第一章 概率论的基本概念重点和难点

第一章概率论的基本概念

一、重点、难点概要复述

随机事件的定义及事件间的关系；概率的定义及性质；常见的三大概率模型：古典概型，几何概型，贝努利概型；条件概率与三大公式：乘法公式，全概公式，贝叶斯公式；事件的独立性。

1.设事件表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则表示_________________.

2.设为事件，则都发生可表示为___________________；发生但与不发生可表示为_______________；中不多于一个发生可表示为

________________.

3．设为随机事件，则。

A．B．

C．D．

4. 设为随机事件，则。

A． B． C． D．

5.设事件满足，则 _______.

6.将20本书随机放入书架，则指定的某3本书挨在一起的概率是

____________.

7.向半径为的圆内随机抛一质点，则质点落入圆内接正方形区域的概率为__________.

8.将一枚骰子连续抛掷100次，则事件“出现1点或6点”至少发生2次的概率为_______.

9. 一批灯泡共100只，其中10只为次品。做不放回抽取，每次取1只，则第3 次才取到正品的概率为___________.

10. 三个箱子，第一个箱子有4个黑球、1个白球，第二个箱子有3个黑球、3个白球，第三个箱子有3个黑球、5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中任取一个球，则这个球为白球的概率为

___________。若已知取得的球为白球，则此球属于第二个箱子的概率

为__________.

二、常见问题及解法

(一) 随机事件的表示：

1．随机事件的表示：设为随机事件，则

i）同时发生可表示为；

ii）至少有一个发生可表示为；

iii）发生但不发生可表示为

（二）随机事件概率的求法

1．利用加法公式：

2. 应用乘法公式：，其中.

，其中。

注：若，则由乘法公式可得

从而，也即与可以相互转换。又因

；

故，可相互转换。

3. 在古典概型中求事件的概率：

4. 在几何概型中求事件概率：

5. 在贝努利概型中求事件的概率：在重貝努利试验中，事件每次发生的

概率为，则事件 恰发生次的概率为：，。

6. 利用全概公式与逆概公式求概率：设是完备事件组，，是任一个事

件，则

（i）全概公式:

（ii）逆概公式：，其中。

（三）事件独立性的判断

1. 根据实际问题直观判断

2. 根据定义来判断或证明：事件相互独立当且仅当。

三、拓展练习

1.设事件满足求

2.设事件满足，已知，求。

3．设事件满足，，，

求至少有一个发生的概率为。

4. 设事件满足 则有

（A） （B）

（C） （D）

5. 设事件满足则

（A） （B）

（C） （D）不相互独立

6. 袋中装有5只白球、6只黑球。从中任取2球。求

（1）取出的2球恰有1白1黑的概率；

（2）取出的2球至少有1黑球的概率。

7. 某人向目标连续射击6次，每次击中目标的概率为。求

（1）第1次、第2次、第5次击中目标的概率；

（2）恰有3次击中目标的概率；

（3）至少有1次击中目标的概率。

8.向区间[0,1]内连续两次抛掷同一颗钢珠，求两次落地点之间的距离的概率。

9.已知袋中装有同型号小球8个，其中4个黑球、4个白球。现每次从袋中任取1球，观其颜色后放回，并再放入2个同型号、同颜色的小球。则三次都取到黑球的概率是多少？

10.甲乙两套系统共同工作，系统甲和系统乙有效的概率均为0.9，已知甲失灵的条件下，乙失灵的概率为0.2.求

（1）乙失灵的条件下，甲有效的概率；

（2）两个系统至少有一个有效的概率。

11.甲袋中有5只红球、4只白球；已袋中有4只红球、5只白球。先从甲袋中任取2球放入已袋中，然后再从乙袋中任取1球。

（1）求从乙袋中取出的是白球的概率；

（2）若已知从乙袋中取出的是白球，则从甲袋中取出的是1只白球、1只红球的概率。

12.据以往资料，某厂生产的仪器每台可直接出厂的概率为0.7，需进一步调试的概率为0.3，经调试后产品，出厂的概率为0.8.现该厂共生产了台（）仪器（假定各台生产过程相互独立），求

（1）每台机器可出厂的概率；

（2）恰有两件不能出厂的概率；

（3）至少有两件不能出厂的概率。

13. 设为事件，。若，则为相互独立。