有限元分析方法第二章弹性力学基础
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弹性力学与有限元分析第二章-平面桁架有限元分析及程序设计
x
由单元①的刚度方程：
Fj
①
k
① ji
i
①
k
① jj
j
①
k
① ji
2
k
① jj
1
由单元③的刚度方程：
Fj
③
k
③ ji
i
③
k
③ jj
j
③
k
③ ji
3
k
③ jj
1
§2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成
代入结点1的平衡条件:
k
l
xi
)
(dx j
dxi
)
(
yj
l
yi )
(dy j
dyi )
(dx j dxi ) (dy j dyi )
cos sin
由于杆件的变形产生位移：
ui dxi vi dyi
u j dxj v j dy j
因此，杆件应变为：
dl l
l
(ui
uj)
l
(vi
vj)
杆件轴力为：
(2k1 k2 )v4 P
结构的整体刚度系数
v4
P 2k1
k2
12 3
l2 l1 l1
4 P
N1
N1y
cos
k1v4
cos
k1P
(2k1 k2 ) cos
N2
k2v4
k2P 2k1 k2
位移法求解超静定结构。
§2.1 平面桁架单元的离散
结构的离散化：尽量将结构离散成数量最少的等截面直 杆单元
kki③ ③jii
ki③j
k
③ jj
3 3 3 3
§2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成
有限元课件-第2讲-矩阵分析及弹性力学基础
有限元的离散化过程
总结词
离散化是有限元方法的核心步骤之一，它涉及到将连 续的物理系统划分为有限个离散的单元。离散化的精 度和单元类型的选择对求解结果的精度和计算效率有 很大的影响。
详细描述
离散化的过程通常需要根据所处理的问题和所用的数 学模型来确定。在离散化过程中，需要将连续的求解 区域划分为有限个小的单元，每个单元可以有不同的 形状和大小。同时，还需要确定每个单元的节点和边 界条件，以便建立整个系统的方程组。离散化的精度 越高，求解结果的精度就越高，但计算量也会相应增 大。因此，需要在精度和计算效率之间进行权衡。
过程求解。
LU分解
LU分解是将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘 积。
迭代法
迭代法是一种求解线性代数方程组 的方法，通过不断迭代逼近解。
弹性力学中的基本矩阵
弹性矩阵
弹性矩阵是表示弹性力学中应 力与应变之间关系的矩阵。
刚度矩阵
刚度矩阵是表示结构刚度的矩 阵，用于有限元分析中。
质量矩阵
02
矩阵分析基础
矩阵的定义与运算
矩阵的定义
矩阵是一个由数字ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成 的矩形阵列，表示为矩 形阵列的括号中的数字
。
矩阵的加法
矩阵的加法是将两个矩 阵的对应元素相加。
矩阵的数乘
数乘是指一个数与矩阵 中的每个元素相乘。
矩阵的乘法
矩阵的乘法仅适用于满 足特定条件的两个矩阵
。
线性代数方程组的求解
高斯消元法
高斯消元法是一种求解线性代数 方程组的方法，通过消元和回代
平衡方程
描述了物体在受力平衡状 态下的应力分布。
几何方程
描述了物体在受力后产生 的应变。
2弹性力学及有限元法-弹性力学基础知识
24
v w
T
位移是点的坐标的单值连续函数
4、应 变
第 二 1.正应变？2.切应变？3.如何表示？ 章 应变反映局部各点相对 弹 性 位置的变化，与应力直 力 学 接相关。 基 础 正应变 x y z 知 棱边的伸长和缩短 识
棱边之间夹角变化 点的应变矢量:
切应变 xy
yz
zx
27
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
2）主平面、应力主方向与主应力 1）切应力为零的微分面称为 主微分平面，简称主平面。 2）主平面的法线称为应力主 轴或者称为应力主方向。
3）主平面上的正应力称为主
应力。
28
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
2
2.1 弹性力学基本假设
第 基本假设的必要性 二 章 由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成 的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分 弹 性 复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求 力 解。 学 基 根据问题性质建立力学模型时，必须作出一些基 础 本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使 知 研究的问题限制在一个方便可行的范围之内。 识
Pn
n n
应力必须说明其坐标和作用 面的方位。
16
2、内力与应力
第 1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？ 二 章 应力分量 弹 性 应力不仅和点的位置有关，和截 力 学 面的方位也有关，称为张量。 基 础 在任意坐标系都具有协变性的量 知 识 z
就是张量。
o x
17
y
取一点平行于坐标平面的单元体， 各面上的应力沿坐标轴的分量称 为应力分量。
•弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续 性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假 设等。 •这些假设都是关于材料变形的宏观假设。
v w
T
位移是点的坐标的单值连续函数
4、应 变
第 二 1.正应变？2.切应变？3.如何表示？ 章 应变反映局部各点相对 弹 性 位置的变化，与应力直 力 学 接相关。 基 础 正应变 x y z 知 棱边的伸长和缩短 识
棱边之间夹角变化 点的应变矢量:
切应变 xy
yz
zx
27
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
2）主平面、应力主方向与主应力 1）切应力为零的微分面称为 主微分平面，简称主平面。 2）主平面的法线称为应力主 轴或者称为应力主方向。
3）主平面上的正应力称为主
应力。
28
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
2
2.1 弹性力学基本假设
第 基本假设的必要性 二 章 由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成 的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分 弹 性 复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求 力 解。 学 基 根据问题性质建立力学模型时，必须作出一些基 础 本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使 知 研究的问题限制在一个方便可行的范围之内。 识
Pn
n n
应力必须说明其坐标和作用 面的方位。
16
2、内力与应力
第 1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？ 二 章 应力分量 弹 性 应力不仅和点的位置有关，和截 力 学 面的方位也有关，称为张量。 基 础 在任意坐标系都具有协变性的量 知 识 z
就是张量。
o x
17
y
取一点平行于坐标平面的单元体， 各面上的应力沿坐标轴的分量称 为应力分量。
•弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续 性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假 设等。 •这些假设都是关于材料变形的宏观假设。
第2讲 弹性力学基础及有限元法的基本原理
pvy
pvz
T
2）面力 定义：作用于弹性体表面上的外力，如：流体压力 可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为：
Ps psx
psy
psz
T
3）集中力 定义：集中在某一点上的外力，如：牵引力 可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为：
Pc pcx
pcy
pcz
zx zy 0 此时， z zx zy 0 以及 z 1 x y T 应力应变分量变为： x y xy
x y xy
几何方程
x x 0 y xy y 0 u x v xx
其中: E为杨氏弹性模量
为柏松比
G为剪切弹性模量 E 且:G 2(1 )
因此物理方程可以简写为： 1 1 1 E (1 ) D (1 )(1 2 ) 0 0 0
2）应力在虚应变上所做的虚功，也就是存储在弹性 体内的虚应变能为：
U dV
T V
2、虚位移原理
表述：如果在在虚位移发生之前弹性体是平衡的， 那么在虚位移发生时外力在虚位移上所做的 功就等于弹性体的虚应变能。即：
W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
0 0 0 0 0 0 0 0
x 0 0 L y 0 z
0 0 0 0 1 2 2(1 ) 0
0 0 0 0 1 2 2(1 ) 0
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元
v u v 2 ， y 6 ， xy 3 5 都是常量，即线性位移模式反映 x y y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
有限元分析与应用 第2讲、有限元与弹性力学的基本原理
∂τ ∂τ dx dx dy dy τ xy + xy dx dy ×1× + τ xy dy ×1× − τ yx + yx dx ×1× − τ yx dx ×1× =0 ∂x 2 2 ∂y 2 2
上式两边除dxdy,可得:
τ xy = τ yx
一、正压力（拉伸压缩应力）
v 其中，F 沿作用力截面的法线方向。 。
Fn σ＝ S
（ 1）
例如图示， > 0 ，σ
二、线应变（相对伸长或压缩） 绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或 压缩）。公式： ∆l
ε=
当
ε ε > 0 时，为拉伸形变； < 0 时，为压缩形变，因而，
b − b0 ∆b = b0 b0
f 是体积力向量， f
T
= fx , f y , fz
[
]
平面(二维)几何方程
经过弹性体内任一点P,沿X轴和Y轴的方向取两个微小长度的线段 PA=dx,PB=dy见图
εx =
∂µ ∂x
εy =
∂υ ∂y
γ xy = α + β =
∂υ ∂µ + ∂x ∂y
几何方程(应变-位移关系) 又叫柯西方程
平衡方程的矩阵形式为 Aσ + f = 0 （在V内）
f x , f y , f z 为单位体积的体积力在z，y，z方向的分量。
其中，A是微分算子
∂ ∂ ∂ 0 0 0 ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ A= 0 0 0 ∂y ∂x ∂z ∂ ∂ ∂ 0 0 0 ∂z ∂y ∂x
梁的弯曲
中性层：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层， 如图中的 CC' 层。 对于纯梁弯曲形变有：
上式两边除dxdy,可得:
τ xy = τ yx
一、正压力（拉伸压缩应力）
v 其中，F 沿作用力截面的法线方向。 。
Fn σ＝ S
（ 1）
例如图示， > 0 ，σ
二、线应变（相对伸长或压缩） 绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或 压缩）。公式： ∆l
ε=
当
ε ε > 0 时，为拉伸形变； < 0 时，为压缩形变，因而，
b − b0 ∆b = b0 b0
f 是体积力向量， f
T
= fx , f y , fz
[
]
平面(二维)几何方程
经过弹性体内任一点P,沿X轴和Y轴的方向取两个微小长度的线段 PA=dx,PB=dy见图
εx =
∂µ ∂x
εy =
∂υ ∂y
γ xy = α + β =
∂υ ∂µ + ∂x ∂y
几何方程(应变-位移关系) 又叫柯西方程
平衡方程的矩阵形式为 Aσ + f = 0 （在V内）
f x , f y , f z 为单位体积的体积力在z，y，z方向的分量。
其中，A是微分算子
∂ ∂ ∂ 0 0 0 ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ A= 0 0 0 ∂y ∂x ∂z ∂ ∂ ∂ 0 0 0 ∂z ∂y ∂x
梁的弯曲
中性层：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层， 如图中的 CC' 层。 对于纯梁弯曲形变有：
弹性力学与有限元完整版ppt课件
E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
有限元分析理论（弹性力学）
如果插值函数选得合适，单元分得越多、越细，得到的计算结果就越精确。当单元数趋于 无穷时，计算结果就收敛于精确解。但是，随着单元数、节点数的增加，计算工作量和存储信 息量就会迅速地增加，因此一般都是根据具体问题对精度的要求，只取一定数量(有限个)的单 元和节点进行分析。由于这种方法需要求解大型联立方程组，因此只是在解决了计算机的运算 速度和存储容量等问题后，这种方法才有实用意义并得到了迅速发展。
3)可以适应不连续的边界条件和载荷条件。 4)各单元的计算程式都相同，便于实现规范化和在计算机上统一编程，容易将程序编成模 块式结构。 5)有限元法最后得到的大型联立方程组的系数是一个稀疏矩阵，其中所有元素都分布在矩 阵的主对角线附近，且是对称的正定矩阵，方程间的联系较弱。这种方程计算工作量小，稳定 性好，便于求解，占用的计算机内存也少。 有限元法的这些特点，正好可以克服工程科学计算中所遇到的许多困难。对于已有方程的 物理问题，主要是因为集合形状复杂、边界条件复杂、本构关系复杂而解不出来。利用有限元 法离散化的手段，用各种小单元来适应这些复杂多变的因素，用分块近似插值函数来逼近全域 上的连续函数，问题就变得容易了。
目前，有限元法以远远超出了原有的应用范畴，已从弹性力学扩展到了弹塑性力学、岩石 力学、地质力学、流体力学、传热学、气动力学、计算物理学、海洋工程、大气污染等各种学 科和应用领域，取得了出人意料的成功。
在机械工程领域内，可以用有限元法解决的问题有： 1)包括杆、梁、板、壳、三维块体、二维平面、管道等各种单元的各种复杂结构的静力分 析。 2)各种复杂结构的动力分析，包括频率、振型和动力响应计算。 3)整机（如水压机、汽车、发电机、泵、机床）的静、动力分析。 4)工程结构和机械零部件的弹塑性应力分析及大变形分析。 5)工程结构和机械零件的热弹性蠕变、粘弹性、粘塑性分析。 6)大型工程机械轴承油膜计算等。
3)可以适应不连续的边界条件和载荷条件。 4)各单元的计算程式都相同，便于实现规范化和在计算机上统一编程，容易将程序编成模 块式结构。 5)有限元法最后得到的大型联立方程组的系数是一个稀疏矩阵，其中所有元素都分布在矩 阵的主对角线附近，且是对称的正定矩阵，方程间的联系较弱。这种方程计算工作量小，稳定 性好，便于求解，占用的计算机内存也少。 有限元法的这些特点，正好可以克服工程科学计算中所遇到的许多困难。对于已有方程的 物理问题，主要是因为集合形状复杂、边界条件复杂、本构关系复杂而解不出来。利用有限元 法离散化的手段，用各种小单元来适应这些复杂多变的因素，用分块近似插值函数来逼近全域 上的连续函数，问题就变得容易了。
目前，有限元法以远远超出了原有的应用范畴，已从弹性力学扩展到了弹塑性力学、岩石 力学、地质力学、流体力学、传热学、气动力学、计算物理学、海洋工程、大气污染等各种学 科和应用领域，取得了出人意料的成功。
在机械工程领域内，可以用有限元法解决的问题有： 1)包括杆、梁、板、壳、三维块体、二维平面、管道等各种单元的各种复杂结构的静力分 析。 2)各种复杂结构的动力分析，包括频率、振型和动力响应计算。 3)整机（如水压机、汽车、发电机、泵、机床）的静、动力分析。 4)工程结构和机械零部件的弹塑性应力分析及大变形分析。 5)工程结构和机械零件的热弹性蠕变、粘弹性、粘塑性分析。 6)大型工程机械轴承油膜计算等。
第2章 弹性力学的基本知识
（2）均匀性假设：假定物体内各点处材料均相同。
（3）各向同性假设：假定物体内各点处各个方向上的物理性质相同。
(4)完全弹性假设:胡可定律
（5）几何假设——小变形假设： 变形产生的位移与物体的尺 寸相比 ,是微小的。
关于外力、应力、应变和位移的定义
1.外力
体力 （定义）分布在物体体积内的力，如重力、惯性力等。 分为体积力（体力）和表面力（面力）两类。 有限元分析也使用集中力这一概念。
以通过一点的沿坐标正向微分线段的 正应变ε和 切（剪）应变 γ 来表示。 正应变εx ，εy ， εz 以伸长为正。
切应变γxy , γyz ,γzx 以直角减小为正, 用弧度表示。 正应变和切应变都是无因次的量 应变列阵 x y z xy yz zx
Tຫໍສະໝຸດ 4. 位移材力研究方法
也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近 似的计算假设（如平面 截面假设）来简化问题，并在许多 方面进行了近似的处理。 因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。 从其精度来看，材力解法只能 适用于杆件形状的结构。
★ 弹塑性力学研究问题的基本方法
在受力物体 内任取一点 （单元体）为 研究对象。
写成矩阵形式:
ε=
σ
ε=φσ 显然: φ=D-1
三、平衡方程
弹性体中任一点满足平衡方程, 在给定边界上满 足应力边界条件。
弹力的研究方法
在体积V内 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程； 由微分线段上应变与位移的几何关系，建立几何方程； 由应力与形变之间的物理关系,建立物理方程； 在边界 S 面上
x
二、物理方程
若弹性体只有单向拉伸或压缩时,根据材料 力学胡克定律:
ANSYS有限元分析——弹性力学基础知识二
15
弹性力学待求的物理量
空间问题
15个
[ ] { }σ = σ x
σy
σz
τ xy
τ yz
τT zx
[ ] { }ε = ε x
εy
εz
γ xy
γ yz
γT zx
{δ }= [u v w]T
平面问题
8个
[ ] {σ }= σ x
σy
τT xy
[ ] {ε}= ε x
εy
γT xy
{δ }= [u v]T 16
(3) y = +h, X = 0,Y = 0
( ) (σ
x
) s
⋅
0
+
τ xy
⋅ (+1) = 0
s
( ) ( ) σ y
⋅ (+1) +
s
τ xy
⋅0 = 0
s
( ) ( ) σ y s = 0, τ xy s = 0 σ y τ yx
σx
σx
τ xy
τ yx τ xy 29
σy
2-6 几何方程
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
思考：黑板和甲板力学模型各属于弹性力学那类问题?
21
2-4 平衡微分方程
取微元体PABC（P点附近），
PA = dx PB = dy
Z 方向取单位长度。
AC面：
σx
+
∂σ x
∂x
dx
+
1 ∂2σ x
2! ∂x2
≈σx
(dx)2 + L
+ ∂σ x dx
∂x
τ
O
y yx +
弹性力学待求的物理量
空间问题
15个
[ ] { }σ = σ x
σy
σz
τ xy
τ yz
τT zx
[ ] { }ε = ε x
εy
εz
γ xy
γ yz
γT zx
{δ }= [u v w]T
平面问题
8个
[ ] {σ }= σ x
σy
τT xy
[ ] {ε}= ε x
εy
γT xy
{δ }= [u v]T 16
(3) y = +h, X = 0,Y = 0
( ) (σ
x
) s
⋅
0
+
τ xy
⋅ (+1) = 0
s
( ) ( ) σ y
⋅ (+1) +
s
τ xy
⋅0 = 0
s
( ) ( ) σ y s = 0, τ xy s = 0 σ y τ yx
σx
σx
τ xy
τ yx τ xy 29
σy
2-6 几何方程
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
思考：黑板和甲板力学模型各属于弹性力学那类问题?
21
2-4 平衡微分方程
取微元体PABC（P点附近），
PA = dx PB = dy
Z 方向取单位长度。
AC面：
σx
+
∂σ x
∂x
dx
+
1 ∂2σ x
2! ∂x2
≈σx
(dx)2 + L
+ ∂σ x dx
∂x
τ
O
y yx +
第2章 弹性力学平面问题有限单元法(1-3节)
第二章 弹性力学平面问题有限单元法§2-1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。
一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1)二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。
即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。
构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。
以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。
在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)123u u x y x y ααα==++546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m j i m ed d d d m j j i v u v u v u i {}ii j j m X Y X (2-1-1)Y X Y iej m m F F F F ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)确定。
将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:123i i i u x y ααα=++123j j j u x y ααα=++ (a)123m m m u x y ααα=++和546i i i v x y ααα=++546j j j v x y ααα=++ (b)546m m m v x y ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :11A Aα=22A Aα=33A Aα=式中行列式:1i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =2111i i j j m mu y A u y u y =3111i i j jm mx u A x u x u =2111i i j j m mAx y A x y x y ==A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:11()2m m i ij j a u a u a u A α=++ 21()2m m i ij j bu b u b u A α=++ （C ）31()2m mi i j j c u c u c u A α=++式中:m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-为了书写方便，可将上式记为:m m i j i a x y x y =-m ij by y =- (,,)i j mm i jc x x =-(,,)i j m表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。
有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.6四结点四边形等参元,2.7八结点曲线四边形等参元,2.8问题补充)
存在的。换句话说，为了使上述等参元能保持较好的精度，整体坐标系下所划分的任意四边形单元必须是
凸四边形，即任意内角都不能大于180°。四边形也不能太歪斜，否则会影响其精度。
利用雅可比的逆矩阵，即可求出整体坐标系下形函数的偏导数：
⎧∂Ni ⎫
⎧∂Ni ⎫
⎪ ⎪ ⎨
∂x
⎪
⎪
⎪ ⎬
=
[J
]−1
⎪ ⎨
∂ξ
⎪ ⎪ ⎬
i=i,j,m,p
为了实现上述结点坐标之间的变换，可利用母元的形函数，得出(ξ,η)和(x,y)之间的坐标变换式。
图形变换具有如下性质: 1. 母元中的坐标线对应于等参元的直线； 2. 四结点正方形母元对应于四个结点可以任意布置的直边四边形等参元； 3. 变换式(2-6-1)能保证相邻等参元的边界位移彼此协调。
《有限元》讲义
2.6 四结点四边形单元
(The four-node quadrilateral element)
前面介绍了四结点的矩形单元 其位移函数:
U = α1 + α 2 x + α3 y + α 4 xy V = α5 + α 6 x + α 7 y + α8 xy
为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化， 比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本 节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。
对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性 的（因边界不与x,y轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协 调元），而使收敛性受到影响。可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体 坐标中的四边形（图a）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。
有限元课件-第2讲__矩阵分析及弹性力学基础
11 ε 21 31
12 22 32
剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。
弹性系数矩阵的Voigt标记
平面问题及其基本方程
弹性体在满足一定条件时，其变形和应力 的分布规律可以用在某一平面内的变形和 应力的分布规律来代替，这类问题称为平 面问题。平面问题分为平面应力问题和平 面应变问题。
三大类基本方程
在弹性力学中针对微小的单元体建立基本 方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分 析问题归结为偏微分方程组的边值问题。 弹性力学的基本方程包括
平衡方程：内力和外力的关系 几何方程：应变和位移的关系 物理方程（本构方程）：应力和应变的关系
平衡方程
ab=dx ad=dy
F 0 F 0 M 0
矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵
对称方阵
矩阵行列式
或
奇异矩阵(方阵)
矩阵的逆
如果方阵A的行列式 则其逆存在，记为
A的伴随矩阵
对于：
线性方程组的求解，变为求 解系数矩阵的逆矩阵
矩阵的微分和积分
正定二次型
二次型：含有n个变量的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,
, xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
第2讲
矩阵算法及弹性力学基础
2.1 矩阵算法
线性方程组的表示 行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算 矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵 矩阵行列式 矩阵求逆 矩阵的微分和积分 正定矩阵（正定二次型）
线性Biblioteka 程组的表示求解方法：高斯消元法、迭代法
行向量和列向量
矩阵加、减、乘法运算
du dL
有限元分析的力学基础
应用场景：流体 动力学分析广泛 应用于航空航天、 汽车、船舶、能 源等领域如飞机 机翼的气动性能 分析、汽车发动 机的流体动力学 分析等。
优势：有限元分 析能够处理复杂 的几何形状和边 界条件提供高精 度和可靠的分析 结果有助于优化 设计和改进产品 性能。
未来发展：随着 计算技术和数值 方法的不断进步 有限元分析在流 体动力学分析中 的应用将更加广 泛和深入有望在 解决复杂流体动 力学问题方面发 挥更大的作用。
特点：适用于大规模复杂问题的求解但需要设置合适的初值和解的精度要求。
有限元分析的精度与收敛性
精度：有限元分析的精度取决于网格划分的大小和形状以及所选择的近似函数。 收斂性：有限元分析的收敛性是指随着网格的细化解的近似值将逐渐接近真实解。 收敛速度：收敛速度取决于所选择的有限元类型和边界条件。 误差估计：通过误差估计可以确定所需的网格细化程度以确保解的精度。
弹性力学的 应用实例
塑性力学基础
定义：塑性力学是研究材料在达到屈服点后发生不可逆变形时行为规律的学科。 特点：塑性变形过程中外力的大小和方向可以发生变化而材料的内部结构保持不变。 塑性力学的基本方程：包括应力-应变关系、屈服准则、流动法则等。 应用：塑性力学在工程领域中广泛应用于金属成型、压力容器设计等领域。
局限性：塑性力 学模型忽略了材 料在塑性变形过 程中的微观结构 和相变行为因此 对于某些特定材 料或极端条件下 的应用可能存在 局限性。
流体动力学模型
简介：流体动力 学模型是有限元 分析中用于描述 流体运动的数学 模型包括流体压 力、速度、密度
等参数。
方程形式：流体 动力学模型通常 由一组偏微分方 程表示如NvierSkes方程描述了 流体的运动规律。
单元分析： 对每个单元 进行力学分 析包括内力、 外力、位移 等
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2.4.3 材料物理方程
（二）对于平面应变问题 3、将E换成 ，μ换成 ，可将 两种平面问题的应力应变关系写成如 下简洁的矩阵形式 σ=Dε 平面应力问题：
E1=E，μ1=μ 平面应变问题：
51
2.4.4 边界条件
位移边界条件 给定位移边界 Su ，物体的位移分量必须
等于边界上的已知位移，即
x
41
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 1、定义x方向的线应变
y u
v v dy y u dy y
B'' B
xy
B'
A'
yx
v dx x
dy P' v P o u dx A'' A
u u dx x
v
x
42
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 2、定义y方向的线应变
52
2.4.4 边界条件
力边界条件 给定面力边界 Sσ ，应力分量与面力分量
应满足平衡关系，在力边界点即在该点 的分布面力的两个分量为
53
2.4.5 平面问题的基本解法
8个未知变量 u，v，εx，εy，γxy，σx，σy，τxy 8个独立方程 平衡微分方程
xy yx
18
2.2 弹性力学中的基本量
（三）应力 1、应力6分量
19
2.2 弹性力学中的基本量
（三）应力 2、应力分量的正负约定
当外法线方向与坐标轴正向一致时为正坐 标面，如图中所示。反之，为负坐标面。 正坐标面上的应力分量以沿坐标正方向为 正，负坐标面上的应力分量以沿坐标的负 向为正。 2 应力的量纲是[力/长度 ]
8
2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 5 、小变形假设：物体变形远小于物体的几 何尺寸，在建立方程时，可以忽略高阶小量 （二阶以上）。 假设物体在载荷或温度变化等因素作用下各 点所产生的位移都很小，使得各点的应变分 量和转角都远小于 1 。在建立平衡方程时， 可用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 2、沿x方向所有合力的平衡
37
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 3、沿y方向所有合力的平衡
38
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 4、所有合力关于任一点的力矩平衡
39
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 5、归纳后得平面问题的平衡微分方程
σz=μ（σx+σy）
32
2.4 平面问题的数学提法
（一）平面问题的特点 位移矢量：
应变分量：
应力分量：
33
2.4 平面问题的数学提法
（二）平面问题的基本方程及边界
条件
1、三类基本方程
（1）平衡微分方程-力的平衡方程 （2）几何方程-应变与位移的关系方程 （3）材料物理方程-应力与应变的关系
板厚t可以有小的变化 表面可以不平，中面必须为平面 板边作用力可以放松到对称中面分 布 所有变量如位移、应变、应力均理 解为沿板厚的平均值
27
2.3.2 平面应变问题
（一）构成平面应变问题的条件 1、几何条件
所研究结构是长柱体（理论上假设为无限 长细长结构），且横截面沿长度方向不变， 长度尺寸远大于横截面尺寸， Z轴平行于 柱体母线。 作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面 且沿纵向 Z方向均匀分布，两端面不受力， 限制Z向位移。
60
2.6 虚功原理
虚位移 虚应Biblioteka 体力 表面力61
2.6 虚功原理
虚功原理 对于处于平衡状态的变形体，外力在虚
2、边界条件
（1）位移边界条件 （2）外力边界条件
34
2.4.1 平衡微分方程
（一）建立平衡关系 1、沿x方向所有合力的平衡； 2、沿y方向所有合力的平衡； 3、所有合力关于任一点的力矩平衡。
35
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 1、设体力集度矢量
36
2、以位移分量作为基本未知量的位移法
求解。
由一些只包含位移分量的微分方程和边界条 件求出位移分量以后，再用几何方程求出应 变分量，从而用物理方程求出应力分量。
57
2.5 弹性力学的一般原理
圣维南原理 对于作用在物体边界上一小块表面上的
外力系可以用静力等效（主矢量、主矩 相同）并且作用于同一小块表面上的外 力系替换，这种替换造成的区别仅在离 该小块表面的近处是显著的，而在较远 处的影响可以忽略。
B'
A'
yx
v dx x
dy P' v P o u dx A'' A
u u dx x
v
x
44
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 4、归纳以上，平面问题的几何方程为
45
2.4.3 材料物理方程
广义胡克定律
46
2.4.3 材料物理方程
（一）对于平面应力问题 1 、由于三个应力分量 σz=0 ， τzy=0 ， τzx=0
47
2.4.3 材料物理方程
（一）对于平面应力问题 2、若以应变表示应力则有
48
2.4.3 材料物理方程
（二）对于平面应变问题 1 、由于三个应变分量 εz=0 ， γzx=0 ， γzy=0
49
2.4.3 材料物理方程
（二）对于平面应变问题 2、若以应变表示应力有
50
54
2.4.5 平面问题的基本解法
8个独立方程 几何方程
55
2.4.5 平面问题的基本解法
8个独立方程 物理方程
56
2.4.5 平面问题的基本解法
1、以应力分量为基本未知量的应力法求
解
由一些只包含应力分量的微分方程和边界条 件求出应力分量以后，再用物理方程求出应 变分量，从而用几何方程求出位移分量。
所研究的结构是一很薄的等厚度薄板
2、载荷条件
作用于薄板上的载荷平行于板面且沿厚度 方向均匀分布，而在两板面上无外力作用
25
2.3.1 平面应力问题
（二）平面应力问题
σz=0 τzy=0
τzx=0
σx≠0
σy≠0
τxy=τyx
26
2.3.1 平面应力问题
（二）平面应力问题 广义平面应力问题
弹性力学 基本变量 确定不变
4
2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 1、连续性假设：物质无空隙，可用连 续函数来描述。 物体被组成该物体的介质所充满，没 有任何空隙。其应力、应变和位移等 物理量都是连续变化的，可用连续函 数进行描述。
5
2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 2、均匀性假设：物体内各个位置的物 质具有相同特性。 假设组成物体的材料在物体空间是均 匀分布。即物体内的各部分具有相同 的力学性能，如弹性常数杨氏模量E和 泊松比u等。
22
2.2 弹性力学中的基本量
（四）外力（载荷） 作用在物体上的外力分为体积力和表 面力。
1、体积力是指分布在物体体积内部的力， 记为 2、表面力是作用在物体表面的力。记为
23
2.3 两种平面问题
平面问题
平面应力问题
平面应变问题
24
2.3.1 平面应力问题
（一）构成平面应力问题的条件 1、几何条件
y u
v v dy y u dy y
B'' B
xy
B'
A'
yx
v dx x
dy P' v P o u dx A'' A
u u dx x
v
x
43
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 3、定义夹角的变化
y u
v v dy y u dy y
B'' B
xy
（二）应变 3 、当物体上每个 点的位移都确定之 后，每个微团的变 形也就确定了，其 间的数学关系，即 几何方程为
15
2.2 弹性力学中的基本量
（二）应变 4、微团变形的核心 任意微线段的相对伸长，即任意方向 的线应变。 只有将任意方向线应变都表示的量才 能用来描写微团的变形。
1
第二章 弹性力学基础
2
第二章 弹性力学基础
2.1 弹性力学中的基本假设 2.2 弹性力学中的基本量
2.3 两种平面问题
2.4 弹性力学平面问题的数学提法
2.5 弹性力学的一般原理
2.6 虚功原理 2.7 势能原理
3
2.1 弹性力学中的基本假设
（一）什么是变形体？ 物体内任意两点之间可发生相对移动 （二）变形体的描述
6
2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 3、各向同性假设：物体内同一位置的 物质在各个方向上具有相同特性。 假设组成物体的材料在物体空间内每 一点沿不同方向的力学性能相同，物 体的弹性常数与方向无关。
7
2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 4、完全弹性（线性弹性）假设：物体 的变形与外力作用的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状。 假设物体受外部因素作用引起变形， 外部因素撤去后能完全恢复而没有任 何残余变形。同时假设材料服从胡克 定律，即应力与应变成正比。
16
2.2 弹性力学中的基本量