初高中知识衔接过关检测数学试题第一套(1)

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2017衡水中学初高中知识衔接过关检测数学试题第一套

初高中知识衔接过关检测1 1．化简yx y x --22的结果（） A.x+y B.x-yC.y-xD.-x-y2．下列关系式中，正确．．的是（） A.()222b a b a -=- B.()()22b a b a b a -=-+ C.()222b a b a +=+ D.()222b 2ab a b a +-=+ 3．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()()a b a b a b -=+-D ．22(2)()2a b a b a ab b +-=+-4.方程2230x k -+=的根的情况是（）（A ）有一个实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）没有实数根5.若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 6.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）B.3C.6D.97．如果代数式x-2y 的值为3，那么分式22x 4xy 4y x 2y 1-+-+的值为_______。

8．分解因式：（1）23452b a b a a +-=______________（2）x 2－3x=____________；（3）222(1)4x x +-=________________.(4) 2ax 2ax 3a +- = ____． 9．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m 2+2mn+2n 2﹣6n+9=0，求m 和n 的值．解：∵m 2+2mn+2n 2﹣6n+9=0 ∴m 2+2mn+n 2+n 2﹣6n+9=0∴（m+n ）2+（n ﹣3）2=0∴m+n=0，n ﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x 2+2y 2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，满足a 2+b 2=10a+8b ﹣41，且c 是△ABC 中最长的边，求c 的取值范围．10.已知方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．。

初高中衔接型数学试题(1)及参考答案

初高中衔接型数学试题（1）及参考答案一、选择题1．点P （-1，2）关于y 轴对称的点的坐标是（）．A ．（1，2）B ．（-1，2）C ．（1，-2）D ．（-1，-2） 2．在△ABC 中，∠C ＝90°，53sin =A ，则cosA 的值是（）．A ．54B ．53 C ．43 D ．34 3．方程2650x x +-=的左边配成完全平方后所得方程为（）A . 2(3)14x +=B . 2(3)14x -=C . 21(6)2x +=D . 以上答案都不对 4．如图3—1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图3—2所示的一个圆锥模型.设圆的半径为r ，扇形半径为 R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（） A ．R =2r B ．R =94r C ．R =3r D ．R =4r二、填空题5．已知A 是锐角，且31sin =A ，则cos （90°－A ）＝___________．6．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，观测者从测点A 、B 分别测得∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，又量得BC ＝160 m ，则A 、B 两点之间的距离为 m （结果保留根号）三、解答题7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，F 为BC 的中点．P 是BF 上的一点，过点P作BC 的垂线交AB 于D ，交CA 的延长线于E ．若设 BP ＝x ，那么，图中有些量（线段、面积等）可以看作x 的函数，如，PC ＝6－x ，PF ＝3－x 等．除以上两例外，请你再写出一个关于x 的函数解析式，并加以证明．（不要添加辅助线和其它字母）图3—1图3—2第6题图8．如图14—1是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：x /m510 20 30 4050y /m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5（1）请你以上表中的各对数据（x ，y ）作为点的坐标，尝试在图14—2所示的坐标系中画出y 关于x 的函数图象；（2）①填写下表： x5 10 20 30 40 50 2x y②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x 表示y的二次函数的表达式： .（3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？9．如图15—1和15—2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中， Rt △ABC 从点A 与点M 重合的位置开始，以每秒1个单位长的速 QM CAB O 10 20 30 40 50 60x /m214 12 10 86 4 y /m 图14—2你能行，加油呀！xxy图14—1度先向下平移，当BC 边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C 与点P 重合时，Rt △ABC 停止移动.设运动时间为x 秒，△QAC 的面积为y .（1）如图15—1，当Rt △ABC 向下平移到Rt △A 1B 1C 1的位置时，请你在网格中画出Rt △A 1B 1C 1关于直线QN 成轴对称的图形；（2）如图15—2，在Rt △ABC 向下平移的过程中，请你求出y 与x 的函数关系式，并说明当x 分别取何值时，y 取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt △ABC 向右平移的过程中，请你说明当x 取何值时，y 取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？（说明：在（3）中，将视你解答方法的创新程度，给予1~4分的加分）ONPQM CAB图15—2参考答案一、1、答：A2、答：A 分析：可用两种方法解。

初高中数学衔接过关测试题

初高中衔接过关测试题
一、十字相乘
1、()=++-a x a x 12
2、=++2762
x x
3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b
4、6x -6y -32x +1
二、韦达定理
5、已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值
6、若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，求m 2n ＋mn 2－mn 的值
7、关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值
8、若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围
三、二次函数再认识
9、当-2≤x ≤2时，求函数y=2x -2x-3的最大值和最小值
10、设二次函数y=a2x+bx+c在x=0时取得最大值为3，它的图像在x轴上截得的线段长为4，求二次函数的中的a,b,c的值
11、对于函数y=22x+4x-3，当-5≤x≤0时，求y的取值范围
12、某广告公司设计了一幅周长为20米的矩形广告牌，广告设计费为每平方800元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米。

如果你是该广告公司员工，如何设计方案为广告公司获得最大利润？
四、不等式
13、2x+5x-24≥0 14、
3
0 2
x
x
-
≥-
15、21
1
3
x
x
-
>
+
16、
221
2
x x
x
--
<
-。

初升高衔接数学测试题1

衔接班数学练习题（一）一、选择题（每小题5分）1．设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,B y y x ==-，则()R C A B 等于（）A ．(,0]-∞B ．{},0x x R x ∈≠C ．(0,)+∞D ．∅ 2.若112x y -=，则33x xy y x xy y+---的值为（） A.35 B.35- C.53- D.533.一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A.2k >B.2,1k k <≠且C.2k <D.2,1k k >≠且4. 已知集合A={直线} B={椭圆}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2 个D. 0个1个或2个 5、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须（）A ．向上平移1个单位；B ．向下平移1个单位；C ．向左平移1个单位；D ．向右平移1个单位．6.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）.A .B 3 .C 6 .D 97. 已知()2245f x x x =-+-，若[]3,2x ∈--，则()f x 的最大值（）A. -35B.-21C.-3D.-58、若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20052005a b +的值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）1或1-9.已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于A.3-B.5C.53-或D.53-或10.如图，函数y ax b =+与2y ax bx c =++的图象关系可能正确的是（）二、填空题（每小题5分）11.{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A =，满足条件的m 集合是______12.有意义，则实数x 的取值范围为_________________. 13.若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解为{}|02x x <<，则实数m 的值为_______.14.已知集合={||+2|<3}A x R x ∈,集合={|()(2)<0}B x R x m x ∈--,且=(1,)A B n -,则=m __________,=n ___________.15.已知不等式[]22023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立，则实数a 的取值范围为 .16.若二次函数c bx ax y ++=2的顶点为)25,21(，与x 轴交于两点，且这两点的横坐标的立方和为19，则这个二次函数的表达式为 .三、解答题17．已知A=11x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，B={}21,y y x x x R =++∈ （1）求A ，B（2）求,R A B A C B ⋃⋂18．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围．19.R t x x x f ∈++= , 34)(2，函数g(t)表示函数f(x)在区间]1,[+t t 上的最小值，求g(t)的表达式.20.（本小题14分）已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(Ⅰ) 方程两实根的积为5； (Ⅱ) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．21.已知21,x x 是方程01254222=-++m mx x 的两实根，求2221x x +的最大值和最小值。

初中数学 2022-2023学年广东省佛山市高一(上)衔接数学试卷

2022-2023学年广东省佛山市南海区、三水中学联考高一（上）衔接数学试卷一、选择题（共17小题）1．光速约为300000千米/秒，将数字300000用科学记数法表示为（）A．3×104B．3×105C．3×106D．30×1042．宁波轨道交通1号线、2号线建设总投资253.7亿元，其中253.7亿用科学记数法表示为（）A．253.7×108B．25.37×109C．2.537×1010D．2.537×10113．据报道，我省西环高铁预计2015年底建成通车，计划总投资27100000000元，数据27100000000用科学记数法表示为（）A．271×108B．2.71×109C．2.71×1010D．2.71×10114．2014年端午节小长假期间，沈阳某景区接待游客约为85000人，将数据85000用科学记数法表示为（）A．85×103B．8.5×104C．0.85×105D．8.5×1055．“丝绸之路”经济带首个实体平台--中哈物流合作基地在我市投入使用，其年最大装卸能力达410000标箱．其中“410000”用科学记数法表示为（）A．0.41×106B．4.1×105C．41×104D．4.1×1046．为迎接“2014丹东港鸭绿江国际马拉松赛”，丹东新区今年投入约4000万元用于绿化美化．4000万用科学记数法表示为（　）A．4×106B．4×107C．4×108D．0.4×1077．第六次全国人口普查数据显示，德州市常驻人口约为556.82万人，此数用科学记数法表示正确的是（）A．556.82×104B．5.5682×102C．5.5682×106D．5.5682×1058．2014年4月25日青岛世界园艺博览会成功开幕，预计将接待1500万人前来观赏，将1500万用科学记数法表示为（）A．15×105B．1.5×106C．1.5×107D．0.15×1089．2014年5月，中俄两国签署了供气购销合同，从2018年起，俄罗斯开始向我国供气，最终达到每年380亿立方米．380亿这个数据用科学记数法表示为（）A．3.8×109B．3.8×1010C．3.8×1011D．3.8×101210．参加广安市2014年高中阶段教育学生招生考试的学生大约有4.3万人，将4.3万人用科学记数法表示应为（）A．4.3×104人B．43×105人C．0.43×105人D．4.3×105人11．拒绝“餐桌浪费”刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约为50000000000千克，这个数据用科学记数法表示为（）A．5×1010B．0.5×1011C．5×1011D．0.5×101012．南宁东高铁火车站位于南宁青秀区凤岭北路，火车站总建筑面积约为267000平方米，其中数据267000用科学记数法表示为（）A．26.7×104B．2.67×104C．2.67×105D．0.267×10613．据统计，2013年我国用义务教育经费支持了13940000名农民工随迁子女在城市里接受义务教育，这个数字用科学记数法可表示为（）A．1.394×107B．13.94×107C．1.394×106D．13.94×10514．正在建设的成都第二绕城高速全长超过220公里，串起我市二、三圈层以及周边的广汉、简阳等地，总投资达到290亿元．用科学记数法表示290亿元应为（）A．290×108元B．290×109元C．2.90×1010元D．2.90×1011元15．烟台市通过扩消费、促投资、稳外需的协同发力，激发了区域发展活力，实现了经济平稳较快发展．2013年全市生产总值（GDP）达5613亿元．该数据用科学记数法表示为（）A．5.613×1011元B．5.613×1012元C．56.13×1010元D．0.5613×1012元16．据相关报道，截止到今年四月，我国已完成5.78万个农村教学点的建设任务．5.78万可用科学记数法表示为（）A．5.78×103B．57.8×103C．0.578×104D．5.78×10417．2013年，我市以保障和改善民生为重点的“十件实事”全面完成，财政保障民生支出达74亿元，占公共财政预算支出的75%，数据74亿元用科学记数法表示为（）A．74×108元B．7.4×108元C．7.4×109元D．0.74×1010元二、填空题（共13小题）18．据统计，参加今年扬州市初中毕业、升学统一考试的学生约36800人，这个数据用科学记数法表示为．19．2014年6月，阿里巴巴注资1200000000元入股广州恒大，将数据1200000000用科学记数法表示为．20．全球每年大约有577000000000000米3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽，将数577000000000000用科学记数法表示为．21．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，这个数据用科学记数法可表示为吨．22．据威海市旅游局统计，今年“五一”小长假期间，我市各旅游景点门票收入约2300万元，数据“2300万“用科学记数法表示为．23．我国第一艘航母“辽宁舰”的最大的排水量约为68000吨，用科学记数法表示这个数是吨．24．我国的北斗卫星导航系统与美国的GPS和俄罗斯格洛纳斯系统并称世界三大卫星导航系统，北斗系统的卫星轨道高达36000公里，将36000用科学记数法表示为．25．2014年我国农村义务教育保障资金约为87900000000元，请将数87900000000用科学记数法表示为．26．根据相关部门统计，2014年我国共有9390000名学生参加高考，9390000用科学记数法表示为．27．据报道，2014年4月昆明库塘蓄水量为58500万立方米，将58500万立方米用科学记数法表示为万立方米．28．据报载，2014年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为．29．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法可表示为．30．震惊世界的MH370失联事件发生后第30天，中国“海巡01”轮在南印度洋海域搜索过程中首次侦听到疑是飞机黑匣子的脉冲信号，探测到的信号所在海域水深4500米左右，其中4500用科学记数法表示为．。

初高中数学衔接教材检测试题(一)

初高中数学衔接教材测试题（一）考试时间: 90分钟分值：120分一．选择题(30分）：1、有理数的绝对值一定是-—---—----——-———-—--—----—-—-——-—---—-—-—— （）A 、正数B 、整数C 、正数或零D 、自然数2、如果22a a -=-,则a 的取值范围是 -———-—-—--—---—--—-———-—---———-（ )A 、0a >B 、0a ≥C 、0a ≤D 、0a <3、一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是—（）A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且4、若m -3为二次根式，则m 的取值为—----—--————-----—-—-———------—（）A ．m≤3B ．m ＜3C ．m≥3D ．m ＞35---——--—-———-——------—————-（）A 。

B 。

6、若1n >，则1n n -、1n n -、1n n +这三个数的大小顺序是—-—---——-—--—--（）A 、111n n n n n n ->>-+B 、111n n n n n n->>-+ C 、111n n n n n n ->>+- D 、111n n n n n n ->>+-7、下列各值中最大的是——----——--——--—-----—-—-—--------———--——-—-（ )A B 、2+ C D 、+8、()()2082-+++b a b a 分解因式得-—-——--——-——————-—--—-—-—-—--——--———--—-—-—----—--（）A 、()()2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()()10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 9、36311312612621121161161111161⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的值是—-—--———-—--——-——（） .181)A （ 361)(B . .331)(C 661)(D 。

初高中衔接型中考数学试题(01).doc

初高中衔接型数学中考试题（1）及参考答案一、选择题 1、（荆门）64名男子乒乓球选手进行单打淘汰赛（胜者进入下一轮，败者淘汰出局），直至决出单打冠军，共比赛的场次是（） A 、32场 B 、62场 C 、63场 D 、64场2、（黑龙江）从哈尔滨开往A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，那么有（）种不同的票价．（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ） 123、（南宁）一条信息可通过如图7的网络线由上（A 点）往下向各站点传送．例如信息到b 2点可由经a 1的站点送达，也可由经a 2的站点送达，共有两条途径传送．则信息由A点到达d 3的不同途径共有（）．（A ）3条（B ）4条（C ）6条（D ）12条二、填空题1、（河北）乘火车从A 站出发，沿途经过3个车站方可到达B 站，那么在A 、B 两站之间需要安排不同的车票种。

2、（山西）联欢会上，小红按照4个红气球、3个黄气球、2个绿气球的顺序把气球串起来装饰会场，第52个气球的颜色是。

3、（桂林）观察下列分母有理化的计算：12121-=+，23231-=+，34341-=+，45451-=+，…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：()12002200120021341231121+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++++= ． ()12003200220031341231121+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++++= ．4、（十堰）有A 1、A 2、A 3三个舞蹈演员在舞台上跳舞，面对观众作队形排列变化，其变化规律是：一个舞蹈演员A 1跳舞，面对观众作队形排列变化的种数是A 1为1种；二个舞蹈演员A 1、A 2跳舞，面对观众作队形排列变化的种数是A 1A 2 ；A 2A 1为2种即1×2种；三个舞蹈演员A 1、A 2、A 3跳舞，面对观众作队形排列变化的种数是A 1A 2A 3 ，A 1 A 3A 2 ；A 2A 1A 3 ，A 2 A 3 A 1；A 3A 1A 2 ，A 3 A 2A 1为6种即1×2×3种；请你推测：（1）四个舞蹈演员A 1、A 2、A 3、A 4跳舞，面对观众作队形排列变化的种数是_______种；（2）六个舞蹈演员跳舞，按照上述方法作队形排列变化的种数为（用科学记数法表示）__________种；（3）用1、2、3、4、5、6、7共7个数字排列成7位数的电话号码（在同一个电话号码内每个数字只能用一次）可排成_________个电话号码。

2024-2025学年淮安市涟水一中高一数学上学期衔接知识检测卷附答案解析

2024-2025学年淮安市涟水一中高一数学上学期衔接知识检测卷总分120分；考试时间：90分钟；一、单选题（每题5分，共6题，共30分）1．关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．98k <B ．98k ≤C ．98k ≥D ．98k <-2．不论a ，b 为何值，22248a b a b +-++的值（）A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数，也可以是负数3．若,,满足()25120a b -+-=，则以,,为边的ABC V 是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形4．已知方程组2221x y x y +=⎧⎨-=-⎩，则代数式13x y +的值是（）A ．2B ．1C ．12D ．135．已知1x =-是关于x 的一元二次方程220x kx +-=的一个根，则k 的值和方程的另一个根分别为（）A ．1和2B ．1-和2C ．2和1-D ．2-和1-6．已知实数α，β满足1αβ=，6αβ+=，则（）A ．1116αβ+=B ．2236αβ+=C．αβ-=D ．33198αβ+=二、多选题（每题6分，共3题，共18分）7．关于x 的方程()22210x a x a ++-=的两个实数根分别为12,x x ，则（）A ．2121x x a +=--B ．212x x a=-C ．2121111x x a+=-D ．22421241x x a a +=++8．（多选）若2210ax x +-=只有一个根，则实数a 的取值可以为（）A ．1B ．1-C ．0D ．49．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法正确的是（）A ．方程2320x x -+=是2倍根方程B ．若关于x 的方程(2)()0x mx n -+=是2倍根方程，则0m n +=C ．若0m n +=且0m ≠，则关于x 的方程(2)()0x mx n -+=是2倍根方程D ．若20m n +=且0m ≠，则关于x 的方程2()0+--=x m n x mn 是2倍根方程三、填空题（每题5分，共3题，共15分）10．因式分解：2253x x +-=.11．已知2310x x +-=，则221x x +=，331x x -=．12．若关于x 的方程2451x x k --=+有两解，则k 的取值范围是．四、解答题（第12题20分，第13题7分，第14—17题每题10分，共57分）13．解不等式(1)2450x x -<+(2)2104x x -+>(3)2023x x -≤+(4)325x -≤14．如果ABC V 的三边a b c ，，满足3222230a a b ab ac bc b -+-+-=，试判断ABC V 的形状.15．化简下列函数并画出函数的图象．(1)2y x =-；(2)21y x x =++-．16．已知关于x 的一元二次方程22240x kx k ---=.(1)求证：无论k 为何值，方程总有不相等的两实数根；(2)当方程两根之差的绝对值等于4时，求此时k 的值.17．已知不等式()200ax bx c a ++<≠的解是2x <或3x >．(1)用字母a 表示出b ，c ；(2)求不等式20bx ax c ++>的解1．B【分析】根据一元二次方程有实数根的条件是0∆≥，由此列不等式求解即得．【详解】因关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，故()2Δ3420k =--⨯≥，解得98k ≤．故选：B ．2．A【分析】将原因式写成完全平方形式即可.【详解】原式()()221233a b =-+++≥，故选：A 3．D【分析】先由非负数的性质可得5,12,13a b c ===，再结合勾股定理知识即可判断三角形的形状.【详解】∵ABC V 三边长,,a b c 满足()25|12|0a b -+-=，∴50,120,130a b c -=-=-=，∴5,12,13a b c ===，∵a b c ≠≠，且22251213+=，∴ABC V 是直角三角形.故选：D ．4．D【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得31x y +=，据此求出代数式的值即可；【详解】由题意可得：2221x y x y +=⎧⎨-=-⎩，两式相加得31x y +=，所以()1111313333x y x y +=+=⨯=故选：D ．5．B【分析】先把1x =-代入方程求出k 的值，再把k 的值代入方程求出另一个根即可.【详解】把=1x -代入方程得：120k --=，解得：1k =-，∴原方程可化为220x x --=，设方程的另一个根为t ，则11t -+=，2t ∴=．故选：B ．6．D【分析】对已知条件变式判断A ，根据完全平方和公式判断B ，根据完全平方差公式判断C ，根据立方和公式判断D.【详解】因为1αβ=，6αβ+=，所以116βααβαβ++==，故A 错误；()222236234αβαβαβ+=+-=-=，故B 错误；因为()()22436432αβαβαβ-=+-=-=，所以αβ-=±，故C 错误；()()()33226341198αβαβααββ+=+-+=⨯-=，故D 正确.故选：D 7．ABD【解析】直接利用韦达定理判断AB ；将CD 选项中的代数式用两根之和与两根之积表示，进而可判断正误.【详解】由一元二次方程根与系数的关系知:2222121211,11a a x x a x x a +-+=-=--==-所以AB 正确；21222121211111x x a x x x x a a+++===+，C 错误;()()2222222412121221241x x x x x x a a a a +=+-=++=++，D 正确.故选：ABD.8．BC【分析】分方程为一次方程与二次方程两种情况求解即可.【详解】当方程为一次方程时，0a =，此时210x -=只有一个根，满足条件；当方程为二次方程时，判别式440a +=，解得1a =-，满足条件.综上有0a =或1a =-.故选：BC 9．ACD【分析】利用2倍根方程的定义，逐项判断作答.【详解】对于A ，解方程2320x x -+=，得121,2x x ==，方程2320x x -+=是2倍根方程，A 正确；对于B ，显然方程(2)()0x mx n -+=有一个为2，则另一根为1或4，当另一根为4时，有40m n +=，B 错误；对于C ，由0m n +=且0m ≠，得0n m =-≠，方程(2)()0x mx n -+=化为(2)(1)0m x x --=，解得=1或=2，即关于x 的方程(2)()0x mx n -+=是2倍根方程，C 正确；对于D ，由20m n +=且0m ≠，得20n m =-≠，方程方程2()0+--=x m n x mn ，即()()0x m x n +-=，方程两根为,m n -，则关于x 的方程2()0+--=x m n x mn 是2倍根方程，D 正确.故选：ACD 10．(21)(3)x x -+【分析】根据“十”字相乘法求解.【详解】利用“十”字相乘法得：()()2253213x x x x +-=-+故答案为：(21)(3)x x -+【点睛】本题主要考查因式分解，还考查了分析求解的能力，属于基础题.11．1136-【分析】由2310x x +-=可得13x x-=-，再结合完全平方公式和立方差公式求解即可.【详解】因为2310x x +-=，所以0x ≠，所以13x x-=-，所以2221129211x x x x ⎛⎫+=-+=+= ⎪⎝⎭，()32321111311136x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-++=-⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11；36-.12．10k =-或6k >-【分析】作出函数2()4||5f x x x =--的图象，根据图象求解即可.【详解】令函数2()4||5f x x x =--，当0x ≥时，22()45(2)9f x x x x =--=--，当0x <时，22()45(2)9f x x x x =+-=+-，则函数图象如图所示，因为关于x 的方程24||51x x k --=+有两解，所以15k +>-或19k +=-，解得10k =-或6k >-.故答案为：10k =-或6k >-.13．(1){|51}x x -<<(2)1{|}2x x ≠(3)3{|2}2x x -<≤(4){|14}x x -≤≤【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】（1）因为245(5)(1)0x x x x +-=+-<，解得51x -<<，所以不等式的解集为{|51}x x -<<.（2）因为2211()042x x x -+=->，解得12x ≠，所以不等式的解集为1{|}2x x ≠.（3）不等式转化为(2)(23)0x x -+≤，且32x ≠-，解得322x -<≤，所以不等式的解集为3{|2}2x x -<≤.（4）不等式|32|5x -≤转化为5235x -≤-≤，解得14x -≤≤，所以不等式的解集为{|14}x x -≤≤.14．等腰三角形或直角三角形【分析】将原式进行因式分解，再判断三角形的形状.【详解】因为3222230a a b ab ac bc b -+-+-=，所以()()3322220a b a b ab ac bc -+-++-+=，即()2220a b a ab b aba b c a b -++----=（）（）（），()2220a b a b c -+-=（），所以222a b a b c =+=或，因此ABC V 是等腰三角形或直角三角形.15．(1)2,22,2x x y x x -≥⎧=⎨-+<⎩，作图见解析(2)21,23,2121,1x x y x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，作图见解析【分析】（1）（2）根据函数解析式对自变量进行分类讨论去掉绝对值后，得到分段函数形式即可画出图象.【详解】（1）由2,222,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，作出图象为：（2）由21,2213,2121,1x x y x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩作出图象为：16．(1)证明见解析(2)0，2-【分析】（1）计算二次方程的判别式，由Δ0>即可证明.（2）结合韦达定理，利用完全平方差公式列式求解即可.【详解】（1）∵()()()222Δ242448164112k k k k k =----=++=++，∵()2410k +≥，即Δ0>，∴无论k 为何值时，该方程总有不相等的两实数根；（2）设方程两根为1x ，2x ，则122x x k +=，1224x x k ⋅=--，∵124x x -=，∴()21212416x x x x +-=，∴()()2242416k k ---=，∴10k =，22k =-.17．(1)5b a =-，6c a =(2)1x <-或65x >【分析】（1）由韦达定理可得；（2）把（1）的结论代入求解．【详解】（1）由不等式()200ax bx c a ++<≠的解为2x <或3x >，可知0a <且20ax bx c ++=的两根为2和3，由韦达定理得5ba-=，6c a =，所以5b a =-，6c a =；（2）由（1）可得：20bx ax c ++>可变为2560ax ax a -++>，因为0a <，所以2560x x -++<，整理得()()2565610x x x x --=-+>，解得1x <-或65x >，所以不等式20bx ax c ++>的解是1x <-或65x >．。

【初升高衔接】初升高开学考数学模拟卷01-2024年数学无忧衔接(通用版)含解析

【分析】利用韦恩图法即可快速求解.【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人，则28=15+8+14-3-3-x，解得x=3，即同时学习必修二和选修一的有3人，则只学习必修一的有15-3-3=9（人），故选：D..6．手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（）A．(1000-4x)(40-2x)=15200B．(1000-2⨯100-2x)(40-4x)=15200C．(1000-2⨯100-2x)(40-2x)=15200D．(1000-2⨯100-4x)(40-2x)=15200【答案】D【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为x cm，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程．【详解】解：根据题意，得(1000-2⨯100-4x)(40-2x)=15200．故选：D．7．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买20g黄金，店员先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则x与20的大小关系为（）【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，下列说法正确的是（）A ．若a -b +c =0，则b 2-4ac ≥0B ．若方程ax 2+c =0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根C ．若c 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，则一定有ac +b +1=0成立D ．若am 2+bm +c =an 2+bn +c ，则m =n【答案】AB 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根的判别式，以及因式分解等知识点，熟记相关结论是解题关键．本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，若∆=b 2-4ac >0，则方程有两个不相等的实数根；若∆=b 2-4ac =0，则方程有两个相等的实数根；若∆=b 2-4ac <0，则方程没有实数根．据此即可判断①②；将x =c 代入方程ax 2+bx +c =0，进行因式分解即可判断③；根据⎣am 2+bm +c -(an 2+bn +c )=(m -n )⎡a (m +n )+b ⎤即可判断④⎦．【详解】解：∵a -b +c =0，∴一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有一个根是x =-1，∴b 2-4ac ≥0，故A 正确；∵方程ax 2+c =0有两个不相等的实根，∴∆=-4ac >0，∴b 2-4ac >0，∴则方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根，故B 正确；∵c 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，∴ac 2+bc +c =0，∴c (ac +b +1)=0，∴ac +b +1=0或c =0，故C 错误；∵am 2+bm +c =an 2+bn +c ，∴am 2+bm +c -(an 2+bn +c )=0，∴am 2+bm +c -(an 2+bn +c )=a (m 2-n 2⎣)+b (m -n )=(m -n )⎡a (m +n )+b ⎤=0⎦，∴(m -n )=0或a (m +n )+b =0，。

初高中衔接型中考数学试题十二套

第一讲数与式1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4，解得x ＞4．又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．练习1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.10 C x|x －1||x －3|图1．1－1（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：下列叙述正确的是（）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c a c++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b+=+++；（5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b212x ++，22x y ++ 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥；（30)x <．解：（1=（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2 (3．解法一：(33)＝393-＝12．解法二：(33)例3试比较下列各组数的大小：（1（2和.解：（11===，110，>（2）∵===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，＜例4化简：20042005+⋅-．解：20042005⋅＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤⋅⋅-⎣⎦＝20041⋅例 5 化简：（1；（21)x<<．解：（1）原式===2=2=．（2）原式1x x=-，∵01x <<， ∴11x x>>，所以，原式＝1x x -．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值．解： ∵2210x y +==+=，1xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练习1．填空：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）=__ ___；（4）若2x ==______ __． 2．选择题：= （）（A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若b =，求a b +的值．4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称AB为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： A A MB B M⨯=⨯； A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++， ∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯ ；（3）证明：对任意大于1的正整数n ，有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+ ．（1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++- 1110=-＝910．（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＜12 ．例3 设ce a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．练习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)； 2．选择题：若223x y x y -=+，则xy＝（）（A ）１（B ）54 （C ）45 （D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1 A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；(3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：（1）1819(2(2＝________；（22=，则a 的取值范围是________；（3=________．B 组1．填空：（1）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-____ ____；（2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+__ __；2．已知：11,23x y ==-的值． C 组1．选择题：（1）则（）（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算等于（）（A （B （C ）（D ）2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=．3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯ ． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++ ＜14．1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1x y图1．2－52(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-．解：（1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为（）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8；（2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1；（4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：（1） 31a +；（2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++；（4）2235294x xy y x y +-++-． 2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ；（2）23x --；（3）2234x xy y +-；（4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．第二讲函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=． ①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x =， 22a x =．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x =+ 21x =-②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =2x =，则有1222b bx x a a-+=+==-；221222(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a-+---=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝ba-，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35．由（－35）＋2＝－5k，得 k ＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21，∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得 m 2－16m －17＝0，解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m ＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x ，y ，则 x ＋y ＝4， ①xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ，代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0 的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494，∴| x 1－x 2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则12b x a -=，22b x a-=，∴| x 1－x 2|=||a ==．于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|中Δ＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②由①得 a ＜4，由②得 a ＜174 ． ∴a 的取值范围是a ＜4．练习1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是（）（A ）有一个实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠02．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝．（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是．（3）以－3和1为根的一元二次方程是．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题2.1 A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是．3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围． 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：（1）| x 1－x 2|和122x x +；（2）x 13＋x 23．5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．C 组1．选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A（B ）3 （C ）6 （D ）9 （2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则1221x x x x +的值为（）（A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1 （4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（）（A ）没有实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）有两个异号实数根 2．填空：若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝． 3．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值；（3）若k ＝－2，12xx λ=，试求λ的值．4．已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=．（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2． 5．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围．2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．的x 2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a -=++，所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a -．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2ba-时，y 随着图2.2-2x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a -．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．－6x ＋最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x ＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 3(,0)3和C 3(,0)3-，与y 轴的交点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ）将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有图2.2-3 图2.2-4 图2.2－570130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200．设每天的利润为z （元），则z＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224bc +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y xc =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14．解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．练习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2（C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x＝时，函数取最值y＝；当x时，y随着x的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6 x－x2．4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1． ∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2． ∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2， ∴|－4a |＝2，即a ＝12±．所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+．分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12．所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2．说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无法确定（2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是（）（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a (a ≠0) ．（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．。

完整版)初高中数学衔接知识试题

完整版)初高中数学衔接知识试题整式乘法与因式分解训练试题(1)一、填空：1）若x=5，则x=5；若x=-4，则x=-4.2）若(5-x)(x-3)²=(x-3)⁵-x，则x的取值范围是18/19. 3）(2+3)(2-3)=-5；4）若x+ax+b=(x+2)(x-4)，则a=-2，b=8.5）计算992+99=1091.二、选择题：1）若x²+mx+k是一个完全平方式，则k等于m²。

（C）2）不论a，b为何实数，a²+b²-2a-4b+8的值可以是零。

3）成立的条件是x≠2.4）若(x+y)/(2x-y)=5/4，则y/x=1/2.5）计算a-(-a)=2a。

6）多项式2x-yx-15y的一个因式为x-3y。

三、解答题1.正数x,y满足x+y=2xy，求(x-y)/(x+y)的值．解：将x+y=2xy变形得到(x+y)/(xy)=2，即1/x+1/y=2. 将(x-y)/(x+y)变形得到(x+y)/(x-y)=1/(1-2xy)。

因此(x-y)/(x+y)=1-2xy=1-(x+y)/(xy)=1-2= -1.所以(x-y)/(x+y)的值为-1.2.分解因式：1）x⁵y²-x²y⁵=(xy²-y⁴)(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴)2）x²+5x-24=(x+8)(x-3)3）a²-2a-15=(a-5)(a+3)4）12y²-5y-2=(4y+1)(3y-2)5）3x²-10x+3=(3x-1)(x-3)6）(a²-a)²-14(a²-a)+24=(a-3)(a-4)(a²-a-6)7）x²+2x-1=(x+1)²-28）x⁴+x³-5x²+x-6=(x-1)(x+2)(x²+x-3)9）(a-b)²-4(a-b-1)=(a-b-3)(a-b+1)3.（1）已知3a+3b=-9，求2a+4ab+2b-6的值。

2022年暑假初升高衔接数学第一次测试卷及答案解析

2022年暑假初升高衔接数学第一次测试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．（5分）已知集合A ＝{（x ，y ）|y ＝x ﹣1}，B ＝{y |y ＝﹣2x +5}，则A ∩B ＝（） A ．{（2，1）}B ．∅C ．{（1，2）}D ．{﹣1，5}2．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0，x ∈Z }，则A ∪B 等于（） A ．{1} B ．{1，2} C ．{0，1，2，3} D ．{﹣1，0，1，2，3} 3．（5分）集合{y ∈N |y ＝﹣x 2+6，x ∈N }的真子集的个数是（） A ．9B ．8C ．7D ．64．（5分）设a ，b ∈R ，集合{1，a +b ，a }＝{0，b a，b }，则b ﹣a ＝（） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣25．（5分）定义集合A 、B 的一种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1+x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2}，则A *B 中的所有元素之和为（） A ．21B ．18C ．14D ．96．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |x 2﹣3x +2＜0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，1]B ．（﹣∞，1）C ．[2，+∞）D ．（2，+∞）8．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2tx +t +6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，则实数t 的取值范围是（） A ．（﹣6，﹣2）B ．[﹣6，﹣2]C ．（﹣∞，﹣2]D ．（﹣∞，﹣6]二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题23 初升高数学检测卷(一)(解析版) 初升高数学无忧衔接(沪教版2020)

专题23初升高数学检测卷（一）考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一开学考试）若代数式11x x -+的值为0，则实数x 的值为______.【答案】1【分析】将分式方程转化为整式方程求解即可.【详解】解：由已知可得101x x -=+，则()()11010x x x ⎧-+=⎨+≠⎩，解得1x =．故答案为：1．【点睛】本题考查分式方程的求解，注意分母不为零，属于基础题.2．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一开学考试）从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁G 20次约用5h 到达，从2018年4月10日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了“杭京高铁复兴号”，它的运行速度比原来的G 20次的运行速度快35km h ，约用4.5h 到达.如果在相同的路线上，杭州东站到北京南站的距离不变，求“杭京高铁复兴号”的运行速度.设“杭京高铁复兴号”的运行速度为x km h ，依题意，可列方程为______.【答案】()535 4.5x x-=【分析】根据“复兴号速度×运行时间＝G 20速度×G 20运行时间”可得的方程．【详解】解：题中设“杭京高铁复兴号”的运行速度为x km h ，依题意，可列方程为：()535 4.5x x -=，故答案为：()535 4.5x x -=．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．3．（2020·上海师范大学附属中学闵行分校高一期中）已知集合(){}()|1{|3}A x y x y B x y x y =-==+=，，，，则A B = _________．【答案】(){}2,1【分析】联立13x y x y -=⎧⎨+=⎩即可求出.【详解】联立方程13x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得2,1x y ==，(){}2,1A B ∴⋂=.故答案为：(){}2,1.4．（2020·上海高一单元测试）已知集合{|3}A x x =>，{|5}B x x =>，则A B = ________【答案】{|5}x x >【分析】根据集合的交集运算即可求解.【详解】因为{|3}A x x =>，{|5}B x x =>，所以{}{|5}{|}|53x A B x x x x x >==>⋂>⋂，故答案为：{|5}x x >5．（2020·上海）已知集合{}{}(,)46,(,)4A x y x y B x y x y =+==-=，则A B = _______．【答案】{(2,2)}-【分析】根据交集的概念运算可得结果.【详解】由464x y x y +=⎧⎨-=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩，所以A B = {(2,2)}-.故答案为{(2,2)}-.【点睛】易错点点睛：容易将点集错写为数集.6．（2020·上海）命题“若,a b 都是奇数，则+a b 是偶数”的否命题是_______【答案】若,a b 不都是奇数，则+a b 不是偶数【分析】根据否命题的定义求解可得答案.【详解】命题“若,a b 都是奇数，则+a b 是偶数”的否命题是：若,a b 不都是奇数，则+a b 不是偶数.故答案为：若,a b 不都是奇数，则+a b 不是偶数【点睛】关键点点睛：掌握否命题的定义是解题关键.7．（2020·上海市新场中学高一期中）已知集合{}|25P x x =≤<，若全集U =R ，则P =________________.【答案】{2|x x <或5}x ³【分析】根据补集的概念运算可得答案.【详解】因为集合{}|25P x x =≤<，全集U =R ，所以P ={2|x x <或5}x ³.故答案为：{2|x x <或5}x ³8．（专题06不等式的求解（1）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020））已知关于x 的不等式(1)(1)0ax x -+<的解集是1(,)(1,)a-∞-+∞U ，则实数a 的取值范围是____.【答案】[1,0)-.【分析】根据题意，可得0a ≠，根据不等式与解集的关系，可得0a <，根据根的大小关系，即可求得答案.【详解】根据题意，可得0a ≠，所以不等式可化为1(1)0a x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，因为解集是1(,)(1,)a-∞-+∞U ，所以011a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得10a -≤<.故答案为：[1,0)-9．（2020·上海市嘉定区第一中学高一期中）关于x 的方程2(m 3)260x x m -+++=两个根同号，则m 的取值范围是___________【答案】[){}5,3m ∈+∞⋃-【分析】利用120x x ∆≥⎧⎨⋅≥⎩计算即可.【详解】[){}21253(3)4(26)05,33260m m m m m m x x m ⎧≥≤-⎧∆=+-+≥⇒⇒∈+∞⋃-⎨⎨≥-⋅=+≥⎩⎩或故答案为：[){}5,3m ∈+∞⋃-10．（2020·上海高一专题练习）A 杯中有浓度为%a 的盐水x 克，B 杯中有浓度为%b 的盐水y 克，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A 、B 两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为_____．【答案】ax byb a x y+<<+【分析】先求将A 、B 两杯盐水混合再一起的浓度，再与A 、B 两杯盐水的浓度比较，即可得到结论.【详解】由题意，将A 、B 两杯盐水混合再一起后浓度为ax byx y++，()b a y ax bya x y x y -+-=++ ，()ab x ax by b x y x y -+-=++，A 杯中的盐水更咸一些，a b ∴>，ax byb a x y+∴<<+，故答案为：ax byb a x y+<<+.11．（2020·上海高一专题练习）设0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式恒成立的有______．(填不等式序号)①1ab ≤；②≤；③222a b +≥．【答案】①③【分析】利用不等式性质可判断①平方展开再结合已知条件和①可判断②；将2a b +=两边平方再展开结合①可判断③，进而可得正确答案.【详解】对于①12a b+≤=，所以1ab ≤，当且仅当1a b ==时等号成立，故①正确；对于②：22224a b =++=++=，所以2≤，当且仅当1a b ==时等号成立，故②不正确；对于③：()22222422a b a b ab a b =+=++≤++，所以222a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立，故③正确；故答案为：①③.12．（2020·上海复旦附中高一期中）全集{U x x =是不大于20的素数}，若{}3,5A B ⋂=，{}7,19A B ⋂=，{}2,17A B ⋃=，则集合A =___________.【答案】{}3,5,11,13【分析】本题首先可根据素数的定义得出{}2,3,5,7,11,13,17,19U =，然后根据题意绘出韦恩图，最后根据韦恩图即可得出结果.【详解】因为全集{U x x =是不大于20的素数}，所以{}2,3,5,7,11,13,17,19U =，因为{}2,17A B ⋃=，所以{}3,5,7,11,13,19A B = ，因为{}3,5A B ⋂=，{}7,19A B ⋂=，所以可绘出韦恩图，如图所示：由韦恩图可知，{}3,5,11,13A =，故答案为：{}3,5,11,13.【点睛】本题考查根据集合运算结果求集合，考查素数的定义，素数是指在大于1的自然数中，只能被1和该数本身整除的数，考查韦恩图的应用，能否根据题意绘出韦恩图是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.（2020·河北邯郸市·高一开学考试）在一次信息技术考试中，某兴趣小组7名同学的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，9，9，8，则这组数据的中位数与众数分别为（）A ．8，8B ．8，9C ．9，8D ．9，9【答案】D【分析】把数据按从小到大顺序排列后可得．【详解】这级数据人小到大排列为：7,8,8,9,9,9,10，中位数是9，众数是9．故选：D ．【点睛】本题考查中位数与众数的概念，属于简单题．14．（2020·上海高一单元测试）在下列选项中，满足p 与q 等价的是（）A ．已知实数x 、y ，2:1x y p xy +>⎧⎨>⎩和:1q x >，1y >B ．已知实数x 、y ，22:(1)(2)0p x y -+-=和:(1)(2)0q x y --=C ．已知实数x ，1:01p x<<和:1q x >D ．已知1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和不等式22220a x b x c ++>的实数解集分别为M 和N ，111222:a b c P a b c ==和:q M N =【答案】C 【分析】A.取1,42x y ==判断；B.分别解22(1)(2)0x y -+-=和(1)(2)0x y --=判断；C.解不等式101x<<判断；D.举例不等式2230x x +->和不等式2230x x --+>判断.【详解】A.当1,42x y ==时，满足2:1x y p xy +>⎧⎨>⎩，不满足:1q x >，1y >，所以p 与q 不等价；故错误；B.因为22:(1)(2)0p x y -+-=，则1x =且2y =，因为:(1)(2)0q x y --=，则1x =或2y =，p 与q 不等价；故错误；C.因为1:01p x<<，解得1x >，又:1q x >，p 与q 等价；故正确；D.如不等式2230x x +->的解集是{|3x x <-或}1x >，不等式2230x x --+>的解集是{}|31x x -<<，故错误；故选：C15．（2020·河北邯郸市·高一开学考试）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，将梯形沿对角线BD折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A '处，若20A BC '∠=︒，则A BD '∠的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】C【分析】由对称性得45BDC ∠=︒，再由平行线性质可得结论．【详解】∵将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A '处，∴ADB CDB ∠=∠，∵//AD BC ，DC BC ⊥，∴DC AD ⊥，∴90ADC ∠=︒，∴45ADB ∠=︒，又由//AD BC 得45CBD ADB ∠=∠=︒，∴452025A BD CBD A BC ''∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查对称性与平行线的性质同，解题关键是由对称性求得45ADB ∠=︒．16．（2019·上海上外附中高一月考）函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上恒为正数，则实数a 的取值范围是（）A ．a <<B ．72a <<C ．732a <<D ．3a <<【答案】D【分析】根据底数是13，213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了．【详解】解：由于底数是13，从而213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，即23x a x x x+<<+由于[1,2]x ∈，3x x +≥=3x x =即x =由对勾函数的性质可知，函数()2g x x x=+在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增，且()()123g g ==所以3a <<故选：D ．【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17．（2020·北京清华附中高一开学考试）试求出所有正整数a 使得关于x 的二次方程()()2221430ax a x a +-+-=至少有一个整数根.【答案】正整数a 的值有4个，分别为1，3，6，10【分析】将方程可化为()22212x a x +=+，分离参数可得()22122x a x +=+，根据题意可知()221212x x +≥+，解不等式求出x 整数解，然后代入()22122x a x +=+求出a 的值即可.【详解】解：原方程可化为()22212x a x +=+，易知2x ≠-，此时()22122x a x +=+因为a 是正整数，即()221212x x +≥+.又()220x +>，则()22212x x +≤+即2280x x +-≤，解得42x -≤≤.因为2x ≠-且x 是整数，故x 只能取4-，3-，1-，0，1，2，依次带入的表达式得41x a =-⎧⎨=⎩，36x a =-⎧⎨=⎩，110x a =-⎧⎨=⎩，03x a =⎧⎨=⎩，1149x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，21x a =⎧⎨=⎩从而满足题意的正整数a 的值有4个，分别为1，3，6，10.【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18．（2020·重庆复旦中学高一开学考试）作图题：（不要求写作法）如图，ABC 在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为(2,1)A -，(5,3)B -，(3,5)C -．（1）作ABC 关于坐标原点O 对称的111A B C △，其中，点A 、B 、C 的对应点分别为点1A 、1B 、1C ；（2）写出点1A 、1B 、1C 的坐标．【答案】（1）图见解析；（2）()12,1A -、()15,3B -、()13,5C -．【分析】（1）在坐标系中画出A 、B 、C 关于原点对称的点，再画出111A B C △；（2）由坐标系直接得出点1A 、1B 、1C 的坐标．【详解】（1）如图：（2）()12,1A -、()15,3B -、()13,5C -．19．（2020·重庆复旦中学高一开学考试）随着我校选修课的全面开展，我校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：（1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整；（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率．【答案】（1）400人，图见解析；（2）16.【分析】（1）根据题干所给的数据直接计算并补充图形即可.（2）利用茎叶图列出所有结果进行计算即可.【详解】（1）调查总数为12030%400÷=（人）（或4010%400÷=（人））最喜欢书法活动的人数为40020%80⨯=（人）（补图），最喜欢英语活动的人数占总数的百分比100604500%1%⨯=（补图），最喜欢演讲活动的人数占总人数的百分比为10010%25%400⨯=（补图），（或130%20%15%10%25%----=）（补图），（2）用分别用1A 、2A ；1B 、B 表示两个小组的4位同学，其中，用B 表示女同学，画树状图（或列表）如下：共有12种情况．选出的2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的情况有2种所以选出的2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率为21126=．1A 2A 1B B1A ()12A A ()11A B ()1A B 2A ()21A A ()21A B ()2A B 1B ()11B A ()12B A ()1B B B ()1BA ()2BA ()1BB 20．（2021·安徽高一月考）{}{}36,72A x x B x a x a=-≤<=-<≤（1）A B B ⋃=，求a 的取值范围；（2）()U A B Ç=Æð，求a 的取值范围．【答案】（1）[)3,4；（2）(],7-∞-.【分析】（1）由题可得A B ⊆，可得7326a a -<-⎧⎨≥⎩求解；（2）可得{3U A x x =<-ð或}6x ≥，讨论B =∅和B ≠∅两种情况求解.【详解】（1）A B B =Q U ，A B ∴⊆，7326a a -<-⎧∴⎨≥⎩，解得34a ≤<，即a 的取值范围为[)3,4；（2）可得{3U A x x =<-ð或}6x ≥， ()U A B Ç=Æð，若B =∅，则72a a -≥，解得7a ≤-，满足题意；若B ≠∅，则727326a a a a -<⎧⎪-≥-⎨⎪<⎩，不等式无解，综上，a 的取值范围为(],7-∞-.21．（2020·云南昆明市·昆明一中高一开学考试）如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，BD BC =，AB AC =，且AB AC ⊥.（1）求证：30DBC ∠= ；（2）若对角线AC 、BD 交于E ，求证：CE CD =.【分析】（1）分别过点A 、D 作AM BC ⊥，DN BC ⊥，垂足分别为点M 、N，设AB AC ==计算出DN 和BD ，由12DN BD =可证得30DBC ∠= ；（2）证明出CDE CED ∠=∠，可证得CE CD =.【详解】（1）分别过点A 、D 作AM BC ⊥，DN BC ⊥，垂足分别为点M 、N ，设2AB AC ==AB AC ⊥ ，由勾股定理可得222BC AB AC =+=，AM BC ⊥ ，则M 为BC 的中点，112AM BC ∴==，AM BC ⊥ ，DN BC ⊥，//AM DN ∴，//AD BC ，即//AD MN ，所以，四边形ADNM 为矩形，则1DN AM ==，在Rt BDN 中，90BND ∠= ，1sin 2DN DBC BD ∠==，DBC ∠ 为锐角，则30DBC ∠= ；（2）易知ABC 是等腰直角三角形，且45ABC ∠= ，15ABD ABC DBC ∴∠=∠-∠= ，在Rt ABE △中，90BAE ∠= ，9075CED AEB ABE ∴∠=∠=-∠= ，BC BD = ，30DBC ∠= ，75CDE ∴∠= ，则CDE CED ∠=∠，因此，CE CD =.【点睛】本题考查角的值以及边长等量关系的证明，解题时要注意特殊角三角函数值的应用，考查推理能力，属于中等题.。

初高中数学衔接试题

初高中数学衔接试是第I 卷（选择题）一、单选题1．若存在正实数y ，使得154xy y x x y=-+，则实数x 的最大值为（） A ．15B ．54C ．1D ．42．如图，90ABC ∠=︒，BA BC =，45DBE ∠=︒，4=AD ，2EC =，则DE 等于A ．2B ．C ．D ．43．设常数0,0m n >>，甲、乙两个同学对问题“已知关于x 的一元二次方程20x px m -+=的两个复数根为12,x x ，若12x x n -=，求实数p 的值”提出各自的一个猜测.（）甲说：“对于任意一组,m n 的值，p 的不同值最多有4个”；乙说：“存在一组,m n 的值，使得p 的不同值恰有3个” A ．甲的猜测正确，乙的猜测错误 B ．甲的猜测错误，乙的猜测正确 C ．甲、乙的猜测都正确 D ．甲、乙的猜测都错误二、多选题4．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台ABCD ，2AB AD =，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为（）A ．16B ．12C ．1D ．32第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题5．如图1，ABC 是等边三角形，D .E 分别是BC .AC 上两点，且AE DC =，BE 与AD 交于点H ，链接CH .（1）当90BHC ∠=︒时，求BHHC的值；（2）如图2，当150BHC ∠=︒时，BH HC =__________；BDDC= __________. 6．如图，AB 为O 的直径，CB 切O 于点B ，点D 是O 上一点，点E 是直径AB上的一个动点，连结AD CE DE 、、.若65,4,5AB AD BC ===，则CE DE +的最小值为_____________.四、解答题7．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点,,O B C 的对应点分别为,,D E F .（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（2）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H . ①求证ADB AOB ∆∆≌；②求点H 的坐标.（3）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE ∆的面积，求S 的取值范围(直接写出结果即可).8．已知：四边形ABCD 中，//AB CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程22172()024x mx m -+-+=的两个根．（1）当2m =和2m >时，四边形ABCD 分别是哪种四边形并说明理由．（2）若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P 、Q ，1PQ =，且<AB CD ，求AB 、CD 的长；（3）在（2）的条件下，2AD BC ==，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan BDC ∠和tan BCD ∠．9．随着6月6日5G 商用牌照发放，中国正式进入5G 商用时代.某人在一山坡P 处观测对面山顶上的一座5G 基站(如图)，图中所示的山坡均可视为直线，其中基站所在的山坡AB 的坡角为45︒，点P 所在山坡AP 的坡度为1:2i =.基站点B 距坡谷点A 的距离为P 距坡谷点A 的距离为P 处测得塔顶点C 的仰角是37︒.求基站BC 的高度.(参考数据：cos370.80,tan370.75︒≈︒≈)10．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与y 轴交于点A （0，﹣4），与x 轴交于点B （﹣2，0），C （8，0），连接AB ，AC ．（1）求出二次函数表达式；（2）若点N 在线段BC 上运动（不与点B ，C 重合），过点N 作NM ∥AB ，交AC 于点M ，连接AN ，当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与以点A ，B ，O 为顶点的三角形相似时，求此时点N 的坐标；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N 的坐标． 11．选用适当的方法分解因式（1）2231092x xy y x y --++-；（2）2232576x xy y x y +++++.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =+与x 轴的交点为()4,0A -，与y 轴的交点为B ，线段AB 的中点M 在函数()0ky k x=≠的图象上.（1）求m ，k 的值；（2）将线段AB 向左平移n 个单位长度()0n >得到线段CD ，A ，M ，B 的对应点分别为C ，N ，D .①当点D 落在函数()0ky x x=<的图象上时，求n 的值； ②当MD MN ≤时，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.13．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点P 是△ABC 内一点，连接P A ，PB ，PC ，已知∠1=30°，∠2=∠3.（1）求证:AP =BC ；（2）试探究△P AB 与△PBC 的面积的比值.14．已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点()2,0C ，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）过原点的直线交圆222x y a +=于(),A A A x y 、(),B B B x y ，直线AC 、BC 分别交椭圆M 于点(),D D D x y 、(),E E E x y ，求D E A By y y y 的取值范围？15．问题提出（1）如图①，在ABC 中，6BC =，D 为BC 上一点，4=AD ，则ABC 面积的最大值是______. 问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD 的周长为12，求矩形ABCD 面积的最大值. 问题解决（3）如图③，ABC 是葛叔叔家的菜地示意图，其中30AB =米，40BC =米，50AC =米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大､周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘.已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD ，且满足60.ADC ∠=︒你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由.16．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:210G y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线():10l y mx m m =+-≠.（1）当1m =时，画出直线l 和抛物线G ，并直接写出直线l 被抛物线G 截得的线段长；（2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线l 上并说明理由；（3）若直线l 被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围.17．已知方程组22,2x y m x y ⎧+=⎨+=⎩①，②(1)当m 取何值时,方程组有两组不相同的实数解.(2)若11,x y ;22,x y 是方程组的两组不同的实数解,且1212||||x x y y -=,求m 的值. 18．已知二次函数()2f x ax bx c =++和一次函数()g x bx =-，其中a ，b ，c 满足a b c >>且0a b c ++=（,,a b c ∈R ）；（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A ，B ；（2）求ca的范围；（3）求线段AB 在x 轴上的射影11A B 的长的取值范围；参考答案1．A 【分析】转化154xy y x x y=-+为4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0，以y 为自变量的方程有正根，根据根与系数关系确定实数x 的范围即可. 【详解】 ∵154xy y x x y=-+， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 214=＞0， ∴y 1+y 22514x x-=-≥0，∴25100x x ⎧-≥⎨⎩＜，或25100x x ⎧-≤⎨⎩＞，∴0＜x ≤x ≤①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ，解得：﹣1≤x 15≤②，综上x 的取值范围是：0＜x 15≤； x 的最大值是15，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布问题，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题. 2．C 【分析】将BCE ∆绕着点B 旋转至BC 与BA 重合，得到ABE '∆，连DE '，证明BDE BDE '∆≅∆，得DE DE ='，解三角形ADE '∆，即可求解. 【详解】将BCE ∆绕着点B 旋转至BC 与BA 重合，,,2BE BE ABE CBE AE CE '''∴=∠=∠==，4DBE DBA ABE DBA CBE DBE π''∴∠=∠+∠=∠+∠==∠，,BDE BDE DE DE ''∴∆≅∆=，C BAE '∠=∠，090DAE DAB BAE DAB C ''∠=∠+∠=∠+∠=，DE DE '∴==∴=故选:C.【点睛】本题考查三角形旋转变换、三角形全等、勾股定理，解题的关键将问题转化为解直角三角形，属于较难题. 3．C 【分析】此题涉及实系数一元二次方程的根的问题，分别讨论“△=0”，“△＞0”，“△＜0”判断即可. 【详解】由实系数一元二次方程20x px m -+=得2=4p m -△当=0时，12=x x ，则12||=x x n -=0与条件0n >矛盾.当0>时, 1,2x =,12|x x n -=,可得p =.当<0△时，1,2x =12|||x x n -===,可得p = 综上可得：当24m n =时，p 的值有3个.当24m n >时，p 的值有4个.所以甲、乙二人的猜测都正确故选: C 【点睛】本题考查了以实系数一元二次方程根的问题，以其判别为依托，考查了分类讨论、复数的模等内容，属中档题． 4．AD 【分析】根据题意，分两种情况作图：第一种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边CD ；第二种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边BC ；然后利用三角形全等即可求解. 【详解】第一种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边CD ，反射情况如下：此时，根据反射的性质，FAG FEA α∠=∠=，FAD BCE ∆≅∆，所以，AF EF CE ==,G 为AE 中点，取1AD =，则22AB AD ==，设AG x =，则GE x EB ==，所以，可得，23AG =，1GF AD ==，3tan 2AD AG α∴== 第二种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边BC ，反射情况如下：此时，根据反射的性质，EAB DCF α∠=∠=，EFA EAF ∠=，FCD BAE ∆≅∆，所以，AE EF CF ==,G 为AF 中点，取1AD =，则22AB AD ==，设AG x =，则GF x FD ==，所以，可得，13AG =GF BE ==，1tan 6BE AB α∴==，故答案选：AD【点睛】本题考查分类讨论的数学思想，难点在于作图，属于难题.5．（1；（212. 【分析】（1）根据题意可得ABE CAD ≅，得出ABE CAD ∠=∠，证明,,,C D H E 四点共圆，连接DE ，由圆周角定理得出0030,90,DEC DHC EDC EHC ∠=∠=∠=∠=得出 11,22DC CE DC BD ==，作DM BE ⊥于M 则090,//DMH DM CH ∠=，得出:2:3MD HC =，利用平行线的比例关系，结合Rt MDE 边角关系，即可得出结果；（2）同（1）得：,,,C D H E 四点共圆，连接DE ，由圆周角定理得出090DEC DHC ∠=∠=，030EDC EHC ∠=∠=，得出11,22CE DC BD DC ==，得出12BD DC =，作DM AD ⊥交BE 于M ，则//DM CH ，得出:1:3MD HC =，与（1）同理，可得出结论.【详解】（1）ABC 是等边三角形，AB BC CA ∴==060,,,BAE ACD AE DC ABE CAD ABE CAD ∠=∠==≅∠=∠，060BHD ABE BAH CAD BAH BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，0000120,12060180DHE DHE BCA ∴∠=∴∠+∠=+=，,,,C D H E 四点共圆，连接DE ，如图（1）所示，则000906030DEC DHC BHC BHD ∠=∠=∠-∠=-=，00118090,2EDC EHC BHC DC CE ∠=∠=-∠=∴=， 1,,2AE DC BD CE DC BD ===，作DM BE ⊥于M ，则090,//DMH DM CH ∠=，:::2:3MD HC BM BH BD BC ∴===，设2MD x =，则3HC x =，在Rt DMH 中，030,,MDH MH MD x BH ∠===∴=，33BH HC x ==；（2）同（1）得：,,,C D H E 四点共圆，连接DE ，000150,60,90BHC BHD DHC DEC ∠=∠=∴∠==，00018015030EDC EHC ∠=∠=-=11,,,22CE DC AE DC BD CE BD DC ∴====，12BD DC ∴=，作DM AD ⊥交BE 于M ，则090MDH ∠=，//DM CH ，:::1:3MD HC BM BH BD BC ∴===，设MD x =，则3HC x =，在Rt DMH 中，030DMH ∠=，0,cos303MD MH x BH ∴==∴=，BH HC ∴==.【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、圆周角定理、平行线性质、三角函数等知识，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.6【分析】作DH AB ⊥于H ,延长DH 交O 于F 点,根据ABD ADH 可求得,,DH AH HB 的值,再根据CE DE +的最小值即CF 的值,利用勾股定理求解即可.【详解】作DH AB ⊥于H ,延长DH 交O 于F 点,延长CB ,交AB 的平行线FI 于I .由圆的对称性有CE DE CE EF +=+,故CE DE +的最小值为CF .因为90,DHA BDA DAH BAD ∠=∠=︒∠=∠,故DHA BDA . 所以165AB AD AH AD AH =⇒=,所以412355DH AD DH DB AB =⇒=⨯=.故125FH DH == 故95FI BH AB AH ==-=,61218555CI CB BI CB HF =+=+=+=.故CF ==.即CE DE +的最小值为5.【点睛】本题主要考查了平面几何中三角形相似求线段长度以及两线段距离之和距离最小值的问题,需要根据题意作对称点分析出最小值,再计算各边长进行求解.属于难题.7．（1）()1,3D ；（2）①证明见解析；②17H ,35⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）303044S -+≤≤ 【分析】（1）如图①，在Rt ACD ∆中求出CD 即可解决问题；（2）①根据HL 证明即可；②设AH BH m ==，则222AH HC AC =+,构建方程求出m 即可解决问题；（3）如图②中，当点D 在线段BK 上时，DEK ∆的面积最小，当点D 在BA 的延长线上时，D E K ''∆的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题.【详解】（1）如图①中()5,0A ，(0,3)B ，∴5OA =，3OB =四边形AOBC 是矩形∴3AC OB ==，5OA BC ==,90OBC C ∠=∠=矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到，∴1BD BC CD =-=()1,3D ∴（2）①如图②中由四边形ADEF 是矩形，得到90ADE ∠=点D 在线段BE 上90ADB ∴∠=由⑴可知，AD AO =,又AB AB =,AOB 90∠=()Rt ADB Rt AOB HL ∴∆≅∆②如图②中，由ADB AOB ∆≅∆，得到BAD BAO ∠=∠,又在矩形AOBC 中，5HC BC BH m =-=-，在Rt AHC ∆中222AH HC AC =+()22235m m ∴=+- 175m ∴= 175BH ∴= 17,35H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭（3）如图③中当点D 在线段BK 上时，DEK ∆的面积最小，最小值113522DE DK ⎛=⋅⋅=⨯⨯= ⎝⎭, 当D 在BA 的延长线上时，D E KD ''∆的面积最大，最大面积113522D E KD ⎛'''=⨯⨯=⨯⨯= ⎝⎭S ≤≤ 【点睛】本题考查（1）直角三角形勾股定理求值；（2）等腰三角形三线合一判断与证明，全等三角形的证明；（3）三角形面积最值问题；本题考查了数形结合思想在解析几何中的应用，综合性较强，属于难题.8．（1）答案见解析；（2）AB =2，CD =4；（3）210y +=．【分析】（1）根据当2m =和2m >时，方程根的情况来进一步判断AB 和CD 的数量关系，结合其位置关系，判断该四边形的形状；（2）根据梯形的对角线的中点所连接的线段等于上下底差的一半，结合根与系数的关系得到关于m 的方程，从而求出方程的两个根；（3）根据梯形的边之间的关系，求得这两个角的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值写出这个一元二次方程．【详解】解：（1）当2m =时，2440x x -+=．0∆=，方程有两个相等的实数根．AB CD ∴=，此时//AB CD ，则该四边形是平行四边形；当2m >时，20m ∆=->，又20AB CD m +=>，217()024AB CD m =-+>， AB CD ∴≠．该四边形是梯形．（2）根据三角形的中位线定理可以证明：连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半．则根据1PQ =，得2CD AB -=．根据（1）中的AB CD +和AB CD 的式子得22(2)4(2)4m m m --+=，3m ∴=．当3m =时，则有2680x x -+=，2x ∴=或4x =，即2AB =，4CD =．（3）根据该梯形是等腰梯形，平移一腰，则得到等边BEC △．60BCD ∴∠=︒，30BDC ∠=︒．tan tan BDC BCD ∠+∠= tan tan 1BDC BCD ∠∠=．∴所求作的方程是210y +=．【点睛】注意平行四边形的梯形的概念的区别；能够证明梯形的对角线中点所连线段等于上下底差的一半；能够根据根与系数的关系由已知方程写出两根之和，两根之积．反过来能够根据两根之和，两根之积写出一个方程．9．75米【分析】延长CB 交水平线于点D ,过点P 作PE DA ⊥于点E ,过点P 作PF BD ⊥于点F ,再根据三角函数值与BA =100BD DA ==.再根据山坡AP 的坡度为1:2i =与点P 距坡谷点A 的距离为,求得,PE AE .再在Rt CFP 中根据三角形三边关系可求得,FP CF ,进而求解BC 即可.【详解】解：延长CB 交水平线于点D ,过点P 作PE DA ⊥于点E ,过点P 作PF BD ⊥于点F (如图)则90BDA AEP CFP ∠=∠=∠=,且,PF DA AE =+在Rt BDA 中,90,45BDA DAB ∠=∠= 2452DA cos DAB cos AB ∴∠===又AB =,100DA ∴=米,易得100BD =米,在Rt AEP △中,90AEP ∠=,1:2,PE tan EAP i AE∴∠=== 2AE PE ∴=,由勾股定理,得AP ===，又PA =,40PE ∴=米,80AE =米,180PF DA AE ∴=+=(米) ,在Rt CFP 中,90,37CFP CPF ∠=∠=,3370.754CF tan PF =≈= 31354CF PF ∴==(米), 1354010075BC CF FD BD ∴=+-=+--(米),故基站BC 的高度约为75米.【点睛】本题主要考查了三角函数与勾股定理在实际测量中的运用,属于难题.10．（1）y ＝213x x 442--；（2）（3，0）或（0，0）；（3）N 点坐标为（﹣8，0）或（8﹣0）或（0）或（3，0）．【分析】（1）用待定系数法解答便可；（2）设点N 的坐标为（n ，0），分两种情况：当∠NAM ＝∠BAO 时，△AMN ∽△AOB ；当∠ANM ＝∠BAO 时，△NMA ∽△AOB ．分别解答便可；（3）分三种情况：AN ＝CN ；AC ＝AN ；AC ＝CN ．分别写出N 点坐标便可．【详解】（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与与x 轴交于点B （﹣2，0），C （8，0），∴y ＝a （x +2）（x ﹣8），把A （0，﹣4）代入，得a （0+2）（0﹣8）＝﹣4，解得，a ＝14， ∴二次函数表达式是y ＝14（x +2）（x ﹣8），即y ＝213x x 442--；（2）∵AB 2＝BO 2+AO 2＝20，AC 2＝AO 2+OC 2＝80，BC 2＝（BO +OC ）2＝100，∴AB 2+AC 2＝BC 2，∴∠BAC ＝90°，∵NM ∥AB ，∴∠AOB ＝∠BAC ＝∠NMA ＝90°，设点N 的坐标为（n ，0），分两种情况：①当∠NAM ＝∠BAO 时，△AMN ∽△AOB ，∵∠BAO +∠OAC ＝∠OAC +∠OCA ＝90°，∴∠BAO ＝∠OCA ，∴∠NAM ＝∠OCA ，∴NA ＝NC ＝8﹣n ，Rt △OAN 中，OA 2+ON 2＝AN 2，即42+n 2＝（8﹣n ）2，解得，n ＝3，∴N （3，0），②当∠ANM ＝∠BAO 时，△NMA ∽△AOB ，∵NM ∥AB ，∴∠ANM ＝∠BAN ，∴∠BAO ＝∠BAN ，即N 与原点O 重合，∴此时N （0，0）；综上，点N 的坐标是（3，0）或（0，0）；（3）当AC ＝AN 时，N （﹣8，0）；当AC ＝CN 时，N （8﹣0）或N （0）；当AN ＝CN 时，由（2）知N （3，0）；综上可知，N 点坐标为（﹣8，0）或（8﹣0）或（0）或（3，0）．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，相似三角形，等腰三角形的知识，第（2）题与第（3）题关键在于分情况讨论，难度中等偏上． 11．（1）(52)(21)x y x y -++-；（2）(23)(2)x y x y ++++.【分析】（1）由于22310(5)(2)x xy y x y x y --=-+，所以设2231092(5)(2)x xy y x y x y a x y b --++-=-+++，求出,a b 即可；（2）和（1）一样利用待定系数分解因式【详解】解：（1）因为22310(5)(2)x xy y x y x y --=-+，所以设2231092(5)(2)x xy y x y x y a x y b --++-=-+++，因为22(5)(2)=310()(25)x y a x y b x xy y b a x a b y ab -+++--+++-+，所以1,259,2b a a b ab +=-==-，解得2,1a b ==-，所以2231092x xy y x y --++-=(52)(21)x y x y -++-，（2）由于2232(2)()x xy y x y x y ++=++，所以设2232576(2+)()x xy y x y x y a x y b +++++=+++，因为22(2+)()32()(2)x y a x y b x xy y a b x b a y ab +++=+++++++，所以5,27,6a b b a ab +=+==，解得3,2a b ==，所以2232576x xy y x y +++++=(23)(2)x y x y ++++【点睛】此题考查了分组分解法分解因式，利用了待定系数法，属于中档题.12．（1）4m =，4k =-；（2）①1n =，②2n ≥.【分析】（1）利用待定系数法求出m ，进而求出点B 的坐标，即可得出M 的坐标，再代入双曲线解析式中，即可得出结论；（2）①先表示出点D 的坐标，代入双曲线解析式中，即可得出结论；②先确定出MD ，MN ，建立不等式即可得出结论. 【详解】解：（1）如图.∵直线y x m =+与x 轴的交点为()4,0A -，∴4m =. ∵直线y x m =+与y 轴的交点为B ，∴点B 的坐标为()0,4B . ∵线段AB 的中点为M ，可得点M 的坐标为()2,3M -. ∵点M 在函数()0ky k x=≠的图象上，∴4k =-. （2）①由题意得点D 的坐标为(),4D n -. ∵点D 落在函数()40y x x=-<的图象上，∴44n -=-.解得1n =. ②n 的取值范围是2n ≥. 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，解不等式，利用待定系数法求出双曲线解析式是解本题的关键.13．（1）详见解析；（21. 【分析】（1）过点P 作,PM AC PN BC ⊥⊥，易得四边形CMPN 是矩形，再由23∠∠=，得到1,22CN CB BC CN ==，然后在Rt PMA 中，由130∠=，得到2PA PM =即可.（2）结合（1）知()11:22PAB PBC SS AC BC AC PM BC PN PN BC =⨯-⨯-⨯⨯：)1:PM PN =，再由AP BC AC ==，130∠=，得到2907515∠=-=︒，然后由=tan15PNPM︒求解. 【详解】（1）如图所示：过点P 作,PM AC PN BC ⊥⊥，因为90ACB PMC PNC ∠=∠=∠=，所以四边形CMPN 是矩形，所以PM CN =，又23∠∠=，所以PC PB =，1,22CN CB BC CN ==，在Rt PMA 中，因为130∠=，所以2PA PM =，所以AP BC =.（2）由（1）知AP BC AC ==，130∠=，所以75ACP APC ∠=∠=，2907515∠=-=︒，tan152PN PNCN PM︒=== 所以()11:22PAB PBC S S AC BC AC PM BC PN PN BC =⨯-⨯-⨯⨯：，()AC PM PN PN =--：()AM PM PN =-：，)1:1PM PN ===.【点睛】本题主要考查平面几何图形中的边角关系的应用，还考查了转化化归的思想、数形结合思想和运算求解的能力，属于较难题.14．（1）22143x y +=；（2）363,494⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）由椭圆的顶点求出a ，点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程求出b ，即可写出椭圆的方程；（2）设AC l ：2CB x ty l =+⇒：2yx t=-+，联立AC l 与圆的方程求出A y 、联立AC l 与椭圆求出D y ，同理求出E y 、B y ，代入CDE D E CAB A BCD CE S y yS CA CB y y ==△△求得表达式，利用换元法及二次函数的性质即可求得范围. 【详解】（1）由椭圆顶点知2a =，因为点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，所以22191344b b +=⇒=，椭圆方程为22143x y +=.（2）因为AB 为圆的直径，所以=90ACB ∠，AC CB ⊥，则CDE D E CAB A B CD CE S y y S CA CB y y ==△△，设AC l ：2CB x ty l =+⇒：2y x t=-+. 联立AC l 与圆得：()22140t y ty ++=，解得0C y =，241A ty t -=+，联立AC l 与椭圆得：()2234120t y ty ++=，解得0C y =，21234D t y t -=+，∴223334D A y t y t +=+，同理得22221333314334E B y t t y t t ++==++，()()()2222913443CDE D E CAB A B S y y t y y t t S +=++=△△，令21(1)m t m =+>，()()()2222222919911121344312CDE CAB t m m m t t S S m m+==+-++-+=+△△，()10,1m ∈，因为当()10,1m ∈时，221111494912(12,]244m m m ⎛⎫-++=--+∈ ⎪⎝⎭，所以29363,1149412m m⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭-++即363,494CDED E CAB A B S y y S y y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭=△△.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合应用、换元法求函数的值域，属于较难题. 15．（1）12；（2）9；（3）能，这个四边形鱼塘周长的最大值为170(米). 【分析】1（）当AD BC ⊥时，ABC 的面积最大；2（）由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m ，另一边为6m -，可得()26(3)9S m m m =-=--+，利用二次函数的性质解决问题即可；3（）由题意，10060AC ADC =∠=︒，，即点D 在优弧ADC 上运动，当点D 运动到优弧ADC 的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时ACD △为等边三角形，计算出ADC 的面积和AD 的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值.【详解】解：1（）如图①中，64BC AD ==，，∴当AD BC ⊥时，ABC 的面积最大，最大值164122=⨯⨯=.故答案为12.2（）如图②中，矩形的周长为12， ∴邻边之和为6，设矩形的一边为m ，另一边为6m -，()26(3)9S m m m ∴=-=--+， 10-<，3m ∴=时，S 有最大值，最大值为9.3（）如图③中，50AC =米，40AB =米，30BC =米，222AC AB BC ∴=+90ABC ∴∠=︒，作AOC △，使得120AOC OA OC ∠=︒=，，以O 为圆心，OA 长为半径画60O ADC ∠=︒，，∴点D 在优弧ADC 上运动，当点D 是优弧ADC 的中点时，四边形ABCD 面积取得最大值，设'D 是优弧ADC 上任意一点，连接''AD CD ，，延长'CD 到F ，使得''D F D A =，连接AF ，则1302AFC ADC ∠=︒=∠， ∴点F 在D 为圆心DA 为半径的圆上，DF DA ∴=，DF DC CF +≥， ''DA DC D A D C ∴+≥+，''DA DC AC D A D C AC ∴++≥++，∴此时四边形ADCB 的周长最大，最大值40305050170(=+++=米).答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170(米). 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，四边形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．16．（1）（2）无论m 取何值，点C ，D 都在直线l 上；（3）m ≤或m ≥.【分析】(1)当m =1时,抛物线G 的函数表达式为22y x x =+,直线的函数表达式为y =x ,求出直线被抛物线G 截得的线段,再画出两个函数的图象即可;(2)先求出C 、D 两点的坐标,再代入直线的解析式进行检验即可;(3)先联立直线与抛物线的解析式,求出它们的交点坐标,再根据这两个交点之间的距离不小于2,列出不等式,求解即可. 【详解】解:(1)当1m =时,抛物线G 的函数表达式为22y x x =+,直线l 的函数表达式为y x =.联立22y x x y x⎧=+⎨=⎩，解得：11x y =-⎧⎨=-⎩或者00x y =⎧⎨=⎩由勾股定理可得：直线被抛物线G 截得的线段OD , 画出的两个函数的图象如图所示.(2)∵抛物线()2:210G y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ,∴点C 的坐标为()0,1C m -.∵()222111y mx mx m m x =++-=+-, ∴抛物线G 的顶点D 的坐标为()1,1--. 对于直线():10l y mx m m =+-≠,当0x =时,1y m =-;当1x =-时,()111y m m =⨯-+-=-. ∴无论m 取何值,点C ,D 都在直线l 上.(3)解方程组:2211y mx mx m y mx m ⎧=++-⎨=+-⎩,得01x y m =⎧⎨=-⎩,或11x y =-⎧⎨=-⎩,∴直线与抛物线G 的交点为()()0,1,1,1.m --- ∵直线被抛物线G 截得的线段长不小于2,2≥,2214,3m m ∴+≥≥,∴m ≤m ≥,∴m 的取值范围是m ≤或m ≥【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,两函数交点坐标的求法,函数的图象,都是基础知识,需熟练掌握. 17．(1)2m >(2)83m =或8.【分析】(1)将2y x =-代入方程化简得到224(4)0x x m -+-=，计算>0∆得到答案. (2)根据对称性得到12,x x 和12,y y 分别为方程224(4)0x x m -+-=和方程224(4)0y y m -+-=的两组解，利用韦达定理计算得到答案.【详解】(1)把2x y +=变形为2y x =-,代入①得22(2)x x m +-=,整理得224(4)0x x m -+-=,2(4)42(4)168m m ∆=--⨯⨯-=-+,故1680m -+>,即2m >时方程组有两组不相同的实数解.(2)∵原方程组中的两个方程为“对称方程”,12,x x 和12,y y 分别为方程224(4)0x x m -+-=和方程224(4)0y y m -+-=的两组解.1212x x y y -=,42m-=, 两边平方得()221212168434m mx x x x +-+-=⨯, 整理得2332640m m -+=,解得83m =或8m =,故83m =或8.【点睛】本题考查了方程的解的问题，灵活应用韦达定理是解题的关键.18．（1）见解析；（2）12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）；【分析】（1）联立两个函数的方程2y ax bx cy bx⎧=++⎨=-⎩得220ax bx c ++=．所以224()32ca c ∆=++．0a b c ++=，a b c >>，0a ∴>，0c <．>0∆，即两函数的图象交于不同的两点.（2）0a b c ++=，a b c >>，0a >，0c <，a a c c ∴>-->，11c ca a ∴>-->，解得c a的取值范围．（3）由题意得22221112121213||()()4424c A B x x x x x x a ⎡⎤⎛⎫=-=+-=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由（2）知1(2,)2c a ∈--，再根据二次函数的性质求得211(3,12)A B ∈，故11A B ∈ 【详解】解：（1）由2y ax bx cy bx⎧=++⎨=-⎩消去y ，得220ax bx c ++=．222222444()44()4()32cb ac a c ac a ac c a c ∴∆=-=---=++=++．0a b c ++=，a b c >>，0a ∴>，0c <．∴230c >，∴>0∆，即两函数的图象交于不同的两点．（2）0a b c ++=，a b c >>，0a >，0c <，a a c c ∴>-->，11c c a a ∴>-->，解得12,2c a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭．（2）设方程220ax bx c ++=的两根为1x 和2x ，则122bx x a +=-，12c x x a=． 22211121212||()()4A B x x x x x x =-=+-2222224444()4b c b ac a c ac a a a a ----⎛⎫=--== ⎪⎝⎭221341424c c c a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 22141432c c c c f a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦的对称轴方程是12c a =-，且当12,2c a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，为减函数，()3,12c f a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭211(3,12)A B ∴∈，故11A B ∈．【点睛】考查一元二次方程解的情况和判别式的关系，韦达定理，以及完全平方式，以及根据二次函数的单调性求二次函数的值域，属于难题．。

初高中衔接数学试题(含答案)

.初高中衔接数学试题第Ⅰ卷（共42 分）一、选择题：本大题共14 个小题 ,每小题 3 分 ,共 42 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 观察下列四个图形，中心对称图形是（）A ．B ．C． D ．2.斑叶兰被列为二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克 .将 0.0000005用科学记数法表示为（）77C． 0.566A．5 10B．5 1010D．5 10 3.如图，点 A 所表示的数的绝对值是（）A ． 3B ．3C．1D ．1 334.某校排球队 10 名队员的身高（厘米）如下：195,,182， 188,182,,188 ， ,188.这组数据的众数和中位数分别是（）A ． ,188B ． 188,187C． 187,188 D ．188,5. 计算 a 2 35a 3 a3的结果是（）A ． a55a 6B． a65a9C． 4a 6 D ． 4a66.不等式组A．C．2x13x213 23 x 2的解集在数轴上表示正确的是（）B．D．7 ．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为()A ．{x| x ＞3 或 x ＜－ 2}B．{x| x ＞2 或 x ＜－ 3}.C．{x | －2 ＜x ＜3} D ． {x| － 3＜ x ＜2}8. 如图，三角形纸片ABC ，AB AC , BAC 90 ，点E为AB中点 . 沿过点E的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕现交于点 F .已知EF3 ，则BC的长是（）2A．3 2B．3 2C． 3D．3 3 29. 如图，将线段AB 绕点 P 按顺时针方向旋转90 ，得到线段 A B ，其中点 A、 B 的对应点分别是点 A 、B ，，则点A 的坐标是（）A．1,3B．4,0C． 3, 3D． 5, 110. 已知二次函数y ax 2bx c(a 0) 的图象如图所示，则正比例函y (b c) x 与反比例函数y a b c在x同一坐标系中的大致图象是（）．A B C D．11. 甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的 3 个扇形）做游戏 . 游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在概率是（）1 4 52 A ．B ．C.D ．399312 ．若关于 x 的一元二次方程x 2－ 2 x + k =0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值围是（）A ． k ＜ 1B ． k ≤1C ． k ＞－ 1D ． k ＞ 113 ．大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼” ．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30 °，再往楼的方向前进 60m 至 B 处，D测得仰角为 60 °，若学生的身高忽略不计， 3 ≈1.7 ，结果精确到 1m ，则该楼的高度 CD 为（）BCA第 12 题图A ． 47mB ． 51mC ． 53mD ． 54m14. 甲、乙两组各有12 名学生，组长绘制了本组 5 月份家庭用水量的统计图表，如图，比较5 月份两组家庭用水量的中位数，下列说确的是()A ．甲组比乙组大B ．甲、乙两组相同C ．乙组比甲组大D ．无法判断第Ⅱ卷（共 96 分）二、填空题（每题 3 分，满分 18 分，将答案填在答题纸上）15. 已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S 甲2、S 乙2，16. 5 月份，甲、乙两个工厂用水量共为200 吨 .进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比 5 月份减少了15%，乙工厂用水量比 5 月份减少了10%，两个工厂 6 月份用水量共为174吨，求两个工厂 5 月份的用水量各是多少. 设甲工厂 5 月份用水量为x 吨，乙工厂 5 月份用水量为y 吨，根据题意列关于 x, y 的方程组为．17. 如图，Rt ABC， B 90 , C 30 ，O为AC上一点，OA 2 ，以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆与CB 相切于点 E ，与 AB 相交于点 F ，连接 OE、OF ，则图中阴影部分的面积是．318．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为．819. 对于实数p ， q ，我们用符号min p, q 表示 p ， q 两数中较小的数，如min 1,2 1 ，因此min2,3；若min ( x1)2 , x21，则x．20.阅读理解：如图 1 ，⊙O与直线a, b都相切 . 不论⊙O如何转动，直线a,b之间的距离始终保持不变（等于⊙O 的半径）.我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”.图 2 是利用圆的这一特性的例子.将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进.据说，古埃及就是利用只有的方法将巨石推到金字塔顶的.拓展应用：如图 3 所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”.如图 4 ，夹在平行线c,d 之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变.若直线c, d之间的距离等于2cm ，则莱洛三角形的周长为cm .三、解答题（本大题共 5 小题，共60 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.求下列关于 x 的不等式的解：(1)x 2－(2 m ＋1) x＋ m 2＋m ＜ 0.(2) ．求不等式 ax ＋1 ＜a2＋ x 的解．22. 八年级（ 1 ) 班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计请根据图息解决下列问题：（ 1 ）共有名同学参与问卷调查；（ 2 ）补全条形统计图和扇形统计图；（ 3 ）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读 2 本课外书的人数约为多少.23. 某区域平面示意图如图，点O 在河的一侧，AC 和 BC 表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在 A 处测得点 O 位于北偏东 45 ，乙勘测员在 B 处测得点 O 位于南偏西 73.7 ，测得AC840m, BC 500m .请求出点O到BC的距离 .24 ，cos73.77 ，tan 73.724参考数据：sin 73.72525724. 已知反比例函数的图象经过三个点 A 4, 3 , B 2m, y1 , C 6m, y2，其中m0 .（ 1）当 y1 y2 4 时，求 m 的值；（ 2）如图，过点 B、 C 分别作x轴、 y 轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在 x 轴上，若三角形PBD的面积是8 ，请写出点 P 坐标（不需要写解答过程).25. 某公司投入研发费用80 万元（ 80 万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品.公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为 6 元/件. 此产品年销售量y (万件）与售价x ( 元/件）之间满足函数关系式 y x26 ..（2 ）该产品第一年的利润为 20 万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3 ）第二年，该公司将第一年的利润 20 万元（ 20 万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为 5元/件 .为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12 万件 .请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.新预科部数学试题答案1-5 CBABC6-10BCBDC11-14CABBx y2007416.17.3(1 15%) x(110%)y 1742015.___>___2 3 18.19.3； 2 或-1..20. 2 π21(1) 解 x 2－ (2 m ＋ 1) x ＋m 2＋m ＜ 0 ，因式分解得 (x －m )[ x － (m ＋ 1)] ＜ 0.∵m ＜ m ＋1 ，∴m ＜ x ＜m ＋1.即不等式的解为m ＜x ＜m ＋ 1(2)解：将原不等式化为 (a－1) x ＜ a2－1.①当 a－1 ＞0 ，即 a ＞1 时， x ＜a＋1.②当 a－1 ＜0 ，即 a ＜1 时， x ＞a＋1.③当 a－1 ＝0 ，即 a ＝1 时，不等式无解．综上所述，当 a＞ 1 时，不等式的解集为 x ＜a ＋1 ；当 a＜ 1 时，不等式的解集为 x ＞a ＋1 ；当 a＝ 1 时，不等式无解22 232425。

初高中数学知识衔接(试卷)

高一305、306班初高中数学教材衔接知识点检测试卷第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题：本大题共12小题.每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求.1．下列叙述正确的是（）（A）若a b =，则a b =（B）若a b >，则a b >（C）若a b <，则a b<（D）若a b =，则a b=±2．若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m（D ）2116m 3．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数4．已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A ）－3（B ）3（C ）－2（D ）25．等式22xxx x =--成立的条件是（）（A ）2x ≠（B ）0x >（C ）2x >（D ）02x <<6．若223x y x y -=+，则xy＝（）（A ）１（B ）54（C ）45（D ）657．若2a b ab b a ---=---，则（）（A ）a b <（B ）a b >（C ）0a b <<（D ）0b a <<8．计算1a a-等于（）（A ）a -（B ）a （C ）a --（D ）a-9．多项式22215x xy y --的一个因式为（）（A ）25x y-（B ）3x y-（C ）3x y+（D ）5x y-10．若关于x 的方程x 2＋(k 2－1)x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（）（A ）1，或－1（B ）1（C ）－1（D ）011．下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A）y ＝2x2（B）y ＝2x 2－4x ＋2（C）y ＝2x 2－1（D）y ＝2x 2－4x12．函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2（）（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到第Ⅱ卷（非选择题共64分）二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案填在答题卡中的横线上.12．12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-____；13．若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+____；14．若ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆是_____三角形；15．若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于；16．方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝；17．方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝；18．已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是；19．二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝，n ＝；20．已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝时，函数图象经过原点；21．函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x ＝时，函数取最值y ＝；当x时，y 随着x 的增大而减小；三、解答题：本大题共5小题，22题12分，23题4分，24题4分，25题6分，26题8分，共34分。

2021年高一上学期初高中衔接学习学业质量调查测试数学 Word版含答案

2021年高一上学期初高中衔接学习学业质量调查测试数学 Word版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上. 1．（xx•苏州）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是▲x≥42．（xx年江苏南京）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：的取值范围是▲03．（xx•扬州）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，则k的值为▲k=24. 分解因式：= ▲5. 如果是一个完全平方式，则m= ▲ 26. 若反比列函数的图像经过二、四象限，则= ▲07．（xx•泰州）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于▲﹣3 ．8. 不等式|2x－7|<3的解为▲2<x<59、已知，则▲1810、方程的根满足，求满足的范围▲11、已知，求函数的取值范围为▲12．（xx•无锡）在直角坐标系中，一直线a向下平移3个单位后所得直线b经过点A（0，3），将直线b 绕点A顺时针旋转60°后所得直线经过点B（﹣，0），则直线a的函数关系式为▲y=﹣x+613. 若不等式<6的解,则实数ａ的值为▲ 414．（xx•扬州）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为▲23二、解答题:本大题共6大题,共90分.,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解下列关于x的不等式（1）．（3分）（xx•苏州）解不等式组：．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解：，由①得：x＞3；由②得：x≤4，则不等式组的解集为3＜x≤4．此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（2）（3分）（3）（4分）无解（4）（4分）(x－2)(3x－2)＞0．16（xx•泰州）（1）（4分）计算：﹣24﹣+|1﹣4sin60°|+（π﹣）0解：（1）原式=﹣16﹣2+2﹣1+1=﹣16；（2）（4分）化简：．解：（2）原式=此题考查了实数的运算，以及根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（3）．（6分）（xx •泰州）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0．分式的化简求值．原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值．解：原式=•﹣=•﹣=x ﹣=，∵x 2﹣x ﹣1=0，∴x 2=x+1，则原式=1．17．（14分）（xx 年江苏南京）已知二次函数y=x 2﹣2mx+m 2+3（m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点？分析：（1）求出根的判别式，即可得出答案；（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．（1）证明：∵△=（﹣2m ）2﹣4×1×（m 2+3）=4m 2﹣4m 2﹣12=﹣12＜0，∴方程x 2﹣2mx+m 2+3=0没有实数解，即不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）解：y=x 2﹣2mx+m 2+3=（x ﹣m ）2+3，把函数y=（x ﹣m ）2+3的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x ﹣m ）2的图象，它的顶点坐标是（m ，0），因此，这个函数的图象与x 轴只有一个公共点，所以，把函数y=x 2﹣2mx+m 2+3的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．点评：本题考查了二次函数和x 轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．18. （16分）已知是一元二次方程的两个实数根．(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(2) 求使的值为整数的实数的整数值．解：(1) 假设存在实数，使成立．∵ 一元二次方程的两个实数根∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又是一元二次方程的两个实数根∴ ∴222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-，但．∴不存在实数，使成立．(2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++ ∴ 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，故要使的值为整数的实数的整数值为．说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在． (2) 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法19．（16分）（xx年江苏南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC的内切圆．（1）求⊙O的半径；（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．19. 分析：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．（2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切．所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差．分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得t的值．解：（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，则AD=AF，BD=BE，CE=CF．∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．∵∠C=90°，∴四边形CEOF是矩形，∵OE=OF，∴四边形CEOF是正方形．设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB==5cm．∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r，∴4﹣r+3﹣r=5，解得r=1，即⊙O的半径为1cm．（2）如图2，过点P作PG⊥BC，垂直为G．∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC．∴△PBG∽△ABC，∴．∵BP=t，∴PG=，BG=．若⊙P与⊙O相切，则可分为两种情况，⊙P与⊙O外切，⊙P与⊙O内切．①当⊙P与⊙O外切时，如图3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PH⊥OE，垂足为H．∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，∴四边形PHEG是矩形，∴HE=PG，PH=CE，∴OH=OE﹣HE=1﹣，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣．在Rt△OPH中，由勾股定理，，解得t=．②当⊙P与⊙O内切时，如图4，连接OP，则OP=t﹣1，过点O作OM⊥PG，垂足为M．∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，∴四边形OEGM是矩形，∴MG=OE，OM=EG，∴PM=PG﹣MG=，OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣，在Rt△OPM中，由勾股定理，，解得t=2．综上所述，⊙P与⊙O相切时，t=s或t=2s．点评：本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目．20.（1）（5分）已知时，求的取值范围。