2020-2021杭州市高一数学下期末模拟试题带答案

2020-2021杭州市高一数学下期末模拟试题带答案
一、选择题
1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
2．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥
D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥
3．已知集合{
}
22
(,)1A x y x y =+=，{}
(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
73
B ．
8π
3
- C ．83
D ．
7π
3
- 5．若,αβ均为锐角，5
sin 5
α=，()3sin 5αβ+=，则cos β=
A 25
B ．
25
25 C 25
或
2525
D ．5
25
-
6．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +
2π
3
)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个
单位长度，得到曲线C 2
7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为
A ．
12
尺 B ．
815
尺 C ．
1629
尺 D ．
1631
尺 8．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞
B ．[)0,+∞
C ．[)0,4
D ．（0，4）
9．已知{}n a 的前n 项和2
41n S n n =-+，则1210a a a +++=L （ ）
A ．68
B ．67
C ．61
D ．60 10．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
11．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生
B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生
12．已知圆()()2
2
:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
二、填空题
13．已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2
f x x x π
ϕϕϕ=---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区
[6π
-
,
5]12
π
上的最大值为__. 14．在ABC ∆中，若3
B π
=
，3AC =2AB BC +的最大值为__________．
15．已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.
16．已知函数3
2
()21f x x x ax =+-+在区间上恰有一个极值点，则实数a 的取值
范围是____________
17．函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.
18．已知点()M a b ，在直线3415x y +＝
上，则22a b +的最小值为_______． 19．若()1,x ∈+∞，则1
31
y x x =+
-的最小值是_____． 20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =u u u v u u u v
，M 是线段CE 上一动点. （1）若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+u u u u v u u u v u u u v
，求m n +的值；
（2）若9,43AB CA CE =⋅=u u u v u u u v
，求()
2MA MB MC +⋅u u u v u u u v u u u u v 的最小值.
22．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，
4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.
23．已知函数()()2
2
f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈
（I ）求2f 3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.
24．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知22
19a a =，618S =.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及对应n 的大小.
25．在ABC V 中，3,sin 2sin BC AC C A ===. （Ⅰ）求AB 的值； （Ⅱ）求sin 24A π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的值． 26．ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =v
，
(2,)n a c b =+v
，且m n ⊥u v v .
（1）求角B 的大小；
（2）若7b =，8a c +=，求ABC ∆的面积.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
1353333,1a a a a a ++===，5153355
()25522
S a a a a =
+=⨯==，选A. 2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断． 【详解】
对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定； 对于B 选项，若l αβ=I ，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；
对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，
n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥；
对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直． 故选C ． 【点睛】
本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆
2
2
1x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝
⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为
21118222123233π
π-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 【详解】
∵α为锐角，252
sin 52α=＞
s ，∴α＞45°且55
cos α= ， ∵()3sin 5αβ+=
，且132252
＜＜ ，2παβπ∴+＜＜，
∴4
5
cos
αβ+=-（） ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα4532525
55=-⨯+⨯=．
故选B. 【点睛】
本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
6．D
解析：D 【解析】
把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π
6
）=sin （2x +
2π
3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π
π+
()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π
π+()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.
7．C
解析：C 【解析】
试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为
，
,求公差，，解得：
尺，故选C.
考点：等差数列
8．C
解析：C 【解析】
当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式
2
10kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则2
40
k k k >⎧⎨
=-<⎩V 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[
)0,4，故选C. 9．B
解析：B 【解析】 【分析】
首先运用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可
得到答案． 【详解】
当1n =时，112S a ==-；
当2n ≥时，()
()()2
2
141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦
， 故2,1
25,2
n n a n n -=⎧=⎨
-≥⎩；
所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，
()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=L L .
故选：B ． 【点睛】
本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
可采用构造函数形式，令()()()35
lg 1,1
x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解 【详解】
由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠，
令358
()(1)lg(1)350lg(1)311
x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--， 令()()()35
lg 1,1
x h x x g x x +=+=
-，画出函数图像，如图：
则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选：B 【点睛】
本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】
详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n
=+()n *∈N ，
若8610n =+，则1
5
n =
，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】
本题主要考查系统抽样.
12．B
解析：B 【解析】
由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.
考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.
二、填空题
13．【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数
【解析】 【分析】
利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6
f x x π
ϕ=--
,再根据图象关于y 轴对称可求得
()2cos2f x x =-,再结合余弦函数的图像求出最值即可.
【详解】
因为函数()()()2cos 2f x x x ϕϕ=---2sin(2)6
x π
ϕ=--的图象关于y 轴对称,
所以πππ62k ϕ--=+,即()2ππ,3
k k Z ϕ=--∈. 又2π
ϕ<
,则π3
ϕ=
,即()2sin(2)2cos22f x x x π
=-=-.
又因为π5π612x -
≤≤,所以π5π236x -≤≤,则当5π
26x =,即5π12
x =时,()f x 取得最大值5π
2cos
6
-=.
【点睛】
判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如： 若()sin y x ωϕ=+为奇函数,则π,Z k k ϕ
=∈；
若()sin y x ωϕ=+为偶函数,则π
π+,Z 2
k k ϕ=∈； 若()cos y x ωϕ=+为偶函数,则π,Z k k ϕ
=∈；
若()cos y x ωϕ=+为奇函数,则π
π+
,Z 2
k k ϕ=∈. 14．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式
解析：【解析】 【分析】 【详解】
设
2
2sin sin 3AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭Q
22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭
2sin BC θ
=()222sin 4sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫
∴+=-+=+ ⎪⎝⎭
，最大值为考点：解三角形与三角函数化简
点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只
需将三角函数化简为()sin cos a b θθθϕ+=
+的形式
15．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值 解析：3
π
【解析】 【分析】
先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出
m 的表达式，即可求出m 的最小值．
【详解】 由2T π
πω=
=得2ω=，所以sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到
sin[2()]sin(22)33
y x m x m ππ
=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函
数，有2,3
m k k Z π
π+=∈，则6
2
k m π
π=-
+
，故m 的最小值为3π
．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2
k π
ϕπ=
+；
cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2
k π
ϕπ=
+；为偶函数，则k ϕπ=．
16．【解析】【分析】【详解】由题意则解得-1＜a ＜7经检验当a=-1时的两个根分别为所以符合题目要求时在区间无实根所以 解析：17a -≤<
【解析】 【分析】 【详解】
由题意，2
()34f x x x a '=+-，则(1)(1)0f f ''-<，解得-1＜a ＜7，经检验当a=-1时，
2()3410f x x x '=++=的两个根分别为121,13
x x =-=-，所以符合题目要求，7a =时，2()3410f x x x '=++=,在区间
无实根，所以17a -≤<．
17．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：134
-
【解析】 【分析】
利用换元法，令sin x t =，[]
1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】
令sin x t =，[]
1,1t ∈-，则2
113324
y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当12
t =-
时，函数有最小值134-，故答案为13
4-.
【点睛】
求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2
sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x b
y c x d
+=
+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③
sin cos y a x b x =+型，可化为22)y a b x φ=++求最值；④形如
()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 18．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于
解析：3 【解析】 【分析】
22a b +()0,0到点(),a b 的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果. 【详解】
22a b +()0,0到点(),a b 的距离，又∵点(),M a b 在直线:3425
l x y +=22a b +()0,0到直线34150x y +-=的距离，且
2
2
304015
334
d ⨯+⨯-=
=+.
【点睛】
本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.
19．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题
解析：3+【解析】 【分析】
由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1
=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】
解：x 1>Q ，()11
y 3x 3x 13x 1x 1
∴=+
=-++--
33≥=，（当且仅当1x =+
取等号）
故答案为3． 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．
20．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图
【解析】
试题分析：该三棱锥底面是边长为2，有两个侧面是底边为2，高
为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为
．
考点：三视图．
三、解答题
21．（1）43；（2）754
- 【解析】 【分析】 【详解】
（1）因为M 是线段CE 的中点，
所以()
11112222
AM AC AE AD AB AE =+=
++u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
112151223262
AB AB AD AB AD =+⋅+=+u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 故514
623m n +=
+=. （2）1,3
CA AB AD CE CB BE AD AB =--=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
22114()33
3CA CE AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=--⋅--=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
2213
AB AD =+u u u u r u u u
r 22221194333AB AD AD +=⨯+=u u u
r u u u r u u u r ||4, 4AD AD BC =⇒==u u u r
故5CE =u u u v
； 设ME t =u u u v ，则()505MC t t =-≤≤u u u u v ， ()()
222MA MB MC ME EA ME EM MC +⋅=+++⋅u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v ()()33535ME MC t t t t =⋅=--=-u u u v u u u u v
为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即52t =时，()
75
24
MA MB MC +⋅=-u u u v u u u v u u u u v .
所以()
2MA MB MC +⋅u u u v u u u v u u u u v 的最小值为754
-.
22．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)4
53
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得
，取
的中点T ，连接
，由N 为
中点知，.
又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（Ⅱ）因为平面
，N 为
的中点，
所以N 到平面的距离为.
取的中点
，连结
.由得，.
由得到
的距离为
，故1
45252
BCM S =
⨯⨯=V . 所以四面体
的体积145
32N BCM BCM PA V S -=
⨯⨯=
V . 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．
23．（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππ
ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】
（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-x cos x ， ＝﹣cos2x 3-x ，
＝﹣226sin x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭， 则f （
23π）＝﹣2sin （
436
ππ
+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6
f x x π
=-+
． 所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得
3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈， 解得
2,6
3
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,
]63
k k k ππ
+π+π∈Z ，． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简，以及函数
的性质，是高考中的常考知
识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即
，然后利用三角函数
的性质求解．
24．（1）*
(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．
【解析】 【分析】
（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式. （2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小. 【详解】
（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．
由22
19a a =，得140a d +=，
由618S =，得15
32
a d +
=， 于是18a =,2d =-．
所以{}n a 的通项公式为*
(2)10n a n n ∈=-N ．
（2）由（1）得(1)
8(2)2
n n n S n -=+
⨯- 29n n =-+
2981
()24
n =--+
因为*n ∈N ， 所以当4n =或5n =时,
n S 有最大值为20．
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.
25．（Ⅰ）25；（Ⅱ）210
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接利用正弦定理可求AB 的值；（Ⅱ）由余弦定理求得cos A ，再利用同角三角函数的关系求出sin A ，由二倍角公式求出sin 2A ，cos2A ，根据两角差的正弦公式可求
sin 24A π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值．
【详解】 （Ⅰ）在中，根据正弦定理，
sin sin AB BC
C A
=， 于是sin 225sin BC
AB C
BC A
=== （Ⅱ）在ABC ∆中，根据余弦定理，得222
cos 2AB AC BC A AB AC
+-=⋅
于是25sin 1cos A A =-=
从而2243sin 22sin cos ,cos 2cos sin 55
A A A A A A ==
=-= 2sin 2sin 2cos cos 2sin 44410A A A πππ⎛
⎫-=-=
⎪⎝
⎭． 【点睛】
本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 26．（1）23π；（2153. 【解析】
试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若m n v v
⊥，则有cosB•（2a+c ）+cosC•b=0，结合正弦定理可得cosB•（2sinA+sinC ）+cosC•sinB=0，将其整理变
形可得1
cos 2
B =-
，由B 的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a 2+c 2+ac ，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案． 详解：
（1）∵m n ⊥，∴()cos 2cos 0B a c C b ⋅++⋅=， ∴()cos 2sin sin cos sin 0B A C C B ⋅++⋅=，
∴()2cos sin sin cos cos sin B A C B C B =-⋅+⋅ ()sin sin B C A =-+=-， ∴1cos 2B =-
，∴23
B π=. （2）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，∴2249a c ac =++， 又因为8a c +=，∴()2
64a c +=，∴22264a c ac ++=，∴15ac =，
则1sin 2S ac B =
⋅=
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.。