齿轮啮合原理-第六章
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Z min 17
* ha 1
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
假 1 是用来加工齿轮齿面 2 的刀具齿面。 2 上出现奇异点是齿面在加工过 程中可能产生根切的一种警告。在加工过程中所出现的 2 上的奇异性的数学解
( 2) 释，可以用方程 vr 0 来说明，从该式可导出 vr (1) v (12) 0
方程(6.3. 1)和啮合方程的微分式
d [ f (u , , )] 0 dt
(6.3. 1)
(6.3.2)
可在曲面 1 上确定出这样一条曲线 L，该线将形成 2 上的奇异点。用曲线 L 限 定 1 ，可以避免在 2 上出现奇异点。
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
共轭曲面和共轭曲线
1.曲面族包络——包络存在的必要条件
平面齿轮啮合
在参数表示的情况下，齿轮 1 的齿廓 1 用
r1 ( )
表示。 1 的法线矢量 N (1) 为
N (1)
r1 0
(6.1.2)
r1 k1
(6. 1.3)
式中 K1 为齿轮轴线 z1 的单位矢量。 我们假定齿廓表示在平面 z1 = 0 中，则啮合方程可以导出如下
共轭曲面和共轭曲线
汇报提纲
1 2 3 4 5 6 曲面族包络——包络存在的必要条件 基本运动关系 不产生根切的必要条件
曲面族包络存在的充要条件
瞬时接触线和接触面 产形曲面 1上瞬时接触线的包络
共轭曲面和共轭曲线
4.曲面族包络存在的充要条件
经典方法 曲面族(用参数表示)包络存在的充要条件保证包络是确实存在的，包络与曲 面族的各曲面相切触，并且包络是正则曲面。这些条件可用[Zalgaller 1975 的专 著〕中所提出的下列定理来表示；也可参看关于这个定理的英文出版物 [Litvin 1989(b)的专著〕 。 定理：给定一正则产形曲面族 ，该曲面在 S1 中用
曲面族包络存在的充要条件
瞬时接触线和接触面 产形曲面 1上瞬时接触线的包络
共轭曲面和共轭曲线
2.基本运动关系
假定坐标系 S1 ,S2 和 S f ，分别与齿轮 1、齿轮 2 和机架刚性固接。接触点的
速度可以表示为两个分量:(i) 与齿轮在一起的牵连运动，该分量标记为 vtr (i ) ； （ii）
问题
共轭曲面和共轭曲线
汇报提纲
1 2 3 4 5 6 曲面族包络——包络存在的必要条件 基本运动关系 不产生根切的必要条件
曲面族包络存在的充要条件
瞬时接触线和接触面 产形曲面 1上瞬时接触线的包络
共轭曲面和共轭曲线
1.曲面族包络——包络存在的必要条件
引言
假定坐标系 S 1 , S 2 和 S f 分别与齿轮 1,2 和机架（齿轮箱体） f 刚性固接。齿轮 1 上设有正则曲面∑1，该曲面在 S1 中表示如下
O1 I 和 O2 I ，两线段有如下的关系式
O2 I w(1) (2) m12 O1I w
(O1I O2 I E) （6.1.5）
这里， m12 m12 ( ) ： （i）对非圆形齿 轮是规定的齿轮传动比函数， （ii）对 圆形齿是常数。
共轭曲面和共轭曲线
汇报提纲
1 2 3 4 5 6 曲面族包络——包络存在的必要条件 基本运动关系 不产生根切的必要条件
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
图 6. 3. 2(a)所示为齿条刀具的齿形族和被加工齿轮的齿廓。 齿轮齿廓的渐开 线部分没有奇异点，齿轮的过 渡曲线和渐开线曲线相切，并且齿轮的轮齿没有 根切。 图 6. 3. 2(b) 所示为齿条的过渡曲线已经将齿轮的渐开线齿形根切掉。 齿轮的 过谭曲线和渐开线齿形不再相切， 而是彼此相交。 根切的原因是由于齿条刀具的 安装调整没有排除掉在齿轮的渐开线齿廓上出现奇异点。
式中 v (12) 是滑动速度。
(6.2.2)
共轭曲面和共轭曲线
2.基本运动关系
利用类似的条件，我们得到下列的接触法线顶端速度之间的关系式
nr (2) nr (1) (w(12) n)wk.baidu.com
(6.2.3)
(i ) 这里， nr 是接触法线顶端相对运动(沿着齿面)的速度，不包括法线的牵连
f du f d f d u dt dt dt
(6.3.4)
du d 和 的具有四个线性 dt dt
(iii) 方程(6.3.3 和(6. 3. 4 )是一个含有两个未知数 方程的方程组。
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
同时满足方程组(6.3.3 )~(6.3.5)的条件可以表示为
f C1 （6.4.2）
共轭曲面和共轭曲线
4.曲面族包络存在的充要条件
fu 2 f 2 0
和
M fu (r r ) f (ru r ) f d (ru r ) 0 dt
（6.4.3）
（6.4.4）
式中
这样，曲面族的包络在点 M 的邻域内是存在的，并且可以用
产形曲面族在 S 2 中表示如下
包络存在的充要条件的定理是这样表述的[Zalgaller 1975 的著作]： 假定在点 M (u0 , 0 , 0 ) 处下列条件是得到遵守的
这样，包络存在于局部，即点 M 的邻域内，该包络是用下列方程表示的正 则曲面
G( x, y, z, ) 0
G ( x, y, z, ) 0
共轭曲面和共轭曲线
1.曲面族包络——包络存在的必要条件
2 存在的必要条件保证 2
(如果它存在的话)与 1 相切触。 2
存在的充要条件保证 2 与 1 相切触，并且 2 是正则曲面。 解决所讨论的问题的两种方法可表述为：(i)微分几何中提出 的经典解法和 (ii)齿轮啮合理论中提出的比较简便的解法。 微分几何中提出的经典解法主要是根据曲面族的数学方程来 推导的，对数学要求较高，而用齿轮啮合理论中提出的解法则通 俗易懂。
r1 (u, ) x1 u, i1 y1 u, j1 z1 u, k1
f u, , i 0
式中 i 是被固定的运动参数((i=1, 2，……)。
汇报提纲
1 2 3 4 5 6 曲面族包络——包络存在的必要条件 基本运动关系 不产生根切的必要条件
曲面族包络存在的充要条件
瞬时接触线和接触面 产形曲面 1上瞬时接触线的包络
共轭曲面和共轭曲线
汇报提纲
7 8 极限接触法线的Wildhaber法则
过渡区段的加工
双参数包络 啮合轴
9 10
11 12
啮合枢纽点
用范成法加工齿轮时，若刀具的 齿顶线（或齿顶圆）超过理论啮合线极 限点 N 时，被加工齿轮齿根附近的渐开 线齿廓将被切去一部分，这种现象称为 根切（如图所示）。
根切使齿轮的抗弯强度削弱、承载能力降低、啮合过程缩短、 传动平稳性变差，因此应避免根切。
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
用标准齿条形刀具切制标准齿轮时，被加工齿轮：h f 要求：刀具比标准齿条在齿顶部高出
r1 (u, )
r1
r1 0 u
(u, ) E
(6.1.1)
如果齿轮 2 的齿面确定为曲面族 的包络，而该曲面族 是在 S2 中由齿面 1 形成的，则所需要的齿轮两齿面的接触型式 (每一瞬时在一条线)是能够得到保证的。下面，我们将考察 2 存 在的必要和充要条件。
速度； w(12 ) w(1) w( 2) ； n 是曲面的单位法线矢量。
方程(6..2.2) 和((6.2.3) 的优点是能使我们在齿面 2 的方程尚不知道或者直接
( 2) 应用它们十分复杂的情况下求出 v ( 2 ) 和 nr 。 利用方程(6.2.2)和(6.2.3)， 我们能够
r1 (u, ) C 2
r1 r1 0 u
(u, ) E （6.4.1）
表示。令曲面 1 在 S 2 中形成的曲面族 ，用 r2 (u, , ) 表示。
假定在点 M (u0 , 0 , 0 ) 处下列条件成立
（ru r） r f (u, , ) 0
(i) 从方程(6.3. 1 )可导出
r1 du r1 d v1(12) u dt dt
(6. 3. 3)
这里 r1 / u , r1 / 和 v1(12) 对空间和平面齿轮啮合分别为三维和二维矢量。这些
矢量表示在坐标系 S1 中。 (ii) 从方程(6.3.2) 可导出
如果： (i) 方程 (6.3.6~(6.3.5)中至少有一个成立；(ii)矢量 m 不垂直于 S；的任一 坐标轴。
2 上存在奇异性的充要条件可以用下式表示
12 22 32 F (u, , ) 0
(6.3. 12)
有一种简单的方法可以消除被加工曲面 2 的奇异性和根切。方程
r2 (u, , )
表示。
f (u , , )
0 (6.4.5)
注:不等式(6.4.4)保证包络是正则曲面。 以上定理提供了在一点的邻域内包络 局部存在的充要条件。整个包络可以作为局部求得的许多包络片的集合来确定。
共轭曲面和共轭曲线
4.曲面族包络存在的充要条件
用隐函数形式表示包络存在的充要条件
得出(i)齿轮根切问题的简单解法，(ii)建立起配对齿轮两齿面曲率之间的关系。
共轭曲面和共轭曲线
汇报提纲
1 2 3 4 5 6 曲面族包络——包络存在的必要条件 基本运动关系 不产生根切的必要条件
曲面族包络存在的充要条件
瞬时接触线和接触面 产形曲面 1上瞬时接触线的包络
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
r1 (12 ) r1 ( 21) f ( , ) ( k1 ) v1 ( k1 ) v1 0
(6.1. 4)
共轭曲面和共轭曲线
1.曲面族包络——包络存在的必要条件
共扼齿形必须是这样的，他们在 切触点处的公法线与回转中心线 O1O2 相交（图 6.1.1）并且将该线分为两段
(i ) 沿齿面 1 的相对运动，这个分量标记为 vr (i=1，2)。由于齿轮两齿面的接触具
有连续性，所以接触点处的合成速度对于两个齿轮必须是相同的。于是
v ( abs ) vtr (1) vr (1) vtr (2) vr (2)
从方程(6.2. 1)得到
(6.2. 1)
vr (2) vtr (1) vr (1) vtr (2) vr (1) v (12)
r 1 r 1 (u, )
f (u, , ) 0
F (u, , ) 0
(6.3. 13)
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
确定一条 L 线， 必须用该线限定产形曲面 1 。 在许多情况下， 通过对加工 2 的产形曲面 1 ，进行适当的安装调整，这一点是能够达到的。 图 6.3.1 和 6.3.2 上的图形用齿条刀具加工渐开线直齿外齿轮的实例 说明了根切现象。齿条刀具的齿形( 图 6.3. 1)由直线 1、直线 2 和齿条的 过渡曲线组成，直线 1 形成齿轮的渐开线，直线 2 形成齿轮的齿根圆，而齿 条过渡曲线形成齿轮的过渡曲线。
c m （顶隙）一段。
* ha m c*m
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
齿轮不发生根切的最少齿数求法：
h* m NM
NM PN sin r sin 2
* ha m
mz 2 sin 2
mz 2 sin 2
* 2ha z sin 2
20
(6.4.11)
共轭曲面和共轭曲线
汇报提纲
1 2 3 4 5 6 曲面族包络——包络存在的必要条件 基本运动关系 不产生根切的必要条件
曲面族包络存在的充要条件
瞬时接触线和接触面 产形曲面 1上瞬时接触线的包络
共轭曲面和共轭曲线
5.瞬时接触线和接触面
配对曲面∑1 和∑2 在每一瞬时彼此沿一条线相接触， 该线称作瞬时接触线或 特征线。齿轮齿面上瞬时接触线的位置决定于运动参数 。 曲面∑1 上的瞬时接触线可用下列表达式表示
* ha 1
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
假 1 是用来加工齿轮齿面 2 的刀具齿面。 2 上出现奇异点是齿面在加工过 程中可能产生根切的一种警告。在加工过程中所出现的 2 上的奇异性的数学解
( 2) 释，可以用方程 vr 0 来说明，从该式可导出 vr (1) v (12) 0
方程(6.3. 1)和啮合方程的微分式
d [ f (u , , )] 0 dt
(6.3. 1)
(6.3.2)
可在曲面 1 上确定出这样一条曲线 L，该线将形成 2 上的奇异点。用曲线 L 限 定 1 ，可以避免在 2 上出现奇异点。
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
共轭曲面和共轭曲线
1.曲面族包络——包络存在的必要条件
平面齿轮啮合
在参数表示的情况下，齿轮 1 的齿廓 1 用
r1 ( )
表示。 1 的法线矢量 N (1) 为
N (1)
r1 0
(6.1.2)
r1 k1
(6. 1.3)
式中 K1 为齿轮轴线 z1 的单位矢量。 我们假定齿廓表示在平面 z1 = 0 中，则啮合方程可以导出如下
共轭曲面和共轭曲线
汇报提纲
1 2 3 4 5 6 曲面族包络——包络存在的必要条件 基本运动关系 不产生根切的必要条件
曲面族包络存在的充要条件
瞬时接触线和接触面 产形曲面 1上瞬时接触线的包络
共轭曲面和共轭曲线
4.曲面族包络存在的充要条件
经典方法 曲面族(用参数表示)包络存在的充要条件保证包络是确实存在的，包络与曲 面族的各曲面相切触，并且包络是正则曲面。这些条件可用[Zalgaller 1975 的专 著〕中所提出的下列定理来表示；也可参看关于这个定理的英文出版物 [Litvin 1989(b)的专著〕 。 定理：给定一正则产形曲面族 ，该曲面在 S1 中用
曲面族包络存在的充要条件
瞬时接触线和接触面 产形曲面 1上瞬时接触线的包络
共轭曲面和共轭曲线
2.基本运动关系
假定坐标系 S1 ,S2 和 S f ，分别与齿轮 1、齿轮 2 和机架刚性固接。接触点的
速度可以表示为两个分量:(i) 与齿轮在一起的牵连运动，该分量标记为 vtr (i ) ； （ii）
问题
共轭曲面和共轭曲线
汇报提纲
1 2 3 4 5 6 曲面族包络——包络存在的必要条件 基本运动关系 不产生根切的必要条件
曲面族包络存在的充要条件
瞬时接触线和接触面 产形曲面 1上瞬时接触线的包络
共轭曲面和共轭曲线
1.曲面族包络——包络存在的必要条件
引言
假定坐标系 S 1 , S 2 和 S f 分别与齿轮 1,2 和机架（齿轮箱体） f 刚性固接。齿轮 1 上设有正则曲面∑1，该曲面在 S1 中表示如下
O1 I 和 O2 I ，两线段有如下的关系式
O2 I w(1) (2) m12 O1I w
(O1I O2 I E) （6.1.5）
这里， m12 m12 ( ) ： （i）对非圆形齿 轮是规定的齿轮传动比函数， （ii）对 圆形齿是常数。
共轭曲面和共轭曲线
汇报提纲
1 2 3 4 5 6 曲面族包络——包络存在的必要条件 基本运动关系 不产生根切的必要条件
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
图 6. 3. 2(a)所示为齿条刀具的齿形族和被加工齿轮的齿廓。 齿轮齿廓的渐开 线部分没有奇异点，齿轮的过 渡曲线和渐开线曲线相切，并且齿轮的轮齿没有 根切。 图 6. 3. 2(b) 所示为齿条的过渡曲线已经将齿轮的渐开线齿形根切掉。 齿轮的 过谭曲线和渐开线齿形不再相切， 而是彼此相交。 根切的原因是由于齿条刀具的 安装调整没有排除掉在齿轮的渐开线齿廓上出现奇异点。
式中 v (12) 是滑动速度。
(6.2.2)
共轭曲面和共轭曲线
2.基本运动关系
利用类似的条件，我们得到下列的接触法线顶端速度之间的关系式
nr (2) nr (1) (w(12) n)wk.baidu.com
(6.2.3)
(i ) 这里， nr 是接触法线顶端相对运动(沿着齿面)的速度，不包括法线的牵连
f du f d f d u dt dt dt
(6.3.4)
du d 和 的具有四个线性 dt dt
(iii) 方程(6.3.3 和(6. 3. 4 )是一个含有两个未知数 方程的方程组。
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
同时满足方程组(6.3.3 )~(6.3.5)的条件可以表示为
f C1 （6.4.2）
共轭曲面和共轭曲线
4.曲面族包络存在的充要条件
fu 2 f 2 0
和
M fu (r r ) f (ru r ) f d (ru r ) 0 dt
（6.4.3）
（6.4.4）
式中
这样，曲面族的包络在点 M 的邻域内是存在的，并且可以用
产形曲面族在 S 2 中表示如下
包络存在的充要条件的定理是这样表述的[Zalgaller 1975 的著作]： 假定在点 M (u0 , 0 , 0 ) 处下列条件是得到遵守的
这样，包络存在于局部，即点 M 的邻域内，该包络是用下列方程表示的正 则曲面
G( x, y, z, ) 0
G ( x, y, z, ) 0
共轭曲面和共轭曲线
1.曲面族包络——包络存在的必要条件
2 存在的必要条件保证 2
(如果它存在的话)与 1 相切触。 2
存在的充要条件保证 2 与 1 相切触，并且 2 是正则曲面。 解决所讨论的问题的两种方法可表述为：(i)微分几何中提出 的经典解法和 (ii)齿轮啮合理论中提出的比较简便的解法。 微分几何中提出的经典解法主要是根据曲面族的数学方程来 推导的，对数学要求较高，而用齿轮啮合理论中提出的解法则通 俗易懂。
r1 (u, ) x1 u, i1 y1 u, j1 z1 u, k1
f u, , i 0
式中 i 是被固定的运动参数((i=1, 2，……)。
汇报提纲
1 2 3 4 5 6 曲面族包络——包络存在的必要条件 基本运动关系 不产生根切的必要条件
曲面族包络存在的充要条件
瞬时接触线和接触面 产形曲面 1上瞬时接触线的包络
共轭曲面和共轭曲线
汇报提纲
7 8 极限接触法线的Wildhaber法则
过渡区段的加工
双参数包络 啮合轴
9 10
11 12
啮合枢纽点
用范成法加工齿轮时，若刀具的 齿顶线（或齿顶圆）超过理论啮合线极 限点 N 时，被加工齿轮齿根附近的渐开 线齿廓将被切去一部分，这种现象称为 根切（如图所示）。
根切使齿轮的抗弯强度削弱、承载能力降低、啮合过程缩短、 传动平稳性变差，因此应避免根切。
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
用标准齿条形刀具切制标准齿轮时，被加工齿轮：h f 要求：刀具比标准齿条在齿顶部高出
r1 (u, )
r1
r1 0 u
(u, ) E
(6.1.1)
如果齿轮 2 的齿面确定为曲面族 的包络，而该曲面族 是在 S2 中由齿面 1 形成的，则所需要的齿轮两齿面的接触型式 (每一瞬时在一条线)是能够得到保证的。下面，我们将考察 2 存 在的必要和充要条件。
速度； w(12 ) w(1) w( 2) ； n 是曲面的单位法线矢量。
方程(6..2.2) 和((6.2.3) 的优点是能使我们在齿面 2 的方程尚不知道或者直接
( 2) 应用它们十分复杂的情况下求出 v ( 2 ) 和 nr 。 利用方程(6.2.2)和(6.2.3)， 我们能够
r1 (u, ) C 2
r1 r1 0 u
(u, ) E （6.4.1）
表示。令曲面 1 在 S 2 中形成的曲面族 ，用 r2 (u, , ) 表示。
假定在点 M (u0 , 0 , 0 ) 处下列条件成立
（ru r） r f (u, , ) 0
(i) 从方程(6.3. 1 )可导出
r1 du r1 d v1(12) u dt dt
(6. 3. 3)
这里 r1 / u , r1 / 和 v1(12) 对空间和平面齿轮啮合分别为三维和二维矢量。这些
矢量表示在坐标系 S1 中。 (ii) 从方程(6.3.2) 可导出
如果： (i) 方程 (6.3.6~(6.3.5)中至少有一个成立；(ii)矢量 m 不垂直于 S；的任一 坐标轴。
2 上存在奇异性的充要条件可以用下式表示
12 22 32 F (u, , ) 0
(6.3. 12)
有一种简单的方法可以消除被加工曲面 2 的奇异性和根切。方程
r2 (u, , )
表示。
f (u , , )
0 (6.4.5)
注:不等式(6.4.4)保证包络是正则曲面。 以上定理提供了在一点的邻域内包络 局部存在的充要条件。整个包络可以作为局部求得的许多包络片的集合来确定。
共轭曲面和共轭曲线
4.曲面族包络存在的充要条件
用隐函数形式表示包络存在的充要条件
得出(i)齿轮根切问题的简单解法，(ii)建立起配对齿轮两齿面曲率之间的关系。
共轭曲面和共轭曲线
汇报提纲
1 2 3 4 5 6 曲面族包络——包络存在的必要条件 基本运动关系 不产生根切的必要条件
曲面族包络存在的充要条件
瞬时接触线和接触面 产形曲面 1上瞬时接触线的包络
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
r1 (12 ) r1 ( 21) f ( , ) ( k1 ) v1 ( k1 ) v1 0
(6.1. 4)
共轭曲面和共轭曲线
1.曲面族包络——包络存在的必要条件
共扼齿形必须是这样的，他们在 切触点处的公法线与回转中心线 O1O2 相交（图 6.1.1）并且将该线分为两段
(i ) 沿齿面 1 的相对运动，这个分量标记为 vr (i=1，2)。由于齿轮两齿面的接触具
有连续性，所以接触点处的合成速度对于两个齿轮必须是相同的。于是
v ( abs ) vtr (1) vr (1) vtr (2) vr (2)
从方程(6.2. 1)得到
(6.2. 1)
vr (2) vtr (1) vr (1) vtr (2) vr (1) v (12)
r 1 r 1 (u, )
f (u, , ) 0
F (u, , ) 0
(6.3. 13)
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
确定一条 L 线， 必须用该线限定产形曲面 1 。 在许多情况下， 通过对加工 2 的产形曲面 1 ，进行适当的安装调整，这一点是能够达到的。 图 6.3.1 和 6.3.2 上的图形用齿条刀具加工渐开线直齿外齿轮的实例 说明了根切现象。齿条刀具的齿形( 图 6.3. 1)由直线 1、直线 2 和齿条的 过渡曲线组成，直线 1 形成齿轮的渐开线，直线 2 形成齿轮的齿根圆，而齿 条过渡曲线形成齿轮的过渡曲线。
c m （顶隙）一段。
* ha m c*m
共轭曲面和共轭曲线
3.不产生根切的必要条件
齿轮不发生根切的最少齿数求法：
h* m NM
NM PN sin r sin 2
* ha m
mz 2 sin 2
mz 2 sin 2
* 2ha z sin 2
20
(6.4.11)
共轭曲面和共轭曲线
汇报提纲
1 2 3 4 5 6 曲面族包络——包络存在的必要条件 基本运动关系 不产生根切的必要条件
曲面族包络存在的充要条件
瞬时接触线和接触面 产形曲面 1上瞬时接触线的包络
共轭曲面和共轭曲线
5.瞬时接触线和接触面
配对曲面∑1 和∑2 在每一瞬时彼此沿一条线相接触， 该线称作瞬时接触线或 特征线。齿轮齿面上瞬时接触线的位置决定于运动参数 。 曲面∑1 上的瞬时接触线可用下列表达式表示