回溯法PPT课件
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回溯法_ppt课件
//h(i)表示在当前扩展节点处x[t]的第i个可选值
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
算法设计与分析-第8章-回溯法PPT课件
{ ( ), (1), (2), (3), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3) }
（2）可能解由一个等长向量{x1, x2, …, xn}组成，其中 xi=1(1≤i≤n)表示物品i装入背包，xi=0表示物品i没有装入背包， 当n=3时，其解空间是：
{(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
4 34 2 2 3 4 3 4 13 1 4 24 12 12 3 3 12 1 5 7 10 12 15 17 21 23 26 28 31 33 37 39 42 44 47 49 53 55 58 60 63 65
解向量：由根结点到叶结点的路径所定义
图8.1.1-3 n=4的八皇后问题解空间树
1
1
0
2
1
0
6
9
1
0
10
13
不可行解
1
0
1
0
1
0
8
11
12
14
15
不可行解 价值=20 价值=55 价值=30 价值=25 价值=0
.
15
8.1.2 回溯法的设计思想
TSP问题搜索解空间的方法---应用目标函数剪枝
再如，对于n=4的TSP问题，其代价矩阵如图所示，
∞3 6 7 C= 12 ∞ 2 8
.
21
8.1.3 回溯法的求解过程
简言之：
1) 逐级扩展解向量 x1 ，x2 ， … ， xi-1
xi
2) 动态测试部分解
用 Bi (x1 ， x2 ，… ，xi-1 ，xi) ---剪枝函数动态测试， 判定路径 x1 x2 … xi-1 xi 是否可行。
（2）可能解由一个等长向量{x1, x2, …, xn}组成，其中 xi=1(1≤i≤n)表示物品i装入背包，xi=0表示物品i没有装入背包， 当n=3时，其解空间是：
{(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
4 34 2 2 3 4 3 4 13 1 4 24 12 12 3 3 12 1 5 7 10 12 15 17 21 23 26 28 31 33 37 39 42 44 47 49 53 55 58 60 63 65
解向量：由根结点到叶结点的路径所定义
图8.1.1-3 n=4的八皇后问题解空间树
1
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不可行解
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不可行解 价值=20 价值=55 价值=30 价值=25 价值=0
.
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8.1.2 回溯法的设计思想
TSP问题搜索解空间的方法---应用目标函数剪枝
再如，对于n=4的TSP问题，其代价矩阵如图所示，
∞3 6 7 C= 12 ∞ 2 8
.
21
8.1.3 回溯法的求解过程
简言之：
1) 逐级扩展解向量 x1 ，x2 ， … ， xi-1
xi
2) 动态测试部分解
用 Bi (x1 ， x2 ，… ，xi-1 ，xi) ---剪枝函数动态测试， 判定路径 x1 x2 … xi-1 xi 是否可行。
第5章回溯法PPT课件
二、回溯的一般描述
一旦某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及 x1，x2，…，xj 的一个约束，就可以肯定，以（x1， x2，…，xj）为前缀的任何n元组
（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P 的解。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的 上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
实例—n皇后问题
在一个n×n的棋盘上放置n个国际象棋中 的皇后，要求所有的皇后之间都不形成攻 击。请你给出所有可能的排布方案数。
n
4
5
6
7
8
总数
2
10
4
40
92
n皇后问题
对于n皇后问题而言，我们很难找出很合适的方法 来快速的得到解，因此，我们只能采取最基本的枚 举法来求解。
但我们知道，在n×n的棋盘上放置n个棋子的所有
回溯算法（一）
什么是回溯
入口回溯
▪迷宫游戏
回溯
➢什么是回溯法
回溯
▪回溯法是一个既带
有系统性又带有跳跃
性的的搜索算法
回溯
▪回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。
回溯(Trackback)是什么？
为什么回溯？
怎样回溯？
What
Why
How
一、回溯的概念
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E 中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全 部约束，显然，其计算量是相当大的。
最大团问题-回溯法ppt课件
G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
下图G中，子集{1，2}是G的大小为2的完全子图。这
个完全子图不是团，因为它被G的更大的完全子图{1，2，
5}包含。{1，2，5}是G的最大团。{1，4，5}和{2，3，5}
也是G的最大团。
1
2
3
4
5
01
问题描述
4
03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前，必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前，必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。
8
07 改进
•选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到：从Si+1到Si，如果找到一个更大的团，那么vi必然属于找到 的团，此时有Si=Si+1+1，否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过，就可以确定已经找到最大值，不必再往下搜索了。
1
i=3 cn=2 bestn=0 2
i=4 tn=3
1
i=2 cn=0 bestn=3
2
2
i=3 cn=1 bestn=3
3
4
4
3
3
i=5 cn=2 bestn=0
4
4
下图G中，子集{1，2}是G的大小为2的完全子图。这
个完全子图不是团，因为它被G的更大的完全子图{1，2，
5}包含。{1，2，5}是G的最大团。{1，4，5}和{2，3，5}
也是G的最大团。
1
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5
01
问题描述
4
03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前，必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前，必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。
8
07 改进
•选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到：从Si+1到Si，如果找到一个更大的团，那么vi必然属于找到 的团，此时有Si=Si+1+1，否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过，就可以确定已经找到最大值，不必再往下搜索了。
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i=3 cn=2 bestn=0 2
i=4 tn=3
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i=2 cn=0 bestn=3
2
2
i=3 cn=1 bestn=3
3
4
4
3
3
i=5 cn=2 bestn=0
4
4
计算机算法设计与分析第5章 回溯算法PPT课件
注意：同一个问题可以有多种表示，有些 表示方法更简单，所需表示的状态空间更 小（存储量少，搜索方法简单）。
22.09.2020
15
5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一 般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条 件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}， 所有可能的解向量构成了问题的解空间。
22.09.2020
2
提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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3
提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
17
2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员 要到若干城市去推销 商品，一直各城市之 间的路程，他要选定 一条从驻地出发，经 过每个城市一遍，最 后回到住地的路线， 使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
22.09.2020
13
5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的 解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的 表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入 背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分 量i，当n=3时，其解空间是：
计算机算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms
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5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一 般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条 件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}， 所有可能的解向量构成了问题的解空间。
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提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员 要到若干城市去推销 商品，一直各城市之 间的路程，他要选定 一条从驻地出发，经 过每个城市一遍，最 后回到住地的路线， 使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
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5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的 解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的 表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入 背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分 量i，当n=3时，其解空间是：
计算机算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms
回溯法ppt课件
分析：
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包
如：
当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
第5章 回溯法
学习要点
5.1 回溯法概述 5.2 回溯法的典型示例 5.3 回溯法的效率分析 本章小结
1
5.1 回溯法概述
5.1.1 问题的解空间 问题的解空间 两类典型的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 回溯法的基本思想 算法的框架 例：排列与组合 小结
15
排列树
分析
求赋权图G的具有最小权的Hamilton圈1
1解空间30：
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
4
20
4
34
23
2
当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
16
回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加 xi+2 ；
若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去 掉xi , 回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包
如：
当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
第5章 回溯法
学习要点
5.1 回溯法概述 5.2 回溯法的典型示例 5.3 回溯法的效率分析 本章小结
1
5.1 回溯法概述
5.1.1 问题的解空间 问题的解空间 两类典型的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 回溯法的基本思想 算法的框架 例：排列与组合 小结
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排列树
分析
求赋权图G的具有最小权的Hamilton圈1
1解空间30：
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
4
20
4
34
23
2
当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
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回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加 xi+2 ；
若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去 掉xi , 回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
[计算机软件及应用]第5章算法分析回溯法ppt课件
![[计算机软件及应用]第5章算法分析回溯法ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/5be895db43323968001c920d.png)
• template<typename Type>
• void Loading<Type>::Backtrack(int i) //搜索第i层结点
•{
Байду номын сангаас
• if(i>n) //到达叶结点
•{
•
if(cw>bestw)
•
bestw=cw;
•
return;
•}
• if(cw+w[i]<=c) //进入左子树，x[i]=1
•{
•
cw+=w[i];
•
Backtrack(i+1); //继续搜索下一层
•
cw-=w[i]; //退出左子树
•}
• Backtrack(i+1); //进入右子树，x[i]=0
•}
template<typename Type> Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n) //前往最优载分
A
1
0
B
1
0
C
1
0
D
1
0
E
1
0
F
1
0
G
1
0
H
I
J
K
L
M
N
O
• template<typename Type> • class Loading •{ • template<typename T> • friend T MaxLoading(T [],T,int);
• private: • void Backtrack(int i); • int n; //集装箱数 • Type *w; //集装箱分量数组 • Type c; //第1艘轮船的载分量 • Type cw; //当前载分量 • Type bestw; //当前最优载分量 • };
算法分析与设计回溯法ppt课件
上图显示了在4-皇后问题中求上述一个解的树的实际生成 部分。结点按它们生成的次序被编号。由限界函数所杀死 的结点则在其下方写上B。
回溯法的算法
算法的三个步骤：
针对所给问题，定义问题的解空间；
应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的 解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个 （最优）解。
确定易于搜索的解空间结构； 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜
索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
回溯算法的形式描述
假设回溯算法要找出所有的答案结点而不是仅 仅只找出一个。 ① 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一个 结点(问题状态)的路径。 ② T(x1,x2,…,xi-1)是下述所有结点的xi的集合， 它使得对于每一个xi, (x1,x2,…,xi)是一条由 根到结点xi的路径 ③ 存在一些限界函数Bi(可以表示成一些谓词)， 如果路径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到一个答案 结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，否则取真值。
问题求解的方法
硬性处理法
列出所有候选解，逐个检查是否为所需要的解 理论上，候选解数量有限，并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时，上述方法可行
实际中则很少使用，因为候选解的数量通常都非常大 （比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
避免对很大的候选解集合进行完全检查 大大减少问题的求解时间 通常用来求解规模较大的问题
回溯法求解的经典问题（1） 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后，且使得每两个 之间都不能互相“攻击”，也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ， 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
回溯法的算法
算法的三个步骤：
针对所给问题，定义问题的解空间；
应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的 解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个 （最优）解。
确定易于搜索的解空间结构； 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜
索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
回溯算法的形式描述
假设回溯算法要找出所有的答案结点而不是仅 仅只找出一个。 ① 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一个 结点(问题状态)的路径。 ② T(x1,x2,…,xi-1)是下述所有结点的xi的集合， 它使得对于每一个xi, (x1,x2,…,xi)是一条由 根到结点xi的路径 ③ 存在一些限界函数Bi(可以表示成一些谓词)， 如果路径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到一个答案 结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，否则取真值。
问题求解的方法
硬性处理法
列出所有候选解，逐个检查是否为所需要的解 理论上，候选解数量有限，并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时，上述方法可行
实际中则很少使用，因为候选解的数量通常都非常大 （比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
避免对很大的候选解集合进行完全检查 大大减少问题的求解时间 通常用来求解规模较大的问题
回溯法求解的经典问题（1） 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后，且使得每两个 之间都不能互相“攻击”，也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ， 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
算法课件(四)回溯法
第五部分 第十三章 回溯法
内容
• 问题的状态空间 • 回溯算法设计
– 百钱买百鸡问题 – m着色问题
– n皇后问题
– 哈米尔顿回路问题 – 定和子集问题 – 0-1背包问题 – 旅行商问题
一、 问题状态空间
枚举算法
“如果有一个可行的很笨的办法，那么这个办法不是笨办法”——美国海军陆战队格言
• 用于解析式不易得出的情况。
子集树(Subtree)
排列树(Permutation tree)
26
回溯法的递归函数： backtrack(t) 1.if (t>n) output(x); 2. else for i=f(n,t) to g(n,t){
3.
4.
x[t]=h(i);
if (constraint(t)&&bound(t))
一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问题P的所
有解转化为在T中搜索问题P的所有解。
• 在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态 空间树
• 设 Si中的元素（xi∈Si）可排成xi(1) ，xi(2) ，…，
xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，…，n。从根开始，
让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿
• 另外，对于任意的0≤i≤n-1，E中n元组（x1，
x2，…，xn）的一个前缀i元组（x1，x2，…，xi）
对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶
子结点的路径上依次的i条边的权分别为x1，
x2，…，xi，反之亦然。 • 特别地，E 中的任意一个n元组的空前缀（），对 应于T的根
• 因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索
死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点 R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩
内容
• 问题的状态空间 • 回溯算法设计
– 百钱买百鸡问题 – m着色问题
– n皇后问题
– 哈米尔顿回路问题 – 定和子集问题 – 0-1背包问题 – 旅行商问题
一、 问题状态空间
枚举算法
“如果有一个可行的很笨的办法，那么这个办法不是笨办法”——美国海军陆战队格言
• 用于解析式不易得出的情况。
子集树(Subtree)
排列树(Permutation tree)
26
回溯法的递归函数： backtrack(t) 1.if (t>n) output(x); 2. else for i=f(n,t) to g(n,t){
3.
4.
x[t]=h(i);
if (constraint(t)&&bound(t))
一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问题P的所
有解转化为在T中搜索问题P的所有解。
• 在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态 空间树
• 设 Si中的元素（xi∈Si）可排成xi(1) ，xi(2) ，…，
xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，…，n。从根开始，
让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿
• 另外，对于任意的0≤i≤n-1，E中n元组（x1，
x2，…，xn）的一个前缀i元组（x1，x2，…，xi）
对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶
子结点的路径上依次的i条边的权分别为x1，
x2，…，xi，反之亦然。 • 特别地，E 中的任意一个n元组的空前缀（），对 应于T的根
• 因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索
死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点 R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩
算法设计与分析6回溯法PPT课件
n
m a x w i x i i1
n
s . t . S i x i C i1
1.解空间 x1,x2, ,xn，xi x i0,1{0 , 1 } , 1 i n
2.解空间结构树：高度为n+1的完全二叉树，结点总数为 2n1 1，左孩子为1，
右孩子为0.
2021/3/12
8
0-1背包问题的具体求解过程
1
W=(30,12,44,46,50)
1
1.令Wup=0,将物体的序号按价值体积比
2 1
排序结果是（2，1，3，4，5）
3
2.生成部分解(1,1,1,0)，估计当前部分解 1
的价值为Weva=94.3，Weva>Wup
4 0
3.继续向下搜索生成结点6，得到可行解 (1,1,1,0,0),得到价值为86，更新
5 0
Wup=86
6
2021/3/12
12
实例1：0-1背包问题
4.回溯：沿右孩子回溯到左孩子4，生成 相应右孩子7，得到部分解(1,1,0,1)，此时 Weva=93 5.因为Weva>Wup，继续生成结点8，9， 得到可行解(1,1,0,1,0),价值为88，更新 Wup=88
2021/3/12
0-1背包问题
问题描述：3个物W=[16,15,15] ,S=[45,25,25] ,C=30 1.定义解空间： (0,0,0),(0,0,1)…(1,1,1)，含有2 n 个解。 2.确定解空间的结构(二叉树)如图 3.进行深度优先搜索
n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间
2021/3/12
求解过程：
1.初始化：目标函数置为0，将物品按价值体积比的非增顺序排 序
m a x w i x i i1
n
s . t . S i x i C i1
1.解空间 x1,x2, ,xn，xi x i0,1{0 , 1 } , 1 i n
2.解空间结构树：高度为n+1的完全二叉树，结点总数为 2n1 1，左孩子为1，
右孩子为0.
2021/3/12
8
0-1背包问题的具体求解过程
1
W=(30,12,44,46,50)
1
1.令Wup=0,将物体的序号按价值体积比
2 1
排序结果是（2，1，3，4，5）
3
2.生成部分解(1,1,1,0)，估计当前部分解 1
的价值为Weva=94.3，Weva>Wup
4 0
3.继续向下搜索生成结点6，得到可行解 (1,1,1,0,0),得到价值为86，更新
5 0
Wup=86
6
2021/3/12
12
实例1：0-1背包问题
4.回溯：沿右孩子回溯到左孩子4，生成 相应右孩子7，得到部分解(1,1,0,1)，此时 Weva=93 5.因为Weva>Wup，继续生成结点8，9， 得到可行解(1,1,0,1,0),价值为88，更新 Wup=88
2021/3/12
0-1背包问题
问题描述：3个物W=[16,15,15] ,S=[45,25,25] ,C=30 1.定义解空间： (0,0,0),(0,0,1)…(1,1,1)，含有2 n 个解。 2.确定解空间的结构(二叉树)如图 3.进行深度优先搜索
n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间
2021/3/12
求解过程：
1.初始化：目标函数置为0，将物品按价值体积比的非增顺序排 序
回溯法 ppt课件
回溯法举例：
[旅行商问题] 在这个问题中 ，给出一个n 顶点网络（有向 或无向） ，要求找出一个包含所有n 个顶点的具有最小耗 费的环路 。任何一个包含网络中所有n 个顶点的环路被称 作一个旅行（t o u r ）。在旅行商问题中 ，要设法找到一 条最小耗费的旅行。 [分析]图给出了一个四顶点网络 。在这个网络中 ，一些旅
Bound(t) : 返回的值为true时 ， 在当前扩展节点处 x[1： t]的取值为时 目标函数越界 ， 还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索 。否则 ， 当前扩展节点处 x[1： t]的取值是目标函数越界 ，可剪去相应的子树
for循环作用： 搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。
si+1均不满足约束条件,则去掉xi , 回溯到(x 1 , x 2 , … xi-1), 添加尚 未考虑过的xi , 如此反复进行,直到(x1 , x2 , … xk) k n满足所有的 约束条件或证明无解.
E= { (x1 , x2 , … xn), xi si , si为有限集 }称为问题的解空间.
5. 1 回溯法基本思想
穷举法技术建议我们先生成所有的候选解 ， 然后找出那个 具有需要特性的元素
1 、 回溯法主要思想是每次只构造解的一个分量 ，然后按照 鲜明的方法来评估这个部分构造解 。如果一个部分构造解可以进一 步构造而不会违反问题的约束 ， 我们就接受对下一个分量所作的第 一个合法选择 。如果无法对下一个分量进行合法的选择 ， 就不对剩 下的任何分量再做任何选择了 。在这种情况下 ，该算法进行回溯 ， 把部分构造解的最后一个分量替换为它的下一个选择。
算法模式 Procedure BACKTRACK (n)； {k := l；
算法设计与分析》-回溯ppt课件
电路板陈列问题
其中两个能够的陈列如下图，那么该 电路板陈列的密度分别是2，3
左以下图中，跨越插槽2和3,4和5，以及 插槽5和6的连线数均为2。插槽6和7之间 无跨越连线。其他插槽之间只需1条跨越 连线。
算法分析
电路板陈列问题是NP难问题，因此
NP难 问题
不大能够找到解此问题的多项式时间
算法。思索采用回溯法系统的搜索问
陈列树 解空间大小: n!
满足约束条件的解，解 空间中的一个子集
可行解
最优解
使目的函数取极值〔极 大或极小〕的可行解， 一个或少数几个
可行解和 最优解
当前扩展结点成为死结点时，应往回挪动〔回溯〕至最近的 一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点
所搜索到的结 点不是叶结点， 且满足约束条 件和目的函数 的界，其儿子 结点还未全部 搜索终了
now[j]>0且now[j]！=total[j]。用
这个条件来计算插槽i和i+1间的连线
密度。
算法效率
在解空间陈列树的每个节点处，算法 Backtrack破费O(m)计算时间为每个儿 子节点计算密度。因此计算密度所耗费 的总计算时间为O(mn!)。另外，生成陈 列树需求O(n!)时间。每次更新当前最优 解至少使bestd减少1，而算法运转终了 时bestd>=0。因此最优解被更新的额次 数为O(m)。更新最优解需求O(mn)时间 。综上，解电路板陈列问题的回溯算法 Backtrack所需求的计算时间为O(mn!)
树的搜索， 否那么，进 逐层向其祖 入该子树， 先结点回溯 继续按深度
优先战略搜
4索
5
搜索方式
内留意：这棵解空间 树不是遍历前预先建 立的，而是隐含在遍 历过程中。 容
第5章 回溯法ppt课件
2x3=2
x3=4 x3=2 x3=3
3
5
x4=4 x4=3
8 x4=4
10 13 15 x4=2 x4=3 x4=2
4
6
9
11 14 16
迷宫问题
演示
5.1 回溯法的算法框架
问题的解空间〔1）
1. 解向量：问题的解用向量表示
(x1, x2, …, xk) 模。 2. 约束条件
子树； 5. (2)限界函数：某个函数表达式或关系式。 6. 不真时，用于剪去得不到最优解的子树。 7. 回溯法：具有限界函数的深度优先搜索方法
回溯法的基本思想
1. 以深度优先方式搜索解空间。 2. 开始时，根结点为活结点，也是当前的扩展结点。 3. 对扩展结点，寻找儿子结点： 4. 如找到新结点，新结点成为活结点并成为扩展
子集树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) //若合法 backtrack(t+1);
} }
排列树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
1装载问题2批处理作业调度3n后问题401背包问题5最大团问题6图的m着色问题7旅行售货员问题n皇后问题国际象棋中的皇后在横向直向和斜向都能走步和吃子问在nn格的棋盘上如何摆上n个皇后而使她们都不能相互吃掉
第5章 回溯法
上海大学计算机学院
学习要点与要求
• 掌握与理解回溯法的DFS搜索策略与方法
• （1〕掌握递归回溯
计算机算法回溯法课件
并行计算
利用并行计算技术，将问题分解为多个子问题，同时求解，提高计 算能力。
人工智能应用
结合人工智能技术，如机器学习、深度学习等，对回溯法进行优化和 改进。
THANK YOU
VS
详细描述
回溯法在排列组合问题中的应用是通过递 归和剪枝实现的。首先，算法会生成一个 解，然后递归地生成下一个解。在生成过 程中，算法会检查当前解是否满足约束条 件，如果不满足则回溯到上一个状态重新 尝试。通过不断回溯和尝试，最终找到所 有合法的解。
05
回溯法的优化与改进
记忆化搜索技术的应用
总结词
特点
回溯法适用于解决组合优化问题，特 别是约束满足问题，它能够找到所有 可能的解，但可能存在解的质量和数 量的问题。
适用场景
约束满足问题
回溯法适用于解决约束满足问题，如旅行商问题、排班问题等。
组合优化问题
回溯法也适用于解决一些组合优化问题，如背包问题、图着色问题 等。
决策问题
回溯法还可以用于解决决策问题，如逻辑推理、游戏AI等。
在分析算法的效率时，需要考虑算法 的时间复杂度和空间复杂度。
通过分析算法的效率与复杂度，可以 评估回溯法在不同问题上的适用性和 性能表现。
04
回溯法的应用实例
N皇后问题
总结词
N皇后问题是一个经典的回溯法应用实例，通过在N×N棋盘上放置N个皇后，使得任意两个皇后都不能处于同一 行、同一列或同一对角线上。
通过记忆已搜索的节点，避免重复搜索，提高回溯法的效率 。
详细描述
在回溯法中，经常会在搜索树中重复搜索相同的节点。为了 解决这个问题，可以使用记忆化搜索技术，将已搜索的节点 存储在特定的数据结构中，以便在后续的搜索中快速跳过这 些节点，减少不必要的计算。
利用并行计算技术，将问题分解为多个子问题，同时求解，提高计 算能力。
人工智能应用
结合人工智能技术，如机器学习、深度学习等，对回溯法进行优化和 改进。
THANK YOU
VS
详细描述
回溯法在排列组合问题中的应用是通过递 归和剪枝实现的。首先，算法会生成一个 解，然后递归地生成下一个解。在生成过 程中，算法会检查当前解是否满足约束条 件，如果不满足则回溯到上一个状态重新 尝试。通过不断回溯和尝试，最终找到所 有合法的解。
05
回溯法的优化与改进
记忆化搜索技术的应用
总结词
特点
回溯法适用于解决组合优化问题，特 别是约束满足问题，它能够找到所有 可能的解，但可能存在解的质量和数 量的问题。
适用场景
约束满足问题
回溯法适用于解决约束满足问题，如旅行商问题、排班问题等。
组合优化问题
回溯法也适用于解决一些组合优化问题，如背包问题、图着色问题 等。
决策问题
回溯法还可以用于解决决策问题，如逻辑推理、游戏AI等。
在分析算法的效率时，需要考虑算法 的时间复杂度和空间复杂度。
通过分析算法的效率与复杂度，可以 评估回溯法在不同问题上的适用性和 性能表现。
04
回溯法的应用实例
N皇后问题
总结词
N皇后问题是一个经典的回溯法应用实例，通过在N×N棋盘上放置N个皇后，使得任意两个皇后都不能处于同一 行、同一列或同一对角线上。
通过记忆已搜索的节点，避免重复搜索，提高回溯法的效率 。
详细描述
在回溯法中，经常会在搜索树中重复搜索相同的节点。为了 解决这个问题，可以使用记忆化搜索技术，将已搜索的节点 存储在特定的数据结构中，以便在后续的搜索中快速跳过这 些节点，减少不必要的计算。
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回溯法引言
回溯法与穷举查找是一样的吗？
可以把回溯法和分支限界法看成是穷举法的一个改进 。该方法至少可以对某些组合难题的较大实例求解。
不同点 ➢ 每次只构造侯选解的一个部分 ➢ 然后评估这个部分构造解：如果加上剩余的分量也不
可能求得一个解，就绝对不会生成剩下的分量
回溯法引言
回溯算法：图的深度优先遍历
✓ 解空间由2n个长度为n的0-1向量组成
✓ n=3时，解空间为{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1), (1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}
用完全二叉树表示的解空间
✓ 边上的数字给出了向量x中第i个分量的值xi ✓ 根节点到叶节点的路径定义了解问题的一个解
穷举式搜索法。
回溯法引言
具体做法
系统性 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空 间树。 跳跃性 算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。 如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结 点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
回溯法引言
回溯法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索 尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就 “回溯”返回，尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目 标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目 标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为 回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
5.1 回溯法的算法框架
解空间（Solution Space）
对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的 所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
注意：同一问题可有多种表示，有些表示更简单，所 需状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
5.1 回溯法的算法框架
例如
对于有n种可选物品的0-1背包问题
5.1 回溯法的算法框架
深度优先的问题状态生成法
如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C 当做新的扩展结点。
在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重 新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）。
宽度优先的问题状态生成法
一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点。
5.1 回溯法的算法框架
空间复杂性
用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题 的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结 点的路径。
如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)， 则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。
显式地存储整个解空间则需要O(2h(n）)或O(h(n)!)内存空间。
回溯法引言
于是 ➢ 回溯和分支限界法是比较常用的对候选解进行系统检查两种 方法。 ➢ 按照这两种方法对候选解进行系统检查通常会使问题的求解 时间大大减少（无论对于最坏情形还是对于一般情形） 。 ➢ 可以避免对很大的候选解集合进行检查，同时能够保证算法 运行结束时可以找到所需要的解。 ➢ 通常能够用来求解规模很大的问题。
5.1 回溯法的算法框架
1
1
0
2
1
0
6
1
0
9 1
0
10
13
1
0
1
08Leabharlann 111214 15
不可行解 价值=20 价值=55 价值=30 价值=25 价值=0
当搜索到一个L结点时，就把这个L结点变成为E结点，继续向下搜索这个结点的儿子结 点。当搜索到一个D结点，而还未得到问题的最终解时，就向上回溯到它的父亲结点。 如果这个父亲结点当前还是E结点，就继续搜索这个父亲结点的另一个儿子结点；如果 这个父情结点随着所有儿子结点都已搜索完毕而变成D结点，就沿着这个父结点向上， 回溯到它的祖父结点。这个过程继续进行，直到找到满足问题的最终解。
回溯法引言
理论上
➢ 寻找问题的解的一种可靠的方法是首先列出所有候选解，然 后依次检查每一个，在检查完所有或部分候选解后，即可找 到所需要的解。
但是
➢ 当候选解数量有限并且通过检查所有或部分候选解能够得到 所需解时，上述方法是可行的。
➢ 若候选解的数量非常大（指数级，大数阶乘），即便采用最 快的计算机也只能解决规模很小的问题。
第5章 回溯法
1
本章要点
• 回溯法的算法框架 • 装载问题 • 0-1背包问题 • 图的着色问题 • 批处理作业调度 • n后问题 • 回溯法效率分析
2
迷宫问题：
回溯法引言
迷宫是一些互相连通
的交叉路口的集合，
给定一个入口、一个
出口。
当从入口到出口存在
通路时，输出选中的
一条通路；否则，输
出无通路存在。
V1
V1
V2
V3
V2
V3
V4
V6
V4
V5 V6 V7
V8
V7
V8
V5
5.1 回溯法的算法框架
5.1.1 问题的解空间
问题的解向量 回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的 形式。 显约束 对分量xi的取值范围的限定。 隐约束 为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。
5.1 回溯法的算法框架
A
1
0
B
C
10
10
D
E
F
G
10 10 10 10
HIJKLMNO
对物品1的 选择 对物品2的 选择 对物品3的 选择
5.1 回溯法的算法框架
5.1.2 回溯法的基本思想
回溯法的基本步骤 (1)针对所给问题，定义问题的解空间； (2)确定易于搜索的解空间结构； (3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝 函数避免无效搜索。 常用剪枝函数 ➢ 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树； ➢ 用限界函数剪去得不到最优解的子树。
回溯法引言
以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法 使用场合 ➢ 对于许多问题，当需要找出它的解的集合或者要求回答什么
解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。 ➢ 这种方法适用于解一些组合数相当大的问题，具有“通用解
题法”之称。 回溯法的基本做法 ➢ 是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的
5.1 回溯法的算法框架
生成问题状态的基本方法
扩展结点（E-结点,Expansion Node） 一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点（L-结点,Live Node） 一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活 结点 死结点（D-结点,Dead Node） 一个所有儿子已经产生的结点称做死结点