第七章微元法

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微元法的基本原理

微元法的基本原理嘿，你有没有想过，在面对一些超级复杂的物理或者数学问题时，科学家们是怎么巧妙解决的呢？今天我就来给你讲讲这个超酷的方法——微元法。

我有个朋友叫小李，他呀，在学习物理的时候就碰到了一个大难题。

那是关于求一个不规则形状物体的质量分布问题。

这个物体弯弯曲曲的，根本不是什么规则的几何形状，可把他愁坏了。

这时候呀，我就给他提到了微元法。

那微元法到底是个啥原理呢？简单来说，就是把一个复杂的、难以直接处理的大东西，分割成无数个非常非常小的部分，这些小部分就叫做微元。

这就好比呀，你要数清楚一大群密密麻麻的蚂蚁，直接数太困难了，那怎么办呢？咱们可以把这群蚂蚁分成一小堆一小堆的，这样数起来就容易多了。

这些一小堆一小堆的蚂蚁就类似于微元。

咱们再回到小李那个问题。

这个不规则物体，我们可以想象把它分割成很多很多极小的小块。

这些小块小到什么程度呢？小到我们可以近似地把它们看成是规则的形状，比如说小正方体或者小球体之类的。

这就像你看一幅超级复杂的大拼图，远看眼花缭乱，但是你把它拆成一个个小拼图块，每个小拼图块看起来就简单多了。

在数学和物理里，我们把这个物体分割成微元之后呢，就可以对每个微元进行分析啦。

比如说在计算这个不规则物体的质量时，对于每个微元，我们可以根据它近似的规则形状来计算它的质量。

这时候你可能会问，那这么多微元，计算起来不是也很麻烦吗？哈哈，这就引出微元法的另一个关键啦。

当我们把这些微元的质量都计算出来之后呢，我们就可以通过积分这个强大的数学工具，把所有微元的质量加起来，这样就得到了整个不规则物体的质量。

这就好比你把那些一小堆一小堆数好的蚂蚁数量加起来，就得到了蚂蚁的总数一样。

积分在这里就像是一个超级大箩筐，把所有微元的计算结果都收纳进去，然后整合起来。

我还有个同学叫小王，他在研究流体力学的时候也用到了微元法。

流体可是很调皮的，到处流动，形状时刻在变。

他要研究流体流过一个复杂管道时的压力变化。

这管道弯弯曲曲的，就像一条蜿蜒的大蛇。

【高考专题】微元法

【高考专题】微元法【定义】“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。

部分情况说明：变力做功（如：弹簧弹力做功）、变速导线切割磁感线的安培力做功、非规则运动求解位移…（利用图像分析过程与积分）【作用】（1）变力做功——>恒力做功：—>0t ∆，这个极短时间内，变力F 可以看作恒力 2211()22k F s E m v v mv mv v ∆=∆=+∆-=∆（忽略高阶无穷小）电磁感应中：v RL B BIL F 22==，变力做功，用微元法（2）变力冲量——>恒力冲量()F t I m v v mv m v ∆=∆=+∆-=∆0vv v -=∆∑，当末速度0=v 时，有∑=∆0v v （3）变加速运动——>匀加速运动 —>v=F v F a t m t m∆==∆∆∆；x t v ∆=∆ （4）“化曲为直”（5）“化整为零”【解题步骤】整体→微元→整体例：以一定初速度在光滑水平平行导轨上运动的金属棒，组成闭合回路电阻R ，导轨间距L ，磁感应强度竖直向上，垂直导轨平面，大小B ，最终运动距离S ，金属棒质量m ，求初速度。

一、从整体出发，分析整个过程取一个整体过程作为对象：运动2m 这个过程，二、微元（取整体中非常小的一部分处理）（1）确定研究对象（金属棒）（2）取“微元”（Δs ）①几何体微元；②物理微元：线速度微元、角速度微元、面积微元、质量微元，时间微元，位移微元，做功微元，电流微元等运动学：一般取时间微元（△t ）、位移微元（△S ）（3）对“微元进行处理”（动能定理/动量定理）1）列关系式①数学方法：微分、积分、数列等②物理方法：牛顿运动定律、动能定理、动量定理…2）化简①消元，化简1）中的关系式222222111111()222222F s m v v mv mv mv v m v mv mv v m v ∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆ ②省掉高阶无穷小量：即两阶以上无穷小，如2v ∆，t v ∆∆等F s mv v ∆=∆（其中的高阶无穷小212m v ∆省掉）三、回归到整体选取整个过程作为对象，对上一步微元中的等式两边求和。

7.1-7.2.1定积分的微元法与平面图形的面积

面积元素为： [f 上(x)-f 下(x)]dx．
所求图形的面积为：
A=
b a
[f
上(x)-f
下(x)]dx．
y=f 上(x) y
O
a
y=f 下(x) x x+dx
bx
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的面积，也可以按如下方法求面积：
所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差
y = f(x) bx
•在 [a, b]中任意插
入 n -1个分点．
y
y = f(x) f(i)
得n个小区间： [xi-1 , xi ]
f(2) f(1)
区间[xi-1 , xi ]的长
度Dxi xi -xi-1 ．
f(i)Dxi
(i=1, 2 , ···, n)． n
A DAi i 1
O
a 1 x1 2 x2
被积函数=大函数-小函数
例2 计算抛物线y22x 与直线yx-4所围成的图形的面积．
解画图．求两曲线的交点得：(2，-2)，(8，4)．
将图形向 y 轴投影得区间[-2，4]．
y 2=2x
选 y 为积分变量 y [-2, 4] 4
(8, 4)
[ y, y dy] [-2, 4],
2
y=x-4
lim
0
i1
f (i )Dxi
．记
b
f ( x) dx
a
y
简化步骤：
任取 x, x dx a,b
DA f x dx dA
面积元素 O a
A
b
a
f
x dx
y = f(x)

微元法成立的条件

微元法成立的条件
微元法是一种数学方法，其成立的条件主要包括以下几点：
1. 微元的选取：在应用微元法时，首先要选取适当的微元。

微元是指对研究对象进行无限细分后得到的某个小单元，需要选取的微元应当是能够代表研究对象的特征或规律的最小单元。

2. 微元的重要性：所选取的微元应当在研究对象中占有足够的代表性，能够反映研究对象的基本特征或规律。

3. 微元的稳定性：所选取的微元应当具有相对稳定性，即在不同条件下，微元的表现应当具有一定的稳定性，这样才能保证微元法得到的结论具有可靠性。

4. 微元的可加性：所选取的微元应当具有可加性，即多个微元可以累加起来，共同构成研究对象。

5. 微元的可近似性：在应用微元法时，有时需要对微元进行近似处理，如将不规则形状近似为规则形状、将复杂问题近似为简单问题等。

因此，所选取的微元应当具有可近似性。

6. 数学处理上的便利性：在应用微元法时，需要对微元进行数学上的处理，如求导数、积分等。

因此，所选取的微元应当在数学处理上比较便利，能够方便地得到所需的数学表达式或公式。

总之，微元法的成立需要满足一定的条件，包括微元的选取、微元的重要性、稳定性、可加性、可近似性和数学处理上的便利性等。

只有满足这些条件，才能保证微元法得到的结果具有可靠性和实用性。

第七章微元法

二、用定积分表示量U的基本步骤:
(1)根据问题的具体情况,选取一个变量
例如x为积分变量,并确定其变化区间[a,b];
[ (2) 在区间[a,b]内任取一个小区间 x , x dx] ,
求出相应于这个小区间的部分量 U的近似值. 如果 U 能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在
x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积,
0
a 2 2 [2 1 4 ln(2 1 4 )] 2
微元法求体积
一、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.
o
a
b
x
设立体介于x=a,x=b之间, A( x ) 表示过点
图形的面积.
解
两曲线的交点 (0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素dA ( x x )dx
2
x y2
y x2
2 3 x 1 A 0 ( x x )dx x 2 . 3 0 3 3
1
3
1
2
例 2 计算由曲线 y 2 2 x 和直线 y x 4 所围成的图形的面积.
a
b
x 且垂直于 x 轴
A 的截面面积， ( x ) 为x 的已知连续函数取x为积分变量,其变化范围为[a,b].
[ x , x dx]
立体体积
体微元 dV A( x )dx,
x
V

b
a
A( x )dx.
例 7 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.

7.1 微元法的基本思想

4
7.1 微元法的基本思想
按定义建立积分式有四步曲:
“分割、取近似、求和、取极限 ”, 得到
I f ( x )dx lim f ( i )xi 0
a
i 1
b
n
(1)
有了牛顿-莱布尼茨公式后, 这个复杂的极限运算问题得到了解决. 对应用问题来说关键就在于如何写出被积表达式.
f ( x )dx , 即
I f ( x )dx .
( 2) I a f ( x ) dx
这种简化了的建立积分式的方法称为微元法
b
或元素法.
6
7.1 微元法的基本思想
曲边梯形面积的积分式也可以用微元法建立如下.
设曲边梯形是由y = f (x), 直线x = a, x = b与x
轴围成. 在[a, b]上任取一小区间
8
7.1 微元法的基本思想
思考题
何为定积分的微元法？微元法使用的条件和程序是怎样的?
9
xxfd?ba简化步骤求出或1即dxxfdxxfi??在ab上任取一小区间xxdxxxdx上所求量i的近似值也是它的微分微元法71微元法的基本思想7oxyabxfy??xxxd??这个小区间上所对应的小曲边梯形面积得曲边梯形面积的积分式也可以用微元法建立如下
第7章
y
定积分的应用
y f ( x)
O a
y
y f ( x)
[ x, x dx], 这个小区间上所
对应的小曲边梯形面积近似地等于长为f (x)、宽为dx 的小矩形面积, 故有
O
a
x x dx b
b

x
面积微元 dA f ( x )dx 得

高中物理重要方法典型模型突破7-数学方法(5)--微元法 (解析版)

专题七数学方法（5）微元法【重要方法点津】在物理学的问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或出于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此研究对象的物理量有的可能是不变的，而更多的则可能是变化的，对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是将全过程分为很多短暂的微小过程或将研究对象的整体分解为很多微小局部，这些微小过程或者是微小的局部常被称为“微元”，而且每个微元所遵行的规律是相同的，取某一微元加以分析，然后在将微元进行必要的数学方法或物理思想处理归纳出适用于全过程或者是整体的结论，这种方法被称为“微元法”。

微元法是物理学研究连续变化量的一种常用方法。

微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。

这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。

利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。

应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程；（2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。

微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。

【典例讲练突破】【例1】设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物体的位移与时间的关系式为2012x v t at =+，试推导。

【点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t ∆极短，写出v t -图像下微元的面积的表达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。

【解析】作物体的v t -图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t ∆极短，速度可以看成是不变的，设第i 段的速度为i v ，则在t ∆时间内第i 段的位移为i i x v t =∆，物体在t 时间内的位移为i i x x v t =∑=∑∆，在v t -图像上则为若干个微小矩形面积之和。

微元法及其在物理中的应用(大整理好)

三、举例例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放臵一光滑均匀铁链，其 A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：θθθθT G T T +∆=∆+cos θρθθcos cos Lg G T ∆=∆=∆由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和，即 ∑∑∑∆=∆=∆=θρθρθcos cos L g Lg T T观察 θcos L ∆的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小，所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ，所以∑=∆R L θcos 可得铁链A 端受的拉力 ∑=∆=gR L g T ρθρcos例5：半径为R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈的劲度系数为k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位臵上，如图3—5所示，若平衡时弹性绳圈长为R π2，求弹性绳圈的劲度系数k.解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象，进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙.先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m 所对的圆心角是△θ，则每一小段的质量 M m πθ2∆=∆ △m 在该平面上受拉力F 的作用，合力为2sin2)2cos(2θθπ∆=∆-=F F T 因为当θ很小时，θθ≈sin 所以θθ∆=∆=F FT 22 再看正视图3—5—乙，△m 受重力△mg ，支持力N ，二力的合力与T 平衡.即 θtan ⋅∆=mg T现在弹性绳圈的半径为 R R r 2222==ππ 所以 ︒===4522sin θθR r 1tan =θ因此T=Mg mg πθ2∆=∆ ①、②联立，θπθ∆=∆F Mg 2，解得弹性绳圈的张力为： π2MgF =设弹性绳圈的伸长量为x 则 R R R x πππ)12(2-=-=所以绳圈的劲度系数为：RMgR Mg x F k 222)12()12(2ππ+=-==例6：一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.解析：因为向心力F=mr ω2，当ω一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω，r 应取最大值.如图3—6所示，在圆环上取一小段△L ，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为M m πθ2∆=∆，受圆环对它的张力为T ，则同上例分析可得 22sin 2ωθmr T ∆=∆ 因为△θ很小，所以22sin θθ∆≈∆，即 2222ωπθθMr T ∆=∆⋅解得最大角速度 MrTπω2= 例7：一根质量为M ，长度为L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图3—7所示，求链条下落了长度x 时，链条对地面的压力为多大？解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击.设开始下落的时刻t=0，在t 时刻落在地面上的链条长为x ，未到达地面部分链条的速度为v ，并设链条的线密度为ρ.由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零.从t 时刻起取很小一段时间△t ，在△t 内又有△M=ρ△x 落到地面上静止.地面对△M 作用的冲量为I t Mg F ∆=∆∆-)( 因为 0≈∆⋅∆t Mg所以 x v v M t F ∆=-⋅∆=∆ρ0 解得冲力：t x vF ∆∆=ρ，其中tx ∆∆就是t 时刻链条的速度v ，故 2v F ρ= 链条在t 时刻的速度v 即为链条下落长为x 时的即时速度，即v 2=2g x ，代入F 的表达式中，得 gx F ρ2=此即t 时刻链对地面的作用力，也就是t 时刻链条对地面的冲力. 所以在t 时刻链条对地面的总压力为 .332LMgxgx gx gx N ==+=ρρρ 例8：一根均匀柔软的绳长为L ，质量为m ，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为x 时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？解析：钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化，由此可用微元法求解.如图3—8所示，当左边绳端离钉子的距离为x 时，左边绳长为)(21x l -，速度 gx v 2=，右边绳长为).(21x l + 又经过一段很短的时间△t 以后，左边绳子又有长度t V ∆21的一小段转移到右边去了，我们就分析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉力T 和它本身的重力l m g t v /(21=∆λλ为绳子的线密度），根据动量定理，设向上方向为正 )21(0)21(v t v t g t v T ⋅∆--=∆∆-λλ 由于△t 取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T 来说是很小的，可以忽略，所以有 λλgx v T ==221 因此钉子对右边绳端的作用力为 )31(21)(21lx mg T g x l F +=++=λ例9：图3—9中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m.设圆盘与绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度.解析：求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位长度所受的支持力.因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳，其两端受的张力大小相等，又因为绳上各点受的支持力方向不同，故不能以整条绳为研究对象，只能以一小段绳为研究对象分析求解.在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元△L ，△L 所对应的圆心角为△θ，如图3—9—甲所示，绳元△L 两端的张力均为T ，绳元所受圆盘法向支持力为△N ，因细绳质量可忽略，法向合力为零，则由平衡条件得：2sin 22sin 2sinθθθ∆=∆+∆=∆T T T N当△θ很小时，22sin θθ∆≈∆ ∴△N=T △θ 又因为 △L=R △θ则绳所受法向支持力线密度为 RTR T L N n =∆∆=∆∆=θθ ① 以M 、m 分别为研究对象，根据牛顿定律有 Mg －T=Ma ②T －mg=m a ③ 由②、③解得： mM MmgT +=2将④式代入①式得：Rm M Mm gn )(2+=例10：粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R 和r 的两圆环相切.若在切点放一质点m ，恰使两边圆环对m 的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？解析：若要直接求整个圆对质点m 的万有引力比较难，当若要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件，考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量m 的相互作用，然后推及整个圆环即可求解.如图3—10所示，过切点作直线交大小圆分别于P 、Q 两点，并设与水平线夹角为α，当α有微小增量时，则大小圆环上对应微小线元αα∆⋅=∆∆⋅=∆2221r L R L其对应的质量分别为 αρρ∆⋅=∆=∆21111R l mαρρ∆⋅=∆=∆22222r l m 由于△α很小，故△m 1、△m 2与m 的距离可以认为分别是 ααcos 2cos 221r r R r ==所以△m 1、△m 2与m 的万有引力分别为222222212111)cos 2(2,)cos 2(2ααρααρr mR G r m Gm F R m R G r m Gm F ∆⋅=∆=∆∆⋅=∆=∆ 由于α具有任意性，若△F 1与△F 2的合力为零，则两圆环对m 的引力的合力也为零，即2221)cos 2(2)cos 2(2ααρααρr mr G R m R G ∆⋅=∆⋅ 解得大小圆环的线密度之比为：rR=21ρρ 例11：一枚质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v ，那么火箭发动机的功率是多少？解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率.选取在△t 时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F ，根据动量定理，有 F △t=△m ·v 因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有F=Mg 即 Mg ·△t=△m ·v △t=△m ·v/Mg对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为： 221mv W ∆=所以发动机的功率 MgV Mg mV mv t W P 21)/(212=∆∆=∆=例12：如图3—11所示，小环O 和O ′分别套在不动的竖直杆AB 和A ′B ′上，一根不可伸长的绳子穿过环O ′，绳的两端分别系在A ′点和O 环上，设环O ′以恒定速度v 向下运动，求当∠AOO ′=α时，环O 的速度.解析：O 、O ′之间的速度关系与O 、O ′的位臵有关，即与α角有关，因此要用微元法找它们之间的速度关系. 设经历一段极短时间△t ，O ′环移到C ′，O 环移到C ，自C ′ 与C 分别作为O ′O 的垂线C ′D ′和CD ，从图中看出.ααcos ,cos D O C O OD OC ''=''=因此OC+O ′C ′=αcos D O OD ''+ ①因△α极小，所以EC ′≈ED ′，EC ≈ED ，从而OD+O ′D ′≈OO ′－CC ′ ②由于绳子总长度不变，故 OO ′－CC ′=O ′C ′ ③由以上三式可得：OC+O ′C ′=αcos C O '' 即)1cos 1(-''=αC O OC 等式两边同除以△t 得环O 的速度为 )1cos 1(0-=αv v 例13：在水平位臵的洁净的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈现圆饼形状（侧面向外凸出），过圆饼轴线的竖直截面如图3—12所示，为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180°计算.已知水银密度33/106.13m kg ⨯=ρ，水银的表面张力系数./49.0m N =σ当圆饼的半径很大时，试估算其厚度h 的数值大约为多少？（取1位有效数字即可）解析：若以整个圆饼状水银为研究对象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液体的体积不是h 的简单函数，而且支持力N 和重力mg 都是未知量，方程中又不可能出现表面张力系数，因此不可能用整体分析列方程求解h.现用微元法求解.在圆饼的侧面取一个宽度为△x ，高为h 的体积元，，如图 3—12—甲所示，该体积元受重力G 、液体内部作用在面积△x ·h 上的压力F ，x gh xh hg S P F ∆⋅=∆⋅==22121ρρ，还有上表面分界线上的张力F 1=ς△x 和下表面分界线上的张力F 2=ς△x .作用在前、后两个侧面上的液体压力互相平衡，作用在体积元表面两个弯曲分界上的表面张力的合力，当体积元的宽度较小时，这两个力也是平衡的，图中都未画出.由力的平衡条件有：0cos 21=--F F F θ 即0cos 212=∆-∆-∆x x x gh σθσρ 解得：θρθσcos 1107.2)cos 1(23+⨯=+=-gh由于 ,2cos 11,20<+<<<θπθ所以故2.7×10－3m<h<3.8×10－3m题目要求只取1位有效数字，所以水银层厚度h 的估算值为3×10－3m 或4×10－3m. 例16：如图3—15所示，一质量均匀分布的细圆环，其半径为R ，质量为m.令此环均匀带正电，总电量为Q.现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，并处于磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向竖直向下.当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角速度ω沿图示方向旋转时，环中的张力等于多少？（设圆环的带电量不减少，不考虑环上电荷之间的作用）解析：当环静止时，因环上没有电流，在磁场中不受力，则环中也就没有因磁场力引起的张力.当环匀速转动时，环上电荷也随环一起转动，形成电流，电流在磁场中受力导致环中存在张力，显然此张力一定与电流在磁场中受到的安培力有关. 由题意可知环上各点所受安培力方向均不同，张力方向也不同，因而只能在环上取一小段作为研究对象，从而求出环中张力的大小.在圆环上取△L=R △θ圆弧元，受力情况如图3—15—甲所示.因转动角速度ω而形成的电流 πω2Q I =，电流元I △L 所受的安培力θπω∆=∆=∆QB R LB I F 2 因圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力，R m F T 22sin2ωθ∆=∆-∆ 当△θ很小时，R m QBR T 2222sin ωθπωθθθ∆=∆-∆∆≈∆ θπωθπωθθπ∆=∆-∆∴∆=∆2222Rm QB R T mm解得圆环中张力为 )(2ωπωm QB R T +=例17：如图3—16所示，一水平放臵的光滑平行导轨上放一质量为m 的金属杆，导轨间距为L ，导轨的一端连接一阻值为R 的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面.现给金属杆一个水平向右的初速度v 0，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？解析：水平地从a 向b 看，杆在运动过程中的受力分析如图3—16—甲所示，这是一个典型的在变力作用下求位移的题，用我们已学过的知识好像无法解决，其实只要采用的方法得当仍然可以求解.设杆在减速中的某一时刻速度为v ，取一极短时间△t ，发生了一段极小的位移△x ，在△t 时间内，磁通量的变化为 △φ △φ=BL △x tRxBL tR RI ∆∆=∆∆Φ==ε金属杆受到安培力为tRxL B ILB F ∆∆==22安由于时间极短，可以认为F 安为恒力，选向右为正方向，在△t 时间内，安培力F 安的冲量为：RxL B t F I ∆-=∆⋅-=∆22安对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为x RL B R x L B I 2222)(-=∆-=∑ ① 其中x 为杆运动的最大距离，对金属杆用动量定理可得 I=0－mV 0 ② 由①、②两式得：220L B Rm V x =例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电容器的电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是两根位于同一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计，两导轨间距为L ，导轨处在磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向.L 1和L 2是两根横放在导轨上的导体小棒，质量分别为m 1和 m 2，且21m m <.它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻相同，开始时两根小棒均静止在导轨上.现将开关S 先合向1，然后合向2.求：（1）两根小棒最终速度的大小；（2）在整个过程中的焦耳热损耗.（当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计）解析：当开关S 先合上1时，电源给电容器充电，当开关S 再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大.（1）设两小棒最终的速度的大小为v ，则分别为L 1、L 2为研究对象得：1111v m v m t F i i -'=∆ ∑=∆v m t F i i 111 ① 同理得：∑=∆v m t Fi i 222②由①、②得：v m m t Ft F i i i i )(212211+=∆+∆∑∑又因为 11Bli F i = 21i i t t ∆=∆ 22Bli F i = i i i =+21所以∑∑∑∑∆=∆+=∆+∆i i i i t i BL t i i BL tBLi t BLi )(212211v m m q Q BL )()(21+=-=而 Q CE =, q CU CBLv ='=,所以解得小棒的最终速度 2221)(LCB m m BLCEv ++=（2）因为总能量守恒，所以热Q v m m C q CE +++=22122)(212121 即产生的热量 22122)(212121v m m C q CE Q +--=热 )(2)()()]([2121)(21)(12121222122122212122222122C L B m m CE m m L CB m m BLCEm m L CB CE v m m CBLv C CE +++=+++--=+--=5．质量为M 的平板小车在光滑的水平面上以v 0向左匀速运动，一质量为m 的小球从高h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h.设M>>m ，碰撞弹力N>>g ，球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起后的水平速度可能是（）A ．gh 2B ．0C ．gh 22μD ．v 06．半径为R 的刚性球固定在水平桌面上.有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长 2πa ，a =R/2，绳圈的弹性系数为k （绳伸长s 时，绳中弹性张力为ks ）.将绳圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，并最后停留在某个静力平衡位臵.考虑重力，忽略摩擦.（1）设平衡时弹性绳圈长2πb ，b=a 2，求弹性系数k ；（用M 、R 、g 表示，g 为重力加速度）（2）设k=Mg/2π2R ，求绳圈的最后平衡位臵及长度.7．一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内，在环内的环底A 处有一质量为m 、直径比管径略小的小球，小球上连有一根穿过环顶B 处管口的轻绳，在外力F 作用下小球以恒定速度v 沿管壁做半径为R 的匀速圆周运动，如图3—23所示.已知小球与管内壁中位于大环外侧部分的动摩擦因数为μ，而大环内侧部分的管内壁是光滑的.忽略大环内、外侧半径的差别，认为均为R.试求小球从A 点运动到B 点过程中F 做的功W F .14．如图3—30所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L 的区域内，现有一个边长为a （a <L ），质量为m 的正方形闭合线框以初速v 0垂直磁场边界滑过磁场后，速度变为v （v <v 0），求：（1）线框在这过程中产生的热量Q ；（2）线框完全进入磁场后的速度v ′.15．如图3—31所示，在离水平地面h 高的平台上有一相距L 的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C ，充电后两端电压为U 1.轨道平面处于垂直向上的磁感应强度为B 的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m 的金属棒，当闭合S ，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U 2，求棒落在离平台多远的位臵.16．如图3—32所示，空间有一水平方向的匀强磁场，大小为B ，一光滑导轨竖直放臵，导轨上接有一电容为C 的电容器，并套一可自由滑动的金属棒，质量为m ，释放后，求金属棒的加速度a .参考答案：1．321v S ρ 2．θ=60°)223(2hsg h + 3．)cos 1/(x v + 4．2cos /θv 5．CD 6．（1）RMg 22)12(π+ （2）绳圈掉地上，长度为原长 7．22v m mgR πμ+ 8．6.25×1015,2:1 9．2322)(x R Qqx K+ 10．32R l Q Kρ∆ 11．R k λ2 12．rk λ2 13．σπR 2 14．2),(210220v v v v v m +='- 15．gh m u u CBL 2)(21- 16．22L CB m mg a +=。

微元法

三、微元法方法简介微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。

用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。

在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。

使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

赛题精讲例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以悟空速度v 沿水平直线行走。

设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C 点是做匀速直线运动。

解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。

设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程Δt （Δt→0），则人由AB 到达A ′B ′，人影顶端C 点到达C ′点，由于ΔS AA ′= v Δt 则人影顶端的移动速度：v C =CC t 0S lim t '∆→∆∆=AA t 0H S H h lim t '∆→∆-∆=H H h -v 可见v c 与所取时间Δt 的长短无关，所以人影的顶端C 点做匀速直线运动。

例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ 。

试求铁链A 端受的拉力T 。

解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况。

在铁链上任取长为ΔL 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示。

由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：T θ + ΔT θ = ΔGcos θ + T θ ，ΔT θ = ΔGcos θ = ρg ΔLcos θ由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大ΔT θ ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上ΔT θ的和，即：T = ΣΔT θ = Σρg ΔLcos θ = ρg ΣΔLcos θ观察ΔLcos θ的意义，见图3—2—乙，由于Δθ很小，所以CD ⊥OC ，∠OCE = θΔLcosθ表示ΔL 在竖直方向上的投影ΔR ，所以ΣΔLcos θ = R ，可得铁链A 端受的拉力：T = ρg ΣΔLcos θ = ρgR例3：某行星围绕太阳C 沿圆弧轨道运行，它的近日点A 离太阳的距离为a ，行星经过近日点A 时的速度为v A ，行星的远日点B 离开太阳的距离为b ，如图3—3所示，求它经过远日点B 时的速度v B 的大小。

微元法

dWe = ωe dV 1 εE2dv W = ∫ ωedv = ∫ e 2 v v
对电场存在的空间积分
磁场的能量
B W m = ωm = 磁能密度 V 2
2
1.均匀磁场均匀磁场均匀磁
Wm = ωm V dWm = ωm dV
B Wm = ωm dV = ∫ 2 dV V V
视中场均匀 2.非均匀磁场分割非均匀磁场分割V→dv,视dV中场均匀非均匀磁小体元能量总能量
W= S面积= OAAB= xkx= kx 2，即Ep= kx 2
W = ∫ F idr = ∫ kxdx = kx kx0
x0 x0 1 2 2 1 2
x
x
2
例2.如图示,一水平放置的光滑平行导轨上放一质量 2.如图示, 如图示为m的金属杆,导轨间距为L,导轨的一段连接一阻值的金属杆,导轨间距为L,导轨的一段连接一阻值 L, 为的电阻,其他电阻不计,磁感应强度为B 为的电阻,其他电阻不计,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面, 场垂直于导轨平面,现给金属杆一水平向右的初速然后任其运动,导轨足够长, 度V0,然后任其运动,导轨足够长,试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离x 及通过杆ab的电量q? ab的电量轨上向右移动的最大距离xm及通过杆ab的电量q? 分析： ab受变力受变力，分析：杆ab受变力，作减速运动解：设t=0，杆ab与MP重合； t=0， ab与MP重合；重合 t>0.杆ab有 t>0.杆ab有v0→v →0；；微元法: v，极短视v不变 1微元法: t: v，t+Δt: v (t极短视不变）且 vt = x 极短视 BLV 动生电动势 BL t t : q = I t = q= ∑Vt R R BL 0 →t : q = I t = ∑ BLV t = x R R

微元法高中物理例子

微元法高中物理例子微元法是物理学中一种常用的计算方法，它通过将整个问题划分为许多微小的部分，然后对这些微小部分进行分析，最后将这些微小部分的结果加总起来得到整体的结果。

下面是高中物理中常用微元法的一些例子：1. 弹簧振子的运动：考虑一个弹簧振子，我们可以将弹簧分成许多微小的长度元素，每个长度元素受到的弹性力可以通过胡克定律计算得到。

然后将每个长度元素的弹性力加总起来，得到整个弹簧振子的合力，从而得到振子的运动方程。

2. 摩擦力的计算：考虑一个物体在倾斜面上滑动，我们可以将倾斜面分成许多微小的长度元素，每个长度元素受到的重力和法向力可以计算得到。

然后将每个长度元素的重力和法向力分解，并根据受力平衡条件计算出每个长度元素的摩擦力，从而得到整个物体受到的摩擦力。

3. 电场力的计算：考虑一个电荷在电场中受力，我们可以将电场分成许多微小的体积元素，每个体积元素受到的电场力可以通过库仑定律计算得到。

然后将每个体积元素的电场力加总起来，得到整个电荷受到的电场力，从而得到电荷的运动方程。

4. 磁场力的计算：考虑一个带电粒子在磁场中受力，我们可以将磁场分成许多微小的面元素，每个面元素受到的磁场力可以通过洛伦兹力计算得到。

然后将每个面元素的磁场力加总起来，得到整个带电粒子受到的磁场力，从而得到带电粒子的运动方程。

5. 热传导的计算：考虑一个导热体中的热传导过程，我们可以将导热体分成许多微小的体积元素，每个体积元素受到的热传导可以通过傅里叶定律计算得到。

然后将每个体积元素的热传导加总起来，得到整个导热体的热传导，从而得到导热体的温度分布。

6. 空气阻力的计算：考虑一个物体在空气中运动，我们可以将空气分成许多微小的体积元素，每个体积元素受到的空气阻力可以通过斯托克斯定律计算得到。

然后将每个体积元素的空气阻力加总起来，得到整个物体受到的空气阻力，从而得到物体的运动方程。

7. 光的折射和反射：考虑光在介质中的传播，我们可以将介质分成许多微小的面元素，每个面元素的折射和反射可以通过斯涅尔定律计算得到。

微元法高中物理例子

微元法高中物理例子微元法是一种在物理学中常用的数学方法，用于求解连续介质中各个微小部分的物理性质。

下面将给出10个高中物理例子，以展示微元法的应用。

1. 弹簧振子的质点振动：考虑一个弹簧振子，我们可以将弹簧分成无数个微小的微元段。

通过对每个微元段施加受力分析，可以求解弹簧振子的振动频率和振动方程。

2. 均匀带电细杆的电场：假设有一根长度为L的均匀带电细杆，我们可以将细杆分成无数个微小的微元段，并对每个微元段的电场进行叠加，最终求解整个细杆的电场分布。

3. 热传导的微元法：研究物体中的热传导过程时，可以将物体分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的热量传递进行分析，得到整个物体的温度分布。

4. 电流通过导线的微元法：考虑一个直流电流通过一段导线，可以将导线分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的电流密度进行分析，求解整个导线的电流分布。

5. 球形物体的重力场：研究球形物体的重力场时，可以将球体分成无数个微小的微元体积，并通过对每个微元体积的重力进行叠加，得到整个球体的重力场分布。

6. 简谐振子的动能和势能：对于一个简谐振子，可以将其振动范围分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的动能和势能进行分析，求解整个振子的动能和势能关系。

7. 长直导线的磁场：考虑一根无限长直导线，可以将导线分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的磁场进行叠加，得到整个导线的磁场分布。

8. 球形物体的电场：研究球形物体的电场时，可以将球体分成无数个微小的微元体积，并通过对每个微元体积的电场进行叠加，得到整个球体的电场分布。

9. 空气中的声波传播：研究声波在空气中的传播时，可以将空气分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的压强变化进行分析，求解声波的传播规律。

10. 刚体的转动惯量：对于一个刚体，可以将其分成无数个微小的微元体积，并通过对每个微元体积的质量和距离进行分析，求解整个刚体的转动惯量。

通过这些例子，我们可以看到微元法在物理学中的广泛应用。

微元法_精品文档

微元法1. 引言微元法是一种数学和物理学中常用的计算方法，用于求解曲线、曲面以及体积、质量、密度等相关问题。

它基于将一个复杂的形状或区域分割为无数个微小的元素，再对每个微元进行分析和计算的原理。

通过将微元的贡献累加起来，最终可以得到整体的属性或解答。

本文将介绍微元法的基本原理、应用领域以及常见的数学公式和计算方法。

2. 基本原理微元法基于微积分的概念，将一个复杂的形状或区域分割为许多无穷小的微元。

这些微元可以是线段、面积元或体积元，具体取决于问题的性质。

每个微元都具有一定的属性，如长度、面积或体积。

通过将微元的贡献进行累加，可以得到整体的属性或解答。

这是因为微元法假设微元足够小，可以近似地视为一条直线、一个平面或一个体积。

在微元法中，常用的方法包括求和、积分、微分等。

3. 应用领域微元法在各个领域中都有广泛的应用。

以下是几个常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，微元法常用于求解各种物理量。

例如，在力学中，可以使用微元法计算质点的质量、速度、加速度等。

在电磁学中，微元法可以用于计算电场、磁场的强度以及电势和磁势。

3.2 工程学微元法在工程学中也有广泛的应用。

例如，在结构力学中，可以使用微元法计算杆件或板件的应力、应变以及变形。

在流体力学中，微元法可以用于计算流体的速度、压力以及流量等。

3.3 经济学在经济学中，微元法被用于计算经济指标以及分析经济现象。

例如，在微观经济学中，微元法可以用于计算市场的需求曲线、供应曲线以及均衡价格和数量。

在宏观经济学中，微元法可以用于计算国民经济的总产出、总投资以及总消费等。

4. 常见公式和计算方法在微元法中，有一些常见的公式和计算方法可以用于求解问题。

下面是几个例子：4.1 长度的微元在计算曲线的长度时，可以使用以下公式：∆s = √(∆x^2 + ∆y^2 + ∆z^2)其中，∆s 表示曲线的微小长度，∆x、∆y 和∆z 分别表示曲线在 x、y 和 z 方向上的微小切线。

2021高考物理教科版一轮习题：第七章微专题51 “四种方法”巧解场强的叠加问题

电场强度的叠加：是矢量叠加，某点场强等于各电荷在该点产生的场强的矢量和．对于“非点电荷”产生的电场的叠加常用以下几种方法．(1)补偿法：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面．(2)微元法：可将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，再利用公式和场强叠加原理求出合场强．(3)对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，可以使复杂电场的叠加计算大为简化．(4)等效法：在保证效果相同的条件下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．1．(2020·河南郑州市模拟)如图1甲、乙所示，两个带电荷量均为q 的点电荷分别位于带电荷量线密度相同、半径相同的半圆环和34圆环的圆心，环的粗细可忽略不计．若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为F ，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小为( )图1A.32F B.12F C.22F D.32F 2．(多选)(2019·闽粤赣三省十校下学期联考)真空中有两点电荷q 1、q 2分别位于直角三角形的顶点C 和顶点B 上，D 为斜边AB 的中点，∠ABC ＝30°，如图2所示，已知A 点电场强度的方向垂直AB 向下，则下列说法正确的是( )图2A ．q 1带正电，q 2带负电B ．D 点电势高于A 点电势C ．q 1电荷量的绝对值等于q 2电荷量的绝对值的二倍D ．q 1电荷量的绝对值等于q 2电荷量的绝对值的一半3．(多选)(2019·湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”期末)如图3所示，正六边形ABCDEF 的B 、D 两点各固定一个带正电、电荷量为＋q 的点电荷，F 点固定一个带负电、电荷量为－q 的点电荷，O 为正六边形的几何中心．则下列说法正确的是( )图3A ．O 点场强为0B ．C 点场强方向沿FC 方向C ．电子在A 点电势能比在O 点小D ．OA 两点间电势差和OE 两点间电势差相等4．MN 为足够大的不带电的金属板，在其右侧距离为d 的位置放一个电荷量为＋q 的点电荷O ，金属板右侧空间的电场分布如图4甲所示，P 是金属板表面上与点电荷O 距离为r 的一点．几位同学想求出P 点的电场强度大小，但发现问题很难，经过研究，他们发现图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的．图乙中是两等量异号点电荷的电场线分布，其电荷量的大小均为q ，它们之间的距离为2d ，虚线是两点电荷连线的中垂线．由此他们分别对图甲P 点的电场强度方向和大小做出以下判断，其中正确的是( )图4A ．方向沿P 点和点电荷的连线向左，大小为2kqd r 3B ．方向沿P 点和点电荷的连线向左，大小为2kq r 2－d 2r 3C ．方向垂直于金属板向左，大小为2kqd r3 D ．方向垂直于金属板向左，大小为2kq r 2－d 2r 35．(多选)(2019·湖南衡阳市第一次联考)已知均匀带电球体在其外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同，而均匀带电球売在其内部任意一点形成的电场强度为零．如图5所示，现有一半径为R 、电荷量为Q 的均匀带正电绝缘球体，M 、N 为一条直径上距圆心O 为12R 的两点，静电力常量为k ，则( )图5A ．M 、N 点的电场强度方向相同B ．M 、N 点的电场强度大小均为kQ 2R2 C ．M 、N 点的电场强度大小均为kQ 8R2 D ．M 、N 点的电势小于O 点的电势6．(多选)(2019·安徽“江南十校”综合素质检测)如图6所示，半径为R 的绝缘闭合球壳，O 为球壳的球心，球壳上均匀分布着正电荷，已知均匀带电的球壳在其内部激发的场强处处为零．现在球壳表面A 处取下一面积足够小、带电荷量为q 的曲面将其沿OA 连线延长线向上移动至B 点，且AB ＝R ，若球壳的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，下列说法中正确的是( )图6A ．把另一带正电的试探电荷从A 点处移动到O 点过程中系统电势能减少B ．球壳剩余部分的电荷在球壳内部激发的电场的电场线由A 点的对称点C 点沿直线指向球壳内表面各点C ．球壳内部电场的电场线由球壳各点沿曲线指向A 点D ．球心O 点场强的大小为k 3q 4R2 7．(2020·山西太原市月考)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图7所示，在半球面AB 上均匀分布着正电荷，总电荷量为q ，球面半径为R ，CD 为通过半球顶点与球心O 的轴线，在轴线上有M 、N 两点，OM ＝ON ＝2R .已知M 点的场强大小为E ，则N 点的场强大小为( )图7 A.kq 2R 2－E B.kq 4R 2 C.kq 4R 2－E D.kq 4R2＋E 8．如图8所示，在点电荷－q 的电场中，放着一块带有一定电荷量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN 为其对称轴，O 点为几何中心．点电荷－q 与a 、O 、b 之间的距离分别为d 、2d 、3d .已知图中a 点的电场强度为零，则带电薄板在图中b 点产生的电场强度的大小和方向分别为( )图8A.kq d2，水平向右 B.kq d2，水平向左 C.kq d 2＋kq 9d2，水平向右 D.kq 9d2，水平向右答案精析1．C [由题图甲中均匀带电半圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F ，可以得出14圆环对圆心点电荷的库仑力大小为22F .将题图乙中的均匀带电34圆环分成三个14圆环，关于圆心对称的两个14圆环对圆心点电荷的库仑力的合力为零，因此题图乙中的34圆环对圆心点电荷的库仑力大小为22F ，C 正确．] 2．AD [A 点电场强度的方向垂直AB 向下，E A 为A 点的合场强，将E A 分解到AC 和AB 方向如图所示，可知点电荷q 1的电场强度方向由C 指向A ，则q 1带正电，点电荷q 2的电场强度方向由A 指向B ，则q 2带负电，故A 正确；由于A 、D 两点到q 1的距离是相等的，D 距离q 2更近，沿着电场线方向，电势逐渐降低，则D 点电势低于A 点电势，故B 错误；从图中可知设AB ＝2L ，则AC ＝AB sin 30°＝L ，从场强分解的图中可知E 2∶E 1＝sin 30°，即E 1＝2E 2，又E 1＝kq 1L2，E 2＝kq 2(2L )2，可得q 2＝2q 1，故C 错误，D 正确．] 3．BD [根据点电荷的场强公式E ＝kq r2可知，三个点电荷在O 点产生的场强大小相等，合场强沿OF 方向，故A 错误；B 点和D 点两个正点电荷在C 点产生的合场强沿FC 方向，F 点的负点电荷在C 点产生的场强沿CF 方向，但距离较大，则C 点处合场强沿FC 方向，故B 正确；电子沿OA 运动时，OA 是BF 的中垂线，BF 两点放了等量异种电荷，所以这两个点电荷对电子作用力的合力方向垂直AO ，对电子不做功，D 处的电荷是正点电荷，对电子的作用力是引力，对电子做负功，所以三个电荷对电子做负功，则电子的电势能增大，电子在A 点电势能比在O 点大，故C 错误；根据对称性可知，电荷从O 点移到A 点、从O 点移到E ，电场力做功相同，所以OA 两点间电势差和OE 两点间电势差相等，故D 正确．]4．C [据题意，从题图乙可以看出，P 点电场方向为水平向左；由题图乙可知，正、负电荷在P 点电场的叠加，其大小为E ＝2k q r 2cos θ＝2k q r 2·d r ＝2k qd r3，故选项C 正确．] 5．BD [根据均匀带电球壳在其内部任意一点形成的电场强度为零，知M 点的场强等于以O圆心、半径为12R 的均匀球体在M 点产生的场强，这个球体之外的球壳在M 点产生的场强为零，这个球体所带电荷量为q ＝43π(R 2)343πR 3Q ＝Q 8，M 点的电场强度大小为E M ＝k q (R 2)2＝kQ 2R 2，方向向左；根据对称性知N 点的电场强度大小也为kQ 2R2，方向向右；O 点的场强为零，则MO 间场强方向向左，NO 间场强方向向右，所以M 、N 点的电势低于O 点的电势，故B 、D 正确，A 、C 错误．]6．CD [球壳表面A 点处取一下面积足够小的带电荷量为q 的曲面，相当于在球壳表面点A 处放入等电荷密度、等面积的带负电荷的曲面，故球壳剩余部分的电荷在球壳内部激发的电场可以看作是两部分电荷电场的叠加，一部分是原球壳上均匀地分布的正电荷在内部激发的电场，处处为零；另一部分是球壳上位于A 处的等量负点电荷激发的电场，故球壳剩余部分的电荷在球壳内部激发的电场就等同于只有一个负点电荷激发的电场，如图(a)所示，故B 错误；同理，空间所有电荷在球壳内部激发的电场相当于两个等量异种电荷产生的电场，如图(b)所示，故A 错误，C 、D 正确．]7．A [若将带电荷量为2q 的完整球面的球心放在O 处，均匀带电的球面在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在M 、N 点所产生的场强大小为E 1＝k ·2q (2R )2＝kq 2R 2，由题意知左半球面在M 点产生的场强大小为E ，若只有右半球面，右半球面在N 点产生的场强大小也为E ，则N 点的场强大小为E 2＝kq 2R2－E ，故选A.] 8．A [薄板在a 点的场强与点电荷－q 在a 点的场强等大反向，故大小为E a ＝E 点＝kq d2，方向水平向左，由对称性可知，薄板在b 点的场强大小E b ＝E a ＝kq d2，方向水平向右，选项A 正确．]。

微元法

例 1 计算由两条抛物线y2 x 和y x2 所围成的
图形的面积.
解两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
1
A 0 (
x

x2 )dx

2 3
3
x2

x3 3

1 0

1. 3
例 2 计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成
的图形的面积.
解两曲线的交点
y x3 6x

y

x2
y x2
y x3 6x
(0,0), (2,4), (3,9).
选 x 为积分变量 x [2, 3]
(1) x [2, 0], dA1 ( x3 6x x2 )dx (2) x [0,3], dA2 ( x2 x3 6x)dx
思考题
微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限.
二、平面图形的面积
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x xb x 曲边梯形的面积
b
A a f ( x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
0

a
2

3 2

2 sin

1 sin 2
4
0

3 2
a2 .
三、小结
求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.

微元法

高中物理解题方法专题指导方法专题三：微元法解题（极限思想的应用）一、方法简介所谓微元法就是：将研究对象分解为很多“微元”或其将运动过程分解成许多微小的“元过程”（对应的物理量微元可以为时间微元、速度微元、位移微元、电量微元等），分析每个“元过程”遵循的物理规律，然后将每个“元过程”相关的物理量累加求和，从而使问题得到解决。

微元法是分析、解决非理想物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。

利用微元法可以使一些非理想模型的研究对象、复杂的物理过程（一般的变速运动），通过将其分割转化为“微元”，达到能够用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。

在使用微元法处理问题时，需将研究的对象或过程进行无限细分，以达到化体为点、化变为恒、化曲为直。

需要注意的是，研究的对象或过程分解为众多的“微元”，每个“微元”所遵循的规律必须是相同的。

在高中物理中，计算变速直线运动的位移，采用了微元法，得出了变速直线运动的速度图象与横轴所围面积表示位移。

探究弹力做功，采用微元法得出F—x图象与横轴所围面积表示弹簧弹力做的功。

命题特点：高考试题中多次出现与微元法相关的试题，且能力要求较高。

二、典型应用（一）力学中的时间微元和位移微元方法解读：凡是极短时间或极小位移上物体状态变化不太大时，都可以运用微元法把过程分割为无限多个微小过程，然后相加，得出整个过程的物理量。

1、从地面上以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动。

求：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；（2）球抛出瞬间的加速度大小；（3）球上升的最大高度H。

2、将一质量为m的质点从地球表面移到无限远处，需要克服地球引力做多少功？已知地球质量为M。

地球半径为R，万有引力常数为G。

（二）流体中的质量微元方法解读：当所研究的对象是流体时，一般需要将研究对象分解为微元（质量微元），选取一个微元作为研究对象分析其受力情况和运动情况。

高中物理解题方法---微元法

高中物理解题方法----微元法一、什么是微元法：在所研究是物理问题中，往往是针对研究对象经历某一过程或处于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此对象的物理量可能是不变的，而更多则可能是变化的。

对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是把全过程分割成很多短暂的小过程或把研究对象整体分解为很多的微小局部的研究而归纳出适用于全过程或整体的结论。

这些微小的过程或微小的局部常被称为“微元”，此法也被称为：“微元法”。

二、对微元的理解：简单地说，微元就是时间、空间或其它物理量上的无穷小量，（注：在数学上我们把极限为“零”的物理量，叫着无穷小量）。

当某一连续变化的事物被分割成无数“微元”（无穷小量）以后，在某一微元段内，该事物也就可以看出不变的恒量了。

所以，微元法又叫小量分析法，它是微积分的理论基础。

三、微元法解题思想：在中学物理解题中，利用微元法可将非理想模型转化为理想模型（如把物体分割成质点）；将曲面转化为平面，将一般的曲线转化为圆弧甚至直线段；将变量转化成恒量。

从而将复杂问题转化为简单问题，使中学阶段常规方法难以解决的问题迎刃而解。

微元法的灵魂是无限分割与逼近。

用其解决物理问题的两要诀就是取微元----无限分割和对微元做细节描述----数学逼近。

所谓取微元就是对整体对象作无限分割，分割的对象可以是各种几何体，得到“体元”、“面元”、“线元”、“角元”等；分割的对象可以是一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；也可以对某一物理量分割，得到诸如“元功”、“元电荷”、“电流元”、“质元”等相应元物理量，它们是被分割成的要多么小就有多么小的无穷小量，而要解决整体的问题，就得从它们下手，对微元作细节描述即通过对微元的性质做合理的近似逼近，从而在微元取无穷小量的前提下，达到向精确描述的逼近。

例1、如图所示，岸高为h，人用不可伸长的绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ时，人收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？例2、如图所示，长为L的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m，船的质量为M，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？例3、如图所示，半径为R，质量为m的匀质细圆环，置于光滑水平面上，若圆环以角速度ω绕环心O转动，试证明：（1）圆环的张力πω22RmT=(2)圆环的动能2)(21RmEkω=例4、一根质量为M，长度为L的匀质铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图所示，求链条下落了长度x时，链条对地面的压力为多大？例5、如图所示，半径为R的半圆形绝缘细线上、下1/4圆弧上分别均匀带电+q和－q，求圆心处的场强.例6、如图所示，在离水平地面h高的平台上有一相距L的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C，充电后两端电压为U1.轨道平面处于垂直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m的金属棒，当闭合S，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U2，求棒落在离平台多远的位置.例7、（1）试证明：质量为M的匀质球壳，对放置在空腔内任意一点的质量为m的质点的万有引力为零。

微元法的步骤范文

微元法的步骤范文微元法是微积分中的一种求解定积分的方法，也称为变量代换法或换元法。

它通过引入一个新的变量，在变换后的积分中使被积函数形式简化，从而更容易求解定积分。

下面是微元法的步骤详解。

步骤1：选择适当的变量代换首先根据被积函数的性质，选择一个适当的变量代换。

变量代换的类型可以有以下几种：1. 代数变换：当被积函数中包含有根式、指数、对数、三角函数等的时候，通常会选择代数变换。

例如，若被积函数中包含√(a² - x²)，可以将x = a·sinθ 来进行代换。

2.几何变换：当被积函数中包含有几何图形的相关性质时，可以选择几何变换。

例如，当被积函数中包含有三角函数和三角恒等式，可以利用三角函数的相关公式来进行几何变换。

3. 递归变换：当被积函数中重复出现自己的特殊形式时，可以使用递归变换。

例如，当被积函数中包含有∫(a^x)·ln(a^x)·dx 或∫arcsin(x)·(√[1 - x²])·dx等重复形式时，可以利用递归变换来化简问题。

步骤2：进行变量代换将选择的变量代换应用到原始的被积函数中，并进行变换。

这意味着将自变量替换为新的变量，并且调整被积函数的形式使其更容易求解。

通常这个过程是代数运算的结果。

步骤3：求解微分元素为了正确求解定积分，在变换后的被积函数中选取合适的微分元素。

微分元素是新的自变量的微小变化量，通常用 dx 表示。

根据选择的变量代换，找到原始的微分元素，并将其转换为新的自变量对应的微分元素。

步骤4：求解变换后的定积分将变换后的定积分表示为新的自变量的积分形式。

根据选择的变量代换和求解微分元素的过程，将原始的定积分表示为新的自变量下的定积分形式。

步骤5：求解原始的定积分在变换后的定积分中，通过积分计算方法，求解关于新的自变量的定积分。

通常这个过程是比较简单的，因为通过变量代换，被积函数已经被化简为更容易求解的形式。

微元法

微元法（唐建伟）（天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学甘肃天水741001）摘要现在我们求：如果所求量Ф是分布在某区间【a，b】上的，或者说它是该区间端点x的函数，即Ф=Ф（x），x∈[a,b],而且当x=b 时，Ф（b）适为最终所求的值。

关键词微元法、平面图形面积、立体体积、曲线弧长引言定积分的所有问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式。

但为了简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。

本节将采用此法来处理。

正文在任意小区间[x，x+Δx]包含于[a，b]，恰当选取Φ微小增量ΔΦ的近似可求量Δ'Φ（所谓ΔΦ的近似可求量是指用来近似代替ΔΦ的有确定意义而且可计算量。

例如：当Φ是由函数f确定的曲边梯形的面积时，Δ'Φ是以f（x）为长、Δx为宽矩形的面积；当Φ是已知平行截面面积A(x)的集合体的体积时，Δ'Φ是以面积为A（x）的截面为底、Δx为高的柱体的体积。

这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而可以利用公式进行计算）。

若能把Δ'Φ近似表示为Δx的线性形式Δ'Φ≈f（x）Δx，其中f为某一连续函数，而且当Δx→0时，Δ'Φ－f（x）Δx=。

（Δx），则记dΦ=f（x）dx，那么只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果。

上述方法称为微元法。

1.{微元法的注意点}1）所求量Φ关于分布区间必须是代数可加的。

2）微元法的关键是正确给出ΔΦ的近似可求量Δ'Φ。

严格来说，ΔΦ的近似可求量Δ'Φ应该根据所求量Φ的严格定义来选取。

一般来说，ΔΦ的近似可求量Δ'Φ选取不是唯一（参见本节习题第4题），但是选取不恰当将会产生错误的结果。

3)当我们将Δ'Φ用线性形式f（x）Δx代替时，要严格验证Δ'Φ-f（x）Δx是否为Δx的高阶无穷小量，以保证其对应的积分和极限是相等的。

2．对于前面所求的平面图形面积，改用微元法来处理，所求的微元法表达式为.：ΔA≈│y│Δx，并有dA=Δ│y│dx。

第七章 微元法

微元法的基本原理

【高考专题】微元法

7.1-7.2.1定积分的微元法与平面图形的面积

微元法成立的条件

第七章 微元法

7.1 微元法的基本思想

高中物理重要方法典型模型突破7-数学方法(5)--微元法 (解析版)

微元法及其在物理中的应用(大 整理好)

微元法

微元法

微元法高中物理例子

微元法高中物理例子

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2021高考物理教科版一轮习题：第七章 微专题51 “四种方法”巧解场强的叠加问题

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微元法的步骤范文

微元法

第七章微元法

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微元法及其在物理中的应用(大整理好)

2021高考物理教科版一轮习题：第七章微专题51 “四种方法”巧解场强的叠加问题