矩阵与变换(江苏高考题)
【优化方案】高考数学理(江苏专用)一轮总复习练习：10.6矩阵与变换(含答案解析)
1．(2016·扬州期中)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 2，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23)，求A 2. 解：由条件，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤23)所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋3a ＝8，2b ＋6＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3， 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 2， 所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 69 10. 2．(2016·江苏省四校联考)二阶矩阵A 有特征值λ＝6，其对应的一个特征向量为e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵A 对应的变换将点(1，2)变换成点(8，4)，求矩阵A.解：设所求二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎩⎪⎨⎪⎧Ae ＝6e ，A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤66，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，c ＋d ＝6，a ＋2b ＝8，c ＋2d ＝4，解方程组得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 28 －2.3．(2016·苏北四市期中)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y )，若Aα＝Bα，求实数x ，y 的值．解：Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy )，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ), 由Aα＝Bα得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得x ＝－12，y ＝4.4．(2016·常州调研测试) 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b0满足：Mαi ＝l i αi ，其中l i (i ＝1，2)是互不相等的实常数，αi (i ＝1，2)是非零的平面列向量，l 1＝1，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵M. 解：由题意，l 1，l 2是方程f(l)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪l －a －b l ＝l 2－ab ＝0的两根．因为l 1＝1，所以ab ＝1.①又因为Mα2＝l 2α2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a b0⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝l 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝l 2，b ＝l 2. 所以l 22＝ab ＝1.因为l 1≠l 2，所以l 2＝－1.从而a ＝b ＝－1.故矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0.5．(2016·镇江模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式．解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2， 即在矩阵MN 变换下⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y ， x ′＝12x ，y ′＝2y ，代入得：12y ′＝sin 2x ′，即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x. 6．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －3－1 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1.(1)求(AB)－1；(2)求直线2x ＋y －5＝0在(AB)－1对应变换作用下的直线方程．解：(1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －3－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 －3， 又|AB|＝－3－1＝－4，所以(AB)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 34 －14－14 －14.(2)设P(x 0，y 0)是直线2x ＋y －5＝0上任一点，P ′(x ，y)是在变换作用下点P 的象，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝(AB)－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 34 －14－14 －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0.所以⎩⎨⎧x ＝34x 0－14y 0，y ＝－14x 0－14y 0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y ，y 0＝－x －3y.代入直线方程2x ＋y －5＝0，得2(x －y)－(x ＋3y)－5＝0，即x －5y －5＝0为所求的直线方程．7．(2016·南京六校联考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1.若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变为直线l′，求直线l′的方程．解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 2. 在直线l′上任取一点P(x ，y)，它是由l 上的点P 0(x 0，y 0)经矩阵AB 所对应的变换所得， 则一方面，因为点P 0(x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －2＝0上， 所以x 0＋y 0－2＝0.①AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y )，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ) ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋12y 0＝x ，2y 0＝y ，所以⎩⎨⎧x 0＝x －14y ，y 0＝12y ，②将②代入①得x －14y ＋12y －2＝0，即4x ＋y －8＝0，所以直线l′的方程为4x ＋y －8＝0.8．(2016·南京、盐城模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤302a ，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0b 1. (1)求a ，b 的值； (2)求A 的特征值．解：(1)因为AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤302a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 023＋aba ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，23＋ab ＝0. 解得a ＝1，b ＝－23.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 021，则A 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 0－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)．令f(λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3.9．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4)．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 对应的变换作用下的直线l′的方程． 解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4， 故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4， 故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 244.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y)是直线l 上的任一点，其在矩阵M 对应的变换作用下得到的点的坐标为(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.。
【步步高】高考数学理江苏大二轮总复习练习：专题八 第2讲矩阵与变换(含答案解析)
第2讲 矩阵与变换1.(2016·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB . 解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 12202 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12. ∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1. 2.(2015·江苏)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值. 解 由已知，得Aα＝－2α， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2， 所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 20.从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.3.(2015·福建)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2 14 3，B ＝⎣⎡⎦⎤1 10 －1. (1)求A 的逆矩阵A －1；(2)求矩阵C ，使得AC ＝B . 解 (1)因为|A |＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32 －12－42 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－2 1. (2)由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，故C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32－12－2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤322－2 －3.本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等，一般以基础题目为主，难度不大.又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.热点一 常见矩阵变换的应用 1.矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵[a 11，a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则为[a 11，a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy . 说明：矩阵乘法MN 的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换.一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，若按照对应法则T ，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.2.几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换. 例1 已知曲线C ：xy ＝1.(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程； (2)求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.解 (1)设P (x 0，y 0)是曲线C ：xy ＝1上的任一点， 点P (x 0，y 0)在旋转变换后对应的点为P ′(0x '，0y ')，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22x 0－22y 022x 0＋22y 0.∴⎩⎨⎧ 0x '＝22x 0－22y 0，0y '＝22x 0＋22y 0，∴⎩⎨⎧x 0＝22(0x '＋0y ')，y 0＝22(0y '－0x ').又x 0y 0＝1，∴22(y ′0＋x ′0)×22(y ′0－x ′0)＝1. ∴y ′20 －x ′20 ＝2，即曲线C ：xy ＝1旋转后所得到的曲线C ′的方程为y 2－x 2＝2.(2)曲线C ′的焦点坐标为F 1(0，－2)，F 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±x .再顺时针旋转45°后，即可得到曲线C 的焦点坐标为(－2，－2)和(2，2)；渐近线方程为x ＝0，y ＝0.思维升华 把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解. 跟踪演练1 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标. 解 (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′).由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1,0). 热点二 二阶矩阵的逆矩阵 矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵.若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd (ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc .(3)逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.②已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C . (4)逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n (ad －bc ≠0)，若将X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 看成是原先的向量，而将B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 看成是经过系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd (ad －bc ≠0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程AX ＝B ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，则X ＝A －1B ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－cad －bca ad －bc . 例2 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a >0，b >0).(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值.解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2， 则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 003，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 00 13.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′. 又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程.又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 思维升华 对于二阶矩阵，若有AB ＝BA ＝E ，则称B 为A 的逆矩阵.因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解.跟踪演练2 若圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (a >0，b >0)对应的变换下变成椭圆E ：x 24＋y 23＝1，求矩阵A 的逆矩阵A －1. 解 设点P (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为P ′(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by .因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，又圆的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎨⎧a 24＝1，b23＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3， 又a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝ 3.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 00 33.热点三 求矩阵的特征值与特征向量 二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量. (2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量. (3)特征多项式 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0.(*) 由特征向量的定义知α≠0，因此x ，y 不全为0，此时D x ＝0，D y ＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有D ＝0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.定义：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc . 称为A 的特征多项式. (4)求矩阵的特征值与特征向量如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，它满足f (λ)＝0.此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是，非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为A 的属于λ的一个特征向量.例3 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3).(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量.解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3，所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4. (2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－4 1，令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0.解得A 的特征值为λ＝－1或λ＝3.当λ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝04x －2y ＝0得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12；当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2. 思维升华 (1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0).特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量. (2)计算矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的特征向量的步骤如下：①由矩阵M 得到特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ；②求特征多项式的根，即求λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0的根；③将特征多项式的根(特征值)代入特征方程⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M 对应的特征向量.跟踪演练3 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112.(1)求矩阵A ； (2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23. (2)矩阵A－1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (x )＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量.1.已知点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B .若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标. 解 变换T 对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2. 设A (a ，b )，由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，即⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－3，a ＋2b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A (－2,3). 2.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －3－1 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1.(1)求(AB )－1；(2)求直线2x ＋y －5＝0在(AB )－1对应变换作用下的直线方程.解 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －3－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－1 －3， 又|AB |＝－3－1＝－4，∴(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34 －14－14 －14.(2)设P (x 0，y 0)是直线2x ＋y －5＝0上任一点，P ′(x ，y )是在变换作用下点P 的像，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝(AB )－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 34 －14－14 －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0. ∴⎩⎨⎧x ＝34x 0－14y 0，y ＝－14x 0－14y 0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y ，y 0＝－x －3y .代入直线方程2x ＋y －5＝0，得2(x －y )－(x ＋3y )－5＝0，即x －5y －5＝0，即为所求的直线方程.A 组 专题通关1.求将曲线y 2＝x 绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程. 解 由题意得旋转变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，设P (x 0，y 0)为曲线y 2＝x 上任意一点，变换后变为另一点(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－y 0，y ＝x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x ，x 0＝y .又因为点P 在曲线y 2＝x 上，所以y 20＝x 0， 故(－x )2＝y ，即y ＝x 2为所求的曲线方程.2.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0,0)，B (1,1)，C (0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 解 由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形；在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110作用下，一个图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的图形.因此，△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形与△ABC 全等，从而其面积等于△ABC 的面积，即为1.3.已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A ′B ′C ′D ′，其中A (1,1)，B (－1,1)，C (－1，－1)，A ′(3，－3)，B ′(1,1)，D ′(－1，－1). (1)求出矩阵M ；(2)确定点D 及点C ′的坐标. 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝－3，－a ＋b ＝1，－c ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－2，d ＝－1，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 －1.(2)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 3，知C ′(－3,3)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13 －23 23 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，知D (1，－1).4.已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 m n 1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. 解 设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎪⎨⎪⎧Mα1＝λ1α1，Mα2＝λ2α2，可解得：m ＝n ＝0，λ1＝2，λ2＝1,又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2， 所以M 2β＝M 2(α1＋2α2)＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42. 5.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数.若Aα＝Bα，求x ＋y 的值.解 由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1).设k 为非零实数，矩阵M＝⎣⎡⎦⎤k 00 1，N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值.解 由题设得MN ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1⎣⎡⎦⎤0 11 0＝⎣⎡⎦⎤0 k 1 0.由⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－20＝⎣⎡⎦⎤0－2， ⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－21＝⎣⎡⎦⎤k －2， 可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2).计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2.B 组 能力提高7.已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程.解 设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0对应的变换下得到点Q (x ′，y ′). 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤121 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2. 代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2(x ′－y ′2)2＝1， 即x ′2＋y ′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2.8.设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)求A 2的逆矩阵.解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是P ′(x ′，y ′). 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1.。
16 2008～2019年江苏高考数学分类汇编(解析版)---矩阵与变换加试
2008～2019年江苏高考数学分类汇编矩阵与变换2008-21B 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．【解析】设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点'''00(,)P x y 则有'0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'00'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以'0'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=所以，曲线F 的方程是 221x y +=2009-21B 求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 【解析】本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。
解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321,320,20,21,x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩ 解得：1,2,2,3x z y w =-===-，从而A 的逆矩阵为11223A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.2010-21B 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)．设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．【解析】本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力．解：由题设得0010011010k k MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由00220010001022k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可知A 1（0，0）、B 1（0，-2）、C 1（k ，-2）．计算得△ABC 面积的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ， 则由题设知：||212k =⨯=．所以k 的值为2或-2．2011-21B 已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2A αβ=． 【解析】设xy α⎡⎤=⎣⎦，由2A αβ=得：321432x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 32111,43222x y x x y y α+==--⎧⎧⎡⎤∴∴∴=⎨⎨⎢⎥+==⎩⎩⎣⎦2012-21B 矩阵与变换] 已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．2013-21B 已知矩阵A =10-⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦，B =01⎡⎢⎣ 26⎤⎥⎦，求矩阵1A B -．【解析】2014-21B 已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值．2015-21B 已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值. 【答案】1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦,另一个特征值为1． 【解析】试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y 的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值试题解析：由已知，得2ααA =-，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则122x y -=-⎧⎨=⎩，即12x y =-⎧⎨=⎩，所以矩阵1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦．从而矩阵A 的特征多项式()()()21fλλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．考点：矩阵运算，特征值与特征向量．2016-21B 已知矩阵12,02⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 矩阵B 的逆矩阵111=202-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ． 【解析】试题分析：先求逆矩阵的逆：114102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，再根据矩阵运算求矩阵AB ． 试题解析：()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 【考点】逆矩阵，矩阵乘法【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：1||||,(||0)||||db a b ad bc cd c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A A A A A A A a b ef ae bgaf bh c d g h ce dgcf dh ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.2017-21B 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B （1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．【解析】（1）AB ==．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=．【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b mp am bn ap bq c d nq cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．2018-21B 已知矩阵．（1）求的逆矩阵；（2）若点P 在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P 的坐标． 【分析】（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标. 【详解】（1）因为，，所以A 可逆，从而．（2）设P (x ，y )，则，所以，因此，点P 的坐标为(3，–1)．【点睛】本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力. 【答案】（1）（2）点P 的坐标为(3，–1)2019-21A 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.【分析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. 【详解】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.【答案】（1）115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）121,4λλ==.【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．。
江苏省最新高三数学(精选试题26套)分类汇编19 矩阵与变换
江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编19：矩阵与变换一、解答题1 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(矩阵与变换)设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦,属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数m n , 的值.【答案】由题意得01110000002011mn m n ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, ,化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩,, , ,所以12m n =⎧⎨=⎩, .2 ．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）已知矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3 c d ,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤11,属于特征值1的一个特征向量为α2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2.求矩阵A ,并写出A 的逆矩阵.【答案】解:由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得,⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11=6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11,即c +d =6;由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2,可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2,即3c -2d =-2,解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4, A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12 －13 12. 3 ．（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）B.选修4—2:矩阵与变换已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后,再绕原点逆时针旋转90o,得到点B .若点B 的坐标为(—3,4),求点A 的坐标. 【答案】4 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）选修4 - 2:矩阵与变换已知矩阵2101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,向量102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦b .求向量a ,使得2=A a b . 【答案】B 解:2212143010101⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A , 设x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a ,由2=Aa b 得4301⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 即43102x y y +=⎧⎨=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,所以12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a5 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）选修4-2(矩阵与变换)将曲线1xy =绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,求所得曲线的方程.【答案】选修4-2(矩阵与变换)将曲线1xy =绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,求所得曲线的方程.解:由题意,得旋转变换矩阵22cos 45sin 45[]sin 45cos 452222⎡⎢-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦M , 设1xy =上的任意点(,)P x y '''在变换矩阵M 作用下为(,)P x y ,222222x x y y ⎢⎢'⎡⎤⎡⎤⎥=⎢⎥⎢⎥'⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦, ∴22,22.22x y y y ⎧''=⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩得22122y x -=.将曲线1xy =绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,所得曲线的方程为22122y x -=6 ．（江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）给定矩阵A=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,B =32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(1)求A 的特征值1λ,2λ及对应特征向量12,αα,(2)求4A B .【答案】 7 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）B.(选修4—2:矩阵与变换)已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ,若矩阵AB 对应的变换把直线l :20x y +-=变为直线'l ,求直线'l 的方程【答案】B. 易得11101122020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 在直线l 上任取一点(,)P x y '',经矩阵AB 变换为点(,)Q x y ,则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦,∴122x x y y y ⎧''=+⎪⎨⎪'=⎩,即142x x y y y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ 代入20x y ''+-=中得12042yx y -+-=,∴直线l '的方程为480x y +-=8 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）选修4—2:矩阵与变换已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A (0, 2),B (1,1),C (1,3).若△ABC 在一个切变变换T 作用下变为△A 1B 1C 1,其中B (1,1) 在变换T 作用下变为点B 1(1,-1 (1)求切变变换T 所对应的矩阵M ;(2)将△A 1B 1C 1绕原点O 按顺时针方向旋转30︒后得到△A 2B 2C 2.求△A 2B 2C 2的面积. 【答案】选修4—2:矩阵与变换解:(1)由题意知M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1(2)因为△ABC 在变换T 作用下变为△A 1B 1C 1,三个顶点的坐标分别是(0, 2),(1,-1)和(1,1),其面积为 1.而旋转变换不改变图形的形状,所以其面积不变,依然为 1.所以,△A 2B 2C 2的面积为1.9 ．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）(矩阵与变换选做题)已知M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2,N =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1,设曲线y =sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ,求F 的方程.【答案】 解:由题设得1110022020102MN ==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦设所求曲线F 上任意一点的坐标为(x ,y ),x y sin =上任意一点的坐标为),(y x '',则MN ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 20021,解得 ⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212把⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212代入x y '='sin ,化简得x y 2sin 2=. 所以,曲线F 的方程为x y 2sin 2=10．（江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）B.(矩阵与变换)将曲线C :1xy =绕坐标原点逆时针旋转π4后,得到的曲线C',求曲线C'的方程.【答案】B.命题立意:本题主要考查矩阵的变换,考查运算求解能力. 解:设1xy =上的任意点(,)P x y '''在变换矩阵M 作用下为(,)P x y , 则cos 45sin 45sin 45cos 45x x y y '⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即 x y y y ⎧''=-⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩，， 代入1x'y'=得22122y x -=. 11．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵1123A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，1223B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵A -1；（Ⅱ）求直线x +y -1=0在矩阵A -1B 对应的线性变换作用下所得曲线的方程. 【答案】解：（1）13121A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ……4分 (2)11301A B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……7分 所得曲线的方程为x -2y -1=0……10分12．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）B.[选修4-2:矩阵与变换]设1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦N ,试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的曲线方程. 【答案】B.11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MN , 设(),x y 是曲线sin y x =上的任意一点,在矩阵MN 变换下对应的点为(),x y ''.则10202x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以1,22,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩即2,1,2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 代入sin y x =,得1sin 22y x ''=,即2sin 2y x ''=. 即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的曲线方程为2sin 2y x =13．（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）[选修4—2 :矩阵与变换]若圆1:22=+y x C 在矩阵)0,0(00>>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a b a A 对应的变换下变成椭圆求矩阵A 的逆矩阵1-A .【答案】设点(,)P x y 为圆C :221x y +=上任意一点,经过矩阵A 变换后对应点为(,)P x y ''',则00a x ax x b y by y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以,x ax y by '=⎧⎨'=⎩． 因为点(,)P x y '''在椭圆E :22143x y =+上,所以2222143a xb y =+,又圆方程为221x y +=,故221,41,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即224,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,又0a >,0b >,所以2a =,3b =.所以2003⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A , 所以110230-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣A 14．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中,设曲线C : xy =1在矩阵⎣⎡⎦⎤ cos θ sin θ－sin θ cos θ(0≤θ<π2)对应的变换作用下得到曲线F ,且F 的方程为x 2-y 2=a 2(a >0), 求θ和a 的值.【答案】解 设P (x 0,y 0)是曲线C 上任意一点, 点P (x 0,y 0)在矩阵⎣⎡⎦⎤cos θ sin θ－sin θ cos θ对应的变换下变为点P '(x 0',y 0') , 则有⎣⎡⎦⎤x 0'y 0'=⎣⎡⎦⎤ cos θ sin θ－sin θ cos θ ⎣⎡⎦⎤x 0y 0, 所以 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0=⎣⎡⎦⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎡⎦⎤x 0'y 0'.又因为点P 在曲线C 上,所以由x 0y 0=1,得(x 0'2-y 0'2)sin θcos θ+(cos 2θ-sin 2θ)x 0'y 0'=1,要使得方程变为x 2-y 2=a 2(a >0),必须cos 2θ-sin 2θ=cos2θ=0,因为0≤θ<π2,所以θ=π4.这时a 2=2, a = 2.15．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）B 、(矩阵与变换选做题)在平面直角坐标系xOy 中,设圆x 2+y 2=1在矩阵A =⎣⎡⎦⎤1 00 2 对应的变换作用下得到曲线F ,求曲线F 的方程.【答案】B 、(矩阵与变换选做题)解 设P (x 0,y 0)是圆上任意一点,点P (x 0,y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点 P′(x′0,y′0) 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0 y ′0 =⎣⎡⎦⎤1 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0 y 0 ,即⎩⎨⎧x ′0＝x 0y ′0＝2y 0,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′0y 0＝12y ′0又因为点P 在圆x 2+y 2=1上,故x 02+y 02=1,从而(x′0)2+(12y′0)2=1.所以,曲线F 的方程是x 2+y 24=1。
江苏版2018年高考数学一轮复习专题11.6矩阵与变换测理 Word版 含解析
专题11.6 矩阵与变换1. 已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的特征值和特征向量． 【答案】属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2.已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A . 【答案】1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y ''' ．由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx ny y y '=+⎧⎨'=⎩…………5分又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨=⎩，1201A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦ …………10分 3.选修4—2：矩阵与变换求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 113的特征值及对应的特征向量．【答案】属于λ1＝2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于λ1＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11．4.（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程.【答案】22841x xy y ++=【解析】由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =. …………4分所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即22x xy x y'=⎧⎨'=+⎩， 代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为22841x xy y ++=.…10分 5.选修4 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15) ，求矩阵M .【答案】1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦6.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 13，其中a ∈R ，若点P (1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(6,7)．(1)求实数a 的值与矩阵A ；(2)求矩阵A 的特征值及相应的特征向量． 【答案】（1）a ＝2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2213.（2）属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.【解析】解：(1)由题意知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋2a 7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤67，∴2＋2a ＝6，∴a ＝2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 3. (2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213，其特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －2－1 λ－3＝(λ－2)(λ－3)－2，令f (λ)＝0，即λ2－5λ＋4＝0，解得λ1＝1，λ2＝4.当λ1＝1时，设对应的特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2n ＝m ，m ＋3n ＝n ，取n ＝1，则m ＝－2，故α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－21；当λ2＝4时，设对应的特征向量为β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝4x ，x ＋3y ＝4y ，取x ＝1，则y ＝1，故β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.∴矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.7. 设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 轴方向伸长为原来5倍的伸缩变换． (1)求直线4x －10y ＝1在M 作用下的方程； (2)求M 的特征值与相应的特征向量．【答案】（1）4x －2y ＝1.（2）当λ1＝1时，特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10；当λ2＝5时，特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.8.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.(1)求矩阵A 的特征值及对应的特征向量；(2)计算矩阵A n.【答案】（1）当λ1＝8时，A 属于λ1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，A 属于λ2的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.（2）⎣⎢⎢⎦⎥⎥332×8n－2n ＋138n＋2n ＋13c ＝2×8n－2n ＋13，d ＝8n ＋2n ＋13.故A n＝⎣⎢⎢⎦⎥⎥332×8n－2n ＋138n＋2n ＋139.已知a ，b ∈R ，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x - y = 3变换成自身，试求实数a ，b ． 【答案】4,1-==b a 【解析】10.已知曲线C ：1xy =，若矩阵22M ⎥=⎥⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. 【答案】222y x -= 【解析】试题解析：设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，∴2222x x y y '⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，x y x ''=x y y ''+=，……5分∴x '=，y '=，∴1x y ''==，∴曲线C '的方程为222y x -=. …10分11.变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标；（Ⅱ）求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程。
高考数学一轮复习 14.2 矩阵与变换 理 苏教版
14.2 矩阵与变换解答题1. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程．解析 设P (x ，y )是椭圆4x 2＋y 2＝1上的任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2y ＝y ′.又因为点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝1上， 所以4(x ′2)2＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.故曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1.【点评】 线性变换是基本变换，解这类问题关键是由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得到点P ′(x ′，y ′)与点P (x ，y )的坐标关系．2．已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M . 解析 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，c ＝2，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1324.3．求圆C ：x 2＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001的变换作用下的曲线方程．解析 设P ′(x ′，y ′)是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任一点，设P (x ，y )是P ′(x ′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应变换作用下新曲线上的对应点， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ′ y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y .将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 2＝4，故方程为x 216＋y 24＝1.4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．解析 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)．A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －2 －2b ，所以点A ′的坐标为(－2，－2b )； ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)． 由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－－2b －4＝0，－2a －－8－4＝0.解得a ＝2，b ＝3.5．求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程． 解析 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y ) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y2，y 0＝x ＋y2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y2＝1，即x 2－y 2＝4.所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4. 6. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属 于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵． 解析 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，即6=+d c ； 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2，0)，C (－2,1)，设k 为非零实数，M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 10.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)． 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2. 所以k 的值为－2或2.8．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程．解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，设(x ，y )是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y )在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝－y ′.因为点(x ，y )在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x ′－(－y ′)＋1＝0，即2x ′＋y ′＋1＝0， 所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.。
专题11 矩阵与变换(解析版)-2020年江苏高考数学试卷名师分析与预测
专题十一 矩阵与变换一、近几年江苏高考1、（2019年江苏卷）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值. 【分析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. 【解析】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--. 令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.2、（2018年江苏卷） 已知矩阵．（1）求的逆矩阵；（2）若点P 在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P 的坐标．【解析】分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标. 详解：（1）因为，，所以A 可逆，从而．（2）设P (x ，y )，则，所以，因此，点P 的坐标为(3，–1)．点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力.3、（2017江苏卷）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002. (1) 求AB ；(2) 若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．规范解答：(1) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210.(2) 设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x 2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.4、(2016年江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－120 2，求矩阵AB . 规范解答 设B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则B －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －12c b －12d 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 故⎩⎪⎨⎪⎧ a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11412 . 因此，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤114012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1540－1. 5、(2015年江苏卷)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值． 规范解答 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0.从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)，令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－2，λ2＝1， 所以矩阵A 的另一个特征值为1. 二、近几年高考试卷分析这几年矩阵与变换是作为江苏高考必选题型，纵观这几年江苏高考常考题型主要体现以下几点： 1、矩阵的运算和求矩阵的逆矩阵； 2、五矩阵的逆矩阵；3、求矩阵变化下的曲线方程。
2008-2017江苏高考选修系列矩阵与变换参数方程与极坐标真题含答案
江苏高考选修系列·矩阵与变换·参数方程与极坐标·真题【2008年】1.选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎢⎣⎡02 ⎥⎦⎤10对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．2.选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．【2009年】3.选修4 - 2：矩阵与变换求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.4.选修4 - 4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程。
在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)。
设k 为非零实数，矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。
6. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值。
【2011年】7. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A ．8. 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点，且与直线423x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程．已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．10. [选修4 - 4：坐标系与参数方程] 在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【2013年】11．［选修4-2：矩阵与变换］ 已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-。
高考数学试卷(含答案解析)
江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD 上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x ∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．18．（16分）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k, 若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立, 则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”, 又是“P（3）数列”, 证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a 的取值范围．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP ⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k 次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2020•江苏）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A ∩B={1}, 则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2020•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．3．（5分）（2020•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为, 再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件, 而抽取60辆进行检验, 抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致, 按照一定的比例, 即样本容量和总体容量的比值, 在各层中进行抽取．4．（5分）（2020•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=, 不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图, 模拟程序是解决此类问题的常用方法, 注意解题方法的积累, 属于基础题．5．（5分）（2020•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式, 属于基础题6．（5分）（2020•江苏）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．【分析】设出球的半径, 求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R, 则球的体积为：R3,圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法, 考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2020•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域, 结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0, 得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2, 3],则在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率P==, 故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算, 结合函数的定义域求出D, 以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程, 得到P, Q坐标, 求出焦点坐标, 然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=, 双曲线渐近线方程为：y=x, 所以P（, ）, Q（, ﹣）, F1（﹣2, 0）．F2（2, 0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用, 考查计算能力．9．（5分）（2020•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1, S3=, S6=, 可得=, =, 联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=, S6=, ∴=, =,解得a1=, q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．10．（5分）（2020•江苏）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x, 利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．11．（5分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1, ] ．【分析】求出f（x）的导数, 由基本不等式和二次函数的性质, 可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义, 可得f（x）为奇函数, 原不等式即为2a2≤1﹣a, 运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f（x）为奇函数,则f（a﹣1）+f（2a2）≤0,即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）,即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为：[﹣1, ]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用, 注意运用导数和定义法, 考查转化思想的运用和二次不等式的解法, 考查运算能力, 属于中档题．12．（5分）（2020•江苏）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=3．【分析】如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．可得cosα=, sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m, n ∈R）, 即可得出．【解答】解：如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．∴cosα=, sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m, n∈R）,∴=m﹣n, =0+n,解得n=, m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．13．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是[﹣5, 1] ．【分析】根据题意, 设P（x0, y0）, 由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0, 分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域, 联立直线与圆的方程可得交点的横坐标, 结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意, 设P（x0, y0）, 则有x02+y02=50, =（﹣12﹣x0, ﹣y0）•（﹣x0, 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20,化为：12x0﹣6y0+30≤0,即2x0﹣y0+5≤0, 表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立, 解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5, 1],故答案为：[﹣5, 1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系, 关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2020•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n ∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数, 进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0, 1）上, f（x）=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f（x）是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1, 2）上, f（x）=, 此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2, 3）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3, 4）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4, 5）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5, 6）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6, 7）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7, 8）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8, 9）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9, +∞）上, f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断, 函数的图象和性质, 转化思想, 难度中档．二.解答题15．（14分）（2020•江苏）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC, 利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD, 结合线面垂直的判定定理可知AD ⊥平面EFG, 从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD, EF⊥AD, 且A、B、E、F四点共面, 所以AB∥EF,又因为EF⊊平面ABC, AB⊆平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC,因为BC⊥BD, 所以FG∥BC,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD, 所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF, 且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG, 所以AD⊥EG,故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定, 考查空间想象能力, 考查转化思想, 涉及线面平行判定定理, 线面垂直的性质及判定定理, 注意解题方法的积累, 属于中档题．16．（14分）（2020•江苏）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣, 问题得以解决,（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）,∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0, π],∴x=,（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）,∵x∈[0, π],∴x+∈[, ],∴﹣1≤cos（x+）≤,当x=0时, f（x）有最大值, 最大值3,当x=时, f（x）有最小值, 最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质, 属于基础题17．（14分）（2020•江苏）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为,两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c, 由椭圆的准线方程x=±, 则2×=8, 即可求得a和c的值, 则b2=a2﹣c2=3, 即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标, 分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率, 则即可求得l2及l1的斜率及方程, 联立求得Q点坐标, 由Q在椭圆方程, 求得y02=x02﹣1, 联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m, n）, 当m≠1时, =, =, 求得直线l1及l1的方程, 联立求得Q点坐标, 根据对称性可得=±n2, 联立椭圆方程, 即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==, 则a=2c, ①椭圆的准线方程x=±, 由2×=8, ②由①②解得：a=2, c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0, y0）, 则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x﹣1）,直线PF 1的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x+1）,联立, 解得：, 则Q（﹣x0, ）, 由P, Q在椭圆上, P, Q的横坐标互为相反数, 纵坐标应相等, 则y0=,∴y02=x02﹣1,则, 解得：, 则,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．方法二：设P（m, n）, 由P在第一象限, 则m＞0, n＞0,当m=1时, 不存在, 解得：Q与F 1重合, 不满足题意,当m≠1时, =, =,由l 1⊥PF1, l2⊥PF2, 则=﹣, =﹣,直线l1的方程y=﹣（x+1）, ①直线l2的方程y=﹣（x﹣1）, ②联立解得：x=﹣m, 则Q（﹣m, ）,由Q在椭圆方程, 由对称性可得：=±n2,即m2﹣n2=1, 或m2+n2=1,由P（m, n）, 在椭圆方程, , 解得：, 或, 无解,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．【点评】本题考查椭圆的标准方程, 直线与椭圆的位置关系, 考查直线的斜率公式, 考查数形结合思想, 考查计算能力, 属于中档题．18．（16分）（2020•江苏）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过N作NP∥MC, 交AC于点P, 推导出CC1⊥平面ABCD, CC1⊥AC, NP⊥AC, 求出MC=30cm, 推导出△ANP∽△AMC, 由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过点N 作NP⊥EG, 交EG于点P, 过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q, 推导出EE1G1G为等腰梯形, 求出E1Q=24cm, E1E=40cm, 由正弦定理求出sin∠GEM=, 由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 在平面ACM中, 过N作NP∥MC, 交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱, ∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD, ∴CC1⊥AC, ∴NP⊥AC,∴NP=12cm, 且AM2=AC2+MC2, 解得MC=30cm,∵NP∥MC, ∴△ANP∽△AMC,∴=, , 得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中, 过点N作NP⊥EG, 交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台, ∴EE1=GG1, EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形, 画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm, EG=14cm, EQ=32cm, NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得：E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=, sin∠EGM=sin∠EE1G1=, cos,根据正弦定理得：=, ∴sin, cos,∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=, ∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．19．（16分）（2020•江苏）对于给定的正整数k, 若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立, 则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质, a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n , 根据“P （k ）数列”的定义, 可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由“P （k ）数列”的定义, 则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , 变形整理即可求得2a n =a n ﹣1+a n +1, 即可证明数列{a n }是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1, 公差为d, 则a n =a 1+（n ﹣1）d,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）,=2a n +2a n +2a n ,=2×3a n ,∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：由数列{a n }是“P （2）数列”则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , ① 数列{a n }是“P （3）数列”a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , ②由①可知：a n ﹣3+a n ﹣2+a n +a n +1=4a n ﹣1, ③a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1, ④由②﹣（③+④）：﹣2a n =6a n ﹣4a n ﹣1﹣4a n +1,整理得：2a n =a n ﹣1+a n +1,∴数列{a n }是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质, 考查数列的新定义的性质, 考查数列的运算, 考查转化思想, 属于中档题．20．（16分）（2020•江苏）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0, b ∈R ）有极值, 且导函数f′（x ）的极值点是f （x ）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a 的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, 进而再求导可知g′（x）=6x+2a, 通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣, 从而f（﹣）=0, 整理可知b=+（a＞0）, 结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根, 进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）, 结合a＞3可知h（a）＞0, 从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣, 利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2, 进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣, 因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1,所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, g′（x）=6x+2a,令g′（x）=0, 解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0, g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0, g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣,由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点,所以f（﹣）=0, 即﹣+﹣+1=0,所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值,所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,所以4a2﹣12b＞0, 即a2﹣+＞0, 解得a＞3,所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）,由于a＞3, 所以h（a）＞0, 即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣,设x1, x2是y=f（x）的两个极值点, 则x1+x2=, x1x2=,所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2,又因为f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a＞3, 所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0,所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0,由于a＞3时2a2+12a+9＞0,所以a﹣6≤0, 解得a≤6,所以a的取值范围是（3, 6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值, 考查运算求解能力, 考查转化思想, 注意解题方法的积累, 属于难题．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2020•江苏）如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB, 即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C, ∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC, ∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP, ∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB,∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2020•江苏）已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律, 代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==,（2）设点P（x, y）为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0, y0）,则=, 即x0=2y, y0=x,∴x=y0, y=,∴, 即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换, 属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程, 代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数, 从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时, d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用, 属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2020•江苏）已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4, c2+d2=16, 令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．代入ac+bd化简, 利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）, 即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4, c2+d2=16,令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64, 当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．【必做题】26．（2020•江苏）已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球, 则p=p（A2）=P （A 2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）, 由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为, …, , P（x=）=,k=n, n+1, n+2, …, n+m, 从而E（X）=（）=, 由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为, …, ,P（x=）=, k=n, n+1, n+2, …, n+m,∴E（X）=（）==＜==•（）==,∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．25．（2020•江苏）如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD, 由AA1⊥平面ABCD, 可得AA1⊥Ax, AA1⊥AD, 以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A, B, C, D, A1, C1的坐标, 进一步求出, , , 的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量, 再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值, 进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD, AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax, AA1⊥AD,以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°,∴A（0, 0, 0）, B（）, C（, 1, 0）, D（0, 2, 0）,A1（0, 0, ）, C1（）．=（）, =（）, , ．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为,由, 得, 取x=, 得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为, 则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角, 训练了利用空间向量求空间角, 是中档题．。
最新-2017江苏高考-选修系列·矩阵与变换·参数方程与极坐标·真题(含答案)
江苏高考选修系列·矩阵与变换·参数方程与极坐标·真题【2008年】1.选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎢⎣⎡02 ⎥⎦⎤10对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．2.选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．【2009年】3.选修4 - 2：矩阵与变换求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.4.选修4 - 4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程。
【2010年】5. 选修4-2：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)。
设k 为非零实数，矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。
6. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值。
【2011年】7. 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A ．8. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点，且与直线423x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程．【2012年】9.[选修4 - 2：矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．10. [选修4 - 4：坐标系与参数方程] 在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【2013年】11．［选修4-2：矩阵与变换］ 已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-。
江苏版高考数学 22.1 矩阵与变换
专题二十二选修4系列【真题典例】22.1 矩阵与变换挖命题【考情探究】分析解读矩阵与变换是江苏卷附加题中三选二的内容之一,主要考查矩阵的变换、矩阵的乘法、逆矩阵、特征值和特征向量等,难度不大.破考点【考点集训】考点矩阵与变换1.(2019届江苏盐城一中月考)在平面直角坐标系xOy中,设点A(-1,2)在矩阵M=-对应的变换作用下得到点A',将点B(3,4)绕点A'逆时针旋转90°得到点B',求点B'的坐标.解析设B'(x,y).由--=,得A'(1,2).则=(2,2),=(x-1,y-2).记旋转矩阵N=-,则-=--,即-=--,解得-所以点B'的坐标为(-1,4).2.(2018江苏如皋中学月考)已知矩阵M=的逆矩阵M-1=--,求实数m,n的值.解析因为MM-1=--=---=,所以---解得3.(2019届江苏梅村中学月考)已知矩阵A=(c,d为实数).若矩阵A属于特征值2,3的一个特征向量分别为,,求矩阵M的逆矩阵A-1.解析由题意知==2,==3,所以解得-所以A=-,所以A-1=-.4.(2019届江苏盐城中学月考)已知二阶矩阵A=-.(1)求矩阵A的特征值和特征向量;(2)设向量β=-,求A5β.解析(1)矩阵A的特征多项式f(λ)=--=(λ-3)(λ+2).令f(λ)=0得λ1=3,λ2=-2.设λ1=3对应的一个特征向量为,则将λ1=3代入二元一次方程组得-解得y=0.所以矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.设λ2=-2对应的一个特征向量为,则--取x1=1,则y1=-1.所以矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量为-.(2)由(1)可知向量β是矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量, 所以A5β=λ5β=-.炼技法【方法集训】方法一求解逆矩阵1.(2018江苏扬州期末)已知x,y∈R,若点M(1,1)在矩阵A=对应的变换作用下得到点N(3,5),求矩阵A 的逆矩阵A-1.解析因为A=,即=,即解得所以A=.解法一(定义法):设A-1=,则AA-1==,即解得--所以A-1=--.解法二(公式法):因为A-1=--,且det A==2×2-1×3=1,所以A-1=--.2.(2019届江苏常州一中月考)已知矩阵M=,试求:(1)矩阵M的逆矩阵M-1;(2)直线y=2x在矩阵M-1对应的变换作用下的曲线方程.解析(1)因为M=,所以M-1=.(2)设点P(x,y)是直线y=2x上任意一点,在矩阵M-1对应的变换作用下得到点Q(x',y'), 则==,所以即因为点P在直线y=2x上,于是2y'=2×x',所以2y'=x',即直线y=2x在矩阵M-1对应的变换作用下的曲线方程为y=x.方法二矩阵变换应用1.(2019届江苏泰州中学月考)已知曲线C:x2+2xy+2y2=1,矩阵A=所对应的变换把曲线C变成曲线C1,求曲线C1的方程.解析设曲线C上的任意一点P(x,y),P在矩阵A=对应的变换下得到点Q(x',y'),则=,即x+2y=x',x=y',所以x=y',y=-.代入x2+2xy+2y2=1,得y'2+2y'-+2-=1,即x'2+y'2=2,所以曲线C1的方程为x2+y2=2.2.(2019届江苏宿迁中学月考)已知矩阵M=,N=,试求曲线y=sin x在矩阵MN变换下的函数解析式.解析MN==,即在矩阵MN变换下→==,所以即代入y=sin x得y'=sin 2x'.即曲线y=sin x在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2sin 2x.过专题【五年高考】自主命题 江苏卷题组1.(2017江苏,21B,10分)已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:+=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.解析本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为A=,B=,所以AB==.(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),则=,即所以因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则+=1,从而+=1,即x2+y2=8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A=-,矩阵B的逆矩阵B-1=-,求矩阵AB. 解析设B=,则B-1B=-=,即=,故--解得所以B=.因此,AB=-=-.3.(2015江苏,21B,10分)已知x,y∈R,向量α=-是矩阵A=的属于特征值-2的一个特征向量,求矩阵A 以及它的另一个特征值.证明由已知,得Aα=-2α,即-=-1=,则--即-所以矩阵A=-.从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1),所以矩阵A的另一个特征值为1.4.(2014江苏,21B,10分)已知矩阵A=,B=,向量α=,x,y为实数,若Aα=Bα,求x+y的值.解析由已知,得Aα=-=-,Bα=-=-.因为Aα=Bα,所以-=-.故--解得-所以x+y=.教师专用题组1.(2013江苏,21B,10分,0.949)已知矩阵A=-,B=,求矩阵A-1B. 解析设矩阵A的逆矩阵为,则-=,即--=,故a=-1,b=0,c=0,d=,从而A的逆矩阵为A-1=-,所以A-1B=-=--.2.(2011江苏,21B,10分)已知矩阵A=,向量β=.求向量α,使得A2α=β. 解析A2==.设α=.由A2α=β,得=,从而解得x=-1,y=2,所以α=-.评析本题考查矩阵运算法则等基础知识,对运算能力有一定的要求,属中等难度题.3.(2012江苏,21B,10分)已知矩阵A的逆矩阵A-1=--,求矩阵A的特征值.解析因为A-1A=E,所以A=(A-1)-1.因为A-1=--,所以A=(A-1)-1=,于是矩阵A的特征多项式为f(λ)=----=λ2-3λ-4.令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=-1,λ2=4.评析本题主要考查矩阵的基础知识,考查运算求解能力.4.(2014福建,21(1),7分)已知矩阵A的逆矩阵A-1=.(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.解析(Ⅰ)因为矩阵A是矩阵A-1的逆矩阵,且|A-1|=2×2-1×1=3≠0,所以A==.(Ⅱ)矩阵A-1的特征多项式为f(λ)==λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3), 令f(λ)=0,得矩阵A-1的特征值为λ1=1或λ2=3,所以ξ1=是矩阵A-1的属于特征值λ1=1的一个特征向量,ξ2=是矩阵A-1的属于特征值λ2=3的一个特征向量.【三年模拟】解答题(共60分)1.(2019届江苏南京六校调研)设矩阵A满足A=--,求矩阵A的逆矩阵A-1. 解析A=---=---=-.因为det A=-,所以A-1=-.2.(2018江苏南京、盐城一模)已知矩阵M=,求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.解析设P(x0,y0)是圆x2+y2=1上任意一点,则+=1.设点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下所得的点为Q(x,y),则=,即解得代入+=1,得+y2=1,即为所求的曲线方程.3.(2017江苏镇江期末)已知实数a,b,矩阵A=-对应的变换将直线x-y-1=0变换为自身,求a,b的值. 解析设直线x-y-1=0上任意一点P(x,y)在变换T A的作用下变成点P'(x',y').由-=,得-因为P'(x',y')在直线x-y-1=0上,所以x'-y'-1=0,即(2-b)x+(a+1)y-1=0.又因为P(x,y)在直线x-y-1=0上,所以x-y-1=0.因此--解得a=-2,b=1.4.(2018江苏南京、盐城、连云港二模)已知α=为矩阵A=-属于实数λ的一个特征向量,求λ和A2. 解析因为-=λ,所以-解得所以A=-,所以A2=-.5.(2018江苏南京学情调研)设二阶矩阵A=.(1)求A-1;(2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C':6x2-y2=1,求曲线C的方程.解析(1)根据逆矩阵公式,可得A-1=--.(2)设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P'(x',y'),则==,所以因为(x',y')在曲线C'上,所以6x'2-y'2=1,代入得6(x+2y)2-(3x+4y)2=1,化简得8y2-3x2=1,所以曲线C的方程为8y2-3x2=1.6.(2018江苏苏州高三上学期期中调研,21B)已知矩阵A=,α=,求A49α的值.解析矩阵A的特征多项式f(λ)==λ2-2λ-3.令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值λ1=-1,λ2=3.当λ=-1时特征向量为α1=,当λ=3时特征向量为α2=,又∵α==α1+3α2,∴A49α=α1+3α2=-.方法点拨解此类题应分成以下几个步骤:一是求特征值,二是根据特征值求特征向量,三是把已知向量用特征向量表示,最后求得结果.。
高考数学(江苏省专用)复习专题测试课件：第二十三章 选修系列 23.2 矩阵与变换
1 2 1 x
因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.
1 12 -1 1 2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A= 0 2 ,矩阵B的逆矩阵B = 2 ,求矩阵AB. 2 0
解析 设B= ,
1 1 a b 1 0 = , 则B B= 2 c d 0 1 2 0 1 1 a 2 c b 2 d 1 0 即 , = 0 2 c 2 d 1
(1)因为A= ,B= ,
(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),
x0 y, 2 y0 x, 0 2 x0 x 则 = , 即 所以 x y0 . 1 0 y0 y x0 y, 2 2 2 x0 + y0 =1, 因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则 8 2 2 2 y + x =1,即x2+y2=8. 从而 8 8
0
x0 x0
0
解析 (1)设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M'(x',y').
高考数学
(江苏省专用)
§23.2 矩阵与变换
五年高考
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2017江苏,21B,10分)[选修4—2:矩阵与变换] 已知矩阵A= ,B= . (1)求AB;
江苏专用2020版高考数学一轮复习第二十一章选修4系列21.1矩阵与变换
4
又已知曲线C的方程x2+y2=1,故
a2 b2
4, 1.
又a>0,b>0,所以 ba
2, 1.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
1.(2019无锡期末,21A)设旋转变换矩阵A=
0 1
1 0
,若
a b 1 2
·A=
3 4 c d
,求ad-bc的值.
解析
∵A=
(1)因为A=
0 1
10
,B=
1 0
02
,
所以AB=
0 1
10
1 0
02
=
0 1
02
.
(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),
则
0 1
02
x0 y0
=
x y
,即
2x0y0y,x,
所以
x0
y0
故所求的逆矩阵M-1=
2
0
.
0 13
(2)设曲线C上任意一点P(x,y),它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P'(x',y'),则
a 0 0 b
x y
=
x y
' '
,即
ax by
x ', y ',
又点P(x',y')在曲线C'上,所以
x '2 4
+y'2=1,
则 a2 x2 +b2y2=1为曲线C的方程.
解析 因为A-1A=E,所以A=(A-1)-1.
因为A-1=
(江苏专用)高考数学一轮复习 第二十三章 选修系列 23.2 矩阵与变换课件.pptx
,
2
所以A-1B=
1 0 0 1 2
1 2 0 6
= 1 . 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 3
7
B组 统一命题·省(区、市)卷题组
考点 矩阵与变换
(2013福建,21(1),7分)选修4—2:矩阵与变换
1 2
已知直线l:ax+y=1在矩阵A=
01 对 应的变换作用下变为直线l':x+by=1.
(1)求实数a,b的值;
,即 xy
所以2x0y0y,x,
x0 y,
y0
x. 2
因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则 x02 + y02 =1,
82
从而 y2 + x2 =1,即x2+y2=8.
88
因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.
3
2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A= 10 2,矩2阵B的逆矩阵B-1=
10, 求 12矩 2阵AB.
解析
设B=
a c
,db
则B-1B= 10 12 2 =ac db ,
1 0
10
即
a
1c
2=
2c
b1
, 2
2d
d
1 0
10
a
1 2
c
1,
故 b
1 2
d
解0,得
2c 0,
2d 1,
a 1,
b
1
,
c
4所以B=
0,
d
1 2
,
82
2
解析 本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.
2020年高考江苏版高考数学 22.1 矩阵与变换
考点清单
考点 矩阵与变换
1.矩阵的概念
在数学中,我们把形如
为矩阵(matrix).
, ,13 这样的矩形数字(或字母)阵列称
记法:矩阵通常用大写的黑体拉丁字母来表示,比如A,B,C,…或(aij)(其 中i,j分别为元素aij所在的行和列). 矩阵相等:设有两个矩阵A,B,如果它们适合如下条件: (1)A与B的行数与列数分别相等; (2)A与B对应位置的元素也分别相等. 则称A与B相等并记为A=B.
例2 (2017江苏苏州期中)已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个
特征向量e1=
1 1
,并且矩阵M将点(-1,3)变换为(0,8).
(1)求矩阵M;
(2)求曲线x+3y-2=0在M的作用下的新曲线方程.
解析
(1)设M=ca db
,由ca db
a b c d
与列矩阵
x y
的乘法规则为
a b c d
x y
=
ax by
① cx dy .
假设矩阵A=
a b
c d
,B=
,则矩阵A和矩阵B的乘积AB=
.
说明:矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN 后TM)的复合变换.
则 xy'' =
xy
,即 xy''
6x 4x
2 y, 4 y,
解之得x
y
2x ' y ' , 8
2x ' 3y 8
'
2020江苏高考理科数学二轮专题强化：专题七第7讲 矩阵与变换
1．(2019·南师附中、淮阴、海门、天一开学联考)二阶矩阵A 有特征值λ＝6，其对应的一个特征向量为e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵A 对应的变换将点(1，2)变换成点(8，4)，求矩阵A ．[解] 设所求二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎩⎪⎨⎪⎧Ae ＝6e A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤66⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6c ＋d ＝6a ＋2b ＝8c ＋2d ＝4，解方程组得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 28 －2．2．(2019·南京、盐城模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤302a ，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1． (1)求a ，b 的值； (2)求A 的特征值．[解] (1)因为AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 02a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 023＋aba＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001．所以 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，23＋ab ＝0．解得a ＝1，b ＝－23．(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 021，则A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 0－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)．令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3．3．(2019·南通市高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1，2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3，4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．[解] 设B ′(x ，y )， 依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 得A ′(1，2)．则A ′B →＝(2，2)，A ′B ′→＝(x －1，y －2)．记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4． 所以点B ′的坐标为(－1，4)．4．(2019·江苏四星级学校联考)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，已知矩阵A 的特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值． [解] 由特征值、特征向量的定义可知A α1＝λ1α1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1c －d ＝1，①同理可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 8，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝123c ＋2d ＝8，② 由①②解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1， 因此ad －bc ＝2－6＝－4．。
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《选修4 - 2：矩阵与变换》高考题（2014-2008）
1、（2014年江苏）已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
v ，,x y 是实数，若Aa Ba =v v ，求,x y 的值。
2、（2013年江苏）已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，求矩阵B A 1-。
3、（2012年江苏）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
A ，求矩阵A 的特征值． 4、（2011年江苏）已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求向量α，使得2A αβ=． 5、（2010年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-2,0),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ，
M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点1A 、1B 、1C ，111C B A ∆的面积是ABC ∆面积的2倍，求实数k 的值
6、（2009年江苏）求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的逆矩阵. 7、（2008年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变
换作用下得到曲线F ，求F 的方程．
《选修4 - 2：矩阵与变换》高考题（2014-2008）解答
（2013年江苏）已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-。
解：设矩阵A 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a K K ,则⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-2001K K ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a K K =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001K K ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--d c b a 22K K =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001K K ，
故a=-1，b=0，c=0，d=21∴矩阵A 的逆矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⋅-=-210011ΛK A , ∴B A 1-=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⋅-21001ΛK ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6021K K =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⋅⋅--3021ΛK
（2012年江苏）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
A ，求矩阵A 的特征值． 解析：
（2011年江苏）已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求向量α，使得2A αβ=． 解析：
设x y α⎡⎤=⎣⎦，由2
A αβ=得： 321432x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，32111,43222x y x x y y α+==--⎧⎧⎡⎤∴∴∴=⎨⎨⎢⎥+==⎩⎩⎣⎦
（2010年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ，
M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点1A 、1B 、1C ，111C B A ∆的面积是ABC ∆面积的2倍，求实数k 的值
（2009年江苏）求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的逆矩阵. [解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。
满分10分。
解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321,320,20,21,x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩
解得：1,2,2,3x z y w =-===-，
从而A 的逆矩阵为11223A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
. （2008年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换
作用下得到曲线F ，求F 的方程．
解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点
'''00(,)P x y 则有
'00'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'0
0'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以'00'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=
所以，曲线F 的方程是 22
1x y +=。