微积分——多元函数及二重积分知识点
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π的法矢量为n，则 在n上的投影的绝对值即为所求的距离.即
而 ，所以wenku.baidu.com
4. 设L1与公垂线O1O2确定的平面为π1，由π1经过点M1（x1,y1,z1）设π1的法矢量为 ，由O1O2的方向向量为 ，而 知 从而可用点法式写出平面
π1的方程。
设L2与公垂线O1O2确定的平面为π2，由π2经过点M2（x1,y1,z1）设π2的法矢量为 ，同理可得 ，从而可用点法式写出平面π2的方程，因此
定义两个矢量 与 ，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作 .换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改
变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。
称为按照 的坐标分解式， 称为坐标式。 若 记 。知 是单位矢量且与 的方向一致，且 。因此，告诉我们求矢量 的一种方法，即只要求出 的大小 和与 方向一致的单位矢量 ，则 若 ，知
（2）由直线是两个平面的交线，知三元一次方程组有无数组解。
例如 令z=0，解得x=x0,y=y0,且直线既在π1内又在π2内，知直线既垂直于 ，又垂直于 ，所以直线的方向向量为 ，从而直线可用点向式表示
若从直线的一般式求直线的方向向量 ，则
6．判断两直线的位置关系
设
（i）若 在同一平面内且平行
（ii）若 且
解
由公式 得
例 已知 都是单位矢量且 ，求
分析 利用 与 .
解 由
又 ，故
例 设 ，向量 共面且
解法一 设 共面，知
（1）
由条件 ，有 即 （2）
由条件 即 （3）
（1）、（2）（3）三式联立，解得 ，所以
解法二 因 共面，且 不共线，故可设
得
（4）
得
（5）
（4）（5）联立，解得 于是
解法三 由 在 上的投影相等且为正，知 在 的夹角相等且为锐角，又因 与 共面，知 的方向即是〈AOB的角平分线方向，而 的方向即是平分线方向，因此
平行，可设 ，
由 ，
故
解法四 由
，
按
例设
分析 利用点积、叉积、混合积的性质.
解原式
第二节 直线与平面
一、内容精要
（一） 定理与公式
其中
1．设 直线L方程为 ，其中 是直线L上一点， 是L的方向向量，P1（x1,y1,z1）是直线L外一点，则P1到L的距离为 .
证 连接P0P1，过P1作L的垂线，垂足为Q，以 分邻边作平行四边形，由 在直线L上，知 ，于是
而 从而
又P0点在平面π上，有 ，故
3. 设有两异面直线
则两直线之间的距离
.证 端点分别在两异面直线上的公垂线的长度称为两异面
直线之间的距离（图7-9）.过直线L1作平面π平行于直线L2，
在L2上取一点M2，在L1上取一点M1，从M2引平面π的垂线
M2M（M为垂足），于是 即为L1与L2的距离.设平面
（iii）若 为异面直线。
7．灵活地利用所给条件，用平面的一般式求平面方程
其中 是 分别与Ox轴，Oy轴，Oz轴正向的夹角，而
且
2.矢量间的运算
设
的确定（1） （2） 与 所确定的平面 ，方向可任意确定）垂直，且 构成右手系若 用坐标式给出，则
由行列式的性质可知
的几何意义： 表示以 为邻边的平行四边形
的面积，即
容易知道以 为邻边的三角形面积为
.
容易验证
的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。
第四章矢量代数与空间解析几何
微积分二大纲要求
了解两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影.
会求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程.
垂线交 上一点P，OP称为 在 的投影，记作
,
即
这个公式对我们在后面求点到直线上距离，点到平面距离，两异面直线公垂线的长都有帮助。
二、考题类型、解题策略及典型例题
类型求矢量的模
解题策略 1. ，2. ，
例 已知 互相垂直，且 ，求 的模。
分析 利用 与 ，下一题类似.
解 由 两两垂直，知 ，知 .
例 设 ，若以 为邻边的平行四边行的面积为6，求常数k。
理解空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式
掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法，平面方程和直线方程及其求法.
第一节 矢量代数
一、内容精要
（一） 基本概念
1.矢量的概念
定义 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。
3.矢量间的关系
1. .
2. 的分量对应成比例 ，总存在唯一的常数 ，使 。
以上是我们在实际中判断两矢量垂直与平行的常用方法，请记住.
3. 共面 不共线总存在唯一的两个实数m,n，使 .
4.设三个矢量 不共面，则对空间任一矢量 ，总存在唯一的三个常 m,n,使
5.设 ， 上的投影指的是
把 的起点平移到 的起点O，过 的终点作 的
注：在证明过程中假设P0不是P1的垂足，若P0是垂足，则 ，实际上 时，上式依然成立。
2。设平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0, 是平面的法矢量，P1（x1,y1,z1）是平面π外一点，则P1到平面π的距离为 .
证 过 作平面的垂线，垂足为Q，在平面π内选一点 ，连接P1P0，得矢量 ，由 ，知 ，于是
公垂线O1O2的方程： π1方程，
π2方程.
O1O2与L1的垂足O1： L1方程，
π2方程.
O1O2与L2的垂足O2： L2方程，
π1方程
5. 直线方程的点向式与一般式的相互转化.
点向式 转化为一般式为
一般式
（1）消元法：例如 消去x，得y,z的一次方程，解出 .消去y，得x，z 的一次方程。解得 ，于是直线的点向式为
的几何意义 表示以 为邻边的平行六面体的体积，即
容易知道以 为邻边的四面
体的体积为
的应用特别重要，既若直线L既垂直矢量 ，也垂直矢量 不平行，则L与 确定的平面垂直，又 也与 确定的平面垂直，由两直线与同一平面垂面，则两直线平行.知L与 平行，换句话说 是直线L的方向向量，是 确定平面的法矢量，这对于求直线方程与平面方程显得非常重要。
而 ，所以wenku.baidu.com
4. 设L1与公垂线O1O2确定的平面为π1，由π1经过点M1（x1,y1,z1）设π1的法矢量为 ，由O1O2的方向向量为 ，而 知 从而可用点法式写出平面
π1的方程。
设L2与公垂线O1O2确定的平面为π2，由π2经过点M2（x1,y1,z1）设π2的法矢量为 ，同理可得 ，从而可用点法式写出平面π2的方程，因此
定义两个矢量 与 ，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作 .换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改
变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。
称为按照 的坐标分解式， 称为坐标式。 若 记 。知 是单位矢量且与 的方向一致，且 。因此，告诉我们求矢量 的一种方法，即只要求出 的大小 和与 方向一致的单位矢量 ，则 若 ，知
（2）由直线是两个平面的交线，知三元一次方程组有无数组解。
例如 令z=0，解得x=x0,y=y0,且直线既在π1内又在π2内，知直线既垂直于 ，又垂直于 ，所以直线的方向向量为 ，从而直线可用点向式表示
若从直线的一般式求直线的方向向量 ，则
6．判断两直线的位置关系
设
（i）若 在同一平面内且平行
（ii）若 且
解
由公式 得
例 已知 都是单位矢量且 ，求
分析 利用 与 .
解 由
又 ，故
例 设 ，向量 共面且
解法一 设 共面，知
（1）
由条件 ，有 即 （2）
由条件 即 （3）
（1）、（2）（3）三式联立，解得 ，所以
解法二 因 共面，且 不共线，故可设
得
（4）
得
（5）
（4）（5）联立，解得 于是
解法三 由 在 上的投影相等且为正，知 在 的夹角相等且为锐角，又因 与 共面，知 的方向即是〈AOB的角平分线方向，而 的方向即是平分线方向，因此
平行，可设 ，
由 ，
故
解法四 由
，
按
例设
分析 利用点积、叉积、混合积的性质.
解原式
第二节 直线与平面
一、内容精要
（一） 定理与公式
其中
1．设 直线L方程为 ，其中 是直线L上一点， 是L的方向向量，P1（x1,y1,z1）是直线L外一点，则P1到L的距离为 .
证 连接P0P1，过P1作L的垂线，垂足为Q，以 分邻边作平行四边形，由 在直线L上，知 ，于是
而 从而
又P0点在平面π上，有 ，故
3. 设有两异面直线
则两直线之间的距离
.证 端点分别在两异面直线上的公垂线的长度称为两异面
直线之间的距离（图7-9）.过直线L1作平面π平行于直线L2，
在L2上取一点M2，在L1上取一点M1，从M2引平面π的垂线
M2M（M为垂足），于是 即为L1与L2的距离.设平面
（iii）若 为异面直线。
7．灵活地利用所给条件，用平面的一般式求平面方程
其中 是 分别与Ox轴，Oy轴，Oz轴正向的夹角，而
且
2.矢量间的运算
设
的确定（1） （2） 与 所确定的平面 ，方向可任意确定）垂直，且 构成右手系若 用坐标式给出，则
由行列式的性质可知
的几何意义： 表示以 为邻边的平行四边形
的面积，即
容易知道以 为邻边的三角形面积为
.
容易验证
的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。
第四章矢量代数与空间解析几何
微积分二大纲要求
了解两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影.
会求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程.
垂线交 上一点P，OP称为 在 的投影，记作
,
即
这个公式对我们在后面求点到直线上距离，点到平面距离，两异面直线公垂线的长都有帮助。
二、考题类型、解题策略及典型例题
类型求矢量的模
解题策略 1. ，2. ，
例 已知 互相垂直，且 ，求 的模。
分析 利用 与 ，下一题类似.
解 由 两两垂直，知 ，知 .
例 设 ，若以 为邻边的平行四边行的面积为6，求常数k。
理解空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式
掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法，平面方程和直线方程及其求法.
第一节 矢量代数
一、内容精要
（一） 基本概念
1.矢量的概念
定义 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。
3.矢量间的关系
1. .
2. 的分量对应成比例 ，总存在唯一的常数 ，使 。
以上是我们在实际中判断两矢量垂直与平行的常用方法，请记住.
3. 共面 不共线总存在唯一的两个实数m,n，使 .
4.设三个矢量 不共面，则对空间任一矢量 ，总存在唯一的三个常 m,n,使
5.设 ， 上的投影指的是
把 的起点平移到 的起点O，过 的终点作 的
注：在证明过程中假设P0不是P1的垂足，若P0是垂足，则 ，实际上 时，上式依然成立。
2。设平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0, 是平面的法矢量，P1（x1,y1,z1）是平面π外一点，则P1到平面π的距离为 .
证 过 作平面的垂线，垂足为Q，在平面π内选一点 ，连接P1P0，得矢量 ，由 ，知 ，于是
公垂线O1O2的方程： π1方程，
π2方程.
O1O2与L1的垂足O1： L1方程，
π2方程.
O1O2与L2的垂足O2： L2方程，
π1方程
5. 直线方程的点向式与一般式的相互转化.
点向式 转化为一般式为
一般式
（1）消元法：例如 消去x，得y,z的一次方程，解出 .消去y，得x，z 的一次方程。解得 ，于是直线的点向式为
的几何意义 表示以 为邻边的平行六面体的体积，即
容易知道以 为邻边的四面
体的体积为
的应用特别重要，既若直线L既垂直矢量 ，也垂直矢量 不平行，则L与 确定的平面垂直，又 也与 确定的平面垂直，由两直线与同一平面垂面，则两直线平行.知L与 平行，换句话说 是直线L的方向向量，是 确定平面的法矢量，这对于求直线方程与平面方程显得非常重要。