多变量函数的值域与最值问题

多变量函数的值域与最值问题

函数的值域与最值是高中数学中的主干知识，也是历年高考重点考查的必考知识要点。对函数的值域与最值的考查有直接的、有间接的、有显性的、也有隐性的，形式多式多样。这类题主要是考查学生对主干知识的理解与掌握和数学思想方法的运用，知识的综合性较大具有一定的难度，在高考中一般属中难题或难题。特别是多变量函数因其变量多而让学生有望而生畏束手无策之感，这类题往往以选填题的形式出现。

虽然该知识点的考查变化多样，但若我们认真分析总结，这类题其实依然有律可寻，有法可依。解决多变量最值与值域问题我们必须明确多个变量间的关系，一般常见的变量间关系分“独立性”与“相亲性”两种。

一、变量间的“独立性”是指多个变量间在目标函数中取值时相互

独立互不牵连。

二、变量间的“相亲性”是指多个变量间在目标函数中取值时相互

牵制、互相制约。在牵制与制约过程中通常又有两种形式存在。

一种是一个变量的取值直接可以确定另一个变量的取值，我们称这种关系为“稳定”制约关系，多个变量间的“稳定”制约关系一般通过等式的方式来呈现。处理这种问题时我们一般可以采用统一变量的思想来消减变量，化多变量函数为单变量函数，然后采用单变量函数求值域与最值的方法来处理。若统一变量时计算

量较大，有时也可以用一些特别的方法来处理。如：基本不等式法、柯西不等式法等。

另一种是一个变量的取值并不能完全能确定另一个变量的取值，但它对另一个变量的取值范围有限定和制约，我们称这种关系为“相关”制约关系，多个变量间的“相关”制约关系通常通过不等式的方式来呈现。处理这种问题时，我们不可轻易的将多个变量一一单独分离后，再用分离出的范围来简单拼凑目标函数所需的最值，这样往往会破坏多变量间的相关性导致误解。处理这类问题时我们需采用整体法的思想、线性规划的思想、数形结合的思想来确保变量间的相关性从而达到求值域与最值的目标。