值方法的收敛性和绝对稳
9-5相容性收敛性与稳定性
相容性、收敛性
相容性 如果增量函数(x, y, h) 关于 h 连续且满足条件
(x, y,0) f (x, y)
则称单步法与问题（*）相容，也称问题（**）与（*）相容。
收敛性 如果某种数值方法对任意初值 y0 , x a,b 都有
lim
h0
yn
y(x)
则称该数值方法是收敛的。
x a nh
n1
(1
h
2 h 2
2
)
故改进 Euler 法的绝对稳定区域为
1 h 2h2 1
2
梯形公式旳稳定性
梯形公式用于模型方程则为
yn1
yn
h 2
(
yn
yn1)
1
1
h
2
h
yn
2
故其绝对稳定区域为
1 h
2
1 h
1
2
即
1 h 1 h
2
2
Re(h) 0
因此梯形公式是 A―稳定的。
龙格-库塔法旳稳定性
1.0000 1.0000
1.0000
2.0000 2.5000101 2.5000
4.0000 6.2500102 6.2500
8.0000 1.5625102 1.5626101
1.60001013.9063103 3.9063101
3.20231019.7656104 9.7656101
精确解 y e30 x
作业：P264 1（1），4，13 上机试验
h0
lim (1
h0
ha) h
eax
容易验证 y eax 是初值问题的解。
稳定性
例：考察初值问题
数值分析复习资料
数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性随机微分方程是描述随机系统行为的数学模型，其在金融、生物学、物理学等领域有着广泛的应用。
分段连续型随机微分方程是一类比较常见的随机微分方程，在数值求解时需要考虑其收敛性和稳定性。
本文将从分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性两个方面进行探讨。
一、分段连续型随机微分方程的数值方法分段连续型随机微分方程是指其漂移系数和扩散系数在不同区间内可以是连续函数，而在不同区间之间可以有跳跃。
对于这样的随机微分方程，常见的数值求解方法有欧拉方法、Milstein方法等。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的随机微分方程数值求解方法之一，其基本形式可以表示为：\[Y_{n+1}=Y_n+a_n(\theta_n-Y_n)Δt+b_nΔW_n \]\(a_n\)是漂移系数，\(b_n\)是扩散系数，\(\theta_n\)是对应的确定性微分方程的解，\(Δt\)为时间步长，\(ΔW_n\)为布朗运动的增量。
二、分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性对于分段连续型随机微分方程的数值求解方法，其收敛性是一个重要的性质。
收敛性是指在网格逼近下，数值解是否能够逼近真实解。
通常来说，数值方法的收敛性可以通过两个方面来进行分析：弱收敛性和强收敛性。
1. 弱收敛性对于分段连续型随机微分方程的数值方法，弱收敛性是指数值解在某种意义下以概率收敛于真实解。
对于欧拉方法和Milstein方法，已经有一些研究证明了它们在一定条件下的弱收敛性。
比如在一维情况下，对于线性随机微分方程，欧拉方法是一阶弱收敛的，而Milstein方法是二阶弱收敛的。
1. 稳定性概念对于随机微分方程的数值方法，稳定性主要涉及到数值解的增长率和真实解的增长率。
如果数值解的增长率随着时间的增长而趋于有界，则该数值方法是稳定的；否则，则是不稳定的。
2. 欧拉方法的稳定性对于欧拉方法来说，其稳定性分析相对简单，通常只需要考虑离散时间步长是否足够小，以保证数值解在有限时间内不会发散。
牛顿迭代法的收敛性和稳定性
牛顿迭代法的收敛性和稳定性牛顿迭代法是一种高效的求解非线性方程组的方法。
它的基本思想是通过不断逼近目标函数的零点来求解方程，其中每次迭代通过求解目标函数的一阶导数和二阶导数来更新逼近值。
与其他求解非线性方程组的方法相比，牛顿迭代法具有更快的收敛速度和更高的精度。
然而，牛顿迭代法在实际应用中也存在一些问题，例如收敛性和稳定性。
本文将就牛顿迭代法的收敛性和稳定性进行探讨。
一、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的收敛性与初始迭代值的选择有关。
如果选择的初始迭代值与目标函数的零点较接近，则牛顿迭代法的收敛速度越快，精度越高。
反之，如果初始迭代值与目标函数的零点较远，则可能会导致收敛速度缓慢甚至无法收敛。
因此，通常使用牛顿迭代法进行求解时，需要通过试探法或其他方法寻找较接近目标函数零点的初始迭代值。
另外，牛顿迭代法的收敛性还与目标函数的性质有关。
具体来说，如果目标函数在初始迭代值处的二阶导数为正且在目标函数的零点处存在且连续，则牛顿迭代法一般会收敛到目标函数的零点。
而如果目标函数在某些点处的二阶导数为零或不存在，则可能会出现收敛速度缓慢或收敛不足的情况。
二、牛顿迭代法的稳定性牛顿迭代法的稳定性是指对于具有微小扰动的初始迭代值，迭代结果能否保持不变或只有微小的差异。
在实际应用中，由于存在数值误差或输入数据的不确定性，牛顿迭代法可能会受到微小扰动的影响而产生不稳定的结果。
因此，需要采取措施来提高牛顿迭代法的稳定性。
一种提高牛顿迭代法稳定性的方法是采用牛顿-拉夫逊迭代法。
牛顿-拉夫逊迭代法是在牛顿迭代法的基础上加入阻尼因子来实现的。
具体来说，牛顿-拉夫逊迭代法使用目标函数的一阶导数和二阶导数来更新逼近值，并在迭代过程中加入一个阻尼因子，使迭代结果在微小扰动下不会产生过大的变化。
此外，还可以采用增量式牛顿迭代法来提高牛顿迭代法的稳定性。
增量式牛顿迭代法是一种递推算法，它的基本思想是将目标函数的二阶导数逐步逼近到实际的值，并在每次迭代中只更新部分二阶导数，以减小更新过程中的数值误差。
稳定性与收敛性分析方法
稳定性与收敛性分析方法稳定性和收敛性是科学研究中非常重要的概念和指标，用于评估一个系统、方法或算法的可行性和有效性。
在各个领域，包括数学、物理学、工程学等，稳定性和收敛性分析方法都起着关键的作用。
本文将介绍稳定性和收敛性的概念，并重点讨论在数值计算中常用的分析方法。
一、稳定性分析方法稳定性是指一个系统在输入或参数扰动下，输出的响应是否会趋于有界或者稳定的状态。
在数学建模、控制理论等领域，稳定性分析是评估一个系统的重要手段之一。
以下是一些常见的稳定性分析方法：1. Lyapunov 稳定性分析方法: Lyapunov 稳定性分析方法是一种基于Lyapunov 函数的稳定性判断方法。
通过构造一个满足特定条件的Lyapunov 函数，可以判断系统是否是稳定的。
2. Routh-Hurwitz 稳定性判据: Routh-Hurwitz 稳定性判据是一种基于判别式的稳定性分析方法。
通过构造一个 Routh-Hurwitz 判别式，可以得到系统的稳定性边界条件。
3. 极点配置法: 极点配置法是一种常用的控制系统设计方法，也可以用于稳定性分析。
通过选择合适的极点位置，可以实现系统的稳定性。
二、收敛性分析方法收敛性是指一个数值计算方法在迭代过程中，得到的结果是否趋于准确解。
在数值计算和优化算法中，收敛性是评估算法有效性的重要指标。
以下是一些常见的收敛性分析方法：1. 收敛准则: 收敛准则是一种用于判断迭代算法是否收敛的方法。
常见的收敛准则包括绝对误差判据、相对误差判据和残差判据等。
2. 收敛速度分析: 收敛速度是指迭代算法的收敛过程有多快。
常用的收敛速度分析方法包括收敛阶数的估计、收敛速度的比较等。
3. 收敛性证明: 在一些数值计算方法中，为了证明其收敛性，需要使用一些数学工具和技巧，如递推关系、数学归纳法等。
总结：稳定性和收敛性分析方法在科学研究和工程实践中具有重要的意义。
通过对系统的稳定性进行分析，可以评估其可靠性和安全性。
数值分析单步法的收敛性和稳定性
9 9
第五章 常微分方程数值解法
5.4.2 单步法的稳定性
例：考察初值问题
y( x ) 100y( x ) 在区间[0, 0.1]上的解。 y(0) 1
分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。
1 1 1 h
故恒有
yi 1 yi
因此，隐式Euler格式是绝对稳定的（无条件稳 定）（对任何h>0）。
© 2009, Henan Polytechnic University §4 单步法的收敛性和稳定性
1515
第五章 常微分方程数值解法 例：考察初值问题
y( x ) 100y( x ) 在区间[0, 0.1]上的解。 y(0) 1
© 2009, Henan Polytechnic University §4 单步法的收敛性和稳定性
4 4
第五章 常微分方程数值解法
证明: 设 y n1 表示当yn =y(xn)时， 由单步法公式求 得的结果，即
yn1 y xn h xn , y xn , h
f ( x h, y hf ( x , y )) f ( x h, y hf ( x , y )) ] h L(1 L) y y 2 设限定h h0 (h0为定数),上式表明关于y的Lipschitz常数
h0 L L(1 L) 2 即改进的欧拉方法也收敛。
单步法收敛 lim( y( x n ) yn ) 0
h 0 n
若单步法具有p阶精度，且增量函数 ( x , y , h)关于 定理： y满足Lipschitz条件
称为绝对稳定域
7
所以 p 1的充要条件是 y( x) ( x, y ( x),0) 0，而 y( x) f ( x, y ( x)) ，于是可给出如下定义： 定义4
满足 若单步法（4.1）的增量函数
( x, y,0) f ( x, y ),
则称单步法（4.1）与初值问题（1.1），（1.2）相容. 以上讨论表明 p阶方法（4.1）当 p 1 时与(1.1)，(1.2) 相容，反之相容方法至少是1阶的. 于是由定理1可知方法（4.1）收敛的充分必要条件是此 方法是相容的.
(h ) 2 (h ) 3 E (h ) 1 h , 2! 3!
16
(h ) 2 (h ) 3 (h ) 4 E (h ) 1 h . 2! 3! 4!
由 E (h ) 1 可得到相应的绝对稳定域. 当 为实数时则得绝对稳定区间. 分别为 三阶显式R-K方法： 2.51 h 0 即 0 h 2.51/ . 四阶显式R-K方法： 2.78 h 0 即 0 h 2.78 / . 从以上讨论可知显式的R-K方法的绝对稳定域均为有 限域，都对步长 h 有限制. 如果 h 不在所给的绝对稳定区 间内，方法就不稳定.
9.4 9.4.1
单步法的收敛性与稳定性 收敛性与相容性
数值解法的基本思想是，通过某种离散化手段将微分 方程（1.1）转化为差分方程，如单步法（2.10），即
深度强化学习中的稳定性与收敛性问题
深度强化学习中的稳定性与收敛性问题深度强化学习（Deep Reinforcement Learning，简称DRL）作为一种结合了深度学习和强化学习的方法，在近年来取得了显著的突破，尤其在复杂任务上的表现令人瞩目。
然而，DRL方法在实际应用中，仍然存在着稳定性与收敛性问题。
本文将深入探讨DRL方法中的稳定性与收敛性问题，并介绍一些常见的解决方案。
1. 稳定性问题在深度强化学习中，稳定性问题是指模型训练过程中模型参数容易出现不稳定的情况，导致模型性能下降或无法收敛。
稳定性问题的主要原因包括：梯度消失/爆炸、过拟合和样本偏移。
1.1 梯度消失/爆炸深度神经网络的训练过程中，经常会遇到梯度消失或梯度爆炸的问题。
这是由于深度网络的层数增加，梯度在网络反向传播时逐层乘积或累积，导致梯度趋近于0或无穷大。
这会导致训练过程中收敛速度慢或无法收敛。
解决梯度消失/爆炸问题的方法包括使用合适的激活函数、使用梯度裁剪技术和添加正则化项等。
例如，可以使用ReLU激活函数代替Sigmoid激活函数，使得激活函数的输出范围更加适应梯度下降算法。
另外，梯度裁剪技术可以限制梯度的大小，防止梯度爆炸的情况发生。
1.2 过拟合过拟合是指模型在训练集上表现良好，但在测试集上表现较差的情况。
在DRL中，过拟合问题主要是由于深度神经网络的复杂性和训练数据的有限性导致的。
为了避免过拟合问题，可以采用一些常用的方法，如增加训练数据、使用正则化技术（如L1或L2正则化）、使用dropout等。
增加训练数据是解决过拟合的有效方法，可以通过数据增强技术生成更多的训练样本。
正则化技术可以将模型的复杂度进行限制，防止过分拟合训练数据。
另外，dropout技术可以随机地将网络中的一部分神经元置0，以减少神经元之间的依赖关系，提高模型的泛化能力。
1.3 样本偏移深度强化学习中的样本偏移是指训练集和测试集之间的分布差异。
这种差异可能导致训练过程中学到的模型在实际应用中表现不佳。
8.4-8.5线性多步法及收敛性与稳定性分析
f x ( x0 , y0 )
]
在平移一下,即化成检验方程形式.
y' y y ( x0 ) y0
--------------(2)
y y0e
当 Re 0时, 当 Re 0时,
其关系式为
( x x0 )
( y0 0)
y ( x) | (as x ); y ( x) | 0 (as x ), 此时, 试验方程是稳定的.
(5) Simpson 2步4阶隐式公式
h yn 1 y n 1 ( f n 1 4 f n 2 f n 1 ) 3
1 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O (h 6 ) 90
多步方法的特点： (1)、 因初始条件只有一个，多步方法的启动要借助 高阶的单步方法来开始. (2)、多步方法比较简单，只要在这几个点的函数 值的线性组合, 而且每步中所用函数值, 有些下一 步还可使用。
要使 |1 h | 1,
即 |1 h | 1 给出了绝对稳定区域 {z | z 1| 1|},
这是复平面上以 (1,0)为圆心的单位圆, 绝对稳定区间为(-2,0).
2. 隐式Euler公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ) yn hyn1
2. 一个方法的整体截断误差比局部截断误差低一阶.
若某些引入的误差, 在以后的传播中被压缩, 衰减或增长 可以控制, 就认为数值方法 (1) 是数值稳定的, 反之, 若在传 播中被放大而无法控制, 就认为是数值不稳定.其中, 若误 差的传播可以被压缩, 衰减, 则称绝对稳定.
y ' =f ( x, y ), x D 定义8.5.2 对初值问题 对于固定的 y ( x0 ) y 0 , 步长 h,在数值计算中, 节点值 yi 产生一扰动 i (包括初值y 0 ), 而仅由这一个扰动引起的以后各节点值 y j ( j i ) 的变化 j 都不超过 i , 即 | j || i |, 就称这个数值方法是稳定的.
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性随机微分方程是描述概率性系统的数学模型，它是普通微分方程与随机过程的结合。
随机微分方程在很多领域有着重要的应用，如金融工程、生物学、气象学等。
而分段连续型随机微分方程是随机微分方程的一种特殊形式，它的解在时间上是非连续的。
本文将围绕分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性展开讨论。
我们来看数值方法的收敛性。
在数值方法中，我们通常会用离散化的方法来逼近随机微分方程的解。
对于分段连续型随机微分方程，我们可以采用Euler方法、Milstein方法等来进行数值求解。
Euler方法是一种简单而常用的数值方法，它将时间区间等分，然后利用微分方程的近似值来计算下一个时间点的值。
Milstein方法是一种改进的方法，它在Euler方法的基础上增加了一项修正项，从而提高了数值解的精度。
对于分段连续型随机微分方程的数值方法而言，其收敛性是至关重要的。
收敛性意味着当离散化的步长趋于零时，数值解会逼近真实解。
一般来说，我们可以通过理论分析和数值实验来判断数值方法的收敛性。
对于Euler方法而言，当离散化的步长趋于零时，数值解与真实解之间的误差是会逐渐减小的，因此Euler方法是收敛的。
而对于Milstein方法，由于其更高的数值精度，其收敛性也是可以得到保证的。
我们来看数值方法的稳定性。
稳定性是指当系统的初始条件有微小变化时，数值解的变化情况。
对于分段连续型随机微分方程而言，其解在时间上是非连续的，因此其稳定性对于数值方法来说是一个很大的挑战。
一般来说，我们可以通过线性稳定性和非线性稳定性来评判数值方法的稳定性。
线性稳定性是指当系统的初始条件有微小变化时，数值解的变化情况是否受到限制；非线性稳定性是指当系统的初始条件发生较大变化时，数值解的变化情况。
分段连续型随机微分方程是一个重要的数学模型，其在实际应用中有着广泛的用途。
对于分段连续型随机微分方程的数值方法的收敛性和稳定性，我们可以通过理论分析和数值实验来进行评判。
微分方程数值解法的稳定性和收敛性分析
微分方程数值解法的稳定性和收敛性分析微分方程是描述自然界中许多现象和过程的重要数学工具。
在实际问题中，我们常常需要通过数值方法来求解微分方程，以得到近似的解析解。
然而，数值解法的稳定性和收敛性是决定求解效果好坏的关键因素。
一、稳定性分析稳定性是指在微分方程数值解法中，当初始条件有微小变化时，解的计算结果是否也有微小变化。
稳定性的分析是判断数值解法是否能够稳定地求解微分方程的重要方法。
1. 显式数值方法显式数值方法是指数值解法中，每个时间步骤的计算是通过已知的前一时间步骤得到的解来进行的。
例如，常见的显式欧拉法、显式Euler法和显式龙格-库塔法等。
显式数值方法通常具有简单和易于实现的优点，但其稳定性较差。
对于一些具有特殊特征的微分方程，如刚性方程，显式数值方法往往很难保持稳定，甚至会导致数值解的发散。
2. 隐式数值方法隐式数值方法是指数值解法中，每个时间步骤的计算是通过未知的当前时间步骤得到的解来进行的。
隐式方法常常需要求解一个非线性方程，因此计算量较大。
然而，隐式方法通常具有良好的稳定性。
例如，隐式欧拉法、隐式梯形法和隐式龙格-库塔法等都属于隐式数值方法。
这些方法对于刚性方程的求解具有一定的优势，能够更稳定地求得数值解。
3. 李普希茨稳定性除了显式和隐式数值方法外，还有一种稳定性分析方法是通过李普希茨稳定性进行判断。
李普希茨稳定性是指对于微分方程的解和微分方程中的函数，存在一个常数K，使得在给定区间内，解的变化不超过K倍的函数的变化。
具有李普希茨稳定性的数值方法可以保证数值解的稳定性，并且能够更好地控制误差的增长。
二、收敛性分析收敛性是指数值解法中的数值解是否在步长逐渐缩小的情况下趋向于解析解。
收敛性的分析是判断数值解法是否能够得到精确解的重要方法。
1. 局部截断误差局部截断误差是指数值解法中每个时间步长的计算结果与精确解之间的差值。
通过分析局部截断误差的大小，可以判断数值解法的收敛性。
对于显式数值方法，局部截断误差通常跟时间步长成正比。
收敛性与稳定性
λ
表明Euler格式是条件稳定的。 表明 格式是条件稳定的。 格式是条件稳定的
再考察隐式Euler格式 格式(28)，由于 λ 再考察隐式 格式 ，
<明隐式Euler格式是恒稳 （无条件稳定）的。 格式是恒稳 无条件稳定） 表明隐式 格式是 定
y' = λy, λ < 0 y(0) = y0
这个问题有准确解
（26） ）
y = y0 e
λx
先考察Euler格式的收敛性。问题（26）的Euler格式 格式的收敛性。问题（ ） 先考察 格式的收敛性 格式 具有形式
yn+1 = (1+ λh) yn
从而数值解
（27） ）
yn = (1 + hλ ) y0
λxn
y n +1 = y n + hλ y n +1 y n +1 1 yn = 1 − hλ
从而数值解
1 n ) yn = y0 ( 1 − hλ 1− hλ nhλ hλ hλ 1−hλ ) ] = y0 [(1 + 1 − hλ
当 h→0 时
yn → y0e
λxn 1− hλ
→ y0e
λxn
= y( xn )
因而问题（ ）隐式Euler格式的是收敛性。 格式的是收敛性。 因而问题（26）隐式 格式的是收敛性
3.4.2 稳定性问题
前面关于收敛性问题的讨论有个前提， 前面关于收敛性问题的讨论有个前提，必须假定差分方 法的每一步计算都是准确的。实际情形并不是这样， 法的每一步计算都是准确的。实际情形并不是这样，差分方 程的求解还会有计算误差， 程的求解还会有计算误差，譬如由于数字舍入而引起的扰动 。这类扰动在传播过程中会不会恶性增长，以至于“淹没”了 这类扰动在传播过程中会不会恶性增长，以至于“淹没” 差分方程的“真解” 这就是差分方程的稳定性问题。 差分方程的“真解”！这就是差分方程的稳定性问题。 实际计算时， 实际计算时，希望某一步所产生的扰动值在后面的计算 中能够被控制，甚至是逐步衰减的。 中能够被控制，甚至是逐步衰减的。
5.3-收敛性与稳定性
第五章 常微分方程的差分方法5.3 线性多步法一、教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握常微分方程、常微分方程方程组的线性多步法。
二、教学内容及学时分配本节课主要介绍常微分方程的数值解法。
具体内容如下：讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。
三、教学重点难点1．教学重点：开型求解公式，闭型求解公式。
2. 教学难点：收敛性与稳定性。
四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学生对概念的理解五、正文 线性多步法及其收敛性与稳定性、方程组与高阶方程1 引言 收敛性问题微分方程数值解法的基本思想是：通过某种离散化手段，将微分方程转化为差分方程（代数方程）来求解。
这种转化是否合理，还要看差分问题的解n y ，当0h →时是否会收敛到微分方程的准确解(),n y x 需要注意的是，如果只考虑0h →，那么节点0n x x nh =+对固定的n 将趋向于0x ，这时讨论收敛性是没有意义的，因此，当0h →时，同时n →∞时才合理。
定义：若一种数值方法对于任意固定的0n x x nh =+，当0h →（同时n →∞）时，有(),n n y y x →则称该方法是收敛的。
考察欧拉公式),(1n n n n y x hf y y +=+ （1） 设1+n y 为在)(n n x y y =条件下按欧拉公式计算的结果，))(,()(1n n n n x y x hf x y y +=+ （2）11)(++-n n y x y 即为局部截断误差。
)(2)(''2111ξy h y x y T n n n =-=+++，存在常数C 使211)(Ch y x y n n <-++ （3） 考虑整体截断误差111)(+++-=n n n y x y e （无)(n n x y y =条件），由于111111)()(++++++-+-<-n n n n n n y y y x y y x y （4）（1）-（2）得：由常微分方程李普希兹条件得：))(()1())(()(11n n n n n n n n y x y hL y x y hL y x y y y -+=-+-≤-++ （5）由（3），（4），（5）式得 递推得]1)1[()1(0-+++≤n n n hL L Ch e hL e 又hL e hL ≤+1，设T nh x x n ≤=-0（T 为定数），则 故h e L C e e e TL TL n )1(0-+≤若初值准确，则0→h 时0→n e ，欧拉公式是收敛的。
第3节稳定性、收敛性和误差估计
隐式的Euler方法。
例2 给定s(l)=l2,k=2，试确定相应的r(l)。
解：我们有
ρ(1 + z) = ln(1 + z)(1 + z)2 + (O z3 )
( ) ( ) =
⎜⎜⎝⎛
z
−
z2 2
⎟⎟⎠⎞(1 +
z )2
+
O
z3
= z + 3 z2 + O z3 2
+
L
+
k
pα k
)
−
(
p
1 −
1)!
(
β1
+
2
p −1
β2
+
L+
k
β p−1 k
)
（3.7）
L[u(tn ); h]—局部截断误差；
c p+1h p+1u ( p+1) (t) + O(h p+2 ) —局部截断误差主项；
Cp+1—局部截断误差主项系数 我们关心的是整体截断误差en=u(tn)-un 。 由于L[u(tn);h] →0 (h→0)。故用线性p阶k步法建立起了的 差分方程（3.2）是微分方程(3.1)a的逼近（即（3.5）中舍去 L[u(tn);h] ，用un+j代替u(tn+j)就得到（3.2））。 特别，若如下局部化假设成立： 用多步法（3.2）计算un+k时，un+j(j=0,1,…,k-1)精确。即
k
∑ ρ(λ) = α jλj （3.11） j=0
绝对值在数值分析中的应用概览
绝对值在数值分析中的应用概览绝对值在数值分析中有着广泛的应用，它不仅用于衡量数值之间的差异和误差，还在多个方面发挥着重要作用。
以下是一些绝对值在数值分析中的具体应用：1. 误差分析和控制●绝对误差和相对误差：如前所述，绝对值用于定义绝对误差和相对误差，帮助评估计算结果与真实值之间的差异，以及这种差异相对于真实值的大小。
●误差界限：在数值方法中，通常需要估计解的误差界限。
绝对值用于构造包含这些界限的不等式，以确保计算结果的准确性。
2. 算法的稳定性和收敛性●稳定性分析：通过比较算法在不同输入或迭代步骤下的输出差异（使用绝对值衡量），可以评估算法的稳定性。
如果算法对输入的小变化不敏感，则认为是稳定的。
●收敛性分析：在迭代方法中，绝对值用于跟踪迭代解与真实解或前一个迭代解之间的差异。
通过分析这些差异的变化趋势，可以判断算法是否收敛以及收敛速度如何。
3. 数值逼近和插值●逼近误差：在数值逼近（如多项式逼近、有理逼近等）中，绝对值用于衡量逼近函数与原函数之间的差异。
这有助于评估逼近的精度和选择合适的逼近方法。
●插值误差：在插值问题中，绝对值用于定义插值误差，即插值函数在插值点之外的点与真实函数值之间的差异。
通过分析插值误差的性质，可以选择合适的插值方法和插值节点。
4. 数值积分和微分●积分误差：在数值积分（如梯形法则、辛普森法则等）中，绝对值用于估计积分近似值与真实积分值之间的差异。
这有助于选择合适的积分方法和步长以减小误差。
●微分近似：在数值微分中，通过差分方法（如向前差分、向后差分、中心差分等）来近似函数的导数。
绝对值用于衡量这些近似值与真实导数之间的差异。
5. 数值解的存在性和唯一性●不动点定理：在某些数值方法中（如迭代法求解非线性方程），不动点定理是证明解的存在性和唯一性的重要工具。
绝对值用于构造与不动点定理相关的条件和不等式。
●解的稳定性：在证明数值解的稳定性时，绝对值用于衡量解对初值或参数变化的敏感性。
复变函数迭代法的收敛性和稳定性分析
复变函数迭代法的收敛性和稳定性分析复变函数迭代法是数值计算中常用的求解复变函数的数值方法。
在使用复变函数迭代法求解问题时，我们首先将复平面划分为若干个矩形或圆形区域，然后使用迭代公式进行迭代计算，直到达到预定的精度要求或满足一些停止准则为止。
本文将对复变函数迭代法的收敛性和稳定性进行详细的分析。
一、收敛性的分析在复平面上，定义一个函数f(z)，其输入是复数z，输出也是复数。
对于给定的初始值z0，我们通过迭代公式z(n+1)=f(z(n))来进行迭代计算，直到满足一些停止准则为止。
那么我们需要分析迭代过程是否能收敛到问题的解。
下面是收敛性的分析过程。
1.收敛性定理在复平面上，如果函数f(z)是全局收敛的，即对于任意的初始值z0，迭代过程都会收敛到问题的解，那么我们称函数f(z)是全局收敛的。
收敛性定理指出，如果函数f(z)在一些区域R上解析，并且在该区域上的导数，f'(z)，的模不大于1，即，f'(z)，<=1，那么函数f(z)是局部收敛的。
2.收敛半径在复平面上，我们可以通过计算函数f(z)在一些点的导数值，f'(z)，的模来判断收敛性。
当，f'(z)，<1时，该点是函数f(z)的收敛点；当，f'(z)，>1时，该点是函数f(z)的发散点。
收敛半径可以定义为函数f(z)收敛的最大半径，即，z，<R时，函数f(z)是收敛的。
3.收敛域和发散域根据函数f(z)在复平面上的性质，我们可以将复平面分为收敛域和发散域两部分。
收敛域是指函数f(z)在该区域内收敛的点的集合，发散域是指函数f(z)在该区域内发散的点的集合。
二、稳定性的分析稳定性是指在计算过程中的误差是否会扩散和放大。
在复变函数迭代法中，稳定性是一个重要的性质，对于保证计算结果的准确性和可靠性起到关键作用。
下面是稳定性的分析过程。
1.条件数和误差扩散在复变函数迭代法中，函数f(z)的条件数用来衡量函数的敏感性。
多步runge—kutta方法的收敛性与稳定性
多步runge—kutta方法的收敛性与稳定性
多步runge—kutta方法是一种常用的求解微分方程的数值计算方法。
它
的收敛性和稳定性是数值计算的重要指标。
1、Runge—Kutta方法的收敛性：Runge-Kutta方法的收敛性主要取决
于方法的精度。
Runge–Kutta法的收敛性由其误差估计步骤中的定义式
给出，这些误差估计步骤对最大步长有一定限制，即要实现给定精度，Runge–Kutta方法必须使用小步长。
这样，Runge—Kutta方法具有较高
的收敛率。
2、Runge—Kutta方法的稳定性：Runge—Kutta法的稳定性也取决于方
法的精度，其收敛步长是和误差估计步骤有关的。
Runge—Kutta法可
以实现给定的精度，但它的稳定性可能因此受到影响。
因此，在使用Runge—Kutta法前，需要检查它的稳定性，也就是在某一特定问题中，Runge—Kutta法能否满足给定的精度要求。
Runge—Kutta方法的收敛性和稳定性是数值计算领域的重要指标。
一
般来说，Runge—Kutta方法在实际应用中具有很高的收敛性和稳定性，因此在很多实际计算中，广泛应用Runge—Kutta方法。
但是，要获得
更好的数值精度，也要求收敛性和稳定性得到改善，这就要求具备较
高的数值算法精度和计算机实现能力，使其能够使收敛性和稳定性达
到更高的水平。
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一阶微分方程组与高阶方 程的数值解法
对于任意的x ∈ [a, b]及任意的y, y ¯都成立，则显式单步法的全程误 差e i = y ( x i ) − y ˜i (i = 0, 1, 2, · · · , n)估计式如下： |ei | ≤ |e0 | + (xi − a)(cMp+1 hp + η/h), cMp+1 hp L (x i − a) L (x i − a) |e0 |e + (e − 1)( L + L = 0, η hL ),L = 0.
a≤ x ≤ b
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一阶微分方程组与高阶方 程的数值解法
在实际计算中由于存在舍入误差，实际计算得到的y ˜i+1 不是理论上 的数值解yi+1 ，而是yi+1 的近似值，它应满足 y ˜i+1 = y ˜i + hφ(xi , y ˜i , h) + ηi . 其中η i 表示第i 步计算所产生的舍入误差造成的误差.
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9.2 数 值 解 中 误 差 的 积 累 、 数 值 方 法 的 收 敛 性 和 绝 对 稳 定 性
数值解中误差的积累、数 值方法的收敛性和绝对稳 定性 数值解中误差的积累 和数值方法的收敛性 绝对稳定性
定理9.2.1 设求常微分方程初值问题的显式单步法为 yi+1 = yi + hφ(xi , yi , h), 其中φ(x, y, h)在区域D = {(x, y )|a ≤ x ≤ b, −∞ < y < ∞}上关 于y 满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数L，使得 |φ(x, y, h) − φ(x, y ¯, h)| ≤ | ∂φ (y − y ¯)| ≤ L|y − y ¯| ∂y
1 1 |K2 (x, y, h) − K2 (x, y ˜, h)| ≤ hL|y − y ˜+ 2 K1 (x, y, h) − 2 K1 (x, y ˜, h)|
≤ hL(1 +
hL 2 )|y
−y ˜|.
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9.2 数 值 解 中 误 差 的 积 累 、 数 值 方 法 的 收 敛 性 和 绝 对 稳 定 性
K4 (x, y, h) = hf (x + h, y + K3 (x, y, h)). 设函数f (x, y )在区域D = {(x, y )|a ≤ x ≤ b, −∞ < y < +∞}上关 于y 满足利普希茨条件，且步长h 满足0 ≤ h ≤ h 0 .
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其中η 是η i 的上界.
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9.2 数 值 解 中 误 差 的 积 累 、 数 值 方 法 的 收 敛 性 和 绝 对 稳 定 性
证:
数值解中误差的积累、数 值方法的收敛性和绝对稳 定性 数值解中误差的积累 和数值方法的收敛性 绝对稳定性
将方程写在x i 点处为 y (xi+1 ) = y (xi ) + hφ(xi , y (xi ), h) + R[y ]. 求解方程的理论迭代过程和实际迭代过程为 yi+1 = yi + hφ(xi , yi , h), y ˜i+1 = y ˜i + hφ(xi , y ˜i , h) + ηi ,
h→0
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一阶微分方程组与高阶方 程的数值解法
lim yi = y (x).
则称该法是收敛的，或者说数值解yi 一致地收敛于初值问题的真 解y ( x ) 在点x i 处的值y ( x i ) .
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9.2 数 值 解 中 误 差 的 积 累 、 数 值 方 法 的 收 敛 性 和 绝 对 稳 定 性
数值解中误差的积累、数 值方法的收敛性和绝对稳 定性 数值解中误差的积累 和数值方法的收敛性 绝对稳定性
所以 |ei+1 | ≤ |e0 |e 代入 β = |R[y ]| + η ≤ cMp+1 hp+1 + η, 可得定理结果 |ei | ≤ |e0 |e
L (x i − a) L(xi+1 −a)
9.2 数 值 解 中 误 差 的 积 累 、 数 值 方 法 的 收 敛 性 和 绝 对 稳 定 性
数值解中误差的积累、数 值方法的收敛性和绝对稳 定性 数值解中误差的积累 和数值方法的收敛性 绝对稳定性
由定理可得以下两个结论: 1) 局部截断误差和舍入误差均对计算结果产生影响. 局部截断误差(含cMp+1 hp 的项)随h的减小而减小，而舍入误 差 ( 含e 0 和η 的项) 随 h 的 减 小 而 增 大 . 因此，为减少计算解y ˜i 的误 差，h应选择合适，既不能取得太大，也不能取得太小. 2) 全程误差与解法的阶数p、真解的p + 1阶导数y (p+1) (x)有关. 为保证计算解的精度，一般应选取阶数p较大的解法, 但对于一些真 解不够光滑, 即p + 1 阶导数不存在或者虽然存在但上界很大的问 题，则应采用低阶解法. 定义9.2.1 设初值问题(9.0.1)满足定理9.0.1的条件(f 关于y 满足利普 希茨条件)，其准确解（真解）为y (x). 对于任一固定的x ∈ [a, b]， a 令h = x − i , x = a + ih. 若由某一数值解法产生的近似解yi ， 当 h → 0（ 即 i → ∞ ） 时 ， 一 致 地 有
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eL(xi+1 −a) − 1 +β . hL
一阶微分方程组与高阶方 程的数值解法
+ (e
L (x i − a)
η cMp+1 hp + ). − 1)( L hL ✷
对 于 L = 0即 α = 1的 情 形 , 可 类 似 得 到 定 理 结 果 .
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一阶微分方程组与高阶方 程的数值解法
其中η i 为计算舍入误差对计算解造成的影响. 于是我们有 |y (xi+1 )−y ˜i+1 | ≤ |y (xi )−y ˜i |+h|φ(xi , y (xi ), h)−φ(xi , y ˜i , h)|+|R[y ]|+|ηi |. 注意φ 关于y 满足利普希茨条件, 记e i = y ( x i ) − y ˜i , 可得 |ei+1 | ≤ (1 + hL)|ei | + |R[y ]| + η = α|ei | + β, 其中 α = 1 + hL, β = |R[y ]| + η.
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一阶微分方程组与高阶方 程的数值解法
首 先 考 虑 L = 0即 α = 1情 形 , 两 边 关 于 k 从 0到 i 求 和 , 可 得
i
α 从而
−(i+1)
|ei+1 | ≤ |e0 | + β
k=0
α
−(k+1)
1 − α−(i+1) = |e0 | + β . α−1
|ei+1 | ≤ α 注意
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9.2 数 值 解 中 误 差 的 积 累 、 数 值 方 法 的 收 敛 性 和 绝 对 稳 定 性
数值解中误差的积累、数 值方法的收敛性和绝对稳 定性 数值解中误差的积累 和数值方法的收敛性 绝对稳定性
9.2.1 数值解中误差的积累和数值方法的收敛性 显式单步法可以写为如下的一般形式： yi+1 = yi + hφ(xi , yi , h). 假设该法是p阶方法，即局部截断误差R[y ] = O(hp+1 ) . 则 y (xi+1 ) = y (xi ) + hφ(xi , y (xi ), h) + R[y ]. 并假设 max |y (p+1) (x)| ≤ Mp+1 ，则|R[y ]| ≤ cMp+1 hp+1 .
数值解中误差的积累、数 值方法的收敛性和绝对稳 定性 数值解中误差的积累 和数值方法的收敛性 绝对稳定性
同理，容易得到下述不等式 |K3 (x, y, h) − K3 (x, y ˜, h)| ≤ hL 1 +
hL 2 2 +1 ( hL ) |y − y ˜|, 4
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一阶微分方程组与高阶方 程的数值解法
数值解中误差的积累、数 值方法的收敛性和绝对稳 定性 一阶微分方程.21
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数值解中误差的积 累、数值方法的收敛 性和绝对稳定性 数值解中误差的积累和数 值方法的收敛性 绝对稳定性
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一阶微分方程组与高阶方 程的数值解法
9.2 数 值 解 中 误 差 的 积 累 、 数 值 方 法 的 收 敛 性 和绝对稳定性
1 3 |y − y ˜|. (hL)2 + 1 ( hL ) |K4 (x, y, h) − K4 (x, y ˜, h)| ≤ hL 1 + hL + 2 4
9.2 数 值 解 中 误 差 的 积 累 、 数 值 方 法 的 收 敛 性 和 绝 对 稳 定 性
数值解中误差的积累、数 值方法的收敛性和绝对稳 定性 数值解中误差的积累 和数值方法的收敛性 绝对稳定性
记 φ(x, y, h) = 1 K1 (x, y, h)+2K2 (x, y, h)+2K3 (x, y, h)+ K4 (x, y, h) , 6h