1-2-算符及本征值
第三章 力学量的算符汇总
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态， 上式即是算符F的本征方程。求解时，ψ 作为力学量 的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求 即波函数的标准条件。
问题：本征值、本征态、本征方程
§3-3 算符的运算规则 线性厄米算符
（1）线性算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
第三章 力学量的算符
§3-1 算符的引入
代表对波函数进行某种运算或变换的符号
由于算符只是一种运算符号，所以它单独存 在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波 函数做相应的运算才有意义，例如：
Ôu
换的算符。
1）du / dx = v ， d / dx
n
综上所述，量子力学作如下假定：
就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。
2）x u = v， x
也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
体系状态用坐标表象中的波函数 ψ(r) 描 写时，坐标 x 的算符就是其自身，即
xˆ x
说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。
而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式 必须改造成动量算符形式：
(12) 厄米算符
满足如右关系的算符 称为厄密算符.
d *Oˆ d (Oˆ )*
或 Oˆ Oˆ
性质 I: 两个厄密算符之和 仍是厄密算符。
Ô + = Ô , Û+ = Û (Ô +Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô +Û)
问题：厄米算符
性质 II: 两个厄密算符之积一般 不是厄密算符, 除非二算符对易。 因为
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。
结构化学1-2
电子和其它微观粒子不仅表现出粒子性，而且表现出 波动性，它不服从经典力学的规律，必须用量子力学来描 述其运动规律。量子力学建立在若干基本假设的基础上， 这些假设与几何学的公理一样，不能用逻辑的方法加以证 明。但从这些基本假设出发推导得出一些重要结论，可以 正确地解释和预测许多实验事实，于是这些假设也被称为 公理或公设。
运算规则： 算符相等: 对任意函数f，有 Aˆ f Bˆ f
Aˆ Bˆ
算符加法: ( Aˆ Bˆ ) f Aˆ f Bˆ f
算符乘法: Aˆ Bˆ f Aˆ (Bˆ f ) Aˆ 2 f Aˆ ( Aˆ f )
Aˆ Bˆ ？BˆAˆ 例: Aˆ x,
Bˆ d dx
Aˆ (Bˆ f )
x
d dx
f
xd dx
f
Bˆ (
Aˆ f
)
d dx
(
xf
)
1
x
d dx
f
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ
一般情况
1.2.2 假设II——力学量与线性自轭算符
（1） 算符的概念与运算法则
算符：对它后面的函数行施的一种运算。如∫，∑，√，lg，sin，
正交归一性:
i jd
0, i j 时，正交 1, i j 时，归一
i jd ij
δ ij 称为克罗内克尔—得尔塔(Kronecker delta) 记号。 δ ij的值要么为0，要么为1。
例7
对氢原子波函数，必然存在
1s
1s
d
1和
1s 2sd
I(三章3讲)常用算符本征值问题
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin 本征方程：
本征值： 本征函数： 正交归一性： 完备性： 简并度：
0
2
0
Ylm ( , )Yl* m ( , )sin d d ll mm
( p (r ''), p (r ')) (r '' r ')
平面波归一化计 算，你会了吗？
（二）位置算符
本征方程
ˆx x
ˆ x x
归一化常数： A 1
因为λ是常数，除了x=λ这一点外，x取其他任何值都有 0 即： ( x) A ( x ) 属于本征值λ的本征函数：
3. L2算符的本征值
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin
因为它只与
, 有关，所以其本征函数应具有如下形式
Y ( , )
设它的本征值为： L
2
则其本征方程可写成：
ˆ2Y ( ,) L Y ( ,) 2Y ( ,) L
你会直角坐标与球坐标 的相互转换吗？
z
r
r
y
(II) 球坐标
直角坐标与球坐标之间的变换关系
2 2 2 2 r x y z cos z / r tan y / x
x
球 坐 标
x r sin cos y r sin sin z r cos
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
量子力学基本原理与基本概念小结-第16讲
薛定谔方程的评论
2、薛定谔方程是时间一次、坐标二次偏微分方程， 不具有相对论协变性（时空对称性），因而不是 微观粒子的相对论性量子力学运动方程。薛定谔 方程是建立在非相对论时空和非相对论运动学基 础之上的非相对论量子力学。
3、非相对论性量子多体理论，虽然引进了粒子产生、 消灭算符和二次量子化表象，但它们描述的是粒子 从一个量子态向另一个量子态的跃迁与转变，并没 有真正涉及粒子的产生和消灭。
薛定谔方程中的波函数的物理本质是什么呢？
波恩的观点：
薛定谔方程中的波函数代表的是一种概率，而 绝对不是薛定谔本人所理解的是电荷（电子） 在空间中的实际分布。波函数，准确地说 r 2 代表了电子在某个地点出现的概率，电子本身 不会像波那样扩展开去，但它的出现概率则像 一个波。
“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是概率波”，这是量子力学的一个基本 假设（基本原理）
WII
WII
N
III
(c e c e ) III iknIII ( xb) n
III iknIII ( xb) n
n1
2 ny
sin( ).
WIII
WIII
超晶格结构中电子的薛定谔方程与波函数如何写？
理想超晶格
d
含缺陷结构超晶格
复杂体系中电子运动
多粒子系统的Schrődinger方程
原则上只要对上式进行求解即可得出所有物理性质，然而由于电子之间的相互作用的复杂性， 要严格求出多电子体系的Schrődinger方程解是不可能的，必须在物理模型上进一步作一系列 的近似。
（一）薛定谔方程
Schrodinger 的方程一般表达式
i
(r,t)
Hˆ (r, t )
能量与动量算符及其本征态
能量与动量算符及其本征态量子力学是描述微观世界的理论框架，能量和动量是其中最基本的物理量。
在量子力学中，我们使用算符（operator）来表示物理量的数学描述，而能量与动量则是两个非常重要的算符。
本文将介绍能量与动量算符及其本征态的概念和性质。
一、能量算符（Energy Operator）能量算符是描述粒子能量的数学表达式，通常用符号H表示。
根据量子力学的原理，能量是由哈密顿算符（Hamiltonian Operator）描述的。
哈密顿算符在经典力学中表示总能量，而在量子力学中表示系统的能量。
在一维情况下，能量算符的一般形式为：H = -ħ²/2m (d²/dx²) + V(x)其中，ħ是约化普朗克常量，m是粒子的质量，V(x)是势能函数。
上式中的第一项为动能部分，第二项为势能部分。
根据量子力学的原理，能量算符的本征值（Eigenvalue）对应着系统的能量，而本征态（Eigenstate）则是能量算符的本征值对应的波函数。
本征态满足能量本征值方程：Hψ(x) = Eψ(x)其中E表示本征值，ψ(x)表示本征态。
二、动量算符（Momentum Operator）动量算符在量子力学中描述粒子的运动状态，通常用符号p表示。
在一维情况下，动量算符的一般形式为：p = -iħ(d/dx)其中，i表示虚数单位，ħ是约化普朗克常量。
与能量算符类似，动量算符也具有本征值和本征态。
动量算符的本征值对应着粒子的动量，而本征态是动量算符的本征值对应的波函数。
三、能量和动量算符的本征态性质1. 本征态正交性：不同能量本征值对应的本征态是正交的，即满足正交归一化条件。
∫ψ*(x)ψ(x)dx = δ(x-x')其中，δ(x-x')为狄拉克δ函数，表示位置x=x'时取值为无穷大，其他情况下取值为零。
2. 量子态叠加原理：能量和动量算符的本征态可以进行叠加形成新的量子态。
第一讲算符及其本征值与本征函数
若 Aˆ ，Bˆ 0， 则 Aˆ ，Bˆ 不对易。
补充说明
• 算符相加满足交换律、结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ, Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ
• 算符相乘不满足交换律：Aˆ Bˆ BˆAˆ
• 算符相乘满足结合律： AˆBˆ Cˆ Aˆ BˆCˆ
dydz
*1 (i
) 2 dx
x
dydz(i
) *1 2
2
*1
x
dx
dydz 0 2 (i
)
x
*1
dx
dydz 2 (i
) x
*
*1
dx
dydz 2Pˆx * *1 dx (Pˆx1) * 2d
• 即： 1 *Pˆx 2d (Pˆx1)* 2d
• 所以，Pˆx 的确是厄米算符。式中利用了：
在量子力学中出现的力学量，都有 与该力学量运算效果上等效的算符。
因此通过对比，我们可以归纳出下 列的几个等效关系：
Eˆ i
t
Tˆ
Uˆ
2
2 2m
U
(r
)
Hˆ ,T
2
2,Uˆ (r ) 2m
U (r )
Pˆ i i ( i j k ), Pˆ 2 22 x y z
Pˆx i
• 当解 Aˆ 的本征方程时，可能得出 Aˆ 的某一本征
值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
Aˆm Ami i 1, 2,......, f
积分，并利用本征函数的正交性，得：
m* d
关于一类单模算符e~(iφ)和e~(-iφ)的本征态和本征值
关于一类单模算符e~(iφ)和e~(-iφ)的本征态和本征值詹永欣【摘要】研究一类单模算符e~(iφ)=1/f(N)a和e~(-iφ)=a~-1/f(N).通过应用Bose算符的性质和算符的技巧,发现了该算符在Fock表象的本征态.这在光子和原子的相互作用方面有重要贡献.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(034)001【总页数】3页(P45-47)【关键词】湮没算符;产生算符;Fock空间;本征态;本征值【作者】詹永欣【作者单位】四川农业大学,理学院,四川,雅安,625014;电子科技大学,物电学院,四川,成都,610054【正文语种】中文【中图分类】O413Fock在建立粒子表象后，研究了湮没算符a和产生算符a+的性质，后来Dirac 和其他学者也对它们进行讨论，得到湮没算符和产生算符的许多重要性质.这些性质在量子力学的发展过程中起到了重要的作用.由于研究量子光学的需要,Susskind-Glogower在研究光子位相在光信息中的作用过程中,首先提出并且定义相位算符为其中N=a+a是光子数算符.在Fock表象中由于N|0〉=|0〉，这使eiφ|0〉无意义[1-4].由于a+=e-iφf(N)，a=f(N)eiφ,得到a+a=f2(N-1)e-iφeiφ,(1)aa+=f(N)eiφe-iφf(N).(2)根据(2)式,有以下结论(3)对于(3)式有很多人在这方面做了许多工作，并且取得了很大的成绩，得到了和e-iφ=的本征态在粒子表象的形式，然而对eiφ和e-iφ的一般形式的本征态在粒子表象的形式的讨论还不多见.在该文中，应用文献[11-13]的方法研究了相位算符eiφ与e-iφ的一般表示形式,并且得到了它们的本征态在粒子表象的形式.1 相位算符eiφ的本征矢的一般形式为了研究(1)式和(2)式的一般解，设eiφ有如下的形式(4)其中，f(x)是x整函数.显然(4)式是(1)式和(2)式的解.设|ξ〉是eiφ的本征值为ξ的本征矢，即eiφ|ξ〉=ξ|ξ〉.在Fock空间求|ξ〉的表示形式，因此，设则(5)即(6)所以(7)其中，f(n)!=f(1)f(2)…f(n).把(7)式带入中，有由归一化条件所以因此，得到(8)得到eiφ的本征矢之后，下面讨论e-iφ的本征矢.2 相位算符e-iφ的本征矢的一般形式设|ξ〉*是e-iφ的本征值为ξ*的本征矢，则e-iφ|ξ〉*=ξ*|ξ〉*.用粒子数表象展开|ξ〉*(9)因为所以e-iφ|ξ〉*(10)得到关系式ξ*c0=0和由xf(x)=0，可以得到f(x)=δ(x)，在围道积分的意义下c0=δ(ξ*(11)其中，c是包含原点的积分路径.所以在围道积分的意义下(12)因此(13)当|ξ*|=1时，ξ*=eiφ,则(13)变为参考文献：[1] Dirace P A M. Lecture on Quantum field theory[M].New York:Academic Press,1966:151-170.[2] Heitler W. The Quantum theory of radiation[M].3rd ed. London:Oxford Claredon Press,1954:115-156.[3] Loudon R. The Quantum theory of light[M].Oxford: Oxford University Press,1973:46-64．[4] Agarwal G S. Eigenstates of the phase operator ala Dirac for a two-model field [J].Opt Commun,1993,100:479.[5] 党兰芬,邹丽新.逆算符在Fock空间的性质及基本特征[J].苏州大学学报,2002,18(4):67-70.[6] Fan H Y. Inverse operators in Fock space studied via a coherent-stateapproach[J].Phys Rev,1933,47:4521-4523.[7] 刘汉俊,王晓芹,逯怀新，等.用超对称幺正变换解具有逆场算符的Jaynes-cummings模型[J].量子电子学报,2001,18(3):244-248.[8] Fan H Y, Zaidi H R. An exact calculation of the expectation values of phase operators in squeezed states[J].Opt Commun,1988,68:143.[9] Fan H Y. On the common eigenvectors of two-mode creation operators and the charge operator[J].Mod Phys Lett A,1994,9:1291.[10] Fan H Y. Complex representation of the density matrix obtained via creation operator eigenvectors[J].Phys Lett A,1996,219:175.[11] Fan H Y, Fan T F. Inverse of radiation field operators and generalized Jaynes-cummings model[J].Commun Theor Phy,1994,22(4):495-498. [12] 范洪义．量子力学纠缠态表象及其应用[M].上海：上海交通大学出版社，2001：20-25.[13] 王继锁，冯健．一种新的奇偶非线性相干态及其量子统计性质[J].物理学报，2002,51(11)：2509-2513．[14] 孟祥国，王继锁．新的奇偶非线性相干态及其非经典性质[J].物理学报，2007，56(4):2154-2159.。
量子力学——算符（精品pdf）
算符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数
1.3 正则对易关系
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋
中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基
本特性
目录 3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量)本征值与本征函数
目录 1.1 厄米算符 1.2 本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
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1.1厄米算符
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O 的期望值是 实值的：
对于任意量子态 ，这关系都成立：
根据伴随算符的定义，假设 是 的伴随算符，则
因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ，都是厄米算符。
2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系
7.3.4 自旋与统计
7.4 自旋的方向
三、角动量算符
3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
量子力学中的算符
量子力学中的算符量子力学是描述微观粒子行为的理论，其基本概念之一就是算符。
算符（operator）是量子力学中的基本数学工具，用于描述物理量的测量和演化。
本文将从算符的定义、性质以及在量子力学中的应用等方面进行探讨。
一、算符的定义和性质在量子力学中，算符是描述物理量的数学对象，用于描述系统的状态演化和物理量的测量。
算符作用在量子态上，改变其状态或作用于态矢量的波函数。
1. 算符的基本性质算符具有线性性质，即对于任意的复数a和量子态|ψ⟩、|φ⟩，有：A(a|ψ⟩+ b|φ⟩) = aA|ψ⟩+ bA|φ⟩其中A为算符。
2.算符的厄米性在量子力学中，与每个物理量都有对应的算符。
一个算符是厄米算符，当且仅当它等于其自身的共轭转置，即：A† = A3.算符的本征值与本征态对于算符A，若存在一个常数a和一个非零的量子态|ψ⟩，满足：A|ψ⟩= a|ψ⟩则称a为算符A的本征值（eigenvalue），|ψ⟩为相应的本征态（eigenstate）。
二、算符在量子力学中的应用算符在量子力学中有广泛的应用，下面以几个典型例子来说明其用途。
1.位置算符和动量算符在量子力学中，位置和动量是物理量的基本概念。
对于位置算符X和动量算符P，其定义分别为：X = x，P = -iℏ(d/dx)其中x是位置的算符，ℏ是普朗克常数。
2.哈密顿算符哈密顿算符H在量子力学中描述了体系的能量。
在定态情况下，哈密顿算符作用于波函数后应得到该态的能量值，即：H|ψ⟩= E|ψ⟩其中E为能量的本征值，|ψ⟩为相应的能量本征态。
3.时间演化算符在量子力学中，时间演化算符描述了系统随时间的演化。
设系统在初始时刻t=0时处于量子态|ψ(0)⟩，则该态在后续时刻t的演化由时间演化算符U(t)给出，即：|ψ(t)⟩= U(t)|ψ(0)⟩三、结语算符是量子力学中的重要数学工具，用于描述物理量的测量和演化。
本文介绍了算符的定义、性质以及在量子力学中的应用。
高量2-算符的本征值问题
﹟
7
下面我们把条件放宽一些：
虽然 [ A, B] 0 ，但 [ A, B] C, [C, A] [C, B] 0
由此证明几个关系.
[ A, B] 0
( A B)2 A2 AB BA B2 3 3 2 ( A B) A A B ABA BA 2 AB 2 BAB B 2 A B 3
§2.2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数 运算。在这一节里举几个比较复杂的算例，并用代数
方法证明两个常用的算符等式。
多重对易式
设A,B为两个线性算符,互不对易. 定义多重对易式
[ A , B] B
(0)
[ B, A ] B
( 0)
[ A(1) , B] [ A, B] [ A( 2) , B] [ A, [ A, B]]
3
为此，令 j i 1，则
n 1 n! n! ( j) n 1 j ( i 1) n i [ A , B ] A [ A , B]A j 1 (n j 1)!( j 1)! i 0 ( n i )!i!
n
n! (i ) n 1i [ A , B]A i 0 ( n i )!i! 进行傀标代换 j i ，第二项变为 n 1 n! (i ) n 1i [ A , B ] A i 1 (n i 1)!(i 1)! n 1 i (n 1)! (i ) n 1i [ A , B]A i 1 n 1 (n i 1)!i! 同样第一项也相应变为 n n i 1 (n 1)! (i ) n 1i [ A , B ] A n 1 (n i 1)!i! i 0
算符的本征值与本征态
算符的本征值与本征态算符是量子力学中非常重要的概念之一，用于描述物理量的性质和测量结果。
在量子力学中，算符的本征值与本征态是非常有用的工具，它们可以帮助我们理解和计算系统的物理性质。
本文将介绍算符的本征值与本征态的概念及其在量子力学中的应用。
一、算符的本征值和本征态的定义在量子力学中，算符用来描述测量物理量的操作。
一个算符作用于一个波函数上，会得到一个新的波函数或者一个数值结果。
当算符作用于一个波函数时，如果结果等于原波函数乘以一个常数，这个常数就是算符的本征值，而原波函数就是算符的本征态。
根据量子力学的原理，每个物理量都有对应的算符。
例如，位置算符描述了粒子在空间中的位置，动量算符描述了粒子的动量，能量算符描述了粒子的能量等。
这些算符都有自己的本征值和本征态。
二、算符的本征值与本征态的性质算符的本征值和本征态具有一些重要的性质。
首先，算符的本征值只能取实数或复数。
其次，算符的本征值可以是离散的或连续的。
对于离散的本征值，我们称其为离散谱；对于连续的本征值，我们称其为连续谱。
算符的本征态具有归一化的性质，即本征态的模长平方等于1。
本征态之间也可以进行线性组合，得到新的波函数，这些新的波函数也是算符的本征态。
因此，本征态构成了一个完备的正交基。
三、算符的本征值与本征态的应用算符的本征值与本征态在量子力学中有广泛的应用。
首先，它们用于描述系统的物理性质。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的所有本征值和本征态，从而了解系统的能级以及相应的波函数形式。
其次，算符的本征值与本征态用于描述量子测量的结果。
当我们对一个物理量进行测量时，测量结果就是算符的某个本征值，而物理系统处于相应的本征态。
算符的本征值与本征态还可以用于计算系统的平均值和方差。
平均值描述了物理量的期望值，而方差描述了测量结果的离散程度。
此外，算符的本征值与本征态在量子力学中的对易性质也是非常重要的。
通过研究不同算符的对易关系，我们可以推导出一些重要的定理，如不确定性原理等。
1-05 算符
(壹x上) 量子力学基础第五节算符一、算符的定义和运算二、算符的本征方程、本征值、本征函数三、线性算符四、厄米算符小结作业思考题一、算符的定义和运算返回上页下页返回上页下页设符号代表某个运算规则，按此规则，由一个函数f 可唯一地确定另一个函数g ，记作符号称为算符.[算符的定义]Af g ˆ=AˆAˆ返回上页下页通常，算符记号上带有抑扬符“∧”.但是，对于单纯做乘法的算符，“∧”可省略.注可直接写做x ； ˆ()xx ⋅(5⋅)可直接写作5 .5ˆ例如，返回上页下页算符的等价性设和是两个算符，若对任意函数f 都有，则称和相等，记作.AˆB ˆf B f A ˆˆ=B A ˆˆ=[算符的运算]AˆB ˆ返回上页下页算符的加法(减法)AB f Af Bf ˆˆˆˆ()±=±Df x Df x f x ˆˆˆˆ(3)()()3()+=+例如，f x f x ()3()′=+规定：称为与的和(差).A ˆB ˆA Bˆˆ±运算规律：AB B A [交 换律 ]ˆˆˆˆ+=+AB C A B C 结合律] ˆˆˆˆˆˆ()()[++=++返回上页下页一般而言，(算符的乘法不满足交换律).ABBA ˆˆˆˆ≠对易子如果，即，则称和可对易；否则，就是不可对易的.A B ˆˆ[,]0=A BˆˆAB AB BA ˆˆˆˆˆˆ[,]=−规定：称为与的对易子.AB ˆˆ[,]A ˆB ˆAB BA ˆˆˆˆ=但不排除对某些特定的算符有.ABBA ˆˆˆˆ=返回上页下页对易子的恒等式(证明留作练习)：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[A B B A−=n A A ˆˆ[,]0=二、算符的本征方程、本征值、本征函数返回上页下页返回上页下页则⎯⎯常数a 称为的本征值;非零函数f 称为的属于(对应于)本征值a 的本征函数;ˆAaf f A =ˆ设：是算符，f 是非零函数，a 是常数.如果AˆˆA称为的本征方程.ˆA af f A=ˆ返回上页下页(3)本征函数总是和本征值联系在一起，一个本征函数不能同时属于两个不同的本征值；(4)对应于同一个本征值，可能有不止一个线性无关的本征函数.说明(1) 本征函数f 要求是非零函数(不恒等于零)；(2)一般而言，本征值(复数域)，相应的，本征函数f 是复函数.a ∈ 假设，则有.本征函数f 是非零函数，于是a =b ，矛盾., 其中ˆˆ()Afaf Af bf a b ==≠()0a b f −=三、线性算符返回上页下页返回上页下页线性算符有如下的对易子恒等式：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A B Ak ==]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[C A B A C B A+=+]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[C B C A C B A+=+C B A C A B C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ,ˆ[+=B C A C B A C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆ[+=[线性算符的对易子]例6. 由，计算对易子和D xˆˆ[,]1=x i D ˆ[,]− x D 2ˆ[,]]ˆ,[2D x x i Dˆ[,]− i x D ˆ[,]=− i D x ˆ[,]= D ˆ2−=D D ˆˆ−−=D D x D x Dˆ]ˆ,[]ˆ,[ˆ+=i = 解返回上页下页112211221122ˆˆˆ()D c f c f c f c f c Df c Df ′′+=+=+都是线性算符，2ˆˆˆ,,xD D 222112211221122ˆˆˆ()D c f c f c f c f c D f c D f ′′′′+=+=+11221122()x c f c f c xf c xf ⋅+=⋅+⋅因此，返回上页下页[线性算符的性质]若f 1,f 2是线性算符的属于同一个本征值a 的本征函数，则它们的任意非零线性组合c 1f 1+c 2f 2(即c 1,c 2是任意常数但要保证c 1f 1+c 2f 2是非零函数)仍然是属于a 的本征函数.证2211ˆ ,ˆ af f A af f A==∵ 1122ˆ()A c f c f ∴+2211ˆˆf A c f A c +=注此性质对更多本征函数也成立.Aˆ2211af c af c +=)(2211f c f c a +=当c 1f 1+c 2f 2为非零函数时，是对应于a 的本征函数.四、厄米算符返回上页下页返回上页下页如果算符满足：则称算符是厄米算符.d d **ˆˆ()f Ag g Af ττ=∫∫AˆAˆ[厄米算符的定义](f ,g 是任意的品优函数)说明(1)一般来说，算符的本征值是复数域上的数.但是，厄米算符的本征值一定是实数.(2)一般来说，算符的本征函数不一定正交.但是，对于线性厄米算符，①非简并本征值：有且有一个线性无关的本征函数，任选一个；②简并本征值：能够选出一个两两正交的最大线性无关组[线性厄米算符的性质2(2)].所选的的这一系列本征函数必定是两两正交的[线性厄米算符的性质2(1)].返回上页下页四、小结作业思考题返回上页下页小结返回上页下页1算符的概念；算符的加法、乘法、幂及其运算规则.m n m n m n mn A A A A A； ˆˆˆˆˆ()+==[加法交换律] ˆˆˆˆAB B A +=+加法结律 合 ]ˆˆˆˆˆˆ()()[AB C A B C ++=++ [乘法结合律]ˆˆˆˆˆˆ()()ABC AB C =返回上页下页2对易子ˆˆˆˆˆˆ[,]AB AB BA =−如果(即)，则称和可对易.ˆA ˆB 重要的恒等式:ˆˆ[,]0AB =ˆˆˆˆAB BA =]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[A B B A−=n A A ˆˆ[,]0=ˆˆ[,]AB返回上页下页3算符的本征方程、本征值、本征函数.af f A =ˆa 为常数，称为本征值；f 是非零函数，称为属于本征值a 的本征函数.的本征方程：ˆA4线性算符的概念和性质.()A c f c f c Af c Af 11221122ˆˆˆ+=+( f 1和f 2是任意函数；c 1和c 2是任意常数)返回上页下页线性算符的运算规律：线性算符的对易子恒等式：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A B Ak ==ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A C B C +=+[左分配律] ˆˆˆˆˆˆˆ()AB C AB AC +=+[分 律] 右配ˆˆˆˆˆˆˆ()BC A BA CA +=+ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+C B A C A B C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ,ˆ[+=B C A C B A C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆ[+=返回上页下页(本征值的简并度：属于该本征值的全体本征函数中，最大线性无关组所含的函数个数)线性算符的性质：线性算符的属于同一个本征值的本征函数的任意非零线性组合，仍是属于同一个本征值的本征函数.返回上页下页5厄米算符的概念和性质. d d **ˆˆ()f Ag g Af ττ=∫∫(f ,g 是任意的品优函数)线性厄米算符的性质：1. 厄米算符的本征值必然是实数；2.(1)厄米算符属于不同本征值的本征函数必然是相互正交的;(2)线性算符的属于简并本征值的全体本征函数中，能够选出一个两两正交的最大线性无关组.作业p.145，第26，27，28题返回上页下页返回上页下页思考题下列哪些算符可对易⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅( )(A) ˆˆ,x y (B),x y ∂∂∂∂(C),x x ∂∂ (D),y x∂∂返回上页下页[提示]可对易⇔.将作用于二元函数f (x ,y )可得.[答案] (A)(B)(D)即 ˆˆˆˆˆˆ[,]00A B AB BA =−=ˆˆ,AB ˆˆˆˆABBA −ˆˆ[,]A B附录线性厄米算符性质的证明返回上页下页返回上页下页线性厄米算符的性质2(1)厄米算符的属于不同本征值的本征函数必然是相互正交的;(2)线性算符的属于同一个简并本征值的全体本征函数中，可选出两两正交的最大线性无关组.(1) 设是厄米算符，f , g 是分别属于两个不同特征值a , b 的本征函数，即ˆAd d **ˆˆ()f Ag g Af ττ=∫∫证； ()ˆˆAf af Agbg a b ==≠根据厄米算符的定义，有d d **()f bg g af ττ=∫∫d d ***b f g a gf ττ=∫∫返回上页下页上式中a *≠b (∵厄米算符的本征值是实数，a*=a ，而a ≠b )，从而有是相互正交的d 即*0,,g f g f τ=∫一般而言，{f 1,f 2,…,f n }不是两两正交的.但是，从最大线性无关组{f 1,f 2,…,f n }出发，利用施密特正交化方法，能够构造出一个等价的非零正交函数组{ϕ1,ϕ2,…,ϕn }.方法如下(参见数学复习)：(2)设是线性算符，f 1,f 2,…,f n 是属于简并本征值a 一个最大线性无关组.ˆA。
2.2本征值和本征函数的计算
⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0⎟ 1⎟ 0 ⎜ ⎜ 0 = ，1 = ， 2 = ⎜ ⎟ ,...... 。 ⎜0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝M⎠ ⎝M⎠ ⎝M⎠
Q
x=i
mhω h b − b+ ) ， p = b + b+ ) ， ( ( 2mω 2
1 0 − 2 0 ... 0 2 0 − 3 ... 0 0 3 0 ... ... ⎞ ⎟ 1 ... ⎟ ， ⎡ m hω ⎤ 2 ⎟ p=⎢ ... ⎟ ⎣ 2 ⎥ ⎦ ⎟ ... ⎟ ... ⎟ ⎠
1
其中 ξ = α x ， α =
mω 。解 b 0 = 0 ，所以 h
3
高等量子力学讲义（研究生用）
§2.2 本征函数和本征值的计算
河北师范大学 刘建军
−
4
⎞ i ⎛ d + ξ ⎟ψ 0 (ξ ) = 0 ， ⎜ 2 ⎝ dξ ⎠
解得：ψ 0 (ξ ) =
ξ2 mω − 1 e 2 ， πh
再由 b + n = n + 1 n + 1 ，可逐项求出ψ n (ξ ) ，最后得
相邻本征值相差 hω ， 于是对 x和p 的矩阵元只有当行标和列标相差 ±1 时矩阵元才 不为零。
∴
pij = pij (δ j ,i +1 + δ j ,i −1 ) ，
xij = xij (δ j ,i +1 + δ j ,i −1 ) ，
将 mω 2 xij = −
H ij = Eiδ ij = =
b + b + b λ = b + ( bb + − 1) λ = ( b + b − 1) b + λ = λ b + λ ，
算符与力学量的关系_第三章
2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
e
i pr cos
r drd cos
2 i pr
p(2a0 )
3
re
0
r a0
[e
i pr
e
]dr
8
3.6 算符与力学量的关系（续８）
a p
2 0 2
( 2a 0 ) 2
3
2 2
2
3.6 算符与力学量的关系（续２）
| Cn |2 具有概率的意义，它表示在 态中测量力学量 F 得到结果是 n 本征值的几率，故 Cn 常称为概率幅
基 本 假 设
量子力学中表示力学量的算符都是厄米算 符，它们的本征函数 组成完全系。当体系 处于波函数 所描写的状态时，测量力 ˆ 学量 F 所得的数值，必定是算符 F 的本征值 之一，测得值为其本征值 n 的概率是 | Cn |2
C p 与动量值 P 的大小有关，与 p的方向无关， 由此得到动量 的概率分布 p
W ( p) C p
2
a p
2 2 0 2
8a
3 5 0
2 4
9
3.6 算符与力学量的关系（小结）
厄米算符本征函数组成正交、归一的完全函数系
任意函数可以用这些本征函数做线性展开（态叠加 原理）
① 此假设的正确性，由该理论与实验结 注 果符合而得到验证 意 ② 一般状态中，力学量一般没有确定的数 值，而是具有一系列的可能值，这些可能值 就是该力学量算符的本征值，测得该可能值 的概率是确定的
3
3.6 算符与力学量的关系（续３）
动量算符角动量算符
i ( r ) p ( r ) ( 1 ) p p
函数。
p 是动量算符的本征值， p ( r ) 是属于此本征值的本征
分量式：
i p ( r ) p x p ( r ) x i p ( r ) p y p ( r ) y i p ( r ) p z p ( r ) z
它们的解是
i ( r ) C e x p (p r ) ( 2 ) p
本征值 ( 可取所有实数，构成连续谱。 ppp ,y ,z ) p x
２、动量本征函数的归一化
i 求归一化常数 C ？ ( r ) C e x p ( pr ) p
() r () r d 计算积分： p p 2
可得
ˆ Lx i (sin ctg cos ) ˆ Ly i (cos ctg sin ) (16) ˆ Lz i x
y
和
2 2 2 ˆ L ( 1 7 ) z 2
N Pl (cos ) 是缔合勒让德多项式，
m
lm
是归一化常数。
N
lm
由 Ylm ( , ) 的归一化条件定出：
Y ( , ) Y ( , )s in d d 1 ( 2 2 ) l m l m
2
0 0
( lm ) !2 l 1 得 N ( 2 3 ) l m ( lm ) !4
即 r ) ( rd ) ( p p ) ( 3 ) ( p p
( r ) p 其中 3 ( 2 )2 为什么 p ( r ) 不能归一化为1，而是归一化为 函数： 这是由于动量本征值可以取连续值， p 的各分量可取任 意实数，动量本征值构成连续谱。
第三章-力学量的算符表示
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为 函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并： 对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交， 但总能够找到正交函数。
例题 对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix
第三章 量子力学中的力学量
以上归一化方法称为箱归一化。 动量本征函数：
再乘上时间因子：
参见：
P23:2.2-4 式。
自由粒子的波函数，其动量有确定值 。
2、角动量算符
3、角动量平方算符
为讨论方便我们要导出上述算符在球坐标下的表示式。 同理可得：
同理可得：
同理可得：
把上述表达式分别代入
4、相应的本征方程和本征值 （1）角动量的 分量
c、分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子 在束缚态下的能谱。
重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 ，
分立谱记为
。对应的本征函数分别记
为
及。
（2）、力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对 应，而出现若干个（如 个）本征态对应一个本征值， 称这种情况为 度简并。 §3-2 动量算符和角动量算符 1 动量算符
第三章 量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方 式描述。
量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微 观粒子的运动状态。
但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入 了一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中 的力学量。
算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相 承、贯穿始终。
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大 家学习的重点。重点掌握以下内容：
一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；
两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线 性厄米算符的本征态表示；
•三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；
四个本征态及本征值：坐标 或 、动量 或 、 角动量 及 、能量（哈密顿量 ）。
1-2-算符及本征值
1(Aˆ 1)dx
eix (i d eix ) dx dx
eix (i)2eixdx
dx x
所以，算符Aˆ 为厄米算符
本征函数、本征值和本征方程
若算符Aˆ 作用于函数 等于一常数a乘以 Aˆ a
则称函数 为算符Aˆ 的本征函数，a为算符Aˆ 的本征值。
Aˆ Bˆ BˆAˆ 一般情况
思考
给出算符Aˆ 的三个例子， 使得Aˆ 满足：Aˆ ex ex
算符(Operater)
线性算符:
Aˆ (c11 c22) c1Aˆ 1 c2Aˆ 2
c1,
c2为任意常数，
1
,
为任意函数
2
以下算符哪些（个）是线性算符？
运算 乘以
取平方根
Aˆ Bˆ
Aˆ Bˆ BˆAˆ 例 Aˆ x
Bˆ d dx
算符对易：Aˆ Bˆ BˆAˆ
例 Aˆ 3 Bˆ d
dx
Aˆ (Bˆf
)
x
d dx
fห้องสมุดไป่ตู้
x
d dx
f
Bˆ( Aˆ f ) d x f f x df
dx
dx
3 d f d 3f dx dx
dx
d (x) adx (x) ln (x) ax C ' (x) eCeax Ceax
作业
通常给字母上加一 ^ 或 [ ]表示算符。
Aˆ 1 2
运算
算符
sin x的作用结果
乘以
x
x sin x
取平方根
sin x
对x求导
升降算符本征值
升降算符本征值升降算符是量子力学中常用的数学工具，用于描述粒子的能量和动量，并研究其本征值和本征函数。
在本文中，我们将探讨升降算符的基本概念、性质和应用，以及如何计算其本征值。
1.升降算符的定义在量子力学中，升降算符是由哈密顿算符和能量本征值的关系推导出来的。
对于一个具有离散能谱的量子系统，其能级可以用离散的整数标记。
设算符A表示系统中一个具有确定能量的态，而算符A^+和A^-则代表系统中能量增加一个单位或减少一个单位的态。
升降算符的定义如下：A^+ n⟩ = c_n n+1⟩A^- n⟩ = d_n n-1⟩其中，n⟩表示态矢量，c_n和d_n为系数。
这两个算符操作使得态矢量在能级上升或下降一个单位，并且满足一些性质。
2.升降算符的性质（1）升降算符的对易关系升降算符满足对易关系：[A^-, A^+] = A^+A^- - A^-A^+ = 1这是因为，通过对升降算符的乘积和交换可以推出这个对易关系。
（2）升降算符的本征值升降算符也有自己的本征值，可以通过计算得到。
当升降算符作用于一个本征态时，可以得到对应的本征方程：A^+ n⟩ = c_n n+1⟩ = λ_n n+1⟩A^- n⟩ = d_n n-1⟩ = λ_n n-1⟩其中，λ_n为本征值。
这个本征方程说明，升降算符作用在本征态上，给出的结果是该本征态在能级上升或下降一个单位，并且本征值为λ_n。
（3）升降算符的性质与本征值之间的关系由于升降算符A^+和A^-是互为共轭的，所以它们的本征值也是互为共轭的。
具体地说，如果c_n是A^+的本征值，那么d_n就是A^-的本征值，并且它们满足以下关系：c_n ^2 = d_n ^2 + 1这个关系表明，本征值为c_n的态在作用A^-后，其本征值变为c_n-1，并且有一个附加的归一化系数。
3.计算升降算符的本征值在计算升降算符的本征值时，我们需要使用一些特定的方法和技巧。
（1）对易关系和代数方法通过对升降算符的对易关系进行运算，我们可以得到一些代数关系，从而较为方便地计算本征值。
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exp[ix]
例如：i
d dx
、xˆ和
d2 dx2
是厄米算符,
d 不是厄米算符 dx
例
Aˆ i d dx
Aˆ * i d dx
1 eix
* 1
eix
1Aˆ 1dx
eix (i d )eixdx dx
eix (i)2eixdx
dx x
例 e2x是算符 d 的本征函数 dx
本征方程
下列哪些函数是算符 d 的本征函数？ dx
(1) x2 (2) exp(x2 ) (3) 2012 (4) exp(x) (5) sin(4x) (6) cos(4x) i sin(4x)
本征函数
求 d 的本征函数？ dx
解：本征方程为：d (x) a (x)
Aˆ Bˆ
Aˆ Bˆ BˆAˆ 例 Aˆ x
Bˆ d dx
算符对易：Aˆ Bˆ BˆAˆ
例 Aˆ 3 Bˆ d
dx
Aˆ (Bˆf
)
x
d dx
f
x
d dx
f
Bˆ( Aˆ f ) d x f f x df
dx
dx
3 d f d 3f dx dx
1(Aˆ 1)dx
eix (i d eix ) dx dx
eix (i)2eixdx
dx x
所以，算符Aˆ 为厄米算符
本征函数、本征值和本征方程
若算符Aˆ 作用于函数 等于一常数a乘以 Aˆ a
则称函数 为算符Aˆ 的本征函数，a为算符Aˆ 的本征值。
通常给字母上加一 ^ 或 [ ]表示算符。
Aˆ 1 2
运算
算符
sin x的作用结果
乘以
x
x sin x
取平方根
sin x
对x求导
d
cos x
dx
算符运算规则
算符相等：对任意函数f，有 Aˆ f Bˆf 算符加法： ( Aˆ +Bˆ) f Aˆ f +Bˆf 算符乘法： Aˆ Bˆf Aˆ (Bˆf ) Aˆ 2 f Aˆ ( Aˆ f )
dx
d (x) adx (x) ln (x) ax C ' (x) eCeax Ceax
作业
算符及本征值
复数(Complex Numbers)
复数： z x iy, x和y为实数，i= 1 z的共轭复数z* x iy z 2 z* 2 zz* x2 y2
欧拉公式：ei cos i sin
算符(Operater)
算符的定义：一种运算符号，当其作用到某一函数上时， 会根据某种运算规则，把该函数变为另一个函数。如∫，∑， √，lg，sin 等都是算符。
Aˆ Bˆ BˆAˆ 一般情况
思考
给出算符Aˆ 的三个例子， 使得Aˆ 满足：Aˆ ex ex
算符(Operater)
线性算符:
Aˆ (c11 c22) c1Aˆ 1 c2Aˆ 2
c1,
c2为任意常数，
1
,
为任意函数
2
以下算符哪些（个）是线性算符？
运算 乘以
取平方根
对x求导
算符 x
d dx
线性算符？
算符(Operater)
厄米(Hermite)算符（也称为自轭算符 ）：
1Aˆ 2d 2(Aˆ 1)d或者 1Aˆ 1d 1(Aˆ 1)d
1*表示对 1求复共轭，例如： 1
exp[ix],
* 1