精编随机模拟(仿真)-simulation

模拟的方法
• 设计正确的模拟时间推进机理是进行模拟的一个 非常重要的问题，模拟过程应该根据系统的特征 正确推进模拟时间，使系统中各项要素与发生的 事件保持同步，推进时间模拟的基本方法有：
• （1）下次事件法：是将模拟时间由一个事件发生 时间点推进到紧接着下一个事件发生的时间点。 既时间变化幅度由事件变化确定；
用随机模拟计算积分
例1
如下图所示，在正方形内有1/4单位圆。向正方形内投小 石头，假设每次都能够投进正方形内且可以落在正方形内任 何一点。问，小石头落在1/4单位圆内(包含边界)的概率多大？
y
分析：假设头入正方形内的 石头有n块，有k块落入了1/4
1
单位圆内。P为小石头落入
1/4单位圆内的概率。那么根
• （2）固定时间步长法：此种方法模拟时间每次均 以相等的固定步长向前推进，每到达一个新的模 拟时间点需要检查相应的时间段内是否发生了事 件；（有时候需要动态调整步长）
模拟的一般步骤
• 明确问题，建立模型：正确描述研究的问题，明确规定模 拟的目标和任务，确定衡量系统性能或模拟输出结果的目 标函数，然后根据系统的结构及作业规则，分析系统各状 态变量之间的关系，以次为基础建立所研究的系统模型；
仿真的分类
• 模拟是系统状态随时间而变化的动态写照， 因此，通常时间是模拟的主要自变量，其 它的变量为因变量。
• （1）按照模拟过程中因变量的变化情况， 可以将模拟分为离散、连续、混合3种类型；
• （2）如果采用模拟计算机、采用数字计算 机以及联合使用则分为模拟仿真、数字仿 真以及混合仿真；
• （3）根据仿真变量的特征分为随机模拟仿 真和模糊模拟仿真。
• 收集和整理数据资料：模拟的实现往往离不开大量数据的 输入，且需要确定随机因素的概率分布特性，并以此为抽 样的根据；
• 编制程序：模拟运行，选择适当的计算机语言，按照系统 数学、逻辑模型编写计算机程序。
• 分析模拟输出结果：一般包括如下几个方面 • （1）模拟结果的统计特性：均值、方差以及置信区间； • （2）灵敏度分析； • （3）根据确定的目标函数，在众多的实现方案中选取最
2、计算过程 n=[2,20,200,2000,5000,10000,50000,100000];
>> for k=1:length(n)
随机模拟（仿真）-simulation
仿真（也称为模拟）：就是用计算机程序在计算机上模 仿各种实际系统的运行过程，并通过计算了解系统随时 间变化的行为或特性。
计算机仿真：是在已经建立的数学、逻辑模型之上，通 过计算机实验，对一个系统按照一定的决策原则或作业 规则，由一个状态变换为另外一个状态的行为进行描述 和分析。
4
n
(数学模型)
对于估计 4k 只有不断重复做实验，这种试验可以 n
具体去操作，(均匀投石块，然后数数，这样需要较高成本)。 也可以让计算机去重复试验，但是需要将数学模型转化为计算 机模拟模型(让计算机完成均匀投石块，自动计数，也需要成 本)。 用计算机模拟投石块过程和步骤如下：
1、自动生成随机点[0,1]x[0,1]，模拟石块在正方形内的任意 位置，用(xi,yi)表示，共n个点；
• 虽然可以用解析的方法解决问题，但是问题的分 析与计算过于复杂，这时计算机仿真可能提供简 单可行的求解方法；
• 希望在较短时间内观察到系统的发展全过程，以 估计某参数对系统行为的影响；
• 难以在实际环境中进行试验和观察，计算机仿真 是唯一的方法；
• 需要对系统或过程进行长期运行的比较，从大量 方案中寻找最优。
2、判别(xi,yi)是否满足xi2+yi2≤1，即判别石块是否落在1/4 单位圆内，共k个点满足；
3、整理、统计模拟结果，用4k/n估计π。
利用matlab编程计算过程
1、编写M文件： function [pai]=fangzhenpai(n) %生成均匀分布; X=unifrnd(0,1,n,2); %判别是否落在1/4圆内; k=0; for k1=1:n y=X(k1,1)^2+X(k1,2)^2; if y<=1 k=k+1; else k=k; end end %整理、统计、估计结果; pai=4*k/n;
• 当人是系统的一部分时，他的行为往往实验结果有所影响， 这时，最好进行模拟研究；
• 实验时间太长，费用太大，或者有危险，使得试验不容易 进行；
• 有些系统一旦建立起来后无法复原，例如，建立大型企业， 要分析社会和经济效益，不能用建立起来试试看的办法。
那些问题适合计算机仿真解决
• 难以用数学公式表示的系统，或者没有求解数学 模型的有效方法；
实际问题
数学、逻辑模型
计算机模型
实际解
数学、计算机解
为什么要进行仿真
• 实际系统建立之前，要对系统的行为或结果进行分析研究； • 有些真实系统做实验会影响系统运行，例如，在生产中任
意改变工艺系数可能导致废品，在经济活动中随意将一个 决策付诸行动会wenku.baidu.com致经济混乱；
• 在系统上做多次试验，很难保证每次试验的操作条件相同， 因而对实验结果好坏很难作出正确的判断；
据Bernoull(伯努利)大数定理，
有 x
0
1
lim p{| k p | } 1
n
n
即，当实验次数n充分大时，频率和概率之差小于任意数ε 的概率趋于1。
而另外一方面由几何概型有
p

事件A的测度 样本空间的测度

4
在实际操作中，实验次数n不可能趋于无穷大，所以有
p 4p 4k
优方案。
仿真的基础
• 概率论的大数定理； • 微积分基础； • 各种分布：在matlab模拟中，常用的随机分布为unif(均
匀分布),exp(指数分布),norm(正态分布),chi2(χ2分布),t(t 分布),f(F分布),bino(二项分布),poiss(泊松分布),unid(整 数均匀分布)； • 有关分布的计算功能：pdf(概率密度),cdf(分布函 数 ),inv(逆概率分布),stat(均值与方差),rnd(随机数生成)； • 将分布与计算功能结合在一起，就是实现某种及算功能， 例如，expinv就是计算指数分布的逆分布。