矩阵论试题
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2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷
(17级专业硕士)
专业 学号 姓名 得分
一．判断题（每小题3分，共15分）
1．线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零，
即ker A =0。（ ）
2．实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个
线性空间。（ ）
3．设A 是n 阶方阵，则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分
必要条件是A 的谱半径1)( 4．n 阶多项式矩阵)(λA 与)(λB 相抵当且仅当它们具有相同的秩。（ ） 5．对于任意n 阶复矩阵A 与B ，有B A B A e e e +=⋅。（ ） 二．填空题（每小题4分，共20分） 1．设V 是数域K 上全体n 阶反称矩阵按通常的加法与数乘构成的一个 线性空间，则其维数V dim = ，V 的一组基是 。 2．⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-=)1()1(1)(223λλλλλA 的初等因子组为 ，不变因子组为 。 3．设⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=211`2A ，则1||||A = ，F A ||||= ， 2||||A = ，=2)(A cond 。 4． 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间，求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 ， 。 5．设A 是复数域上的正规矩阵，则A 满足： ，并 写出常用的三类正规矩阵 。 三．计算题（每小题12分，共48分） 1．在3R 中，试用镜像变换（Householder 变换）将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量，写出变换矩阵。 。 2． 22⨯R 中，取基（I ）：⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ，以及基（II ）：⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='1001,0111,0011,000122211211E E E E ， （1）求基（I ）到基（II ）的过渡矩阵；（2）若定义22⨯R 中线性变换 A A c b a A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 )(，求A 在基（I ）下的矩阵。 3．设⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-----=539649214A ，试求：（1）A 的不变因子及初等因子; （2）A 的极小多项式及若尔当（Jordan ）标准形J 。 （3）求变换矩阵P ，使得J AP P =-1。 4．设⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=0112A ，（1）求At e 及At sin （要求用两种方法） 四．证明题（第一小题10分，第二小题7分） 1．设A 是n 阶矩阵，如果A 的某算子范数1|||| ||1||||||)(||1A A A E E -≤---。 2．设A 是数域K 上n 维线性空间V 上的线性变换，满足A 2= A ， {|1α=V A 0=α}，{|2α=V A αα=}，证明：21V V V ⊕=。