函数的极限课件.ppt
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极限的定义PPT课件
1.无穷小量——在其变化过程中能以0为
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
第19页/共27页
3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
x x 1
x
π 2
x
第25页/共27页
高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — （3） 5 — （2）、 （4） 9 — （6）、 （10）、 （13）、 （14） 12 — （4） 15 、 18 — （3）
第26页/共27页
感谢您的观看。
第27页/共27页
1
推论 lim(1 x) x e
x0
第15页/共27页
1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 PA OA 2
1 tg x 2
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有
1 sin x 1 cos x x
第16页/共27页
(续) 1 sin x 1 cos x x
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小 1 sin x 也是无穷小
x 即 lim sin x 1
x0 x
第 x
x 1
2
lim sin π x lim (1 x) lim sin π x lim (1 x)
其中 (x) 5x , (x) x2
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
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3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
x x 1
x
π 2
x
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高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — （3） 5 — （2）、 （4） 9 — （6）、 （10）、 （13）、 （14） 12 — （4） 15 、 18 — （3）
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1
推论 lim(1 x) x e
x0
第15页/共27页
1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 PA OA 2
1 tg x 2
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有
1 sin x 1 cos x x
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(续) 1 sin x 1 cos x x
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小 1 sin x 也是无穷小
x 即 lim sin x 1
x0 x
第 x
x 1
2
lim sin π x lim (1 x) lim sin π x lim (1 x)
其中 (x) 5x , (x) x2
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
《函数的极限与连续》课件
示例
考虑函数$f(x) = x^2$，在区间 $[0, 1]$上连续且单调增加。如果 $f(0) < c < f(1)$，则可以证明$c < frac{f(0) + f(1)}{2}$。
利用连续性求函数的零点
要点一
总结词
利用函数的连续性可以找到函数的零 点。
要点二
详细描述
如果函数在某区间上连续，且在该区 间上从正变负或从负变正，则可以利 用函数的连续性找到函数的零点。这 是因为函数在这一点上从增加变为减 少或从减少变为增加，的定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
复合函数在复合点连续的定义：如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点 连续。
与其他数学知识的联系
探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他 数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位。
理论严谨性
深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和 完备性，理解数学严密性的重要性。
对后续学习的展望
导数与微分
预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与 极限和连续性的关系。
级数与积分
简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的 重要性和应用。
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
02
03
乘积运算性质
幂运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
数学分析之函数极限PPT课件
同理l可 im 1证 x20. x 1
由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：
定理 3.1´ 设f(x)在U（ x0）有定义，则
limf(x)A的充要条 : 件是
xx0
lif m (x ) lif m (x ) A .
x x 0
x x 0
注 试比较定理 3.1 与定理 3.1´.
这就证明了 lim x121. x 1 x1 22
例7
证明
limx2
xx0
x02.
分析 要使
x 2 x 0 2 x x 0 x x 0 ,
可以先限制 xx01, 因为此时有
x x 0 x x 0 2 x 0 x x 0 2 x 0
12 x0 ,
数学分析之函数极 限
教学目标：
1.理解函数极限的“ε-δ”定义及单侧极限概念； 2.掌握函数极限的基本性质、极限存在的条件及两个
重要极限； 3.理解无穷大量及无穷小量概念； 4.会求渐进线.
§1 函数极限概念
作为数列极限的推广,函数极限与数列极 限之间有着密切的联系,它们之间的纽带就 是归结原理.
则称函数 f(x)当 x趋 于 时A 以 为极限. 记为
limf(x)A或者 f(x ) A (x ) .
x
lim f( x ) A 的 几 何 意 义
x
y
A
A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 Ma
④ 有 A f(x ) A
x
x
③ 使 当 xM 时
其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性.
由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：
定理 3.1´ 设f(x)在U（ x0）有定义，则
limf(x)A的充要条 : 件是
xx0
lif m (x ) lif m (x ) A .
x x 0
x x 0
注 试比较定理 3.1 与定理 3.1´.
这就证明了 lim x121. x 1 x1 22
例7
证明
limx2
xx0
x02.
分析 要使
x 2 x 0 2 x x 0 x x 0 ,
可以先限制 xx01, 因为此时有
x x 0 x x 0 2 x 0 x x 0 2 x 0
12 x0 ,
数学分析之函数极 限
教学目标：
1.理解函数极限的“ε-δ”定义及单侧极限概念； 2.掌握函数极限的基本性质、极限存在的条件及两个
重要极限； 3.理解无穷大量及无穷小量概念； 4.会求渐进线.
§1 函数极限概念
作为数列极限的推广,函数极限与数列极 限之间有着密切的联系,它们之间的纽带就 是归结原理.
则称函数 f(x)当 x趋 于 时A 以 为极限. 记为
limf(x)A或者 f(x ) A (x ) .
x
lim f( x ) A 的 几 何 意 义
x
y
A
A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 Ma
④ 有 A f(x ) A
x
x
③ 使 当 xM 时
其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性.
高等数学(同济第六版)课件 第一章 3.函数的极限(一)
且a >b， (或a<b)
则正数X， 当x<－X时， 都有f(x) >b . (或f(x)<b) 当x>X时， 当|x|>X时，
(4) 充要条件：
lim lim lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
证： " " 0, X 1 0, 当x>X1 时，成立 f ( x ) A .
得 | x x0 |
x0
当 | x x0 | x0 时，才能使x>0， 取 min{ x0 , x0 } 当 0 x x0 时， 成立 | x x0 |
lim x
x x0
x0
" "定义
x x0
lim f ( x ) A
2 x2 x 1 3 lim x 1 x 1 2 x2 x 1 3 | 2 | x 1 | ( x 1) 0, | x 1 2 x2 x 1 3 | 当x与1多么接近时? | x 1 | x 1 | 2
2 x2 x 1 0, 当 0 | x 1 | 时， 成立 | 3 | 2 x 1
lim f ( x ) 0, 则 lim f ( x ) g( x ) 0
x x
1 x (7) 重要极限：lim (1 ) e x x
特点：（1）1 型 （2）底数减1等于指数的倒数 。
例2 求下列极限
2 x3 3 x2 5 (1) lim 3 2 x 7 x 4 x 1
二、 自变量趋向有限值时函数的极限 若当x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近于常数A， 称常数A为当x趋于x0时，函数f(x)的极限。 记作 lim f ( x ) A
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
高等数学-函数的极限PPT课件
则A是 f (x)当 x 的极限. 记为： lim f ( x) A. x
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
从定义中得到： x X 包含了 x X 和x X .
所以： x 包含了 x 和 x . 于是有
定理：lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
则有：lim(2 1 ) 2, limarctan x 不存在.
x
x
x
.
7
注意: 证明极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找X.
求X的方法： 由 f (x) A 解出x
几何解释:
Aε f (x) Aε
AA
X
A X
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
则有：lim (2 1 ) 2, limarctan x π
x
x
x
2
对于 y 2 1 ，lim (2 1 ) 2,lim (2 1 ) 2,那么 lim(2 1 ) ？
x x
x
x
或者从x0的两边同时接近于x0.
.
12
函数极限的几何意义
lim f ( x) A 0, 0, 使得当
xБайду номын сангаас x0
0 x x0 时， 恒有 f ( x) A 成立.
0
当 x U ( x0 ) 时，
函数f(x)的图形完全
y
y f (x)
落在以直线y=A为中
定义：如果 0, X 0, 使当 x X 时，恒有 f (x) A ，
函数的极限-课件
函数的极限-PPT课件
通过这个PPT课件，我们将深入了解函数的极限，探讨其定义、性质、求解方 法、连续性以及应用领域，帮助您更好地理解和应用相关知识。
什么是函数的极限
函数的极限是指随着自变量趋近某个特定值，函数取值的趋势。我们将讨论 其定义和概念，以及极限的基本性质。
如何求解函数的极限
重要极限公式、极限的运算法则以及夹逼定理等是求解函数极限的关键工 具。我们将学习它们的应用方法。
参考资料
常用函数极限表格
提供常见函数的极限值和性质的表格，作为学 习和记忆的参考。
相关专业书籍和资料
推荐一些深入学习函数极限的专业书籍和学术 资料，供进一步研究使用。
函数的极ห้องสมุดไป่ตู้与连续性
极限存在的充分条件
我们将研究函数极限存在的条件，并探讨它们与函 数连续性之间的关系。
极限与函数的连续性
了解极限与函数连续性之间的关联，以及在函数图 像上的表现。
函数极限的应用
1 极限与导数的关系
探索函数的极限与导数之间的联系，以及这种联系在微积分中的重要性。
2 极限在微积分中的应用
了解如何使用函数极限解决微积分问题，例如求曲线的切线、曲线的变率等。
3 极限在实际问题中的应用
通过实际问题案例，展示函数极限在科学、工程、经济等领域的实际应用。
练习与总结
练习题解析
通过解析一些典型练习题，加深对函数极限的理解 和应用能力。
总结和回顾
总结已学习的知识点，回顾整个课程，确保对函数 的极限有全面的理解。
通过这个PPT课件，我们将深入了解函数的极限，探讨其定义、性质、求解方 法、连续性以及应用领域，帮助您更好地理解和应用相关知识。
什么是函数的极限
函数的极限是指随着自变量趋近某个特定值，函数取值的趋势。我们将讨论 其定义和概念，以及极限的基本性质。
如何求解函数的极限
重要极限公式、极限的运算法则以及夹逼定理等是求解函数极限的关键工 具。我们将学习它们的应用方法。
参考资料
常用函数极限表格
提供常见函数的极限值和性质的表格，作为学 习和记忆的参考。
相关专业书籍和资料
推荐一些深入学习函数极限的专业书籍和学术 资料，供进一步研究使用。
函数的极ห้องสมุดไป่ตู้与连续性
极限存在的充分条件
我们将研究函数极限存在的条件，并探讨它们与函 数连续性之间的关系。
极限与函数的连续性
了解极限与函数连续性之间的关联，以及在函数图 像上的表现。
函数极限的应用
1 极限与导数的关系
探索函数的极限与导数之间的联系，以及这种联系在微积分中的重要性。
2 极限在微积分中的应用
了解如何使用函数极限解决微积分问题，例如求曲线的切线、曲线的变率等。
3 极限在实际问题中的应用
通过实际问题案例，展示函数极限在科学、工程、经济等领域的实际应用。
练习与总结
练习题解析
通过解析一些典型练习题，加深对函数极限的理解 和应用能力。
总结和回顾
总结已学习的知识点，回顾整个课程，确保对函数 的极限有全面的理解。
函数极限运算法则课件
于该点的纵坐标。
函数极限的性 质
唯一性
一个函数的极限值是唯一的。
有界性
函数在某点的极限存在时，该点的函数值必定有界。
局部保号性
如果lim(x→x0)f(x)=A，且A>0，则在x0的 某个邻域内，f(x)>0。
函数极限的存在性
函数极限存在定理
如果对于任意ε>0，存在δ>0，当|x−x0|<δ时， |f(x)−A|<ε，则lim(x→x0)f(x)=A。
对未来学习的展望
学习更复杂的极限问题
在掌握了基本的函数极限运算法则后，可以进一步学习更复杂的极限问题，例如，无穷大与无穷小的 关系、洛必达法则等。
实际应用
函数极限运算法则不仅在数学中有广泛的应用，也可以应用于实际问题的解决中，例如，金融、物理 等领域的问题。通过深入学习函数极限运算法则，可以更好地理解和应用这些知识。
存在性二
若函数$f(x)$在点$a$处的极限不存在，且函数$g(x)$在点$a$处的值域不包含 常数$L$，则复合函数$f(g(x))$在点$a$处的极限不存在。
04
函数极限的应用
利用函数极限求函数 值
总结词
利用函数极限的性质，通过已知的函数极限值来求解未知的 函数值。
详细描述
在数学分析中，函数极限的性质是重要的工具。通过利用函 数极限的性质，我们可以求解一些未知的函数值。例如，如 果已知函数在某点的极限值，我们可以利用这个极限值来求 解该点处的函数值。
函数极限运算法则课 件
xx年xx月xx日
目录
01
函数极限的基本概念
函数极限的定 义
函数极限的定义
函数在某点的极限是指当自变量趋近于该 点时，函数值的趋近值。
函数极限的性 质
唯一性
一个函数的极限值是唯一的。
有界性
函数在某点的极限存在时，该点的函数值必定有界。
局部保号性
如果lim(x→x0)f(x)=A，且A>0，则在x0的 某个邻域内，f(x)>0。
函数极限的存在性
函数极限存在定理
如果对于任意ε>0，存在δ>0，当|x−x0|<δ时， |f(x)−A|<ε，则lim(x→x0)f(x)=A。
对未来学习的展望
学习更复杂的极限问题
在掌握了基本的函数极限运算法则后，可以进一步学习更复杂的极限问题，例如，无穷大与无穷小的 关系、洛必达法则等。
实际应用
函数极限运算法则不仅在数学中有广泛的应用，也可以应用于实际问题的解决中，例如，金融、物理 等领域的问题。通过深入学习函数极限运算法则，可以更好地理解和应用这些知识。
存在性二
若函数$f(x)$在点$a$处的极限不存在，且函数$g(x)$在点$a$处的值域不包含 常数$L$，则复合函数$f(g(x))$在点$a$处的极限不存在。
04
函数极限的应用
利用函数极限求函数 值
总结词
利用函数极限的性质，通过已知的函数极限值来求解未知的 函数值。
详细描述
在数学分析中，函数极限的性质是重要的工具。通过利用函 数极限的性质，我们可以求解一些未知的函数值。例如，如 果已知函数在某点的极限值，我们可以利用这个极限值来求 解该点处的函数值。
函数极限运算法则课 件
xx年xx月xx日
目录
01
函数极限的基本概念
函数极限的定 义
函数极限的定义
函数在某点的极限是指当自变量趋近于该 点时，函数值的趋近值。
函数的极限PPT课件
详细描述
函数极限的唯一性是函数极限的一个重要性质，它表明在某一点附近，函数的 极限值是唯一的。这个性质在研究函数的连续性和可导性等方面有着重要的应 用。
函数极限的局部有界性
总结词
函数极限的局部有界性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处有极限，那么在点$x_0$的某个邻域内，函 数$f(x)$是有界的。
详细描述
函数极限的保号性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数 的符号与极限值的符号保持一致。这个性质在研究函数的单调性和不等式证明等方面有
着重要的应用。
03 函数极限的计算方法
直接代入法
总结词
直接代入法适用于求函数在某点的极限 值，当函数在该点的值已知时，可以直 接代入计算。
VS
详细描述
直接代入法是最基本的求函数极限的方法 。当函数在某点的值已知时，我们可以直 接将该点的值代入函数表达式中，得到该 点的极限值。这种方法适用于一些简单的 函数，如常数函数、一次函数等。
抓大头法
总结词
抓大头法适用于求函数在某点的极限值，当 函数在该点的值未知，但存在一个较大的项 或几个项的组合可以确定函数的极限值时。
详细描述
函数极限的局部有界性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数值是有界 的。这个性质在研究函数的单调性和收敛性等方面有着重要的应用。
函数极限的保号性
总结词
函数极限的保号性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值大于0，那么在点$x_0$ 的某个邻域内，函数$f(x)$的值也大于0；如果极限值小于0，那么函数值也小于0。
详细描述
等价无穷小替换法是一种通过将函数中的某 些项替换为等价的无穷小量来估算函数的极 限值的方法。这种方法适用于一些复杂的函 数，如幂函数、三角函数等。在等价无穷小 替换法中，常用的等价无穷小量包括x→0时，
函数极限的唯一性是函数极限的一个重要性质，它表明在某一点附近，函数的 极限值是唯一的。这个性质在研究函数的连续性和可导性等方面有着重要的应 用。
函数极限的局部有界性
总结词
函数极限的局部有界性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处有极限，那么在点$x_0$的某个邻域内，函 数$f(x)$是有界的。
详细描述
函数极限的保号性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数 的符号与极限值的符号保持一致。这个性质在研究函数的单调性和不等式证明等方面有
着重要的应用。
03 函数极限的计算方法
直接代入法
总结词
直接代入法适用于求函数在某点的极限 值，当函数在该点的值已知时，可以直 接代入计算。
VS
详细描述
直接代入法是最基本的求函数极限的方法 。当函数在某点的值已知时，我们可以直 接将该点的值代入函数表达式中，得到该 点的极限值。这种方法适用于一些简单的 函数，如常数函数、一次函数等。
抓大头法
总结词
抓大头法适用于求函数在某点的极限值，当 函数在该点的值未知，但存在一个较大的项 或几个项的组合可以确定函数的极限值时。
详细描述
函数极限的局部有界性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数值是有界 的。这个性质在研究函数的单调性和收敛性等方面有着重要的应用。
函数极限的保号性
总结词
函数极限的保号性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值大于0，那么在点$x_0$ 的某个邻域内，函数$f(x)$的值也大于0；如果极限值小于0，那么函数值也小于0。
详细描述
等价无穷小替换法是一种通过将函数中的某 些项替换为等价的无穷小量来估算函数的极 限值的方法。这种方法适用于一些复杂的函 数，如幂函数、三角函数等。在等价无穷小 替换法中，常用的等价无穷小量包括x→0时，
高等数学函数的极限课程课件
则称当x x0时,函数f ( x)以a为极限,记作
lim f ( x) a 或
x x0
f (x) a(x x0 )
此时, 亦称当 x x0 时 f ( x) 存在极限
(或收 敛且收 敛 于 a ).
注 1 : 定义中的“0 | x x0 | ”表明: 当 x x0 时, f ( x) 有无极限以及极限值为多少均与 f ( x) 在 x0 有无定义无关.
xk
1
但 lim f ( x)不 存 在
2
xk
函数极限与数列极限的联系（某个桥梁）：
定理3.1(Heine定理)
设f
: N ( x0 )
R为一函数,则 lim x x0
f (x)
a的
充要条件为对于N ( x0 )中的任何数列xn,
只要xn x0 (n ),
相应的函数值数列f ( xn )都收敛于a.
例3.2 问limarctanx是否存在？ x
解 因为 lim arctan x ,
x
2
lim arctan x ,
x
2
lim arctan x lim arctan x,
x ＋
x
所以 limarctanx不存在.
x
y arctanx图象如图：
y
2
y arctan x
o
x
2
2. x x0时f ( x)的极限
都有 | f ( x) | L.
证明 设 lim f ( x) a, x x0 对 1, 0, 当0 x x0 时,
有 | f ( x) a | 1
所以当x ( x0 , x0 ) ( x0, x0 ) 时,
有a 1 f ( x) a 1
函数极限ppt课件
在常数A 对于任意给定的正数e 总存在正数d 使得当x
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x)A或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
但f(g(x))在x0时无极 . 限
取 x n 2 n 1,x n 0 ,而 y n f( g ( x n ) )f( 0 ) 0 .
取 x n 2 n1 +,x n 0 ,而 y n f(g (x n ) )f(2 n+ 2 ) 1 . 2
取 xnn22(n1,2, )n , +, xn +, 且s有 inxnsin n)(0 0.
取xn(2n+2)2(n1,2, ),n+ ,xn+ ,
且有 sinxn
sin2n(+)11.
2
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铃
❖收敛函数的运算法则 •定理5(四则运算法则)
自变量的同一变化过程中，若lim f(x)A lim g(x)B 那么
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例例33
求 lim
x3
x-3 x2 -9
解解 lim x - 3 lim x - 3 lim 1 x 3 x 2 - 9 x 3 (x - 3)(x + 3) x 3 x + 3
lim 1
x3
1
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x)A或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
但f(g(x))在x0时无极 . 限
取 x n 2 n 1,x n 0 ,而 y n f( g ( x n ) )f( 0 ) 0 .
取 x n 2 n1 +,x n 0 ,而 y n f(g (x n ) )f(2 n+ 2 ) 1 . 2
取 xnn22(n1,2, )n , +, xn +, 且s有 inxnsin n)(0 0.
取xn(2n+2)2(n1,2, ),n+ ,xn+ ,
且有 sinxn
sin2n(+)11.
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❖收敛函数的运算法则 •定理5(四则运算法则)
自变量的同一变化过程中，若lim f(x)A lim g(x)B 那么
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例例33
求 lim
x3
x-3 x2 -9
解解 lim x - 3 lim x - 3 lim 1 x 3 x 2 - 9 x 3 (x - 3)(x + 3) x 3 x + 3
lim 1
x3
1
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第3章-函数极限(1)可编辑全文
1 x2
1 x02 ( | x0 | 1 ).
证 因为
1 x2
1 x02
| x x0 || x x0 | 1 x2 1 x02
则 0, 取
2|
x
x0
| ,
1 x02 , 2
1 x02
当 0 | x x0 |
时，
|
1 x2
1
x02
|
2 | x x0 1 x02
其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 例7 求证：
(1)
lim
x x0
sin
x
sin
x0;
(2)
lim
x x0
cos
x
cos
x0 .
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证 首先，在右图所示的单位圆内,
当0 x π时, 显然有 2
SOAD S扇形OAD SOAB , 即
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定义1 设 f 为定义在 a, 上的一个函数 . A 为
定数, 若对于任意正数 0，存在 M( a)，使得
当x M 时,
f (x) A ,
则称函数 f ( x) 当 x 趋于 时以 A 为极限. 记为
lim f ( x) A 或者 f ( x) A ( x ).
x
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当 x ln 时
ex 0 ex .
这就是说
lim ex 0.
x
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例4
求证
lim
x
1
1 x
2
0.
证 对于任意正数 , 可取 M 1 , 当 x M 时, 有
1 1 x2
函数的极限(左右极限)ppt课件
记作： lim f (x) a x
◆定义(2):
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时, 函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋 向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,
记作： lim f (x) a
x
3
◆定义(3)
如果 lim f (x) a且 lim f (x) a
限是4．记作：limx 2 4 x 2 强调：x→2，包括分别从左、右两侧趋近于2．
即: “x→2”是指以任何方式无限趋近于2，(分别从
左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2)．7
2. 考察函数 y x 2 1 （x≠1），当x无限趋近于1（但 x 1
不等于1）时，函数的变化趋势
（1）图象 y=x+1 (x∈R,x≠1)
y 4 1.75 0.39 0.04 0.004 0.0004 0.00004 ……
x
2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 ……
y=x2 6.25 4.41 4.04 4.004 4.0004 4.00004 ……
y 4 2.25 0.41 0.04 0.004 0.0004 0.00004 ……
函数在一点处的极限与左、右极限的定义 10
函数在一点处的极限与左、右极限
1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如
果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，
函 数 f(x) 的 极 限 是 a ， 记 作 f(x)→a。
lim f( x) a 或 当 x→x0 时
x x 0
（2）lim f(x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
xx0
高数课件-函数的极限
对任意给定的正数 ε（不论 ε 多么小），作两条水平直 线 y=A-ε，y=A+ε,则总存在一个正数 X，使得在区间 （-∞，-X）与(X，+∞)内，函数 f(x)的图形介于这两 条水平直线之间（见图）。
25-15
注 2：X 的相应性 一般说，X 是随着ε的变小而变大的， 可写成 X= X(ε)，但是这种写法并不意味着 X 是由ε唯一确
例 2.2.4 证明 lim ax 0 ，其中常数a 1 . x
证 对于任意给定的正数 (0 1) ，要使得 ax 0 ax ,
只须 x lg a lg ，即 x lg ，故取 X lg 0 ，当 x X 时，
lg a
lg a
恒有
ax 0
成立，所以 lim ax 0 . x
lim
x x0
sin
x
sin
x0
.
25-27
注
在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意
x=x 此时是在
0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一
下。
单侧极限：
自变量 x 是指 x 无限增大.
如果只考察 x 0 ， x 无限增大，就称 x 趋向正无穷大，
f
(x) .
25-30
极限自变量x的li某m变化过程 f (x) A 的整体刻画：
如果对于任意给定的正数 ε，当自变量 x 变化到一定的程 度时，恒有
| f (x) A |
成立，则有
lim
自变量x的某变化过程
f
(x)
A。
25-31
lim f (x) A
x
0,X 0,使当x X时，恒有 f (x) A lim f (x) A
25-15
注 2：X 的相应性 一般说，X 是随着ε的变小而变大的， 可写成 X= X(ε)，但是这种写法并不意味着 X 是由ε唯一确
例 2.2.4 证明 lim ax 0 ，其中常数a 1 . x
证 对于任意给定的正数 (0 1) ，要使得 ax 0 ax ,
只须 x lg a lg ，即 x lg ，故取 X lg 0 ，当 x X 时，
lg a
lg a
恒有
ax 0
成立，所以 lim ax 0 . x
lim
x x0
sin
x
sin
x0
.
25-27
注
在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意
x=x 此时是在
0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一
下。
单侧极限：
自变量 x 是指 x 无限增大.
如果只考察 x 0 ， x 无限增大，就称 x 趋向正无穷大，
f
(x) .
25-30
极限自变量x的li某m变化过程 f (x) A 的整体刻画：
如果对于任意给定的正数 ε，当自变量 x 变化到一定的程 度时，恒有
| f (x) A |
成立，则有
lim
自变量x的某变化过程
f
(x)
A。
25-31
lim f (x) A
x
0,X 0,使当x X时，恒有 f (x) A lim f (x) A
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❖同样地,当自变量x取负值并且它的绝对值无限 增大时(即x趋向于负无穷大时),函数y的值也无 限趋近于0,
定义(1):
一般地,当自变量x取正值并无限增大时,函数f(x) 的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷
大时,函数f(x)的极限是a,记着: lim f (x) a x
定义(2):
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时, 函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向 于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,记着:
（4） lim f (x) a xx0
定义(1): lim f (x) a x
一般地,当自变量x取正值并无限增大时, 函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就 说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极 限是a,记着:
定义(2): lim f (x) a x
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无 限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一 个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函 数f(x)的极限是a,记着:
数列极限复习
❖定义:
一般地,如果当项数n无限增大时, 无穷数列｛an｝的项an无限地趋 近于某个常数a,（既｜an-a｜无 限地接近于0），那么就说数列 ｛an｝以a为极限，或者说数列 ｛an｝的极限是a
记着:
lim
n
an
a
❖重要结论
(1)常数c的极限等于 它本身,
即 limC C n
(2) lim an n
xx0
xx0
练习1：P83练习1、2 练习2: P83习题1
举例说明：
（1）lim x x0
f (x) 与 lim f (x) xx0
可以都不存在
（2）xlimx0
f
(x)
与
lim
xx0
f
(x)
可以都存在，
但两个极限值不相等
（3）xlimx0
f
(x)
与
lim
xx0
f (x)
可以都存在，
且两个极限值相等
定义(3) lim f (x) a x
如果 lim f (x) a x
且
lim f (x) a
x
那么就说 当x趋向于无穷大时,函
数f(x)的极限是a,记着:
定义（4）（函数在一点处的极限）
lim f (x) a
xx0
一般地,当自变量x无限趋近于常数 x0时（但x不等于x0）,如果函数f(x) 无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于 x0时时,函数f(x)的极限是a,记着:
x x0
一般地如果当x从点x0右侧（即x<x0)无限趋近 于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数 f(x)在点x0处的右极限，记作
lim f (x) a
xx0
根据函数在一点处的极限、左 极限、右极限的定义，可以得 出：
lim f (x) a
xx0
lim f (x) lim f (x) a
(3)
lim
n
A1ns B1nt
A2ns1 B2 nt 1
…… ……
（1）当 x 时
函数f(x)的极限
y1 x
x1
y1
10
100 1000 10000 100000
0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001
❖当自变量x取正值并无限增大时(即x趋向于正无穷大 时),函数y的值无限趋近于0,即｜y-o｜可以变得任意 小.
lim f (x) a
x
问题？？？
lim f (x) 和 lim f (x)
x
x
一定存在吗？？？
问题？？？
若 和 存在 lim f (x) x
lim f (x)
x
它们的值一定相等吗？？？
定义(3)
如果 lim f (x) a 且 lim f (x) a
x
x
那么就说 当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极
❖一般地，设C为常数，则 lim C C
x x0
x2 1
由例2及
lim
2
x1 x 1
，
你能总结出一般性结论吗？
本节课主要学 习了哪些问题？
第二课时
函数的左、右极限
说出下列函数极限的定义：
（1） lim f (x) a x
（2）
lim f (x) a
x
（3） lim f (x) a x
问题（1）：讨论当x无限趋近于2（从左、右两边）时，
函数 y x2
的变化趋势：
lim x2 4
x2
问题（1）：讨论当x无限趋近于1 （从左、右两边）
时，函数 y x2 1 的变化趋势： x 1
lim x2 1 2 x1 x 1
问题？？？
当 x从x0的左、右两边趋近于x0时， f(x)的极限一) a x
注意:必须两个条件都满足, 才能说-------
对于常数函数f(x)=c(x∈R), 也有 lim f (x) C x
❖重要结论： lim ax ? lim ax ?
x
x
记忆方法：数形结合法（指数函 数的图象）
（2）当 x x0 时
函数f(x)的极限
你能否举例说明？
（
）
定义（4）
一般地,当自变量x无限趋近于常数x0时（但x不等 于x0）,如果函数f(x) 无限趋近于一个常数a,就 说当x趋近于x0时时,函数f(x)的极限是a,记着:
lim f (x) a
xx0
lim f (x) 也叫做函数f(x)在点x=x0处的极限
xx0
x无限趋近于常数x0，是指x从x0的左、右两边趋近于x0
x无限趋近于x0，应理解为x可以用任何方式 无限趋近于x0
阅读：P80例2 练习: P81练习2
想一想：
可以总结出什么规律？
左极限定义：
一般地如果当x从点x0左侧（即x<x0)无限趋近
于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数
f(x)在点x0处的左极限，记作
lim f (x) a
右极限定义：
定义(1):
一般地,当自变量x取正值并无限增大时,函数f(x) 的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷
大时,函数f(x)的极限是a,记着: lim f (x) a x
定义(2):
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时, 函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向 于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,记着:
（4） lim f (x) a xx0
定义(1): lim f (x) a x
一般地,当自变量x取正值并无限增大时, 函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就 说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极 限是a,记着:
定义(2): lim f (x) a x
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无 限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一 个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函 数f(x)的极限是a,记着:
数列极限复习
❖定义:
一般地,如果当项数n无限增大时, 无穷数列｛an｝的项an无限地趋 近于某个常数a,（既｜an-a｜无 限地接近于0），那么就说数列 ｛an｝以a为极限，或者说数列 ｛an｝的极限是a
记着:
lim
n
an
a
❖重要结论
(1)常数c的极限等于 它本身,
即 limC C n
(2) lim an n
xx0
xx0
练习1：P83练习1、2 练习2: P83习题1
举例说明：
（1）lim x x0
f (x) 与 lim f (x) xx0
可以都不存在
（2）xlimx0
f
(x)
与
lim
xx0
f
(x)
可以都存在，
但两个极限值不相等
（3）xlimx0
f
(x)
与
lim
xx0
f (x)
可以都存在，
且两个极限值相等
定义(3) lim f (x) a x
如果 lim f (x) a x
且
lim f (x) a
x
那么就说 当x趋向于无穷大时,函
数f(x)的极限是a,记着:
定义（4）（函数在一点处的极限）
lim f (x) a
xx0
一般地,当自变量x无限趋近于常数 x0时（但x不等于x0）,如果函数f(x) 无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于 x0时时,函数f(x)的极限是a,记着:
x x0
一般地如果当x从点x0右侧（即x<x0)无限趋近 于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数 f(x)在点x0处的右极限，记作
lim f (x) a
xx0
根据函数在一点处的极限、左 极限、右极限的定义，可以得 出：
lim f (x) a
xx0
lim f (x) lim f (x) a
(3)
lim
n
A1ns B1nt
A2ns1 B2 nt 1
…… ……
（1）当 x 时
函数f(x)的极限
y1 x
x1
y1
10
100 1000 10000 100000
0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001
❖当自变量x取正值并无限增大时(即x趋向于正无穷大 时),函数y的值无限趋近于0,即｜y-o｜可以变得任意 小.
lim f (x) a
x
问题？？？
lim f (x) 和 lim f (x)
x
x
一定存在吗？？？
问题？？？
若 和 存在 lim f (x) x
lim f (x)
x
它们的值一定相等吗？？？
定义(3)
如果 lim f (x) a 且 lim f (x) a
x
x
那么就说 当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极
❖一般地，设C为常数，则 lim C C
x x0
x2 1
由例2及
lim
2
x1 x 1
，
你能总结出一般性结论吗？
本节课主要学 习了哪些问题？
第二课时
函数的左、右极限
说出下列函数极限的定义：
（1） lim f (x) a x
（2）
lim f (x) a
x
（3） lim f (x) a x
问题（1）：讨论当x无限趋近于2（从左、右两边）时，
函数 y x2
的变化趋势：
lim x2 4
x2
问题（1）：讨论当x无限趋近于1 （从左、右两边）
时，函数 y x2 1 的变化趋势： x 1
lim x2 1 2 x1 x 1
问题？？？
当 x从x0的左、右两边趋近于x0时， f(x)的极限一) a x
注意:必须两个条件都满足, 才能说-------
对于常数函数f(x)=c(x∈R), 也有 lim f (x) C x
❖重要结论： lim ax ? lim ax ?
x
x
记忆方法：数形结合法（指数函 数的图象）
（2）当 x x0 时
函数f(x)的极限
你能否举例说明？
（
）
定义（4）
一般地,当自变量x无限趋近于常数x0时（但x不等 于x0）,如果函数f(x) 无限趋近于一个常数a,就 说当x趋近于x0时时,函数f(x)的极限是a,记着:
lim f (x) a
xx0
lim f (x) 也叫做函数f(x)在点x=x0处的极限
xx0
x无限趋近于常数x0，是指x从x0的左、右两边趋近于x0
x无限趋近于x0，应理解为x可以用任何方式 无限趋近于x0
阅读：P80例2 练习: P81练习2
想一想：
可以总结出什么规律？
左极限定义：
一般地如果当x从点x0左侧（即x<x0)无限趋近
于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数
f(x)在点x0处的左极限，记作
lim f (x) a
右极限定义：