第三章曲线与曲面全解
解析几何中的曲线与曲面方程性质
解析几何中的曲线与曲面方程性质在解析几何中，曲线和曲面是两个重要的概念。
它们在数学中有着广泛的应用，涉及到各个领域的问题。
本文将探讨解析几何中的曲线与曲面方程性质，包括曲线与曲面的定义、方程表示和性质。
一、曲线的定义与方程表示曲线是平面上的点的集合，它是由一系列点按照特定的规律排列而成。
曲线可以用方程表示，方程可以是显式方程或参数方程。
显式方程是指将变量的函数关系以解析的方式表达出来，参数方程则是将变量表示为某一参数的函数。
下面将分别介绍这两种表示方法。
1.1 显式方程表示对于平面上的曲线，可以使用显式方程表示。
一般地，曲线的显式方程可以表示为：F(x, y) = 0其中，F(x, y)是一个关于变量x和y的函数。
当F(x, y)等于0时，表示曲线上的点。
不同的函数F(x, y)对应不同的曲线形状，因此显式方程可以很好地描述平面上的曲线。
例如，对于一条直线，其显式方程可以表示为：ax + by + c = 0其中，a、b、c为常数，代表直线的斜率和截距。
通过合适的选择a、b、c的值，可以得到不同的直线。
1.2 参数方程表示除了显式方程表示，曲线还可以使用参数方程来描述。
参数方程可以将曲线上的点表示为参数的函数，通常用t来表示参数。
对于平面上的曲线，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，f(t)和g(t)是关于参数t的函数。
通过选择不同的函数f(t)和g(t)，可以得到不同形状的曲线。
例如，对于一条圆的参数方程可以表示为：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，r代表半径，t代表角度。
通过改变r和t的取值范围，可以得到不同的圆。
二、曲线与曲面的性质曲线和曲面作为解析几何中的基本概念，具有很多重要的性质。
下面将探讨曲线与曲面的一些性质。
2.1 曲线的长度曲线的长度是指曲线路径的长度。
对于显式方程表示的曲线，可以使用线积分的方法来计算曲线的长度。
线积分的计算公式可表示为：L = ∫[a,b] √(1 + (dy/dx)²) dx其中，[a,b]是曲线上的一个区间，dy/dx表示曲线的斜率。
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
解析几何第三章习题及解答
第三章 常见曲面习题3.11.证明：如果2220a b c d ++->，那么由方程2222220x y z ax by cz d ++++++=给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。
证明：将方程配方得222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-，由2220a b c d ++->，得到方程表示球心是(,,)a b c ---2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。
解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为2220x y z ax by cz d ++++++=，得到930,420,10a d b d c d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩球面方程为22294(1)032d dx y z x y d z d ++++---++=，其中d 任意。
过该三点的平面方程是132x yz ++=，所以所求圆的方程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60,23660x y z d x d y d z d x y z ⎧++-+-+-++=⎨++-=⎩ 其中d 任意。
3.证明曲线24224324,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ⎧=⎪++⎪⎪=∈-∞+∞⎨++⎪⎪=⎪++⎩在一球面上，并此球面方程。
证明：因为曲线满足2322222224242422242424()()()111()(1)11tt t x y z t t t t t t t t t t y t t t t++=++++++++=++==++++即22211()24x y z +-+=，所以曲线在一个球面上。
4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹； （2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹； （3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。
第三章曲面的第二基本形式
r = r (u, v ) ，
我们要证明它的单位法向量 n 是常向量，由于?
≡ 0 ，故我们有
（17）
L = −ru ⋅ nu = 0, M = − ru ⋅ nv = −rv ⋅ nu = 0 N = −rv ⋅ nv = 0
此外，由于 n 是单位向量场，故有
nu ⋅ n = nv ⋅ n = 0
第三章 曲面的第二基本形式
§３．１ 第二基本形式 在上一章我们已经对曲面的概念作了讨论，并且初步研究了曲面上与度量有关的性质。 现在我们要着手研究空间 E3 中曲面的形状， 首先讨论描写曲面在第一点的弯曲程序的方法。 设 S : r = r (u, v ) 是一块正则曲面。曲面 S 在点（ u 0 , v0 ）的切平面 π 有单位法向量
（7）
∂ (u , v ) > 0， ~, ~ ∂ (u v)
因此
ru ~ × r~ v =
∂ (u , v ) ~, v ~) ru × rv ， ∂ (u
（8）
~=n n
并且
r~ ru u r~ = J ⋅ r , v v ~ nu nu n~ = J ⋅ n v v
n=
ru × rv | ru × rv |
（1）
( u0 , v0 )
很明显，刻画曲面 S 在（ u 0 , v0 ）处的弯曲程度的最直观的量就是该点的邻近点到平面
π 的有向距离 δ
显然，邻近点（ u 0 + ∆u , v0 + ∆v ）到平面 π 的有向距离是
δ ( ∆u , ∆v) = [r (u 0 + ∆u, v0 + ∆v ) − r (u 0 , v0 )] ⋅ n
空间解析几何中的曲面与曲线的性质与应用
空间解析几何中的曲面与曲线的性质与应用空间解析几何是数学的一个分支，研究了空间内点、直线、曲线、曲面等几何对象之间的关系。
其中，曲面和曲线是较为常见的几何对象，它们具有独特的性质，并在许多实际应用中发挥重要的作用。
本文将介绍空间解析几何中曲面与曲线的性质及其应用。
一、曲面的性质曲面是空间中的一个平面形状曲线的推广，具有以下一些重要的性质：1. 高斯曲率：高斯曲率是曲面上某一点的曲面朝向的测量值。
它刻画了曲面的曲率特性，能够用来判断曲面的形状。
当高斯曲率为正时，曲面呈凸状；当高斯曲率为负时，曲面呈凹状。
2. 曲率半径：曲面上的每一点都有一个与之对应的曲率半径。
曲率半径表征了曲面在某点处的曲率大小，曲率半径越大，曲面越接近于平面，曲率越小。
3. 切平面：曲面上每一个点都有一个与之相切的平面，该平面与曲面在该点处相切，并且与曲面在该点处的切线共面。
二、曲面的应用曲面在许多实际应用中有着广泛的应用，包括建筑设计、工程制图、物体建模等方面。
下面将介绍曲面在三维建模中的应用。
1. 曲面建模：在三维建模领域，曲面被广泛运用于设计和制作复杂的物体。
通过将曲线进行旋转、移动、缩放等操作，可以创建出各种各样的曲面形状，用来模拟真实世界中的物体。
2. 表面绘制：曲面在计算机图形学中也扮演着重要的角色。
通过绘制曲面，可以实现模型的表面渲染效果，使得三维模型更加逼真。
3. CAD设计：在计算机辅助设计软件中，曲面也是绘图的重要手段。
通过使用曲面工具，设计师能够更加轻松地绘制出真实世界中各种各样复杂的曲面。
三、曲线的性质曲线是空间解析几何中另一个重要的几何对象，它同样具有一些独特的性质，如下所示：1. 弧长：曲线的长度称为弧长，通过计算曲线上各点之间的距离之和来求得。
弧长可以用来描述曲线的长度大小。
2. 弧度：曲线在某一点处的斜率称为弧度，它刻画了曲线在该点附近的变化趋势，能够帮助我们理解曲线的走向和变化。
3. 切线：曲线上的每一点都有一个与之相切的直线，该直线被称为曲线的切线。
高中数学中的曲线与曲面的联系与解析
高中数学中的曲线与曲面的联系与解析数学是一门抽象而又实用的学科，它的应用范围广泛，其中曲线与曲面是数学中的重要概念。
在高中数学中，我们学习了曲线与曲面的基本性质和解析方法，它们之间存在着紧密的联系。
本文将从几何和代数两个方面来探讨高中数学中的曲线与曲面的联系与解析。
一、几何视角下的曲线与曲面在几何视角下，曲线与曲面是我们研究的对象。
曲线是一个平面上的点按照一定规律排列而成的集合，它可以是直线、圆、椭圆等等。
而曲面则是一个空间中的点按照一定规律排列而成的集合，它可以是平面、球面、柱面等等。
曲线与曲面之间存在着密切的联系。
例如，我们可以通过将一个平面上的曲线绕着某个轴旋转而得到一个曲面。
这种曲面叫做回转曲面，它的形状与原曲线有密切的关系。
又如，我们可以通过将一个平面上的曲线进行拉伸而得到一个曲面。
这种曲面叫做拉伸曲面，它的形状也与原曲线有密切的关系。
二、代数视角下的曲线与曲面在代数视角下，曲线与曲面是我们通过方程来描述的对象。
通过方程，我们可以用代数的方法来研究曲线与曲面的性质。
曲线的方程通常是一元方程，而曲面的方程通常是二元方程。
例如，一元二次方程y=ax^2+bx+c描述了平面上的抛物线，而二元二次方程z=ax^2+by^2+cz描述了三维空间中的椭球面。
通过解析方法，我们可以求解曲线与曲面的性质。
例如，我们可以通过求解曲线与坐标轴的交点来确定曲线的截距。
又如，我们可以通过求解曲面的方程来确定曲面的类型和性质。
三、曲线与曲面的应用曲线与曲面的研究不仅仅是为了满足数学的抽象需求，它们在现实生活中也有着广泛的应用。
在物理学中，曲线与曲面的研究是描述物体运动和力学性质的基础。
例如，通过研究抛物线的轨迹，我们可以了解抛体运动的规律。
又如，通过研究球面的几何性质，我们可以了解球体的体积和表面积。
在工程学中，曲线与曲面的研究是设计和制造工艺的基础。
例如，在建筑设计中，我们需要研究曲线的形状和曲面的结构，以确定建筑物的外形和内部空间。
研究解析几何中的曲线与曲面性质
研究解析几何中的曲线与曲面性质解析几何是数学中的一个分支，主要研究几何图形在坐标系下的性质与关系。
在解析几何中，曲线与曲面是两个重要的概念，它们的性质对于解析几何的研究和应用具有重要意义。
本文将详细探讨曲线及曲面的性质，并分析它们在解析几何中的应用。
一、曲线的性质1. 参数方程和笛卡尔方程曲线是由坐标系中的点组成的，为了描述曲线上的点，我们可以使用参数方程或者笛卡尔方程。
参数方程是将曲线上的每个点的坐标表示为参数的函数，而笛卡尔方程是通过将坐标表示为变量的关系而得到的。
例如，对于简单的直线，其参数方程可以表示为x = at + b，y =ct + d，其中a、b、c、d为常数。
2. 切线与法线曲线上的每一点都有切线和法线。
切线是曲线在该点处的切线方向，它与曲线在该点处的斜率有关。
法线是曲线在该点处垂直于切线的线段，它的斜率是切线斜率的负倒数。
切线和法线的性质对于曲线的研究和描述十分重要。
3. 弧长和曲率曲线的弧长是曲线上两点之间的长度，它可以用来计算曲线的长度。
曲率则是曲线在某一点处的弯曲程度。
曲率大表示曲线弯曲的程度大，反之曲率小则表示曲线相对直线。
曲率与切线的夹角有关，可以用来描述曲线的局部性质。
二、曲面的性质1. 参数方程和笛卡尔方程与曲线类似，曲面也可以用参数方程或者笛卡尔方程表示。
参数方程将曲面上的每个点的坐标表示为参数的函数，而笛卡尔方程则通过将坐标表示为变量的关系而得到。
例如，对于简单的球面，其参数方程可以表示为x = r sinθ cosφ，y = r sinθsinφ，z = r cosθ，其中r、θ、φ为参数，r为球面半径。
2. 切平面和法线曲面上的每一点都有切平面和法线。
切平面是曲面在该点处的切平面方向，它与曲面在该点处的切线有关。
法线是曲面在该点处垂直于切平面的线段，它的方向与切平面相反。
切平面和法线的性质对于曲面的研究和描述非常重要。
3. 曲面的形状曲面可以具有不同的形状，如球面、圆柱面、抛物面等。
空间中的曲面和曲线
柱面,
平行于 x 轴;
平行于 y 轴;
平行于 z 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
母线
柱面,
准线 xoy 面上的曲线 l1.
母线
准线 yoz 面上的曲线 l2.
母线
故所求方程为
例1. 求动点到定点
方程.
特别,当M0在原点时,球面方程为
解: 设轨迹上动点为
即
依题意
距离为 R 的轨迹
表示上(下)球面 .
例：
求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解：
旋转曲面方程为
交线为
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
,它与所给平面的
截线方程为
解
如图,
例
解答
交线方程为
在 面上的投影为
空间曲线的一般方程、参数方程．
( 必要时需作图 ).
三、柱面
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
的坐标也满足方程
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
故在空间
过此点作
柱面.
对任意 z ,
平行 z 轴的直线 l ,
表示圆柱面
在圆C上任取一点
其上所有点的坐标都满足此方程,
定义3.
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
解析几何中的曲线与曲面方程
解析几何中的曲线与曲面方程一、引言解析几何是数学中的一个重要分支，研究几何图形与代数方程之间的关系。
曲线与曲面是解析几何中的重要概念，其方程的求解和性质的分析对于研究几何图形的特性和应用具有重要意义。
本文将对解析几何中的曲线与曲面方程进行深入解析与讨论。
二、曲线方程的基本形式在解析几何中，曲线方程可以表达为一元或多元函数方程的形式。
一元曲线方程通常是指平面曲线方程，可以表示为y=f(x)的形式，其中f(x)为一个单变量的函数。
多元曲线方程则是指在三维空间中的曲线方程，可以表示为一组形如{x=f(t),y=g(t),z=h(t)}的参数方程。
对于不规则曲线，其方程形式可以更为复杂。
三、常见曲线方程1. 直线方程直线是最简单的曲线之一，其方程可以表示为y=kx+b的形式，其中k为斜率，b为截距。
也可以用向量方程的形式表示为(x,y)=(x_0,y_0)+t(a,b)，其中(x_0,y_0)为直线上一点坐标，(a,b)为方向向量，t为参数。
2. 圆的方程圆是具有相同半径长度的所有点的集合，其方程可以表示为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
也可以用参数方程的形式表示为{x=a+r*cos(t),y=b+r*sin(t)}。
3. 椭圆的方程椭圆是具有两个焦点F_1和F_2间距离之和为常数的点的集合，其方程可以表示为[(x-a)^2/a^2]+[(y-b)^2/b^2]=1，其中(a,b)为椭圆中心坐标，a和b分别为半长轴和半短轴的长度。
4. 抛物线的方程抛物线是焦点到准线距离与焦点到抛物线上任意一点距离之比为常数的点的集合，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数。
5. 双曲线的方程双曲线是焦点到准线距离与焦点到双曲线上任意一点距离之差为常数的点的集合，其方程可以表示为[(x-h)^2/a^2]-[(y-k)^2/b^2]=1，其中(h,k)为双曲线中心坐标，a和b分别为半轴的长度。
曲面立体的投影.
解：（1）分析
（2）作图
方法二：纬圆法。 【例4-7】 如下图所示，已知圆锥表面上一点A的投影a′，求a、a″。
解：（1）分析 （2）作图
2．圆锥表面上线的投影 作圆锥面上线段的投影的方法：是求出线段上的端点、轮廓线上的点、分界点 等特殊位置的点及适当数量的一般点，并依次连接各点的同面投影。 【例4-8】 如下图所示，已知圆锥表面上的线段AB的正面投影，求其另两面投影。
曲线 线、抛物线等）。 空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。
（二）曲面
曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。
曲面
直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为。 曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为。
回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因 此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。
圆柱曲面是一条直线 围绕一条轴线始终保 持平行和等距旋转而 成。
母线
圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。
母线
球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。
（三）素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。 我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓 线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重 合，这种素线称为轮廓素线。 在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、 最后边素线、最左边素线和最右边素线。
第三章 曲面立体的投影
在建筑工程中，我们会接触到各种形状的建筑物（如：房屋、水塔） 及其构配件（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细 分析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或 相交等形式组合而成。
第三章曲线曲面和立体的投影
曲线的投影
曲线是动点运动的轨迹，也可以说是一系列连续点的集合。 因此，绘制曲线的投影时，只要能作出曲线上一系列点的投 影，并把它们的同面投影依次光滑地连接起来，即得曲线的 投影。这是绘制曲线投影的一般方法。 但是，如能根据曲线的投影特性，预先对曲线投影的形状或 特点作出判断，则可以使图形准确作图简化。现将曲线的主 要投影特性分述如下：
在图示位置时，六棱柱的两 点的可见性规定： 底面为水平面，在俯视图中反映 由于棱柱的表面都是平 若点所在的平面的投影 实形。前后两侧棱面是正平面， 面，所以在棱柱的表面上取 可见，点的投影也可见；若 其余四个侧棱面是铅垂面，它们 点与在平面上取点的方法相 平面的投影积聚成直线，点 的水平投影都积聚成直线，与六 同。 的投影也可见。 边形的边重合。
截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 分别求出截平面与棱面的交 的投影特性 线，并连接成多边形。
环面投影可见性的判别
由上向下看，此部分可见
由前向后看，此部分可见
（三）非回转直线面 1、柱面
（1）柱面的形成 由直母线AA1沿着一曲导线A1B1C1A1，且平行于另一直导 线MN运动而形成的曲面。 （2）柱面的投影 画出直母线、曲导线以及外形 轮廓素线和其它必要的素线 （3）柱面的种类
柱面投影种类
纬圆、赤道圆与径圆
回转面按旋转运动的 特性，母线上任意一点 的旋转轨迹都是一个垂 直于轴线的圆，称为纬 圆，纬圆的半径等于该 点到轴线的距离。其中 比相邻两侧的纬圆都大 的，称为赤道圆；比相 邻两侧的纬圆都小的， 称为径圆或喉圆。
空间解析几何第三章
大 学 数 学（一）
—— 空间解析几何
第十讲 平面曲线的方程 空间曲面的方程 空间曲线的方程
脚本编写：
教案制作：
第一节
一、平面曲线与方程：
平面曲线的方程
定义：当平面上取定了标架之后， 定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一 条曲线有着关系： 条曲线有着关系： （1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标； ）满足方程的 必是曲线上某一点的坐标； 必是曲线上某一点的坐标 （2）曲线上任何一点的坐标 满足这个方程； ）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程； 满足这个方程 则这个方程称为这条曲线的方程， 则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。 方程的图形。 y 曲线的方程常表示为： 曲线的方程常表示为： xy=2 F(x,y)=0 或 y=f(x) o x
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 + c
的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 半径随c 的增大而增大 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 两个基本问题 （1）求曲面方程． 求曲面方程．
（2）已知曲面方程，研究曲面形状． 已知曲面方程，研究曲面形状． 曲面方程
xoz 面上的投影曲线: 面上的投影曲线 投影曲线:
R( y , z ) = 0 x = 0
T ( x , z ) = 0 y = 0
x2 + y2 + z2 = 1 在坐标面上的投影. 例4 求曲线 1 在坐标面上的投影. z = 2
）消去变量z后得 解 （1）消去变量 后得 3 2 2 x +y = , 4 在xOy面上的投影为 面上的投影为
解析几何中的曲线与曲面的性质
解析几何中的曲线与曲面的性质在解析几何中，曲线与曲面是重要的概念。
曲线是由一系列点组成的连续的曲线，而曲面是由一系列曲线组成的连续的曲面。
曲线与曲面的性质对于理解几何图形的特征和性质至关重要。
本文将从曲线和曲面的定义、性质和应用等方面进行探讨。
一、曲线的性质曲线的性质是指某一曲线所具备的特征和规律。
曲线的性质可以从不同的角度进行分类和描述。
下面将从几何性质和数学性质两个方面对曲线的性质进行探讨。
（1）几何性质在几何学中，曲线的性质主要包括弯曲程度、曲率、斜率和切线方程等。
曲线的弯曲程度可以通过曲率来描述，曲率越大则曲线越弯曲。
斜率则表示曲线上某一点的切线与水平线之间的夹角，可以用来判断曲线的斜率情况。
切线方程则是通过求解曲线上一点的切线斜率和切点坐标得到的一条直线方程，可以用来描述曲线在该点附近的几何特征。
（2）数学性质在数学中，曲线的性质主要包括方程、参数方程和极坐标方程等。
方程是指以曲线上的点满足某种关系的数学式子，可以用于描述曲线的几何特征。
参数方程是通过引入参数来表示曲线上的点，可以方便地表示曲线的形状和位置。
极坐标方程是以极坐标系中的点满足某种关系的数学式子，可以用来描述曲线在极坐标系中的几何特征。
二、曲面的性质曲面是由一系列曲线组成的连续的曲面。
曲面的性质可以从不同的角度进行分类和描述。
下面将从几何性质和数学性质两个方面对曲面的性质进行探讨。
（1）几何性质在几何学中，曲面的性质主要包括形状、曲率、切平面和法向量等。
曲面的形状可以通过曲率和曲率半径来描述，曲率越大则曲面越弯曲。
切平面是指曲面上的一个点与该点的切线所确定的平面，可以用于判断曲面的取向和切平面的性质。
法向量是指曲面上某一点的法线与该点的位置有关的向量，可以用来描述曲面在该点附近的几何特征。
（2）数学性质在数学中，曲面的性质主要包括方程、参数方程和隐函数方程等。
方程是指以曲面上的点满足某种关系的数学式子，可以用于描述曲面的几何特征。
空间解析几何中的曲线与曲面
空间解析几何中的曲线与曲面空间解析几何是研究空间中点、直线、曲线和曲面的位置和性质的数学分支。
其中，曲线与曲面是解析几何中的重要概念，它们在数学和工程学科中都有广泛的应用。
本文将从曲线与曲面的定义、性质以及应用角度出发，对空间解析几何中的曲线与曲面进行详细的探讨。
一、曲线的定义和性质曲线是一个一维的几何对象，由无数个连续的点组成。
在空间解析几何中，曲线可以用参数方程或者一般方程来表示。
参数方程是通过引入一个或多个参数，将曲线上的点的坐标表达为这些参数的函数，从而得到曲线的方程。
一般方程则是通过将曲线上的点的坐标表达为变量的代数方程，得到曲线的方程。
常见的曲线有直线、圆和椭圆等。
曲线的性质包括长度、曲率和弧长等。
长度是曲线上两点之间的距离，可以通过弧长公式进行计算。
曲率是曲线上某一点的弯曲程度，可以通过求曲线的曲率半径来衡量。
弧长是曲线上某一部分的长度，可以通过积分来计算。
这些性质在数学、物理和工程学科中都有广泛的应用。
二、曲面的定义和性质曲面是一个二维的几何对象，由无数个连续的点组成。
在空间解析几何中，曲面可以用一般方程或者参数方程来表示。
一般方程是通过将曲面上的点的坐标表达为变量的代数方程，得到曲面的方程。
参数方程是通过引入一个或多个参数，将曲面上的点的坐标表达为这些参数的函数，从而得到曲面的方程。
常见的曲面有平面、球面和柱面等。
曲面的性质包括方程、切平面和切线等。
方程是确定曲面上的点的代数关系，可以通过给定条件求解得到。
切平面是曲面上某一点的切线和曲面法线组成的平面，可以用于确定曲面上某点的切线方向。
切线是曲面上通过某一点的曲线，可以用于确定曲面上某点的切线方向。
这些性质在计算机图形学、工程建模和物理模拟等领域中具有重要的应用。
三、曲线与曲面的应用曲线与曲面在数学和工程学科中有广泛的应用。
在数学领域，曲线与曲面是微积分和线性代数的基础概念，它们被用于描述和解决各种数学问题。
在工程学科中，曲线与曲面是计算机图形学、工程建模和物理模拟等领域的核心概念，它们被用于进行几何建模、图像处理和仿真分析等工作。
解析几何中的平面曲线与曲面的位置关系
解析几何中的平面曲线与曲面的位置关系解析几何是几何学的一个分支，研究几何图形与坐标系之间的关系。
在解析几何中，平面曲线与曲面的位置关系是一个重要的研究内容。
本文将从平面曲线与曲面的交点、切线以及法面等方面进行讨论，以帮助读者深入理解平面曲线与曲面的位置关系。
一、平面曲线与曲面的交点平面曲线与曲面的交点是指平面曲线与曲面在空间中相交的点。
平面曲线可以用参数方程或者隐式方程来表示，而曲面可以用显式方程或者隐式方程来表示。
当平面曲线与曲面的方程都给定时，我们可以通过求解方程组来确定它们的交点。
例如，考虑一个圆锥曲线和一个曲面的交点问题。
圆锥曲线可以用参数方程表示为：x = r * cosθy = r * sinθz = h * (1 - cosθ)其中，r是圆锥曲线的半径，h是圆锥曲线的高度，θ是参数。
假设曲面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，我们可以将圆锥曲线的参数方程代入曲面方程中，求解得到交点的坐标。
二、平面曲线的切线与曲面的切平面平面曲线的切线是指与平面曲线在某一点切线方向相同的直线。
曲面的切平面是指与曲面在某一点切平面相切的平面。
切线和切平面是平面曲线与曲面的位置关系中重要的概念。
对于平面曲线，我们可以通过求导数来确定其切线方程。
例如，对于圆锥曲线x = r * cosθ，y = r * sinθ，z = h * (1 - cosθ)，求导数得到：dx/dθ = -r * sinθdy/dθ = r * cosθdz/dθ = h * sinθ在某一点P处，切线的斜率等于曲线的导数。
通过计算导数并代入相应的点坐标，我们可以得到切线的斜率，进而得到切线的方程。
对于曲面，我们可以通过求偏导数来确定其法向量，从而确定切平面的方程。
曲面的法向量与切平面垂直。
三、平面曲线与曲面的法面平面曲线的法线是指垂直于平面曲线切线的直线。
曲面的法面是指垂直于曲面切平面的直线。
对于平面曲线，法线与切线垂直，可以通过切线的斜率来确定法线的斜率。
第三节曲面方程与曲线方程
则所给方程无图形,可称其为虚球.
二、曲线方程
空间两曲面相交,可以得到一条曲线.设
F1(x,y,z)=0 和 F2(x,y,z)=0 为空间两曲面的方程,若它们相交得到一条曲线L,则L上
任一点的坐标必定满足这两个曲面方程.反过来,同时满
x
0.
将L绕z轴旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面,称z轴为
旋转轴.
当曲线L绕z轴旋转时,点M0也绕z轴旋转到点M,这时 z=z0保持不变,且点M到z轴距离恒等于|y0|.于是点M的坐 标满足
z z0, x2 y2 | y0 | . 由于M0(0,y0,z0)在L上,因此
f ( y0, z0 ) 0. 可得点M的坐标应满足的方程为
第三节 曲面方程与曲线方程
一、曲面方程 二、曲线方程 三、母线平行于坐标轴的柱面方程 四、一坐标轴为旋转轴的旋转曲面
一 、曲面方程
定义7.3 若曲面上每一点的坐标都满足某方程，而不在 此曲面上的点都不满足这个方程，则称这个方程是所给 曲面的方程.
三元方程 F(x,y,z)=0 总表示一个空间曲面.
两端平方得 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 表示以点M0(x0,y0,z0)为中心,以R为半径的球面.
例2 研究方程 x2 y2 z2 Mx Ny Sz Q 0
所表示的曲面方程的几何特性.
解 原方程配方得
x2 Mx y2 Ny z2 Sz Q,
f ( x2 y2 , z) 0.
为曲线
f x
(y, z) 0.
0,绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程.
空间解析几何中的曲线与曲面
空间解析几何中的曲线与曲面空间解析几何是数学中的一个重要分支，研究了空间中的曲线与曲面的性质、方程和几何关系。
曲线与曲面是空间几何中的基本要素，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将从曲线和曲面的定义、性质以及几何表达等方面来探讨空间解析几何中的曲线与曲面。
一、曲线的定义和性质在空间解析几何中，曲线是一个一维对象，由一组点组成。
曲线可以用参数方程或者直角坐标方程来表示。
比较常见的参数方程有：x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)。
直角坐标方程则可以表示为：F(x, y, z) = 0。
曲线的性质有很多，其中最基本的性质包括长度、曲率和切线等。
曲线的长度可以用积分来求解，曲率则是描述曲线弯曲程度的一个量。
切线是曲线上任一点切线方向的直线。
二、曲面的定义和性质曲面是一个二维对象，由一组点组成。
曲面可以用参数方程或者直角坐标方程来表示。
常见的参数方程有：x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v)。
直角坐标方程可以表示为：F(x, y, z) = 0。
曲面的性质也有很多，比如曲面上的点的切平面、法线和曲率等。
切平面是曲面上任一点的切平面，其法线与曲面在该点的法线重合。
曲率则是描述曲面局部弯曲性质的一个量。
三、曲线与曲面的几何表达曲线与曲面的几何表达是描述其几何关系的一种方式。
对于曲线，可以通过与直线的关系进行描述，比如曲线与直线相交、平行或者垂直等。
对于曲面，可以通过与平面的关系进行描述，比如曲面与平面相交、平行或者垂直等。
此外，曲线与曲面还可以通过其几何性质进行表达。
比如曲线的弯曲程度可以用曲率来描述，曲面的局部弯曲性质可以用曲率来描述。
曲线与曲面还可以与其他几何体进行关联，比如与球面的交线或者与柱面的交线等。
结论空间解析几何中的曲线与曲面是数学中重要的研究对象。
曲线与曲面分别是一维和二维的几何要素，通过参数方程或者直角坐标方程可以对其进行准确的描述。
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圆锥体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆锥最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的 投影与回转轴的投影重合， 在H面上的投影与圆的水 平中心线重合。 侧面投影的左、右边 线分别是圆锥最前、最后 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为左、 右两半，他们在V面上的 投影与回转轴的投影重合， 在H面上的投影与圆的竖 直中心线重合。
圆锥表面取点
方法一：素线法。 方法二：纬圆法。
a' 1'
a"
a 1
球体的投影分析
球体的三个投影为直 径相等并等于球体直 径的圆。但这三个圆 并不是球体上同一个 圆周的投影。
纬圆法
球体表面上取点
PV (c' ) c"
a'
b'
a"
b"
c a
(b )
圆环的投影分析
圆环的水平投影由赤道 圆和喉圆的水平投影组 成，正面投影的左、右 是两个小圆（反映母圆 的实形，但有半边看不 见，画成虚线），小圆 的公切线分别是环面上 最上和最下两个纬圆的 正面投影。
正面投影和侧面投 影是两个相等的矩形， 矩形的高度等于圆柱的 高度，宽度等于圆柱的 直径（回转轴的投影用 细点画线来表示） 。
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆柱最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的 投影与回转轴的投影重合。 侧面投影的左、右边 线分别是圆柱最前、最后 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为左、 右两半，他们在V面上的 投影与回转轴的投影重合。
曲线
圆的投影
（1）圆所在的平面平行于投影面时，圆的投影反映实形（同样大 小的圆）；
（2）圆所在的平面倾斜于投影面时，圆的投影不反映实形（成为 椭圆）； （3）圆所在的平面垂直于投影面时，圆的投影积聚为一条直线 （长度等于直径）。
曲曲线在空间按一定规律运动而形成。 直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为。 曲面 曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为。 回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成
第三章 曲线与曲面
3.1 曲线与曲面
3.2曲面立体的投影
3.3平面截割平面体
3.4直线与曲面立体相交
3.5平面体与曲面体相交
3.6两曲面体相交
3.1 曲线与曲面
（一）曲线
曲线可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹。 平面曲线：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、双曲 线、抛物线等）。
空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。
直导线
导平面
曲导线
3.2 曲面立体的投影
由曲面或曲面和平面围合而成的立体称为曲面立体。
圆柱体
圆锥体
球体
圆环
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
水平投影是一个圆， 这个圆既是上底圆和下 底圆的重合投影，反映 实形，又是圆柱面的积 聚投影，其半径等于底 圆的半径，回转轴的投 影积聚在圆心上（通常 用细点画线画出十字对 称中心线） 。
的，因此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。
曲面的形成
圆柱曲面是一条直线围绕一条轴线始终保持平行和等距
旋转而成。
母线
曲面的形成
圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。
母线
曲面的形成
球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。
曲面的形成
（三）素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。 我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓 线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重 合，这种素线称为轮廓素线。 在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、 最后边素线、最左边素线和最右边素线。
平面与圆柱面截交
截平面P的 位置 截平面垂直于圆柱轴线 圆 截平面倾斜于圆柱轴线 椭圆 截平面平行于圆柱轴线 两条平行直线
截交线空间 形状
投影图
求圆柱体截交线
2' 5'（6'） 3'（4'） 7'（8） 1' 8 1 7 4 6 5 2 6" 4" 8" 7" 2"
素线法
圆柱表面取点
c' a' (b' ) b b" (c") a"
a c
圆锥体的投影分析（回转轴垂直于H面）
水平投影是一个圆， 这个圆是圆锥底圆和圆锥 面的重合投影，反映底圆 的实形，其半径等于底圆 的半径，回转轴的投影积 聚在圆心上，锥顶的投影 也落在圆心上（通常用细 点画线画出十字对称中心 线） 。 正面投影和侧面投影 是两个相等的等腰三角形， 高度等于圆锥的高度，底 边长等于圆锥底圆的直径 （回转轴的投影用细点画 线来表示） 。
曲面的形成
（四）纬圆
由回转体的形成可知， 母线上任意一点的运动轨 迹为圆，该圆垂直轴线， 此圆既为纬圆。
回转轴
O
纬圆
母线 O1
轮廓素线
曲面的分类
直纹曲面
按母线的形状分
曲纹曲面 回转曲面 按母线的运动形式分 有导线导面的曲面
有导线导面的直纹曲面
直线形的母线在固定的直线或曲线上滑动，所形 成的曲面叫做有导线的直纹曲面；如果母线在滑动时， 又始终平行于某一个固定的平面或曲面，这样形成的曲 面叫做有导线导面的直纹曲面。
纬圆法
圆环表面取点
m'
m
3.3 平面截割曲面体
平面与曲面立体相交，也 叫截割，所得截交线一般情况 下是平面曲线，或是由曲线和 直线围合而成的平面图形。 截交线同样具有闭合性和 共有性的特点。
截交线的求法
表面取点法： （1）素线法：在曲面立体的表面上取若干素线，求 出素线与截平面的交点，然后依次光滑连接即可。 （2）纬圆法：在曲面立体的表面上取若干纬圆，求 出纬圆与截平面的交点，然后依次光滑连接即可。 辅助平面法： 以某些特殊位置平面为辅助平面，求出辅助平面 与曲面立体和截平面的交线，则这两条交线的交点 即为截交线上的点，将这些点依次光滑连接即为所 求截交线。
作图步骤
1、进行线面分析，判断截交线的形状和性质。 2、根据截平面和曲面立体所处的位置，决定采用 什么方法求截交线。 3、求出特殊位置点的投影。
4、根据需要求出若干一般位置点的投影。
5、光滑且顺序的连接各点，作出截交线，并判别 可见性。
6、整理轮廓线。
截交线
平面与圆柱体截交
平面与圆锥体截交
平面与球体截交