复变函数3

∫= 1it2 (1+ i)dt = −1+ i t3 1 = −1+ i
0
30 3
∫ 2． 计算积分 ez dz ，其中 c 为
c
（1）从 0 到 1 再到1 + i 的折线 （2）从 0 到1 + i 的直线
解：（1）从 0 到 1 的线段 c1 方程为： z = x + iy = x, x : 0 → 1，
解：各积分的被积函数的奇点为：（1） z = −2 ，（2） (z + 1)2 + 3 = 0
即 z = −1± 3i ，（3） z = ± 2i （4） z = kπ + π , k 为任意整数， 2
（5）被积函数处处解析，无奇点
不难看出，上述奇点的模皆大于 1，即皆在积分曲线之外，从而在积分曲线内被
0
0
0
= e −1+ ei(sin1− i cos1+ i) = e(cos1+ i sin1) −1 = e1+i −1；
（2）从 0 到1 + i 的直线段的方程为 z = x + iy = t + ti ，t : 0 → 1，
代入积分表达式中，得
∫ ∫ ∫ ezdz = 1et+ti (t + ti)′dt = (1+ i) 1et (cos t + i sin t)dt ，
从 1 到1 + i 的线段 c2 方程为： z = x + iy = 1 + iy, y : 0 → 1，
代入积分表达式中，得
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ezdz = ezdz + ezdz = 1exdx + 1e1+yi (1+ yi)′dy
0
0
c
c1
c2
∫ = ex 1 + ei 1(cos y + i sin y)dy = e −1+ ei (sin y − i cos y) 1
(z2
dz + 4)(z2
+ 1)
=
c1
(z2
+ 4)(z z−i
+ i) dz
+
c2
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(z2
+ 4)(z z+i
− i) dz
2
=
2π
i[ (z2
+
1 4)( z
+
i)
z=i
+
(z2
+
1 4)( z
−
i)
z=−i
]
=
0
v∫ （4）
z−2
=2
z z4 −1
dz
，在积分曲线内被积函数只有一个奇点
1，故此
v∫ v∫ v∫z
=2
z
1 2−
1
sin
π 4
zdz
=
c1
1 sin π z
z +1 4 dz +
z −1
c2
1 sin π z z −1 4 dz
z +1
= 2π i[ 1 sin π z + 1 sin π z ] = 2π i z + 1 4 z=1 z −1 4 z=−1
v∫ （6）
z =2
1
dz
=
z−2i =3
z+i z−i
dz
=
2π i
eiz z+i
z=i
=π e
2
2
v∫ dz
（3） z =3 (z2 +1)(z2 + 4) 2
在积分曲线内被积函数有两个奇点 ±i ，围绕 i, −i 分别做两条相互外离的小闭
合曲线 c1, c2 ，则由复合闭路原理得：
1
1
v∫ v∫ v∫ z =3
∫ 3． 积分 (x2 + iy)dz ，其中 c 为
c
（1）沿 y = x 从 0 到1 + i （2）沿 y = x2 从 0 到1 + i
解：（1）积分曲线的方程为 z = x + iy = t + ti ，t : 0 → 1，
代入原积分表达式中，得
∫ ∫ ∫ (x2 + iy)dz = 1(t2 + it)(t + ti)′dt = (1+ i) 1(t2 + it)dt
ez
v∫ v∫ 1
2π i
z−1 = 1
ez z(z −1)3
dz
=
1 2π i
z−1 =1
(z
z − 1)3
dz
=
1 (ez 2! z
)′′
z=1
2
2
= 1 ez (z2 − 2z + 2) = e
2
z3
z=1 2
（3）由复合闭路原理
ez
ez
v∫ v∫ v∫ 1
2π i
z =2
ez z(z −1)3
∫ Im 2π (−sinθ + i cosθ )(2 + cosθ − i sinθ )dθ
0
5 + 4cosθ
∫= 2π 1+ 2 cosθ dθ = 0 ，再由 cosθ 的周期性，得
0 5 + 4 cosθ
∫ ∫ ∫ 2π 1+ 2cosθ dθ = π 1+ 2cosθ dθ = 2 π 1+ 2cosθ dθ = 0
习题三答案
∫ 1． 计算积分 (x − y + ix2 )dz ，其中 c 为从原点到1 + i 的直线段
c
解：积分曲线的方程为 x = t, y = t ，即
z = x + iy = t + ti ， t : 0 → 1，代入原积分表达式中，得
∫ ∫ (x − y + ix2 )dz = 1(t − t + it2 )(t + ti)′dt 0 c
0
0
c
= (1+ i)(1 + 1 i) = − 1 + 5 i 32 66
（2）积分曲线的方程为 z = x + iy = x + x2i ， t : 0 → 1，
代入积分表达式中，得
∫ ∫ ∫ (x2 + iy)dz = 1(x2 + ix2 )(x + x2i)′dx = (1+ i) 1(x2 + 2x3i)dx
0
0
c
对上述积分应用分步积分法，得
∫ ezdz = (1+ i)[et (sin t + cos t) + eti(sin t − cos t)]1
c
2
2
0
=
(1+ i)et
(cos t
+ i sin t
+ sin t
1
− i cost)
=
(1+ i)et
(eit
1
− ieit )
2
2
0
0
= e(1+i)t 1 = e1+i − e0 = e1+i −1 0
c
为+1
到-1
的圆心在原点的上半圆周。
解：在 c 上， z =1，因而由积分估计式得
∫ ∫ ∫ ∫ c
1
z
2
+
dz 2
≤
c
1 z2 +
2
ds
≤
c
2
1 − z2
ds
=
c
ds
= c 的弧长 = π
6． 用积分估计式证明：若 f ( z) 在整个复平面上有界，则正整数 n > 1时
∫ lim
R→+∞ cR
dz = z + 2 dz = 2π i 1
= 4π i
z =1 (z − i )(z + 2) 2
z =1 z − i 2
z + 2 z=i 4 + i 2
v∫ （2）
z−2i =3
z
eiz 2+
1
dz
，
2
在积分曲线内被积函数只有一个奇点 i ，故此同上题一样：
eiz
v∫ v∫ z−2i =3
z
eiz 2+
0
1
zd
cos
z
=
−z cos
z
1
+
0
0
1
cos zdz
0
= − cos1+ sin z 1 = sin1− cos1 0
v∫ 9． 计算
c
z2
dz − a2
，其中 c
为不经过
±a
的任一简单正向闭曲线。
解：被积函数的奇点为 ±a ，根据其与 c 的位置分四种情况讨论：
（1） ±a 皆在 c 外，则在 c 内被积函数解析，因而由柯西基本定理
−1
0
c
（2） c 的方程为 z = x + iy = cosθ + i sinθ ,
θ :π → 0 ，代入，得
∫
z
dz
=
∫0
1⋅
(cosθ
π
+ i sinθ )′dθ
=
∫0 (− sinθ π
+
i cosθ )dθ
c
= (cosθ
+
i
sin
θ
)
0 π
=2
∫ 5． 估计积分 c
z
2
1 +
dz 2
的模,其中
=
1
(i
− 1)
0
202
2
∫ ∫ （2）
πi sin2 zdz =
πi
1− cos 2z
dz
=[z
−
sin
2z πi ]
−π i
−π i
2
2
4 −πi
= π i − 1 sin 2π i = π i − 1 (e−2π − e2π ) = (π − 1 sh2π )i
2
4i
2
∫ ∫ ∫ （3）
1
z sin zdz = −
dz z2 − a2
=
c
z − a dz = 2π i 1
z+a
z − a z=−a
=−π i a
（4） ±a 皆在 c 内
此时，在 c 内围绕 a, −a 分别做两条相互外离的小闭合曲线 c1, c2 ，则由复合闭
路原理得：
1
1
v∫ v∫ v∫ c
dz z2 − a2
=
c1
z + a dz +
z−a
f (z) zn
dz
=
0
其中 cR 为圆心在原点半径为 R 的正向圆周。
证明：记 f (z) ≤ M ，则由积分估计式得
∫ ∫ ∫ ∫ 0 ≤
cR
f
(z) zn
dz
≤
cR
f (z) zn
ds
≤
M
cR
1 zn
ds
=
M Rn
cR
ds
=
M Rn
2π
R
=
2π M R n−1
，
因 n > 1，因此上式两端令 R → +∞ 取极限，由夹比定理，得
∫ lim
R→+∞ cR
f
(z zn
)
dz
=
0
，
证毕。
7． 通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为 0 的原因，其中积分曲线 c 皆
为 z =1。
v∫ dz
（1） c (z + 2)2
v∫ dz
（2） c z2 + 2z + 4
v∫ dz
（3）
c
z2 + 2
v∫ dz
（4）
c cos z
v∫ （5） zezdz c
dz
=
1 2π i
c1
(z
−1)3 dz + z
1 2π i
c2
(z
z −1)3
dz
=
ez (z −1)3
z=0
+
1 (ez )′′ = 2! z z=1
e 2
−1，
其中， c1, c2 为 z = 2 内分别围绕 0，1 且相互外离的小闭合曲线。
v∫ ∫ 12． 积分
1 dz 的值是什么？并由此证明 π 1 + 2 cosθ dθ = 0
积函数解析，因此根据柯西基本定理，以上积分值都为 0。
8． 计算下列积分：
∫ （1）
π 4
i
e2
z
dz
0
∫ （2） πi sin2 zdz −π i
∫1
（3） z sin zdz 0
解：以上积分皆与路径无关，因此用求原函数的方法：
∫ （1）
π 4
i
e
2
z
dz
=
1
e2z
πi 4
=
1
πi
(e 2
− e0 )
v∫c
dz z2 − a2
=0
（2） a 在 c 内， −a 在 c 外，则 1 在 c 内解析，因而由柯西积分 z+a
1
v∫ v∫ 公式：
c
dz z2 − a2
=
c
z + a dz = 2π i 1
z−a
z+a
z=a
=π i a
（3）同理，当 −a 在 c 内， a 在 c 外时，
1
v∫ v∫ c
0 2 + cosθ + i sinθ
∫=
2π 0
(−sinθ + i cosθ )(2 + cosθ (2 + cosθ )2 + (sinθ
− )2
i
sinθ
)dθ
∫= 2π (−sinθ + i cosθ )(2 + cosθ − i sinθ )dθ = 0
0
5 + 4cosθ
考察上述积分的被积函数的虚部，便得到
1
v∫ v∫ z−2 =2
z
4
z −
1
dz
=
z−2 =2
(z2
+ 1)( z z −1
+ 1)
dz
=
2π i
(z2
1 + 1)( z
+ 1)
z=1
=π i 2
v∫ （5）
z
=2
z
1 2−
1
sin
π 4
zdz
，
在积分曲线内被积函数有两个奇点 ±1，围绕1, −1分别做两条相互外离的小闭
合曲线 c1, c2 ，则由复合闭路原理得：
z2n (z −1)n
dz,
n 为正整数，由高阶导数公式
v∫z =2
z2n (z −1)n
dz
=
2π i (z2n )(n−1) (n −1)!
z =1
= 2π i 2n(2n −1)"(n + 2) = 2π i (2n)!