连续介质力学基本理论物理量的不变性表示

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3.连续介质力学

2 变形和运动
( X , t)
在初始域和当前域域之间的映射
初始构形当前构形
X X iei X iei
i 1
n SD
材料点的位置矢量
x xi e i xi e i
i 1
n SD
ei 直角坐标系的单位基矢量，xi 位置矢量的分量。
2 变形和运动
运动描述
空间坐标
x Φ X , t 或 x i i X , t
t
2 t 2
, ,
y 2 t 21 at sin y 3 t 1 bt cos
t
2
(1)
t
2
求解变形梯度和Jacobian行列式为时间的函数，当Jacobian行列式保持常数时求出a和b的值。
2 变形和运动
解：
三角形3节点线性位移单元的构形
x ξ , t x I t I x1 t 1 x2 t 2 x3 t 3 y ξ , t y I t I y1 t 1 y 2 t 2 y3 t 3
f x, t d

0
f ΦX, t , t Jd 0
或

fd
0
fJd 0
二维域
f x, y dxdy

0
f X , Y JdXdY
Jacobian行列式的材料时间导数给出为
DJ Jdiv v J vi J Dt xi
sin r x cos r y
空间坐标
v x R R T x xT xT Ω x xT xT

第四章连续介质力学的基本定律

br 0 b 0
bz 0
在球面坐标系中，平衡方程可化为：
T rr r
1 T r r
1 T r

1
T r
r sin

1 r
2 T
1
rr
cot T r T T b r 0
f fb fc
其中
fb

V
bdV
tdS
fc

S
物体的动量为：
m
V
vdV

Dx Dt dV

V

V
adV

S
tdS

V
bdV
可将上式改写为：

S
n TdS
V
bdV

V
adV
利用高斯公式，得到：

即：
V
T dV
左边两项分别表示连续介质的动能和内能的时间变化率
右边分别表示接触力和体力所做的功率
DK Dt

V
D : T dV

S
t v dS

V
b v dV
若令U表示内能，则能量方程也可简洁地写成：
DK Dt DU Dt DW Dt

即：
动能变化率+内能变化率=外力作用功率表示接触力和体力的功率

v y y

v z z

0
在柱面坐标系中，连续性方程为：
t
1 rv r r

【2019年整理】连续介质力学-第四章1

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★Lagrange 坐标系中的连续方程
t 在Lagrange坐标系中，考察同一个流体微团,在时刻 1 和 t 时刻 2 的两个位置：
1．在 t1 时刻 , 流体的封闭面为A1，体积为Γ1
而在 t2 时刻，流体的封闭面为A2 ，体积为Γ2
在Lagrange描述中,采用变量是 a1a2 a3t 则在时刻 t1
利用输运公式可以在Euler描述的时空坐标系中
建立对有限域内的基本守恒律(积分型方程)以
及微元体内的基本守恒律(微分型方程).
15
Euler描述的基本守恒律微分型方程的推导：
DI Dt
D Dt
dV
V*
V*
(
t
V
)dV
*
V*
V dV
*
V*
(
t
V
V )dV
*
V*
[
t
(
V )]dV
3. 性质：
l质量体的边界面形状将随时间变化（可以发生
运动、变形等）
l 边界面上无质量交换——热力学中的闭系统
l边界上可存在力的作用以及能量（热，动）的
交换；
2
（二）质量体(闭系统）上的守恒律描述—— 经典力学守恒律描述。
1.质量守恒：原理：若不存在质量源(汇), 则质量体（闭系统）内的总质量不随时间而变化(物质不灭定律
t
V
A
(n V )dA
FdV PdA
V
A
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★微分型方程：
对于动量方程，关键是对表面力的面积分
项： PdA 的处理
A
考虑到表面力与应力张量的关系：
P
n
PdA
n

连续介质力学

矢量与张量
连续介质力学基础
克罗内克符号(Kronecker delta)
ij
1 0
i i
j j
1mam 1a 1 11a 2 21a 3 3 a 1
a a 2mam 2a 12a 2 22a 3 a 2 im m
i
3mam3a 13a 2 23a 3 3 a 3
如果e 1 ，e 2，e 3 是相互正交的单位矢量，则有 ei e j ij
变到 x1, x2 , x3 时，它们又是如何变换的。
如果变量系在变量xi中只有一个分量Φ，在变量 x 中i 只有一
个分量，并且在对应点，Φ 和相等，则称为数量场。
(x1,x2,x3) (x1,x2,x3)
矢量与张量
连续介质力学基础
数量、向量和张量的解析定义
如果变量系在变量xi中有三个分量 i ，在变量x i 中有三个分
/
ei )
xi/ ijxj
矢量与张量
连续介质力学基础
一般坐标变换
一组独立的变量x1, x2, x3 可以一点在某一参考标架中的坐标。
通过方程 xi fi(x1,x2,x3) 把变量x1, x2, x3 变成一组新的变
量 x1, x2 , x3 这就规定了一个坐标变换。
逆变换 xi gi(x1,x2,x3)
绪论
连续介质力学基础
连续介质力学中的“基元”
时空系：
时间和空间是运动物体的客观存在形式。空间表示物体的形状、大小和相互位置关系；时间表示物体运动过程的顺序。
为描述物体的运动，需要在时间和空间中选取一特定的标架，作为描述物体运动的的基准，这种标架称为时空系。
绪论
连续介质力学基础
连续介质力学中的“基元”

连续介质力学(固体力学)讲解

力以及它们与固体、液体及气体的平衡、变形或运动的关系。
连续介质力学连续介质力学（Continuum mechanics）是物
理学（特别的，是力学）当中的一个分支，是处理包括固体和流体的在内的所谓“连续介质”宏
观性质的力学。
3
固体：固体不受外力时，具有确定的形状。固体包括不可变形的刚体和可变形固体。刚体在一般力学中的刚体力学研究；连续介质力学中的固体力学则研究可变形固体，在应力，应变等外在因素作用下的变化规律，主要包括弹性和塑性问题。
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二、现代力学的发展及其特点
1、现代力学的发展
材料与对象：金属、土木石等新型复合材料、高分子材料、结构陶瓷、功能材料。
尺度：宏观、连续体含缺陷体，细、微观、纳米尺度。
实验技术：电、光测试实验技术全息、超声、光纤测量，及实验装置的大型化。
10
应用领域：航空、土木、机械、材料生命、微电子技术等。
使工程结构分析技术；（结合CAD技术）监测、控制技术（如振动监测、故障诊断）；工程系统动态过程的计算机数值仿真技术；广泛应用至各工程领域。
材料设计：按所要求的性能设计材料。(90年代)
13
智能结构： 90年代开始，力学与材料、控制（包括传感与激励）、计算机相结合，研究发展面向21世纪的、具有“活”的功能的智能结构。
塑性：应力作用后，不能恢复到原来的形状，发生永久形变。弹性：应力作用后，可恢复到原来的形状。流体：流体包括液体和气体，无确定形状，可流动。流体最重要的性质是粘性（viscosity，流体对由剪切力引起的形状的抵抗力，无粘性的理想气体，不属于流体力学的研究范围）。从理论研究的角度，流体常被分为牛顿流体和非牛顿流体牛顿流体：满足牛顿粘性定律的流体，比如水和空气。非牛顿流体：不满足牛顿粘性定律的流体，介乎于固体和牛顿流体之间砄物质形态。

第六章-连续介质力学基础

连续介质力学基础物质坐标和空间坐标对于有限个质点组成的质点系统，我们可以采用给质点编号的方式区分各个质点;对于有无限个质点组成的系统，我们就采用坐标识别系统中各个物质点。

用于标示质点的坐标称为物质坐标132(,,)ξξξ；为了区分，我们将表示空间中几何点的坐标312(x ,x ,x )称为空间坐标。

两种坐标是通过连续体的运动联系起来的：如果在时刻t 质点132(,,)ξξξ占据空间位置312(x ,x ,x )，则二者之间具有函数关系：k k 123x x (,,,t)=ξξξ这个函数描述了物质点132(,,)ξξξ的轨迹。

由于同一时刻不同物质点不能占据同一位置，这个函数必须是一一映射的，其反函数存在并且唯一：k k 123(x ,x ,x ,t )ξ=ξ 其意义为t 时刻几何点312(x ,x ,x )在物质点132(,,)ξξξ的轨迹上。

因此，质点的位置、速度等物理量都可以等价地用物质坐标或空间坐标描述，分别称为物质描述和空间描述；物质描述侧重于物理量的变化规律，空间描述侧重于物理量的空间分布。

前者适合于固体力学，后者适合于流体力学。

在物质点的轨迹所覆盖的区域内，同一时刻的空间每一个几何点都唯一地属于某个物质点的轨迹，因而物质坐标也可看作为描述空间位置的一种特殊的曲线坐标。

物质坐标系基底矢量：i i ˆ∂=∂ξrg空间坐标基底基矢量：i i x∂=∂r g两者之间的转换关系为：k k i k i k i i x x ˆx ∂∂∂∂===∂ξ∂∂ξ∂ξr r gg ； j jm m ˆx ∂ξ=∂g g k k i k i i k i ˆx x x ∂∂ξ∂∂ξ===∂∂∂ξ∂r r g g； j jm m x ˆ∂=∂ξg g 物质导数保持物质坐标不变时，张量T 随时间的变化率称为张量的物质导数，记作D DtT或T 。

对物质描述的张量，物质导数就是对时间的偏导数；对空间描述的张量，物质导数是对时间的全导数。

连续介质力学

连续介质力学的应用领域包括：工程力学、流体力学、固体力学、生物力学等。
连续性假设：假设介质是连续的没有空隙或裂缝
各向同性假设：假设介质在各个方向上都是相同的
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均匀性假设：假设介质在各个方向上都是均匀的
小变形假设：假设介质的变形很小不会影响其物理性质
流体：不可压缩、连续、无固定形状的物质如空气、水等
多尺度连续介质力学：研究不同尺度下的连续介质力学问题如分子动力学、介观力学等
跨学科连续介质力学：与其他学科交叉如生物力学、环境力学等
计算连续介质力学：发展高效的计算方法和软件解决复杂问题如流体动力学、固体力学等
PRT SIX
连续介质力学是研究流体和固体力学的重要学科
连续介质力学的特点包括：连续性、守恒性、对称性等
研究方法：数学模型、数值模拟、实验验证等
研究对象：连续介质如液体、气体、固体等
基本概念：应力、应变、位移、速度、加速度等
应用领域：工程力学、流体力学、固体力学等
PRT THREE
弹性力学的定义：研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布的学科弹性力学的基本假设：连续性假设、小变形假设、均匀性假设、各向同性假设弹性力学的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程弹性力学的应用：工程结构设计、地震工程、材料科学等
,
汇报人：
CONTENTS
PRT ONE
PRT TWO
连续介质力学是研究连续介质（如液体、气体、固体等）在力作用下的变形、流动和应力分布的学科。
连续介质力学的研究内容包括：应力、应变、变形、流动、热传导等。
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力学讲义第六章连续介质力学

第六章连续介质力学连续介质模型：物质（气,液,固）连续地分布在它们所占有的区域内连续介质质元: 宏观小, 微观大物质讨论宏观力: 包括外力以及外力作用下形变or 运动引起内部的弹性恢复力讨论内力的一般方法：假想将其切开,切下部分的作用由内力代表；由平衡条件求力.例: (不计重力)连续介质是比质点、刚体更普遍的经典力学模型，应用也最普遍。

物理状态量在连续介质模型下成为点函数. 不计微观内力 §6.1 应力和应变6.1.1 应力固体为例截面π , 方位 n ; P 处邻域 ∆S 上张力∆TP 处应力σ = lim ∆∆ TS = d T /dS =σ(P, n ) =σt +σn正应力(法向应力, 张力) σn 单位：P a (压强)(>0为拉应力 ; <0为压应力) 剪应力 (or 切应力) σt应力状态：对同一点P 处，方位不同的截面上应力σ不同。

函数关系σ=σP ( n)叫P 处的应力状态. 由平衡方程可以证明，互相垂直的三个截面上的6个应力(正，切应力)就可以完全决定一点处的应力状态 (由此6个应力可以计算出该处任意方位截面上的应力)应力主面: 该面上只有正应力, 称为主应力. 一点处必有三个互相垂直的应力主面6.1.2 应变固体有两种基本的应变形式：线(拉,压)应变 ;剪应变1. 线应变 ε均匀形变 : 长度l , 总形变∆l (截面法向x ) 则 εx = ∆l / l形变不均匀:一点处位移uAB 段形变=∆u x =u x (x+∆x) -u x (x)=∂∂u xx∆x A 处x 方向线应变εx = lim (∆u x /∆x) = ∂u x / ∂x类似: y 方向线应变 εz =∂u y / ∂y z 方向线应变 εz =∂u z / ∂z 一般情况下应变也是点函数, 不均匀形变时各处应变也不相同.应变是位移的空间变化率(位移的偏导数)2. 剪应变以xy 平面为例, 矩形 → 菱形定义：A 点剪应变（xy 平面上，小变形）为 εt = lim （δ1+δ2）= ∂u x /∂x + ∂u y /∂y δ1 ≈tan δ1=B’B’’/A’B’’=[u y (x+∆x) -u y (x)]/∆x → ∂u y /∂x 类似, 当 ∆x →0 , ∆y →0时 , δ2 → ∂u x /∂y3. 体应变均匀形变时, 体应变 εV = 体积增量/体积 =∆V / V不均匀形变时, 讨论一点处体应变一点附近小长方体(∆x,∆y,∆z) 小形变后为[(1+εx )∆x ,(1+εy )∆y, (1+εz )∆z] V=∆x ∆y ∆z ∆V ≈(εx +εy +εz )∆x ∆y ∆z 小变形 εV =εx +εy +εz 剪应变引起的体应变为高阶小量.自然状态无内力内力与外力平衡F F 内∆S →0 ∆x →0∆x →0∆y →0 y+∆侧平面)∆ll x∆x)6.1.3 胡克定律——应力和应变的关系 1678年胡克提出单向拉伸时 ε ∝ σ , 后来推广到三维 (实验定律) 1. 单一正应力引起的线应变 σx 引起纵向线应变 εx = σx /Y 横向线应变εy =εz = -μεx = -μσx /Y Y —杨氏模量(压强量纲)μ ——泊松比(无量纲) 0≤ μ ≤ 0.5 σy , σz 的贡献类似 2. 总线应变与正应力的关系——广义胡克定律(在一定的形变范围内—比例极限) εx =1Y [σx -μ(σy +σz )] εy =1Y [σy -μ(σx +σz )] εz =1Y [σz -μ(σx +σy )] 3. 体应变与正应力εV =εx +εy +εz =(1-2μ)(εx +εy +εz )/Y ≡ σ0/K σ0≡(σx +σy +σz )/3 K=Y/[3(1-2μ)] K —体弹性模量由4. 剪应变与剪应力εt =σt /G G —剪切弹性模量5. 各向同性固体只有两个独立的弹性模量, Y 、G 、K 、μ中只有两个独立K= Y / [3(1-2μ)] G=Y /2(1+μ) < Y一般 μ ≈ 0.35 G 、K 、Y 的量级为1010 —1011 P a , 差别不太大部分材料的弹性模量材料铝铜金电解铁铅铂银熔融石英聚苯乙烯 K 7.8 16.1 16.9 16.7 3.6 14.2 10.4 3.7 0.41 G 2.5 4.6 2.85 8.2 0.54 6.4 2.7 3.12 0.133 Y 6.8 12.6 8.1 21 1.51 16.8 7.5 7.3 0.36 μ 0.355 0.37 0.42 0.29 0.43 0.30 0.38 0.17 0.353 说明： K 、G 、Y 的单位为1010P a补充题4. 矩形截面杆在轴向拉应力σz =2.0⨯105 P a作用下变形,已知Y=19.6⨯1010 P a , μ=0.3 .求：εV 补充题5. 矩形悬臂梁的一端有作用力P.已知l =2 m, h=20cm,梁宽b=5 cm ,P=1000kg 力, 求梁内最大正应力§6.2 固体拉伸.弯曲.扭转讨论三种情况下的应力状态，计算应力与应变 6.2.1等截面直杆的拉压圆形截面直杆；两端均匀压强p (拉>0；压<0)横截面 σz =p σt =0 应力状态: 与z 轴互垂两面上 σR =σφ=0 ——单向应力状态 ∴ σz =p= Y εz = Y ∆l / l 均匀形变弹性形变势能: E P = ⎰ F 外du = ⎰0∆lSY u ldu=YS ∆l 2 / 2l u 为z 方向位移, S 为横截面积(近似不变) 弹性形变势能密度 e P =E P /V=12Y εz 2 =12σz εz (也适于不均匀形变) 说明：其他均匀截面直杆σR ≈0 σφ≈0 可以近似按圆杆处理6.2.2 矩形梁纯弯曲矩形梁(高h,宽b) 力偶矩M纵向画线弯曲:上短—压; 中不变—中性面; 下长—拉横截面上 σx , σt =0应力状态: σy =σz =0——单向应力状态M ⇒ 应力σx , 形变θ0P 处：εx= lim (PP’-oo’)/oo’= lim[(ρ+y)∆θ-ρ ∆θ]/ρ ∆θ=y/ρ σx =Y εx =Yy / ρ ∝ y 下面求ρ 横截面上：∑F =0 (∴中性面正在中点)∆θ→0 ∆θ→0 p z φM 内= ⎰y σx dS = Y ⎰ y 2 dS /ρ ≡YρI z =(应该)= M ——柏努力. 欧勒定律∴ Y/ρ = M/I z σx =M I z y σx max =M I z 2h ρ=YI z /M θ0 = l /ρ(θ0 为转角,代表形变；l 为中性面的长度) 定义对z 轴惯性矩 I z ≡ ⎰y 2 dS 对矩形截面 I z =2b ⎰02h /y 2dy =112bh 3 为节约材料：h ↑ , b ↓ ; 减少中性层还有鸟骨、麦杆…说明：(1)其他形状截面的梁在力偶矩作用下弯曲时,σy ≠ 0 σz ≠0, 非单向应力状态，但σy ≈0 σz ≈0 ,与单向应力状态偏差不大，可以近似按单向应力状态计算(2)非力偶矩作用时,一般可以忽略剪应力，近似按纯弯曲处理：(不计重力) 悬臂梁M 内=M(x)=P(l -x)简支梁 x ∈(0,l /2) M 内=M(x)= P x/2仍有: σx (x)=M(x) y/I z ρ(x) =YI z / M(x) 注意:σx (x),ρ(x),M(x)不再是常数 (3)仍有：e P =12Y εz 2 =12σz εz6.2.3 圆柱扭转表面画上圆周和母线圆周线不变, 横截面保持平面——横截面上 σtR =0应力状态: 横截面上 σt =σt φ σz =0 (只有M) σR =σφ=0 横截面上形变：圆周处εt (R)=R φ /h r 处εt (r)=r φ /h ∴ σt (r)=Gr φ /h ∝ r下面求φ M 内= ⎰ σt r dS = ⎰0R σt r 2πrdr=12h πGR 4φ ≡D φ =(应该)=M ∴G φ/h=2M/(πR 4) σt (r)= G φr/h M=D φ ∴ σt (r)=24M R πr σt max (r)=2M /πR 3 φ=M/D 扭转弹性系数 D=πGR 4/2h (悬丝扭矩 M=D φ D ∝ R 4/h ) 扭转弹性势能E P = ⎰0φM d φ=D φ2 /2 可证e P =12G εt 2 =12σt εt6.2.4 允许应力.强度计算1. 只有正应力or 剪应力材料极限应力(正or 剪)σj , 许可应力[σ]=σj /K 安全系数=1.4—3.0 — 14材料屈服极限σs 强度极限σb 许可应力 [σ] (kg/cm 2)A 3 2200—2400 3800—4700 1700 16Mn 2900—3500 4800—5200 2300 300#水泥拉21,压210 拉6,压105 红松(顺纹) 拉981,压328 拉65, 压100 注：A 3—普通低碳钢 16 Mn —低合金钢常温、静态、一般工作条件材料中最大应力(正or 剪) 应满足 σmax ≤ [σ] 2. 复杂应力情况——按相应的强度理论计算§6.3 流体静力学——流体力平衡下内应力的分布流体：液,气; 具流动性; 主要讨论液体；设: 连续、均匀6.3.1 静止流体内应力δσt1. 一点处应力状态σt≡0 只有正应力σ , 且正应力大小与截面无关σ( n)≡σ证: 因为可流动流体静摩擦力=0 ∴σt≡0如图四面体受力平衡设S面上正应力为σ ,x向Sσ⋅x -σx S x=0σ=σ n S=S n S x=S ⋅ x∴σx S x=Sσ⋅x =σS⋅x= σS xσx=σ类似σy=σ=σzx,y,z任选, ∴任意截面上的正应力的大小皆为σ由四面体受力平衡, 从三个坐标平面的应力⇒任意截面S上的应力. 注意：忽略了体积力2. 流体内压强定义：流体内压强为P= -σ(流体中一般没有拉应力,∴σ<0 P>0)说明：(1)压强为标量,严格定义P= -σ0 = (σx+σy+σz) /3(2) 由一点处应力状态, σ与方位无关∴P与方位无关(3) 从证明知,关键σt=0 . 所以对理想流体（无内摩擦）在流动(包括加速流动)时结论也对(4)对粘滞性流体流动时有剪应力，各截面σ不相同.但若σt较小可以忽略，各截面正应力近似相等为σ , P ≈-σ(5) 流体中负压强(拉应力).特定条件（稳定，缓慢过程）下，流体中可出现负压. 水的负压可以达到300atm6.3.2 静止流体平衡方程——临近点处压强关系取小段柱状流体f—单位质量．．上的体积外力x向: [P(x) - P(x+∆x)] ∆S + ρ∆S ∆x f x =0∴∂P /∂x = ρf x类似: ∂P /∂y = ρf y ∂P /∂z = ρf z合起来:∇P = (∂P/∂x) x +(∂P/∂y) y +(∂P/∂z) z = ρf 6.3.3 重力场中静流体1. 流体中压强随高度分布小范围g为常矢量f = (∆m g) /∆m =g = g y ∂P/∂x =∂P/∂z = 0 ⇒P与x,z无关, 在同一高度上P相等∂P/∂y = ρg若ρ为常数(液体or高度差不大的气体)积分得:P(y)=P0+ρgy P0=P(0)不同密度液体(鸡尾酒)的稳定分界面为水平面2. 帕斯卡定律定律：加在密闭液体中的压强等值地传到液体中各处以及壁上.解释: 设压强加在o处,使P0等值地改变，但ρgy 保持不变，所以P(y)随P0同样增加.3. 阿基米德定律定律：浸在流体中物体所受浮力等于物体排开的流体的重量证明：设物体外表面为S .流体对物体作用通过压强体现.∴浮力=⎰-Pd S保持S不变，则浮力不变. 将物体换成流体，该流体应处于平衡，即外界对S的压力之和等于流体重量:⎰-Pd S +m g =0∴浮力= -m g 浮力作用点即该流体重心(一般情况下不是物体的重心)附: 等温理想气体压强随高度的分布已知其密度ρ=cP (c为常数)解: dP/dy = -ρg = -cgP ⎰PPdPP= ⎰y-cg dy 得：P(y)=P0e-cgy又例: 以ω匀速转动的水平试管,内部充满流体. 以试管为参考系, 则惯性离心力为体积力,产生径向压强差.§6.4 流体的定常流动6.4.1 描述流体运动的两种方法1. 两种方法拉格郎日法: 认准各个质元,分别描述其运动状态(r i,v i,a i)及其变化规律r i,v i,a i只是t的函数, v=d r/dt , a=d v/dt ; 应用牛顿定律必须用拉格郎日法. 困难：如何认准？如何跟踪？描述不便欧拉法: 讨论流体场(流体性质场)的场分布∆x)主要是流速场v=v(r,t) . 还有a=a(r,t)P=P(r,t) 压强场……2. 欧拉法中质元的加速度质元加速度a = d v/dt (速度全导数or实质导数)是对一个确定质元速度v(即拉格郎日法中的速度v)的导数.流速场v(r,t)在地点不变下对t的偏导数∂v/∂t ≠a (流速场中同一地点不同时刻的v是不同质点的速度)认准m i :a=d v(x,y,z,t)/dt=∂v/∂t+[∂∂vxdx +∂∂vydy+∂∂vzdz]/dt=∂∂vt+v x∂∂vx+v y∂∂vy+v z∂∂vz=∂∂vt+ v ⋅∇v3. 流体流动的图象表示拉格郎日法: 流体质元的实际运动轨迹——迹线流管——流线围成的细管;流束——流管中流体6.4.2定常流动: v与t无关，v=v(r) ;不定常流动: v与t有关定常流动特点：∂v/∂t =0 a = v⋅∇v≠ 0流线不变,与迹线重和∴迹线也不变P,ρ与t无关是否为定常流与参考系有关设迹线如图. V1,2,3为t1,2,3时刻同一质点的速度.若v与t无关，则v也是速度场中1,2,3点的速度,迹线也是流线. 迹线不变则场中质元数不变，∴ρ不变圆柱在理想流体在匀速直线运动. 在静系中流体为非定常流动，在圆柱参考系中为定常流动§6.6 粘滞流体的流体长时间、长距离、相对速度很大时,粘滞性不可忽略主要讨论层流. 层流：流体分层流动，彼此不混淆流体粘滞性的体现：固、液相对运动时出现摩擦力;液体内部流速不同，各层之间出现摩擦力6.6.1流体的粘滞性板A匀速直线运动引起层流,各层之间粘滞力fz层假想剖面∆S, 两侧粘滞力∆f牛顿摩擦定律:(实验定律) ∆f ∝ (dv/dz) ∆S 即∆f = ηdvdz∆Sdv/dz : z方向速度(空间)变化率(速度梯度)η: 粘滞系数(黏度)温度T↑⇒η↓ (液体) η↑(气体)(f本质: 液体主要来自层之间分子力；气体是通过该层交换宏观定向动量)[η]=ML-1T -1SI(MKS)制为Pa ⋅s CGS制为“泊”1泊=0.1 Pa⋅s η/ρ——运动黏度(比黏度)满足牛顿摩擦定律的流体——牛顿流体(否则叫非牛顿流体—少数如血液)6.6.2 粘滞流体的运动规律1. 动力学方程(介绍) 纳维—斯托克斯方程(Nevier,M. , Stokes,G.G.)-∇P+ρf+η∇2 v = ρ (d v/dt)2. 修改后的伯努力方程定常流动，不可压缩，沿流管(有粘滞性) 由功能原理dW粘1→2 +(P1-P2)dV = dE= (dm v22/2+dm gz2)-(dm v12/2+dm gz1)dm=ρdV∴ P1+ρv12/2+ρgz1=P2+ρv22/2+ρgz2 +w12——修正后的伯努力方程∆t)∆t)m i运动轨迹m质点t2t时刻:3流线w 12 = -w 粘1→2 = dW 粘1→2 /dV >0 为单位体积．．流体克服．．粘滞阻力做的功水平均匀细管中: v,z 相同， P 1 -P 2=w 12=P 2 -P 3=…=P 0’-P 1=ρg(H 1-H 2)=…=ρg ∆H=ρg(H 0’-H 1) ∴P 0’-P B =P 0’-P 0=ρgH 0’=w 细管将液面A 与出口B 联系:P 0+ρgH 0+0=P 0+0+ρv 2/2+w 细管+w 粗管∴ρv 2/2=ρg(H 0-H 0’) -w 粗管=ρgh 0-w 粗管≈ρgh 0 v ≈(2gh 0)1/2w 细管, w 粗管分别是单位体积流体在细管和粗管中流动克服阻力做的功∴粘滞流体水平均匀流动必有压强差——流水水面不水平 , 熔岩流动高度差很大3. 哈根—泊肃叶(Hagen,G. , Poiseuille, J.L.M.)方程——水平圆管层流哈—泊定律由哈根1839年实验证实, 后为泊肃叶1842年独立发现水平圆管, 定常流动柱坐标(r,φ,z)v z 与r,φ无关v =v z (r)z d v /dt=0忽略体积力f =0 , 流线平行直线, ∴同一横截面上P 相同对小圆柱, 1、2两横截面上对应处速度相同 ∴合外力为零即 (P 1-P 2)πr 2 + ηdv drz⋅2πr l =0 (f 粘为-z 方向, dv z /dr<0 ∴取 “+”)⎰0v r z ()dv z = ⎰R r -12ηl(P 1-P 2)r drv z (r)= (P 1-P 2)(R 2 -r 2) / (4ηl ) Q V = ⎰ v ⋅ d S = ⎰0Rv z 2πr dr = π(P 1 -P 2)R 4 / (8ηl ) ——哈—泊公式由此可以讨论石油、天然气、水输送问题（管径、压差与流量）;隧道、河流的流量…平均流速 v =Q V /S= (P 1 -P 2)R 2 / (8ηl ) P 1 -P 2=8ηv l R -2 ∝ l R -2,l光滑金属管光滑同心环缝滑阀口Re C2000—2300 1100 260例. 日常生活. 水管d=0.025m Re C =2000 1atm 20︒C时η=1.0⨯10 -3Pa⋅ s 则临界水流速v C = ηRe C /ρd = 0.079 m/s∴一般管流为湍流。

数学物理的连续介质力学方法

数学物理的连续介质力学方法连续介质力学是研究物质的宏观性质和运动规律的一门学科，它是数学物理学的重要分支之一。

在连续介质力学中，我们将物质视为连续的，而不是离散的粒子。

通过建立数学模型和方程，我们可以描述物质的运动、变形和相互作用等现象。

在这篇文章中，我们将探讨数学物理的连续介质力学方法。

1. 连续介质的基本概念在连续介质力学中，我们将物质视为连续的，即认为物质在微观尺度上是无限细小的。

这样一来，我们可以使用连续函数来描述物质的性质和运动规律。

连续介质力学的基本概念包括质点、质点集合、质量和密度等。

通过对这些概念的定义和描述，我们可以建立起数学模型来描述连续介质的力学行为。

2. 连续介质的运动学连续介质的运动学是研究物质运动的一门学科。

在连续介质力学中，我们可以通过定义位移、速度和加速度等概念来描述物质的运动。

通过对这些概念的数学表达，我们可以建立起描述物质运动的方程。

其中，最基本的方程是连续性方程和动量守恒方程。

连续性方程描述了物质的质量守恒，而动量守恒方程描述了物质的动量守恒。

通过求解这些方程，我们可以得到物质的运动规律。

3. 连续介质的变形学连续介质的变形学是研究物质变形的一门学科。

在连续介质力学中，我们可以通过定义应变和应力等概念来描述物质的变形。

应变描述了物质的形状和大小的变化，而应力描述了物质内部的力和应变之间的关系。

通过对这些概念的数学表达，我们可以建立起描述物质变形的方程。

其中，最基本的方程是胡克定律和应力平衡方程。

胡克定律描述了物质的应力和应变之间的关系，而应力平衡方程描述了物质的应力平衡。

通过求解这些方程，我们可以得到物质的变形规律。

4. 连续介质的相互作用在连续介质力学中，物质之间存在着相互作用。

这种相互作用可以通过定义物质的内部能和外部能来描述。

内部能是指物质内部的相互作用能，而外部能是指物质与外界的相互作用能。

通过对这些能量的数学表达，我们可以建立起描述物质相互作用的方程。

《连续介质力学》课件

动量矩守恒定律
描述物质系统动量矩变化规律的定律。
动量矩守恒定律也是连续介质力学中的基本定律之一。它指出在一个没有外力矩作用的封闭系统中，系统的总动量矩保持不变。动量矩是系统动量和位置矢量的乘积，因此这个定律说明系统的旋转运动状态只与系统的初始状态有关，而与时间无关。
能量守恒定律
描述物质系统能量变化规律的定律。
金属材料的疲劳和断裂研究
01
02
03
复合材料的细观结构和力学行为分析
04
无损检测和结构健康监测技术
环境科学
01
土壤和岩石的力学性质研究
02
地质工程和地震工程中的稳定性分析
03
生态系统和自然资源的可持续性发展研究
04
环境流体力学的模拟和分析
06
连续介质力学的未来发展
新材料与新结构的挑战
新材料特性
能量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它在连续介质力学中也有重要应用。这个定律指出在一个封闭系统中，系统的总能量保持不变。能量的形式可以包括动能、势能、内能等，但不论能量的形式如何转化，总量始终保持不变。
熵增原理
描述系统无序程度变化规律的定律。
熵增原理是热力学中的基本定律之一，它指出在一个封闭的热力学系统中，系统的熵（表示系统无序程度的物理量）总是趋向于增加。也就是说，系统总是倾向于向更加混乱和无序的状态发展，而不是向更加有序和有组织的状态发展。这个原理在连续介质力学中也有重要的应用，例如在研究流体和热传导等问题时需要考虑熵增原理的影响。
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• 连续介质力学概述 • 连续介质力学的基本概念 • 连续介质力学的物理定律 • 连续介质力学的数学模型 • 连续介质力学的应用领域 • 连续介质力学的未来发展

连续介质力学几个定律汇总

第二章连续介质力学的基本定律在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。

本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。

2.1 应力矢量与应力张量在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。

在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。

在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。

在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。

柯西假设在运动过程中的时刻t 对于任何物质坐标X 和与之对应的接触面S 上的单位法矢量n ，表面力的存在形式为()n t X t t ,,= (2.101) 通常，我们规定()n t X t t ,,=指向接触面S 的外法向时为正，反之为负(见图2.1). 现在不管在X 和S 面与S'面的曲率相差多少。

为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面S 截断成两部分A 和B ，如图2.3所示。

此时S 面就是A 和B 相互作用的接触面，B 部分对A 部分一点的作用，便可以用A 部分截面上的表面力t n 来表征，我们称之为应力矢量。

反过来，考虑A 部分对B 部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量t n -。

它与t n 作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。

即t t n n =- (2.102) 对于物体内部的一点P ，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。

连续介质力学

一、引论连续介质力学研究物体的宏观力学微观粒子性质.在宏观现象中,物体变化的最小特征尺度远大于原子的尺度,虽然物理上物体是物质点的集合,质量连续性假设对物休的宏观力学过程的研究却是合理的,在连续介质力学中可以对物体进行无限的分割,也就是说,可以用场的观点来描述物体的内部变化和作用过程.质量连续性假设要求物体连续地充满它所占据的空间,即可以用三维欧氏空间的一个开集表示物体的客观存在、指示其位置.开集中的一点表征占据该位置点的一个微小介质团,这样的介质团我们称之为物体单元,开集中所有点表征的物体单元组成了物体.若要用严格的数学理性推演连续介质力学,必须知道物体单元在数学上的确切涵义,即要回答: 表征物体单元的点是开集还是闭集?若是闭集,则物体单元表现为数学上离散的点,物体是连续点的集合,可以用构形（物体在空间所占的区域）表示;若是开集,则物体单元表现为数学上点的无穷小邻域,物体是作为拓扑基的所有点邻域的并集,可以用微分流形（容许拓扑结构改变的物体表示空间）表示.从逻辑上看,目前的连续介质力学是从经典质点力学类推得出的,它一方面把物体看作连续的质点系,物体单元具有离散特征,一方面又以场的观点看待物体的内部变化和受力,物体单元变化特征要求是连续的.在质量连续性假设下,物体单元虽然宏观意义上可以看作无穷小但总还是有尺度内涵的,即具有连续性适用的典型尺度,而经典力学中的质点却没有尺度内涵德冈辰雄指出“, 连续介质无论怎样分割也不会成为质点,质点无论怎样连续也不是连续介质”我们知道,经典力学中的质点在数学上表现为三维欧氏家间中的一点（闭集）,把表征物体单元的数学上的点看作闭集,无异于沿用质点力学的观点,抹杀连续介质与质点系的区别,这样导出的连续介质力学（简称为质点观点的连续介质力学）是质点观点和场观点的大杂烩,这样的一种结合虽然使连续介质力学在其发展过程中可以同时借鉴经典力学和场论的一些成果,却妨碍了连续介质力学的现代发展,比如运用场论的现代发展—规范理论于连续介质时就显得不伦不类.实际上,质点观点在赋予物体变化连续性的同! 讨,对物体的表示空间强加了过分的约束.限制了场的观点的发挥,使连续介质力学在描述物体复杂宏观力学过程时困难重重.为了使连续介质力学摆脱质点观点的限制,.采用与现代场论一致的基本观点,物体单元用数学上的开集表示是必须的,这时连续性可以用邻域而不是距离定义从而与拓扑学的概念一致,称之为拓扑观点.我们知道,拓扑学是现代微分几何的概念基础,现代微分几何是规范场论的数学基础,因此,拓扑观点的连续介质力学是连续介质的纯粹的场理论,它可以容许物体空间拓扑结构的改变,能够刻划物休的复杂变化过程.可见,物体单元的开集表示与场的现代观点是同气共枝的,由此导出的理论保证了数学概念上的连贯、逻辑上的统一,并且能接纳耗散结构作为物体复杂变化的物理基础.二、流动与变形物体的流动由物沐单元的运动组合而成,物体的变形由物件单元的变形组合而成.物体单元不同于质点: 物体单元的开集表达隐含着单元具有尺度内涵,作为开集的点不仅有平移特征还有方向特征和尺度特征,从而可以独立地体现介质的变形和转动.物体单元的这些特征预示着单元的变形和单元的运动是两个不同的变化过程,物体单元的变形表现为点（及其邻域）的特征的改变,包括尺度的改变和方向的改变,物体单元的运动则表现为点（及其邻域）的平移（空问位置的改变）和转动（方向的改变）,可见,单元的变形与其空间位置无关,单元的运动与其尺度特征无关.与此不同,作为闭集的点不具备尺度特征和方向特征,不能独立地体现介质的变形和转动,介质的变形是通过介质点之间距离及相对方位的改变体现的,介质的转动也是通过不同介质点之间的方位关系体现的,这就客观上对物体表示空间提出了要求,难以刻划复杂的变形过程,而单元的运动由于缺乏方向性,对物休单元具有曲线运动的流运过程就无法准确把握.三、局部与整体物体的局部变化是指组成物休的各个单元的变化,物体的整体变化是指物体整体特征或性质的变化.物体单元的变化除了运动和变形外,还有该单元的相邻其它单元的物质交换,这种交换可能是微观的（分子级的）,也可能是细观的（源于结构的变化并具有耗散结构尺度的）,一般物体单元的转动不均匀性会严重影响这种交换过程;物体的整体变化不仅包括组成物体的各单元的变化,还包括物体表示空间的拓扑结构的变化,后者可以用单元问的变化联络关系表达.一般来说,物体的整体变化不能用其局部变化的直和表示.质收观点的连续介质力学限制了物体空间性质的改变,各个变化阶段的物体的表示空问要求是拓扑等价的,物体单元变化的直和等价于物体的整体变化,因此客观上要求:l）单元间的物质交换与方一向无关;2）单元的尺度变化与方向无关,也就是说,物体单元的变化是各向同性的,这相当于平直层流和均匀变形或者转动影响可忽略的微小变形的情况.在大多数宏观现象中,物体实际变化状态不满足上述要求,质点观点的连续介质力学不再适用,必须用拓扑观点考察物体单元间的变化联络关系的影响,全面研究物体的整体变化过程.四、内应力物体的变形使物体的各部分之间存在相互作用,物体这种反抗变形的内部作用称为内应力,包括应力和应力偶.具体而言,在各物件单元的表面作用有应力和应力偶,这种作用不仅与该单元的纯变形有关,还与该单元的相对转动（净转动）有关,这样,质点观点的连续介质力学中的应力原理必须修正,而非极性物体内应力偶的存在成为可能的了.拓扑观点的连续介质力学给出的非均匀有限变形理论更合理和先进,可统一壳体等转动（方向性）占优的变形理论,并且在这一新观点下,加深了对物体塑性的理解。

连续介质力学概要

46 连续介质力学概要华东理工大学化学系胡英46.1 引言连续介质力学(continuum mechanics)覆盖的领域主要是热的流动、流体的流动或流体力学，以及可变形物体的力学等。

它的主要思想，是为介质的微元体积定义局部的密度、速度和能量，这些局部的性质是空间和时间的连续函数。

作为微元体积，它在概念上必须足够地大，其中包含了许多分子，因而可忽略分子间的不连续性而使用平均值；当然它又必须足够地小，使这些平均值可以随空间坐标连续变化。

连续介质力学的核心是将质量守恒、动量守恒和能量守恒原理应用于微元体积后所得到的一系列基本方程。

这些方程都是偏微分方程，通过对边值问题求解，原则上应该得出流场，即密度、流速和能量随空间的分布，以及流场随时间的演变。

然而这些连续介质力学的基本方程都是非封闭的，需要引入传递现象的基本定律，如费克定律、牛顿定律和傅里叶定律，参见《物理化学》6.2，或更广泛的本构方程，才能使方程封闭然后求解。

这些基本定律或本构方程涉及传递性质或物质函数，它们都是物质的特性，属于物理化学研究的范畴。

知道一些连续力学的知识，将有助于应用物理化学来解决实际问题。

本章将概要介绍连续介质力学的基本方程及其应用，除牛顿流体外，也将涉及非牛顿流体，后者是流变学的研究对象。

在进入主要内容前，先介绍一些基本概念。

1．流体运动的两种表示方法拉格朗日方法它跟踪流体中质点或微团的运动。

开始时，某质点或微团的空间坐标为0r ，或笛卡儿直角坐标0x 、0y 、0z ，时间为t 时，其坐标r 应为0r 与t 的函数，),(0t r r r =，或 ),,,(000t z y x x x =，… (46-1) 相应的速度υ和加速度a 及其分量υx 、υy 、υz 和a x 、a y 、a z ，t d /d r υ=，t x x d /d =υ，… (46-2)46-2 46 连续介质力学概要 22d /d d d t t r υa ==，22d /d d /d t x t a x x ==υ，… (46-3)包括其它物性如压力p 、能量E 等，它们也应是0r 与t 的函数。

连续介质力学简介

连续介质力学简介连续介质力学是研究连续物质的物理性质和行为的学科。

它是一种宏观力学，将物质看作由连续的物质点填充而成，而不是由原子或分子组成。

连续介质力学在工程、物理、数学等领域有广泛应用，包括流体力学、弹性力学、塑性力学等分支。

一、连续介质力学应用领域连续介质力学应用领域非常广泛，包括以下几个领域：1. 工程领域：连续介质力学在工程领域有广泛的应用，如结构分析、地震工程、航空航天、土木工程等。

2. 物理领域：连续介质力学在物理领域有应用，如流体力学、弹性力学、塑性力学等。

3. 天体物理学：连续介质力学在天体物理学中有应用，如星系动力学、宇宙气体动力学、黑洞等领域。

4. 生物学：连续介质力学在生物学中有应用，如血液动力学、神经传导、肌肉运动等。

5. 环境科学：连续介质力学在环境科学中有应用，如流体动力学、水文学、气候学等。

6. 计算科学：连续介质力学在计算科学中有应用，如计算机图形学、计算物理学、计算工程、计算化学等。

在计算机图形学中，连续介质力学方法可以用于流体模拟。

这种方法将流体看作由连续的物质点填充而成，而不是由原子或分子组成。

连续介质力学方法通过求解流体的运动方程和连续性方程来模拟流体的行为。

以下是使用连续介质力学方法进行计算机图形学的流体模拟的步骤：1）. 将流体看作由连续的物质点填充而成，将流体域划分成多个小单元。

2）. 对每个小单元进行受力分析，包括重力、压力、粘力等。

3）. 求解小单元的运动方程和连续性方程，得到小单元的运动状态和密度分布。

4）. 根据小单元的运动状态和密度分布，更新整个流体的状态。

5）. 根据更新的流体状态，重新划分小单元，并重复步骤2-4，直到达到稳定的流体状态。

6）. 将模拟得到的流体状态可视化，如绘制流线、液面等。

在计算机图形学中，连续介质力学方法可以用于模拟各种流体现象，如水流、空气流、血管流动等。

这种方法能够产生逼真的动画和仿真效果，广泛应用于电影制作、游戏开发、可视化等领域。

连续介质力学课件

第五章内容提要
7.位移变分法
⑴瑞利－里茨法：设定位移试函数，
u u (x, y) A u (x, y),
0
mm
m
v v (x, y) B v (x, y),
0
mm
预先满足 su上的约束m边界条件，再满足
瑞利－里茨变分方程，
U
Am
U
B m
A fxum d x d y
sσ
f
u
xm
d
s,
(m 1,2)
f v d x d y f v d s.
A ym
sσ y m
第五章内容提要
⑵伽辽金法：设定位移势函数预先满足su 上的约束边界条件和sσ 上的应力边界
条
件，再满足伽辽金变分方程，
E 2u 1 μ 2u 1 μ 2v
A
[ 1
μ2
E
A
[ 1
μ2
( x2 2v ( y 2
xy
x
f
y
0.
第二章内容提要
（2）几何方程
x
u x
,
y
v y
,
（3）物理方程
xy
u y
xv.
x
1 E
(σ x
σ y ), y
1 E
(σ y
σx ),
xy
2(1 E
) xy .
第二章内容提要
和边界条件：（1）应力边界条件
(lσ x m yx )s f x ,
(mσ y l xy )s f y .
（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。当不记体力时，应力分量的表达式为
σ
ρ
1 ρ
Φ ρ

连续介质力学

目录1简介2基本假设3研究对象4古典连续介质力学5近代连续介质力学6主要分支学科简介研究连续介质宏观力学性状的分支学科。

宏观力学性状是指在三维欧氏空间和均匀流逝时间下受牛顿力学支配的物质性状。

连续介质力学对物质的结构不作任何假设。

它与物质结构理论并不矛盾，而是相辅相成的。

物质结构理论研究特殊结构的物质性状，而连续介质力学则研究具有不同结构的许多物质的共同性状。

连续介质力学的主要目的在于建立各种物质的力学模型和把各种物质的本构关系用数学形式确定下来，并在给定的初始条件和边界条件下求出问题的解答。

它通常包括下述基本内容：①变形几何学，研究连续介质变形的几何性质，确定变形所引起物体各部分空间位置和方向的变化以及各邻近点相互距离的变化，这里包括诸如运动，构形、变形梯度、应变张量、变形的基本定理、极分解定理等重要概念。

②运动学，主要研究连续介质力学中各种量的时间率，这里包括诸如速度梯度，变形速率和旋转速率，里夫林－埃里克森张量等重要概念。

③基本方程，根据适用于所有物质的守恒定律建立的方程，例如，热力连续介质力学中包括连续性方程、运动方程、能量方程、熵不等式等。

④本构关系。

⑤特殊理论，例如弹性理论、粘性流体理论、塑性理论、粘弹性理论、热弹性固体理论、热粘性流体理论等。

⑥问题的求解。

根据发展过程和研究内容，客观上连续介质力学已分为古典连续介质力学和近代连续介质力学。

基本假设连续介质力学的最基本假设是“连续介质假设”：即认为真实的流体和固体可以近似看作连续的，充满全空间的介质组成，物质的宏观性质依然受牛顿力学的支配。

这一假设忽略物质的具体微观结构（对固体和液体微观结构研究属于凝聚态物理学的范畴），而用一组偏微分方程来表达宏观物理量（如质量，数度，压力等）。

这些方程包括描述介质性质的方程（constitutive equations）和基本的物理定律，如质量守恒定律，动量守恒定律等。

研究对象固体：固体不受外力时，具有确定的形状。

连续介质力学引论

流体运动学
断裂力学
流体动力学
用哲学上的一个比喻：连续介质力学是“共性”，它的研究具有一般性；弹塑性力学等是“个性”。
连续介质的运动学
1.物质坐标
P(t) P(t0)
X
x
0
那么有如下形式：
x x( X, t )
(3.1) 就描述了在t=t0是位于X的每个质点的轨迹（对于不同的质点，X不同）。
二连续介质力学关于上述连续体的力学即为连续介质力学1连续介质理论物质是由许多微小的粒子组成的所以物质并不是连续的但是在很多情况下为了描述宏观现象间的关系而不考虑微观尺度上物质结构的理论称为连续介质理论
连续介质力学引论
绪论
一、连续介质
1、质量分布密度
设有一定质量的物质充满一定的空间，并设P为空间内的一点。取一系列子空间，使其收敛于P。以 S n 表示第n子空间，其体积为 Vn ，其中的物体质量为M n，则如果
（1）当某个采用物质描述时， θ= θ(X1，X2，X3,t) 那么，
D Dt t
Xi — —固定的
（3.3）
（2）当这个量采用空间描述时， θ= θ(x1，x2，x3,t) 又，xi=xi(X1,X2,X3,t) 于是：
D x1 x2 x3 Dt t X i 固定 x1 t x2 t x3 t t
Mn lim n V n V 0
n
存在，则将此定义为在P点处物体的质量分布密度。
如果在所设空间内各点处都有这样的密度，则质量被认为是连续分布的。同样，可以定义动量密度、能量密度等等。所谓连续介质，即指这样一类物体，它的质量密度、能量密度、动量密度等，从上述意义上说，都是存在的。简单地说，即认为真实的流体和固体是由连续的，充满全部空间的介质组成。

黄筑平,连续介质力学-概述说明以及解释

黄筑平,连续介质力学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述连续介质力学是力学中的一个重要分支，研究的是连续体（连续介质）的宏观运动和相互作用。

连续介质力学最初是为了研究流体和固体力学问题而发展起来的，后来逐渐扩展到其他领域，包括声学、热力学、电动力学等。

连续介质力学的基本概念是将物质视为连续不可分割的整体，在空间上是连续分布的。

通过将物质的宏观性质表示为连续介质场，如速度场、应力场、温度场等，来描述物质的宏观行为。

连续介质力学通过建立方程和边界条件，来描述物质的运动和相互作用。

连续介质力学的研究对象可以是流体、固体或其它物质形态。

在流体力学方面，连续介质力学可以研究流体的运动、压力、速度、密度等性质，包括液体和气体的流体力学。

在固体力学方面，连续介质力学可以研究固体的弹性、塑性、断裂、变形等性质，包括固体的力学性质和变形行为。

连续介质力学在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。

在工程领域，可以通过连续介质力学来设计和优化结构、预测材料破坏、分析流体力学问题等。

在地球科学中，连续介质力学可以用于研究地震波传播、岩石变形等问题。

在生物医学领域，连续介质力学可以用于研究细胞变形、血液流动等生物力学问题。

总之，连续介质力学作为一门独立的力学分支，具有重要的理论价值和广泛的应用前景。

通过深入研究连续介质力学的基本概念和原理，我们可以更好地理解物质的宏观行为和相互作用，为解决实际问题提供理论支持和科学指导。

随着科学技术的不断进步和发展，连续介质力学的应用领域还将不断扩展，为人类社会的进步和发展做出更大的贡献。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括对整篇文章的组织和内容的概述。

1.2 文章结构本文主要围绕黄筑平和连续介质力学展开论述，文章分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分：在引言部分，我们将对黄筑平和连续介质力学进行简要介绍，包括作者的背景和相关研究领域的概述。

同时，我们将介绍本文的目的，即通过探讨连续介质力学的概念、原理和应用领域，强调其重要性和应用价值。

第六章-连续介质力学基础

连续介质力学基础物质坐标和空间坐标对于有限个质点组成的质点系统，我们可以采用给质点编号的方式区分各个质点;对于有无限个质点组成的系统，我们就采用坐标识别系统中各个质点。

用于标示质点的坐标称为物质坐标132(,,)ξξξ；表示空间中几何点的坐标312(,,)x x x 则称为欧拉坐标。

两种坐标是通过连续介质的运动联系起来的：如果在时刻t 质点132(,,)ξξξ占据空间位置312(,,)x x x ，则二者之间具有函数关系：123(,,,)k k x x t ξξξ=由于这个函数必须是一一影射的，其反函数存在并且唯一： 123(,,,)k k x x x t ξξ= 因此，质点的位置矢量、速度等都可以等价地用物质坐标或空间坐标描述：(,)((),)t t =r ξr ξx当我们采用物质坐标时，相应的基矢量：i i ˆξ∂=∂rg当我们采用空间（Euler ）坐标时，相应的基矢量：i i x∂=∂r g 两者之间具有转换关系：k k i k i k ii x x ˆx ξξξ∂∂∂∂===∂∂∂∂r r g g j jm m ˆx ξ∂=∂g g k k i k i i ki ˆx x x ξξξ∂∂∂∂===∂∂∂∂r r g g j jm m x ˆξ∂=∂g g 物质导数质点的速度：D D k kk k(,t )()x (,t )v t t x t ∂∂∂==∂∂∂r r ξr x ξv g 算子D D t称为物质导数（全导数）。

它的含义是保持物质坐标不变时，张量随时间的变化率。

Euler 坐标基底矢量的物质导数：k k mi i ik m k D v v Dt x∂==Γ∂g g g i i kk i m mk k D v v Dt x∂==-Γ∂g g g 物质坐标（Langrange ）基底矢量的物质导数：ˆ(,)()i i D t Dt t ξ∂∂=∂∂gr ξ 欧氏空间中矢量求偏导数的顺序是可以交换的，因此ˆ(,)()i i i D t Dt t ξξ∂∂∂==∂∂∂g r ξv利用协变基与逆变基之间的关系，我们得到：()m i i i m ˆD ˆˆˆˆDt ξ∂=⊗⋅=∇⋅∂g v g g v g ()m i i i m ˆD ˆˆˆˆDt ξ∂=⋅⊗=⋅∇∂g v g g g v Langrange 逆变基底矢量的物质导数可以由逆变基的定义式j j i i ˆˆδ⋅=gg 求得。

连续介质力学基本理论物理量的不变性表示

3.连续介质力学

第四章 连续介质力学的基本定律

【2019年整理】连续介质力学-第四章1

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第六章-连续介质力学基础

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力学讲义第六章连续介质力学

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第六章-连续介质力学基础

第四章连续介质力学的基本定律