常见数列通项公式的求法

常见数列通项公式的求法-中学数学论文

常见数列通项公式的求法

邹后林

（会昌中学，江西赣州342600）

摘要：数列的通项求法灵活多样，需要充分利用化归与转化思想。非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。现举数例。

关键词：数列；通项公式；求法

中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-12-0031-01

例1：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，等差数列{bn}中，bn0 (n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列。

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn。

解：(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，

∴an＝2Sn－1＋1 (n∈N*，n1)，

∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，

即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an (n∈N*，n1)。

而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1。

∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n－1 (n∈N*)。∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，

在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，

∴b2＝5。

又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2。

∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn0 (n∈N*)，∴舍去d ＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1 (n∈N*)。

(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)3n，②

∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n-1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n-1)－(2n＋1)3n

变式6-2:已知数列an中，a1=1，an+1=3an+3·2n，求通项公式an。答案：an=7·3n－1－3·2n

对于某些数学问题只要密切注意题目条件所给的结构形式，联系与之完全相同或相似的知识很多知识都能迎刃而解。求通项公式是学习数列时的一个难点，同时也是高考的热点，由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。对于数列的研究主要集中在递推关系和通项公式，它们体现了数列的本质。

参考文献：

\[1\]刘祖望。常系数递归数列通项公式的矩阵求法［J］。重庆教育学院学报，2005，(06)。

\[2\]高慧明。数列通项的求法在2008年高考中的展示［J］。试题与研究，2008，(20)。

\[3\]龙志明。数列通项公式的九种求法［J］。求学，2005，(11)。

\[4\]陈云烽。递推数列通项的求解［J］。中学数学教学参考，2007，(6)。