第三章曲线与曲面全解

的，因此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。
曲面的形成
圆柱曲面是一条直线围绕一条轴线始终保持平行和等距
旋转而成。
母线
曲面的形成
圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。
母线
曲面的形成
球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。
曲面的形成
（三）素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。 我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓 线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重 合，这种素线称为轮廓素线。 在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、 最后边素线、最左边素线和最右边素线。
直导线
导平面
曲导线
3.2 曲面立体的投影
由曲面或曲面和平面围合而成的立体称为曲面立体。
圆柱体
圆锥体
球体
圆环
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
水平投影是一个圆， 这个圆既是上底圆和下 底圆的重合投影，反映 实形，又是圆柱面的积 聚投影，其半径等于底 圆的半径，回转轴的投 影积聚在圆心上（通常 用细点画线画出十字对 称中心线） 。
第三章 曲线与曲面
3.1 曲线与曲面
3.2曲面立体的投影
3.3平面截割平面体
3.4直线与曲面立体相交
3.5平面体与曲面体相交
3.6两曲面体相交
3.1 曲线与曲面
（一）曲线
曲线可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹。 平面曲线：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、双曲 线、抛物线等）。
空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。
纬圆法
圆环表面取点
m'
m
3.3 平面截割曲面体
平面与曲面立体相交，也 叫截割，所得截交线一般情况 下是平面曲线，或是由曲线和 直线围合而成的平面图形。 截交线同样具有闭合性和 共有性的特点。
截交线的求法
表面取点法： （1）素线法：在曲面立体的表面上取若干素线，求 出素线与截平面的交点，然后依次光滑连接即可。 （2）纬圆法：在曲面立体的表面上取若干纬圆，求 出纬圆与截平面的交点，然后依次光滑连接即可。 辅助平面法： 以某些特殊位置平面为辅助平面，求出辅助平面 与曲面立体和截平面的交线，则这两条交线的交点 即为截交线上的点，将这些点依次光滑连接即为所 求截交线。
素线法
圆柱表面取点
c' a' (b' ) b b" (c") a"
a c
圆锥体的投影分析（回转轴垂直于H面）
水平投影是一个圆， 这个圆是圆锥底圆和圆锥 面的重合投影，反映底圆 的实形，其半径等于底圆 的半径，回转轴的投影积 聚在圆心上，锥顶的投影 也落在圆心上（通常用细 点画线画出十字对称中心 线） 。 正面投影和侧面投影 是两个相等的等腰三角形， 高度等于圆锥的高度，底 边长等于圆锥底圆的直径 （回转轴的投影用细点画 线来表示） 。
曲面的形成
（四）纬圆
由回转体的形成可知， 母线上任意一点的运动轨 迹为圆，该圆垂直轴线， 此圆既为纬圆。
回转轴
O
纬圆
母线 O1
轮廓素线
曲面的分类
直纹曲面
按母线的形状分
曲纹曲面 回转曲面 按母线的运动形式分 有导线导面的曲面
有导线导面的直纹曲面
直线形的母线在固定的直线或曲线上滑动，所形 成的曲面叫做有导线的直纹曲面；如果母线在滑动时， 又始终平行于某一个固定的平面或曲面，这样形成的曲 面叫做有导线导面的直纹曲面。
正面投影和侧面投 影是两个相等的矩形， 矩形的高度等于圆柱的 高度，宽度等于圆柱的 直径（回转轴的投影用 细点画线来表示） 。
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆柱最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的 投影与回转轴的投影重合。 侧面投影的左、右边 线分别是圆柱最前、最后 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ圆柱分为左、 右两半，他们在V面上的 投影与回转轴的投影重合。
作图步骤
1、进行线面分析，判断截交线的形状和性质。 2、根据截平面和曲面立体所处的位置，决定采用 什么方法求截交线。 3、求出特殊位置点的投影。
4、根据需要求出若干一般位置点的投影。
5、光滑且顺序的连接各点，作出截交线，并判别 可见性。
6、整理轮廓线。
截交线
平面与圆柱体截交
平面与圆锥体截交
平面与球体截交
圆锥体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆锥最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的 投影与回转轴的投影重合， 在H面上的投影与圆的水 平中心线重合。 侧面投影的左、右边 线分别是圆锥最前、最后 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为左、 右两半，他们在V面上的 投影与回转轴的投影重合， 在H面上的投影与圆的竖 直中心线重合。
圆锥表面取点
方法一：素线法。 方法二：纬圆法。
a' 1'
a"
a 1
球体的投影分析
球体的三个投影为直 径相等并等于球体直 径的圆。但这三个圆 并不是球体上同一个 圆周的投影。
纬圆法
球体表面上取点
PV (c' ) c"
a'
b'
a"
b"
c a
(b )
圆环的投影分析
圆环的水平投影由赤道 圆和喉圆的水平投影组 成，正面投影的左、右 是两个小圆（反映母圆 的实形，但有半边看不 见，画成虚线），小圆 的公切线分别是环面上 最上和最下两个纬圆的 正面投影。
平面与圆柱面截交
截平面P的 位置 截平面垂直于圆柱轴线 圆 截平面倾斜于圆柱轴线 椭圆 截平面平行于圆柱轴线 两条平行直线
截交线空间 形状
投影图
求圆柱体截交线
2' 5'（6'） 3'（4'） 7'（8） 1' 8 1 7 4 6 5 2 6" 4" 8" 7" 2"
曲线
圆的投影
（1）圆所在的平面平行于投影面时，圆的投影反映实形（同样大 小的圆）；
（2）圆所在的平面倾斜于投影面时，圆的投影不反映实形（成为 椭圆）； （3）圆所在的平面垂直于投影面时，圆的投影积聚为一条直线 （长度等于直径）。
曲线与曲面
（二）曲面
曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。 直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为。 曲面 曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为。 回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成