1I1 对 称 轴 E1I1 E1I1
EI 对 称 轴 E1I1 E1I1
EI 对 称 轴 E1I1
当对称结构受力也对称于结构对称轴,则此结构将产生对称 变形; 若外力反对称于结构对称轴,则结构将产生反对称变形.
P3
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第十四章
静不定结构
二、静不定问题分类 （Classification for statically indeterminate）
第一类:仅在结构外部存在多余约束,即支反力是静不定的,
可称为外力静不定系统;
第二类:仅在结构内部存在多余约束,即内力是静不定的,可称
A
3 qa 7
q
4 qa 7
3 2 qa B 28 1 qa 28
1 qa 28
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静不定结构
例题5 求解静不定结构刚架,设两杆的EI 相等.
a C B C
a B
X1 X2 X3
q
A
a
q
A
a
P17
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第十四章
静不定结构
辅助支撑
跟 刀 架
顶 尖
在铣床上洗削工件时，为 防止工件的移动并减小其变形 和振动，需要增加辅助支撑， 虎钳和辅助支撑构成系统
P7
用车床加工细长轴时，经常 采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以 减少其变形。卡盘和辅助支撑 构成超静定系统。
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qa 2 X3 48
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静不定结构
例题6 计算图（a）中所示桁架各杆的内力. 设各杆的材料相同, 横截面面积相等. X1 X1 F 4 F 4
5 3
6 2 1 a 5
3
6 2
1
(a)
a
(b)
解：桁架内部有一个多余约束,所以各杆的内力确是超静定 的. 以杆件4为多余约束,假想的把它切开,并代之以多余约束力X1, 得到图（b）所示的相当系统.
一、静不定结构（Statically indeterminate structure）
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构,统称 为静不定结构或系统（statically indeterminate structure）,也称 为超静定结构或系统. 在静不定结构中,超过维持静力学平衡所必须的约束称为多 余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力,多余约束的 数目为结构的静不定次数（degree of statically indeterminate）.
P20
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第十四章
3
静不定结构
a
4a δ11 3 EI a3 δ22 3 EI 2a δ33 EI
（4）求 X1,X2 ,X3
a δ12 δ21 2 EI 3a δ13 δ31 2 EI 3 a δ23 δ32 2 EI
为内力静不定系统; 第三类:在结构外部和内部均存在多余约束,即支反力和内力 是静不定的,也称联合静不定结构.
P4
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第十四章
静不定结构
判断下列结构属于哪类超静定
（ a）
外力超静定
（ b）
内力超静定
（c）
混合超静定
（ d）
外力超静定
P5
（e）
内力超静定
（ f）
P27
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第十四章
静不定结构
二、结构对称性的利用 （Application of symmetrical structure）
4l 11 3 EI
代入 解得
11 X 1 Δ1F 0
13 X 1 Fl 32
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P13
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第十四章
静不定结构
例题 3 已知两杆抗弯刚度均为EI.不计剪力和轴力对刚架变形的 影响,求支座反力q=10kN/m, Me=50kN· m. Me
C x2 B x1
C
x2
第十四章 静不定结构 1 1 B 1
x1
q
A A
（1）用单位荷载法求 1F, 2F, 3F
Δ1 F Δ2 F Δ3 F
P18
2 1 a qx2 qa 4 a dx 2 0 EI 2 6 EI 2 1 a qx2 qa 4 x 2 dx 2 0 EI 2 8 EI 2 1 a qx2 qa 3 1 dx 2 EI 0 2 6 EI
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1
C
x2
第十四章
B
x1
静不定结构
B
C
x2
B
x1
1பைடு நூலகம்
C
x2
1
x1
A
A
A
（2）求 ii
a 1 a 4a 3 δ11 [ x1 x1 dx1 a a dx2 ] 0 EI 0 3 EI 3 a 1 a δ22 x 2 x 2 dx 2 EI 0 3 EI a 1 a 2a δ33 [ 1 1 dx1 1 1 dx2 ] 0 EI 0 EI
4a 3 a3 qa 4 X1 X2 0 3 EI 2 EI 6 EI 3 3 4 a a qa X1 X2 0 2 EI 3 EI 8 EI
（6） 求其它支反力 由平衡方程得其它支反力,全 部表示于图中.
P16
1 X 1 qa( ) 28 3 X 2 qa() 7
P10
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q
A l B A
第十四章 q
静不定结构
B
X1
q
B A x B
A
x
2
（3） 用莫尔定理求Δ1F
1
qx M ( x) M ( x) x 2 1 l qx 2 ql 4 Δ1 F ( ) xd x 0 EI 2 8 EI
材料力学
第十四章
静不定结构
第十四章
静不定结构
P1
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第十四章
静不定结构
§14-1 静不定结构概述
§14-2 用力法解静不定结构
§14-3 对称及反对称性质的应用
P2
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第十四章
静不定结构
§14-1 静不定结构概述
2
3
C
B
X1 X2 X3
q
A
a
代入正则方程： δ11 X 1 δ12 X 2 δ13 X 3 Δ1 F 0
δ21 X 1 δ22 X 2 δ23 X 3 Δ2 F 0 δ31 X 1 δ32 X 2 δ33 X 3 Δ3 F 0
P21
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一、力法的求解过程
1.判定超静定次数 解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X1, X2 ,X3· · · 代替 多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的 “相当系统”; 2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力; 4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形.
混合超静定
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第十四章
静不定结构
三、工程中的超静定结构 在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提 高构件的承载能力 .
塔式吊车起重臂可简化为外伸粱结构,当需要延长主臂以 增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?
P6
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P11
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材料力学
l x
第十四章
x
l B l/ 2 l/ 2 x C
静不定结构
x
B
l/ 2 l/ 2
C
F
x
D A
F/2 F
F
x
D A
1/l
1
（2）求 1F
F/2 BC: CD: AD:
F M ( x) x 2 F M ( x) l 2 M ( x ) Fx
D
C a/2
B
a/2
q
A
P14
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材料力学
D x C x x B
第十四章
静不定结构
11 X 1 Δ1F 0
（2）用单位力法求 11 BD:
1
M ( x) x M ( x) x M ( x) x M ( x) x M ( x) a M ( x) a
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P19
材料力学
1
C B C B
第十四章 1
C
静不定结构
B
1
x2
x1
x2
x1
x2
x1
A
A
A
1 a a3 （3）求 ij δ12 δ21 [ x2 a d x2 EI 0 2 EI a 1 a 3a 2 δ13 δ31 [ x1 1 d x1 a 1 d x2 ] 0 EI 0 2 EI 1 a a2 δ23 δ32 x2 1 d x2 EI 0 2 EI
P24
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第十四章
静不定结构
由图（c）求出基本静定系在F作用下各杆的内力FNi 由图（d）求出在单位力作用下各杆的内力FNi
杆件编号 1 2 3 4 5 6
FNi
FNi
-F -F 0 0
1 1 1 1
2 2
a a a a
li
FNi FNi li
F FNi FNi li FNi FNi FNi X 1
材料力学 曲杆任一横截面上的弯矩
第十四章 F
静不定结构
B
Fa M X 1a sin sin 2 2 π (0 ) 4 π M Fa sin( ) X 1a sin 4 π 1 Fa[sin ( ) sin ] 4 2 2 π π ( ) 4 2
2F 0
2a 2a
-Fa -Fa 0 0 2 2Fa 0
a a a a
2 2a 2 2a
-F/2 -F/2 F/2 F/2 F/ 2 F/ 2
FNi FNi li
FNi FNi li
Fa( 2 2 2 ) 4(1 2 )a
P25
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A D
x
DC:
CA:
B
C x x A
1
a 1 a/2 11 [ x xdx x xdx a/2 EI 0
0 a adx ]
4 3 a 3 杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
a
P15
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（5）求多余约束反力 将上述结果代入力法正则方程可得
第十四章
静不定结构
五、分析方法（Analytical method）
1.力法（Force method）:以未知力为基本未知量的求解方
法;
2.位移法（Displacement method）:以未知位移为基本未知 量的求解方法.
P9
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第十四章
静不定结构
§14-2 用力法解静不定结构
1 M ( x) x l M ( x) 1
1/l
M ( x) 1
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P12
材料力学
第十四章
静不定结构
Δ1 F
l/ 2 Fl l/ 2 1 l Fx x [ dx 1dx Fx 1dx ] 0 0 0 EI 2 l 2 13Fl 2 24 EI