运筹学-线性规划模型在实际生活中的应用
简单的运筹学实际应用案例
简单的运筹学实际应用案例运筹学（Operations Research）是一门研究如何有效利用有限资源进行决策的学科，它通过数学、统计学和经济学等方法，帮助管理者做出最佳决策。
下面将介绍几个简单的运筹学实际应用案例。
1.生产线优化假设一公司拥有多条生产线，每条生产线对应不同的产品。
公司希望通过优化生产线的调度，以达到最大的产出和利润。
运筹学可以通过数学模型和算法，对生产线进行优化调度。
例如，可以使用线性规划模型来确定每条生产线的产量和调度，以最大化总利润；也可以使用整数规划模型来考虑生产线的限制和约束条件。
2.物流网络设计一家物流公司需要设计其物流网络，以最小化成本并满足客户对快速物流的需求。
运筹学可以通过数学模型和算法，帮助物流公司优化物流网络的设计。
例如，可以使用网络流模型来确定货物在物流网络中的最佳路线和节点，以最小化总运输成本；也可以使用线性规划模型来决定在不同节点上的仓库和货物库存量，以满足客户的需求。
3.航班调度问题一家航空公司需要制定最佳航班调度计划，以最大化航班利润并排除延误风险。
运筹学可以通过数学模型和算法，帮助航空公司优化航班调度。
例如，可以使用线性规划模型来决定不同航班的起降时间和机型，以最大化航班利润；也可以使用排队论模型来评估航班的延误风险，并制定相应的调度策略。
4.人员调度问题一家超市需要制定最佳的员工调度计划，以最大化服务质量和节约人力成本。
运筹学可以通过数学模型和算法，帮助超市优化员工调度。
例如，可以使用整数规划模型来决定不同时间段需要多少员工，并考虑员工的技能匹配和工作时间的合理安排；也可以使用模拟仿真方法来评估不同调度策略的效果，并做出相应的决策。
以上是几个简单的运筹学实际应用案例，运筹学在实际生产和管理中有着广泛的应用。
通过数学模型和算法的应用，可以帮助企业优化资源配置、提高效率和决策质量，从而实现最佳的经济效益。
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
运筹学在生活中的运用
运筹学在生活中的运用运筹学是运用科学的数量方法，研究对有限的人、财、无、时、空、信息等资源进行合理运筹和运用，寻找管理及决策最优化的综合性学科。
运筹学作为一门新型科学，其应用范围是十分广泛的。
对于不同类型问题，运筹学都有着不同的解决方法，因而形成了许多分支科学。
它采用定量化的方法为管理决策提供科学依据，在工业、农业、经济和社会生活等各个领域都得到广泛的应用。
运筹学在经济管理中的运用在经济管理中，常用的运筹方法有线性规划和动态规划。
线性规划是目前经济管理中应用最广泛的一种优化法。
它主要研究两类问题：一类是在有限的劳动力、设备、资金等资源条件下，已取得最大的经济效益；另一类是为了实现某一特定目标，研究如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等等，以使消耗的资料最少。
动态规划是运筹学的另一个分支，是一种解决多阶段决策过程最优化的数学问题，他把复杂的多阶段问题分解成一系列相互联系较容易解决的单阶段决策问题来解决多阶段决策问题，寻求最优决策序列的方法。
在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调问题、库存问题、装载问题、排序问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等，所以它是现在经济管理中一种重要的决策方法。
运筹学在物流方面的应用在流通领域，应该大力推广运用各种新型高效的交通运输工具，实现公路、铁路、水运和空运等各种运输方式合理配置机及优化组合，提高运输效率。
主要应用方面是：物资存储。
合理的库存是生产和生活顺利进行的必要保障，可以减少资金的占用，减少费用的指出和不必要的周转环节，缩短物资流通周期，加速再生产的过程等。
在物流领域中的各个环节点：工厂、港口、配送中心、物流中心、仓库、零售店等都或多或少地保有库存，为了实现物流活动总成本最小火利息最大化，金额以运用存储理论的相关知识辅助决策。
物流中的决策就是在充分占有资料的基础上，根据物流系统的客观环境，借助于科学的数学分析、实验仿真或经验判断，在已提出的若干物流系统方案中，选择一个合理的、满意方案的决策行为。
运筹学
《线性规划在实际生活中的应用》说课稿海口市第一中学潘峰一．教材分析1．教材分析“线性规划”这节课是高中新教材人教A版必修5第三章《不等式》第三节中的内容，是在学习了必修2中《直线与方程》的基础上，介绍直线方程的一个简单的应用，是教材改版之后增加的一个新内容，反映了《新课标》对数学知识在实际应用方面的重视．在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益是线性规划研究的基本内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．当然，中学所学的线性规划只是规划论、运筹学中的极小一部分，但这部分内容，也能体现数学的工具性、应用性，同时渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生解决实际问题提供了良好素材。
学生情况分析：学生已经学习了必修2中《直线与方程》，并且掌握了如何用平面区域表示二元一次不等式组。
依据教材分析及学情分析，我确定如下教学目标和重、难点2．教学目标（1）知识与技能：会用线性规划的知识解决一些较简单的实际问题，培养学生的观察能力、分析能力和作图能力，渗透化归和数形结合的数学思想，提高学生解决实际问题的能力；（2）过程与方法：从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决（包括：①从实际情境中抽象出二元一次不等式组；②能用平面区域表示二元一次不等式组，并用线性规划知识加以解决）；（3）情感、态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦，同时融入集体荣誉感教育．3．教学重、难点教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即数学建模．建模是解决线性规划问题极为重要的环节．一个正确数学模型的建立要求建模者熟悉规划问题的具体实际内容．对初学者来说，面对文字长、数据多的应用题，要明确目标函数和约束条件有相当的难度．解决这个难点的关键是引导学生通过表格的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理分析，从而找出约束条件和目标函数，并从数学角度有条理地表述出来．教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2．寻找整点最优解．线性规划中寻找整点最优解的问题，教材中提供了利用作图解决问题的方法，这种方法简单方便，学生容易掌握，体现了数形结合的数学思想．教师要引导学生规范地作出精确图形，并从图形中观察出整点最优解．另外，教师在本节课后还可介绍其它一些代数求解方法．教学中为了达到上述目标，突破上述重、难点，我将采用如下方法与手段二．教学方法与手段1．教学方法：诱导启发、自主探究的互动式教学方法在教学过程中，教师适当的设置疑问，学生通过自己的努力解决问题，同时教学过程中，应着重学生的动手训练．2．教学工具：多媒体课件、实物投影仪、印发准备好的习题纸多媒体辅助教学的采用：①由于本课例题文字过长，作图比较复杂，所以采用多媒体辅助教学。
生活中的运筹学案例
生活中的运筹学案例生活中的运筹学案例700字运筹学是一门应用数学学科，研究如何在有限资源下，进行有效的决策和优化问题的解决方案。
在生活中，我们可以看到许多与运筹学相关的案例。
以下是一个关于旅行规划的案例：小明计划去旅行，他希望在有限的时间和预算内尽可能多地游览不同的城市。
他事先收集了一些信息，包括各个城市之间的距离、景点的开放时间和门票价格等。
他希望通过运筹学的方法来制定最佳的旅行计划。
首先，小明将问题抽象为一种图论问题。
他将每个城市表示为图中的一个节点，城市之间的距离表示为节点之间的边。
然后，他使用运筹学的方法来解决该问题。
他使用最短路径算法来确定游览不同城市的最佳路线。
他还利用旅行时间来优化他的旅游计划，以便在每个城市的开放时间内尽可能多地游览。
然后，小明使用线性规划来确定在有限预算内的最佳旅行路径。
他将每个城市的开销作为变量，并设置目标函数来最小化总成本。
他还添加了一些约束条件，例如每个城市的开销不能超过他的预算，以及他必须在旅行时间内完成游览。
最后，小明使用调度理论来制定他的旅行日程。
他将每个景点的开放时间和游览时间作为变量，并设置目标函数来最大化他的游览时间。
他还添加了一些约束条件，例如每个景点的开放时间不能与其他景点冲突，以及他的总游览时间不能超过他的旅行时间限制。
通过运筹学的分析和优化，小明制定了最佳的旅行计划。
他按照所确定的路线和日程，游览了尽可能多的城市和景点，并在有限的时间和预算内取得了最好的旅行体验。
这个案例展示了运筹学在生活中的应用。
通过分析问题，抽象问题，使用适当的数学模型和方法，可以制定最佳的解决方案。
运筹学并不仅仅适用于旅行规划，还可以应用于许多其他领域，如供应链管理、生产调度、资源分配等。
运筹学的方法和技术可以帮助人们在有限的资源下做出更好的决策，达到最优化的结果。
线性规划问题在经济生活中的应用
Hale Waihona Puke 关键词线性规 划 问题
数 学模 型 运筹 学
一
线性 规 划 问 题 是 数 学 的一 个 重 要 分 支 ， 它 们 所 研 究 的 问 题 是讨 论在 众 多的方 案 中什么 样 的方 案是 最优 的 、 以 及 怎 么 找 出这 些 最 优 方 案 。 在 现 实 的 生 产 活 动 中 这 类 问题 普 遍 存
问题并 为求 解这 些 问题 提供 理论 基础 与方 法而 应运 而 生 的 、 实 用 性 强 的 学科 。
奠定了基础。同年美 国数学家 Ｊ ． ｖ ｏ ｎ诺 伊曼提 出对偶理论 ， 开创
了 线 性 规 划 的许 多新 的研 究 领 域 ，扩 大 了它 的应 用 范 围 和 解 题
能力。
斜齿轮传动应用在减速机上是新的创新 。渐开线齿轮减速 机 具 有 一 般 斜 齿 轮 减 速 所 具 有 的 的 全 部 优 点 。优 良 的性 能 使 其 可 广 泛 的应 用 于各 行 业 需 要 减速 的设 备 上 。 ３ ． ２斜 齿 轮 蜗 轮 减速 机 斜 齿蜗轮减速 的结构为一级斜 齿轮加一级蜗 轮蜗杆传 动 。 斜齿轮采用应吃面， 承载能力大 。斜齿轮涡轮减速机采用 电机直
用２ ２ ０ ＃齿轮油 ， 添加剂 的使用 一般在使用坏 境较差 时 ， 例如负 荷较大， 启 动 频 繁造 成 的不 稳 定 等现 象 。 （ ３ ） 减速机安装位置 的选择 在位 置允许的情况下， 尽量不采用立式安装。立式安装会 引 起漏油等不 良状况 的发生。 （ ４ ） 建立润滑维护制度 “ 五定原则 ” 是润滑维护制度之＿ 。首先是定人定期检查 ， 做 到责任 的明确分工； 然后是对温度 的严格控制 ， 一般控制在升温 幅度不超过 ４ Ｏ 度 ， 油 的温 度 不 超 过 ８ Ｏ度 ； 对 油 的量 要 严 格 把 关， 以使减速机得到 正确 的润滑 ， 当油的质量下降或有噪音等情 况发生时， 应立即停止使用 ， 做好检修等工作。
线性规划问题在经济生活中的应用
线性规划问题在经济生活中的应用线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料；二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源。
线性规划所研究的是在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最优。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
文章根据线性规划问题在现实生活中的意义进行相关讨论与探究，介绍了线性规划问题产生的背景、特点和实际运用情况，以及线性规划问题在经济生活中运用的意义。
关键词：线性规划问题数学模型运筹学线性规划问题是数学的一个重要分支，它们所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案是最优的、以及怎么找出这些最优方案。
在现实的生产活动中这类问题普遍存在，例如在生产计划安排中，选择什么样的生产方案才能提高产值、利润；在原料配给问题中，怎样确定各种成分的比例，才能使提高质量、降低成本的目标得以实现；在资源的分配问题中，怎样分配有限的资源，使得分配方案既能满足于各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；在农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产、稳定，以发挥地区优势；在经济管理中如何使产出率最大，即单位成本的产值最大，或者赢利率最大。
诸如此类问题不胜枚举，线性规划就是为了求解这类问题并为求解这些问题提供理论基础与方法而应运而生的、实用性强的学科。
线性规划问题的发展1947年美国数学家G.B.丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。
同年美国数学家J.von 诺伊曼提出对偶理论，开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。
线性规划模型在生活中的实际应用
线性计划模型在生活中实际应用一、线性计划基础概念线性计划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟一个关键分支,它是辅助大家进行科学管理一个数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提升经济效果是大家不可缺乏要求，而提升经济效果通常经过两种路径：一是技术方面改善，比如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织和计划改善，即合理安排人力物力资源.线性计划所研究是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达成最好.通常地，求线性目标函数在线性约束条件下最大值或最小值问题，统称为线性计划问题.满足线性约束条件解叫做可行解，由全部可行解组成集合叫做可行域.决议变量、约束条件、目标函数是线性计划三要素.二、线性计划模型在实际问题中应用（1）线性计划在企业管理中应用范围线性计划在企业管理中应用广泛，关键有以下八种形式：1.产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，是赢利最大.2.劳动力安排：用最少劳动力来满足工作需要.3.运输问题：怎样制订运输方案，使总运费最少.4.合理利用线材问题：怎样下料，使用料最少.5.配料问题：在原料供给限制下怎样取得最大利润.6.投资问题：从投资项目中选择方案，是投资回报最大.7.库存问题：在市场需求和生产实际之间，怎样控制库存量从而取得更高利益.8.最有经济计划问题：在投资和生产计划中怎样是风险最小.（2）怎样实现线性计划在企业管理中应用在线性计划应用前要建立经济和金融体系评价标准及企业计量体系，摸清企业资源.首先经过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统各相关部分特征进行量化，建立数学模型，即把组成系统相关原因和系统目标关系，用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白很好数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不一样参数获取不一样结果和实际进行分析对比，进行定量，定性分析，最终作出决议.3.3 线性计划在运输问题中应用运输是物流活动关键步骤，线性计划是运输问题常见数学模型，利用数学知识能够得到优化运输方案.运输问题提出源于怎样物流活动中运输路线或配送方案是最经济或最低成本.运输问题处理是已知产地供给量，销地需求量及运输单价，怎样寻求总配送成本最低方案；运输问题包含产销平衡运输问题和产销不平衡运输问题；通常将产销不平衡问题转化为产销平衡问题来处理；运输问题条件包含需求假设和成本假设.需求假设指每一个产地全部有一个固定供给量全部供给量全部必需配送到目标地.和之类似，每一个目标地全部有一个固定需求量，整个需求量全部必需有出发地满足；成本假设指从任何一个产地到任何一个销地配送成本和所配送数量线性百分比关系.产销平衡运输问题通常提法是：假设某物资有m 个产地a 1，a 2，⋯，a m ;各地产量分别为b 1，b 2，⋯，b n ，物资从产地A i 运往销地B j 单位运价为c ij ,满足：∑∑===nj j m i i b a 11.其数学模型为：Min Z=∑∑==m i nj ij ij x c 11∑==n j ij x1 a i (i =1,2,⋯,m)产地约束s.t =∑=m i ij x1b j (j =1,2,⋯,n)销地约束 （a ）x ij ≥0(i =1,2,⋯,m; j =1,2,⋯,n)非负约束1：产销不平衡运输问题分两种情况：（1）总产量大于总销量，既满足∑∑==>nj j m i i b a 11，此时其数学模型和表示式(a)基础相同，只需将表示式（a ）中产地约束条件∑==n j ij x1a i 改为 ∑=≤n j ij x 1 a i .（2）总产量小于总销量，既满足∑∑==<n j j m i i b a 11，此时其数学模型和表示式(a)也基础相同，只需将表示式（a ）中产地约束条件∑==n j ij x1 b j 改为 ∑=≤n j ij x 1 b j .2.运输问题处理策略现实生产情况往往比较复杂，很多实际问题不一定完全符合运输问题假设，可能部分特征近似但其中一个或多个特征却并不符合运输问题条件.通常来说，假如一个问题中包含两大类对象之间联络或往来，且该问题能提供运输问题所需要三类数据:供给量、需求量、单位运价，那么这个问题(不管其中是否包含运输)经合适约束条件处理后，基木全部能够应用运输问题模型来处理.比如:（1）追求目标是效益最大而非成木最低，此时仅将表示式(a)中目标函数中“Min Z ”改为“Max Z ”即可.（2）部分(或全部)供给量(产量)代表是从产地提供最大数量(而不是一个固定数值)，此时只需将表示式(a)中产地约束中部分(或全部)“∑==nj ij x 1 a i ”改成“∑=<nj ij x 1 a i ”即可.(3)部分(或全部)需求量(销量)代表是销地接收最大数量(而不是一个固定数值)，此时只需将表示式(a)中销地约束条件中“=∑=m i ij x 1b j ”部分(或全部)改成“<∑=mi ij x 1b j ”即可.(4)一些目标地同时存在最大需求和最小需求，此时处理措施是将表示式(a)中对应销地约束中“=∑=mi ij x 1b j ”一个式子分解成最大需求和最小需求两个式子即可.三、结论现在，线性计划求解方法有很多，很多学者全部对原先求解方法进行了不停改善，计算机时代发展也加紧了处理复杂线性计划问题速度。
运筹学在工作中的帮助
运筹学在工作中的应用及帮助由于我所在的公司主要为客户提供快递及物流服务，通过对运筹学的学习，在我为客户设计物流方案，制定SOP等方面提供了很大的帮助；同时，在对公司内部选定转运中心，设置投递站点，设计路由方案等方面改变了现有的思路，提供了很过理论数据支持工具。
1.通过对线性规划的学习，在资源分配方面提供了很大的帮助。
在目前的条件下，通过对极大值货极小值的测算，帮助我按照某一衡量指标来寻找最优方案。
线性规划帮助我在解决物资调运、配送和人员分派等问题；整数规划可以求解完成工作所需的人数、机器设备台数和厂、库的选址等；动态规划可用来解决诸如最优路径、资源分配、生产调度、库存控制、设备更新等问题上给予很多数据支持，是我能够给客户提供更有的物流方案，同时也在内部派送站点设置、转运中心设置等实际问题上有了更多的思路。
2.通过对决策论的学习，帮助我在已知占有充分资料的基础上，根据物流系统的客观环境，通过借助于科学的数学分析、实验仿真或经验判断等方法，在已提出的若干物流系统方案中，选择一个合理、满意方案的决断行为，为客户设计更可行的SOP。
如制定投资计划、生产计划、物资调运计划、选择自建仓库或租赁公共仓库、自购车辆或租赁车辆等等。
通过决策论的学习，使我在一些简单的决策中有了很大的帮助。
3.通过对层次分析法的学习，我对解决复杂的多目标决策问题有了更加行之有效的方法。
如要开发一块土地建设物流中心，既要考虑设施的配套性、先进性，还要考虑投资大小问题等。
4.通过对多人合作对策的学习，使我在选择同行供应商、第三方物流等工作中给予了很大的帮助。
一方面希望可以与同行在竞争中求合作，在合作中有竞争；另一方面，希望可以达到局中人双赢或多赢的积极结果。
例如在一个城市内有两个配送中心经营相同的业务，为了争夺市场份额，双方都有多个策略可供选择，可以运用对策论进行分析，寻找最佳策略。
又如，某一地区，汽车运输公司要与铁路系统争夺客源，有多种策略可供选择，这也可用对策论研究竞争方案，等等。
线性规划模型及应用场景
线性规划模型及应用场景线性规划是一种运筹学中的数学方法，用于在有限的资源下寻找达到最佳目标的方案。
线性规划模型是通过建立线性关系式和目标函数以确定决策变量的最优值，来求解问题。
应用线性规划模型可以在诸多领域中找到合理的应用场景。
一、生产调度与物流管理生产调度是指以资源约束为条件，在规定时间内安排、组织和运用生产资源的管理活动。
而物流管理则是通过有效的供应链管理来实现流程和原料的优化配置。
线性规划可以通过建立生产资源约束条件和目标函数，来确定合理的生产进度和物流配送计划，从而提高生产效率、降低物流成本。
举个例子，某工厂生产两种产品A和B，生产线的时间和效率是有限的，同时每个产品有不同的售价和成本。
这时可以使用线性规划模型来确定每种产品的生产数量，使得总利润最大化。
二、金融投资与资产配置金融投资是指将资金投入到各种金融市场和资产中，以期获得回报。
而资产配置则是指在不同风险水平下，按照一定的比例配置资金到各种资产上。
线性规划可以通过建立风险约束条件和目标函数，来确定最佳的资产配置组合，以实现风险和回报间的平衡。
举个例子，某投资者有一笔固定资金，可以投资于股票、债券和货币市场基金等多个金融工具。
他可以将自己的投资目标、预期收益和风险偏好建立为线性规划模型，以确定最佳的资产配置比例，从而达到理想的投资回报。
三、运输与配送运输与配送是指将物品从生产地或仓库运往销售点或用户手中的过程。
针对运输与配送的问题，线性规划可以通过建立运输路径、运输容量和运输成本等约束条件，来确定合理的物流方案，从而达到最佳的运输效益。
例如，某物流公司需要将商品从N个供应商处运输到M个销售点，每个供应商的供货量和每个销售点的需求量是已知的，同时每个运输路径的距离和费用也是已知的。
利用线性规划模型，可以确定每个运输路径上的货物运输量和运输方式，从而降低运输成本，提高物流效率。
四、人力资源管理人力资源管理是指通过合理的组织、激励和管理，利用有限的人力资源实现组织目标。
生活中的运筹学
生活中的运筹学
运筹学是一门研究决策问题的学科，它涉及到如何最有效地利用有限的资源来
达到最优化的目标。
在生活中，我们也可以运用运筹学的原理来解决各种问题，提高工作效率，优化生活品质。
首先，时间管理是生活中非常重要的一个方面。
在工作和生活中，我们经常需
要面对各种各样的任务和活动，如何合理安排时间，提高工作效率，就需要我们运用运筹学的原理。
我们可以根据任务的紧急程度和重要性来制定优先级，合理分配时间和精力，以达到最佳的工作效果。
其次，资源管理也是生活中的一个重要问题。
无论是金钱、精力还是其他资源，都是有限的。
如何在有限的资源下实现最大化的利用，就需要我们进行运筹学的思考。
我们可以通过预算管理、成本控制等方法来合理分配和利用资源，确保在有限的条件下实现最大的收益。
另外，决策问题也是生活中不可避免的。
无论是工作上的决策还是生活中的选择，都需要我们进行分析和权衡，以达到最优化的结果。
运筹学的决策原理可以帮助我们在面对复杂的问题时，进行系统的分析和决策，确保我们做出的选择是最符合我们的利益和目标的。
总之，生活中的运筹学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和方法论。
通过
运筹学的原理，我们可以更好地管理时间、资源和决策，提高工作效率，优化生活品质。
希望我们可以在日常生活中运用运筹学的原理，让生活变得更加高效和美好。
线性规划在现实生活中的应用
线性规划在现实生活中的应用论文关键词线性规划运筹学数学方法论文摘要线性规划是运筹学的一个基本分支，它广泛应用现有的科学技术和数学方法，解决实际中的问题，帮助决策人员选择最优方针和决策。
本文主要研究如何把线性规划的知识运用到企业中，使企业能够提高效率，通过建立模型并利用相关软件，对经济管理中有限资源进行合理分配，从而获得最佳经济效益。
一、线性规划在企业中运用的必要性随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。
企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只有自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。
过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划进行合理的配置，从而增加了企业的生产，使企业的利润不能达到最大化。
在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式，是难以生存的，所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。
在各类经济活动中，经常遇到这样的问题：在生产条件不变的情况下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益最好。
这样的问题常常可以化成或近似地化成所谓的“线性规划”（Linear Programming，简记为LP）问题。
线性规划是应用分析、量化的方法，对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现有效管理。
利用线性规划我们可以解决很多问题。
如：在不违反一定资源限制下，组织安排生产，获得最好的经济效益（产量最多、利润最大、效用最高）。
也可以在满足一定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。
同时还可以在任务或目标确定后，统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成任务。
下面我们用线性规划方法对企业在生产中的具体问题进行探讨。
运筹学在实际问题中的应用
运筹学在实际问题中的应用运筹学是一门研究如何通过数学模型和方法来解决实际问题的学科。
它的应用领域非常广泛，涉及到物流管理、生产计划、供应链优化、交通规划等多个方面。
本文将以几个实际问题为例，介绍运筹学在这些问题中的应用。
一、物流管理物流管理是一个关系到企业运作效率和成本的重要领域。
通过合理的运筹学方法，可以解决货物运输路线的优化、库存管理的最佳化等问题。
例如，运筹学可以帮助企业确定最佳的调度策略，以最小化运输成本，并保证货物能够按时到达目的地。
通过运筹学方法，物流企业可以优化仓储布局，提高货物的存储效率，降低仓储成本。
二、生产计划生产计划是企业生产管理的核心环节。
通过运筹学的方法，可以帮助企业合理安排生产计划，提高生产效率，降低生产成本。
例如，在生产计划中，可以使用线性规划模型来确定最佳生产数量和生产时机，以最大化产出，并满足市场需求。
此外，运筹学还可以帮助企业在不同的订单需求下，灵活调整生产计划，以适应市场变化。
三、供应链优化供应链是一个跨企业的复杂系统，其中涉及到原材料采购、生产、配送等多个环节。
通过运筹学的方法，可以优化供应链中各个环节的规划与决策，提高整体供应链的效率和响应速度。
例如，通过网络流模型，可以帮助企业确定最佳的配送路径，以减少运输成本和时间。
另外，通过运筹学方法，还可以建立供应链的风险管理模型，帮助企业应对供应链中的不确定性因素。
四、交通规划在城市化进程不断加速的今天，交通拥堵已经成为一个全球性难题。
运筹学方法可以帮助城市规划者合理规划道路、公共交通线路，并设计交通信号灯的时间分配。
例如，在道路规划中，可以运用图论模型，确定最佳的道路网络结构，以缓解交通拥堵。
此外，在公共交通线路的规划中，运筹学方法可以帮助确定最佳的线路和站点设置，以提高乘客出行的效率。
综上所述，运筹学在物流管理、生产计划、供应链优化和交通规划等实际问题中都有着重要的应用。
通过运筹学的方法，可以优化决策，提高效率，降低成本，为企业和社会创造更大价值。
运筹学中的线性规划理论与应用
运筹学中的线性规划理论与应用线性规划是运筹学中的一种重要工具，被广泛应用于经济、管理、工程等领域。
它的核心思想是通过建立数学模型，以线性目标函数和线性约束条件为基础，以最优化为目标，找到最佳的决策方案。
在本文中，我将讨论线性规划的基本概念和理论，并介绍其在实际应用中的案例。
一、线性规划的基本概念和理论线性规划主要研究如何分配有限资源以达到最优化的利益。
在线性规划中，决策变量、目标函数和约束条件是构建数学模型的三个基本要素。
1. 决策变量决策变量是指在问题中需要做决策的变量，通常表示为一个向量。
例如，在生产计划中，决策变量可以表示为不同产品的生产数量。
2. 目标函数目标函数是指在线性规划中需要最大化或最小化的目标指标。
目标函数通常是由决策变量线性组合而成的。
3. 约束条件约束条件是指在线性规划中限制决策变量取值范围的条件。
约束条件通常是由一系列线性不等式或等式组成的。
在线性规划问题中，通过将目标函数和约束条件转化为数学表达式，可以建立一个数学模型。
这个模型可以通过一系列数学方法求解，以达到最优化的目标。
二、线性规划在实际应用中的案例线性规划在现代管理和决策中有着广泛的应用。
以下是几个典型的案例。
1. 生产计划在生产计划中，线性规划可以用于确定不同产品的生产数量，以最大化利润或满足市场需求。
2. 配送问题在物流配送中，线性规划可以用于合理安排不同配送点的货物数量和时间，以最小化配送成本。
3. 投资组合在金融领域，线性规划可以用于确定不同投资项目的投资比例，以最大化收益或降低风险。
4. 网络流问题在网络建设中，线性规划可以用于确定网络中各节点之间的流量分配，以最大化网络传输效率。
这些案例只是线性规划在实际应用中的冰山一角。
在现代运筹学和管理科学中，线性规划以其简单、有效和灵活的特点，成为了决策分析的重要工具。
总结：线性规划是运筹学中的一种重要工具，通过建立数学模型，以线性目标函数和约束条件为基础，以最优化为目标，解决实际决策问题。
线性规划的应用
线性规划的应用引言概述：线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于各个领域。
它通过建立数学模型，寻觅最优解来解决实际问题。
本文将介绍线性规划的应用，并分析其在经济、物流、生产、资源分配和运筹学等领域的具体应用。
一、经济领域的应用1.1 产量最大化：线性规划可以用于匡助企业确定最佳生产方案，以最大化产量。
通过考虑生产成本、资源限制和市场需求等因素，线性规划可以确定最优的生产数量和产品组合。
1.2 资源分配：线性规划可以匡助企业合理分配资源，以最大化利润。
通过考虑各种资源的供应和需求关系，线性规划可以确定最优的资源分配方案，提高资源利用效率。
1.3 价格优化：线性规划可以用于确定最佳定价策略，以最大化利润。
通过考虑市场需求、成本和竞争等因素，线性规划可以确定最优的价格水平，提高企业的竞争力。
二、物流领域的应用2.1 运输成本最小化：线性规划可以用于确定最佳的物流方案，以最小化运输成本。
通过考虑物流网络、货物流量和运输成本等因素，线性规划可以确定最优的运输路线和运输量，提高物流效率。
2.2 仓储优化：线性规划可以匡助企业优化仓储管理，以最小化仓储成本。
通过考虑仓库容量、货物存储需求和仓储成本等因素，线性规划可以确定最优的仓储方案，提高仓储效率。
2.3 供应链优化：线性规划可以用于优化供应链管理，以提高整体供应链效率。
通过考虑供应商、生产商和分销商之间的关系，线性规划可以确定最优的供应链方案，减少库存和运输成本。
三、生产领域的应用3.1 生产计划：线性规划可以用于匡助企业制定最佳的生产计划，以满足市场需求。
通过考虑生产能力、原材料供应和市场需求等因素，线性规划可以确定最优的生产计划，提高生产效率。
3.2 产能利用率优化：线性规划可以匡助企业提高产能利用率，以降低成本。
通过考虑设备利用率、工人数量和生产效率等因素，线性规划可以确定最优的产能利用方案，提高生产效率。
3.3 品质控制：线性规划可以用于优化品质控制过程，以提高产品质量。
《运筹学》第四版线性规划模型
决策变量的意义
决策变量的具体含义应该与实际 问题相关，例如生产计划、资源 分配等。
确定目标函数
目标函数
01
线性规划的目标函数是用来衡量问题优化的标准，通
常是一个或多个决策变量的线性函数。
目标函数的优化方向
02 根据问题的实际需求，目标函数可以是最大化或最小
化。
目标函数的数学表达式
03
目标函数通常由决策变量和相应的系数组成，表示为
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,...。
线性规划模型的表示形式
标准形式
标准形式的线性规划模型通常由目标 函数和约束条件组成，表示为 max/min f(x) s.t. a11x1+a12x2+...+a1nxn<=b1, a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,...。
详细描述
在资源分配问题中，线性规划模型用于确定 最佳的资源分配方案。通过构建包含资源种 类、需求量、效益等变量的线性规划模型， 可以找到在满足资源需求和效益约束下的最 优资源分配方案。这有助于企业或组织实现 资源的合理配置和效益的最大化。
05
线性规划模型的扩展与展望
多目标线性规划
多目标线性规划是线性规划的一个重要扩展，它考虑了多个相互冲突的目 标函数，并寻求在所有目标之间找到最优的平衡。
THANK YOU
非标准形式
如果线性规划模型的目标函数或约束 条件不符合标准形式，可以通过引入 松弛变量或剩余变量将其转化为标准 形式。
03
线性规划模型的求解方法
单纯形法
单纯形法是一种迭代算法，用于求解 线性规划问题。
在每次迭代中，算法会检查当前解是 否满足最优条件，如果不满足，则通 过一定的规则转换到另一个解，直到 找到最优解或确定无解。
运筹学运输问题应用实例
运筹学运输问题应用实例运筹学是一门研究企业决策问题的学科，包括线性规划、整数规划、网络优化、排队论、决策理论等多个分支。
运筹学可以应用于许多领域，其中之一就是运输问题。
运输问题是指在给定的供应和需求条件下，如何合理地安排物资或者人员的调度和运输，使得运输成本最小、效率最高。
以下是几个运输问题的实例，展示了运筹学在现实生活中的应用：1.货物运输问题：某物流公司需要将若干货物从不同的供应地点运送到不同的需求地点，运输成本根据不同的供应-需求对有所差异。
如何设计最优的运输方案，使得总运输成本最小？解决方法：可以使用线性规划模型来描述这个问题。
将各个供需点之间的距离、运输成本等作为变量，建立一个目标函数和一系列约束条件，并通过求解线性规划问题来得到最优的运输方案。
2.配送车辆路径问题：某公司有若干辆配送车辆，需要将货物按照一定的规则分配到不同的配送点，并且保证每个配送点都能得到及时的配送。
如何合理地安排车辆的路径，使得配送成本最小、效率最高？解决方法：可以使用网络优化模型来描述这个问题。
将配送点、车辆、交通网络等抽象成一个图，其中每个节点表示一个配送点或者车辆，边表示两个节点之间的路径。
然后通过求解网络优化问题，找到最优的车辆路径。
3.乘客调度问题：某出租车公司需要根据乘客的叫车需求，合理地调度出租车，以提高乘客的满意度，并最大化车辆的利用率。
如何在不同的时间和地点调度出租车，使得乘客的等待时间最小、出租车的行驶里程最小？解决方法：可以使用排队论模型来描述这个问题。
根据乘客到达的服从分布，建立一个排队论模型，模拟乘客叫车的过程。
然后根据这个模型，确定最佳的出租车调度策略。
4.航班调度问题：某航空公司需要合理地调度飞机的起飞和降落时间，以提高航班的准点率和乘客的满意度。
如何在不同的起降时间和航线之间进行合理的安排，并考虑飞机的机场停靠时间和维修等因素？解决方法：可以使用决策理论和整数规划模型来描述这个问题。
运筹学在实际生活中的应用研究毕业论文
本科毕业论文(设计)论文题目：运筹学在实际生活中的应用研究毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作与取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示意。
作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解**学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
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图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它目录引言................................................................... . (1)1 运筹学思想的产生和学科发展概述................................................................... .. (2)2 运筹学的主要研究容................................................................... . (4)2.1 确定型模型...................................................................... .. (4)2.1.1线性规划 (4)2.1.2非线性规划 (5)2.1.3图与网络 (6)2.1.4动态规划2.2 概率型模型................................................................... ......................................72.2.1存贮论................................................................... ...........................................72.2.2排队论................................................................... . (8)2.2.3决策分析 (10)2.2.4博弈论 (11)3 运筹学解决现实问题举例与研究................................................................... . (13)3.1机械产品生产计划问题....... ........................................................... . (13)3.2存贮过程中的费用最小问题................................................................... . (16)4 运筹学在应用情况分析................................................................ (20)5 总结................................................................... . (22)参考文献................................................................... (23)致 ................................................................. (24)运筹学在实际生活中的应用研究摘要：本文主要对运筹学在实际生活中的应用进行研究，使大家对运筹学在生活中的应用方法与产生的效果有大致认识。
线性规划算法的应用案例
线性规划算法的应用案例线性规划是应用最广泛的数学优化方法之一，也是一种非常有效的运筹学技术。
它的基本思想是将问题建模成一组线性方程和线性不等式的组合，通过寻找最优解来实现目标最大化或最小化。
线性规划算法广泛应用于制造业、金融、物流和交通等领域，以下将介绍几个重要的应用案例。
1. 生产计划和调度线性规划算法可以用于制造业的生产计划和调度。
例如，在一家造纸厂中，有若干个可用的生产线、仓库和运输车辆，需要考虑原材料的成本、工人的人工费用、工厂的能耗费用以及运输的成本等因素，制定出最佳的生产计划和调度方案。
对于这类问题，可以将目标函数设置为生产成本最小化或产出效率最大化，约束条件包括原材料的库存量、生产线的容量和物流的时间窗口等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的生产计划和调度方案，使得企业的生产效率和盈利能力得到提升。
2. 市场营销和广告投放线性规划算法可以帮助企业制定最佳的市场营销和广告投放方案。
例如，在一家快递公司中，需要制定如何调整价格策略、开拓市场份额、投放广告等方案，以达到最大化利润或最小化成本的目标。
对于这类问题，可以将目标函数设置为销售额最大化或成本最小化，约束条件包括市场份额的限制、广告投放预算的限制等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的市场营销和广告投放方案，提高企业的营销效率和市场竞争力。
3. 交通运输和物流配送线性规划算法可以用于交通运输和物流配送领域。
例如，在一个物流中心中，需要规划配送路线和运输车辆的分配，以最小化交通堵塞和物流成本的影响。
对于这类问题，可以将目标函数设置为运输成本最小化或配送效率最大化，约束条件包括车辆数量的限制、货物配送时间的限制等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的路线规划和车辆分配方案，提高企业的配送效率和物流运转效率。
4. 金融投资和风险管理线性规划算法可以用于金融投资和风险管理领域。
例如，在一个投资银行中，需要制定最佳的投资组合和股票交易策略，以最大化收益和降低风险。
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线性规划模型在实际生活中的应用【摘要】线性规划在实际生活中扮演着很重要的角色，研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题,其广泛应用于经济等领域，是实际生活中进行管理决策的最有效的方法之一。
解决的主要问题是在给定条件下,按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。
本文通过对例题利用线性规划分析，如何合理的分配利用，最终找到最优解使企业利润最大，说明了线性规划在实际生活中的应用，而且对线性规划问题模型的建立，模型的解进行了分析，运用图解法和单纯形法解决问题。
【关键词】线性规划、建模、实际生活、图解法、单纯形法前言：线性规划（Linear programming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。
英文缩写LP。
它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。
为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。
在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。
在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。
随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其有利的条件。
线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。
本文运用常用的图解法和单纯形法解决利润最大化决策问题，贴近生活，很好的吧线性规划应用到生活实践中。
1、简单线性问题步骤简单介绍建模是解决线性规划问题极为重要的环节，一个正确的数学模型的建立要求建模者熟悉线性规划的具体实际容，要明确目标函数和约束条件，通过表格的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理分析，从而找出约束条件和目标函数。
1.1 从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；（1）根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；（2）由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；（3）由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
线性规划的数学模型的一般形式为：目标函数： max(min) z=c1 x1+c2x2+…+cnxn满足约束条件：a11x1+a12x2+…+a1nxn≤ (＝,≥) b1a21x1+a22x2+…+a2nxn≤ (＝,≥) b2…………. ……………………….am1x1+am2x2+…+amnxn≤ (＝,≥) bmx1, x2, …,xn≥01.2 所建立的数学模型具有以下特点：（1）每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。
决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。
（2）目标函数是决策变量的线性函数根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。
（3）约束条件也是决策变量的线性函数。
当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
1.3 线性规划模型的基本结构:（1）变量变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如Xl ，X2，X3，Xmn等。
（2）目标函数将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。
（3）约束条件 约束条件是指实现系统目标的限制因素。
它涉及到企业部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。
约束条件的数学表示形式为三种，即≥、＝、≤。
线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。
把线性规划的知识运用到企业中去，可以使企业适应市场激烈的竞争，及时、准确、科学的制定生产计划、投资计划、对资源进行合理配置。
过去企业在制定计划，调整分配方面很困难，既要考虑生产成本，又要考虑获利水平，人工测算需要很长时间，不易做到机动灵活，运用线性规划并配合计算机进行测算非常简便易行，几分钟就可以拿出最优方案，提高了企业决策的科学性和可靠性。
其决策理论是建立在严格的理论基础之上，运用大量基础数据，经严格的数学运算得到的，从而在使企业能够在生产的各个环节中优化配置，提高了企业的效率，对企业是大有益处的。
2、线性规划问题的标准形式：由于目标函数和约束条件容和形式上的差别，线性规划可以有多种表达式。
为方便和制定统一算法，规定线性规划问题的标准形式如下：11max (1,,)..0(1,,)nj jj nij j i j jz c x a x b i m s t x i m ===⎧==⎪⎨⎪==⎩∑∑ 标准形式的线性规划模型中，目标函数为极大值（有些书上规定是级小值），约束条件全为等式，约束条件右端为常数项b 全为非负数，变量x 的取值全为非负值。
符合标准形式的线性规划问题，课通过下列方法化为标准式。
（1）目标函数为极小值，即为：1min nj j j z c x ==∑因为求min z 等价于求max(-z),令z’=-z,即化为：1max 'nj j j z c x ==-∑（2）约束条件右端b<0，时，只需要等式或不等式两端同乘（-1），则等式右端必大于0。
（3）约束条件不等式。
当约束条件为“≤”时，如：6x 1+2x 2≤24,可令x 3=24-6x 1-2x 2,得6x 1+2x 2+x 3=24，显然，x 3≥0.当约束条件为“≥”时，如有10x 1+12x 2≥18，可令x 4=10x 1+12x 2-18，得10x 1+12x 2- x 4=18，x 4≥0. x 3，x 4是新加上去的变量，取值均为非负值，加到原约束条件中去的变量，其目的是使不等式转化为等式，其中x 3为松弛变量，x 4一般称为一般变量，等也称松弛变量。
松弛变量或剩余变量在实际问题中分别表示为未被允分利用的资源和超出的资源数，均未转化为价值和利润，所以引进模型后他们在目标函数中的系数为零。
（4）取值无约束的变量。
如果变量x 代表某产品当年计划与上一年计划数之差，显然x的取值可能是正的也可能是负的，这时令x=x ’-x ’’，将其代入线性规划模型。
（5）对x ≤0的情况，令x ’=-x ，显然x ’ ≥3、 简单线性规划问题的解法线性规划作为数学规划中最简单的一种问题.它的研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题，解决的主要问题是在给定条件下，按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。
它可以表示成求函数在满足约束条件下的极大或极小值问题.如果约束条件和目标函数都是呈线性关系的就叫线性规划.要解决线性规划问题，从理论上讲都要解线性方程组，而解线性方程组的常见方法是图象法和单纯元法。
将实际生活中的线性规划问题,抽象为数学形式,目的在于找到解决问题的方法.为此,我们作以下一些讨论.3.1 最大利润问题例1 某工厂在计划期要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品,已知生产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗.如表1所示:表a该厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元,每生产一件产品Ⅱ可获利3元.问应如何安排计划,使该工厂在限定条件下获利最多?显见,这个问题可以用以下的数学模型来描述:设21,x x 分别表示在计划期产品Ⅰ、Ⅱ的产量.因为设备的有效台时是8,这是一个限制产量的条件,所以确定产品Ⅰ、Ⅱ的产量时,要考虑不超过设备的有效台时数,即可用不等式表示为:8221≤+x x .同理,因原材料的限量,可以得到两个不等式:1641≤x ,1242≤x .该厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下,如何确定产量21,x x 以得到最大的利润.用z 表示利润,这时2132x x z +=.综合上述,此计划问题可用数学模型表示为:目标函数: 1223z x x =+约束条件: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,12416482212121x x x x x x3.2 两个变量的线性规划问题的图解法 现在我们用图解法来解上述的例1:在以21,x x 为坐标轴的直角坐标系中,非负条件0,021≥≥x x 是指第一象限.每一个约束条件都代表一个半平面,如约束条件8221≤+x x 是代表以直线8221=+x x 为边界的左下方的半平面.若同时满足:0,021≥≥x x ,8221≤+x x ,1641≤x 和1242≤x 的约束条件的点,必然落在21,x x 坐标轴和由这三个半平面交成的区域(如下图).阴影区域中的每一个点(包括边界)都是这个线性规划问题的解,因而此区域是此线性规划问题的解集合,称它为可行域.再来分析目标函数2132x x z +=.在这个坐标平面上,它可表示以z 为参数,以32-为斜率的一族平行线:3)32(12zx x +-=.位于同一直线上的点,具有相同的目标函数值,因而称它为“等值线”.当z 值由小变大时,直线3)32(12zx x +-=沿其法线方向向右上方移动．当移动到2Q 点时，使z 值在可行域边界上实现最大化（如下图）:x 1x 2Ox 1 +2x 2 =84x 1 =16 4x 2 =12Q 3Q 2Q 1Q 4x 1x 2Ox 1+2x 2=84x 1=164x 2=12Q 3Q 2Q 1Q 4这就得到了例１的最优解对应的点2Q ,2Q 点的坐标为)2,4(.于是可计算出满足所有约束条件的最大值14=z ．这说明该厂的最优生产计划方案是：生产４件产品Ⅰ，生产２件产品Ⅱ，可得最大利润为14元．【拓展延伸探究】例2 预算有2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数量尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子和椅子各购买多少？[分析]这是生活实际中的一个物资采购问题，可归结为线性规划问题，利用图解法进行求解。
[解]设桌子和椅子各购买x 、y ，则x 、y 必须满足线性约束条件50202000,0,x y x y x y x y N+≤⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪∈⎩其目标函数z=x+y 。
由 解得故图14中点A 的坐标为。