高三数学研究性课题杨辉三角新课标人教版

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研究性学习课题：杨辉三角

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杨辉三角在其他数学领域的应用研究
总结词
杨辉三角在组合数学、概率论、数论等领域都有广泛的应用，研究这些应用有助于深入理解相关数学领域的基本原理。
详细描述
杨辉三角是组合数学中的重要工具，它可以用来计算组合数、排列数等。此外，杨辉三角在概率论中也有应用，如计算概率的加法定理等。同时，杨辉三角在数论中也有应用，如计算质因数分解等。研究这些应用有助于深入理解相关数学领域的基本原理和应用
杨辉三角在计算机科学中的应用
总结词
杨辉三角在计算机科学中也有着广泛的应用，它为计算机算法设计和数据结构提供了重要的启示。
详细描述
杨辉三角的规律性和高效性使得它在计算机科学中有着广泛的应用。例如，利用杨辉三角可以设计高效的算法来计算组合数、排列数等，同时也可以利用杨辉三角来设计一些特殊的数据结构，如动态规划等。此外，杨辉三角在计算机图形学、加密算法等领域也
3
杨辉三角的数字排列方式具有对称性、规律性和高效性等特点，使得它在解决一些数学问题时具有独特的优势。
杨辉三角的性质和特点
杨辉三角的每一行数字都是上一行相邻两个数字之和，这种递推关系使得杨辉三角具有高
度的自相似性。
杨辉三角的数字排列具有规律性，如每一行的数字个数、对称性等，这些规律使得杨辉三角在解决数学问题时具有高效
杨辉三角在数学归纳法中的应用
总结词
数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的数学方法，而杨辉三角为其提供了一种有效的工具。
详细描述
在数学归纳法的应用过程中，杨辉三角可以提供组合数的一些性质和关系，从而简化了归纳法的证明过程。例如，利用杨辉三角可以证明组合数的递推公式，进而证明与自然数有关的命题。

(新课程)高中数学《1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质》教案4 新人教A版选修2-3

高中新课程数学（新课标人教A 版）选修2-3《1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质》教案4例9．已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求nxx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：由题意992222=-n n ,解得5=n .①101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大,即8064)1()2(55510156-=-⋅⋅==+xx C T T .②设第1+r 项的系数的绝对值最大,则r r rr r r r r x C xx C T 2101010101012)1()1()2(---+⋅⋅⋅-=-⋅⋅=∴⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-110101101022r rr r C C C C ,即⎩⎨⎧-≥+≥-r r rr 10)1(2211∴31138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项例10．已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=，又展开式中二项式系数和为2n ， ∴222992n n -=，5n =．（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴223226335()(3)90T C x x x ==，22232233345()(3)270T C x x x ==，（2）设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155()(3)3r r rr rr r T C x x C x+-+==，∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =，即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x ==．例11．已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n nn n ，求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式∵1122122221(21)n n n n n n nn n S C C C ---=++++⋅+=+3n =， ∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n 2381k k =--(81)81k k =+--011228(88)8k k k k C C C -=+++ （*），当k =1时，410n S n --=显然能被64整除，当2k ≥时，（*）式能被64整除，所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除三、课堂练习：1．)()4511x -展开式中4x 的系数为，各项系数之和为．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)nn nn n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（）A.4B.5C.6D.8 4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n x -等于（）A.0B.pqC.22p q +D.22p q -6．求和：()2341012311111111111n nnn n n n n a a a a a C C C C C a a a aa+------+-++------．7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1322n n n ->+． 8．求()102x +的展开式中系数最大的项答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()(16n f x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. (略)8. 33115360T x +=四、小结：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用1．已知2(1)n a +展开式中的各项系数的和等于52165x ⎛ ⎝的展开式的常数项，而2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值(a R ∈答案：a =2．设()()()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++求：① 0114a a a +++ ②1313a a a +++．答案：①9319683=；②()95332+=3．求值：0123456789999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-．答案：82=4．设296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）63729=；（2）所有偶次项的系数和为6313642-=；所有奇次项的系数和为6312+= 七、教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。

高中数学研究性课题杨辉三角教案新人教版选修2-3-新人教版高二选修2-3数学教案

研究性课题：杨辉三角教学目标:知识目标:进一步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律，形成知识网络；能力目标:培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；情感目标：了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．教学重点：杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求。

教学难点:杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求。

教学方法:引导探究课时安排: 2课时教学过程一、课题引入1．引言: 为什么要研究杨辉三角？▲教学意图研究杨辉三角的意义〔1〕在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．同时复习巩固所学知识，发现知识间的联系．〔2〕通过探究杨辉三角，不断培养创新能力．〔创新是发展的不竭动力〕〔3〕了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；2．什么是杨辉三角？▲教学意图复习杨辉三角二项式〔a+b〕n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一X表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．〔如图〕3．介绍杨辉——古代数学家的杰出代表▲教学意图了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感杨辉，某某钱塘人。

中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷〔1261年〕、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。

“杨辉三角〞出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一〞以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪〔约公元11世纪〕已经用过它，这说明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的〔Blaise Pascal, 1623年~1662年〕,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．二、问题研究观察杨辉三角所蕴含的数量关系11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1 16 15 20 15 6 1 17 21 35 35 21 7 1 18 28 56 70 56 28 8 1 19 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1284 1716 1716 1284 715 286 78 13 11．杨辉三角基本性质▲教学意图介绍杨辉三角蕴含的基本规律〔1〕表中每个数都是组合数，第n 行的第r+1个数是)!(!!r n r n C rn -=．〔2〕三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是r n r n r n C C C 111---+=．〔3〕杨辉三角具有对称性〔对称美〕，即rn n r n C C -=．〔4〕杨辉三角的第n 行是二项式〔a+b 〕n展开式的二项式系数，即nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 1110)((5) 当n 为偶数时,第n 行有奇数项,中间一项最大;当n 为奇数时,第n 行有偶数项,中间两项相等且最大．这条性质就是二项式系数的性质2．下面,师生一起继续探究杨辉三角蕴含的数量关系，形成知识网络2．杨辉三角有趣的数字排列规律▲教学意图培养学生观察力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多种角度观察〔横看成岭侧成峰，远近高低各不同！〕问题1：杨辉三角的第1，3，7，15，．．．行，即第2K-1(k 是正整数)行的各个数字有什么特点？分析：观察可知，它们均为奇数．第2K行除两端的1之外都是偶数. 延伸：除两端的1之外，哪些行的各个数字是3的倍数？分析：第3、9、 (3)(k 是正整数)行。

高中数学人教B版选修2-3《1.3.2杨辉三角》教学设计

《杨辉三角》教学设计一、教材分析《杨辉三角》是高中数学新课标人教B版选修2-3教材第1.3.2节的内容。

本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质后，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

“杨辉三角”的内涵实际上就是二项式系数的性质，其内容丰富，值得学生深入探讨。

对于杨辉三角所蕴含的规律，学生不难发现，而难点就在于如何把学生通过观察发现的规律进行归纳，进而推理论证，揭示其数学本质。

本节课利用了转化和化归的数学思想，把对观察得到的规律的证明化归为组合数性质的应用上。

从知识发生发展过程的角度上看，学生可以从直观上很好地观察发现杨辉三角中蕴含的数字规律，但对于高二的学生，他们思考问题的思维已经不仅仅满足于“知其然”，他们更渴望的是“知其所以然”，在老师适当的点拨下，学生能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，通过师生合作完成知识发展过程的探究，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。

二、学情分析对于高二的学生来说，他们已经具备了比较理性的思考，对发现的规律能够尝试证明。

同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。

本节课授课班级为普通班，在数学科的学习特点是个体存在较大差距，但学习积极性都很高。

另外，该班设有合作基层小组①，即小组内拥有稳定的成员，他们之间相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点——证明规律，学生还需要在老师的指导下共同完成。

三、教学目标：本节课让学生掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法；通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新；通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力，在学习中鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神，同时，通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，体会其中的数学文化，培养学生的爱国情感。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.3.2 杨辉三角》9

杨辉三角教案凌源中学---于海涛一、教学目标：1、知识目标：掌握杨辉三角形中蕴含的二项式系数基本性质；2、过程与方法：通过探求杨辉三角形的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力，让学生在探索过程体验数学发现成功的喜悦3、情感态度与价值观：了解有关杨辉三角形的简史，掌握杨辉三角形中蕴含的规律，体会我国古代数学成就，提高民族自豪感。

二、教学重点：从杨辉三角形中发现总结二项式系数基本性质；三、教学难点：二项式系数基本性质的应用。

四、教学过程：一）复习回顾：1、二项式定理的内容：1）项数：2）二项式系数3）指数规律：4通项公式：2、预习题：计算（学生通过提前预习，感知二项式系数排布规律为本节课打好基础。

）（ab0=（ab1=（ab2=（ab 3=（ab 4=（ab 5=（ab 6=二、探索新知1、二项式系数的性质：（学生互相讨论，采用观察、归纳、猜想的方法，从横看、斜看两个角度探究杨辉三角形中蕴含的二项式系数的性质。

）2对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即c c m n m n 1-=(3) 增减性与最大值当n 为偶数时，中间一项T n 12+ 的二项式系数最大。

当n 为奇数时，中间两项 T T n n 12121+++和项的二项式系数最大。

（4）各二项式系数的和n n n n n n 2C C C C 210=++++奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数和=12-n 三）课堂实练：1递推性:两端都是1，即10==c c nn n 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和即c c c m n m n m n 11+-=+（通过练习使学生应用二项式系数的性质解题，巩固所学。

）1、在(2+x)n(n∈N)的二项展开式中,+若第7、8项二项式系数最大，则n等于()若只有x5的二项式系数最大,则n等于()(A)8.(B)9.(C)10.(D)13.2、已知(3x+x2)2n的二项式系数和为64，求(2x-1)2n展x开式中（1）二项式系数最大是第几项？（2）求常数项。

新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖数学探究杨辉三角的性质与应用内容解读〗

数学探究杨辉三角的性质与应用一、知识结构框图二、学习目标1．结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养．2．在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养．三、重点、难点重点：杨辉三角性质的发现和证明，利用杨辉三角解决古算题和其他领域的问题．难点：杨辉三角性质的应用．四、教科书编写意图及教学建议杨辉三角是一个很有魅力的数字三角形．它很实用，从低次到高次，从各行之间的相互独立到相邻两行之间关联的发现，从一两条性质到一系列性质的探究，从正整数的开方到组合数、幂和公式的导出，都体现了数学知识的由浅入深、由特殊到一般的过程，也体现了由直观到抽象、由猜想到论证的数学思维过程．它还很美，特别是对称之美，广受喜爱，曾经成为邮票或数学杂志封面的图案．它也很多元化，中国、阿拉伯、欧洲等地的众多数学家都曾经研究和运用它，数十幅带有不同文化元素的数字三角形展现了丰富生动的多元文化．考虑到杨辉三角在数学、数学思维和数学文化上的魅力，教科书专门将它作为一个主题，设置了数学探究活动，并安排了3课时，让学生以课题研究的形式，从不同角度探究它．通过自主探究或合作探究，既能够丰富数学知识，建立不同知识之间的联系，还能进一步学会如何进行数学探究，感悟数学价值，提升数学精神、应用意识，从而全面提升数学学科核心素养和人文素养．（一）杨辉三角的历史探源杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化．因此，教科书就从这里入手，给出了《详解九章算法》一书中的开方作法本源图，简单介绍了数学家杨辉，以及杨辉三角的由来．同时，这一段关于历史发展的介绍也是数学探究活动的背景，能够让学生在杨辉三角的演变中，了解为什么要研究杨辉三角，杨辉三角在我国的发现时间比欧洲早500年左右等，从而激发学生的民族自豪感和“一探究竟”的兴趣．在教学中，可以适当补充杨辉三角的演变历史，也可以让学生自己去搜集一些这方面的资料进行阅读，从而为接下来的数学探究活动作好准备，下面提供一些史料，供教学时参考．图1名为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》（1407）抄录的《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产，可惜《永乐大典》被掠至英国，现藏在剑桥大学图书馆内．《详解九章算法》由杨辉所著，他在书中提到“出释锁算书，贾宪用此术”．这说明，在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形．关于贾宪的生平，所知甚少．根据一些记载，只能推定贾宪著书的年代是在1023年至1050年这段时期．贾宪用这个数字三角形来进行开方，所以称为“开方作法本源”．而在宋元时期，数学家将开方或解数字方程称为“释锁”，故此图出现在《释锁》算书中．后来，朱世杰（1303）、吴敬（1450）、程大位（1592）等古代数学家均引用并发展了开方作法本源图．借助此图，古代数学家们开高次方、解高次方程，创造出了具有中国古代数学独特风格的高次方程的数值解法．（二）杨辉三角性质的探究杨辉三角性质的探究，是这个数学探究活动的重点，将杨辉三角作为一个探究主题有两个主要原因：一是由于前面提到的杨辉三角本身所具有的数学、数学思维和数学文化上的魅力；二是由于杨辉三角的直观性和性质的丰富性，既有“一目了然”的性质，也有“深藏不露”的性质，所以它可以让不同发展水平的学生都能探究，并有所收获．为了让学生顺利而又充分地开展探究活动，教科书在编写中重点关注了以下两个方面．1．探究的方法探究是一种复杂的学习活动，不同学科的探究，因其学科特点会有其特有的方法．在科学中，探究强调调查研究、实验验证、数据分析和解释，结论解释和预测；而在数学中，探究更多的是一种思维状态，强调观察和想象、归纳和猜想、推理和论证，当学生获得了探究的方法、养成了探究的习惯，他们就会自发地去探究、主动积极地学习，成为自主学习者．因此，教科书在杨辉三角性质探究这一部分，注重“如何探究”的引导，重在展现探究的方法，并加以示例说明．探究不是凭空产生的，它和数学问题紧密相联．首要的是发现和提出一个数学问题．如何发现和提出问题呢？教科书中的“1．观察杨辉三角的结构，即杨辉三角中数字排列的规律，例如每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连连线，算一算，写出你发现的结论”告诉学生：（1）需要“观察”．这种观察并不是单纯地看一看，它包含着积极的思维过程，要有目的，如数字排列的规律；要随时比较，如数字间的关系和差异；等等．（2）需要“实验”．虽然数学不像科学那样需要精密设备、精心设计的实验，但有时候还是需要人为地创造一些条件和方法辅助思维，如圈一圈、连一连、算一算等．而这些观察和实验的结果正是归纳推理的基础．（3）需要“归纳”．通过观察和实验，获得一定素材后，就可以进行归纳，作出初步的结论，然后用数学语言描述出来，就是一个猜想，即一个数学问题．为了说明这一一点，教科书以杨辉三角的基本性质C r n ＝C 11r n --＋C 1r n -为例，示范如何发现和提出问题．具体来说，通过观察和比较教科书中的图1和图2，发现杨辉三角和二项式系数之间的对应关系；通过连线和计算，如教科书上的图4，发现除了三角形的两个腰上的数字都是1，其余的数都是它肩上两个数相加，从特殊到一般，就归纳出结论：C rn ＝C 11r n --＋C 1rn -．这就是一个数学问题．在教学中，要特别注意探究方法的指导，至于发现结论和写出结论，应该由学生自己完成．例如观察和实验的指导，应关注于在数字三角形中圈一圈、连一连、算一算等手段的尝试；关注于有目的的观察，相邻行之间、各行数字的和等（图2）．基于观察、实验和归纳，学生会获得很多关于杨辉三角的结论，这里列出一些最基本的结论（更多的结论见“五、探究活动参考资料”），供教学时参考：（1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C r n ＝C n r n-．（2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C r n ＝C 11r n --＋C 1r n -．（3）第n 行奇数项之和与偶数项之和相等，即C n 0＋C n 2＋C n 4＋…＝C n 1＋C n 3＋C n 5＋…．（4）第n 行数的和为2n ，即C n 0＋C n 1＋C n 2＋…＋C n n ＝2n ．（5）第n 行各数平方和等于第2n 行中间的数，即（C n 0）2＋（C n 1）2＋（C n 2）2＋…＋（C n n ）2＝C 2n n （图3）．（6）自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n 个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即C r r ＋C 1r r +＋C 2r r +＋…＋C n －1r ＝C n r ＋1（图4）．在提出了一个数学问题后，就需要分析和解决这个问题，教科书中的“2．利用已学知识，尝试对所得结论进行证明”就指明了，在数学上，当我们获得一个猜想之后，必须要证明它，所用的就是逻辑推理的方法．从观察和实验，到归纳和猜想，再到推理和论证，这是一个完整的数学探究过程，数学探究中的“推理论证”不同于科学探究中的“实验验证”，数学中的结论一旦得到证明，是不会改变的，而科学中经过实验验证的结论有时会在若干年后推翻重建．在教学中，要特别注意强调推理论证在数学中的重要性及其作用，而且要鼓励或要求学生去证明自己发现的结论，让学生经历完整的数学探究过程．这样不仅有助提升学生的直观想象、数学抽象素养，而且还有助于提升学生的数学运算、逻辑推理素养．2．探究的开放性杨辉三角这个数学探究活动，从教科书的设计来看，它的开放性很大，除了给定一个“数字三角形”这个情境外，其他环节都是完全开放的，教科书给的示例也只是为了说明探究方法．在这种情况下，如果没有教师的指导，那么学生能探究到什么程度就取决于学生的自主探究能力，自主探究能力越高，探究就越开放、收获就会越多．但是学生的数学能力总是参差不齐的，能力越低越需要教师的指导，让他们“跳一跳”摘到果子．当学生在探究活动中的发现越来越多，解决的问题越来越难，兴趣和信心也会越来越浓厚．因此，在教学中教师需要关注学生的探究过程，掌握学生的探究程度，并据此匹配相应程度的探究指导．关于杨辉三角这个主题，以“问题”为例，有的学生可能会发现和提出一组问题，有的学生可能只能发现和提出一个问题，在这种情况下，教师可以分别为他们提供一些材料或给予一些提示，指导他们发现更多的结论，在各自的程度上更加深入地探究．在教学中，根据学生的探究程度，灵活采用开放型、指导型等不同的探究形式，让不同水平的学生通过探究活动都能有所收获，包括知识的增长和探究方法的养成．（三）杨辉三角应用的探究华罗庚先生（1910—1985）曾写过一本小册子《从杨辉三角谈起》，其中从杨辉三角的性。

高中数学人教A版选择性必修第三册数学探究杨辉三角的性质与应用课件

四、总结提升
回顾1：关于杨辉三角的性质的探究，我们是如何一步步发现和提出探究问题的？
回顾2：杨辉三角的性质：
性质1：
性质2： Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n
性质3：Cnr
C r1 n1
Cnr1
性质4： Cn0 2 Cn1 2 Cnn 2 C2nn
性质5：Crr Crr1 Crr2 Cnr1 Cnr1
数学探究杨辉三角的性质与应用
一、杨辉三角的历史
在探究 (a ＋ b)n 的展开式的二次项系数性质时，曾把系数写成一张表格的形式：
我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中，就出现了该表：
一、杨辉三角的历史
该表称为杨辉三角. 我国：杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角出于《释锁》算书，我国北宋数学家贾宪（约11世纪）曾用过；欧洲：该表被法国数学家帕斯卡（16231662）首先发现.
Cnr1
二、杨辉三角的性质探究
问题3：你能证明上述猜想
Cnr
C r1 n1
Cnr1
吗？
证明：右边
C r1 n1
Cr n1
(n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n 1 r)!
(r
(n 1)!(n
1)! r（) n
r
1)!
r(r
(n 1)! 1)!(n 1
r)!
(n 1)!r (n 1)!(n r(r 1)!(n r（) n r
即 Crr Crr1 Crr2 Cnr1 Cnr1
三、杨辉三角的应用探究
数列古算题（出自杨辉《详解九章算法》）三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何. 上述三角垛问题一般化后，相当于如下问题：底层是每边堆n个圆球的三角形，向上逐层每边减少1个，顶层是1个，求总数.

2022年高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》

探究数学秘密，发现数学之美——“杨辉三角〞中的一些秘密一、教材背景分析1．教材的地位和作用“杨辉三角〞是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，鼓励学生的民族自豪感。

2．学情分析本节课面对的是高二年级的学生,这个年龄段的学生思维活泼,求知欲强,但在思维习惯上还有待教师引导。

通过之前的学习学生已经掌握了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,理解了排列、组合的概念,掌握了二项式定理和二项展开式的性质。

同时对于数形结合、类比、转化的数学思想方法也有了初步的认识。

对于本节探究与发现的研究性学习,可以激发学生学习热情,提高课堂效率,使知识得到螺旋式的稳固与提高。

而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面,还有待于教师的指导帮助。

学生根据教师提供的情境,采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识,归纳知识。

通过创设情境疑问,引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流,探求解决问题的方法。

鼓励学生创新思考,加强数学实践,培养学生的理性思维,同时注重培养学生良好的数学学习习惯。

3．教学重点与难点重点:掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。

难点:通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。

二、教学目标新课标指出教学目标应表达学生学会知识与技能的过程,也要同时表达学生学会学习形成正确价值观的过程。

结合本节课的教学内容,制定如下教学目标:1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律〞的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感。

2．掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。

3．通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。

4．采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。

《杨辉三角》_精品教学PPT人教版1

《杨辉三角》优品教学P PT人教版1-精品课件 ppt(实用版)
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解析：
由图1我们能发现，第1行中的数是 C10，C11 第2行中的数是 C02，C12，C22 第3行中的数是 C03，C13，C32，C33 则第n行中的数是 Cn0，C1n，Cn2，，Cnn 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2 : 3
则 C1n3·C1n4 = 2 : 3 ，解得 n = 34
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2.(1-x3)•(1+x)10的展开式中含x4的项的系数 2为00_____(用数字作答).
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针对性练习
1. 如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第___3_4__行中从左到右第14与第15个数的比为2:3 .
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课堂小结
1.二项式系数的三条性质
（1）对称性; （2）增减性与最大值; （3）各二项式系数的和; （4）递推性（杨辉三角中）.
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高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.3.2 杨辉三角》6

1.3.2杨辉三角教学目标：1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力教学重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用教学难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：电子白板教学过程：一、复习引入：1、在(x＋y)６展开式中，第三项的二项式系数是 ( )第三项的系数是（）2、在(2a＋3b)６展开式中，第三项的二项式系数是 ( )第三项的系数是（）设计意图：学生回答。

巩固旧知同时引出本节内容，注意二项式系数与系数的区别，理解二项式系数的性质的重要性和学习的必要性。

3、二项式定理4、二项式系数n n n n n C,,C ,C ,C 210二、引入新课12二项式系数表（杨辉三角）（学生自主填好表，并观察表中各系数之间的关系。

展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．直线是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵，∴相对于的增减情况由决定，，当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．（3）各二项式系数和：∵，令，则，即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知.2、教师引导学生总结出规律和性质，水到渠成。

（一）对称性 1.每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.2.每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等.1、在(a ＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )2、若（a+b ）n 的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等则n=__________(二）最大值如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项T n 2＋1的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项T n ＋12与T n ＋12＋1的二项式系数相等且最大.知识点对接：1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为；在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 .2.指出（a+2b ）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数3.在二项式(x -1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。

2022年高中数学新人教版A版精品教案《1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质》

人民教育出版社数学选修2-3§杨辉三角〞与二项式系数的性质湖北省孝感高级中学陈文科学习目标知识与技能1 利用二项式定理，结合“杨辉三角〞数表，掌握二项式系数的对称性、增减性与最大值；2 用二项式系数的性质，解决一些简单的问题。

过程与方法1 熟知二项式系数的对称性，单调性，最大值及所有二项式系数之和等结论；2 熟练运用赋值法解决一些相关问题；情感、态度、价值观1.培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题，解决问题的能力；2.通过学习“杨辉三角〞有关知识，了解我国悠久数学历史文化，陶冶学生爱国主义情操，进一步提升学生学好数学的勇气和决心。

3 通过对斐波拉契数列介绍，表达数学的生活中应用，欣赏数学的美。

学习重点难点教学重点：结合“杨辉三角〞数表，掌握二项式系数性质，掌握赋值法；教学难点：通过观察分析，获取二项式系数的性质，利用性质解决具体问题。

学习过程：一、复习回忆二项式定理：一般地，对于，问题：展开式的第项为：二项展开式中的二项式系数指的是那些？二、探求新知计算〔n=1、2、3、4、5、6〕展开式的二项式系数填入课本的表格，通过计算，你发现了什么规律？介绍数学家杨辉杨辉——古代数学家的杰出代表杨辉，杭州钱塘人。

南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有?详解九章算法?十二卷〔1261年〕、?日用算法?二卷、?乘除通变本末?三卷、?田亩比类乘除算法?二卷、?续古摘奇算法?二卷．其中后三种合称?杨辉算法?，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。

“杨辉三角〞出现在杨辉编著的?详解九章算法?一书中，此书还说明表内除“一〞以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于?释锁?算书，且我国北宋数学家贾宪〔约公元11世纪〕已经用过它，这说明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的〔Baie 为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，假设，那么----------。

1.3.2杨辉三角课件人教新课标B版(2)

答案：2n－1
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第 14 个数与第 15 个数之比为 2∶3.
解析：设第 n 行从左至右第 14 与第 15 个数之比为 2∶3，则 3C1n3＝2C1n4，即13！3nn－！13！＝14！2nn－！14！. 解得 n＝34. 答案：34
1.3.2杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
121
第3行
1 3 31
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第n-1行 1
…… ……
第n行 1
… … C C 1 2 n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
1
C
1 n
Cn2
…
C
r n
[一点通] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 可得常数项，令 x＝1 可得所有项的和，令 x＝－1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n 的展开式中各项系数的和为
2
10＋4 k
则由 Tk＋1＝Ck5(x 3 )5－k(3x2)k＝3kCk5x 3 ，
得33kkCCk5k5≥≥33kk＋－11CCk5k5＋－11，，，∴72≤k≤92，∴k＝4，
即展开式中系数最大的项为
2
26
T5＝C45(x 3 )(3x2)4＝405x 3 .
[一点通] 1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．

高中数学第6章计数原理数学探究杨辉三角的性质与应用新人教版选择性必修第三册

则第10行的第2个数是
,第n行的第2个数是
答案:46
-+

.
解析:由题图可知第10行的第2个数为(1+2+3+…+9)+1=46,
(-)
-+

第 n 行的第 2 个数为[1+2+3+…+(n-1)]+1=
+1=
.
6.在杨辉三角中,除每行的两端数值外,每一数值都是它肩上
辉三角”,它是杨辉的一大重要研
究成果.若用ai-j表示三角形数阵的
第i行第j个数,则a100-3=(
)
A.5 050 B.4 851
C.4 950 D.5 000
答案:B
解析:依据二项展开式可知,从第 2 行开始,第 i 行第 j
故第 100 行第 3

个数为
=
×

=4 851,故选 B.
又22 005=21 953+(53-1),
故22 005是第63行的第53个数.
×

.
=21 953,
规律总结将等差(等比)数列重新排列成类似“杨辉三角”的
图形,考查相关数列问题是杨辉三角数列创新题的常见形式
之一,这类问题主要考查重排后指定某数位置的确定或者特
定行的通项公式的求法.求解关键是找到数列的排列规律.
数学探究
杨辉三角的性质与应用
素养·目标定位
课前·基础认知
课堂·重难突破
随堂训练
素养•目标定位
目标素养
1.探索杨辉三角性质的发现和证明.
2.体会杨辉三角的应用.
3.通过学习,提升直观想象、数据分析、逻辑推理及数学运算