13数学分析期末复习题01

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数学分析期末考试复习题及参考答案

数学分析 --复习资料一、单选题1、设 f (x) = x (x + 1)(x + 2) … (x +2004) , 则 f ' (0) = ( )A. 0B. 2003!C. 2004!D. 2005!参考答案： C2、设,则交换积分次序后为 ( )。

A.B.C.D.参考答案： A3、( )A. -2B. 2C. 0D. 发散参考答案： D4、幂级数的收敛域为( )。

A.B.C.D.参考答案： B5、 f (x) 在 x0 点连续的充分条件是( )。

A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f-' (x0 ) 、f+' (x0 ) 存在D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： C6、已知,f (x) = ( )A.B.C.D.参考答案： C7、积分=A. 1；B. ；C. ；D. 。

参考答案： D8、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： D9、设,则( )。

A.B.C.D.参考答案： C10、下面广义积分发散的一个是A. ；B. ；C. ；D. 。

参考答案： C11、使函数序列一致收敛的区域为A. ；B. ；C. ；D. 。

其中。

参考答案： B12、锥面被柱面所截部分的面积是( )。

A.B.C.D.参考答案： B13、( )；A.B.C.D.参考答案： C14、幂级数的收敛域为( )；A. (-1,1)B.C.D.参考答案： B15、函数连续,则在[a,b]上=( )A.B.C.D.参考答案： B16、级数为( )级数。

A. 收敛B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 发散参考答案： B17、 f (x) 在 x0 点连续,则下列命题不成立的是( )。

A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f (x) 在 x0 点的某邻域内有界D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： D18、函数在 [a,b] 上可积的充要条件是( )A."e>0,$ s>0和d>0使得对任一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s B."e>0,s>0, d>0使得对某一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s C."e>0,$d>0使得对任一分法D，当l（D）D."e>0, s>0，$ d>0使得对任一分法D，当l（D）参考答案： D19、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： C20、幂级数的收敛半径为A. ；B. 1；C. 2；D.参考答案： D21、A. AB. BC. CD. D参考答案： C22、函数f (x) = ln (ln x) 的定义域是( )A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1D. x ≥ 1参考答案： C23、( )；A.B.C.D.参考答案： C24、下列反常积分收敛的是( )。

13数学分析期末复习题01

13数学分析期末复习题01一、计算题(每小题10分，共70分)1.全微分计算题2.求隐函数(组)的一阶偏导数3.求抽象函数的二阶偏导数4.求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程5.求函数的极值6.计算第一型曲面积分7.计算第二型曲面积分8.计算第二型曲线积分(格林公式)9.二重积分的计算10.高斯公式与斯托克斯公式11.求多元函数的方向导数12.曲线积分与路径无关问题13.将三次积分用柱坐标与球坐标表示14.应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)d某15.利用余元公式B(p,1-p)=，计算类积分值01某ninp二、解答与证明题(第小题10分，共30分)1.用定义证明多元函数的极限2.证明多元函数的连续性3.研究含参量积分的一致收敛性4.证明含参量非正常积分的连续性5.三重积分的证明题6.有关多维空间的聚点或开闭集问题7.证明二重极限不存在8.多元函数的可微性证明例题一、计算题1.全微分计算题uuu公式：du=d某+dy+dz。

y某zz2某2例1：求函数u=2的全微分；某y2例2：已知函数z=z(某,y)是由方程某2+y2+z2-3某=0所确定的函数，求z(某,y)的全微分。

2.求隐函数(组)的偏导数2z某yz例3：设e，求。

某yz例4：设2某+y+3z=0，某+y+z=e-(某+y+z)，求3.求抽象函数的二阶偏导数dydz，。

d某d某2u2u例5：设u=f(a某+by,by+cz,cz+a某)，求，2其中f具有二阶连续的偏导数；某zy例6：设u=f(某-y，e22某y2u)，求，其中f具有二阶连续偏导数。

某y4.求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线例7：求曲线：某2+y2+z2=6，某+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。

某2y2z23某0例8：求曲线在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。

2某3y5z40例9：求曲面某2+2y2+3z2=21的平行于平面某+4y+6z=0的各切平面。

数学分析(1)期末试题集(计算题部分)

.
2.设求的极值.
解:当时, .令 ,得稳定点 .
当时, ;当时, ,故为极小值点,极小值为 ;
当时, ,所以在内严格单调增,无极值.
而在的邻域内,左边函数单调增,右边函数单调减,故为极大值点,函数的极大值为 .
3.设函数满足 .讨论是否为的极值点.
解若 ,由极值的必要条件知, 不是的极值点.
当时, , 单调减少.当时, , 单调增加.于是为在内唯一的极小值,也为最小值.因此函数的零点个数与的符号有关.
当 ,即时, 在恒为正值函数,无零点;
当 ,即时, 在内只有一个零点,即 ;
当当 ,即时,因为 ,由连续函数的零点定理知, 和 ,使得 ,且由函数的单调性知, 在和内最多各有一个零点,所以当时, 在有且只有两个零点.
(4)因为
所以是偶函数.
(5) .所以是奇函数.
7.求函数的值域.
解因为反函数的定义域为 ,所以函数的值域为 .
8.设有方程其中 .求解与 .
解由方程组得 ,代入 ,所以 .
9.若函数的图形有对称中心及 ,试证为周期函数,并求出周期 .
解由于的图形有对称中心及 ,于是有
.
进而有且 ,令 ,由上式便得到 .由周期函数的定义,注意到 ,因此是以为周期的周期函数.
10、设函数在内有定义,且对任意的实数 ,有 ,求 .
解由于 ,且 .
11、若函数对其定义域内的一切 ,恒有 ,则称函数对称于 .证明:如果函数对称于及 ,则必定是周期函数.
证若及
所以是以为最小周期的周期函数.
12.若的图形有对称轴和对称中心 ,求证为周期函数.

13级《高等数学I、II》(上)期末考试卷及答案

2013—2014学年第一学期《高等数学I 、II 》考试试卷（A 卷）一、填空题（每小题3分，共48分）1. 2()ln(1)f x x =-, 已知 000()(2)3lim2h f x f x h h →--=, =0x 13- .2. 2sin 10()0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a = 1- . 3. 函数32()391f x x x x =--+的既递减又上凸的区间是 (1,1)- .4. 21tx t y e ⎧=+⎨=⎩，则22d d y x 4t t． 5. 设)(x f 在0=x 点处连续，且0()lim12x f x x→=，那么(0)f '= 2 6. 222||2x x dx x -++⎰ ln3 .7.x y dye dx+=的通解为 y x e e c --=+ 8. 设3(1)f x x +=，则(1)f x '-= 23(2)x - ．9. 方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。

10. 若函数)(x f 具有二阶连续导数，,0)()(21='='x f x f ),(0)( 21x f x f ''<<''则12(),().f x f x 的大小关系为 ).()(21x f x f >11. 变上限函数⎰21sin x tdt 的导数等于 2sin 2x x12. 设x ，x e ，x e -是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，则该方程的通解为x x e C x e C y x x +-+-=-)()(21。

得分13. 广义积分21(ln )edx x x +∞⎰= 1 。

14. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为12(cos 2sin 2)x y e c x c x =+ 15. ⎰⎰'+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 2sin 2sin x x x C -+ .16. 函数x e x f -=)(的四阶麦克劳林公式是)(!!!443243211x o xx x x ++-+-二、计算题（满分24分，每小题6分）17.求020()lim (0,0)ln(1)xt t xx a b dt a b t dt→->>+⎰⎰)(b a ≠原式=-+→limln()x x x a b x 0212 3分=-+→lim ln ln x x x a a b b x 0412=14lna b 3分18、求曲线xex y 12-+=)(的渐近线。

数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新)

数列极限类 1. 证明: 112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 证因为11211122222+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤+n n n n n n n n n又11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ,由迫敛原理得112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 2. 设() ,2,121,1111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>=+n a a a a a a n n n ,证明{}n a 有极限,并求此极限的值. 证由均值不等式得a a a a a a a a n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2212111,即{}n a 有下界. 又0212121=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ,即{}n a 单调减,于是A a n n =∞→lim 存在,且由极限的保号性可得1≥A .对已知递推公式,令∞→n 和极限的唯一性得⎪⎭⎫⎝⎛+=A a A A 21, 解得a A =(负根舍去),即有a a n n =∞→lim .单调性的证明也可如下完成:11211212221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a a ,或n n n n n a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+2121. 3. 设() ,2,16,1011=+==+n x x x n n ,试证数列{}n x 存在极限,并求此极限.证由4166,10121==+==x x x 知, 21x x >.假设1+>k k x x ,则21166+++=+>+=k k k k x x x x ,由归纳法知{}n x 为单调下降数列.又显然有0>n x ,所以{}n x 有下界.由单调有界原理知,数列{}n x 收敛.所以可令a x n n =∞→lim ,对n n x x +=+61两边取极限得0662=--⇒+=a a a a ,解得3=a 或2-=a (舍去),故3lim =∞→n n x .4. 设+N ∈∃N ,当N n >时,有n n b A a ≤≤且()0lim =-∞→n n n a b .求证极限n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在且等于A .证由n n b A a ≤≤得n n n a b a A -≤-≤0,由迫敛原理得A a n n =∞→lim ,再由()0lim =-∞→n n n a b 及A a n n =∞→lim 可得n n b ∞→lim 存在且等于A .5. 设()n n n n n n y x y y x x b y a x +==>=>=++21,,0,01111.求证: (1) {}n x 与{}n y 均有极限; (2) n n n n y x ∞→∞→=lim lim .证因为()1121++=+≤=n n n n n n y y x y x x ,所以()()n n n n n n y y y y x y =+≤+=+21211,即{}n y 单调减少有下界,而n n n n n n n x x x y x x y y =≥=≥≥++111,即{}n x 单调增加有上界.所以{}n x 与{}n y 都收敛.在()121+=+n n n y y x 两边取极限得n n n n y x ∞→∞→=lim lim .6. 设0>n a ,且1lim1<=+∞→q a a nn n ,求证{}n a 收敛且0lim =∞→n n a .证因为1lim1<=+∞→q a a nn n ,对给定的+N ∈∃>-=00,021N qε,当0N n >时,有()n n n n n n a a r r q q q a a q q q q a a <⇒<=+=-+<<--⇒-<-+++111121212121, 所以,当0N n >时,有112210a r a r ra a n n n n ---<<<<< ,由迫敛原理得0lim =∞→n n a .闭区间上连续函数的性质7. 证明方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根. 证令()1sin ++=x x x f ,则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,且22ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,222ππ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,即022<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f .由根的存在性定理得至少存在一点∈ξ⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ,使得()0=ξf ,即方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根.8. 证明方程12=⋅xx 至少有一个小于1的正根.(10分)证令()12-=xx x f ,则f 在[]1,0上连续且()()()011110<-=⋅-=⋅f f ,由闭区间上连续函数的零点存在定理,()1,0∈∃ξ，使得()12012=⋅⇒=-⋅=ξξξξξf .9. 设函数f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x .若f 在[)+∞,0上能取到负值,试证明:(1) [)+∞∈∃,00x ,使得()00=x f ; (2) f 在[)+∞,0上有负的最小值.证由条件可设[)+∞∈',0x 且()0<'x f ,由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得()021>>M f ,由根的存在性定理,得()[)+∞⊂'∈∃,0,0M x x ,使得()00=x f .(1)得证. (2) 由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得当M x ≥时,有()021>>x f .又f 在[]M .0上连续,故[]M ,0∈∃ξ,使得()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.而当[)+∞∈,M x 时,()021>>x f ,故对[)+∞∈∀,0x 有()≥x f ()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.所以结论成立.10. 设n 为正整数,n a a a 221,,, 为n 2个实常数,且02<n a .求证多项式函数()n n n n n a x a x a x x P 21212122++++=--在()+∞∞-,内至少有两个零点.证因为()0022<=n n a P ,又()()+∞=+∞=+∞→-∞→x P x P n x n x 22lim ,lim ,所以存在0>M ,使得()()0,022>>-M P M P n n ,又n P 2在[]0,M -和[]M ,0上都连续,由根的存在性定理,()0,1M -∈∃ξ和()M ,02∈∃ξ,使得()()02212==ξξn n P P ,所以,结论成立.11. 设()xt x x t x t x f sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛=,求()x f 的表达式,并指明()x f 的间断点及其类型.解: ()xx xx x t x x t xt xx t ex x t x t x f sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim sin sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛=-→-→,所以0=x 为第一类可去间断点;() ,2,1±±==k k x π为第二类无穷间断点.12. 设()x f 在[]b a ,上连续,且满足()b x f a <<,求证:()b a x ,0∈∃,使得()00x x f =.证明:令()()x x f x F -=,则()x F 在[]b a ,上连续,()()()()()()0<-⋅-=⋅b b f a a f b F a F .由连续函数的零点定理,必存在()b a x ,0∈∃,使得()00=x F ,故()b a x ,0∈∃使得()00x x f =.13. 设()x f 是[]a 2,0上的连续函数,且满足条件()()a f f 20=.证明存在[]a x ,00∈,使得()()a x f x f +=00.证明: 令()()()a x f x f x F +-=,则()x F 在[]a ,0上连续,且()()()a f f F -=00,()()()()()()()02002=-=+⇒-=a f f a F F a f a f a F .若()()00==a F F ,则存在00=x 或a x =0使得()()a x f x f +=00.若()0F 与()a F 都不为零,则()()00<⋅a F F由连续函数的零点定理,必存在()a x ，00∈∃,使得()00=x F ,故()a x ,00∈∃使得()()a x f x f +=00.(注:两个数的和为零,则这两个数要么同时为零,要么,它们异号).14. 设函数()x f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x ,若存在()+∞∈,00x ,使得()00<x f ,求证:(1) ()+∞∈∃,0ξ使得()0=ξf ; (2) ()x f 在[)+∞,0上有负的最小值.证明: (1) 因为()1lim =+∞→x f x ,由函数的局部保不等式性,存在充分大的0>M (不妨设0x M >),使得M x >时,有()21>x f ,所以当M x >1时,()x f 在[]10,x x 上连续且()()010<⋅x f x f ,由连续函数的零点存在定理,存在[]()+∞⊂∈∃,0,10x x ξ使得()0=ξf .(2) 又()x f 在[]0,0x 上连续,故由最值定理,存在[]1,0x ∈η,使当[]1,0x x ∈时,()()ηf x f ≥,而()()00<≤x f f η,且[)+∞∈,1x x 时,()()ηf x f >>>021.所以()x f 在[)+∞,0上有负的最小值()ηf .15. 设()nx a x a x a x f n sin 2sin sin 21+++= ,若()x x f sin ≤,求证1221≤+++n na a a .证法1（用导数定义）因为 ()()n n na a a f nx na x a x a x f +++='⇒+++=' 212120cos 2cos 2cos . 又()()0000sin 0=⇒=≤f f ,所以()()()()1sin lim lim 00lim0000=≤=--='→→→xx x x f x f x f f x x x ,所以1221≤+++n na a a .证法2（用重要极限1）()1sin lim sin lim 2sin lim sin lim lim 0002010=≤+++=→→→→→xx x nxa x x a x x a x x f x x n x x x 所以1sin lim 2021=≤+++→xx na a a x n .导数与微分证明16. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 3x x xx x f 证明: ()x f 在0=x 处可微; ()x f '在0=x 处不可微证因为()()()01sin lim 00lim0200==--='→→xx x f x f f x x ,所以函数()x f 在处可导,由可导与可微的关系知()x f 在0=x 处可微;又当0≠x 时, ()xx x x x f 1cos 1sin32-=', 而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-'-'→→x x x x f x f x x 1cos 1sin 3lim 00lim00极限不存在,故()x f '在0=x 处不可导, 由可导与可微的关系知()x f '在0=x 处不可微; 17. 设()0x f ''存在,证明: ()()()()0200002limx f hx f h x f h x f h ''=--++→ 证:()()()()()()()()()()()[]()0000000000020000)21lim 212lim 2limx f x f x f h x f h x f h x f h x f h h x f h x f h x f h x f h x f h h h ''=''+''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--'+'-+'=-'-+'=--++→→→ 18. 设()x f 为()+∞∞-,内的可导函数,周期为T .求证:()x f '也是以T 为周期的函数.证明:因为()()()()x f T x f x f T x f '=+'⇒=+,所以()x f '也是以T 为周期的函数. 中值定理的应用 19. 设01210=++++n a a a n ,证明多项式()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.证作辅助函数()12101121+++++=n n x a n x a x a x F ,则()x F 在闭区间[]1,0满足罗尔中值定理的三个条件,故存在()1,0∈ξ使得()010=+++='n n a a a F ξξξ ,故()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.20. 设g f ,都是可导函数,且()()x g x f '<',证明当a x >时,()()()()a g x g a f x f -<-证因为()()⇒'<'≤x g x f 0()x g 严格单调增.当a x >时, ()()a g x g >. 又由柯西中值定理得,存在()x a ,∈ξ使得()()()()()()()()()()()()()()()()a g x g a f x f g f a g x g a f x f g f a g x g a f x f -<-⇒<''=--⇒''=--1ξξξξ.21. 对任意的[)+∞∈,0x ,有()x x ≤+1ln ,且等号只在0=x 时成立.证明: 令()()(),001ln =⇒-+=f x x x f 存在()x ,0∈ξ,使得()()x f x f ξ'=,而()()001<⇒<+-='x f f ξξξ,当且仅当0=x 时()00=f ,所以结论成立.22. 设()x f 在[]a ,0上连续,在()a ,0内可导,且满足()()00==a f f ,求证:存在()a ,0∈ξ,使得()()02='+ξξξf f .提示:令()()x f x x F 2=,用罗尔中值定理可证.23. 设函数f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,连结点()()a f a A ,与点()()()b f b B ,的直线交曲线()x f y =于点()()c f c M ,,其中b c a <<.证明:存在()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf .证因为B M A ,,三点共线,所以()()()()()()cb c f b f a c a f c f a b a f b f --=--=--. 在[]c a ,及[]b c ,上分别应用中值定理得: 存在()c a ,1∈η,使()()()a c a f c f f --='1η;存在()b c ,2∈η,使()()()cb c f b f f --='2η,即()()21ηηf f '='.由于f 二阶可导,故函数f '在区间[]21,ηη上满足罗尔中值定理的条件,故()()b a ,,21⊂∈∃ηηξ,使得()0=''ξf .24. 设10<<<b a ,证明不等式:abab a b 2arctan arctan -<-. 提示:在[]b a ,上用拉格朗日中值定理,注意将分母放大!25. 设b a <<0,证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+.26. 设()1,0∈x ,证明不等式()x x x x 2arctan 1ln <++<. 证将要证的不等式变形为()2arctan 1ln 1<++<xxx ,令()()x x x f arctan 1ln ++=,则()()()x f x f ,1,0,00∈∀=在[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件,于是()(),01,0⊂∈∃x ξ使得()211110arctan 1ln ξξ+++=-++x x x , 又由x +11与211x +在[]1,0上的连续性与单调性可得11121,111212<+<<+<ξξ,所以 ()2arctan 1ln 1<++<xxx ,故要证的不等式成立.27. 已知()x f 在0=x 的某邻域内有二阶连续导数,且()()()00,00,00≠''≠'≠f f f ,证明:存在唯一的一组实数321,,λλλ,使当0→h 时,()()()()032321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小量.证法1 （洛比达法则）()()()()()()()()()()()()0942123924lim 23322lim032lim3213210321023210f h f h f h f h h f h f h f h f h f h f h f h h h ''++=''+''+'''+'+'=-++→→→λλλλλλλλλλλλ令()()009421321=''++f λλλ,并由要证可知,前三式的分子的极限都应是零,可得到 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0940321321321321λλλλλλλλλ (2) 因为0941321111≠,故(2)有唯一非零解.故结论成立.28. 设函数f 在),(+∞a 内可导,且()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在.证明()0lim ='+∞→x f x .证当a x >时,由条件知,函数f 在区间[]1,+x x 上连续可导,故()1,+∈∃x x ξ,使得()()()ξf x f x f '=-+1.因为()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在,所以()x f x '+∞→lim =()()()[]()()0lim 1lim 1lim lim =-+=-+='+∞→+∞→+∞→+∞→x f x f x f x f f x x x ξξ.29. 证明;当2021π<<<x x 时,1212tan tan x x x x >证令()x x x f tan =,则 ()xx xx x xx x x f 2222cos 2sin 21tan sec -=-='. 令()()⎪⎭⎫⎝⎛∈>-='⇒-=2,0,02cos 12sin 21πx x x g x x x g ,所以()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内单调增,则当0>x 时, ()()00=>g x g ,从而()0>'x f ,所以()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内单调增, 则当2021π<<<x x 时, ()()1212112212tan tan tan tan x x x x x x x x x f x f >⇒>⇒>.用单调性证明不等式30. 证明;当0>x 时, ()xx x +>+1arctan 1ln证令()()()x x x x f arctan 1ln 1-++=,()()()()2221211;111ln 1x xx x f x x x f +++=''+-++=',当0>x 时,()0>''x f ,所以()x f '在()+∞,0内单调增,故当0>x 时, ()()00='>'f x f 因而得()x f 在()+∞,0内单调增, 故当0>x 时, ()()()xxx f x f +>+⇒=>1arctan 1ln 00. 31. 设e x 31≤≤,证明不等式:()1ln ln 23ln 122≤-≤-x x .32. 设0>x ，证明不等式11≤--xe x。

数学分析期末考试试题

数学分析期末考试试题数学分析期末考试试题数学分析是大学数学中的一门重要课程，它是数学学科的基础，也是后续数学学科的重要支撑。

期末考试是对学生整个学期所学知识的总结和检验，下面我们来看一下一份典型的数学分析期末考试试题。

1. 选择题(1) 设函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4，求f(x)在区间[0, 2]上的最大值。

A. 2B. 4C. 6D. 8(2) 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 1]上严格单调递增，且f(0) = 1，f(1) = 3，则a, b, c的取值范围是：A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c < 0D. a < 0, b < 0, c < 02. 计算题(1) 求函数f(x) = x^3 - 3x的不定积分。

(2) 求函数f(x) = e^x * sinx的定积分，区间为[0, π]。

3. 证明题证明：对任意正整数n，有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。

解析：这是一个常见的数学归纳法证明题。

首先验证n = 1时等式成立，即1 = 1(1+1)/2。

然后假设当n = k时等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2。

接下来证明当n = k+1时等式也成立，即1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) =(k+1)(k+1+1)/2。

通过将左边的等式化简，可以得到左右两边相等，从而证明了当n = k+1时等式成立。

根据数学归纳法原理，可以得出对任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。

4. 应用题某公司的销售额在过去几年中呈指数增长，已知2017年的销售额为100万元，而2020年的销售额为400万元。

数学分析期末考试试题

数学分析期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,3]上的最大值是：A. 0B. 2C. 4D. 62. 以下哪个选项不是闭区间[a, b]上连续函数的性质？A. 有界性B. 保号性C. 介值性D. 可微性3. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1在x=-1处的泰勒展开式（展开到x^2项）是：A. -1+2x-x^2B. 1-2x+x^2C. -1+2x+x^2D. 1+2x-x^25. 以下哪个级数是发散的？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...6. 函数f(x)=x^2在x=1处的高阶导数f^(n)(x)（n≥2）是：A. 0B. 1C. 2D. 47. 函数f(x)=e^x的原函数是：A. e^x + CB. ln(x) + CC. sin(e^x) + CD. cos(e^x) + C8. 函数f(x)=x^2在[0,1]上的定积分是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2/39. 函数f(x)=|x|在x=0处的导数是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在10. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=e^xC. f(x)=sin(x)D. f(x)=ln(x)二、填空题（每题2分，共10分）11. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处取得极小值，则f'(2)=_________。

12. 若函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在x=-1处取得最大值，则b=_________。

13. 函数f(x)=ln(x)的原函数是_________。

数学分析(1)期末模拟考试题(单项选择部分)

单项选择题一、函数 1. 设()⎩⎨⎧>≤=.1,0,1,1x x x f 则()[]{}x f f f 等于( B ).(A) 0; (B) 1; (C) ⎩⎨⎧>≤.1,0,1,1x x ; (D) ⎩⎨⎧>≤.1,1,1,0x x2. 设()⎩⎨⎧>+≤-=.0,2,0,2x x x x x g ()⎩⎨⎧≥-<=.,,0,2x x x x x f 则()[]=x f g ( D ).(A) ⎩⎨⎧≥-<+.0,2,0,22x x x x ; (B) ⎩⎨⎧≥+<-.0,2,0,22x x x x ; (C) ⎩⎨⎧≥-<-.0,2,0,22x x x x ; (D) ⎩⎨⎧≥+<+.0,2,0,22x x x x3. 若f 为连续奇函数,则()x f sin 为( A ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.4. 若f 为连续奇函数,则()x f cos 为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.5. 若()()()x f x f x g --=,则g 为( A ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.6. 若f 为连续偶函数,则()x x f sin -为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.7. 若f 为连续偶函数,g 为非负偶函数,则g f 为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.8. 设()xex x x f cos sin ⋅=,则在()+∞∞-,上()x f 是( D )(A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 偶函数. 8. 设()⎩⎨⎧>+≤=.0,,0,22x x x x x x f 则( D ).(A) ()()⎩⎨⎧>+-≤-=-.0,,0,22x x x x x x f (B) ()⎩⎨⎧>-≤+-=-.0,,0),(22x x x x x x f(C) ()⎩⎨⎧>-≤=-.0,,0,22x x x x x x f (D) ()⎩⎨⎧≥<-=-.0,,0,22x x x x x x f9.设()1,0∈x 则下列选项正确的是( B ).(A) ()x x ln ln sin <; (B) ()x x ln ln sin >; (C) ()x x ln ln sin ≤; (D) (A)、（B ）、（C ）都不正确.10 设1121x f x x ⎛⎫-=⎪-⎝⎭,则()f x =( C )(A)11x+; (B) 1x-; (C)11x-; (D) 以上都不对.11 下列各对函数中,相同的是( D )(A) ()cos f x x =与()g x = (B) ()f x =()g x =;(C) ()x f x x=与()1g x =; (D) ()()2ln 1x x f x x-与()()ln 1x g x x-=.12. 将函数()22f x x =--表示为分段函数时,()f x =( B ) (A) 4,0,x x x x -≥⎧⎨<⎩; (B) 4,2,2x x x x -≥⎧⎨<⎩; (C) 4,04,0x x x x -≥⎧⎨+<⎩; (D) 4,24,0x x x x -≥⎧⎨+<⎩ .13. 设()132x f x x -=-与()g x 的图形关于直线y x =对称,则()g x =( A )(A)123x x ++; (B) 132x x --; (C)312x x++; (D)213x x--.14. 已知()f x 的定义区间是()0,1,则函数( D )的定义区间仍为()0,1. (A) ()()11f x f x ++-; (B) ()2f x ; (C) ()()11f x f x +⋅-; (D) 11x f x -⎛⎫⎪+⎝⎭. 15. 函数()y f x =与()y f x =-的图形关于( A )(A) x 轴对称; (B) y 轴对称; (C) 原点对称; (D) y x =对称.16. 设函数(()log 0,1a y x a a =+>≠,则该函数是( A )(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非奇非偶函数; (D) 既是奇函数又是偶函数.二、数列极限1. 已知2lim >=∞→A a n n ,则正确的选项是( B ).(A) 对+N ∈∀n ,有2>n x ; (B) +N ∈∃N ,当N n >时,有2>n a ;(C) N N N >∃N ∈∀+0,,使20=N x ; (D) 对2,≠N ∈∀+n a n .2. 设+N ∈∃N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞→lim ,B b n n =∞→lim .则正确的选项是: ( A ).(A) B A ≥; (B) B A ≠; (C) B A >; (D) A 和B 的大小关系不定. 3. 若()0tan 1lim1cos1≠=---∞→a neknn π,则 ( A )(A) 2=k 且π21=a ; (B) 2-=k 且π21=a ;(C) 2=k 且π21-=a ; (D) 2-=k 且π21-=a ;4. 设32lim 1knn en -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则k =( C )(A) 3/2; (B) 2/3; (C) -3/2; (D) -2/3.5. 设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=,则下列命题正确的是( D )(A) 若{}n x 发散,则{}n y 必然发散; (B) 若{}n x 无界,则{}n y 必然有界; (C) 若{}n x 有界,则{}n y 必为无穷小量; (D) 若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为无穷小量,则{}n y 必为无穷小量.三、函数极限 1. 极限=+-∞→3321213limx x x ( D ).(A)323; (B) 323-; (C) 323±; (D) 不存在.2. 极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→210sin lim x x x x ( A )(A) 13e-; (B) 13e ; (C) 3e -; (D) 不存在.3. 极限=-→xxx x sin lim( B ).(A) 等于1; (B) 等于1-; (C) 不存在; (D) 等于21.4. 极限()=+-+∞→122lim22x x x x ( D )(A) 221; (B) 21; (C) 221-; (D) 不存在.5. 极限=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1x x e x ( A )(A) 1; (B) 1-; (C) 0; (D) 不存在. 6 若极限()x f x x 0lim →存在,则( B )(A)()()00lim x f x f x x =+→;(B) ,0>∃M 及0>δ,当()δ;00x Ux ∈时,()M x f ≤;(C) ,0>∃M 及0>δ,当()δ;0x U x ∈时,()f x M >; (D),0>∃M ()M x f ≤.7. 若()A x f x x =-→0lim ,且0<A ,则( C )(A) ∃0>δ,当()δ;0x U x ∈时,恒有()0<x f ; (B) ∃0>δ,当δ<-0x x 时,恒有()0<x f ; (C) ∃0>δ,当00<-<-x x δ时,恒有()0<x f ; (D) ∃0>δ,当δ->-0x x 时,恒有()0<x f . 8．设f 在()U 内有定义.()x f x +∞→lim存在的充要条件是:对数列{}⊂n x()U且=∞→n n x lim,()lim n n f x →∞都且相等.正确的选项是( C )(A) 0x ,∃,0x ,∞,∀; (B) ∞,∀ ,∞,0x ,∃;(C) ∞+,∀,∞+,+∞,∃; (D) ∞+,∃,∞+,0x ,∃.9. 设k 为正整数,极限=-++→xkx x e xe 2132lim( D )(A)32; (B) 0; (C) 与k 的奇偶性有关; (D) 不存在.10 若()32211lim21x xa bx x →∞+++=-+,则常数,a b 分别为( C ).(A) 0,2; (B) 1,-2; (C) -1,-2; (D) 以上对不对. 11 已知212lim31x x ax x →-+=-,则当1x →时,22x ax -+( B )(A) 与1x -是等价无穷小; (B) 与1x -是同阶无穷小但不等价; (C) 是比1x -较高阶的无穷小量; (D) 是比1x -教低阶的无穷小量.12. 若()()()97350211lim81x x ax x→∞++=+,则常数a =( C )(A) 1; (B) 8; (C) 2; (D) 以上都不对.13. 函数()()1122,1ln 1,11,sin ,1x ex f x x x x x x -+⎧<-⎪⎪=--<<⎨⎪≤⎪⎩当( D )时为无穷大量.(A) x →-∞; (B) x →+∞; (C) 1x →; (D) 1x →-. 14. 若()()lim ,lim x ax af xg x →→=∞=∞,下列式子成立的是( D )(A) ()()lim x a f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦; (B) ()()lim 0x a f x g x →-=⎡⎤⎣⎦; (C) ()()1lim0x af xg x →=+; (D) ()1lim0x af x →=.15. 设()232xxf x =+-,则当0x →时( B )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 ; (C) ()f x 是比x 高阶的无穷小量; (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量. 16. 下列各式正确的是( C )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭; (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ;(C) 11lim 1xx e x -→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭; (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.17. 当0x →时,等价的无穷小量是( A )(A) x ; (B) 2x ; (C) 2x ; (D) 22x .18. 若当0x →时,11x ax e bx +-+是2x 的高阶无穷小,则( D )(A) 0,0a b ==; (B) 1,1a b ==; (C) 11,22a b =-=; (D) 11,22a b ==-.四、连续函数 1. 设函数()bxea x x f +=在()+∞∞-,内连续,且()0lim =-∞→x f x ,则常数b a ,满足( D ).(A) 0,0<<b a ; (B) 0,0>>b a ; (C) 0,0>≤b a ; (D) 0,0<≥b a .2. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.0,0,0,sin 11x x xex f x则0=x 是函数()x f 的( D )(A) 连续点; (B) 第一类间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.3. 设()xxe x e x xf 2152sin 1++++=,则0=x 是()x f 的（ B ）（A ）可去间断点；（B ）跳跃间断点；（C ）无穷间断点；（D ）震荡间断点. 4. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧==≠≠-=-.10,01,0,111x x x x e x f x x或且则( B )(A) 0=x 与1=x 均为()x f 的可去间断点;(B) 0=x 为()x f 的无穷间断点;1=x 为()x f 的第一类间断点,但不为可去间断点; (C) 0=x 为()x f 的无穷间断点;1=x 为()x f 的可去间断点; (D) 0=x 和1=x 均为()x f 的第一类间断点.5. 设()x f 与()x ϕ均为()+∞∞-,上有定义的函数,()x f y =在()+∞∞-,上连续且()0≠x f ,()x y ϕ=有间断点,则下列选项中正确的是( D )(A)()[]x f ϕ有间断点；(B)()()x f ϕ有间断点; (C) ()[]2x ϕ有间断点; (D)()()x f x ϕ有间断点.6. 设()x y y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足处始条件()()000='=y y 的特解,则当0→x 时,函数()()x y x 21ln +的极限( C ).(A) 不存在; (B) 等于1 ; (C) 等于2; (D) 等于3. 7. 方程x e x =--21在()+∞,0内实根的个数为( B ). (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3.8 函数()()1,12ln 10,11,2x x x f x x x ⎧>≠⎪-⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩且的连续区间是( C )(A) [)1,+∞; (B) ()1,+∞; (C) [)()1,2,2,+∞; (D) ()()1,2,2,+∞.9. 设()ln,1,1,1x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则()f x 在1x =处( D ) (A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 连续且()10f '=; (D) 连续且()11f '=.10. 设()21cos sin ,0,1,0x x x f x xx x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩则0x =是()f x 的( D ) (A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 振荡间断点; (D) 连续点.11 设函数()()1,0,0mx kx x f x a x ⎧⎪+≠=⎨=⎪⎩,若函数()fx 在0x =连续,则常数a =( D ).(A) m e ; (B) k e ; (C) km e -; (D) km e .五、导数与微分 1. 若极限()()A eh a f ha f hh =-+--→1lim222,则函数()x f 在a x =处( A )(A) 不一定可导; (B) 不一定可导,但()A a f ='+; (C) 不一定可导,但 ()2A a f ='-; (D) 不一定可导,但()A a f ='-.2. 若极限()1lim1h f a f a h A →+∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-,则函数()x f 在a x =处( C ) (A) 可导,且()2A a f =' (B) 不一定可导,但()2A a f ='+;(C) 不一定可导,但 ()2A a f ='-; (D) 不一定可导,但()A a f ='-.3. 若极限()()A eh a f ha f hh =-+--→1lim222,()()B ha f ha f h =--→22lim则函数()x f 在a x =处( B )(A) 不可导; (B) ()A B a f -='+; (C) ()A B a f -='-; (D) ()B A a f -='-. 4. 设函数f 是可导函数,则( A )(A) f 为奇函数时,f '为偶函数; (B) f 为单调函数时,f '为单调函数; (C) f 为非负函数时,f '也为非负函数; (D) f '为连续函数.5. 设()x f ,0>δ在区间()δδ,-内有定义,若当∈x ()δδ,-时,恒有()2x x f ≤,则0=x 必是f 的( C )(A) 间断点; (B) 连续而不可导的点; (C) 可导点,且()00='f ; (D) 可导的点,且()0≠'x f .6. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=.1,2,1,112x x x x x f 则在1=x 处,函数()x f ( ) (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续7. 设雨滴为球体状,若雨滴聚集水份的速率与表面积成正比,则在雨滴行成过程中(一直保持球体状),雨滴半径的增加率( D )(A) 与球体体积的立方根成正比 (B) 与球体半径成正比 (C) 与球体体积成正比 (D) 为一常数.解因为表面积()24,S r t π=体积()343Vrt π=，其中t 为时间,球体体积增长的速率()()24V rt r t π''=，而已知()24V kSk rt π'==，故答案为D 。

《数学分析》期末复习用各章习题+参考答案

f f f (x) = x + 2 ； 2x + 3
f f f f (x) = 2x + 3 。 3x + 5
9． f (x) = f (x) + f (−x) + f (x) − f (−x) ， f (x) + f (−x) 是偶函数， f (x) − f (−x) 是奇
2
2
2
2
函数.
⎧− 4x + 3
2⋅4⋅6⋅
⋅ (2n) 。 (提示：应用不等式 2k > (2k − 1)(2k + 1) )。
9. 求下列数列的极限：
⑴
lim
n→∞
3n2 + 4n − 1 n2 +1 ;
⑵
n3 + 2n2 − 3n + 1
lim
n→∞
2n3 − n + 3 ;
2
⑶
3n + n3
lim
n→∞
3n+1
+ (n + 1)3
k∈Z ⎝
2
2⎠
（4） y = x −1 ，定义域： (− ∞,−1) ∪ [1,+∞)，值域： [0,1)∪ (1,+∞).
x +1
5．（1）定义域： ∪ (2kπ ,(2k +1)π )，值域： (− ∞,0]； k∈Z
（2）定义域：
∪
k∈Z
⎢⎣⎡2kπ
−
π 2
,2kπ
+
π 2
⎤ ⎥⎦
，值域： [0,1]；
1
（3）定义域：
[−
4,1] ，值域：
⎢⎣⎡0,

数学分析课本-习题及答案01

第一章实数集与函数习题§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数。

证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

4、设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。

5、证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。

证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗7、设x>0，b>0，a ≠b 。

证明x b x a ++介于1与ba 之间。

8、设p 为正整数。

证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、设a 、b 为给定实数。

试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。

§2数集、确界原理1、用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6；（3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。

2、设S 为非空数集。

试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。

3、试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。

数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

第三学期数学分析考试题一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（）3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（）4.xy y x f =),(在原点不可微．（）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛．（） 7.平面图形都是可求面积的．（） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替．（）二、填空题（每小题3分，共15分）1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dz ． 2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．2．设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=Ay x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a axy x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(y x z y x +=ρ的物体V 由曲面222y x z +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量．五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++S dxdy z dzdx y dydz x222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向．六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1. 求曲线6222=++z y x ，22y x z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：221140π=+⎰+∞dx x ．七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xx x x ab ．第三学期数学分析参考答案及评分标准一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（⨯） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（ √ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（ ⨯） 4.xy y x f =),(在原点不可微．（ √ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（ ⨯）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛．（ √ ）7.平面图形都是可求面积的．（⨯） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ √ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（⨯）10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替．（ √ ）二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dzdy y x y x x e dx y x y x y e xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++．2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy 2 ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532． 5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．解：先求其对数的极限)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→．由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令，所以)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→=1．2．设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ．解：方程ze z y x =++两边对x ，y 求偏导数，得 xze x z z∂∂=∂∂+1 y z e y z z ∂∂=∂∂+1 解得11-=∂∂=∂∂z e y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=z zz z z xy e e y z e e e y z 。

《数学分析》Ⅰ期末考试试题

《数学分析》Ⅰ期末考试试题
学号姓名
一、叙述题
1、叙述数列{}n x 的Cauchy 准则；
2、写出函数)(x f 在点0x 带 Lagrange 型余项的Taglor 公式；
3、叙述函数)(x f y =的一阶微分形式的不变性；
二、计算题
4、求函数[]1 . 0 2 1
)(∈==x n x x f n ）、、（Λ的上确界[]
)(sup 1.0x f x ∈ ； 5、求极限4202cos lim x e
x x x -→- ；
6、求不定积分⎰+dx x )1ln(2 ；
7、设=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≤0 ,
010 , x 1cos x 2-1sin 222x x x x π 求)(x f 在[]1,0上的一个原函数；
三、讨论举例题
8、举出最大、最小值均不存在，但上、下确界均存在的数集的例子；
9、指出函数[]x
x x f 1sin )(=的不连续点，并确定其不连续点的类型；
四、证明题
10、用“N -ε”定义验证3
22312lim 22=+-∞→n n n ； 11、设0)(0'φx f +，0)(0'πx f -，证明0x 是)(x f 的极小值点；
12、证明2)(x x f =在[) , 0∞+上内闭一致连续（即在[) , 0∞+中的任何
闭子区间上一致连续）。

数学分析期末考试题

数学分析期末考试题一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、叙述反常积分a dx x f ba ,)(⎰为奇点收敛的cauchy 收敛原理2、二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)212111(lim nn n n +++++∞→2、求摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求⎰∞+∞-++dx xx cpv 211)(4、求幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛半径和收敛域5、),(yx xy f u =，求yx u ∂∂∂2三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、yx yx y x f +-=2),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim)0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？2、讨论反常积分⎰∞+0arctan dx xx p的敛散性。

3、讨论∑∞=-+133))1(2(n nnn n 的敛散性。

四、证明题：（每小题10分，共20分）1、设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>⎰ba dx x f2、设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu参考答案一、1、,0.0>∃>∀δε使得δδδ<<<∀210，成立εδδ<⎰--21)(a a dx x f2、设2RD ⊂为点集，mRD f →:为映射，,0.0>∃>∀δε使得D x x x x ∈<-∀2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f二、1、由于x +11在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）)212111(lim nn n n +++++∞→ =2ln 11)11211111(1lim1=+=+++++⎰∞→dx xnn nnnn（6分）2、、所求的面积为：22023)cos 1(a dx x a ππ=-⎰（8分）3、解：π=++=++⎰⎰-+∞→∞+∞-AAA dx xx dx xx cpv 2211lim11)( (3分）4、解：11lim2=∞→nn x，r=1（4分）由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分） 5、解： yu ∂∂=221yx f x f -（3分）322112212yx f xy f yf f yx u -++=∂∂∂（5分）三、1、解、0limlimlim ,1limlimlim 220020==+-==+-→→→→→→yyyx yx xx y x yx y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k+11所以重极限不存在（5分）2、解：⎰⎰⎰∞+∞++=11arctan arctan arctan dx xx dx xx dx xx ppp（2分），对⎰1arctan dx x x p，由于)0(1arctan 1+→→-x xx x pp 故p <2时⎰1arctan dx xx p 收敛（4分）；⎰∞+1arctan dx xxp，由于)(2arctan +∞→→x xx xppπ（4分）故p >1⎰∞+1arctan dx xx p收敛，综上所述1<p <2，积分收敛 3、解：13123])1(2[lim3<+=-++∞→nnnn n 所以级数收敛（10分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：由0)(≥x f 但不恒为0，至少有一点],[0b a x ∈ f （x ）在[a ,b ]连续（2分），存在包含x 0的区间],[],[b a d c ⊂，有0)(>x f （4分），0)()(>≥⎰⎰dcbadx x f dx x f （4分）2、证明：以二元函数为例ugradvvgradu v v u u u v u v u v v u v u u v v u u v v u uv grad y x y x y x y x y y x x +=+=+=++=),(),(),(),(),()(（10分）。

13级数学分析(1)期末卷答案.doc

学院专业班级学号姓名二天津工业大学(2013—2014学年第一学期)E《数学分析》期末试卷 (2014.1.15 理学院)Z 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息，若写在 -其它处视为作弊。

二本试卷共有7页，共七道大题，请核对后做答，若有疑问请与监考教师联系。

- 一.判断下列命题的真假(每小题2分，共12分)Z 1. lim /⑴存在的充要条件为对任意数列｛%…｝, limx… =a,lim /(%…)存在; x —>a n —>ooH —>ooZ (X)二2.若/(x)在［a,b ］上可导，则/''(X )在［a,b ］上没有第一类间断点.(〈). 二3.若函数/(x)在(a, b)内任一点的左、右导数存在，则函数/(x)在(a, b)内二任一点连续.(7 )—4.若函数极限lim f(x)存在，lim (/(%) + g(x))不存在，则lim g(x)不存——x —>x 0x —>x 0—在.(寸)二5.若数列&”｝的二个子列都收敛且极限相等，则limx”存在.(X)Z 6.有理数集合4的上确界一定是有理数.(X )— 二.填空题(每小题4分，共20分)二1.写岀函数COSX 在X = O 时带Lagrange 余项的n 阶Taylor 公式 _________(2〃 + l )7i r 2 r 4COS (―——+ 歹) cosx = l- —+ — + ••• + (—1)" — + ----------------- 2 -------- 十”+2 歹在 °(2”+2)!和1之2.常数a = 2/3时,函数/(%)= <(1 + /)1“—1cosx-1a. x>0兀 V 0 在(—00, + oo)内连3.求曲线y = |cosx|的不可导的点（”兀+彳,0）.4.求函数 /(x) = x 3 cosx 的一阶导数_f\x) =3x 2 cosx-x 3sinx_, 1005.设参数方程x = a(t-sint) dy,=-y = tz(l-cos0d 2y dx 2三.计算题（每小题7分，共281求极限lim (—1 • 2H --------- ■ • • H --------------- ( 1 ) 2-3n(n+1)e %20,,求导函数广（X ）,并说明/'（X ）在x = 0解:处是否连续.2 o,在7?上处连续.x~ — x — 1 x 2 -1(x-2)(2x + l) < |x-2|(5 + 2|x-2|) < 3(x + l)(x-l) (3-|x-2|)(l-|x-2|) 十-2|(5 + 1)51< 5|x — 2| < &只p1 F即可，取8 = min{—}>0,当卜一2|<5时就有3. 求由方程y = l-ln(.x + v) + e y 所确定的隐函数y = y(x)的导数y'.解：将恒等式y = l-l wiy) + e y 二边对 x 求导得 y=一一 (1+y )+^y ，解得 y=-^―——-.x+ yx+ y-l-e (x+ y)4. 设函数/(x) = x 3 - x 2 - x + 1,求/(%)的极值点和拐点.解：f f (x) = 3x 2 - 2x -1 = (3x + l)(x -1) =0,得乂 = 1,K = _1/3.f ,，U) = 6x-2 = 2(3x-l) = 0,得x = l/3, f ,,,(x) = 6>0o因为广⑴=0,广'(1) >0所以，x = l 是极小值点。

华东理工大学《数学分析(上)》期末考试试卷及答案

x→a+0 x→b−0
八、证明方程 x sin x = 2010 在(−∞, +∞)内有无穷多个解.（8分）九、设 f ( x )在[0, +∞)连续, 且 lim [ f ( x ) − x −1] = 0, 证明 f ( x )在[0, +∞)一致连续.（本
x → +∞
题8分）十、设函数 f ( x )在 [a, b] 连续, 在(a, b)可导, 求证在(a, b)内存在相异两点 ξ 和 η 使 2 f (b) − f (a) 得 f (ξ) f (η) = .（本题8分） b−a
√ n 一、用极限的定义证明 lim 2010 = 1. （本题7分）
n →∞
二、求极限（共14分, 每小题7分） 1. lim x − √ x
x→∞
1 e−1
2.
ห้องสมุดไป่ตู้
x → +∞
lim
√ 5
x5 + x4 −
√ 3
x3 − x2
三、求不定积分（共14分, 每小题7分） 1. e ax sin bx d x (其中a, b为常数) 2. cos x dx sin x + cos x
华东理工大学 2009 - 2010 学年第一学期
《数学分析 (上 )》课程期末考试标准答案 A 2010. 1. 13
√ n 一、用极限的定义证明 lim 2010 = 1. （本题7分）
n →∞
(注: 不等式放缩3分, 定义4分) ln 2010 证：∀ε > 0, 令N = log1+ ε 2010 , 则 ∀n > N 有n > , 因此 ln(1+ ε) √ √ 1 n n ln(1− ε) < 0 < ln 2010 < ln(1+ ε), 即1− ε < 2010 < 1+ ε, 故 lim 2010 = 1. n →∞ n 二、求极限（共14分, 每小题7分） √ √ 5 3 1 5 + x4 − 1. lim x − √ 2. lim x x3 − x2 x x→∞ x → +∞ e−1 1 1 et − t − 1 1. 解: 原式= lim − t (2分) = lim t→0 t t → 0 t(e t − 1) e −1 et − t − 1 et − 1 et 1 = lim (2 分 ) = lim (1 分 ) = lim (1分) = (1分) 2 t→0 t→0 t→0 2 t 2t 2 1 1 1 1 5 3 2. 解: 原式= lim x 1 + − 1− (2分) x → +∞ x x 1 11 8 11 + o( ) − 1 − + o( 1 (1分) ) (4分) = = lim x 1 + x x → +∞ 5x x 3x 15 三、求不定积分（共14分, 每小题7分） cos x 1. e ax sin bx d x (其中a, b为常数) dx 2. sin x + cos x 1. 解: 设 I = e ax sin bx d x (1)当a 0时, 由分部积分 b b 1 1 1 sin bx d (e ax )= e ax sin bx− e ax cos bx d x (2分)= e ax sin bx− 2 cos bx d (e ax ) I= a a a a a b ax b b2 b2 1 ax 1 = e sin bx− 2 e cos bx− 2 e ax sin bx d x (2分)= e ax sin bx− 2 e ax cos bx− 2 I +C1 a a a a a a (a sin bx − b cos bx )e ax 故I = (2分) + C (1分) a2 + b2 (2)当a = 0, b 0时, 上述结果仍成立; (3)当a = 0, b = 0时, I = C . cos x − sin x x d(sin x + cos x) 1 1+ d x (3分) = + (2分) 2.解法一: 原式= 2 sin x + cos x 2 sin x + cos x x 1 = + ln | sin x + cos x | (1分) + C (1分) 2 2 dt 解法二: 设 t = tan x, 则 x = arctan t, d x = . (2分) 1 + t2 dt 2 dx 1 1 1 t 原式= = 1+t = + − d t (2分) 2 1 + tan x 1+ t 2 1+t 1+t 1 + t2 1 d (1 + t) 1 dt 1 d (1 + t 2 ) = + − 2 1+t 2 1 + t2 4 1 + t2 1 1 1 = ln |1 + t | + arctan t − ln(1 + t 2 ) + C (2分) 2 2 4 i

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